Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Iva Zupan

Zajmovi

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Iva Zupan

Zajmovi

Diplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Mirela Jukic Bokun

Osijek, 2015.

Sadrzaj

1. Uvod 4

2. Kamatni racun 5

2.1. Kamate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Dekurzivan obracun kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Jednostavno ukamacivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2. Slozeno ukamacivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3. Komforna i relativna kamatna stopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Anticipativan obracun kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Sadasnja i konacna vrijednost financijskih renti 15

3.1. Postnumerando i prenumerando rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Ispodgodisnje rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Zajam 18

4.1. Ugovor o zajmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2. Anuiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3. Otplatna tablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Modeli otplate zajma 21

5.1. Otplata zajma u jednakim anuitetima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Otplata zajma u unaprijed dogovorenim jednakim anuitetima . . . . . . . . . 25

5.3. Otplata zajma u jednakim otplatnim kvotama . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4. Otplata zajma u promjenjivim anuitetima i promjenjivim otplatnim kvotama 28

5.5. Otplata zajma uz promjenjivu kamatnu stopu . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5.1. Jednokratna otplata zajma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5.2. Otplata zajma s vise anuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. Interkalarne kamate i konverzija zajma 32

7. Primjer zajma iz prakse 35

7.1. Nenemjenski kredit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2. Stambeni kredit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8. Zakljucak 45

Literatura 46

Sazetak 47

Summary 48

Zivotopis 49

1. Uvod

Financijska matematika je grana matematike koja pripada podrucju ekonomskih zna-

nosti. Ona obraduje probleme poslovanja, kapitala, zajmova i sl. U svakodnevnom zivotu

upravljamo osobnim financijama kako bismo osigurali optimalni raspored financijskih sred-

stava kojima raspolazemo. To cinimo s ciljem zadovoljavanja nasih potreba. Ukoliko ras-

polazemo s viskom financijskih sredstava, zanima nas kako ih optimalno iskoristiti, odnosno

trebamo li ih uloziti u banku, mozda investirati u nekretninu ili dionice? S druge strane, uko-

liko smo suoceni s nedostatkom financijskih sredstava, prisiljeni smo ih posuditi tj. zatraziti

zajam pod odredenim uvjetima. Kako bismo mogli donijeti odluku o tome koji zajam je

za nas najpogodniji, tj. najjeftiniji, moramo dobro procijeniti uvjete zajma. Iznos koji smo

posudili vracat cemo, ali uvecan za naknadu koristenja tudega novca (kamate) u odredenom

vremenskom razdoblju. U slucaju vecih iznosa zajma i/ili visina kamatnih stopa znatno

opterecujemo kucni budzet. Stoga sa zajmovima treba biti vrlo oprezan. Kao primjer opas-

nosti s kojom se susrecemo prilikom uzimanja zajma navest cemo situaciju koja je nedavno

pogodila mnoge gradane Republike Hrvatske. Radi se o problemu porasta kunske protuvri-

jednosti rata kredita vezanih valutnom klauzulom za tecaj svicarskog franka cija je razina

narasla daleko iznad svih ocekivanja i time mnoge gradane stavila u nezavidnu financijsku

situaciju. S takvim i slicnim problemima se suocavamo i u poslovnom svijetu.

U ovom radu cemo se malo detaljnije upoznati sa zajmovima i njihovom otplatom. U

prvom poglavlju cemo definirati osnovne pojmove kamatnog racuna, upoznati se s razlicitim

nacinima obracuna kamata i kamatnim stopama. Potom cemo analizirati sadasnje i konacne

vrijednosti serije uplata ili ispata. U trecem poglavlju cemo definirati sto su to zajmovi,

navesti njihova glavna svojstva i prouciti najbitnije dijelove. Dalje cemo se baviti modelima

otplate zajma, ali se i upoznati s terminima poput interkalarne kamate i konverzije zajma.

Sve dane definicije, tvrdnje i formule cemo potkrijepiti s puno primjera. Na samom kraju

rada cemo se osvrnuti na kredit, odnosno obraditi dvije vrste kredita kako bismo vidjeli na

koji nacin teorija zaista funkcionira u praksi.

4

2. Kamatni racun

Financijska matematika je vazno podrucje primjene matematike u ekonomskim znanostima,

ali i drugim podrucjima koja se bave financijskim aspektima u primjenama. Buduci da je to

siroko podrucje, mi cemo navesti osnovne elemente kamatnog racuna kako bismo u nastavku

mogli izgraditi modele otplate zajma.

