AUTOMATYKAi

ROBOTYKA

(wykład 3)

Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiRNazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Własności statyczne systemów dynamicznych

Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt u(t)u(t) y(t)y(t)

Sposób wyznaczania:1. Podajemy sygnał u o stałej wartości na wejście

obiektu,2. Czekamy, aż wartość wyjścia „y(t)” się ustali,3. Odczytujemy wyjście „y”4. Zmieniamy stałą wartość wejścia „u” i powtarzamy

kroki 1-3

Charakterystyka statyczna opisuje zależność wyjścia systemu dynamicznego od jego wejścia w stanie USTALONYM.

Przykładowy przebieg charakterystyki statycznej:

UWAGA! Charakterystyka statyczna prawie każdego rzeczywistego układu jest nieliniowa!

Wyj

ście

ukł

adu

yW

yjśc

ie u

kład

u y

Wejście uWejście u

Punkt pracyPunkt pracy

Punkt pracy układu

Punkt pracy układuJest zdeterminowany przez warunki konkretnego procesu, np. jest to wymagana temperatura pieca, w której przebiega proces, itp.

W praktyce obiekt może mieć kilka punktów pracy ( np. kilka różnych temperatur)

Linearyzacja statyczna

W niewielkim otoczeniu punktu pracy układ może być uważany za liniowy.

y

u

PunktPunktpracypracy

ZakresZakresliniowyliniowy

ZakresZakresliniowyliniowy

P(u0,y0)

Linearyzacja dynamiczna

Dane jest nieliniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu, opisujące system dynamiczny:

;,...,

;,...,

0),..,,,..,,(

)(

)(

)()(

n

nn

n

nn

nn

dt

ydy

dt

dyy

dt

udu

dt

duu

yyyuuuf

Linearyzacja dynamiczna

0.... )()(

00

)()(

00

n

nn

ny

y

fy

y

fu

u

fu

u

f

Rozwijamy funkcję f w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy P i zaniedbujemy nieliniowe wyrazy rozwinięcia. Równanie zlinearyzowane ma następującą postać:

Dla równania I rzędu powyższa zależność przyjmuje postać następującą:

00000

yy

fy

y

fu

u

fu

u

f

Linearyzacja dynamiczna

Interpretacja geometryczna.

y

u

PunktPunktpracypracy

P(u0,y0)

Przybliżenie liniowe

Transmitancja operatorowa

232

1

1

1

MJJ

ki

J

k

dt

d

vLL

ki

L

R

dt

diu

Model systemu dynamicznego w postaci transmitancji jest drugim, częściowo alternatywnym, częściowo uzupełniającym sposobem opisu systemów dynamicznych dla potrzeb automatyki.

Podstawowa ideą opisu transmitancyjnego jest badanie zachowania się wyjścia obiektu pod wpływem określonych sterowań.

W automatyce rozróżniamy dwa rodzaje transmitancji: transmitancję operatorową oraz transmitancję widmową, przy czym są one z sobą ściśle powiązane.

Dotychczas układy rzeczywiste opisywaliśmy (tworząc ich model matematyczny) równaniami różniczkowymi.

Np. model silnika prądu stałego.

Transmitancja operatorowa układu

Oznaczmy sygnał sterujący oddziałujący na obiekt przez u(t), a sygnał wyjściowy z obiektu przez y(t), a ich transformaty Laplace’a odpowiednio przez U(s) oraz Y(s).

Załóżmy też, że warunki początkowe na zbiornikach energii w układzie są zerowe.

Rozważmy najprostszy schemat systemu dynamicznego.

Załóżmy że: • rozważamy wyłącznie sygnały sterujące działające na obiekt ( nie

uwzględniamy zakłóceń ), • na obiekt działamy tylko jednym sterowaniem, a na wyjściu

obserwujemy tylko jeden sygnał wyjściowy.

Taki schemat procesu nazywamy schematem typu wejście-wyjście.

u(t) y(t)Proces

Definicja transformaty operatorowej

Transmitancją operatorową układu o jednym wejściu i jednym wyjściu nazywamy następujące wyrażenie:

Transmitancja jest więc stosunkiem transformaty Laplace’a wyjścia systemu do transformaty wejścia systemu, przy zerowych warunkach początkowych.

To ostatnie założenie jest bardzo istotne i decyduje o ograniczeniach stosowalności modelu transmitancyjnego. W praktyce, transmitancja ma najczęściej postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, przy czym lokalizacja pierwiastków tych wielomianów ma decydujące znaczenie dla własności układu.

)(

)()(

sU

sYsG

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy

Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x.

A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych

( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny

podpierającej,R - współczynnik oporów ruchu

części ruchomych.

pz(t)

A

m

k

R

x(t)

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.

• Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim:• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.

Fp(t) = Apz(t) • Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia

Fs(t)=kx(t) • Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w

rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości:

FR(t)=Rv(t)• jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem:

Fb(t)=ma(t)

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.

Bilans sił można zapisać następująco: Fp = Fs+FR+Fb

Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:

Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) Wiedząc, że:

Otrzymujemy: )()()(

)()(

txtvta

txtv

)()()()( txmtxRtkxtAp z Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych

warunków początkowych na x oraz będzie mieć następującą postać:

APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem –

sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać:

x

kRsms

A

sP

sXsG

z

2)(

)()(

Chrakterystyki czasowe

Definicja:Charakterystyką czasową nazywamy przebieg czasowy wyjścia układu y(t) wywołany określonym wymuszeniem.

Charakterystyka impulsowa: Jest to odpowiedź układu na impuls Diraca δ(t)

Charakterystyka skokowa: odpowiedź układu na skok jednostkowy 1(t)

Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk czasowych:

Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt

zadajnik

y(t)y(t)

t

Rejestrator,System SCADA

u(t) = 1(t),u(t) (t)

Analityczne wyznaczanie charakterystyki czasowej na podstawie transmitancji

)()()( 1 sUsGty L

Dla przypomnienia:

1)(

1)(1

tLs

tL

Przykład

Rozważmy obiekt inercyjny I rzędu: 1)(

Ts

ksG

Charakterystyka czasowa skokowa:

)1(1

1)()()( 111

Tss

kL

Ts

k

sLsGsULty

Powyższą relację rozkładamy na ułamki proste (przypominamy sobie z ćwiczeń):

1)( 1

Ts

B

s

ALty

Gdzie:

kTB

kA

Stąd natychmiast otrzymujemy, że:

T

t

etk

Tss

LkTs

B

s

ALty )(1

111

1)( 11

Transmitancja widmowa

)(

)()(

jU

jYjG

w

w

Definicja

Transmitancją widmową układu nazywamy stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Yw tego układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości zespolonej tego wymuszenia:

Doświadczalne wyznaczanie transmitancji widmowej i charakterystyk częstotliwościowych:

Obiekt Obiekt Obiekt Obiekt

generator

u(t) = Au sin(t)Rejestracja:M() i ()

y(t)=Ay sin (t+ )

Transmitancja widmowa

Sygnał wejściowy U:

tjUw e)(A)j(U

Odpowiedź obiektu Y:

))(()()( tjYw eAjY

Transmitancja widmowa

Moduł transmitancji:

22 QP

A

AjGM

u

Y )(

)()()(

Faza transmitancji:

P

QtgarcjG )(arg)(

• A(ω) – amplituda,• (ω) – faza

)()()()()( jeMjQPjG

Analityczne wyznaczanie transmitancji widmowej:

Wykorzystujemy związek pomiędzy transmitancją widmową i operatorową, pozwalający na wyznaczenie transmitancji widmowej na podstawie transmitancji operatorowej:

jssGjG

)()(

Przykład

Wyznaczyć transmitancję widmową G(j) dla obiektu I rzędu o transmitancji operatorowej:

1)(

Ts

ksG

1)(

1)(

1

)1(

1)(

22

22

22

T

TkQ

T

kP

T

Tjk

Tj

kjG

Charakterystyki częstotliwościowe

Definicja

Charakterystyką amplitudowo – fazową układu (charakterystyką Nyquista ) nazywamy wykres transmitancji widmowej tego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

Przykład:

Q()

P

= 0

M)(

Charakterystyki częstotliwościowe

Definicja

• Logarytmiczną charakterystyką amplitudową (charakterystyką Bodego ) nazywamy zależność 20logM() w funkcji log

Definicja• Logarytmiczną charakterystyką fazy nazywamy zależność w funkcji log

)(

Przykład 20logM()[dB]

)( log

Podstawowe człony dynamiczne

Transmitancja opisująca membranowy siłownik pneumatyczny: kRsms

A

sP

sXsG

z

2)(

)()(

Transmitancja opisująca obwód RLC:1

12

RCsLCssU

sUsG

we

wy

)(

)()(

Transmitancja opisująca zespół masa-tłumik-sprężyna:

mk

RFx

kRsmssF

sXsG

2

1

)(

)()(

Podstawowe człony dynamiczne

• Na podstawie wcześniejszych rozważań możemy zauważyć, że tym samym modelem matematycznym można opisać wiele zupełnie różnych procesów fizycznych.

• W konsekwencji tego, grupy procesów będą mogły być opisane transmitancjami tego samego typu.

• W związku z tym można stwierdzić, że ogromna większość rzeczywistych procesów dynamicznych może być opisana kilkoma podstawowymi transmitancjami, bądź ich połączeniem.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny

)(11

)( 1 tkks

Lty

u(t)=1(t)

czas

y(t)y(t)

Transmitancja tego elementu ma postać: G(s) = k

Charakterystyka czasowa:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny

Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa:

Charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy:

P(ω)

Q(ω)

k

ω

20logM(ω)

Φ(ω)

20log(k)

ω

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu

Transmitancja tego elementu ma postać:

Charakterystyka czasowa:

gdzie:

k – współczynnik

wzmocnienia,

T – stała czasowa,

A – amplituda skoku

jednostkowego.

1)(

Ts

ksG

T

t

etAkTs

k

sALty )()( 1

1

11

y(t)

A k

T t

0.6388A k

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu

Transmitancja widmowa:

1

1

1)(

22

T

Tjk

Tj

kjG

1)(

22

T

kP

1)(

22

T

TkQ

Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa:

P(ω)

Q(ω)

kω=0

ω=1/T

1)(

22

T

kM

)ctg()( Tar

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu

Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy:

ω

20logM(ω)

Φ(ω)

20log(k)

-20dB/dekadę

ω=1/T

-/4

-/2

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu

Transmitancja obiektu:

gdzie:

k – współczynnik wzmocnienia

T1 , T2 – stałe czasowe.

Charakterystyka czasowa:

11)(

21

sTsT

ksG

2121

21

21

1

1)(1

)1)(1(

1)(

T

t

T

t

eTeTTT

tk

sTsT

k

sLty

u(t)=1(t)

czas

y(t)

T2T1

k

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu

Transmitancja widmowa:)1)(1(

)(21

TjTj

kjG

221

22221

21

1)(

TTTT

TTQ

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

k

221222

21

221

1

)1()(

TTTT

TTkP

Charakterystyka

amplitudowo-fazowa:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu

Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy :

ω

20logM(ω)

Φ(ω)

20log(k)-20dB/dekadę

ω=1/T1

-/2

-

-40dB/dekadę

ω=1/T2

221222

211

)(

TTTT

kM

221

21

1ctg)(

TT

TTar