STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 9
15
STATYSTYKAMATEMATYCZNA WYKLAD 9 7 grudnia 2009
Transcript of STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 9
STATYSTYKA MATEMATYCZNAWYKŁAD 97 grudnia 2009
ANALIZA WARIANCJI
Obserwujemy pewną zmienną losową w różnychwarunkach i interesuje nas, czy zmiana warunkówma wpływ na tę zmiennąCiśnienie tętnicze pacjenta rano i wieczorem
Poziom domieszki danego składnika na własności fizyczne(chemiczne) produktu, np. poziom zawartości węgla w stali na jejtwardość
Poziom wadliwości w produkcji masowej, prowadzonej w procesieciągłym na trzy zmiany, od zmiany (dzienna, nocna,...; środowa,sobotnia,...)
Poziom zawartości fosforu w nawozie na dane własności rośliny
...
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
Interpretacja I:
Yi ,j = µi + εi ,j ; E (Yi ,j) = µi !
j = 1, 2, . . . , ni ; i = 1, 2, . . . , k ;
H : µ1 = µ2 = · · · = µk
Interpretacja II:Yi ,j = µ+ βi + εi ,j
j = 1, 2, . . . , ni ; i = 1, 2, . . . , k ;∑
βi = 0
µ - efekt główny badanego czynnikaβi - efekt oddziaływania danego poziomu badanego czynnika
H :∑β2i = 0; K :
∑β2i > 0
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
Interpretacja I:
Yi ,j = µi + εi ,j ; E (Yi ,j) = µi !
j = 1, 2, . . . , ni ; i = 1, 2, . . . , k ;
H : µ1 = µ2 = · · · = µk
Interpretacja II:Yi ,j = µ+ βi + εi ,j
j = 1, 2, . . . , ni ; i = 1, 2, . . . , k ;∑
βi = 0
µ - efekt główny badanego czynnikaβi - efekt oddziaływania danego poziomu badanego czynnika
H :∑β2i = 0; K :
∑β2i > 0
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
Formalne rozbicie zmienności według źródeł jej pochodzenia
Oznaczenia:
Yi · =1ni
ni∑j=1
Yij , i = 1, 2, . . . , k
- średnia wartość badanej zmiennej na i-tym poziomie badanegoczynnika
Y·· =1n
k∑i=1
ni∑j=1
Yij
- średnia ogólna badanej zmiennej
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Y··)2 =k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi · + Yi · − Y··)2
=k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi ·)2 +k∑i=1
ni∑j=1
(Yi · − Y··)2 +
+2k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi ·)(Yi · − Y··)
RSS =∑ki=1
∑nij=1(Yij − Yi·)
2 - zmienność wewnątrz poziomów
QA =∑ki=1
∑nij=1(Yi· − Y··)
2 =∑ki=1 ni (Yi· − Y··)
2 - zmienność pomiędzypoziomami∑ki=1
∑nij=1(Yij − Yi·)(Yi· − Y··) = 0
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Y··)2 =k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi · + Yi · − Y··)2
=k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi ·)2 +k∑i=1
ni∑j=1
(Yi · − Y··)2 +
+2k∑i=1
ni∑j=1
(Yij − Yi ·)(Yi · − Y··)
RSS =∑ki=1
∑nij=1(Yij − Yi·)
2 - zmienność wewnątrz poziomów
QA =∑ki=1
∑nij=1(Yi· − Y··)
2 =∑ki=1 ni (Yi· − Y··)
2 - zmienność pomiędzypoziomami∑ki=1
∑nij=1(Yij − Yi·)(Yi· − Y··) = 0
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
TABELKA JEDNOCZYNNIKOWEJ ANALIZY WARIANCJI
Żródło Suma Stopnie Estymator Statystykazmienności kwadratów swobody wariancji σ2
Czynnik QA k − 1 S2a = QA/(k − 1) S2A/S2E
Błąd RSS n − k S2e = RSS/(n − k)
F =QA/(k − 1)
RSS/(n − k) ∼ Fk−1,n−k
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
••
•
••
•
•
• •
•......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···
·
·
·
·
·
·
·
··
·
·
··
·
······
·
·
··
·
·
·
··
·
·
·
·
··
·
···
·
·
·
·
···
·
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
···
··
····
·
·
······
·
··
·
·
··
·
·
·
·
·
·
····
·
··
·
··
·
··
··
·
···
·
·
·
··
·
· ·
·
·
·
·
·
·
·
·
··
·
·
·
··
·
··
·
·
·
··
·
·
···
·
·
·
·····
·
·
·
·
·
·
··
·
·
·
·····
·
·
··
··
·
·
·
·
··
·
·
·
·
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
··
··
·
·
·
···
·
··
··
·
·
·
·
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··
·
·
·
··
·
···
·
··
·
··
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··
·
··
···
····
·
··
·
····
··
·
·
·
·
·
·
·
Źródło: http : //wojtek.zielinski.statystyka.info/Wyklady/Wyklady statystyka/statystyka 06.pdf
1
Źródło:
ANALIZA WARIANCJIJednoczynnikowa analiza wariancji
Zadanie 18 (BŁ)
ANALIZA WARIANCJIDwuczynnikowa analiza wariancji
Model
Yijk = µ+ αi + βj + γij + εijk
i = 1, 2, . . . , r ; j = 1, 2, . . . , s; k = 1, 2, . . . ,m (!)
ANALIZA WARIANCJIdwuczynnikowa analiza wariancji
Formalne rozbicie zmienności według źródeł jej pochodzenia
Oznaczenia:
Yi ·· =1s ·m
s∑j=1
m∑k=1
Yijk , i = 1, 2, . . . , r
Y·j · =1r ·m
r∑i=1
m∑k=1
Yijk , j = 1, 2, . . . , s
Yij · =1m
m∑i=1
Yijk , i = 1, 2, . . . , r ; j = 1, 2, . . . , s
Y··· =1
r · s ·mr∑i=1
s∑j=1
m∑k=1
Yijk , i = 1, 2, . . . , r
ANALIZA WARIANCJIdwuczynnikowa analiza wariancji
Sumy kwadratów
QA = s ·m ·r∑i=1
(Yi ·· − Y···)2
QB = r ·m ·s∑j=1
(Y·j · − Y···)2
QAB = m ·m∑k=1
(Yij · − Yi ·· − Y·j · + Y···)2
QAB = m ·
m∑k=1
((Yij· − Y···)− (Yi·· − Y···)− (Y·j· − Y···)
)2RSS =
r∑i=1
s∑j=1
m∑k=1
(Yijk − Y···)2
ANALIZA WARIANCJIdwuczynnikowa analiza wariancji
TABELKA DWUCZYNNIKOWEJ ANALIZY WARIANCJI
Żródło Suma Stopnie Estymator Statystykazmienności kwadratów swobody wariancji σ2
Czynnik A QA r − 1 S2A =QAr − 1
S2A/S2E
Czynnik B QB s − 1 S2B =QBs − 1
S2B/S2E
Interakcja A× B QAB (r − 1)(s − 1) S2AB =QA
(r − 1)(s − 1)S2AB/S
2E
Błąd RSS rs(m − 1) S2E =RSS
rs(m − 1)
Statystyki testu:
S2AS2E∼ Fr−1,rs(m−1),
S2BS2E∼ F(s−1),rs(m−1),
S2ABS2E∼ F(r−1)(s−1),rs(m−1)
ANALIZA WARIANCJIdwuczynnikowa analiza wariancji
Zadanie 19 (KM uczeni)
