← ← KOLEJNY SLAJDKOLEJNY SLAJD → →

REBUSYREBUSYMATEMATYCZNEMATEMATYCZNE

REBUSY MATEMATYCZNEREBUSY MATEMATYCZNE

OKRĄG I KOŁOOKRĄG I KOŁO

OKRĄG I KOŁOOKRĄG I KOŁO(Plansza z gabinetu matematycznego.)(Plansza z gabinetu matematycznego.)

S –S – środek okręgu (koła)środek okręgu (koła)

r –r – promień okręgu (koła)promień okręgu (koła)

o(S, r) –o(S, r) – okrąg o środku S i promieniu rokrąg o środku S i promieniu r

Okręgiem o środku SOkręgiem o środku Si promieniu ri promieniu r

nazywamy zbiór wszystkich punktów nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu S o odcinek płaszczyzny odległych od punktu S o odcinek

r.r.

Odległość każdego punktu okręgu od środka S Odległość każdego punktu okręgu od środka S jest równa promieniowi tego okręgu.jest równa promieniowi tego okręgu.

k(S, r) –k(S, r) – koło o środku S i promieniu rkoło o środku S i promieniu r

Kołem o środku SKołem o środku Si promieniu ri promieniu r

nazywamy zbiór wszystkich punktów nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od środka koła o płaszczyzny odległych od środka koła o

odcinek mniejszy lub równy promieniowi r.odcinek mniejszy lub równy promieniowi r.

Odległość każdego punktu koła od środka S Odległość każdego punktu koła od środka S jest równa lub mniejsza od promienia tego jest równa lub mniejsza od promienia tego

koła.koła.

PROMIEŃ KOŁAPROMIEŃ KOŁA

PROMIEŃ KOŁAPROMIEŃ KOŁA

PROMIEŃ KOŁAPROMIEŃ KOŁA

Okręgiem Okręgiem nazywamy zbiór punktów (x, nazywamy zbiór punktów (x, y) płaszczyzny euklidesowej spełniającej y) płaszczyzny euklidesowej spełniającej

równość:równość:

(x – x(x – x00))22 + (y – y + (y – y00))22 = r = r22

Koło Koło w kartezjańskim układzie w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisane wzorem:współrzędnych jest opisane wzorem:

(x – x(x – x00))22 + (y – y + (y – y00))22 ≤ r ≤ r22, gdzie, gdzie

r – promień koła; r > 0r – promień koła; r > 0

S(xS(x00, y, y00) – środek okręgu (koła)) – środek okręgu (koła)

promień r –promień r – odcinek łączący środek odcinek łączący środek okręgu (koła) z punktem okręgu okręgu (koła) z punktem okręgu

cięciwa –cięciwa – odcinek łączący dwa różne odcinek łączący dwa różne punkty okręgupunkty okręgu

średnica d –średnica d – cięciwa przechodząca cięciwa przechodząca przez środek okręgu (koła)przez środek okręgu (koła)

d = 2rd = 2rśrednica –średnica – najdłuższa cięciwanajdłuższa cięciwa

sieczna –sieczna – prosta mająca z okręgiem dwa prosta mająca z okręgiem dwa różne punkty wspólneróżne punkty wspólne

styczna do okręgu –styczna do okręgu – prosta prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt

wspólnywspólny

punkt styczności –punkt styczności – punkt wspólny punkt wspólny prostej i okręguprostej i okręgu

Styczna do okręguStyczna do okręgu jest prostopadła do jest prostopadła do promienia o końcupromienia o końcu w punkcie stycznościw punkcie styczności..

Ob =Ob = 22rr obwód okręgu (koła) obwód okręgu (koła)

P = P = rr22 pole kołapole koła

r – promień okręgu (koła)r – promień okręgu (koła)

≈≈ 3, 14 3, 14 ≈≈ 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383

279 502 884 197 .....279 502 884 197 .....

okrąg –okrąg – posiada obwód i nie posiada polaposiada obwód i nie posiada pola

Ob > 0Ob > 0P = 0 P = 0

koło –koło – posiada obwód i poleposiada obwód i pole

Ob > 0Ob > 0P > 0P > 0

OkrągOkrąg jest brzegiem jest brzegiem kołakoła..