2.1. Kamate

Pod pojmom kapital u financijskoj matematici obicno podrazumijevamo neku gotovinu,

ali to moze biti i iznos kredita ili zajma, hipoteka, stednja itd. Iznos kapitala uobicajeno

se zaokruzuje na dvije decimale jer se osnovna jedinica valute obicno dijeli na 100 sitnijih

dijelova. U trenutku aktiviranja kapitala (bez smanjenja opcenitosti, a zbog jednostavnosti

uzmimo da je to trenutak t0 = 0) njegov iznos nazivamo pocetni kapital i oznacavamo s

C0. Od tog trenutka osoba koja koristi kapital mora vlasniku placati kamate. Kamata

za jedinicno obracunsko razdoblje (godina, mjesec, dan itd.) definira se kao postotni iznos

pocetnog kapitala C0 gdje se velicina odgovarajuceg postotka p naziva kamatna stopa.

Velicinu:

i =p

100

cemo zvati kamatnjak.

Tako cemo npr. reci da je pocetni kapital C0 posuden uz godisnju kamatnu stopu 4 ili

godisnji kamatnjak i = 0.04, odnosno godisnji kamatnjak i = 4%. Vrijednost kapitala na

kraju obracunskog razdoblja zvat cemo konacni kapital. Obracun kamata se moze obavljati

na kraju ili na pocetku obracunskog razdoblja.

Definicija 2.1 Dekurzivni obracun kamata je obracun kamata na kraju svakog razdoblja

ukamacivanja od glavnice s pocetka tog razdoblja.

Dekurzivno obracunati kamate znaci izracunati kamate na posudeni iznos i isplatiti ih ili

pribrojati iznosu na kraju vremenskog razdoblja.

Definicija 2.2 Anticipativni obracun kamata je obracun kamata na pocetku razdoblja ukama-

civanja od glavnice s kraja razdoblja.

Anticipativno obracunati kamate znaci da cemo ih obracunavati unaprijed za neko vre-

mensko razdoblje pri cemu ce se one obracunavati na konacnu vrijednost zadanog iznosa.

Nakon izracuna, kamata se na pocetku razdoblja ukamacivanja oduzima od te glavnice.

Buduci da se u financijskoj praksi gotovo iskljucivo koristi dekurzivno ukamacivanje, mi

cemo se u nastavku rada baviti iskljucivo dekurzivnim ukamacivanjem, a o anticipativnom

ukamacivanju cemo reci samo osnovne cinjenice.

5

2.2. Dekurzivan obracun kamata

Kamate mozemo obracunati na dva nacina u ovisnosti o tome hocemo li ih obracunati

samo na pocetni kapital C0 ili cemo ih obracunavati na kapital iz prethodnog obracunskog

razdoblja.

2.2.1. Jednostavno ukamacivanje

Pretpostavimo da je u trenutku t0 pocetni kapital C0 posuden uz godisnju kamatnu stopu

p (ili godisnji kamtnjak i) i dekurzivan obracun kamata. U tom slucaju cemo dalje govoriti

o dekurzivnoj kamatnoj stopi p. Treba izracunati konacnu vrijednost kapitala na kraju n-te

godine ako na kraju svake godine pribrajamo kamate obracunate samo na pocetni kapital

C0. Ovakav nacin obracuna kamata nazivamo jednostavno ukamacivanje.

0

C0

1

C1

2

C2

. . .

. . .

n− 1

Cn−1

n

Cn

Slika 1: Jednostavno godisnje ukamacivanje

Na kraju prve godine C0 dodajemo kamate:

I1 = C0p

100,

pa je vrijednost kapitala na kraju prve godine:

C1 = C0 + I1 = C0

(1 +

p

100

).

Vrijednost kapitala na kraju druge godine (C2) sastoji se od vrijednosti kapitala s pocetka

druge godine (C1) i kamata obracunatih ponovno samo na osnovni kapital (C0):

C2 = C1 + C0p

100.

Uvrstavajuci izraz za C1 u C2 dobivamo:

C2 = C0

(1 + 2

p

100

).

Ponavljajuci postupak, dobivamo vrijednost kapitala na kraju n-te godine:

Cn = C0

(1 + n

p

100

),

pri cemu su ukupne jednostavne kamate nakon n godina dane s

In = nC0p

100.

U terminima kamatnjaka imamo sljedece:

Cn = C0(1 + ni), In = nC0i.

