Fraktale

Co to są fraktale?

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu).

Cechy fraktali

Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość:

ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,

Przykłady fraktaliw matematyce

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego, znany także jako uszczelka Sierpińskiego, jest to jeden z najprostszych fraktali, który znany był na długo przed wprowadzeniem pojęcia fraktalu.

Fraktal ten został stworzony przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku.

Trójkąt Sierpińskiego

Etapy powstawania trójkątu Sierpińskiego

1. Na początku rysujemy trójkąt równoboczny.

2. Następnie środki boków łączymy ze sobą. W ten sposób otrzymujemy cztery mniejsze t ójk t

4. Każdy z pozostałych trzech trójkątów dzielimy jak poprzednio na cztery trójkąty.

5. Usuwamy środkowe trójkąty.

W kolejnych krokach postępujemy jak poprzednio. Trójkąt będzie miał coraz więcej dziur, którymi są usunięte trójkąty o różnej wielkości

Dywan Sierpińskiego

Kolejnym fraktalem stworzonym przez Sierpińskiego jest Dywan Sierpińskiego.

Powstaje on podobnie jak trójkąt – poprzez dzielenie kwadratu i usuwanie środkowych częsci.

1. Pierwszym krokiem jest narysowanie kwadratu.

2. Następnie dzielimy go na dziewięć mniejszych kwadratów i usuwamy środkowy.

3. Z nowo powstałymi kwadratami postępujemy analogicznie jak z poprzednimi

Krzywa Kocha

Na początku rysujemy prostą, która jest naszym inicjatorem.

Następnie dzielimy prostą na trzy równe części.

Na środkowej części rysujemy trójkąt równoboczny i usuwamy podstawę.

Podobnie postępujemy w przypadku kolejnych prostych.

Łącząc ze sobą trzy identyczne krzywe Kocha uzyskujemy kształt nazywany śnieżynką Kocha

Generowanie frakatli

Fraktale generuje się za pomocą programów komputerowych. Można wykonywać je ręcznie, lecz jest do bardzo żmudna praca.

Zastosowanie

Za pomocą fraktali można modelować zjawiska występujące w przyrodzie takie jak chmury, linie brzegowe, struktury komórkowe czy złożone struktury polimerów. Za ich pomocą bada się także ewolucję galaktyk i powstawanie wszechświata.

Fraktale w przyrodzie

Fraktale nie występują tylko jako matematyczne wzory czy grafiki generowane komputerowo.

Fraktale występują także w przyrodzie.

Przykładami mogą być:

Kwiat kalafiora

Błyskawice

Układ naczyń krwionośnych

Prezentację wykonała Justyna Kudłaty

Źródła

https://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal

http://www.bochenia.pl/w-kierunku-madrosci/2012/grudzien/fraktale-co-to-takiego.html