Nowak - Statystyka matematyczna

Statystyka matematycznaRoman J. Nowak

Statystyka matematycznaRoman J. Nowak

e-mail: [email protected] http://info.fuw.edu.pl/~rjn/asd.html ! ............................................................................................................................... 1 I. Dane analiza opisowa................................................................................................ 5 I.1. Prezentacja graficzna................................................................................................ 5 I.2. Podsumowanie numeryczne...................................................................................... 9 Rok.......................................................................................................................... 11 I.3. Podsumowanie numeryczne graficznie.................................................................... 18 "!#$ % &&'( )* $+& ........................................................... 19 ................................................................... 19 .................................................... 27 ........................................................................... 30 II.4. Twierdzenie Bayesa ............................................................................................... 31

!" ............................................................................................. 33 # $% &' ( %%

!" ...................... 37 ) (% .................................................................. 41 * $% + (% !% .................................................................... 44 II.9. Modelowanie, czyli metoda Monte Carlo................................................................. 50 II.9.A. Idea symulacji numerycznej ........................................................................... 50 ,- .% & ....................................................................... 51 ,/ 0% & ................................... 52 II.10. Parametry zmiennych losowych............................................................................ 53 II.10.A. Parametry pozycyjne.................................................................................... 53 1- 234

3 ...................................................................... 55 1/ 2' % 34 .......................................... 59 15 2%" ((% (% !% ........................................................ 65 16 7 % ! ............................................................ 66 II.10.F. Momenty funkcji zmiennych losowych .......................................................... 72 ,& % $+ &&'( ................................................................ 75 $ ....................................................................................................... 75 $ (% ............................................................................................ 76 $ %% ............................................................................................. 83 8 $ .................................................................................................. 89 $ . .................................................................................................... 91 2 # $ ............................................................................................................. 98 ) $ 9 ................................................................................................ 101 * $ F............................................................................................................ 106 , :

(

% ( .................................................................................. 108 IV. Oceny estymacja parametryczna ....................................................................... 109 ; 23 %( < + %&3................................................. 109 ; 0

%&3 ...................................................................... 113 IV.3. Metoda najmniejszych kwadratw ....................................................................... 118 IV.3.A. Zasada najmniejszych kwadratw............................................................... 119 IV.3.B. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratw w problemach linowych.... 121 IV.3.C. Regresja liniowa ......................................................................................... 126 IV.4. Metoda momentw ............................................................................................. 132 ; 6%( +3: .......................................................................................... 133 V. Wnioski weryfikacja hipotez ................................................................................ 141 ; = 3...................................................................................................... 142 ; = &3 .................................................................................................... 146 &$ - % ' &+*.......................................................................... 151 &$ / % &0. +. $+&1 ................................................... 152 Zadania ........................................................................................................................ 153 Skorowidz .................................................................................................................... 197

.

1

! "# ! ! ! # wyniki i # !$ %& mathematica.i

Umberto Eco, Wyspa dnia poprzedniego.

Tablicy Obserwacyi ' ( 12 Maja 1816 ) " i pogodny !" #" ! $ Fizyka magistra filozofii i administracji Jzefa %" & ' 1841 roku w Warszawie (zachowujemy ($Godziny 4 rano 5 6 7 8 9 10 12 2 po . 4 5 6 7 8 9 10 12 2 Elektrometr 5 6 8 11 13 10 8 7 6 5 5 6 8 12 8 7 6 5 Termometr 9,3 9,5 10,5 12,1 13,5 15,5 11 20 21 21,3 20,9 20 17,5 15,5 13 12 11 10 Czas

Barometr 4 godzinie Od 4 do 8 !

i minucie 34

mglistszy

wschd od 6 8.

Wapory "$%

" # $!

Od 8 do 4 po

& !

Na zachd po 2

&

i czystm'

opada Barometr do 10 wieczr

7 godzinie 26 minucie, wapory

11 wieczr na wschd idzie $

Noc pogodna cicha

Znowu opada 4 rano

) !* " !$ * ! #

$ + oglnie (Szybler, przyp. RJN), maxyma i dwa $ * ! " " ) i $ ! ) ! " ! $ ! ) ! $ ! ) " ! " $ + %" roku 1816 *$ ! , " - '.#(

" ! ! # pogodne i konkluduje: ! # $ / ! 01 2 3 !" " %"- 42 3 * 55 " 6 - !" * 6 23 " *6+ * " - $ ! "- & %" * - 0 * ! " ! a ! 7 2 " ! * * - + " "3

* 6 "3 - 4 " " " ! " *2- 8 * " !* " " !" 93

" 9 - + 22 ! * " " przez niego danych jest - ! " *

! *- "

powoli ku zachodowi.

2

23 *- '! * !3 %" :3; 2 " 2 "- - 2 a 2 " " " 3

- + 2 przedmiocie 6 * !* * 99 na 100 osb. - 1 2 3 4 5 Rokdane (Reichmann, W. J., Use and Abuse of Statistics, Meuthen & Co Zyski 170 220 270 320 420 Ltd, London, 1961( ! 2 850 900 950 1000 1100 (w umownych jednostkach)

w zilustrujmy te wyniki na wykresie obok. Z * ! ! proporcjonalny wzrost

!- 42 * 3 * nawet

! * * * - # 3 - + !nic o sumach jakie uzyskali akcjonariusze i pracownicy - 23 * firmie pracuje 1000 osb,

a akcjonariuszy jest dwustu. W ,2( 850 ,2( * - . 1100 jednostek, co daje wzrost jego dochodw o 29%, "! 2100 jednostek, co

! " " * !* " 8 bezosobowy " " 2 3 "" ! * * 3 * - 2 23 * !*" 6 " *6 ucho.

stanowi wzrost o 147%. Pokazuje nam to drugi wykres, ktrym

pierwszej tabeli na " "

trzeciej kolumny, przy " "+

" ! $ tabele, w ! " $ 3 $ 2

ktrych " " ) ! " Roczniku$ ' " " "

" ! -! " ". ! Roczniku 7

"! ! $ 2

8AB ! " " " C95$ D" tych liczb podany jest na histogramie obok. 5 " 7 " ! ) "

! " "! $ %

" ( !

" x, histogramujmy ich logarytmy z = log10x. Funkcja " E9F CG " # " [1; ). Wynik widzimy obok po prawej i " " " " " $ D" z (( (

#

( (

(

5 " ) "

# x ! -"

" ". C95 " " "! !$ 5 ! rwnomiernym "$ " 7 naszym zbiorze. Prezentowany jest on na histogramie

$ 0

" 7 9 - .

"

7 8@ %" " " " " $ 0 " ! "

7 @ %" " ! histogramu po prawej (do ""! "

!.$ 6 " "" 7

" ! 7 !$ : 7 " " 9HAC BIA 0,444 (Czytelnikowi "

7

(

(

wykresie).

5"

"

7 x w Roczniku "

" ! ! $ 2 " " x "

"" " ECF 10) (z

awego . " "

"" C9 " " " "(

27 h x = 1 1 , 1 x < 10 . ln 10 x

%" k 7

x. ""# k, wynosi: 3 " " " C9 $ "Pk = k k +1 1 ln , k = 1,2,3,...,9 . k ln 10 Benforda: k +1 Pk = k = log10 , k = 1,2,3,...,9 k h x dx k

k +1

=

" ! ! -! 0 " " .$ %" " " " "" " J7" " "$ %

" "" 7 " Rocznika " " ( " $k =1

P < 5 Pk = log10

4

1+1 2 +1 3+1 4 +1 + log10 + log10 + log10 = log10 5 0,699 , 1 2 3 4

/ ( %

( dwuwymiarowych, czyli dla par zmiennych losowych x oraz y" #

$ x ! x, a zmienna losowa y ! y,

F(x,y)$ ( ( % f(x,y)

&

P x x , y y F x , y liczbie wymiarw.

# %

#

($

$

$ $ " #

! " ,( $ % $

$ ( ($

% !" .

$ $ 0

(

& buduje odpowiedni formalny aparat i

. 6

$ ( %$ % !

" 2 fundamentalnym, a

zdarzenie elementarne

$ ( " 6 3 ( ! $ (& $ ! 0 >? 0 >? +

" - $

>

? ($ & $ $ $ $ $ (reszka, reszka); 7 ,

%$

%

! ($ 1, 2, ... , 9; % %$

pewnym typie intuicji i

x

y

f x , y dx dy .

(

$ (

(

" #

13 983 816 elementw. 2 $ (

" $ ($

% ( & ! % $ $ $ """ $ ( ! " #

!

% " 3! !$

% $ !$

" 10 razy, a 10 %$ 11, itd. ... ; $ $ ! 0, 1, 2, 3, ... " ) z tych liczb opisuje zdarzenie elementarne.

elementarnych;

28

#

$ !

&

$

(" ) (

! $ (

$ . '

& ( (i,j), gdzie i $ j to liczba lat " #

@

( ! " ) $ @ przy grze w

, zdarzeniem elementarnym jest trafienie w i ! " ( (x,y), r w " Kwestia ustalenia przestrzeni

" -

$ (

!

bynajmniej problem ten

$

" 8 ? wynosi $ "

N C NC

* " #!$ " # $ "

$ ( w

($ % " 3 0! $oddajemy po jednej kopii szczotki dwm korektorom, ktrych zadaniem

" #!$ A znajdzie NA ($ korektor B znajdzie ich NB, przy czym pewna liczba NC (

(" '

! $

$ (

N, elipsa pokazuje A, NA wszystkie NA znalezione przez korektora A, natomiast B, NB

wszystkie liczbie NB wykryte przez korektora B. W ten sposb elipsa obrazuje zdarzenie A + $ zdarzenie B + " 3! ( C " 7 $ terminologii rachunku prawdopodobi

$ diagramami Venna" #

P(A) oraz P(B) A oraz B %! &NA , N N P B = B . N P A =

-

($

C9 *

$ &NC . N # C ! ( A oraz B$

C PC =

! &

* $

! $ &P A B =

PC = P A B .

&P A B =

NC NC N B NC = = P B , N NB N NB NC NC N A NC = = P A . N NA N NA

Stosunki NC N B oraz NC N A ( A ( ( przez korektora B & ( B ( ( korektora A" 8 ! & NC N B

przez korektora A B$

& pod

31

warunkiem B, oraz: NC N A

B pod warunkiem A" *(! $ w

($ jedynie do pewnego ($ " 8

" 1& N N P A B C : P B A C , NB NA ! (

( w formie: P A B = P A B P B , (II-8) P A B = P B A P A . * "

. 8! P(A|B) nazywamy

i odczytujemy je jako:

A $ 0 zdarzenie B" * ! (! &

A i B. W tym drugim mwimy o

%

$ (

$ mwimy o

%

$ (

$ " 7(

"

$

" wszystkich osb w kraju. Niech N " populacji. Niech NK w tej populacji, natomiast ND !P K = natomiast: P D = NK , N ND , N

" "$ ""# " (

""# " $ 3 NKD "

""# wynosi:N KD . N 5 ""# losowo wybrana kobieta " ( N KD P D K N KD = N = = P D K , NK P K NK N ""# $ > "

K ""# warunkowego jest zadane ) " ) P(D|K) ""# " " ! $ P K D =

# &

$

$ ($

$ , lecz !$ (

" #$

warunkowe, zdarzenie ktre umieszczamy po

! + $

0

!

$ !$ !

