SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

ZLICZANIEREKURENCYJNE

Andrzej Sendlewski

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu

MA-TA II, Ciechanów 22 maja 2010

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

♣ Liczby figuralne jakojeden z najprostszych

sposobów wprowadzenia wmyślenie rekurencyjne

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 1. Rysujemy kolejne kwadratyo bokach długości całkowitej i dzielimy je nakwadraty jednostkowe.

1 2 3 4

Z ilu kwadratów jednostkowych składa siękwadrat o boku długości n?

Ile jest wszystkich kwadratów na n-tym ry-sunku?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

3 4

'

&

$

%k(n) =

1, jeżeli n = 1;

k(n− 1) + 2n− 1, jeżeli n > 0.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

2 3 4

'

&

$

%k(n) =

1, jeżeli n = 1;4, jeżeli n = 2;

k(n− 2) + 4n− 4, jeżeli n > 0.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 2. Rysujemy kolejne trójkątyo bokach długości całkowitej i dzielimy je naprzystające trójkąty o boku 1.

3 421

Z ilu małych trójkątów składa się trójkąto boku długości n?

Ile jest wszystkich trójkątów równobocz-nych na n-tym rysunku?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

3 4

'

&

$

%k(n) =

1, jeżeli n = 1;

k(n− 1) + n + (n− 1), jeżeli n > 0.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 3. Z jednakowych monet ukła-damy kolejne „trójkąty równoboczne”, takjak na rysunku.

3 421

Jaka jest wartość monet tworzących n–tytrójkąt?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

3 4

'

&

$

%t(n) =

1, jeżeli n = 1;

t(n− 1) + n, jeżeli n > 1.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

1 2 3 4

1 2 3 4

��

��k(n) = t(n) + t(n− 1)

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

1 2 3 4

Z równości

(n + 1)2 = k(n + 1) = 2t(n) + (n + 1)mamy #

"

!t(n) =

n(n + 1)2

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 4. Z jednakowych sześcien-nych klocków budujemy kolejne piramidytrójkątne, jak na rysunku.

1 2 3 4

Z ilu sześciennych klocków zbudowana jestn–ta piramida trójkątna?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

34

Żółta ściana zbudowana jest z t(n) sześcien-nych klocków, a więc'

&

$

%pt(n) =

1, jeżeli n = 1;

pt(n− 1) + n(n + 1)2, jeżeli n > 1.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 5. Z jednakowych sześcien-nych klocków budujemy kolejne piramidy„kwadratowe”, jak na rysunku

1 2

3

4

Z ilu sześciennych klocków zbudowana jestn–ta piramida?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

34

Żółta podstawa zbudowana jest z k(n) sze-ściennych klocków, a więc'

&

$

%p(n) =

1, jeżeli n = 1;

p(n− 1) + n2, jeżeli n > 1.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

♦ Co wspólnego z ciągiemFibonacci’ego ma:

bieganie po schodach,układanie kafelków,gra w koszykówkę,

liczenie kodów kreskowych?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 6. Na taras wieży widokowejprowadzą schody o n stopniach.

0

1

2

3

n−2

n−1

n

Turysta wchodzi na taras wykonując lo-sowo kroki co 1 albo co 2 stopnie. Na ile spo-sobów turysta może przejść schody?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

0

1

2

3

n−2

n−1

n

'

&

$

%s(n) =

1, jeżeli n = 1;2, jeżeli n = 2;

s(n− 2) + s(n− 1), jeżeli n > 2.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 7. Mamy pokryć prostokątnypas podłogi o wymiarach n×2 prostokątnymikafelkami o wymiarach 2 × 1. (kafelków niewolno łamać.) Na ile sposobów możemy tozrobić?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

21 2

3 3 3

n−1 1 n−2 2'

&

$

%s(n) =

1, jeżeli n = 1;2, jeżeli n = 2;

s(n− 2) + s(n− 1), jeżeli n > 2.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 8. Ile jest sposobów zdobycian punktów w meczu koszykówki przez jednąz drużyn?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

+2

+2

+3

+1+1 +1

0 1 2 3

l(1) = 1, l(2) = 2, l(3) = 4.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

+1

+2

+3

n−3 n−2 n−1 n

'

&

$

%l(n) =

1, jeżeli n = 1;2, jeżeli n = 2;4, jeżeli n = 3;

l(n− 3) + l(n− 2) + l(n− 1), jeżeli n > 3.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12l(n) 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 9.(porównaj Junior 2010, py-tanie 30)Pasek kodu kreskowego tworzą na przemiankreski czarne i białe. Kod ten zawsze zaczynasię i kończy czarną kreską. Każda z kresek(czy to czarna, czy biała) ma grubość 1 albo2 (przykładowy kod na rysunku).

n

Ile jest pasków długości n o różnych ko-dach (kody zawsze czytamy od lewej do pra-wej strony)?

