Post on 27-Feb-2019
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Stanisław Jaworski
Katedra Ekonometrii i StatystykiZakład Statystyki
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Niech f (x) oznacza funkcję ograniczoną na przedziale domkniętym< a, b >.Niech P1, P2, . . . , Pm, . . . będą różnym podziałami przedziału< a, b >. Podział Pm jest osiągnięty przy pomocy nm − 1 liczbx1, x2, . . . , xnm−1, przy czym
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm−1 < xnm = b.
Przedziały < xi−1, xi >, gdzie i = 1, 2, . . . , nm, nazywamyprzedziałami cząstkowymi podziału Pm. Długości ich xi − xi−1będziemy oznaczali przez ∆xiNiech δm = max
i∆xi oraz
Sm =nm∑i=1
f (ci )∆xi ,
przy podziale Pm oraz dowolnie wybranych punktówci ∈< xi−1, xi >, i = 1, 2, . . . , nm.Ciąg podziałów nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżelilimm→∞
δm = 0
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Definicja
Jeżeli ciąg {Sm} dla m→∞ jest zbieżny i do tej samej granicy przykażdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów ci ,to funkcję f (x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.Granicę ciągu {Sm} nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w granicachod a do b i oznaczamy symbolem∫ b
af (x) dx
Jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg {Sm} ma granicęniezależną od wyboru punktów ci , to funkcja f (x) jest całkowalna.
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna
Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim zwyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jestcałkowalna.
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli a ≤ b ≤ b ≤ c , to
c∫a
f (x) dx =
b∫c
f (x) dx +
c∫b
f (x) dx
2 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
b∫a
kf (x) dx = k
b∫a
f (x) dx
3 Całka sumy równa się sumie całek
b∫a
(f (x) + g(x)) dx =
b∫a
f (x) dx +
b∫a
g(x) dx
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli a ≤ b ≤ b ≤ c , to
c∫a
f (x) dx =
b∫c
f (x) dx +
c∫b
f (x) dx
2 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
b∫a
kf (x) dx = k
b∫a
f (x) dx
3 Całka sumy równa się sumie całek
b∫a
(f (x) + g(x)) dx =
b∫a
f (x) dx +
b∫a
g(x) dx
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli a ≤ b ≤ b ≤ c , to
c∫a
f (x) dx =
b∫c
f (x) dx +
c∫b
f (x) dx
2 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
b∫a
kf (x) dx = k
b∫a
f (x) dx
3 Całka sumy równa się sumie całek
b∫a
(f (x) + g(x)) dx =
b∫a
f (x) dx +
b∫a
g(x) dx
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi
b∫a
f (x) dx = f (c)(b − a),
dla pewnego c z przedziału < a, b >2 Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja
h(x) =
∫ xaf (t) dt
jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale< a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związekh′(x) = f (x).
3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ.Jeżeli prz F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej wprzedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x)′ = f (x), to ma miejsce wzór∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi
b∫a
f (x) dx = f (c)(b − a),
dla pewnego c z przedziału < a, b >2 Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja
h(x) =
∫ xaf (t) dt
jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale< a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związekh′(x) = f (x).
3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ.Jeżeli prz F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej wprzedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x)′ = f (x), to ma miejsce wzór∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi
b∫a
f (x) dx = f (c)(b − a),
dla pewnego c z przedziału < a, b >2 Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja
h(x) =
∫ xaf (t) dt
jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale< a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związekh′(x) = f (x).
3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ.Jeżeli prz F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej wprzedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x)′ = f (x), to ma miejsce wzór∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to∫ bau dv = [uv ]ba −
∫ bavdu.
Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych.2 Jeżeli g ′(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale< a, b >, a f (u) funkcją ciągłą w przedziale < g(a), g(b) >, tozachodzi następujący wzór:∫ b
af (g(x))g ′(x) dx =
∫ g(b)g(a)f (u) du
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
1 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to∫ bau dv = [uv ]ba −
∫ bavdu.
Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych.2 Jeżeli g ′(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale< a, b >, a f (u) funkcją ciągłą w przedziale < g(a), g(b) >, tozachodzi następujący wzór:∫ b
af (g(x))g ′(x) dx =
∫ g(b)g(a)f (u) du
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Przykłady
∫ 12π
0 x sin x dx = −∫ 12π
0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +
∫ 12π
0 cosx dx =
[sin x ]12π0 = 1
Ponieważ∫x sin(x2) dx = − cos(x2)
2 + C , mamy∫ π/2
0x sin(x2) dx =
[− cos(x2)
2
]π/20
=
(− cos((π/2)2)
2
)−− cos(02)
2
Ponieważ∫exx dx = ex(−1 + x) + C , mamy∫ 3
2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)
∫ 52 ln(x) dx =
∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −
∫ 52 x ·
1x dx =
= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Przykłady
∫ 12π
0 x sin x dx = −∫ 12π
0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +
∫ 12π
0 cosx dx =
[sin x ]12π0 = 1
Ponieważ∫x sin(x2) dx = − cos(x2)
2 + C , mamy∫ π/2
0x sin(x2) dx =
[− cos(x2)
2
]π/20
=
(− cos((π/2)2)
2
)−− cos(02)
2
Ponieważ∫exx dx = ex(−1 + x) + C , mamy∫ 3
2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)
∫ 52 ln(x) dx =
∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −
∫ 52 x ·
1x dx =
= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Przykłady
∫ 12π
0 x sin x dx = −∫ 12π
0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +
∫ 12π
0 cosx dx =
[sin x ]12π0 = 1
Ponieważ∫x sin(x2) dx = − cos(x2)
2 + C , mamy∫ π/2
0x sin(x2) dx =
[− cos(x2)
2
]π/20
=
(− cos((π/2)2)
2
)−− cos(02)
2
Ponieważ∫exx dx = ex(−1 + x) + C , mamy∫ 3
2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)
∫ 52 ln(x) dx =
∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −
∫ 52 x ·
1x dx =
= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
DefinicjaWłasnościPrzykłady
Przykłady
∫ 12π
0 x sin x dx = −∫ 12π
0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +
∫ 12π
0 cosx dx =
[sin x ]12π0 = 1
Ponieważ∫x sin(x2) dx = − cos(x2)
2 + C , mamy∫ π/2
0x sin(x2) dx =
[− cos(x2)
2
]π/20
=
(− cos((π/2)2)
2
)−− cos(02)
2
Ponieważ∫exx dx = ex(−1 + x) + C , mamy∫ 3
2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)
∫ 52 ln(x) dx =
∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −
∫ 52 x ·
1x dx =
= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Całki funkcji nieograniczonychCałki oznaczone w przedziale nieskończonym
Definicja
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedzialea ≤ x ≤ c − h, h > 0, oraz w każdym przedziale c + k ≤ x ≤ b, k > 0, ijeżeli istnieją granice
limh→0+
∫ c−haf (x) dx oraz lim
k→0+
∫ bc+kf (x) dx ,
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) wprzedziale < a, b > i oznaczamy symbolem∫ b
af (x) dx
W podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu(c − δ, c + δ), δ > 0, są niogranczone. W punkcie c funkcja możenawet nie być okreśłona. Jeżeli przynajmniej jedna z granic nieistnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Całki funkcji nieograniczonychCałki oznaczone w przedziale nieskończonym
Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału< a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio
limh→0+
∫ ba+hf (x) dx albo lim
k→0+
∫ b−kaf (x) dx ,
Przykład:∫ 30dx√x dx = lim
ε→0+
∫ 3εdx√x dx = lim
ε→0+
(2√
3− 2√ε)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Całki funkcji nieograniczonychCałki oznaczone w przedziale nieskończonym
Definicja
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedzialeskończonym a ≤ x ≤ v (a− ustalone, v − dowolne) oraz istnieje granica
limv→∞
∫ vaf (x) dx ,
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedzialea ≤ x <∞ i oznaczamy symbolem∫ ∞
af (x) dx .
Analogicznie określa się znaczenie symbolu∫ b−∞ f (x) dx jako granicę
limu→−∞
∫ bu f (x) dx .
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Całki funkcji nieograniczonychCałki oznaczone w przedziale nieskończonym
Przykład.
Chcemy obliczyć całkę∫∞1
(2x + 1
x2)2dx .
