Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka...

42
Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: [email protected] PIOTR OSTALCZYK Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka Regulator zmiennych niecałkowitych rzędów różniczkowania w sterowaniu elementami platformy mobilnej XXI Międzynarodowy Salon Przemysłu Obronnego MSPO Kielce 2013

Transcript of Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka...

Page 1: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: [email protected]

PIOTR OSTALCZYK

Instytut Informatyki Stosowanej

Politechnika Łódzka

Regulator zmiennych niecałkowitych rzędów różniczkowania w sterowaniu

elementami platformy mobilnej

XXI Międzynarodowy Salon Przemysłu Obronnego

MSPO Kielce 2013

Page 2: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Instytut Informatyki Stosowanej Politechniki Łódzkiej Ul. Stefanowskiego 18/22, 90-924 Łódź, Tel.: 042 631 2750, fax: 042 631 2755, e-mail: [email protected]

Wykład dostępny pod adresem

http://www.kis.p.lodz.pl/news.html

Page 3: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Spis treści 1. Pochodna i całka

1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna pochodna i całka określona

1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów 1.2.1 Przypadek szczególny – klasyczna różnica wsteczna i suma 1.2.2 Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów

2 Regulator PID

2.1 Podstawowa struktura układu regulacji 2.2 Klasyczny regulator PID

2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID 2.2.2 Klasyczny dyskretny regulator PID

2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów 2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.3 Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów 2.3.4 Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów

3 Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje komputerowe 4 Problemy otwarte 5 Wnioski koocowe 6 Literatura 7 Dyskusja naukowa

Page 4: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 1.1 Pochodna i całka niecałkowitych rzędów Riemanna-

Liouville’a

Dla ,

- Funkcja Gamma Eulera

Page 5: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna pochodna i całka

określona

Dla ,

Page 6: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna
Page 7: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 1.2 Różnica i suma niecałkowitych rzędów Grünwalda-

Letnikova

Postać: Grünwalda-letnikova, Hornera, Caputo, Riemanna-Liouville’a

Page 8: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

– różnicowana/sumowana funkcja

– współczynniki

– rząd różnicowania ( ), sumowania ( )

Page 9: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Suma rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem

szarym

Page 10: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Różnica rzędu -1 oraz -0.5 funkcji dyskretnej (o) jako suma pól oznaczonych kolorem

szarym

Page 11: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad 1.2.1. Przypadek szczególny – klasyczna różnica wsteczna i

suma

Page 12: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna
Page 13: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna
Page 14: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna
Page 15: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 1.2.2.Różnica i suma niecałkowitych zmiennych rzędów

– różnicowana/sumowana funkcja

– współczynniki

– funkcja rzędu różnicowania ( ), sumowania

( )

Page 16: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 2.1. Podstawowa struktura układu regulacji Koncepcja regulatora 1890, PID ElmeraSperry z 1911 roku automatycznego sterowania statkiem, 1922 roku Nicolas Minorsky

)(sK )(sP

)(1 sy

)(2 sy

)(1 se

)(sr

)(sid

+

+

+

)(sH

)(2 se

)(sC

)(sn

)(sy

Obiekt

Regulator

)(sd

Sprzężenie zwrotne + +

+

+

– nominalna macierz transmitancji sterowanego obiektu o wymiarach

– macierz transmitancji regulatora o wymiarach

– macierz transmitancji kompensatora wstępnego o wymiarach

– macierz transmitancji kompensatora w sprzężeniu zwrotnym oraz dynamikę czujników pomiarowych o wymiarach

– wektor sygnałów o wymiarze zamkniętego układu regulacji

– wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału sterującego o wymiarze zamkniętego układu regulacji

– wektor sygnałów zakłócających wektor sygnału wyjściowego obiektu o wymiarze zamkniętego układu regulacji

– wektor sygnałów reprezentujących szumy pomiarowe wprowadzane przez czujniki, o wymiarze ,

– wektor sygnałów wyjściowych zamkniętego układu regulacji o wymiarze

– wektor sygnałów wyjściowych regulatora (na ten sygnał nakłada się zazwyczaj ograniczenie ),

– wektor sygnałów wyjściowych obiektu (sygnał ten jest w praktyce niemierzalny),

– wektor sygnałów uchybu regulacji (sygnał ten służy jako miara jakości regulacji (miara efektów działania regulatora)),

– wektor sygnałów uchybu regulatora (sygnał ten służy jako miara jakości (efektów działania regulatora) regulacji).