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

1 2 3

444

L(1) = 1, L(2) = 1, L(3) = 1, L(4) = 3.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

n

n−2

n

n−3

n−3

n n

n−4

��

��L(n) = L(n− 2) + 2 · L(n− 3) + L(n− 4)

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13L(n) 1 1 1 3 4 6 11 17 27 45 72 116 189

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

♥ Zbiór skończony i jegopodzbiory, rozkłady zbioru

w rodziny podzbiorów

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 10. Zbiór X ma n elementów.Ile jest różnych podzbiorów zbioru X o k ele-mentach?

Jeśli k > n, to nie istnieje żaden podzbiórzbioru X o k elementach. Załóżmy więc, że

0 6 k 6 n.

NiechC(n, k)

oznacza liczbę wszystkich k–elementowychpodzbiorów zbioru X.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Oczywiście

C(n, 0) = 1, C(n, n) = 1.

Ustalmy element x ∈ X. Niech Y będzie do-wolnym k–elementowym podzbiorem zbioruX. Mamy dwa przypadki: x /∈ Y albo x ∈ Y

x x

Y

Y

XX

��

��C(n, k) = C(n− 1, k − 1) + C(n− 1, k)

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Trójkąt Pascala

n�k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 19 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 11. Danych jest n różnoko-lorowych kredek. Kredki te rozkładamy dok jednakowych (nierozróżnialnych) pudełektak, że w każdym z tych pudełek znajdzie sięprzynajmniej jedna kredka. Na ile sposobówmożemy to zrobić?

Niech X oznacza zbiór kredek. Każde roz-łożenie kredek do k pudełek powoduje roz-bicie zbioru X na k niepustych podzbiorówX1, X2, . . . , Xk.

Oznaczmy poszukiwaną liczbę przez

S(n, k).

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Jeśli k > n, to żądany rozkład jest niemoż-liwy. Załóżmy więc, że 1 6 k 6 n. Gdy k = 1,to jedyną klasą musi być cały zbiór X, więc:

��

��S(n, 1) = 1 .

Podobnie, gdy k = n, to jedynym roz-kładem jest rodzina zbiorów jednoelemento-wych {{z}; z ∈ X}, więc:

��

��S(n, n) = 1 .

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Niech 1 < k < n. Ustalmy element x ∈ X. Je-żeli weźmiemy dowolny rozkład zbioru X nak klas, to mamy dwa przypadki: albo {x} jestklasą tego rozkładu, albo {x} nie jest klasątego rozkładu

x

X

x

X−{x}

klasa {x}

k−1 klas k klas

��

��S(n, k) = S(n− 1, k − 1) + k · S(n− 1, k)

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Liczby Stirlingan�k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 12 1 13 1 3 14 1 7 6 15 1 15 25 10 16 1 31 90 65 15 17 1 63 301 350 140 21 18 1 127 966 1701 1050 266 28 19 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 110 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

♠ O pewnym meczupiłkarskim, czyli o zliczaniu

ścieżek w grafieskierowanym

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

PROBLEM 12. (porównaj Junior 2006,pytanie 30)W meczu piłki ręcznej drużyna gospodarzyobjęła prowadzenie i utrzymała je do stanun : k (oczywiście n > k). Na ile sposobów mo-gły padać bramki w tym meczu do tego mo-mentu?

Zilustrujmy możliwy przebieg meczu dostanu n : k, n > k, za pomocą grafu zorien-towanego. Wynikowi x : y przyporządkujmypunkt kratowy o współrzędnych (x, y), apunkty (x, y) łączymy strzałkami z punktami(u, v), gdy wynik u : v jest możliwym wyni-kiem bezpośrednio po wyniku x : y. Graf takidla n = 6 i k = 5 przedstawia rysunek na na-stępnym slajdzie.

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5 6

x

yB

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Oznaczmy przez w(n, k) liczbę wszystkichścieżek prowadzących od punktu (0, 0) dopunktu (n, k). Mamy:

a) jeżeli k = 0, to��

��w(0, 0) = 0 oraz��

��w(n, 0) = 1

dla n > 0;

b) jeżeli k = 1, to��

��w(2, 1) = 1

oraz ��

��w(n, 1) = w(n, 0) + w(n− 1, 1)

dla n > 2;

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

c) jeżeli 1 < k < n− 1, to��

��w(n, k) = w(n, k − 1) + w(n− 1, k)

d) jeżeli k = n− 1, to��

��w(n, k) = w(n, k − 1) ,

czyli��

��w(n, n− 1) = w(n, n− 2) .

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Tabela wartości w(n, k)n�k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 01 12 1 13 1 2 24 1 3 5 55 1 4 9 14 146 1 5 14 28 42 427 1 6 20 48 90 132 1328 1 7 27 75 165 297 429 4299 1 8 35 110 275 572 1001 1430 143010 1 9 44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862

SEM ZMNIiTI

Strona tytułowa

JJ J I

II

Następny slaid

Poprzedni slaid

Pełny ekran

Zamknij plik

Koniec pokazu

Większe wartości w(n, k) mogące byćwynikami rzeczywistego meczu:

w(20, 15) = 463991880,w(20, 16) = 811985790,w(20, 17) = 1289624490,w(20, 18) = 1767263190,w(20, 19) = 1767263190.