1.Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych Wykład 5 · Jacek Jarnicki Politechnika...

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

1

Prezentacja graficzna danych liczbowych

Wykład 5


Plan wykładu

1. Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych

2. Dane w postaci zbioru liczb

3. Funkcja jednej zmiennej

4. Funkcja dwóch zmiennych

5. Niektóre typy wykresów stosowane w elektronice


1. Zagadnienia inżynierskie i naukowe

2. Prezentacje biznesowe i reklamowe i inne

3. Nomografia jako wykorzystanie metod graficznych

do przetwarzania danych

Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych liczbowych

Cel:

Zastosowania

Lepsze zrozumienie natury analizowanych liczb.


Metody graficznej prezentacji i przetwarzania danych - zastosowania

Przykład nomogramu:

Nomografia – dział matematyki stosowanej zajmujący się

rozwiązywaniem zagadnień obliczeniowych, na przykład rozwiązywaniem układów równań, przy pomocy metod wykreślnych. Obecnie, ze względu na rozwój komputerów nomografia utraciła praktyczne znaczenie.

Wykres Smitha służący do obliczania impedancji linii transmisyjnej


2


Prezentacja zbioru liczb - histogram

Histogram

X = -0.4326, -1.6656, 0.1253 ,…, 0.5690, -0.8217, -0.2656

Dany jest zbiór X, zawierający n liczb rzeczywistych.

Przykładowo dla n = 100 może to być zbiór:

Histogram jest rysunkiem, który prezentuje w sposób ilościowy (przy pomocy słupków) przynależność liczb ze zbioru X do arbitralnie ustalonych podzakresów osi liczbowej.

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

Histogram danych ze zbioru X



Algorytm budowy histogramu

1. Wyznaczenie zakresu rysowania (w oparciu o największąi najmniejszą wartość liczbową danych).

2. Podział zakresu rysowania na k równych podprzedziałów

• wyznaczenie dla każdego podprzedziału liczby należących do niego danych,

• narysowanie odpowiedniego wykresu słupkowego, w którym wysokość słupka odpowiada liczbie danychnależących do podprzedziału



Jaki jest wpływ liczby podprzedziałów k na wygląd histogramu?

Dane ze zbioru X narysowano na trzy sposoby,

dobierając różne liczby k :

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k = 5 k = 10 k = 100

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

40

50

60



Jak dobrze dobrać szerokość podprzedziału i ich liczbę? Zgodnie z podanym algorytmem można napisać, że:

Reguły histogramowania

−=

h

XXk

minmax

gdzie:

k – liczba podprzedziałów

h – szerokokość pojedynczego podprzedziału

- przybliżenie do najbliższej większej liczby całkowitej

(ceil)


3



Jak dobrze dobrać liczbę k (lub h)? W literaturze podawane są różne reguły.

Reguły histogramowania

1log2 += nk

3

5.3

nh

σ=

1.

2. (wzór Sturgesa)

3. (wzór Scotta)

gdzie σ oznacza tzw. odchylenie standardowe dla liczb ze

zbioru X.

nk = (wzór pierwiastkowy)



Reguły zostały użyte dla tych samych danych (n=100).

Przykład zastosowania:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

25

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

25

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

5

10

15

20

25

30

(wzór pierwiastkowy)

k = 10

(wzór Sturgesa)

k = 8

(wzór Scotta)

k = 7

X = 0.6686, 1.1908, -1.2025 ,…, -0.9499, 0.7812, 0.5690



Histogramowane liczby mają nietypowy rozkład. Na przykład jedna z liczb jest o wiele większa od pozostałych. Wynik

histogramowania może być w takim przypadku niezbyt czytelny.

Trudności w histogramowaniu

-200 0 200 400 600 800 1000

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Do stu liczb z poprzedniego przykładu ( minX=-2.1707, maxX =

2.1832) dodano liczbę 1000. Problem można rozwiązać różnie na przykład dobierając podprzedziały o nierównej szerokości.



Histogram obrazu

Histogram jest wykresem ilustrującym ile pikseli w obrazie przyjmuje poszczególne stopni szarości. Histogramowane liczby należą do skończonego zbioru wartości.

obraz 256 x 256 x 256 skala szarości i histogram

liczba pikseli

stopnie szarości


4



Histogram obrazu – przykład zastosowania

Obraz źle naświetlony

i jego histogram.

Obraz poprawiony przy

pomocy algorytmu

wyrównywania

histogramu.


Funkcja jednej zmiennej

Dwie postacie danych opisujących funkcję:

1. Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego

2. Funkcja zadana tabelaryczne

( )xfy =

yn

…yi

…y2

y1

xn

…xi

…x2

x1

W praktyce liczby w tabeli są często wynikami pomiarów.


Funkcja jednej zmiennej w postaci wzoru

Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego

Wykres rysuje się zazwyczaj w postaci łamanej. Kolejne punkty

oblicza się ze wzoru y = f(x). Dobór liczby segmentów łamanej zależy od kształtu funkcji.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 segmentów 200 segmentówJacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie

Używa się różnych form graficznych prezentacji danych.

Wykres słupkowy

(bar graph)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Wykres punktowy

(point graph)


5



Wykres łodygowy

(stem graph)

Wykres schodkowy

(stairs graph)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Wykres liniowy (line graph)

Problem: Jak prowadzić linię wykresu, gdy punktów (xi, yi) jest stosunkowo niewiele?

Rozwiązanie: Przybliżyć dane (xi, yi) funkcją f(x) i narysować

wykres jako łamaną.


Funkcja jednej zmiennej – interpolacja

Interpolacja, aproksymacja, ekstrapolacja

1. Interpolacja

x

y

(xi, yi)

Obszar rozważań

Poszukuje się funkcji (najczęściej wielomianu), przechodzącej

przez n zadanych punktów (xi, yi), zwanych węzłami. Celem

interpolacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy węzłami.