$ przed znakiem kreski pionowej.

II.4. Twierdzenie Bayesa#(! ( % (II-8)

P(AB) (& P A BP B = P B AP A (

& P B A P A . P A B = P B - A $ ! 0$ BB zdarzenia B czyli B

B$ (! >(!?

$ 0!

a posteriori P(A|B)

A na podstawie informacji P(B|A)

32

%

o skutku B" 8 P(A) oraz P(B)$

a priori

$

P(B|A) to tzw. funkcja$ ( " #

!

$

"

ktrej mamy wiele przyczyn Ai $ (

? ! "$ " " " "

7

"

C8K$ 5 " dwjkowym, aby w

" "

! , "! ! $ 2 W0 zdarzenie 9 natomiast symbolem W1 "

C$ ? "+ O0 dla " " 9 odpowiednio O1 dla odbioru bitu 1. W

" "" C " 9 " 9 # " C$ ""# i "

"

$ >" "" . nadam bit 0, to " bitu 1 i odwrotnie: C " 9 $ / 0

w tym zdaniu. Wiem ) "

) ""# " "( " 7 " ! $ 4 opisuje ""# : 6

"

! ""# P(O0W1) lub P(O1W0. " ""# "

"

# " "# W0 oraz W1. Taka

# " ""# ! P(O1|W0) oraz P(O0|W1) $ %

" "

$ C$ & " " $ 3 7

ym

"

" " $ 3 "

" $ %" " " $ 4 "+ ""#( P(O0), P(O1), P(W0) oraz P(W1. " 9 C 9 C$ 3 "" ""# P(W0) jako p, to naturalnie P(W1) = 1 p. 2" C

" "! ! "#( O1W0 9 "arzenia O1W1 C $ ' "

O1 "! "#( > " " "" " zapis zdarzenia O1:O1 W0 O1

PO1 W0 = PO 0 W1 = .

W1 .

" W0W1 "

# W ! "# $ % "# O1W0 oraz O1W1

! ""# ""# P(O1) zdarzenia O1 ""# "#bardziej elementarnych:

O1 W0 O1

W1 = O1 W0 W1 = O1 W = O1 ,

2 " "# ! 7 $ 6 (II-8) ""# !(PO1 = PO1 W0 + PO1 W1 = PO1 W0 PW0 + PO1 W1 PW1 = p + 1 1 p .

PO1 = PO1 W = PO1 W0 W1 = PO1 W0 O1 W1 = PO1 W0 + PO1 W1 .

> ""# P(O1|W0) = 7 ""# P(O1|W1.

" "( P(O1|W1) = 1 $ 6 ""# P(O0|W0)./

&

P B = P B A1 P A1 + P B A2 P A2 .

33

& &'

" = (! Ai$ ( !

B. W tym celu wykorzystajmy najpierw fakt wyczerpywania przez zdarzenia Ai

& = Ai ,

i

!

B jako:P B = P B = P B i

A

i

= P

i

B A

i

.

8

Ai $ takiej sytuacji zdarzenia BAi

$

! $ nast (II-8):P B = P

i

B A

i

= P B Ai = P B Ai P Ai ,i i

! ( " 8 " twierdzenie Bayesa: P B Ak P Ak P Ak B = , P B Ai P Ai i

(II-9)

(

0( ( ( (

"

%

" " "! " ( " 1, to ""# " @ 3 o ""#o warunkowe P(W1|O1. " " ""# P(O1|W1) = 1 . ? ""

" " "

J (II-9):PW1 O1 = PO1 W1 PW1 PO1 = PO1 W1 PW1 PO1 W0 PW0 + PO1 W1 PW1 = p . p + 1 1 p1 1

" "

P(W0|O0. ""# 9 odebrany bit 0: PW0 O 0 = PO 0 W0 PW0 P O 0 = PO 0 W0 PW0 PO0 W0 PW0 + PO 0 W1 PW1 =1 p 1 p + 1

p

.

>

! $ ""#

$ = 99C 7 " z bitw 9 bitw 1, czyli p = 9L$ %" ""# P(W1|O1) jak i P(W0|O0) 9AA$ 3 " ! C " 98L " parametru p, wtedy P(W1|O1) = 0,9966 natomiast P(W0|O0) = 9AK9H$ & " w 7 9 " 7 " itu, C

" w " $

!"

#$

,

(II-7) , dyskutowane w Rozdziale II.2. W naszym korektorami

$

ktregokolwiek z korektorw: N N N P A B = P A + P B P A B = A + B C . N N N *(! $ ( ( ( ("

(

D ! " " - . " - .$ >"7(

zdarzenie A liczba wylosowana z tego zbioru jest podzielna przez 3, oraz: zdarzenie B liczba wylosowana z tego zbioru jest podzielna przez 7. : ""# P(AB. " tego zbioru jest podzielna przez 3 lub przez 7? W " MM "

M ""# P(A) = 33/100, "! K CB ""# P(B) = 14/100.

343"

" M K

zbiorze liczb od 1 do 100 mamy 4 licz( 8C B8 HM NB "

P(AB) = BIC99$ ""# ( 33 14 4 43 P A B = P A + P B P A B = . + = 100 100 100 100

- A oraz B (& AB = $

$ lub jak to mwimy: zdarzenia A oraz B $ $

(II-7)

& P A B = P A + P B ,

" 8

"

(

3 " ""# " "

""# ( 8 B H " 9L$

II.1.a "+ ""#

2

natrafimy w parzystym rzucie: Pk = 2, 4, 6, ... =k = 2, 4,6,...

Pk =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +... = 1 + + +... = 1 + + +... = = . 4 16 64 4 4 16 4 4 4 4 1 1 3 4

2 " 8IM "$

.

" - f(x)

losowej x$

$ ! a oraz b

>?

f(x)dx$

[a; b]:Pa x b = f x dx .b a

# &

( w szczotce$

(" 8! ( (

$ %

" 80 $

$ z $ ( B

korektorowi A" 7

$

$ A NC ( ( NB

(" - $ !$

& N P A = A , N

(& N P A = C = P A B . NB * %$

A

B. Zdarzenie B

A. O takich zdarzeniach ($ #" . To, czy korektor A $ $

B

" 1 $

wynosi: P A B = P A P B , (II-10) $

$ & P A B P A P B = = P A . P A B = P B P B #

%

P(A|B), a prawa strona mwi $

B$

" 3

($

$ " wydarzenie A

B, to B

A.

(

do gry. Jakie jest k jako sumy oczek na dwch kostkach? Nasza populacja, lub jak to niekiedy mwimy: " ( 8 3, 4, ... , C8$ % tabeli wszystkie "

$ =" elementarnych konfiguracji oczek na obu kostkach jest rwnie prawdopodobna i, z

"# ""# ""#

"

35

" "

CIMH zgodzie z ! , ! MH - "" "

".$ & " ""# " " i liczby 36 czyli rozmiaru przestrzeni prbek.

" k Sposoby

""# "! "# 2 (1,1) 1 i ""# . Z naszej tabeli 3 (1,2),(2,1) 2 ""# 4 (1,3),(2,2),(3,1) 3 H LIMH$ ""# 5 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 4 zdarzenia i jednoczesnego uzyskania parzystych liczb 6 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 5 oczek na obu kostkach dane jest przez 2/36, bo tylko pary (2,4) i -B8. $ 5 7 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 6 ""# przy warunku 5 8 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) ! 8IA 9 (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 4 "

# " 3 10 (4,6),(5,5),(6,4) ! "$ 11 (5,6),(6,5) 2 7 1 12 (6,6)

" !( ""# 8 B H " CIM "

$ ""# " parzysta parzysta ""#( (1/3)-CIM.$ 4" " " " $ > ""# bezwarunkowym lub absolutnym, i ""#

" +

!" "! "# zdarzenie warunkowe.

(

To, czy dane zdarzenia

! "#$ " " II.5.a ! "# A -" przez 3) oraz B -" K.$ ""# P(A) = 33/100 oraz P(B) = 14/100 wynosi P(A)P(B) = 462/10000 = 0,0462 i iloczyn ten nie jest rwny ""# P(AB) = 4/100 = 99B " " (II-10) "!" " "

$ D " 101, 102, 103, 104 i 105. W tak zdefiniowanym z "#

! ML "! M CL "! K L "

"

M K$ 4 ""# ( P(A)P(B) = 3515/(105105) = CI8C$ ""# "# tym razem wynosi: P(AB) = 5/105 = CI8C " "

(II-10) "

$

# !

. Mianowicie, z (&P A =

$ (

$ $ !&N

N A NC = N NB

$ % ( ( to:P A =

NA NB , NC

#( (II-7)

A oraz B: $ 0!

" A, B oraz C $ &P A B C = P A + P B C P A B C = = P A + P B + PC P B C P A B B C = (II-11) P A B = P A + P B P A B

NC N , P B = C . NB NA

-

$

!

& (

= P A + P B + PC P B C P A B P B C + P A B C .

P A B C = P A + P B + PC P BPC P AP B P BPC + P AP BPC .

36

A X C B

D Y

" " " ! " "#. Obok na rysunku podany jest schemat " " elementw A, B, C, D, i E " punktami X oraz Y

7$ :7

z jednego punktu do drugiego tylko wtedy, gdy istnieje przynajmniej jedna

$ " "

p, przy 7 "

7 !$ 3 ""# P " X oraz Y " @ & X mamy do wyboru dwie drogi: przez element A albo przez element B. 3

" A, to warunkiem koniecznym dla dotarcia do punktu Y " elementu D "

C jak i elementu E$ 3 A, B, C, D oraz E " "

! "

" X do punktu Y

A wybierzemy jako pierwszy element

"( A D C E $ " " 7 "(

2 2 2 2 2 2 2 R x y , x + y R . R 4 >

"

losowej x. W tym celu " f(x,y) ! !

y$ ' " o x

y

" f x, y = R 2 x 2 do + R 2 x 2 2 f1 x = R 4

" (R2 x 2(

R x

8 2 2 2 2 2 R x y dy = 3R4 R x 2 . 2 2

3

&

" " R = C $ " " znajdujemy i " "

$ 5! " " (2 2 2 f x , y 3 R x y = h y x = . 3 f1 x 2 2 2 4 R x

Parametr x " " )R do R, natomiast zmienna y " " R 2 x 2 . Funkcja h(y|x) " " x. > x oraz y " " 7 $ R2 x 2 a

8(! % (II-13)

&g x y 1

- zmiennej losowej x y: g(x|y) = f (x), $ & f x, y = f x f y , $

.1

f x , y . f2 y2

(II-15)

)

% 7 " 'O

" "

"(

gdzie m

T " k $ J$ D" 7 ! 7 "! (

m 2 exp m v 2 + v 2 + v 2 , f vx , v y , vz = 2kT x y z 2kT

3

< vx , v y , vz < ,

f vx , v y , vz =

m m 2 m m 2 m m 2 exp vx exp vy exp vz . 2 kT 2kT 2 kT 2 kT 2 kT 2kT

Ta faktoryzacja ""

"! "

" vx " $ " vy vz. =" czynnikw zwany jest

$ 5 "(

"

x ; ,

x 1 exp 2 2 2

2

,

opisana jest dwoma parametrami: oraz ! "

= 0 oraz = C$ P " " " "" "

: ani " " ! -LIH.6 CIM "

! "$

+

&"+ #

" ! ! ! " " $ 3 8K

) " "

42

w $ =" ! "" "

" i

$ * " 8K3 = 19 683 ! $

- $ ( ! n

($ n 1, trzeci na n 2 k-ty element na n k + 1

( 0 $ k osb na n & ! n $

!

n 1 $ $

n 2 $ " (n)k tzw. k-wyrazowych wariacji ze zbioru n elementowego: n k n n 1 n 2 ... n k + 1 . - ! ( ( $ ( n! permutacji *$

( n ( ( n $ " n osb na n & n ! n n 1 n 2 ... 2 1. 8 ( $ 0! = 1. Znak silnia !? ! k-wyrazowych wariacji bez (

(& n! n k = n n 1 n 2 ... n k + 1 = . n k !