ŁUK OKRĘGU, WYCINEK I ŁUK OKRĘGU, WYCINEK I ODCINEK KOŁAODCINEK KOŁA

łuk AB –łuk AB – odcinek okręguodcinek okręgu

wycinek koła –wycinek koła – część koła zawarta część koła zawarta

między dwoma promieniamimiędzy dwoma promieniami

odcinek koła –odcinek koła – część koła odcięta część koła odcięta cięciwącięciwą

– – kąt środkowy oparty na łuku AB kąt środkowy oparty na łuku AB

L = L = rr/180/18000 długość łuku okręgu długość łuku okręgu

PPww = = rr22/360/36000 pole wycinka koła pole wycinka koła

PPww = Lr/2 = Lr/2 pole wycinka koła pole wycinka koła

PPoo = P = Pww – P – PΔΔ pole odcinka koła pole odcinka koła

WZAJEMNE WZAJEMNE POŁOŻENIE POŁOŻENIE

DWÓCH DWÓCH OKRĘGÓWOKRĘGÓW

SS11, S, S22 – środki okręgów – środki okręgów rr11, r, r22 – promienie okręgów – promienie okręgów

o(So(S11, r, r11) –) – okrąg o środku Sokrąg o środku S11 i promieniu i promieniu

rr11

o(So(S22, r, r22) –) – okrąg o środku Sokrąg o środku S22 i promieniu i promieniu

rr22

rr11, r, r22 > 0 > 0 d = d = SS11SS22 odległość środków dwóch odległość środków dwóch

okręgówokręgów

wartość bezwzględna liczby a, moduł liczby a –wartość bezwzględna liczby a, moduł liczby a – odległość liczby a od zera, np. odległość liczby a od zera, np. –2–2 = 2, = 2, 00 = 0, = 0,

22 = 2 = 2

OKRĘGI ROZŁĄCZNEOKRĘGI ROZŁĄCZNE

OKRĘGI ROZŁĄCZNEOKRĘGI ROZŁĄCZNEokręgi rozłączne –okręgi rozłączne – okręgi, które nie okręgi, które nie mają ze sobą żadnych punktów wspólnychmają ze sobą żadnych punktów wspólnych

d > rd > r11 + r + r22 jeden okrąg leży na zewnątrz drugiego;jeden okrąg leży na zewnątrz drugiego;

odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów jest większa od sumy długości ich promieni;jest większa od sumy długości ich promieni;

może być: rmoże być: r11 = r = r22 lub r lub r11 ≠ r ≠ r22..

0 < d < 0 < d < r r11 – r – r2 2 jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;

odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów jest większa od zera (dodatnia) i mniejsza od jest większa od zera (dodatnia) i mniejsza od wartości bezwzględnej z różnicy długości ich wartości bezwzględnej z różnicy długości ich

promieni;promieni; zawsze musi być: rzawsze musi być: r11 ≠ r ≠ r22..

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWEOKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE ROZŁĄCZNE ROZŁĄCZNE

okręgi współśrodkowe –okręgi współśrodkowe –

okręgi, które mają ten sam środek (Sokręgi, które mają ten sam środek (S11 = S = S22))

d = 0d = 0 SS11 = S = S22 (mają ten sam środek) (mają ten sam środek)

rr11 ≠ r ≠ r22 (promienie są różnej długości) (promienie są różnej długości)

okręgi nie mają punktów wspólnych;okręgi nie mają punktów wspólnych; jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;

okręgi o wspólnym środku;okręgi o wspólnym środku; odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów

jest równa zero. jest równa zero.

OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE OKRĘGI WSPÓŁŚRODKOWE POKRYWAJĄCE SIĘ POKRYWAJĄCE SIĘ

okręgi pokrywające się okręgi pokrywające się (identyczne) –(identyczne) – okręgi, które okręgi, które

posiadają wspólny środek i mają równe posiadają wspólny środek i mają równe promienie; należą do nich te same punkty (promienie; należą do nich te same punkty (SS11

= S= S22 i i rr11 = r = r2 2 ))

d = 0d = 0

okręgi mają ze sobą nieskończenie wiele okręgi mają ze sobą nieskończenie wiele punktów wspólnych;punktów wspólnych;

odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów jest równa zero.jest równa zero.