6

Niz C0, C1, C2, . . . je aritmeticki niz s diferencijom d = C0p

100(odnosno d = C0i). Zato se

ponekada jednostavno ukamacivanje naziva linearno ukamacivanje.

U praksi je cesto zadana dekurzivna godisnja kamatna stopa, a vrijednost kapitala treba

izracunati za vrijeme krace od jedne godine. Neka je:

C0 - pocetni kapital u trenutku t0=0,

p - dekurzivna godisnja kamatna stopa,

m - broj jednakih podintervala na koji dijelimo godinu,

pm - dekurzivna kamtna stopa vezana za obracunsko razdoblje duljine 1m

.

0

C0

1/m

C1/m

2/m

C2/m

. . .

. . .

1

C1

Slika 2: Jednostavno ispodgodisnje ukamacivanje

Ispodgodisnja kamatna stopa pm treba biti tako definirana da iznos konacnog kapitala C1

na kraju godine uz primjenu jednostavnog ukamacivanja bude jednak, bez obzira jesmo li

jedanput primjenili godisnju kamatnu stopu p ili smo m puta primjenili ispodgodisnju ka-

matnu stopu pm.

Konacni kapital C1 na kraju prve godine dobiven primjenom godisnje kamatne stope p

na pocetni kapital C0 iznosi:

C1 = C0 + C0p

100.

S druge strane, vrijednost pocetnog kapitala C0 na kraju prvog podintervala (uz primjenu

ispodgodisnje kamatne stope pm) je:

C1/m = C0 + C0pm100

,

na kraju drugog podintervala vrijednost kapitala je:

C2/m = C1/m + C0pm100

= C0 + 2C0pm100

,

a na kraju m-tog podintervala (kraj godine) imamo:

Cm/m = C0 +mC0pm100

.

Slijedi da je velicina jednostavne ispodgodisnje kamatne stope pm:

pm =p

m.

Dakle, jednostavnu dekurzivnu ispodgodisnju kamatnu stopu pm dobijemo tako da dekur-

zivni godisnji kamatnjak p podjelimo s brojem jednakih dijelova m na koji dijelimo godinu.

Primjetimo takoder da je vrijednost pocetnog kapitala C0 nakon k ovakvih obracunskih

razdoblja jednaka:

Ck/m = C0

(1 + k

pm100

),

a da je niz C0, C1/m, C2/m, . . . aritmeticki niz s diferencijom d = C0pm100

.

7

2.2.2. Slozeno ukamacivanje

Pretpostavimo da u trenutku t0 = 0 posuden pocetni kapital C0 uz dekurzivnu godisnju

kamatnu stopu p. Treba izracunati vrijednost kapitala na kraju n-te godine ako na kraju

svake godine pribrajamo kamate obracunate na vrijednost kapitala s pocetka te godine.

Ovakav obracun kamata naziva se slozeno ukamacivanje. Razlika izmedu jednostavnog

i slozenog ukamacivanja je u tome sto se prilikom obracuna jednostavnih kamata na kraju

svake godine kamate racunaju samo na pocetni kapital, dok se kod slozenog ukamacivanja

kamate obracunavaju i na kamate.

0

C0

1

C1

2

C2

. . .

. . .

n− 1

Cn−1

n

Cn

Slika 3: Slozeno godisnje ukamacivanje

Uvodimo sljedece oznake:

C0 - kapital (pocetna vrijednost; glavnica),

Cj - glavnica na kraju j-te godine,

n - broj razdoblja ukamacivanja,

p - dekurzivna godisnja kamatna stopa

Cn - konacna vrijednost glavnice nakon n godina,

Kj - kamata na kraju j-te godine (nastala u j-toj godini),

K - ukupne kamate.

Vrijednost kapitala na kraju prve godine (C1) sastoji se od vrijednosti pocetnog kapitala C0

i odgovarajucih kamata na taj iznos:

C1 = C0 + C0p

100= C0

(1 +

p

100

)= C0r,

gdje je:

r = 1 +p

100ili r = 1 + i.

godisnji dekurzivni kamatni faktor. Vrijednost kapitala na kraju druge godine (C2) sastoji

se od vrijednosti kapitala na kraju prve godine C1 i odgovarajucih kamata na taj iznos:

C2 = C1 + C1p

100= C1

(1 +

p

100

)= C0

(1 +

p

100

)(1 +

p

100

)= C0

(1 +

p

100

)2,

C2 = C0r2.