+

3 n kul w n ! " nn sposobw. W n! przypadkw " " $ & " ""# zdarzenia wynosi n!/ nn$ 3 " " "! "#

KRIK7 999H$ 2 " " " "# " " " M " "# ktrym w " " " "$

+

3 k "# " w roku, to szansa Pk " "# " k ! " " " k ! -MLH.k " ! ! " " k w trzystu " "! wynosi: 365 365 365 1 365 2...365 k + 1 k = = Pk = 365k 365k 1 2 k 1 = 1 1 1 ...1 , 365 365 365

( k Pk +1 = 1 . P , P = 1 , k = 1,2,3, k 1 365 % "

$ 3 ! !

# " ""# " " $ 3 " k = 8M ""#

9L " 9L " "" ! " " " " $ 4 " ""# " 9AK$

.

prbki k-elementowe$ $ a,

(0 b$ ( ( ( ktrej b, a po nim element a" 7 ( (" - $ ( ($ z liczb (n)k$ ($ k!$ ($ ( (" . ) jakie ! k ( n obiektw, wynosi: n n n! k (II-16) k ! k k ! n k !

kombinacji . Innej interpretacji

k identycznych obiektw w n (" 8 (n)k

($ ( !$ ($ ! ! (n)k przez k!" $

43

( ! 6

($ ( 0( ! 3 (

& $ z w " 3! % $ powtrzeniami i bez,

" /

powtrzeniami ale tylko %$ !

#(! (" 8(

uwagi $

" 80 $ ! " ' ( n ( !

& KMKKMMKM... itd. w (

k kobiet oraz n k " E n ( ! na n!

($ k! osb (kobiety) oraz (n - k)! ( 0 ( ($ ) '$ ( k liter K oraz n k '$

(" ; schemat znajdujemy w :a + bn

jedynie w pewnych szczeglnych sytuacjach, ktrych my w !"

=

>n po k zwany jest symbolem Newtona" 8( $ ( &a) b)k =0

n k n k a b k = 0 k

n

,

(II-17)

k a k bn k = 1, =

m j=0 j kk

n

n

dla: a + b = 1, n . jn+ m

(II-18) (II-19)

m + n k

# $ $ % ($ 0 por (( x

&1 +

x 1 + x = 1 + x

n

m

.

+

liczby karpi !" $ & N $ 4 " " ! K$ % " " $ 3 " J 5" ponownie " n $ ; populacji " # -

# " 7" "

( " ".(

N n

.

5 " " ! $ > ta wynosi k$ 2 n k $ 2 7 " $ ; k ! " K wszystkich oznakowanychna:

K k

n k " N K na: $ * k ryb oznakowanych i n k # " #$ & " ""#

k ! " (

N K nk

44

= 0,1,2,3,... , K = 0,1,2,3,... , N , , dla: k N, K , n = N n = 0,1,2,3,... , N , n !0 k min K , n D" hipergeometrycznym$ % N, K oraz n k

K N K k nk

N

$ * " " (k =0

n

k N , K , n

=

" (II-19). % " N "

" $ D

" ! "

" " ! "

$ 4 " " " 7

" " " " !

$ 2 " " "

" " "

"

" $ > N " $ % ! " K/N$ > " ! " (Podobny schemat znajdujemy w losowaniach popularnego totolotka " " N = 49 liczb losowane jest K = 6 liczb, a klient totalizatora wybiera n = H " 7 k z nich. ? ! "! . W tym przypadku, ze N detali, gdzie N " n " ! " k detali z defektem. Z "! ! K wszystkich wybrakowanych produktw.

N n

1 n

K N K k =0 k n k

=

N n

1

N n

= 1,

N.

K k N n

N

Kn k

n! k1 ! n k1 !

( (

" . k2 (

n k1 wolnych miejsc, a ! n k1 ! k2 ! n k1 k2 !

7 ( (!

" -

$ ( % $ $

( " - n samochodw, a k1 $ $ $ !

(" 8 $ ( $ ( %$ (

kj = n k1 k2 ... kj 1 pozostaje nam tylko jeden sposb ustawienia: n k1

k2 ... k j 1 !

-

$ $

( k1 samochodw osobowych, k2 $ k3 takswek, k4 autobusw itp. wynosi: j n k1 k2 ... k j 1 ! n k1 ! n! n! = ... , ki = n . k1 ! n k1 ! k2 ! n k1 k2 ! k j ! n k1 k 2 ... k j ! k1 !k2 !... k j ! i =1 1 ($ # *. Identycznym rozumowaniem $ n- & n 2 n! k a1 + a2 + ... + a j = k !k !... k ! a1k1 a2k2 ... a j j . j k1 ,k2 ,..., k 1 2j

k j ! n k1 k2 ... k j !

=

kj! k j !0 !

= 1.

* (" # $ (

3

" 8

$

! %" 6 $

! skali, ktra jest tam powszechnie stosowana, a

* $% + (% !%

45

w

=" - 9 ( kwadratw o ( x (" #!$

% f(x). - (9 ,

!

% losowej i (

% " Dla zmiennej dyskretnej

" losowa k % k = k(m)

m, a

Pk $

losowej: Pk = Pm" ' !

" - wyniku zamiany, niektre z $ " m1 oraz m2

y = y(x) ! k zmiennej losowej k$

Pk !$ !

Pm1 dy oraz Pm .2

2 $ " x o

f (x) oraz zmienna losowa y$ f(x) zmiennej losowej x

y = y(x). # $

$

% x = x(y). Niech [x1; x2] zmiennej losowej x i niech y1 = y(x1) oraz y2 = y(x2)" #

$ x x x1 a x2 dx

$ o ( $ &g(y) dx x

P x1 < x < x2 =

x2

y x2

f x dx =

x1

y x1

y2 dx dx f x y dy = f x y dy = g y dy . dy dy y1 y1

y2

-

$ ! y2

! y1 i

P(y1 < y < y2)" -

$ ! y2

! y1$ ! !

&

dx P x1 < < x 2 = f x y dy = f x y dy y1 y1

y2

y2

y1 dx dx dy = f x y dy = g y dy = P y2 < < y1 . dy dy y2 y2

y1

1 ($ % g(y)

losowej y zapiszemy jako: dx g y f x y . dy ,$

"

(II-20)

,

3 " "

$ %"+

y "7

(

y = F x =

x

f x dx .

Funkcja g(y.

(II-20) ( dx 1 1 = f x y = f x = 1. g y = f x y dy f x dy dx zerem a "7 " " $

6 " "

" " " $ " " ""

(x;) = exp(x)$ J

" " "

x:x=

-

D

"$ 5! 7 " " ":

y " " C y 1 x = ln y " " " " y " $

1 ln1 y

.(

46

,

5!

( y = x2 f(x) obejmuje zarwno dodatnie jak i ujemne x$ D ""#

x w symetrycznym $ 7 " x = y " ""! ujemnych zmiennej x

" (P x < x < x =x

4 " "" " 7

"

(y

x

f x dx =

0

x

f x dx + f x dx .0

x

1 1 P x < x < x = f x dx + f x dx = y + f y dy = P y < y . f 2 y x 0

0

x

& " 7 g(y. " zmiennej losowej y "

(g y =

0

3 " f(x. wtedy: g y ; = parametru .

1 1 f y + f y . 2 y

: 1 f x; = 1 + x , 1 x 1 , 1 1, 2

" "

" " %

" " "! ""$ 3 " " ( -

" "

x):g y = f x = 1 , 0 x 1, 1 f y 1 1 = , 0 y 1. 2 2 y y

1 1 1 1 1 1 y + 1 + y = , 0 y 1, 1 2 y 2 2 2 y

%" ! " " "

" ! " "

$

# $ y = y(x), x ! $ (

i (

!&dx1 dx dx + f x2 ( y ) 2 + f x3 ( y) 3 + dy dy dy gdzie xi(y) ( y = y(x). g( y) = f x1 ( y )

,

8 ( $

( " $ $ " Poissona:

oczywiste po opanowaniu tego wariantu. Dla przypadku dyskretnego

zmiennych losowych k oraz j$ (

#

$ & k, a druga j dane jest, na

(II-12)$

&Pk , j =

k

=

k e . k!

(II-21)

k j

=

- sumy m = k + j$ ! (k,j)$ (

( m" ' ! &Pm =k + j =m

k j k j 2 e e = e . k! j! k! j!

Pk , j = e

2

m 2 k mk 1 m! k !m k ! = m ! e 2 k ! m k ! k m k = m ! e2 , k=0 k =0 m

m

(II-22)

47

! (II-17) " - $

#

($ #

$ " / 3 (! %$ ( #

#

" . %

f(x,y) dwu zmiennych losowych x oraz y

& u = u(x,y) i v = v(x,y) wzajemnie jednoznaczne. Oznaczmy przez x = x(u,v) oraz y = y(u,v)

S

[a x b; c y d], ktry w

Q, w ktrym jakobian:x u J u, v = y u

" * $ &b

x v y v

Pa x b, c y d = f x , y dy dx = f xu, v , y u, v J dudv gu, v dudv ,c

d

Q

Q

$ %

losowych u i v wynosi:

a

gu, v = f x u, v , yu, v J .

(II-23)

# $

$ ! $ ! ( $ a

!"

,

x x 1 b 1 1 u bv u v = a o jakobianie: J = a a = . y y a 0 1 !y = v u v & " " dwuwymiarowego: 1 1 gu, v = f u bv , v . a a %

" u = x + y: g(u,v) = f (u v,v) " u = x y : g(u,v) = f(u + v,v). D" "

u "

"

v "

(II-22). W przypadku sumy dwu zmiennych losowych

! "! f1(x) i f2(y. (II-15)

(

5! " " 7 f(x,y) ""# ! ! x i y. / ( u = ax + by "+ $ 4

"

( v = y.

" " ! ! (x=

gu =

+

f1 u v f2 v dv =

+

f1 v f2 u vdv

(II-24)

" " zmiennej losowej u. %

( splot funkcji. " " "!

! ! losowych t1 oraz t2 !" ! " " (t;) = exp(t) o tym samym parametrze $ D" 2(t;) sumy t = t1 + t2 dany jest przez:2 t; = t; t v; dv = 2 e v e t v dv = 2 e t dv = t e t .

+

t

t

3 " ""

t3 " " (t;) 7 2(t;):3 t; = 2 t; t v; dv = 0 t t

0

0

2

v e

v t v

e

dv = ek 1

3 t

t

3 k ! ! "(t k t; = e t , k 1 !

0

0

vdv =

t 2

2

e t .