OKRĘGI STYCZNEOKRĘGI STYCZNEokręgi styczne –okręgi styczne – okręgi, które nie mają ze okręgi, które nie mają ze

sobą dokładnie jeden punkt wspólnysobą dokładnie jeden punkt wspólny

OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE OKRĘGI ZEWNĘTRZNIE STYCZNESTYCZNE

A – punkt styczności okręgówA – punkt styczności okręgów

d = rd = r11 + r + r22

okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt wspólny;wspólny;

jeden z nich leży na zewnątrz drugiego;jeden z nich leży na zewnątrz drugiego; odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów

jest równa sumie długości ich promieni;jest równa sumie długości ich promieni; może być: rmoże być: r11 = r = r22 lub r lub r11 ≠ r ≠ r22..

OKRĘGI WEWNĘTRZNIE OKRĘGI WEWNĘTRZNIE STYCZNESTYCZNE

A – punkt styczności okręgówA – punkt styczności okręgów

d = d = r r11 – r – r2 2

okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt okręgi mają ze sobą dokładnie jeden punkt

wspólny;wspólny; jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;jeden okrąg leży wewnątrz drugiego;

odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów jest równa wartości bezwzględnej z różnicy jest równa wartości bezwzględnej z różnicy

długości ich promieni;długości ich promieni; zawsze musi być: rzawsze musi być: r11 ≠ r ≠ r22..

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘOKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ

okręgi okręgi przecinającprzecinające się –e się – okręgi, okręgi, które mają ze sobą które mają ze sobą dwa różne punkty dwa różne punkty wspólne A i Bwspólne A i B

OKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘOKRĘGI PRZECINAJĄCE SIĘ

r r11 – r – r2 2 < d < r< d < r11 + r + r22

okręgi mają ze sobą dwa różne punkty okręgi mają ze sobą dwa różne punkty wspólne;wspólne;

odległość między środkami tych okręgów odległość między środkami tych okręgów jest większa od wartości bezwzględnej z jest większa od wartości bezwzględnej z różnicy długości promieni tych okręgów i różnicy długości promieni tych okręgów i

mniejsza od ich sumy;mniejsza od ich sumy; może być: rmoże być: r11 = r = r22 lub r lub r11 ≠ r ≠ r22..

PIERŚCIEŃ PIERŚCIEŃ KOŁOWYKOŁOWY

PIERŚCIEŃ KOŁOWYPIERŚCIEŃ KOŁOWY

pierścień kołowy –pierścień kołowy – w geometrii w geometrii euklidesowejeuklidesowej zbiór wszystkich punktów zbiór wszystkich punktów

płaszczyznypłaszczyzny euklidesowej euklidesowej ograniczony dwoma ograniczony dwoma

okręgami współśrodkowymiokręgami współśrodkowymi o środku S(xo środku S(x00, y, y00) )

i różnych promieniach R i ri różnych promieniach R i r

Pierścieniem kołowymPierścieniem kołowym nazywamy część nazywamy część wspólną dwóch kół o promieniach R oraz r (r < wspólną dwóch kół o promieniach R oraz r (r <

R), czyli podzbiór płaszczyzny opisywany R), czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań:układem równań:

(x – x(x – x00))22 + (y – y + (y – y00))22 ≤ R ≤ R22

(x – x(x – x00))22 + (y – y + (y – y00))22 ≥ r ≥ r22

lub równoważnie:lub równoważnie:

r ≤ r ≤ √√ {{(x – x(x – x00))22 + (y – y + (y – y00))22}} ≤ R. ≤ R.

Ob =Ob = 22(R + r)(R + r)obwód pierścienia kołowegoobwód pierścienia kołowego

Obwód pierścienia kołowego jest sumą Obwód pierścienia kołowego jest sumą obwodów kół (okręgów) o promieniach R i r (r obwodów kół (okręgów) o promieniach R i r (r

< R).< R).

P = P = (R(R22 – r – r22))pole pierścienia kołowegopole pierścienia kołowego

Pole pierścienia kołowego jest różnicą pól kół Pole pierścienia kołowego jest różnicą pól kół o promieniach R i r (r < R).o promieniach R i r (r < R).

Autor prezentacji:Autor prezentacji:

mgr Wioletta Nawrockamgr Wioletta Nawrockanauczyciel matematyki w Gimnazjumnauczyciel matematyki w Gimnazjumw Zespole Szkół im. Unii Europejskiejw Zespole Szkół im. Unii Europejskiej

w Choczewiew Choczewie

Prezentacja zawiera prace wykonanePrezentacja zawiera prace wykonaneprzez gimnazjalistów.przez gimnazjalistów.

rok szk. 2010/2011rok szk. 2010/2011