Post on 28-Feb-2019
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
1
Prezentacja graficzna danych liczbowych
Wykład 5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Plan wykładu
1. Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych
2. Dane w postaci zbioru liczb
3. Funkcja jednej zmiennej
4. Funkcja dwóch zmiennych
5. Niektóre typy wykresów stosowane w elektronice
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
1. Zagadnienia inżynierskie i naukowe
2. Prezentacje biznesowe i reklamowe i inne
3. Nomografia jako wykorzystanie metod graficznych
do przetwarzania danych
Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych liczbowych
Cel:
Zastosowania
Lepsze zrozumienie natury analizowanych liczb.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Metody graficznej prezentacji i przetwarzania danych - zastosowania
Przykład nomogramu:
Nomografia – dział matematyki stosowanej zajmujący się
rozwiązywaniem zagadnień obliczeniowych, na przykład rozwiązywaniem układów równań, przy pomocy metod wykreślnych. Obecnie, ze względu na rozwój komputerów nomografia utraciła praktyczne znaczenie.
Wykres Smitha służący do obliczania impedancji linii transmisyjnej
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
2
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram
X = -0.4326, -1.6656, 0.1253 ,…, 0.5690, -0.8217, -0.2656
Dany jest zbiór X, zawierający n liczb rzeczywistych.
Przykładowo dla n = 100 może to być zbiór:
Histogram jest rysunkiem, który prezentuje w sposób ilościowy (przy pomocy słupków) przynależność liczb ze zbioru X do arbitralnie ustalonych podzakresów osi liczbowej.
-3 -2 -1 0 1 2 30
5
10
15
20
25
Histogram danych ze zbioru X
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Algorytm budowy histogramu
1. Wyznaczenie zakresu rysowania (w oparciu o największąi najmniejszą wartość liczbową danych).
2. Podział zakresu rysowania na k równych podprzedziałów
• wyznaczenie dla każdego podprzedziału liczby należących do niego danych,
• narysowanie odpowiedniego wykresu słupkowego, w którym wysokość słupka odpowiada liczbie danychnależących do podprzedziału
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jaki jest wpływ liczby podprzedziałów k na wygląd histogramu?
Dane ze zbioru X narysowano na trzy sposoby,
dobierając różne liczby k :
-3 -2 -1 0 1 2 30
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k = 5 k = 10 k = 100
-3 -2 -1 0 1 2 30
10
20
30
40
50
60
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jak dobrze dobrać szerokość podprzedziału i ich liczbę? Zgodnie z podanym algorytmem można napisać, że:
Reguły histogramowania
−=
h
XXk
minmax
gdzie:
k – liczba podprzedziałów
h – szerokokość pojedynczego podprzedziału
- przybliżenie do najbliższej większej liczby całkowitej
(ceil)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
3
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jak dobrze dobrać liczbę k (lub h)? W literaturze podawane są różne reguły.
Reguły histogramowania
1log2 += nk
3
5.3
nh
σ=
1.
2. (wzór Sturgesa)
3. (wzór Scotta)
gdzie σ oznacza tzw. odchylenie standardowe dla liczb ze
zbioru X.
nk = (wzór pierwiastkowy)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Reguły zostały użyte dla tych samych danych (n=100).
Przykład zastosowania:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
25
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
25
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
25
30
(wzór pierwiastkowy)
k = 10
(wzór Sturgesa)
k = 8
(wzór Scotta)
k = 7
X = 0.6686, 1.1908, -1.2025 ,…, -0.9499, 0.7812, 0.5690
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogramowane liczby mają nietypowy rozkład. Na przykład jedna z liczb jest o wiele większa od pozostałych. Wynik
histogramowania może być w takim przypadku niezbyt czytelny.
Trudności w histogramowaniu
-200 0 200 400 600 800 1000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Do stu liczb z poprzedniego przykładu ( minX=-2.1707, maxX =
2.1832) dodano liczbę 1000. Problem można rozwiązać różnie na przykład dobierając podprzedziały o nierównej szerokości.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram obrazu
Histogram jest wykresem ilustrującym ile pikseli w obrazie przyjmuje poszczególne stopni szarości. Histogramowane liczby należą do skończonego zbioru wartości.
obraz 256 x 256 x 256 skala szarości i histogram
liczba pikseli
stopnie szarości
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
4
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram obrazu – przykład zastosowania
Obraz źle naświetlony
i jego histogram.
Obraz poprawiony przy
pomocy algorytmu
wyrównywania
histogramu.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej
Dwie postacie danych opisujących funkcję:
1. Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego
2. Funkcja zadana tabelaryczne
( )xfy =
yn
…yi
…y2
y1
xn
…xi
…x2
x1
W praktyce liczby w tabeli są często wynikami pomiarów.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej w postaci wzoru
Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego
Wykres rysuje się zazwyczaj w postaci łamanej. Kolejne punkty
oblicza się ze wzoru y = f(x). Dobór liczby segmentów łamanej zależy od kształtu funkcji.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10 segmentów 200 segmentówJacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie
Używa się różnych form graficznych prezentacji danych.
Wykres słupkowy
(bar graph)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wykres punktowy
(point graph)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie
Wykres łodygowy
(stem graph)
Wykres schodkowy
(stairs graph)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wykres liniowy (line graph)
Problem: Jak prowadzić linię wykresu, gdy punktów (xi, yi) jest stosunkowo niewiele?