(II-25)

48

" Erlanga, a dla k " ) " gamma - " " 7 Eulera.$ 3 " " " " $ ,

i jakobian to:

D

u = xnym u x = n m v y = v

do ktrego dodamy: v = y$

" mn u 1n 1 . n v m n = n n 1 m u v 1

x u J= y u

x 1n 1 v = n u n 1v m y 0 v

& " (gu, v =

%

" u = xy :natomiast dla ilorazu u = x : y

1 n

u f n m , v v

n

1 . u vn 1 m

gu, v = f

u 1 ,v , v v

dla danej sytuacji.

D" "

u "

v w ! !

gu, v = f uv, v v .

2 " ! ! " ""# " !

! !" ! " 0, < x < . 2 2 + x 2

x v2 1 1 1 y 1 2 = v exp , dv = 2 x y 1 2 u2 2 2 2 2 2 x y x 2 + +u +u 2 2 2 2 y x y gdzie wprowadzony parametr wynosi 2x/y "

2

Parametr " $ " J ) % " w -! 0 " " 7.$ 3 8 a = 9 " f(x; = 0, = 8. " 0!S.

,

omawianym w Rozdziale II.2.

>"+ " ""# " " J" % " . " "

" " "

osi x$

" " " E)CF 1].

3" "" " " E9F CG " " " x oraz x $ 2 7 "

losowej x " " (

49 f x = 1 , 0 x 1. x= 1 4 L2 , 2

4 L ( 7 " g L wynosi:g L = f x L

L = 2 1 x2

&"+ (

dx d 1 L = , 0 L 2. 4 L2 = dL dL 2 2 4 L24

2

2

4 1 LdL 1 dz 1 = %z = L2 & = = 2 4 z = 1. g LdL = 2 4 L2 4 4 z 4 0 0 0

&" ""# PL wynosi 1/2:2 2

3 " 3 , istotnie4 4

0

1 LdL 1 dz 1 1 = %z = L2 & = = 4z = . PL 3 = g LdL = 2 2 4L 4 4 z 2 2 3 3

" " " " " " " " # $ = " " jed " w " "" " " " E)/2; I8G$ 3" problemu pozwala ! " " E9F I8G " " "7 " (L = 2 cos = arccos

3

3

" " ) oraz +$ , " 7 " g L " (g L = f L Kontrolujemy warunek unormowania:

f 2 f = , 0 , 2

L 2

(

d 2 d 2 L = arccos = , 0 L 2. 2 dL dL 4 L22

2

2

2 dL 2 2 L = arcsin = arcsin1 arcsin0 = 1, g LdL = 2 4 L2 0 00

" ""# PL wynosi 1/3:2 2

3 " 3 , istotnie1 3 2

2 dL L" 2 = z = # = PL 3 = g LdL = 4 L2 ! 2$ 33

dz 1 z2

=

2 arcsin z

1 3 2

=

=

"+ " " " $ " "( x oraz y$ , "

(1 , x 2 + y 2 1. , 7 !( r ) " " " " " ) " " $ x$

! dxdy w zmiennych biegunowych wynosi rdrd 7 F(x,y) ( r f r , = , 0 r 1 , 0 2 . 3"

" " r F x, y =L

3 2 2 1 = . arcsin 1 arcsin = 2 2 3 3

r

" " " " "

50

$ 2 funkcji f(r, . " !" " " brzegowego: 2 r 2 hr = f r , d = d = 2r , 0 r 1. 0 0 > " " L a odcinkiem r (1 L L 4 L2 . =1 r = 1 = 2 2 2 & " " " " ( 1 1 1 d L dr 1 = 2 4 L2 4 L2 = 4 L2 = L , 0 L 2. g L = hr L 2 2 dL 2 dL 4 L2 2 6 " ( ( % 2 12 1 2 LdL = L2 = 1 g L dL = 20 4 0 0 r2 +

2

2

$%

""# PL 3 :1 2 1 2 1 1 LdL = L2 = 4 3 = . 3 2 3 4 4 4 Na wykresie obok przedstawion 7

" " Bertranda w II.2. PL 3 = g LdL 3

2

=

!

II.9. Modelowanie, czyli metoda Monte Carlo

C

%

$ ( ! $

$ 'Carlo, ktra polega na numerycznym modelowaniu badanego zjawiska. II.9.A. Idea symulacji numerycznej

' ' 3 !

E" Lyons, Statistics for Nuclear and Particle Physicists, Cambridge University Press, 1992" #!$ !

Adam ma 15 lat, a Ewa 12; 12 a 40 ! @ $ 12

$ (

+ i $ ( 0 $ ( " #

& 15 " - $ @ >?$ $ (

0,25 $ >?$ (

0,75(1 0,9 n) $ n

15 lat, plus dodatkowa szansa 0,25 @ >? 0,3 a niewiernych 0,7;

@

0,98$ 0( 0,01, trojaczkw 0,0075 i reszta

( $ >+? $ !@

0,51;

0,95 zarwno dla matki jak i dla dziecka;

0,97 dla kobiety i 0,95 " # tej kolonii po np. 200

" # (

" '

$

$ (

! na przedziale [0; 1]$ (

" ( !

(" * w " -

0,25 + 6 4 " E

0,98 $

0,98 a 0,99 ($

0,99 a 0,9975 i w

0,9975 ( (" 2 ! " #

0,51 to mamy $ w " .$

51 $ " #

$ ( >?

drodze sprawdzamy, czy dziecko (dzieci) i (" #

2 lata obserwujemy$ $ 6$ 4 " #

$ % " #

" ' !$

$

w stanie rozkwitu. W

$

(! $ "

1000 $

!

$ " ' 3?

" ' ' 3

%(

(" * > ?

powszechnie uznawany jest francuski przyrodnik, G. L. Buffon. W 1777 roku

$ !

( ( $ (

z

" C%%?

" C%%

ba $ , a w (0 (

razy na liniowany papier, w celu eksperymentalnego wyznaczenia ludolfiny. " 8

- . / - $ $

$

#

[0; 1],

II.8.a pokazuje nam jak, w $ !

$

! $ $ !

$

informacje o % ( ($ ( $ (0 naszej pracy, gdy przy do

naszego komputera). Metody symulacji ( algorytmw generowania " 8

" 8 (

zaopatrzony w

z kolejnymi liczbami naturalnymi, ktry to cylinder zatrzymywany Geigera Mllera

" ;

($ ( (" #

$

+ " #(

m-krotne takiej

procedury daje w wyniku m (.1 $ & $ komputerach przy pomocy rekurencyjnych algorytmw postaci: x n +1 = a0 xn + a1 x n 1 +...+ ak x n k + b (mod M ),

ziarno) pierwszych k + 1 xi " systemowego. Operacja mod oznacza branie reszty M" E z [0; 1] xn+1 przez M. Parametry a0,..., ak, b oraz M ! " 8( (

$ "

x i podstawieniu jej do wzoru w celu" .

$

prosty wzr:

Dla x0 = 1$

dobr parametrw a0,...,ak, b oraz M$ ! $

x n +1 = 3x n (mod 15) . & 3, 9, 12, 6, 3, ... o okresie 4" .

" ; (

$ %

" 5

( !

$ ( (

" * %

% " 8 %

! &

$

52

!$ ( % 0 1$ z 0 100, albo np. od 1 do +1 ( $

%

! @ !$

$ ! w $ ! ; !$ !$ "

? $ ( y = f(x) w tych obszarach, czyli do

x " 8 $ %

%$ $ granicach od a do b, jako

( (

" 8 !$ ( $ ! c ! % + ! $ % $ ( $

! (" .

! ! $ 0!

% g(x)$ (

$ (

c

! f(x) (" ? % 7 ;"F" 1 $ qi $ rwnaniem: Fqi =qi f x dx

=

!2 3

xi$ ! $

! dystrybuanty F(x), a tym samym i %

f(x). Kwantyle qi $ $ punktami, $ "$ u, z ( " 8 par (xi, qi) kwantyli oraz danych z " wykres kwantyli, zwany wykresem .D " " logistyczny " " (F x ; , = 1 1 + exp !

) *

i n +1

(II-26)

. x " # $ wynosi 10, a parametrowi

yi =

1 1 + exp ! xi " # $

xi = ln

1 1 , yi

" 8 " " " "" xi,:

" yi !" " " [0; CG$ / 89 -. ! qi

" (

(i = 1, 2, 3, ... , 20) wg (II-26): 1 i n +1 i . = qi = ln " $ n + 1 1 + exp qi i Wykres obok przedstawia uzyskany diagram probitowy par (xi , qi )$ ! q

q=

"! = 10, a jego !

" " " "

A ! HICC$

x ,

55

= T:T wyniku prac belgijskiego matematyka Pierre Francoise Verhulsta '! " $ J (I-1) "

" $ D U! ( (

dN N = N 1 , dt

N t =

. 1 + exp)t t0 *

!2 . 4

!

&

Oto liczba k dzieci w dwudziestu rodzinach krewnych i znajomych autora niniejszych notatek: 2, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2 oraz 1" G tej prbce znajdujemy jako: 1 34 = 1,7 . k= 2 + 1+...+1 = 20 20 ' 0!

($ k 0 1 2 3 4 ! nk

$ " G nk 2 6 9 2 1 k=

4 4 n 1 4 knk = k k = kFk , n k =0 n k =0 k=0 Fk

k " 8$

Pk$ (

(!

&

Ek k k

k =0

kPk ,

(II-27)

" /

$

( !2 .

dyskretnej zmiennej losowej k

Pk. Jak . zmiennej "

k =0

( +

= kk = k k =0

4 " " dyskretnej " Poissona (II-21): k

k!

e = e

k = k =1 k 1 !

" " " = 10. %" " ""

C9 " " $ 6

" " " ! $ " " geometrycznego (II-2), dyskutowanego w " II.1.a " zmiennejlosowej k wynosi (stosujemy oznaczenie q = 1 p): k = kk =1 k =1 k =1

k 1 m = e =, k =1 k 1 ! m= 0 m ! na mocy znanego wyniku analizy matematycznej: xn ( ,- n! = e x . n =0

= e

d d d k p = 1 q kq k 1 = 1 q dq q k = 1 q dq qk = 1 q dq q q m = k =1 m= 0

d q 1 1 = . = dq 1 q 1 q p 4 p " " " "$ & " - . " p = 9C

< k > C9$ = 1 q2

( !

zmiennej losowej x" 2 k 0! nk w " G

56

&

arytmetyczna

xk z prbki, podczas gdy w !x=N N n 1 n 1 N xi n x k nk = x k nk k = x k fk k , n i =1 k k =1 k =1 k =1

gdzie x[k] $ " $

! N (" *(!

fk" - n danych $

7 ;;"A

$ ! ! k$ ($ " 6 $ $

($ %

!& x k f k k n xf x dx . , 0 k =1 / ! zmiennej losowej x %

f(x):k

N

E x x x

xf x dx .

(II-28)

; $ zmiennej losowej, mamy trzy formy " < ! "

!2 .

" " Gaussa:

1 x = 2 1 = 2

x exp

x 2 2

2

dx = 'z = x ( =

1 2

z + exp

z2 dz = 2 2

7 "

" " " " Gaussa. Tym samym parametr " + " $ > S = D2 D = S + " ""# (II-20) pola powierzchni S:1 1 1 dD = = , Sa = a 2 S b 2 = Sb , dS b a 2 S 2b a S (II-28): g S = f D S

1 = Sg SdS = 2b a Sa

Sb

Sb

3"

" (II-31):

Sa

1 S dS = 2b a S

Sb Sa

SdS =

Sb Sb Sa Sa 2 = b + ab + a 2 . 3 3b a

= S D f DdD =a

b

2 " "

$ 5 ! " ! + " D = (b + a)/2?S o "$

b 2 2 3 3 2 D dD = b a = b + ab + a . 3b a 3 ba a

0 ! S " ! S(D) kulkiE(y|x) zmiennej losowej y:

= 2 = b + a2 . 4

7 % !