Ponieważ∫ (2x + 1
x2)2dx = − 4x −
2x2 −
13x3 ,
mamy∫∞1
(2x + 1
x2)2dx = limv→∞
(− 4v −
2v2 −
13v3 − (−4− 2− 1/3)
)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Twierdzenie Taylora
Założenie: f ∈ C n+1(< a, b >), a < x < b.Teza:
f (x) = f (a) +x − a
1!f (1)(a) +
(x − a)2
2!f (2)(a) + . . .+
+(x − a)n
n!f (n)(a) +
∫ xa
(x − t)n
n!f (n+1)(t) dt
Ostatni wyraz często nazywa się n−tą resztą i oznacza przezRn(x , a).
Lagrange pokazał, że∨0≤θ≤1
Rn(x , a) = (x−a)n+1(n+1)! f
(n+1)(a+ θ(x − a))
Szereg potęgowy f (x) = f (a) +∞∑n=1
f (n)(a)n! (x − a)n nazywamy
szeregiem Taylora.Dla a = 0 szerec Taylora nazywa się szeregiem Maclaurina.
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Twierdzenie
Funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale (a− δ, a+ δ),δ > 0, jeżeli w tym przedziale:1. funkcja ma pochodne każdego rzędu2. limn→∞
Rn(x , a) = 0 dla x z przedziału (a− δ, a+ δ)
Warunek 2. jest w szczególności spełniony, jeżeli istnieje M > 0 takie, że∧x∈(a−δ,a+δ)
|f (n)(x)| < M
Przykłady.ex = 1 + x + x2
2! + x3
3! + . . .+ xn
n! + . . .
sin x = x − x3
3! + x4
4! + 53
5! − . . .+ x4k+1
(4k+1)! −x4k+3
(4k+3)! + . . .
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
MACIERZE
Macierz wymiaru m × nMacierz A wymiaru m × n jest prostokątną tablicą elementówaij , i = 1, . . .m, j = 1, . . . , n:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i „innejeszcze obiekty”. Będziemy oznaczać w skrócie A = (aij)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero
Transpozycją macierzy A = (aij) o wymiarach m × n jest macierzAT = (aji ) o wymiarach n ×m
O macierzy A wymiaru m× n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n
Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodziwarunek AT = A
Macierz A = (aij) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz aij = 0dla i 6= j
Macierz identycznościowa I : macierz diagonalna, która ma samejedynki na przekątnej
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Sumą macierzy A = (aij) oraz B = (bij) o jednakowych wymiarach jestmacierz A+ B = (aij + bij)
Różnicą macierzy A = (aij) oraz B = (bij) o jednakowych wymiarachjest macierz A− B = (aij − bij)
Mnożenie macierzy A = (aij) przez liczbę α:
αA = (α · aij)
Przemienność, łączność oraz rozdzielność mnożenia macierzy przezliczbę (α, β ∈ R):
αA = Aα, α(βA) = (αβ)A, (α± β)A = αA± βB, α(A±B) = αA±αB
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Mnożenie macierzy A = (aij) wymiaru m × n przez wektorv = [v1, . . . , vn]T :
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . .am1 am2 . . . amn
v1v2...vn
=
a11v1 + a12v2 + . . .+ a1nvna21v1 + a22v2 + . . .+ a2nvn
...am1v1 + am2v2 + . . .+ amnvn
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Mnożenie macierzy A = (aij) wymiaru m × n przez macierzB = (b1, b2, . . . , bk) wymiaru n × k :
AB = (Ab1,Ab2, . . . ,Abk)
Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB)T = BTAT
Rząd macierzy
Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumnjest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę rnazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A)
Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n × n, dla którejR(A)=n.
Macierz odwrotna A−1 do macierzy kwadratowej A:
A−1A = I = AA−1
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Wyznacznik macierzy A wymiaru n × n (kwadratowej)
Wyznacznik to funkcja (oznaczona przez det)
det : { zbiór macierzy kwadratowych} → R
o własnościach:
det(I ) = 1
det(A) = 0 jeżeli A ma dwa sąsiednie wiersze równe
det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersza
Uwaga: istnieje tylko jedna taka funkcja
Uwaga: Na nstępnych slajdach A(ij) oznacza macierz powstałą zmacierzy A poprzez usunięcie z niej i-tego wiersza oraz j−tej kolumny.