Rozwiązanie: Przybliżyć dane (xi, yi) funkcją f(x) i narysować
wykres jako łamaną.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – interpolacja
Interpolacja, aproksymacja, ekstrapolacja
1. Interpolacja
x
y
(xi, yi)
Obszar rozważań
Poszukuje się funkcji (najczęściej wielomianu), przechodzącej
przez n zadanych punktów (xi, yi), zwanych węzłami. Celem
interpolacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy węzłami.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – interpolacja
Interpolacja - zastosowania
Interpolacja – metody matematyczne
• upraszczanie postaci skomplikowanych danych przez opisywanieich zmienności przy pomocy stosunkowo prostych wzorów,
• uzupełnianie brakującej informacji dotyczącej badanegozjawiska w obszarach pomiędzy punktami pochodzącymi z pomiaru,
• interpolacja wielomianowa,
• interpolacja funkcjami sklejanymi (spline),
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
6
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
2. Aproksymacja
W zadanej klasie funkcji, poszukuje się takiej, która najlepiej
(w sensie zadanego kryterium) przybliża punkty (xi, yi). Celem
aproksymacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy tymi punktami i poza nimi .
Obszar rozważań
x
y
(xi, yi)
Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja
Aproksymacja - zastosowania
Aproksymacja – metody matematyczne
• upraszczanie postaci skomplikowanych danych,
• generalizacja związków pomiędzy danymi,
• modelowanie i identyfikacja obiektów,
• upraszczanie skomplikowanych problemów obliczeniowych.
• regresja liniowa i nieliniowa (jedno i wielowymiarowa),
• aproksymacja wielomianami i funkcjami wymiernymi.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja
3. Ekstrapolacja
Poszukuje się funkcji, przybliżającej n zadanych punktów
(xi, yi). Celem ekstrapolacji jest określenie przebiegu funkcji
poza zakresem wyznaczonym przez dane.
x
y
(xi, yi)
Obszary rozważań
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja
Ekstrapolacja - zastosowania
Ekstrapolacja – metody matematyczne
• prognozowanie, analiza trendów, predykcja czasowa,
• uzupełnianie brakujących danych.
• ekstrapolacja wielomianowa,
• ekstrapolacja z wykorzystaniem funkcji sklejanych,
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
7
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi wykresu
Problem zakresu zmienności argumentu i wartości funkcji
0)(0
1 >=Γ= ∫∞
−−xdsesxy
sx
Przykład:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
14x 10
16
oś y została wyskalowana liniowo
Funkcja gamma Eulera
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi wykresu
0)(0
1 >=Γ= ∫∞
−− xdsesxy sx
oś y została wyskalowana
logarytmicznie0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10-2
100
102
104
106
108
1010
1012
1014
1016
1018
Bardziej czytelny wykres można uzyskać wprowadzając
nieliniowe skalowanie osi y.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi wykresu
Czasem nieliniowe skalowanie osi wprowadza się z innych powodów.
charakterystyka amplitudowa wzmacniacza audio
[ ]dBU
U
0
log20
1020
23
10
0
0
0
=→
=→
=→
U
UdB
U
UdB
U
UdB
261.63 Hz27.5 Hz 4168 Hz
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - zapis
Zapis matematyczny funkcji dwóch zmiennych
Postać uwikłana
Postać parametryczna
Postać tabelaryczna
Dyxyxfz ∈= ),(),(
),(
1,0),(
),(
vufz
vuvufy
vufx
z
y
x
=
≤≤=
=
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
8
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Różne formy prezentacji graficznej funkcji dwóch zmiennych
Siatka wieloboków (mesh)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Siatka wieloboków kolorowana (wypełnienie jednotonowe)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Siatka oświetlona
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Mapa konturowa
5 10 15 20 25 30 35 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
9
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Pole wektorowe (quiver)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Wykres plasterkowy (slice)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy wskazowe - idea
Wektor wiruje wokół środka
układu współrzędnych
z prędkością ω
(stan w chwili t = 0 ))sin()( 0 ϕω +⋅= tUts
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
T = 1/ω
U0
φ
U0
φω
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy wskazowe – przykład zastosowania (telewizja DVB-S)
sygnał U0cos(Ωt) - fala nośna
kodermodulator QPSK
0… 01 …1
antena
obraz
i dźwięk
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
====++++
====++++
====++++
====++++
====
1,1x,xdla47tcosU
1,0x,xdla45tcosU
0,0x,xdla43tcosU
0,1x,xdla4tcosU
210
210
210
210
QPSK
ππππΩΩΩΩ
ππππΩΩΩΩ
ππππΩΩΩΩ
ππππΩΩΩΩ
ϕϕϕϕ
Zasada działania modulatora:
1. Kolejne bity sygnału na wyjściu kodera łączone są w pary.
2. Sygnał na wyjściu modulatora formowany jest według zasady:
strumień bitów
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
10
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wynik modulacji dla poszczególnych par bitów wygląda tak:
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(1,0) (0,0) (0,1) (1,1)
Q
(0,0) (1,0)
(0,1) (1,1)
Q(1,0)
zakłócenie
sygnał bez zakłóceń sygnał zmieniony przez zakłócenie
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykres przedstawiający odebrany sygnał może wyglądać tak:
Konstelacja – wykres pokazujący wpływ zakłóceń w kanale transmisyjnym
sygnał bez zakłóceń
(1,0)(0,0)
(0,1) (1,1)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy we współrzędnych biegunowych
Przykład:
πφφ 20)( ≤≤= RR
πφφ 20)2(cos)3(sin)( ≤≤⋅⋅⋅= ttR
0.25
0.5
0.75
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
R
φ
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy we współrzędnych biegunowych - przykłady
charakterystyka kierunkowa
mikrofonu
charakterystyka kierunkowa
anteny