Analogno je:

C3 = C2 + C2p

100= C2

(1 +

p

100

)= C0

(1 +

p

100

)2 (1 +

p

100

)= C0

(1 +

p

100

)3,

C2 = C0r3.

8

Lako se zakljucuje da konacna vrijednost glavnice na kraju svake godine C0, C1, C2, . . . cini

geometrijski niz kojem je prvi clan a1 = C0r, a omjer q je r. Pomocu izraza za opci clan

geometrijskon niza an = a1 · qn−1 mozemo izracunati konacnu vrijednost glavnice na kraju

n-te godine:

Cn = C0

(1 +

p

100

)(1 +

p

100

)n−1= C0

(1 +

p

100

)nCn = C0r

n.

Iz gornjeg izraza mozemo izvesti izraz za broj razdoblja ukamacivanja:

n =log Cn

C0

log r.

Analogno mozemo izracunati vrijednost pocetnog kapitala C0 ukoliko imamo konacnu vri-

jednost kapitala Cn:

C0 =Cn

rn.

Ovu vrijednost nazivamo sadasnja vrijednost kapitala Cn. Vrijednosti kapitala na kraju

svake godine mozemo racunati i pomocu kamata na kraju i-te godine

Ki = Ci−1p

100,

na sljedeci nacin:

C1 = C0 +K1,

C2 = C1 +K2,

C3 = C2 +K3,

...

Cn = Cn−1 +Kn.

Ukupne kamate se jednake:

K = Cn − C0.

Buduci da poznajemo vrijednost kapitala na kraju n-te godine Cn, ukupne kamate mozemo

izraziti pomocu pocetnog kapitala na sljedeci nacin:

K = C0rn − C0,

K = C0(rn − 1).

9

2.2.3. Komforna i relativna kamatna stopa

Cesto je u praksi zadana godisnja kamatna stopa, a vrijednost kapitala treba izracunati

za vrijeme krace od jedne godine. Neka je u tom slucaju:

C0 - kapital (pocetna vrijednost; glavnica),

p - dekurzivna godisnja kamatna stopa,

m - broj jednakih podintervala na koji djelimo godinu,

pm - dekurzivna kamatna stopa vezana za obracunsko razdoblje duljine 1m.

0

C0

1/m

C1/m

2/m

C2/m

. . .

. . .

1

C1

Slika 4: Slozeno ispodgodisnje ukamacivanje

Ispodgodisnja kamtna stopa pm treba biti tako definirana da iznos konacnog kapitala C1

na kraju godine uz primjenu slozenog ukamacivanja bude jednak, bez obzira da li smo jed-

nput primjenili godisnju kamatnu stopu p ili smo m puta primjenili ispodgodisnju kamatnu

stopu pm. Broj pm nazivamo slozena ispodgodisnja kamatna stopa ili konformnna

kamatna stopa.

Konacni kapital C1 na kraju prve godine dobiven primjenom godisnje kamatne stope p na

pocetni kapital C0 iznosi:

C1 = C0

(1 +

p

100

).

S druge strane, vrijednost pocetnog kapitala C0 na kraju prvog podintervala, uz primjenu

ispodgodisnje kamatne stope pm je:

C1/m = C0 + C0pm100

= C0rm,

gdje je

rm = 1 +pm100

.

Velicinu rm nazivamo ispodgodisnji kamatni faktor.

Na kraju drugog podintervala imamo:

C2/m = C1/m + C1/mpm100

= C1/m

(1 +

pm100

)= C0r

2m.

Opcenito, nakon k podintervala duljine 1m

vrijednost kapitala ce biti:

Ck/m = C0rkm, rm = 1 +

pm100

, (k = 1, 2, . . .)

Na kraju m-tog podintervala (kraj godine) imamo:

Cm/m = C0

(1 +

pm100

)m.

10

Izjednacavajuci izraze

C0

(1 +

p

100

)= C0

(1 +

pm100

)m,

dobivamo

1 +p

100=

(1 +

pm100

)m,(

1 +p

100

) 1m

= 1 +pm100

,(1 +

p

100

) 1m − 1 =

pm100

,

pm = 100

(m

√1 +

p

100− 1

).

Obrnuto, ako je zadana ispodgodisnja kamatna stopa pm, lako mozemo izracunati velicinu

godisnje kamatne stope p:

p = 100[(

1 +pm100

)m− 1].

Izraz za ispodgodisnju kamatnu stopu mozemo pisati i na sljedeci nacin:

pm = 100( m√

1 + i− 1),

gdje je i = p100

odgovarajuci godisnji kamatnjak. pm mozemo shvatiti kao funkciju od i.