Page 17: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 2.2.1 Klasyczny ciągły regulator PID

– zakres proporcjonalności,

– czas zdwojenia (stała całkowania) ,

– wyprzedzenia (stała różniczkowania).

Page 18: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Transmitancja operatorowa regulatora PID

Page 19: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad. 2.2.1 Klasyczny dyskretny regulator PID

Page 20: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Transmitancje obu wersji dyskretnego regulatora PID różnią się nieznacznie (różnice zaznaczone są kolorem czerwonym)

Page 21: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Postać równoważna

Współczynnik Całkowanie metodą

prostokątów

Całkowanie metodą

trapezów

Page 22: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Równanie 1

Ad.2.3 Regulator PID niecałkowitych rzędów Ad.2.3.1 Dyskretny regulator PID niecałkowitych rzędów

kvk

GLDkk

GLIkPk eKeKeKu

)(0

)(0 ++=

0>,0< v

Page 23: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Równanie 2

Ad.2.3.2 Dyskretny regulator PID zmiennych niecałkowitych

rzędów

kvk

GLDkk

GLIkPk eKeKeKu kk )(

0)(

0 ++=

0>,0< kk v

,2,1,0=k

Page 24: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

)(0

kvk

GL

)(0

kk

GL

PK

IK

DK

ke ku

Schemat blokowy dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych

rzędów

Page 25: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.2.3.3. Struktura dyskretnego regulatora PID zmiennych niecałkowitych rzędów

Page 26: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.2.3.4. Odpowiedzi skokowe dyskretnego regulatora PID

zmiennych niecałkowitych rzędów

Vek

3.3 , 1.0P

K , 01.0I

K , 1DK .

Przebiegi funkcji rzędów różnicowania i sumowania

Page 27: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Odpowiedź skokowa regulatora PID zmiennych niecałkowitych

rzędów

Page 28: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Uchyb pomiędzy odpowiedzią regulatora PID zrealizowaną w układzie

mikroprocesorowym oraz symulowaną w programie MATLAB

Page 29: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.3. Przebiegi w układzie rzeczywistym i symulacje

komputerowe

Page 30: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

,

Page 31: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

, ,

Page 32: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna
Page 33: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.4. Problemy otwarte

Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania

Dobór funkcji rzędu dyskretnego różniczkowania i całkowania zależnych od uchybu i sygnału wyjściowego regulatora

Model niecałkowitego rzędu dynamiki ramion robota w oparciu o formalizm Eulera-Lagrange’a

Model niecałkowitego rzędu dynamiki platformy mobilnej

Zastosowanie uproszczonych postaci różnicy i sumy niecałkowitego rzędu

Optymalizacja realizacji mikroprocesorowych

Page 34: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.5. Wnioski końcowe

Narzędzie matematyczne:

rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu będzie

rachunkiem XXI wieku (Katsuyuki Nishimoto). Wszystko

wskazuje, że już się staje.

Zastosowania:

Modelownie zjawisk fizycznych (procesy dyfuzji, modelowanie procesów tarcia, modelownie elementów elektronicznych - kondensatorów i cewek magnetycznych)

Analiza dynamiki zjawisk i układów fizycznych

Synteza zamkniętych układów sterowania z algorytmami opisanymi równaniami różnicowymi niecałkowitych rzędów

Przetwarzanie obrazów

Projektowanie trajektorii autonomicznych ruchomych obiektów

Page 35: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Ad.6. Literatura

Äström K.J., Hägglund T. (1995). PID controllers:. Theory, design and tuning,

Instrument Society of America.

Axtell, M., Bise, M. E. (1990), Fractional calculus applications in control systems,

Proceedings of the IEEE 1990 National Aerospace and Electronics Conference,

New York, USA, pp. 563–566.

Baleanu, D., Defterli, O., Agrawal, O.P. (2009) A central difference numerical

scheme for fractional optimal control problems, JVC/Journal of Vibration and

Control 15 (4) , pp. 583-597.