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Własności wyznaczników:
Twierdzenie Laplace’a dla kolumn:
det(A) =n∑i=1
aij(−1)i+jdet(A(i , j))
dla i = 1, . . . , n
det(A) = 0⇔ R(A) < n
det(A) = −det(B), jeżeli B powstaje z A przez zamianę miejscamidwóch wierszy macierzy A
det(A) = det(B), jeżeli B powstaje z A przez dodanie/odjęcie oddanego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę
Twierdzenie Cauchy’ego: det(AB) = det(A)det(B)
Jeżeli R(A) = n (macierz A jest pełnego rzędu), todet(A−1) = (det(A))−1
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Własności wyznaczników:
Twierdzenie Laplace’a dla wierszy:
det(A) =n∑j=1
aij(−1)i+jdet(A(i , j))
dla i = 1, . . . , n
det(A) = −det(B), jeżeli B powstaje z A przez zamianę miejscamidwóch kolumn macierzy A
det(A) = det(B), jeżeli B powstaje z A przez dodanie/odjęcie oddanej kolumny innej kolumny przemnożonej przez dowolną liczbę
det(A) jest funkcją liniową dowolnej kolumny
det(AT ) = det(A)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Niech A = (aij) macierz wymiaru n × n, c = [c1, . . . , cn]T orazx = [x1, . . . , xn]T . Macierz A oraz wektor c traktujemy jako znane, awektor x jako nieznany (wektor niewiadomych). Interesuje nasrozwiązanie układu równań Ax = c , tzn.
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2
...an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = cn
Twierdzenie. Jeżeli det(A) 6= 0, to powyższy układ równań liniowychma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to można uzyskać zapomocą wzorów Cramera:
xi =det(a1, a2, . . . , ai−1, c , ai+1, . . . an)
det(A), i = 1, 2, . . . , n,
gdzie ai oznacza i−tą kolumnę macierzy A
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Niech A = (aij) macierz wymiaru m × n, c = [c1, . . . , cm]T orazx = [x1, . . . , xn]T . Interesuje nas rozwiązanie układu równań Ax = c , tzn.
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2
...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = cm
Niech
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
B =
a11 a12 . . . a1n c1a21 a22 . . . a2n c2
......
. . ....
...am1 am2 . . . amn cm
Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Powyższy układ równań liniowychma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B) = r , przy tym1) jeżeli r = n, to układ ma jedno rozwiązanie,2) jeżeli r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są onezależne od n − r parametrów.
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Niech A = (a1, . . . , an) będzie macierzą wymiaru n × n. Wektorya1, . . . , an są jej kolumnami. Oznaczmy przez dAij wyznacznik z macierzy(a1, . . . , ai−1, ei , ai+1, . . . , an), która powstała z A poprzez zamianękolumny aj na wektor ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T (który na i−tymmiejscu ma jedynkę, a poza tym same zera).
Macierz stowarzyszona AdjA do macierzy A:
AdjA =
dA11 dA12 . . . dA1ndA21 dA22 . . . dA2n
......
. . ....
dAn1 dAn2 . . . dAnn
Twierdzenie: Macierz odwrotną do macierzy A można wyznaczyćwedług wzoru:
A−1 = AdjA · ( 1det(A)
)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Forma kwadratowa
Niech x = [x1, . . . , xn]T będzie wektorem n wymiarowym oraz niechA = (aij) będzie macierzą symetryczną stopnia n (wymiaru n × n).Odwzorowanie x → xTAx =
∑ni=1
∑nj=1 aijxixj nazywamy formą
kwadratową
Macierz symetryczna A jest
dodatnio określona: xTAx > 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A > 0)ujemnie określona: xTAx < 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A < 0)niedodatnio określona: xTAx ≤ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≤ 0)nieujemnie określona: xTAx ≥ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≥ 0)
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Całka oznaczonaCałka niewłaściwa
Wzór TayloraMacierze
Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność
Kryterium Sylvestera
Macierz symetryczna A = (aij) stopnia n jest dodatnio określona wtedy itylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są dodatnie:
a11 > 0
det
a11 a12 . . . a1ka21 a22 . . . a2k
......
. . .ak1 ak2 . . . akk
> 0, dla k = 2, . . . , n
Uwaga: Jeżeli chcemy sprawdzić, czy macierz jest ujemnie określona,należy sprawdzić, czy macierz „−A”jest określona dodatnio
Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki