Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka...
Transcript of Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka...
Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: [email protected]
PIOTR OSTALCZYK
Instytut Informatyki Stosowanej
Politechnika Łódzka
Regulator zmiennych niecałkowitych rzędów różniczkowania w sterowaniu
elementami platformy mobilnej
XXI Międzynarodowy Salon Przemysłu Obronnego
MSPO Kielce 2013
Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: [email protected]
Wykład dostępny pod adresem
http://www.kis.p.lodz.pl/news.html
Spis treści 1. Pochodna i całka
1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna pochodna i całka określona
1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów 1.2.1 Przypadek szczególny – klasyczna różnica wsteczna i suma 1.2.2 Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów
2 Regulator PID
2.1 Podstawowa struktura układu regulacji 2.2 Klasyczny regulator PID
2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID 2.2.2 Klasyczny dyskretny regulator PID
2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.3 Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.4 Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów
3 Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe 4 Problemy otwarte 5 Wnioski koocowe 6 Literatura 7 Dyskusja naukowa
Ad. 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów Riemanna-
Liouville’a
Dla ,
- Funkcja Gamma Eulera
Ad.1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna pochodna i całka
określona
Dla ,
Ad. 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów Grünwalda-
Letnikova
Postać: Grünwalda-letnikova, Hornera, Caputo, Riemanna-Liouville’a
– różnicowana/sumowana funkcja
– współczynniki
– rząd różnicowania ( ), sumowania ( )
Suma rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem
szarym
Różnica rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem
szarym
Ad 1.2.1. Przypadek szczególny – klasyczna różnica wsteczna i
suma
Ad. 1.2.2.Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów
– różnicowana/sumowana funkcja
– współczynniki
– funkcja rzędu różnicowania ( ), sumowania
( )
Ad. 2.1. Podstawowa struktura układu regulacji Koncepcja regulatora 1890, PID ElmeraSperry z 1911 roku automatycznego sterowania statkiem, 1922 roku Nicolas Minorsky
)(sK )(sP
)(1 sy
)(2 sy
)(1 se
)(sr
)(sid
+
+
+
)(sH
)(2 se
)(sC
)(sn
)(sy
Obiekt
Regulator
)(sd
Sprzężenie zwrotne + +
+
+
– nominalna macierz transmitancji sterowanego obiektu o wymiarach
– macierz transmitancji regulatora o wymiarach
– macierz transmitancji kompensatora wstępnego o wymiarach
– macierz transmitancji kompensatora w sprzężeniu zwrotnym oraz dynamikę czujników pomiarowych o wymiarach
– wektor sygnałów o wymiarze zamkniętego układu regulacji
– wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału sterującego o wymiarze zamkniętego układu regulacji
– wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału wyjściowego obiektu o wymiarze zamkniętego układu regulacji
– wektor sygnałów reprezentujących szumy pomiarowe wprowadzane przez czujniki, o wymiarze ,
– wektor sygnałów wyjściowych zamkniętego układu regulacji o wymiarze
– wektor sygnałów wyjściowych regulatora (na ten sygnał nakłada się zazwyczaj ograniczenie ),
– wektor sygnałów wyjściowych obiektu (sygnał ten jest w praktyce niemierzalny),
– wektor sygnałów uchybu regulacji (sygnał ten służy jako miara jakości regulacji (miara efektów działania regulatora)),
– wektor sygnałów uchybu regulatora (sygnał ten służy jako miara jakości (efektów działania regulatora) regulacji).
Ad. 2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID
– zakres proporcjonalności,
– czas zdwojenia (stała całkowania) ,
– wyprzedzenia (stała różniczkowania).
Transmitancja operatorowa regulatora PID
Ad. 2.2.1 Klasyczny dyskretny regulator PID
Transmitancje obu wersji dyskretnego regulatora PID różnią się nieznacznie (różnice zaznaczone są kolorem czerwonym)
Postać równoważna
Współczynnik Całkowanie metodą
prostokątów
Całkowanie metodą
trapezów
Równanie 1
Ad.2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów Ad.2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów
kvk
GLDkk
GLIkPk eKeKeKu
)(0
)(0 ++=
0>,0< v
Równanie 2
Ad.2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych
rzędów
kvk
GLDkk
GLIkPk eKeKeKu kk )(
0)(
0 ++=
0>,0< kk v
,2,1,0=k
)(0
kvk
GL
)(0
kk
GL
PK
IK
DK
ke ku
Schemat blokowy dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych
rzędów
Ad.2.3.3. Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów
Ad.2.3.4. Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID
zmiennych niecałkowitych rzędów
Vek
3.3 , 1.0P
K , 01.0I
K , 1DK .