(II-32)

y

x y x

y

f y x dy =

y

f x, y dy f1 x

!

E(x|y) zmiennej losowej x:

59x

x

y x y

f x y dx =

$ % x(y) argumentu y oraz y(x) argumentu x" 1 krzywych regresji pierwszego typu zmiennej losowej x y dla x(y), lub zmiennej y x dla y(x). W ( 0 (x,y) " *$ uzyskujemy jedynie dla przypadku zmiennych $ $ z % (II-15) %

$

$

&

x

f x, y dx , f2 y

(II-33)

!2 .

y =

x

f x, y dx = f2 y

f x f2 y x 1 f2 y

dx =

xf1 x dx

= .

>"

pierwszego typu zmiennej y " x " " " !? (9 6 ( ( !9 Aby przestrzec przed przyczynowym

( korelacyjnych$

$ (

" 1( $ , *

danym stanie i poziomem alkoholizmu w tym

$

( ! ( hektolitrw alkoholu" . Europy ( a $ ! ") '

*

( $

( %! ( $ ( $ &rn 1 x i x yi y . sx sy n 1 i =1

(II-49)

- !&

$ $ !$ ( $ ! &

1 n xi x yi y , n i=1

i , j covi , j

i

i j j

i, j = 0

i i j j Pij =

ij i j

(II-50)

68 dla zmiennej dyskretnej, oraz: x

x, y cov x, y

x x y y

x y y f x , y dxdy = xy x y

(II-51)

" 1 kowariancji zmiennych losowych i jak widzimy, " 4 !

! % $

(" ;

$ (

$

nnej losowej x, zmienna y " ; $ $

x, zmienna y " 8!

% (II-50) oraz (II-51). -

$ %

f(x,y) dana jest iloczynem %

f1(x) i f2(y) $ &cov x, y = xy x y = xy f1 x f 2 y dxdy x y = xf1 x dx yf 2 y dy x y = x y x y = 0 (II-52)

! ). Niestety, odwrotne

" ) ! ( $ !

" 6 !

! % % postaci: f(x,y) = 3(x2 + y2)/8 [1 x +1; 1 y +1]$ (

$ &+1

3 1 3 1 x = x x 2 + y 2 dxdy = 0 , y = y x 2 + y 2 dxdy = 0 , 8 1 8 11 1

+

+1

+

+1

3 1 xy = xy x 2 + y 2 dxdy = 0 . 8 11

+

O takich zmiennych ($ nieskorelowane (w ( & " ' % $ 7 II.10.C, gdzie Vz = a 2 V x + 2ab x x y y + b2 V y .

" 1 $ wzr (II-46)$

z = ax + by + c w formie: -

zmiennych $ $ to po prostu kowariancja obu zmiennych: Vz = a 2 V x + 2 cov x, y + b2 V y . # ( z = a1x1 + a2x2 + ... anxn + b:Vz =i , j =1

ai a j V xi , x j .

n

(II-53)

2

! & &a=

z = a V x a T ,

a1 a 2 an

T dz dz dz , , ... , = a1 , a 2 , a n , a = dx n dx1 dx 2

, V x =

x1 cov x2 , x1 cov x n , x1

cov x1 , x2 covx1 , xn x2 cov x2 , x n

cov x n , x2

xn

.

!2 8

% " II.6.c " " " Gaussa:x y x y

x, y; , , , , = exp 2 1 "

"7 (II-13) i (II-14) " " Gaussa: 1 x; , = 2 exp x 2 ,12 !

x

y

2 21

1

x x y y x x y y + 2 #, x y x y

2

2

"

$

x

x

x

2 x 2 x

! ! E(x) = :

y y 1 exp y; y , y = 2 2 2 y y x

2

,

oraz E(y) = y i dyspersjach D(x) = x oraz D(y) = y. Obliczymy

69 x y uv exp 2 1 2

cov x, y =

u2 + v 2 2uv 21 2

dudv

" " "

: y y x x , v= . u= x y 5 " ! !( u = cos sin ,v = sin + cos , " 7 " ( 2 2 u 2 + v 2 2uv = cos sin + sin + cos 2 cos sin sin + cos = = 2 + 2 2 sin 2 + 2 cos 2 2 sin 2

= 45:u 2 + v 2 2uv = 2 + 2 2 2 = 1 2 + 1 + 2 .

" (cov x, y = x y 2 4 1 2

2 exp !

2 2 " #dd . 21 + 21 $

4 "

rwne zero i " ? % ," , $ A +1 $ 3 > ? ! "! " % " w stosunku do tej, jaka wynika z , $ >?

" , "

p przypadkowego ,

# 1+$ +1

"%

79

$ 3 " ! a z k >? >?$ - liczba k = np trafnych odbiorw wynosi 1. Szansa P(k /# " !! " 110 " +6 P(k 6# 11+/ " 09 P(k B# 111+; ;C1$ : % " "! " $ >? i " " "!

09 % "! 6 , a ,$ D " ,$ 3 % " ! ,

" " $ : " >? !%

psychochirurgii, telekinezy, astrologii, jasnowidzenia, prekognicji itp.).

* ! ! " & 35% ! ! 100 losowo wybranych osb, typowo 35 " ! ! 4 35 osb. % / & !: 0 " 6 ! 'k2 = k2k =0 n 1 n n n! n 1 ! n k n 1 k 1 p k 1 q = np k p k 1 1 q = k ! n k ! k 1! n 1 k 1 ! k =1 n 1 !

= np m + 1m= 0

m! n 1 m! n 1 !

p m 1 q

n 1 m

= n 1 ! n 1 m

= np m

m= 0

n 1

prb n:

1! 2 (II-37)), czyli (np)2 : k = npq = np1 p . (III-3) ! / ! " 5 * stosunku zmiennej losowej k do liczby k =

m! n 1 m!

p m 1 q

n 1 m

+

m= 0

m!n 1 m! p m 1 q

n 1

= np n 1 p + 1 .

pq 1 . npq = 2 n n n p p. Sprbujmy: k p= (III-4) n ! tej statystyki: k 1 1 = k = np = p . p = n n n ) p ! estymatorem parametru p. Poszukajmy teraz estymatora sk2 wariancji zmiennej losowej k ! " " (III-3), przez: 1 1 n 1 = n = 2 . n n

6! ! " 'k

* estymatorze, " ! ) ! '2 sk = 2 Podobnie, dla estymatora sp wariancji p 2 sp =

1 2 1 k = np npn 1 p + 1 = n 1 pq . n n

n np1 p . n 1

(III-5)

! '

1 p1 p . (III-6) n 1 * * III.2.a o obserwacji liczby kobiet ! ; p $ p !

80

z ' 683/1000 = 0,683 0,015 ! ! " $ k(10, 0,683) 1 " $

3 ! % ! " cytowanych " . Typowo, w " " respondentw o ! +111 z ! ! " $ )! % " !% (III-3)) na w " "

wiony jest na rysunku obok i 11+B 11B ! +11$ A " ! " 11+B % !% $ ! !% na ! /7 "

% CB1 $"#$ ! !

o pr

%#$ !

= " >? ,"$ jaki powstaje w wannie przy spuszczaniu z "! !$ = " E$ " , , a !! , $ 3 wyniku eksperymentu powtrzonego 100 razy o 6/ kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazwek zegara, a w B0 $ 2 % " ," $ <

w kierunku przeciwnym do ruchu wskazwek zegara) w %& p = , podczas

(III-4) oraz (III-6) na estymatory, obserwujemy: p = 0,57 0,05 . . % ! % (III-2)) B1 " B1 wirw w

! wyniku: 57 B !% !! (III-5)). Obserwowane odchylenie ! " fluktuacja. Nie , , obrotu wody. Wniosek ten wynika z " $

!% o , +11 , ! B1 " &

) " " " "

! ( E

" 6/ B0( - & D

+11 % " " B0 6/ $ ' %

, "$

)! ! > ? ," / " , 6

5, a ;

% ! % % ," C

! >% "? !% !$ - "

! " %

w , HB1 35; 50 + 3BI J H/BK ;BI$

! p = , wynosi: 1 P35 65 = 1 k = 35

k n = 100, p = 0,5 0,0018 .65

- + B;1 !

! "$ D !%

p = .

4 !! L $ !%

" ! , $ 3 1111C7 !$ !% ! $ )

Pk $$$

k-ty !( @

6

>

?

" & p = 210 $ -

P1 , ! p. Po to, by taki , " %

& ,%

P2 = 1 p p $ 2

dwch pierwszych, czyli P3 = 1 p p $ ) (II-2): k 1 k p = p1 p $ II.1.a " dyskretnych czasw oczekiwania. 2*! !% II.10.B.a: k = 1 . p Poszukamy teraz wariancji $ 2 !% kwadratu zmiennej:

%

2 = p k 2 q k 1 = p k 1 + 12 q k 1 = m = k 1 = p m + 12 q m = p m 2 + 2 m + 1q m =k =1 k =1 m= 0 m =0

= p m 2 q m + 2 p mq m + p q m = pq m 2 q m 1 + 2 pq mq m 1 +m=0 2 m= 0 m =0 m =1 m =1

p = q 2 + 2q + 1 = 1 q

q = q + 2 +1. p Otrzymujemy rwnanie na < k 2>

&

q 1 + . p2 p D ! (II-37)), otrzymujemy: p k = k 2 k 2 = 2 q2 + p2 12 = 2q + 2 1 = 2q q = q2 = 1 2p . p p p p p2 p p = ! p, dyspersja zmiennej jest praktycznie dana przez k2 = 2

!% ! $

W

! ! "! "

% , $ $

ujemny

, ktre opisuje

k, % " n

(gdzie n k#

$ 3 " &

82 Pk n, p = k

1 n k n , k = n, n + 1, n + 2,... , p 1 p n 1 gdzie p oraz n = + C / $$$ $ = n = + " % $ 2 E , wynik (II-45) oraz (II-47).

! &

4 $ $ " 1 n i dla zmiennej losowej k np, ! "?# $

Q braku sukcesu z n prbach zadany jest tym razem przez:

liczby N0 osb, liczba: N t = N 0 exp t t. Nie znamy parametru w tym

0

%

i

i

i

i

n

@ n ! a ! t do zera. Obliczmy w tym celu logarytm obu stron:i =1

Qn = 1 p1 1 p2

1 p

n

= 1 i t .

n

G &z (II-3)

ln Qn = ln1 i t i ti =1 i =1

n

n

n , t 0 t dt t = ln Qt . 0

t

:f t =

Qt = exp t F t = 1 exp t , t = d t . dt

," &

! ! , #

" ! % ! (t) t 3 postaci funkcji (t# ## " !$ G

, " $ 4 3

" !$ 3! III.3.c, gdzie badanie czasu oczekiwania na !

$ - Q(x# !% !% x, wynosi:W

%!#$

d F t = t exp t , gdzie: dt (t (III-9). W (t

Q x = 1 F x =

D &

x exp

.

! /* '(

89 ln lnQ x = ln x ln ,

! % !% ," ! x. ! /1 , " megapaskalach# " "" $ 3 !% " % &PP$ $PA =QPPPP$#$ 2 % ! oraz . Wykres ten to, w

wykresu kwantyli, tylko w przebranej formie. (dane za: Duffy, S. F. i Baker, E. H., Weibull Parameter Estimation,

" "! & ! (III-13) " zdarzenie ". Niech t zadanym k(t) = 0, 1, 2, ... ". Jakie jest $ : 5 Tk = t1 + t2 + ... + tk ! k-tego " ' ! k " tylko wtedy, gdy Tk t Tk + 1 > t, a $ P((Tk t) (Tk + 1 > t)) 7 " $ 5 !! / " $ losowych: Tk oraz Tk + 1 * II.8.c Tk ;"(II-25):

losowych, takich jak wjazd samochodu na rynek miejski lub wezwanie karetki

# "! "

k Tk ; =

Tk k

k 1

Tk + 1 = Tk + tk + 1 ( !! / " zmiennych Tk oraz tk + 1 (II-15) funkcji k(t;) " (III-8):exp Tk + t k +1 = exp Tk +1 . 1 ! k 1 ! * (Tk, tk + 1) do zmiennych (Tk, Tk + 1) k

1!

e Tk .

Tk

k 1

1!

exp Tk exp t k +1 =

2 Tk k

k 1

2 Tk

k 1

" 'f Tk , Tk +1 = t 2 Tk k

k 1

) 5 $ P((Tk t) (Tk + 1 > t)):Pk t k +1 > t = f Tk , Tk +1 dTk +1 dTk t0

1!

exp Tk +1 , 0 Tk < Tk +1 < . t k 1 2 Tk k 1 ! 0

=

" " ! schematu Bernoulliego # ===A dwumianowego, ! $ braku $ ! k $ !" t ) ! n t *$ k $ n (III-1):

dTk exp Tk +1 dTk +1 t

=

t

k

k!

e t .

k n,

p =

* a uzyskamy:

n! 1 nk nk = nn 1 n 2... n k + 1 p k 1 p . p k 1 p k ! n k ! k! $ pojedynczej prbie w formie: t p= , nk

t 1 n n 1 n k + 1 t t k = ... t 1 1 n k ! n n n n n 0! "" ! n $ ! ! k, otrzymujemyk n, p =

1 t n n 1... n k + 1 n k!

1

n k

n

k

.

90

> Poissona: .

k n,

p n k e k!

k

=

t

k

k!

e t ,

k

=

k = 0,1,2,... , = t ,

(III-14)

Pewien polityk

+1

$ 3 "

dziennie od i

w

" % " i

!$ 2 " . 2 "

sposobu wyprowadzenie

" $3

&

0 = 10

= e 10 0,000045 . dni roboczych. Oczekiwana liczba dni

)

" ,% "

( /11 " B +B11

bez listw wynosi: 1500

0 = 10

1500 0,000045 0,068 .

:

+6 %

" $ )

% ! #$

!

0,35 0,30

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

* " ' " ! "! " * 0 * " dwumianowego, " $ * $ = ' / burz w !" " ! widzenia mikroskopu, liczba sprzedanych sztuk danego towaru w sklepie i " !0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 !

liczby samochodw, jednego, dwch itd. w tym przedziale czasu, to uzyskany wynik prezentuje histogram obok. Kropki na ! * parametrem =t 1t = 0,193 s1 10 s = 1,93 " z modelem je

= $ ! oczekiwania na # ===A & ! nas samochodw w czasowych i zaobserwowania zerowej

w zadanym okresie czasu.

Momenty *

5 * II.10.B.a i II.10.C.a:k = , k = .

Rutherforda i Geigera z 1910 roku, kiedy to obserwowali oni

" N = C;+C 0B

& '$ R

statystyka matematyczna, PWN, 3 +8;8#$ 3

"!: n Fk = k , N gdzie nk ! " 0B

# k $ " " @ "%

C7#

w

$ 3!% !

/99

!

91

"! $ = ! " % $ 0,25 1# 3 & $ = ! 4, n 0.

n

n

n

n

3 "

1

2 Wiemy, sx wariancji V(x) z prbki prostej 1 n 2 2 = i n i =1 II.10.C (II-34): 1 n = i2 . n i=1 pochodzi z populacji normalnej (x;0,! V " :

estymatora

, czyli takiego, dla ktrego: n n .

110n

IV. Oceny - estymacja parametrycznan

f V ; , n =

n2 2 1 n 2n n

V 2 exp

nV , 2 2

nV/2 " 2 o n # $ %

=

estymatorem dyspersji n 1 n 2 = 1 n +1 2 2 $ %

zmiennej v: 2 n 2 1 n n 2 1 n n 2 1 n = 2 2 = 2 1 2 2 = 2 1 2 nV 2 = 2 1 2 2 2 2 2 n + 1 2 2 n + 1 n 2 2 2 n + 1 2 " & zmiennej o n stopniach swobody wynosi n. ' D= x . ( normalnej (x;0,): + +

n 1 V2 2 n n 2 1 n 2 0 n

n2

exp

2 1 n + 1 nV 2 , dV = 2 2 n 1 n 2

1 x = 2

) # : 1 n d= xi 2 n i =1 * " n d = 1 xi = . 2 n i =1 '

: n d = 2 xi 2n i =1

x2 2 x exp 2 dx = 2 2

0

x2 1 x exp 2 dx = t = x 2 = 2 2

+ 0

exp

t dt = 2 2

2 .

2

2 =n

n n n xi x j 2 = 2 xi2 + xi x j 2 = 2n 2 j ,i =1 2n i =1 i j , j =1

=

2n 2

n

i =1

2 xi2 + xi x j 2 = 2n 2 n 2 + n n 1 2 2 = n i j , j =1

2

2 . 2

'+ " do oceny dyspersji (x;0,!$ , Zbadajmy stosunek f ich wariancji: = n 2 1 n 1 2n . 2 f = 2 2 1 n + 1 2 2 ' & n $ .

# /012$ ) v #

, a tym samym dostarcza oceny dyspersji mniej d.

+

"

. Jest

" ! ) " "

!

i "

/

! % ! )

4 5 ! " !

! "

Vmin ! " "

3 )

" "! wprowadzimy najpierw tzw. ! 0

xi n

IV. Oceny - estymacja parametryczna

111

z

#

f(x;), gdzie x !

"! ! " xi

/

x; =

f x i ; i =1 n

n

Podobnie, dla losowej prbki ki (i = 1, 2, ... , n) zmiennych dyskretnych Pk()!

"! k = 0, 1, 2, ... ! ) " ) /

k;

= Pki .i =1

0 " ! ) ) " " ) "

xi oraz ki

zmiennymi losowymi. Wielokrotnie, w !

! " xi oraz ki to faktycznie wyniki pomiaru, a ! nie . ) " "! "

) " ( !

)!

od parametru (jednego lub wielu). W

" tradycja wymiennego stosowania terminu

6"! ! )

! L(...) dla ) " (...) dla funkcji parametru (lub parametrw). ) L, a ) "! "

"

twierdzeniem RaoCramera: 1 min = , 2 ln Lx dx L x i podobnie dla zmiennej dyskretnej: 1 min = , 2 Lk ln Lk k

"

"

*!

! ) "

f(x;)

7

Pk()

" "! "

"

! ( " ( % " " 1(+

/

oczekiwane! " x lub k

$ [0; ]). Przy takich obostrzeniach matematycznych

1 n Pk k =0

ln Pk

2

1 n ln Pk

2

,

dla zmiennej dyskretnej!

" otrzymujemy: 1 1 + , 2 2 n f x; ln f x ; dx n ln f x;

)/

1+ n

1 n

ln f x; 2

2 f x; 2 ln f x; dx

2

.

8 1 ( +

! "" )

i

zentowali. Estymator, dla ktrego wariancja "

!

najefektywniejszym 6 " 9

: )

W " & dyspersji (a nie wariancji 2) * (x;,! #

:

112 min =


1 n 2 ln 2

x; ,

= n 1 2

+ 1 2

1 3x

=2 exp

4

2 x dx 2 2

2 2n

45

# "

$ 3 & & w postaci

d jako: 2 min 1 2n = = 0876 , 2 min d 2 2 2n

a dla estymatora v " &

.

.

n .

Z 666$7 . parametrowi $ 3" 4

&- ' $ 8"

() ok

Poissona to: ln natomiast jego pochodna wynosi:

k

= ln

k

k!

e = k ln ln k !,

k ln k = 1. k ln ln k ! = Ostatecznie, minimalna wariancja Rao Cramera zadana jest przez: 1 1 2 2 = = = = . min = 2 2 n n 2 k n 1 k n k k ln k n k k =0 k =0 k =0 . (II-41) 9 II.10.C! jest najefektywniejszym estymatorem. Popatrzmy teraz na estymator kwadratu dyspersji: 1 n 2 sk = ( ki k )2 , n 1 i =1 ktrego wariancja II.10.C, wynosi: 2 sk = 1 k k 4 n 3 4 . k n n n 1

" & "

.

k

4

= + 3 2 , n 3 2 2 2 = + . n n 1 n n 1

9 5!

2 sk = 1 + 3 2

n

: & "

min = 2 sk )

/ $ ; &

. # & "

$

1 n = . 2 2n 2 1+ + n 1 n n 1

+

)4 5 ! 0 % .

" $

", geometrycznego, Pascala! ", Poissona, Gaussa (parametru oraz parametru = 2) i binormalnego (z

''


113

1 .;< ) ":

x; =

) "! x

w

! wyniku pobierania prbki prostej f(x;). =

! ) " f(x;)

!

! ) " ) " tylko tego parametru. Zgodnie z "# ! , za "

! ) " "

i =1i

f x i ;

n

maksimum:

x;

= max .

$

. . II.7.e o liczbie karpi $ . # # N wszystkich karpi w stawie, liczby K # zaznaczonych i wpuszczonych do stawu oraz liczby n # " k # " #":

k N, K , n

=

K N K k nk N n

, dla:

. K = 50, n = 40 oraz k = 5 =

2

343 2 3! 4 ! 5! 4

e

9

P k

< 3 P k > 5 .

6

2

.

Pk < 3 = 1 + +

2 e , 2

oraz: Pk > 5 =

k 2 3 4 5 + + + e = 1 1 + + e , 2 6 24 120 k =6 k !

ki ,

=

e 9 1 + + 4 3 2 3! 4 ! 5!

34

2 2 3 4 5 + + + e 1 1 + + e . 2 2 6 24 120 $

6

2

) "

G $ G

= 3172 317, , ,

(IV-5) znajdujemy: 0,454 0,4 F$ .

9! " & "

argumentu parametru $ ) & " = 3,2, co dobrze" 9

w

max!$ 5 4

" &

.