Baleanu, D. K. Diethelm, E. Scalas, and J. J. Trujillo, Fractional Calculus Models

and Numerical Methods, World Scientific, Singapore, 2012.

Barbosa, R.S., Tenreiro Machado J.A., Galhano A.M,, (2006). Performance of

Fractional PID Algorithms Control in Nonlinear Systems with Saturation and

Backlash Phenomena, Journal of Vibration and Control, vol.13, No.9 - 10, pp.

1407 – 1418.

Barbosa, R. S., Machado, T. J. A. & Jesus, I. S. (2008), On the fractional pid control

of a laboratory servo system, in ‘Proceedings of the 17thWorld Congress. The

International Federation of Automatic Control’, Seoul, Korea, pp. 15273–15278.

Page 36: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Barbosa, R. S., Machado, T. J. A., Jesus, I. S. (2010), Effect of fractional orders in

the velocity control of a servo system, Computers and Mathematics with

Applications 59, 1679–1686

Caponetto, R., Fortuna, L., Porto, D. (2002), Parameter tuning of a non integer

order pid controller, Proceedings of the 15thinternational symposium on

mathematical theory of networks and systems’, Notre Dame, Indiana, USA.

Chen, Y. (2006), Ubiquitous fractional order controllers?, Proceedings of the

Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications,

Porto, Portugal, pp. 481–492.

Chen YQ., Petras I., Xue D., (2009), Fractional Order Control - A Tutorial, 2009

American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA

June 10-12, 2009.

Delavari, H., Ghaderi, R., Ranjbar, A. N., HosseinNia, H. S., Momani, S. (2010),

Adaptive Fractional PID Controller for Robot Manipulator, Proceedings of the 4th

IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications., Badajoz,

Spain.

Franklin G.F., Powell J.D., Ememi-Naeini (2002), Feedback Control of Dynamic

Systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Yersey.

Goodwin, G. C., Graebe, S. F., and Salgado, M. E. (2000), Control System Design.

Prentice Hall,

Ifeachor, E.C., Jervis B.W. (1998). Digital Signal Processing. A practical Approach,

Addison - Wesley, Harlow.

Page 37: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Li, H., Luo Y., Chen Y., (2010). A Fractional Order Proportional and Derivative

(FOPD) Motion Controller: Tuning Rule and Experiments, IEE Transactions on

Control Systems Technology, vol.18, No.2, pp. 516 – 520.

Luo, Y. Chen, Y. (2009), Fractional order proportional derivative controller for

robust motion control: Tuning procedure and validation, Proceedings of the

American Control Conference, Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, Missouri,

USA, pp. 1412–1417.

Machado, T. J. A. (1997), Analysis and design of fractional-order digital control

systems, Journal of Systems Analysis-Modeling-Simulation 27(2-3), 107–122.

Matusu, R. (2011), Application of fractional order calculus to control theory,

International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences

5(7), 1162–1169.

Merrikh-Bayat, F. (2011), Optimal tuning rules of the fractional-order PID

controllers with application to first-order plus time delay processes, Proceedings

of the 2011 4th International Symposium on Advanced Control of Industrial

Processes, Thousand Islands Lake, Hangzhou, P.R. China, pp. 403–408.

Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y., Feliu, V., Lanusse, P. Sabatier, J. (2004),

Proposals for fractional PIλDµ tuning, Proceedings of Fractional Differentiation

and its Applications, Bordeaux, France.

Monje, C. A., Vinagre, B. M., Feliu, V. & Chen, Y. (2008), ‘Tuning and auto-tuning

of fractional order controllers for industry applications’, Control Engineering

Practice 16(7), 798–812.

Page 38: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Monje, C. A., Chen, Y., Vinagre, B. M., Xue, D., Feliu, V. (2010), Fractional-order

Systems and Controls - Fundamentals and Applications, Springer-Verlag London.

Ogata, K. (1987). Discrete-Time Control Systems, Prentice – Hall International

Editions, Englewood Cliffs.

Ostalczyk, P. (1995). Fractional-order backward difference equivalent forms. In Le

Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. (eds.),

Fractional differentiation and its applications., Systems analysis, implementation

and simulation, system identification and control, 545 – 556, Ubooks Verlag,

Neusäß – Germany 2005.

