st MD-07 zliczanie -...
18
Elementy kombinatoryki: Zliczanie, Współczynniki dwumianowe Matematyka dyskretna
Transcript of st MD-07 zliczanie -...
Elementy kombinatoryki: Zliczanie,
Współczynniki dwumianowe
Matematyka dyskretna
Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że ℤ𝑛 = {0, 1, 2, … ,𝑛 − 1} dla 𝑛 > 0 oraz ℤ! = ∅. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym zbiorem postaci ℤ𝑛. Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony. Liczba elementów skończonego zbioru 𝑋 to jedyna liczba naturalna 𝑛 taka, że istnieje bijekcja z ℤ𝑛w 𝑋. Liczbę te oznaczamy przez |X|. Oczywiście |ℤ𝑛| = 𝑛. Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub bijektywny z ℕ. Zbiór pusty jest przeliczalny, bo jest skończony. Zbiór liczb parzystych jest przeliczalny, bo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 jest bijekcją z ℕ w ℙ.
3 zasady zliczania • dodawania,
• włączania i wyłączania, oraz
• mnożenia.
ZASADA DODAWANIA Twierdzenie Z. 1. Dla skończonych i rozłącznych zbiorów 𝐴 i 𝐵 mamy
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + |𝐵|. Lemat Z. 2. Dla zbiorów 𝐴!,𝐴2,… ,𝐴! skończonych i parami rozłącznych mamy
𝐴! ∪ 𝐴2 ∪ …∪ 𝐴! = 𝐴! + 𝐴2 +⋯+ |𝐴!|.
ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA Twierdzenie Z. 3. Dla zbiorów 𝐴!,𝐴2,… ,𝐴! skończonych
𝐴! ∪ 𝐴2 ∪ …∪ 𝐴! = (−1) 𝐼 !! 𝐴𝑖𝑖∈𝐼𝐼⊆{!,… ,𝑛}
Lemat Z. 4. W szczególności, o ile tylko A, B są skończone
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵|.
ZASADA MNOŻENIA Twierdzenie Z. 5. Dla skończonych zbiorów 𝑋,𝑌:
𝑋 × 𝑌 = 𝑋 ∙ |𝑌|.
ZASADA MNOŻENIA Jeżeli mamy wybrać dwa różne obiekty: pierwszy spośród m obiektów, a drugi spośród n obiektów, to liczba możliwych wyborów jest równa 𝑚 ∙ 𝑛. Lemat Z. 6. (Postać ogólna zasady mnozenia) Jeżeli 𝐴!,𝐴2,… ,𝐴! są zbiorami skończonymi to
𝐴! × 𝐴!× …×𝐴! = 𝐴! ∙ 𝐴! ∙… ∙ 𝐴!
Zliczanie podzbiorów Zbiór potęgowy, to zbiór wszystkich podzbiorów, zbioru 𝑋 oznaczamy przez 𝑃(𝑋). Lemat Z. 7. Dla dowolnego, skończonego zbioru 𝑋
𝑃(𝑋) = 2|!|.
Zliczanie podzbiorów Ile zbiór potęgowy ma podzbiorów o dokładnie 𝑘 elementach? Policzymy zatem liczność rodziny 𝑘-‐elemetowych podzbiorów zbioru 𝑋. Rodzinę tę oznaczać będziemy przez 𝑃!(𝑋).
Współczynnik dwumianowy 𝑛𝑘
(czytaj 𝑛 po 𝑘) to liczba 𝑘-‐elementowych podzbiorów zbioru 𝑛-‐elementowego,
tzn. 𝑛𝑘 = 𝑃!(𝑋)
Podzbiory te nazywamy kombinacjami.
Współczynnik dwumianowy 𝒏𝒌
Lemat Z. 8. Dla 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ zachodzi:
1. 𝑛0 = 𝑛
𝑛 = 1,
2. 𝑛𝑘 = 0, dla 𝑘 > 𝑛,
3. 𝑛1 = 𝑛, dla 𝑛 > 0,
4. 𝑛𝑘 = 𝑛
𝑛 − 𝑘 , dla 𝑛 ≥ 𝑘 ≥ 0.
Współczynnik dwumianowy 𝒏𝒌
Czy można rekurencyjnie wyliczać współczynniki dwumianowe?
Lemat Z. 9. Dla 0 < 𝑘 ≤ 𝑛 zachodzi:
𝑛𝑘 = 𝑛 − 1
𝑘 − 1 + 𝑛 − 1𝑘 .
Trójkąt Pascala (nazwany na cześć Blaise'a Pascala (1623-‐1662)) bazuje na własności
𝑛𝑘 = 𝑛 − 1
𝑘 − 1 + 𝑛 − 1𝑘
i ustawia liczby w następujący sposób:
• wiersze trójkąta numerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi 𝑛 = 0,1,2,…
• w każdym wierszy trójkąta występuje dokładnie 𝑛 + 1 liczb. Są to kolejno 𝑛0 , 𝑛1 ,… , 𝑛
𝑛 − 1 , 𝑛𝑛
Współczynnik dwumianowy 𝒏𝒌
Twierdzenie Z. 10. (postać zwarta współczynników dwumianowych) Dla dowolnych 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
𝑛𝑘 =
𝑛!𝑛 − 𝑘 ! 𝑘!
Współczynnik dwumianowy 𝒏𝒌
Lemat Z. 11. Dla 𝑛 ≥ 1 zachodzi równość
𝑛𝑘 = 2𝑛
𝑛
𝑘!!
Lemat Z. 12. Reguła sumowania po górnym indeksie
Dla 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ zachodzi 𝑖𝑘
!
!!!
= 𝑛 + 1𝑘 + 1
Lemat Z. 13. Reguła sumowania równoległego
Dla 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ zachodzi
𝑛 + 𝑖𝑖
!
!!!
= 𝑛 + 𝑘 + 1𝑘
Lemat Z. 14. Tożsamość Cauchy'ego (1789-‐1857), splot Vandermonde'a (1735-‐1796)
Dla 𝑚,𝑛, 𝑘 ∈ ℕ zachodzi
𝑚𝑖
𝑛𝑘 − 𝑖
!
!!!
= 𝑚 + 𝑛𝑘
Dwumiany Twierdzenie Z. 15. Twierdzenie o Dwumianie (Pingala III w p.n.e., Pascal) Dla 𝑛 ∈ ℕ, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ zachodzi
(𝑥 + 𝑦)! = 𝑛𝑖
!
!!!
𝑥!𝑦!!!
Część materiału z wykładu pochodzi z:
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1