118


Dlaczego wybieramy do tego wykresu" & " & "- . 4 : 7 & "

a & "

* 4 (IV-4)$ " : 2 ln ln max 2 min

w argumencie $ .

parametru, ale pozwala

" $ B " 4

nasze

& 4 =1

o min

& "

$ #

przypadkw. Wykres taki dostarcza nam jeszcze &$

przesuniemy

* /F$ % " & " "

poszukiwanego parametru.. " & "

, czy wobec tego

CD 4 /F "

standardowej dla znalezionego estymatora? % #

# $ 5 HI >2>J 9 " 4/F! #

20>K E *"

obszarze

$ ' " " " +

0,45 " (IV-5)$

" $ ) + "

o dwie i o 3 dyspersje " & " dwie oraz o cztery i $ '

$ ) pierwszym przypadku odchylenie standardowe /7 " /F "" odchylenie standardowe na lewo to dalej 0,4, natomiast na prawo wzrasta do ponad 0,5. Tego typu # $ B E E .$ . $ .

parametru

E

klas

# $ G E # + $ ) ) " $

ostatnim wierszu tabeli.

IV.3. Metoda najmniejszych kwadratwW Rozdziale II.10.B * II.10.B.e

" pierwszego typu (II-32) oraz (II-33) 5 ! % krzywe regresji drugiego typu. Mamy z nimi do czynienia, gdy poszukujemy zadanej krzywej y = g(x,1,2, ...) parametrw 1,2, ... , " /

y

g x, 1 , 2 , ...

2

=

"

? "

y

g x , 1 , 2 ,

2

f x , y dxdy = min1 , 2 ,

(IV-6)

x *

) "

x

h y , 0 , 1 , ...

2

=

y = g(x,1,2, ...)

"! / " y x = h(y,1,2, ...) zmiennej x " y:

x

h y , 0 , 1 , ... f x, y dxdy = min 0 , 1 ,... .

2

(IV-7)


119

!

% & * ! metoda pracuje i

" y " x w postaci linii prostej: *

)

"!

/2

y = gx, 0 , 1 = 0 + 1x .

y 0 1x 2 = y y 1x x + y 0 1 x 2

2

=2

2 = y y + 1 x x + y 0 1 x 21 y y x x =

= y y

2

2 + 1 x x

2

+ y

0 1 x 21 y y x x =2 2

2 = 2 + 1 2 21 cov x, y + y 0 1 x = y x 2 = 2 + 1 2 21 x y + y 0 1 x = min0 , 1 . y x 2

8

" 1 oraz 0!

/ 2 y 0 1x 2 = 21 x 2 x y 2 x y 1 x 0 = 0 , 1 y 0 1x 2 = 2 y 0 1 x = 0 . 0 1 = y x , y x x ,

1 " % /

0 = y y

" "" y " x:y y =

* !

7 " "" x " y: /x x = x = h y = 0 + 1y , x y y y

x

x x .

/ y y =

- ! " ! " jest jednostkowy, "!

1 II.10.E!

funkcyjna o liniowym

"!

8

!

! =

! " !

i , a !

1 y x x . x

' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 30 52 77 135 211 326 550 1052

.

9 dArcyThompson, Proc. of Royal Society, Series B, 88, 237, 1914) w tabeli

wodnej umieszczonej w stawie w funkcji

!

" $ :E # ktrej wrzucona do wody sadzonka m w oglnym przypadku jest sprzeczny. Zasada najmniejszych kwadratw ! i mamy tak ! /

= 2 x j , y j ; 1 ,..., m = min1 ,..., m ,j =1

n

m % m i : n = 2 x j , y j ; 1 ,..., m x j , y j ; 1 ,..., m = 0 , i = 1,2,..., m . i i j =1

*

!

estymatorami metody najmniejszych kwadratw 0 " ! "

) "

! jest ) x oraz y

! "

)

i

W wielu zastosowania

)

/ jest zestaw n punktw kontrolowanych xj! "

yj (zmienna

)! j : j = y j

! ! !

z

j:

xj (IV-8)

i dobieramy tak, by suma kwadratw reszt j = y j f x j ; =k , j =1

j = f x j ; .

/

y k f xk ; Wkj y j f x j ; = min .

n

Wkj "

&

macierz V y kowariancji V(yi, yj) y, wtedy macierz wag / W = V 1 y . "!

! V jest diagonalna i sj " yj!

/

y

f(x;i)

= j =1

n

y j f x j ; sj

2

yj j

j

! sj! mierzonej od domniemanej. Istotnym elementem zasady

%

! "

(

!

= )

f ( x; )

od

x xj

!

matematycznej (

metody najmniejszych kwadratw. xj =

0 !

)

! " !

!

5!

"

! "

)

" ! "

punktw xj ! ) sj .

! ! " ! ) +

xj

"

" !

" 3 !

!

x! + " "

zmiennych.0 % "

!

!

mierzone yj &

$ )


121

"!

".IV.3.B. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratw w problemach linowych

z dyspersjami j. Tym samym minimalizacja

)

!

) " !

sj

) (IV-8) !

w nieznanych parametrach: +! "

!

= f x , = 0 + 1 x . uoglnienia na bardziej skomplikowane przypadki o liniowej postaci: = f x , = 11 x + 2 2 x +...+ m m x

(IV-9)

" i (x)

!

)

( " kontrolowanej x = " + )! !

a x

, !

!

od poszukiwanych parametrw.

=

% (IV-9) " 5 ! " )!

) *

! "

7 / = a + bt 2 , x = t 2 , 1 1 = a+b , x = , t t 1 1 t , = , z= x= , a + bt z t = ln z , z = ab x , = ln z , z = ae bx , b = ln z , x = ln t . z = at , *

! "

yi !

!

)/ = i =1 0 1

n

yi

Konstruujemy rwnania, zwane normalnymi!

/ = 2 i =1 n n

0 1 xi = min 1 , 2 . si

2

n n n y y i 0 1 xi 1 xi i = 2 2 0 2 1 2 = 2 S y 0 S 1S x = 0 2 si i =1 si i =1 si i =1 si

= 2 x i i =1

" /S= 1 2 , i =1 sin

n n n x y y i 0 1 xi xi x2 = 2 i 2 i 0 2 1 i2 = 2 S xy 0 S x 1S xx = 0 si2 i =1 si i =1 si i =1 si

(IV-10)

Sx =

5

!

! / 0 = Sxx Sy Sx Sxy 1 = SSxy Sx Sy

xi 2 , i =1 si

xi yi 1 = 2 , 2 . SSxx Sx i =1 i =1 si %

/ 0 oraz 1, ktrego Sy = Sxx = Sxy = . (IV-11)

n

yi 2 , i =1 si

n

n

xi2 , si2

n

6 ) % wyznaczonych estymatorw. Problem ! ! !

(II-47) 1 II.10.C 7 (II-56) 1 II.10.F, a ! / 0 = Sxx , 1 = S . *

!

7

, definicji (II-51)! (II-57) 1 II.10.F,

(IV-12)

a otrzymamy:

122 0 , 1 = Sx ,


(IV-13)

(II-54)

/ 0 , 1 =

Sx . SSxx

(IV-14)

&

&

!

" (w ! " si indywidualnych pomiarw zamiast dyspersji) &

!

!

.Uzyskana krzywa najlepszego dopasowania, zwana niekiedy w literaturze poprawionymi pomiarami: = 0 + 1 x , ! 7

0 x w ktrym

7

/ = 0 + 1x 0 + 1x

2

= 0 0 + 1 1 x

2

=

1 S 2 + 1 x x . S S

1

! "

/ = 1x, wtedy: 1 =

Sxy Sxx

1 . Sxx

6

! " &

$

'

zmiennej kontrolowanej (dyspersja jestliniowa) i zadana przez: = 1x 1x

2

= x 1 1

2

=

,

"

w, nie

, !

! 7 min

" ) & !

! ) ,

! "

n 1 do n ! min ! ! =

sytuacja powstaje w

! " yj " &

. Wtedy nie tylko znalezione estymatory

! statystykami ! & ale ! min

yi ! o 2 z n m (liczba punktw pomiarowych minus liczba nieznanych parametrw; w przypadku liniiprostej m = 2) stopniami swobody: min = 2 m ! = f x, n

1 2 x . S xx

" -

" * III.6.a.

'

Przeprowadzono eksperyment (Draper, N. R. and Smith, H., Applied Regression Analysis, John Wiley and Sons B L =M0=! " & elementarnych operacji Dawka

manualnych. Trzydziestu 0 mg 242 245 244 248 247 248 242 244 246 242 244,8 0,76 studentw poinstruowano 100 mg 248 246 245 247 248 250 247 246 243 244 246,4 0,65 200 mg 246 248 250 252 248 250 246 248 245 250 248,3 0,70 jest stukanie palcami po

$ B # "

kofeiny: 0 mg, 100 mg i 200 mg$ ) " + # " z $ : wynikw uzyskanych # i . Dane te, w # # #

$

z dodatkowymi informacjami (czwarty punkt, bez 7// mg kofeiny oraz trzy krzywe), ktre teraz omwimy.' & $ 3

# # # # $ %

% $ &'


123 x & = 244,7 0,7 + 0,017 0,005 x .

: $ B " & & $ , " & " $ ) o #. W . III.2.e $ ' & #

z prze$ " 400 " &- '

x = 0 + 1 x

, !$ . # # # "

S 2 1 + 1 x x S S min) $ " E- : $ # # E P(2 > min) //=$ : # /=/ //F //=$ ) 02K # # #

& $ B " &

nie ma statystycznych podstaw do odrzucenia hipotezy ... " $ B " a to z $ . " # & nawet " $ min, to nigdy " & i przeprowadzi jej dopasowanie z sukcesem. Z punktu widzenia statystyki, wszystkie te dopasowania z # + # min $ .& # min & # # $ 3" " & w , ktrych obecnie $ druga,

14

2 --, i (podejrzewamy krla o psucie monety), krytyczna 3 tk tej statystyki (%, 5 3 statystyki z prbki 3

musimy 3 ! 3 ! swej mennicy w @ 6 ! ; obu prbek z populacji

! ! ! ! . > III.7.b/ @ dane na wykresie kwantyli ./ ; ! ! ! 3 Gaussa 3 > na takim wykresie

! . ! 3 !: -$% -&$ /, 3 ! w 3 !

> 1 1 znormalizowana zmienna Gaussowska: t x y2 2 sx + sy

,

1 * 1 eksperymentw, a

3 & *"

146 t=

V. Wnioski - weryfikacja hipotez

xy , n+m n 1 2 m 1 2 s + s n+ m2 m 1 n 2

1,875 dla statystyki z 1,852 dla statystyki t B & 65 6

3 i prowadzi nas do wniosku: P t t =t

1 &

&

! V.1.b 1 1

& Gaussa 1 1 oczekiwanych ' & & ! III.8.a. >

6 >"F=2 2 sx nsx = , 2 2 sy msy

t

65 t dt = 0,064 .

3 n

x i jej sx , natomiast m 3 , z ! y 3 sy . ;

! > V.1.b 3

F )() F o parze liczb stopni swobody (8,6). 4 3

! Fk statystyki F ,B i jednostronnego testu # ! 3 ! 3 dla prbki @ :P F Fk = Fk

8,6 F dF = 0,05

Fk = 4,15.

; 3

obu prbkach monet.

! * 1 metody

1 B1

1 & & 3. W # $4 -

: 2 = V 1 m T

2 o m stopniach swobody (m liczba wyznaczanych parametrw), co pozwala nam & 1

D

& & 1 telomerw

/ 10 & 3 znana jest =

3 1 & & 1 &

1

11 D

& B (IV-20) i (IV-21) dla E& 11 & F:1 T 1 V , m 1

F B

& (m, n m) stopni swobody, gdzie m & 1 n & 1

=

! 1 1 &

#

i &.