Ostalczyk, P. (2012a), On a variable-, fractional-orders pid control, Advances in

Control Theory and Automation, Printing House of Bialystok University of

Technology, Poland,

Ostalczyk, P. (2012b), Variable-, fractional-order discrete pid controller,

Proceedings of the 17th Conference on Method and Models in Automation and

Robotics, Międzyzdroje, Poland, pp. 534–539.

Ostalczyk P., Duch P., Brzeziński D., Sankowski D. (2013): On the variable-,

fractional-order pid controller dsp realisation problems. Journal of Vibration and

Control. (submitted for publication)

Padula, F., Visioli, A. (2011), Tuning rules for optimal pid and fractional-order PID

controllers, Journal of Process Control 21, 69–81.

Petráš, I., (2009), Fractional order feedback control of a dc motor, Journal of

Electrical Engineering 60(3), 117–128.

Page 39: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Podlubny I., (1994), Fractional-order Systems and Fractional-order Controllers.

Slovak Academy of Sciences Institute of Experimental Physics, UEF SAV

Kosice.

Podlubny, I., (1999), Fractional-Order Systems and PIλDµ-Controllers, IEEE

transactions on automatic control 44(1), pp. 208–214.

Podlubny I., (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press, London.

Podlubny, I., Dorcak, L., Kostial, I. (1997), On Fractional Derivatives, Fractional-

Order Dynamic Systems and PIλDµ-controllers, Proceedings of the

36thConference on Decision and Control’, San Diego, California, USA, pp.

4985–4990.

Raynaud, H.-F., Zergäınoh, A. (2000), State-space representation for fractional

order controllers, Automatica 36(7), 1017–1021.

Sheng Hu, Sun Hongguang, Coopman Calvin, Chen YangQuan, Bohannan Gary

W. (2010): Physical Experimental Study of Variable-order Fractional Integrator

and Differentiator. Proceedings of FDA’10. The 4th IFAC Workshop Fractional

Differentiation and its Applications. Badajoz, Spain, October 18-20, 2010 (Eds: I.

Podlubny, B. M. Vinagre Jara, YQ. Chen, V. Feliu Batlle, I. Tejado Balsera),

Singhal, R., Padhee, S., Kaur, G. (2012), Design of fractional order pid controller

for speed control of dc motor, International Journal of Control and Automation

3(4), 33–46.

Spong M.W, Vidyasagar M. (1989). Robot Dynamics and Control. John Wiley &

Sons, New York.

Page 40: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Valério, D., Costa, J. S., (2006), Tuning-rules for fractional pid controllers, in

‘Proceedings of the Second IFAC Symposium on Fractional Differentiation and

its Applications’, Porto, Portugal.

Valério, D., Costa, J.S., (2006), Tuning of fractional pid controllers with Ziegler-

Nichols-type rules, Signal Processing 86, 2771–2784.

Xue, D., Zhao, C., Chen, Y. (2006), Fractional order pid control of a dc-motor with

elastic shaft: A case study, Proceedings of the 2006 American Control

Conference, Minneapolis, Minnesota, USA, pp. 3182–3187.

Xue, D., Chen, Y. (2002), A comparative introduction of four fractional order

controllers, Proceedings of the 4thWorld Congress on Intelligent Control and

Automation, Shanghai, P.R.China, pp. 3228–3235.

Yeroglu, C., Tan, N. (2011), Classical controller design techniques for fractional

order case, ISA Transactions 50, 461–472.

Zhao, C., Xue D., Chn Y., (2005). A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A

Class o Fractional Order Plants, Proceedings of the IEEE International

Conference n Mechatronics & Automation, Niagara Falls, Canada, pp. 216 –

220.

Zhao, C., Zhang, X. (2008), The application of fractional order pid controller to

position servomechanism, in ‘Proceedings of the 7thWorld Congress on Intelligent

Control and Automation’, Chongqing, China, pp. 3380–3383.

Page 41: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Dziękuję za uwagę

Page 42: Instytut Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka · Spis treści 1. Pochodna i całka 1.1Pochodna i całka niecałkowitych rzędów 1.1.1 Przypadek szczególny – klasyczna

Zapraszam

do

dyskusji naukowej