Przebiegi funkcji rzędów różnicowania i sumowania
Odpowiedź skokowa regulatora PID zmiennych niecałkowitych
rzędów
Uchyb pomiędzy odpowiedzią regulatora PID zrealizowaną w układzie
mikroprocesorowym oraz symulowaną w programie MATLAB
Ad.3. Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje
komputerowe
,
, ,
Ad.4. Problemy otwarte
Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania
Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania zależnych od uchybu i sygnału wyjściowego regulatora
Model niecałkowitego rzędu dynamiki ramion robota w oparciu o formalizm Eulera-Lagrange’a
Model niecałkowitego rzędu dynamiki platformy mobilnej
Zastosowanie uproszczonych postaci różnicy i sumy niecałkowitego rzędu
Optymalizacja realizacji mikroprocesorowych
Ad.5. Wnioski końcowe
Narzędzie matematyczne:
rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu będzie
rachunkiem XXI wieku (Katsuyuki Nishimoto). Wszystko
wskazuje, że już się staje.
Zastosowania:
Modelownie zjawisk fizycznych (procesy dyfuzji, modelowanie procesów tarcia, modelownie elementów elektronicznych - kondensatorów i cewek magnetycznych)
Analiza dynamiki zjawisk i układów fizycznych
Synteza zamkniętych układów sterowania z algorytmami opisanymi równaniami różnicowymi niecałkowitych rzędów
Przetwarzanie obrazów
Projektowanie trajektorii autonomicznych ruchomych obiektów
Ad.6. Literatura
Äström K.J., Hägglund T. (1995). PID controllers:. Theory, design and tuning,
Instrument Society of America.
Axtell, M., Bise, M. E. (1990), Fractional calculus applications in control systems,
Proceedings of the IEEE 1990 National Aerospace and Electronics Conference,
New York, USA, pp. 563–566.
Baleanu, D., Defterli, O., Agrawal, O.P. (2009) A central difference numerical
scheme for fractional optimal control problems, JVC/Journal of Vibration and
Control 15 (4) , pp. 583-597.
Baleanu, D. K. Diethelm, E. Scalas, and J. J. Trujillo, Fractional Calculus Models
and Numerical Methods, World Scientific, Singapore, 2012.
Barbosa, R.S., Tenreiro Machado J.A., Galhano A.M,, (2006). Performance of
Fractional PID Algorithms Control in Nonlinear Systems with Saturation and
Backlash Phenomena, Journal of Vibration and Control, vol.13, No.9 - 10, pp.
1407 – 1418.
Barbosa, R. S., Machado, T. J. A. & Jesus, I. S. (2008), On the fractional pid control
of a laboratory servo system, in ‘Proceedings of the 17thWorld Congress. The
International Federation of Automatic Control’, Seoul, Korea, pp. 15273–15278.
Barbosa, R. S., Machado, T. J. A., Jesus, I. S. (2010), Effect of fractional orders in
the velocity control of a servo system, Computers and Mathematics with
Applications 59, 1679–1686
Caponetto, R., Fortuna, L., Porto, D. (2002), Parameter tuning of a non integer
order pid controller, Proceedings of the 15thinternational symposium on
mathematical theory of networks and systems’, Notre Dame, Indiana, USA.
Chen, Y. (2006), Ubiquitous fractional order controllers?, Proceedings of the
Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications,
Porto, Portugal, pp. 481–492.
Chen YQ., Petras I., Xue D., (2009), Fractional Order Control - A Tutorial, 2009
American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA
June 10-12, 2009.
Delavari, H., Ghaderi, R., Ranjbar, A. N., HosseinNia, H. S., Momani, S. (2010),
Adaptive Fractional PID Controller for Robot Manipulator, Proceedings of the 4th
IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications., Badajoz,
Spain.
Franklin G.F., Powell J.D., Ememi-Naeini (2002), Feedback Control of Dynamic
Systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Yersey.
Goodwin, G. C., Graebe, S. F., and Salgado, M. E. (2000), Control System Design.
Prentice Hall,
Ifeachor, E.C., Jervis B.W. (1998). Digital Signal Processing. A practical Approach,
Addison - Wesley, Harlow.
Li, H., Luo Y., Chen Y., (2010). A Fractional Order Proportional and Derivative
(FOPD) Motion Controller: Tuning Rule and Experiments, IEE Transactions on
Control Systems Technology, vol.18, No.2, pp. 516 – 520.
Luo, Y. Chen, Y. (2009), Fractional order proportional derivative controller for
robust motion control: Tuning procedure and validation, Proceedings of the
American Control Conference, Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, Missouri,
USA, pp. 1412–1417.
Machado, T. J. A. (1997), Analysis and design of fractional-order digital control
systems, Journal of Systems Analysis-Modeling-Simulation 27(2-3), 107–122.
Matusu, R. (2011), Application of fractional order calculus to control theory,
International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences
5(7), 1162–1169.
Merrikh-Bayat, F. (2011), Optimal tuning rules of the fractional-order PID
controllers with application to first-order plus time delay processes, Proceedings
of the 2011 4th International Symposium on Advanced Control of Industrial
Processes, Thousand Islands Lake, Hangzhou, P.R. China, pp. 403–408.
Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y., Feliu, V., Lanusse, P. Sabatier, J. (2004),
Proposals for fractional PIλDµ tuning, Proceedings of Fractional Differentiation
and its Applications, Bordeaux, France.
Monje, C. A., Vinagre, B. M., Feliu, V. & Chen, Y. (2008), ‘Tuning and auto-tuning
of fractional order controllers for industry applications’, Control Engineering
Practice 16(7), 798–812.
Monje, C. A., Chen, Y., Vinagre, B. M., Xue, D., Feliu, V. (2010), Fractional-order
Systems and Controls - Fundamentals and Applications, Springer-Verlag London.
Ogata, K. (1987). Discrete-Time Control Systems, Prentice – Hall International
Editions, Englewood Cliffs.
Ostalczyk, P. (1995). Fractional-order backward difference equivalent forms. In Le
Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. (eds.),
Fractional differentiation and its applications., Systems analysis, implementation
and simulation, system identification and control, 545 – 556, Ubooks Verlag,
Neusäß – Germany 2005.
Ostalczyk, P. (2012a), On a variable-, fractional-orders pid control, Advances in
Control Theory and Automation, Printing House of Bialystok University of
Technology, Poland,
Ostalczyk, P. (2012b), Variable-, fractional-order discrete pid controller,
Proceedings of the 17th Conference on Method and Models in Automation and
Robotics, Międzyzdroje, Poland, pp. 534–539.
Ostalczyk P., Duch P., Brzeziński D., Sankowski D. (2013): On the variable-,
fractional-order pid controller dsp realisation problems. Journal of Vibration and
Control. (submitted for publication)
Padula, F., Visioli, A. (2011), Tuning rules for optimal pid and fractional-order PID
controllers, Journal of Process Control 21, 69–81.
Petráš, I., (2009), Fractional order feedback control of a dc motor, Journal of
Electrical Engineering 60(3), 117–128.
Podlubny I., (1994), Fractional-order Systems and Fractional-order Controllers.
Slovak Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, UEF SAV
Kosice.
Podlubny, I., (1999), Fractional-Order Systems and PIλDµ-Controllers, IEEE
transactions on automatic control 44(1), pp. 208–214.
Podlubny I., (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press, London.
Podlubny, I., Dorcak, L., Kostial, I. (1997), On Fractional Derivatives, Fractional-
Order Dynamic Systems and PIλDµ-controllers, Proceedings of the
36thConference on Decision and Control’, San Diego, California, USA, pp.
4985–4990.
Raynaud, H.-F., Zergäınoh, A. (2000), State-space representation for fractional
order controllers, Automatica 36(7), 1017–1021.
Sheng Hu, Sun Hongguang, Coopman Calvin, Chen YangQuan, Bohannan Gary
W. (2010): Physical Experimental Study of Variable-order Fractional Integrator
and Differentiator. Proceedings of FDA’10. The 4th IFAC Workshop Fractional
Differentiation and its Applications. Badajoz, Spain, October 18-20, 2010 (Eds: I.
Podlubny, B. M. Vinagre Jara, YQ. Chen, V. Feliu Batlle, I. Tejado Balsera),
Singhal, R., Padhee, S., Kaur, G. (2012), Design of fractional order pid controller
for speed control of dc motor, International Journal of Control and Automation
3(4), 33–46.
Spong M.W, Vidyasagar M. (1989). Robot Dynamics and Control. John Wiley &
Sons, New York.
Valério, D., Costa, J. S., (2006), Tuning-rules for fractional pid controllers, in
‘Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and
its Applications’, Porto, Portugal.
Valério, D., Costa, J.S., (2006), Tuning of fractional pid controllers with Ziegler-
Nichols-type rules, Signal Processing 86, 2771–2784.
Xue, D., Zhao, C., Chen, Y. (2006), Fractional order pid control of a dc-motor with
elastic shaft: A case study, Proceedings of the 2006 American Control
Conference, Minneapolis, Minnesota, USA, pp. 3182–3187.
Xue, D., Chen, Y. (2002), A comparative introduction of four fractional order
controllers, Proceedings of the 4thWorld Congress on Intelligent Control and
Automation, Shanghai, P.R.China, pp. 3228–3235.
Yeroglu, C., Tan, N. (2011), Classical controller design techniques for fractional
order case, ISA Transactions 50, 461–472.
Zhao, C., Xue D., Chn Y., (2005). A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A
Class o Fractional Order Plants, Proceedings of the IEEE International
Conference n Mechatronics & Automation, Niagara Falls, Canada, pp. 216 –
220.
Zhao, C., Zhang, X. (2008), The application of fractional order pid controller to
position servomechanism, in ‘Proceedings of the 7thWorld Congress on Intelligent
Control and Automation’, Chongqing, China, pp. 3380–3383.
Dziękuję za uwagę
Zapraszam
do
dyskusji naukowej