147!

&

Zaczniemy od przypadku dyskretnego k nk Fk Pk

osobowe (Tripathi, R. C. i Gupta, R. C., Communication in Statistics, 14, 1770, 19850

jest zmienna losowa k, czyli liczba 42,9 15,3 8,5 1469 obserwowanych osb w samochodzie 944,9 337,1 120,3 NPk /

&0 F n uzyskanych 1,9 12,8 1,7 0,6 0,03 2,4 19,43 zmiennych losowych, czyli liczba klas, na 1 & 6. W nk serii N = 1469 pomiarw i w

&

Fk

1 2 3 4 5 6 902 403 106 38 16 4 0,6140 0,2743 0,0722 0,0259 0,0109 0,0027 0,6432 0,2295 0,0819 0,0292 0,0104 0,0058

Suma 1469 1 1

1 !

'& & & 1&

geometrycznym charakterze (II-2) k 1

zmiennej losowej k:

k5 k =1

p

= p1 p

Pk . 1 q5 5 = q 5 = 1 p , 1 q

>

*

> & 1

5 "

P 6, p = 1 pq k 1 = 1 p 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 = 1 p "

1 + x + x 2 + + x n 1 = przy oczywistym warunku: x 1 *

1 xn , 1 x p

7

*

G

& *&

w postaci:5 5 n6 p1 k =1

ln

=

ln 1

p

p

k 1 nk =

ln p n1

+ n2 + n3 + n4 + n5

1

p

n2 + 2 n3 + 3n4 + 4 n5 + 5 n6

=

= n1 + n2 + n3 + n4 + n5 ln p + n2 + 2n3 + 3n4 + 4n5 + 5n6 ln1 p .#1

"

ln p

=

n1

+ n2 + n3 + n4 + n5

1 1 n2 + 2n3 + 3n4 + 4n5 + 5n6 = 0, 1 p p p=

& "

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 0643 . n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 + 5n5 + 5n6

!& &

Pk

w &

& NP k # " eksperymentalnej nk (szary histogram) i obliczonej NPk (punkty)

/ 1 &

jednym samochodzie). Do weryfikacji hipotezy potrzebujemy jeszcze statystyki testowej. Za K. Pearsonem "

=

n

nk

NPk NPk

Jest ona zbudowana na wzr statystyki 2 8 1

&

nk

NP , podzielonych przez k

k =1

2

.

NPk

&

/

(II-38) !0

nk przynajmniej 5, a / 0 &

nk

:

= Pk & / 0

1 prbki, to

148


&

& n 1

nk

1 & 1 N 3

z prbki, wtedy

dodatkowo m tych parametrw:liczba stopni swobody = n m 1.

0,05 nie mamy statystycznych podstaw do

1 & 1 : 1 ! do opisu liczby 1 >

parametru

0,554,

100 krytycznej statystyki 2 /

0 i ! testu 2 Neymana Pearsona &&

&" N " nk (k = 0, 1,

w n tak, aby w 2, ... , n$ 5;

!

" " " , %

ln

= nn k =0

k

ln Pk 1 , 2 ,..., m gdzie m < n ;

& Pk ;

!

testowej Pearsona :=n n k NPk NPk

2

;2

!

o liczbie stopni n m ocenionych z prbki " % = n m 1;

#

k =0

M

& && o

Ziemi ! III.3.c. Na histogramie obok podana jest empiryczna

/

0 *

'

& # $$$ H

. Niech nk k-tym przedziale histogramu, k & natomiast N & & >

. Od serii tej samej liczbie N, liczba nk

a

dwumianowemu o pewnym nieznanym parametrze pk i 1 N. Z pojedynczej obserwacji

5

(III-4) parametru pk i

fk:

V. Wnioski - weryfikacja hipotez pk =

149 nk N , fk = pk n = k . k N k

'

(III-6)

"1 k

&

# $$$ 2 1 >

&

: & &

1. 7

7 & : suma & * tk tk + 0 200 200 400 400 600 600 800 800 klasy nk 21 14 10 9 8 62 F =n /N 0,339 0,226 0,161 0,145 0,129 1k k

1 pk 1 pk N 1

t; = exp t ,

fk = Fk Pk NPk

0,001694 0,368 22,8 0,14

0,001129 0,232 14,4 0,01

0,000806 0,147 9,1 0,09

0,000726 0,093 5,8 1,81

0,000645 0,160 9,9 0,38

0,005 1 62 2,43

przypadkw w danej klasie,

szary histogram na wykresie. W & dzie umieszczona 8

danej klasie & 1 & 8

1 w 1 & 8 >1 o 1" 800, zgodnie z

!

5 1 800 dni. : !

& Pk: Pk =tk + tk

8 czwarty to

t; dt = exp t dt = exp t tktkk

tk +

t +

= 1 exp exp t k ,

gdzie: tk " tk = 0, 200, 400, 600 oraz 800 dni dla k = 1,2,3 oraz 4, natomiast = 200 dni. 7

& *" P5 = t ; dt = exp t dt = exp t t = expt5 . t5 t54

5

I budujemy jak poprzednio: 4 n ln = ln Pknk = ln 1 exp k =1 k exp nk t k = nk ln1 exp nk t k .

5

5

5

#1&

, znajdujemy rwnanie na estymator tego parametru: 5 exp 4 ln = nk nk t k = 0 . 1 exp k =1 i =1 #1 &

&"

=

k =1

i =1

k =1

i =1

1

ln

nk t ki =1 4 5 k =1

5

nk +

!&

" = 0,002289

" 437dni. 7&

/

0

: 2,43.

2 0,05 przy trzech / 1

0 7,81

1

>

.

nk t k i =1

.

150


Dodatek A

151

w 1997 r., GUS, Warszawa, 1998). Wiek 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Wiek ! Kobiet ! Kobiet100000 98909 98852 98807 98771 98741 98717 98694 98670 98647 98624 98601 98578 98553 98526 98492 98448 98386 98298 98185 98056 97923 97790 97657 97526 97391 97251 97104 96950 96789 96621 96443 96255 96053 95836 95601 95343 95058 94744 94396 94012 93591 93131 92631 92087 91498 90859 90166 89416 88605 87731 100000 99072 99020 98982 98954 98932 98910 98889 98868 98850 98835 98821 98808 98794 98777 98755 98729 98698 98665 98630 98597 98566 98534 98502 98469 98435 98401 98364 98324 98281 98235 98187 98136 98081 98018 97948 97868 97777 97675 97560 97432 97290 97132 96955 96759 96542 96302 96037 95745 95426 95078 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 86793 85791 84722 83586 82377 81090 79718 78256 76699 75045 73295 71452 69517 67491 65373 63165 60868 58486 56026 53498 50907 48259 45560 42819 40045 37250 34447 31644 28852 26082 23356 20704 18166 15777 13558 11535 9686 8018 6537 5243 4131 3193 2418 1791 1295 913 626 417 269 168 94699 94291 93852 93382 92878 92337 91759 91138 90472 89755 88979 88136 87215 86206 85099 83886 82560 81111 79530 77808 75932 73886 71658 69236 66611 63785 60763 57550 54154 50579 46843 42974 39020 35041 31092 27244 23525 19989 16687 13665 10956 8585 6560 4878 3522 2462 1663 1081 675 403

152

n = 1, 2, 0 < p 0 , < < . 2 8 ! & 4

3& $ Zadanie II.1.17 (dystrybuanta) ( Laplacea, b) Weibulla, c) arcsin, d) Breita Wignera.Czy funkcja F(x, y) = 1 exp( x y) dwch zmiennych losowych 0 x, y <

+ Wskazwka # $ "

Zadania

Zadanie II.2.1 (zdarzenia elementarne)

157

Wypisz w 4 ' "( $ $" " $" ! " < " + < " ! " " $"+ < " ! "

! ! "+

Zadanie II.2.2 (zdarzenia elementarne) Zadanie II.2.3 (zdarzenia elementarne) Zadanie II.2.4 (zdarzenia elementarne)

Cztery osoby, opatrzone numerami 1, 2, 3 i 4!

" ) " 3& Pk, " k = 0,1,2,3,4 $ @A Ze zbioru liczb 2,4,6,7,8,11,12 i 13 " $ " < ! " +. $ "h rzutach tej samej strony ) " " losowania w drugim, trzecim, ... n-tym %&! 5" ! " n $+ . zadanie dla przypadku, gdy moneta nie jest rzetelna.

! ,##

'

" " n elementw, a zdarzenie A m "$ ! " 4 A, " " ! 4

4 +

% 4 1,2,3,4 oraz 5

!

4 ) " ! ! & ! a) nieparzysta cyfra zostanie wybrana jako pierwsza; b) nieparzysta cyfra zostanie wybrana jako druga; c) 4 $ B d) 4 & & #" ( $ " punktw a) ( + ) " $ (! ( (

P A B = P A + P B P A B . " " $ (x, y) & i trze kwadratu [0 x 1; 0 y 1] 8 4 a) x2 + y2 1, b) y x2 0, c) " ( (! d) " " ( ( 3

! powierzchni S jest proporcjonalne do tej ! & (! (! ( ( 8 ! $ $" " a, rzucona jest moneta o promieniu r < a/2 < ! "+ " " est przez zestaw punktw (x, y) & i [0 x 1; 0 y 1] 3

! powierzchni S jest proporcjonalne do tej powierzchni, & ! " " r od wybranego rogu kwadratu.

(

$

)

$ *

$

158

. r "$ 4 " $ k, o a 3& ! " . $ $! 4 'k = 3, 4 lub 6).Na odcinku [0; 1] na osi liczbowej umieszczono losowo punkty A i B 9" ! punkt A " B $

+

$

$

$

$

$

Zadania

) ) " 3& ! ) a " 3& ! " " " " 3& ! R! $" i R, w " 8 " < ! $! $ " ! + 9 " ! " < ! $ $+ , 3 $" 17:00 a 18:00 9 15 < !

! " $ 3 , " "! nich w " + ) " C0; TD . Odbiornik tego " C0; TD! czasu 3& Urna zawiera 4 3 czarne kule. Niech k " "

" " $ " " 8 k.

!

$ '

$ (

$ )

$

* ,##

+ ,##

,##

$

) m n m " #$ " " " ) ! $ " < ! $ + . ! " " z urny i

3 " 1 do 6, wybieramy losowo trzy kule. Niech k "

" $ 8 k. % " L D " " < !

"! " " n ! d losowych punktach, tzn. " " " " + 3 ! $

! " " L

! $

! 4

$ 3& !

" o L i polu powierzchni poprzecznej S!

! " 4

: $

$

Zadania

159

n ! sposb losowy, tzn. ich liczba w " " " 3& $

! "

! n!

$

W kuli o promieniu R umieszczono w losowych pozycjach N $ 3& ! " " " r 3 ! " "

! n

! ,##

$ " )

" " % " " 3& ! " " ! " " 0. "

$ #

"+Wskazwka # $

'! $

9 " " 3 $ skanych w ten $ $ " " 3& ! $ $

'' # '( #

Punkt (x,y,z) 4 x2 + y2 + z2 = 1 3& pary (x,y) $ x.

"+

Dwuwymiarowa zmienna losowa (x, y) 4 1 f x, y . 2 1+ x + y2 + x2 y2 "

Wskazwka #

"

Nowak - Statystyka matematyczna

Documents

Transcript of Nowak - Statystyka matematyczna