Funkcja jednej zmiennej – interpolacja

Interpolacja - zastosowania

Interpolacja – metody matematyczne

• upraszczanie postaci skomplikowanych danych przez opisywanieich zmienności przy pomocy stosunkowo prostych wzorów,

• uzupełnianie brakującej informacji dotyczącej badanegozjawiska w obszarach pomiędzy punktami pochodzącymi z pomiaru,

• interpolacja wielomianowa,

• interpolacja funkcjami sklejanymi (spline),


6


2. Aproksymacja

W zadanej klasie funkcji, poszukuje się takiej, która najlepiej

(w sensie zadanego kryterium) przybliża punkty (xi, yi). Celem

aproksymacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy tymi punktami i poza nimi .

Obszar rozważań

x

y

(xi, yi)

Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja


Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja

Aproksymacja - zastosowania

Aproksymacja – metody matematyczne

• upraszczanie postaci skomplikowanych danych,

• generalizacja związków pomiędzy danymi,

• modelowanie i identyfikacja obiektów,

• upraszczanie skomplikowanych problemów obliczeniowych.

• regresja liniowa i nieliniowa (jedno i wielowymiarowa),

• aproksymacja wielomianami i funkcjami wymiernymi.


Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja

3. Ekstrapolacja

Poszukuje się funkcji, przybliżającej n zadanych punktów

(xi, yi). Celem ekstrapolacji jest określenie przebiegu funkcji

poza zakresem wyznaczonym przez dane.

x

y

(xi, yi)

Obszary rozważań


Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja

Ekstrapolacja - zastosowania

Ekstrapolacja – metody matematyczne

• prognozowanie, analiza trendów, predykcja czasowa,

• uzupełnianie brakujących danych.

• ekstrapolacja wielomianowa,

• ekstrapolacja z wykorzystaniem funkcji sklejanych,


7


Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi wykresu

Problem zakresu zmienności argumentu i wartości funkcji

0)(0

1 >=Γ= ∫∞

−−xdsesxy

sx

Przykład:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14x 10

16

oś y została wyskalowana liniowo

Funkcja gamma Eulera



0)(0

1 >=Γ= ∫∞

−− xdsesxy sx

oś y została wyskalowana

logarytmicznie0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10-2

100

102

104

106

108

1010

1012

1014

1016

1018

Bardziej czytelny wykres można uzyskać wprowadzając

nieliniowe skalowanie osi y.



Czasem nieliniowe skalowanie osi wprowadza się z innych powodów.

charakterystyka amplitudowa wzmacniacza audio

[ ]dBU

U

0

log20

1020

23

10

0

0

0

=→

=→

=→

U

UdB

U

UdB

U

UdB

261.63 Hz27.5 Hz 4168 Hz


Funkcja dwóch zmiennych - zapis

Zapis matematyczny funkcji dwóch zmiennych

Postać uwikłana

Postać parametryczna

Postać tabelaryczna

Dyxyxfz ∈= ),(),(

),(

1,0),(

),(

vufz

vuvufy

vufx

z

y

x

=

≤≤=

=


8


Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie

Różne formy prezentacji graficznej funkcji dwóch zmiennych

Siatka wieloboków (mesh)



Siatka wieloboków kolorowana (wypełnienie jednotonowe)



Siatka oświetlona



Mapa konturowa

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40


9



Pole wektorowe (quiver)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



Wykres plasterkowy (slice)


Inne wykresy stosowane w elektronice

Wykresy wskazowe - idea

Wektor wiruje wokół środka

układu współrzędnych

z prędkością ω

(stan w chwili t = 0 ))sin()( 0 ϕω +⋅= tUts

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

T = 1/ω

U0

φ

U0

φω



Wykresy wskazowe – przykład zastosowania (telewizja DVB-S)

sygnał U0cos(Ωt) - fala nośna

kodermodulator QPSK

0… 01 …1

antena

obraz

i dźwięk

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

====++++

====++++

====++++

====++++

====

1,1x,xdla47tcosU

1,0x,xdla45tcosU

0,0x,xdla43tcosU

0,1x,xdla4tcosU

210

210

210

210

QPSK

ππππΩΩΩΩ

ππππΩΩΩΩ

ππππΩΩΩΩ

ππππΩΩΩΩ

ϕϕϕϕ

Zasada działania modulatora:

1. Kolejne bity sygnału na wyjściu kodera łączone są w pary.

2. Sygnał na wyjściu modulatora formowany jest według zasady:

strumień bitów


10



Wynik modulacji dla poszczególnych par bitów wygląda tak:

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(1,0) (0,0) (0,1) (1,1)

Q

(0,0) (1,0)

(0,1) (1,1)

Q(1,0)

zakłócenie

sygnał bez zakłóceń sygnał zmieniony przez zakłócenie



Wykres przedstawiający odebrany sygnał może wyglądać tak:

Konstelacja – wykres pokazujący wpływ zakłóceń w kanale transmisyjnym

sygnał bez zakłóceń

(1,0)(0,0)

(0,1) (1,1)



Wykresy we współrzędnych biegunowych

Przykład:

πφφ 20)( ≤≤= RR

πφφ 20)2(cos)3(sin)( ≤≤⋅⋅⋅= ttR

0.25

0.5

0.75

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

R

φ



Wykresy we współrzędnych biegunowych - przykłady

charakterystyka kierunkowa

mikrofonu

charakterystyka kierunkowa

anteny

1.Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych Wykład 5 · Jacek Jarnicki Politechnika...

Documents

Transcript of 1.Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych Wykład 5 · Jacek Jarnicki Politechnika...