Razvojem pm(i) u Taylorov red u okolini 0 dobivamo:

pm(i) = 0 +100

mi+

1

2· 100

m· 1−m

mi2 + . . .

Uz pretpostavku da je i2, i3, . . . zanemarivo, dobivamo linearnu aproksimaciju konfornme

kamatne stope koju cemo oznaciti sa pr

pr :=100

mi =

p

m.

Ova linearna aproksimacija konformne kamatne stope naziva se relativna kamatna stopa.

Primjer 2.1 Odredite vrijednost pocetnog kapitala u iznosu od 15000.00kn ukamacenog uz

dekurzivnu godisnju kamatnu stopu 10 nakon 120 dana (godina nije prijestupna). Primijenite

i relativnu i konformnu kamatnu stopu

Rjesenje:

Poznata nam je pocetna vrijednost kapitala C0 = 15000.00kn, dekurzivna godisnja ka-

matna stopa p = 10, broj razdoblja ukamacivanja n = 120 dana te dan kao obracunsko

razdoblje manje od godine, pa je m = 365. Zanima nas vrijednost kapitala nakon 120 dana,

odnosno konacna vrijednost kapitala (Cn).

Konacna vrijednost kapitala nakon 120 dana uz primjenu relativne kamatne stope dobije se

iz:

pr =p

m=

10

365= 0.0273972603,

11

r = 1 +pr

100= 1 +

0.0273972603

100= 1.000273972603,

Cn = C0rn,

pa je:

C120 = 15000.00 · 1.000273972603120 = 15501.28

Konacna vrijednost kapitala nakon 120 dana uz primjenu konformne dnevne kamatne stope

dobije se iz:

pm = 100(365

√1 +

10

100− 1) = 0.02611578,

r = 1 +pm100

= 1 +0.02611578

100= 1.0002611578,

pa je

C120 = 15000.00 · 1.0002611578120 = 15477.46.

Konacna vrijednost kapitala je veca uz primjenu relativne kamatne stope.

2

Ako je m > 1, onda je pm < pr, odnosno ako je m > 1, onda je komforna kamatna

stopa manja od odgovarajuce relativne kamatne stope. To za posljedicu ima da primjenom

relativne ispodgodisnje kamatne stope prilikom obracuna ispodgodisnjih slozenih kamata

uvijek nesto vise (vise nego sto bi trebalo) dobiva onaj koji posuduje novac (u ciju korist se

obracunavaju kamate). Ako je m < 1, odnosno ako je obracunsko razdoblje duze od godine

dana, onda je pm > pr (dokaz ovih tvrdnji moze se naci u [7], str.12).

Primjetimo da se relativna kamatna stopa podudara s jednostavnom ispodgodisnjom ka-

matnom stopom, ali to ne znaci da se primjenom relativne kamatne stope kod obracuna

ispodgodisnjih slozenih kamata dobiva isti rezultat kao i prilikom obracuna jednostavnih

ispodgodisnjih kamata.

Neka je p dekurzivna godisnja kamatna stopa i neka se obracun ispodgodisnjih kamata

obavlja primjenom relativne kamatne stope pr. Efekt je takav kao da se realno primjenjuje

visa godisnja kamatna stopa pe za koj vrijedi:

C0

(1 +

pe100

)= C0

(1 +

pr100

)m.

U tom slucaju kamatnu stopu p nazivamo nominalna godisnja kamatna stopa, a kamatna

stopa pe se ponekad u literaturi naziva efektivna kamatna stopa (vidi [4]). Efektivna ka-

matna stopa je takva dekurzivna kamatna stopa cijom primjenom na kraju godine dobivamo

isti iznos kao da smo m puta primjenili relativnu kamatnu stopu.

12

2.3. Anticipativan obracun kamata

Kao sto smo prethodno naveli, prilikom anticipativnog obracuna kamate cemo obracuna-

vati unaprijed za neko vremensko razdoblje pri cemu ce se one obracunavati na konacnu

vrijednost zadanog iznosa. Nakon izracuna, kamata se na pocetku razdoblja ukamacivanja

oduzima od te glavnice. Koristimo iste oznake kao i prilikom dekurzivnog ukamacivanja uz

dodatak q koji predstavlja godisnju anticipativnu kamatnu stopu.

Vrijednost kapitala na kraju prve godine (C1) izvest cemo iz izraza za pocetni kapitala

C0. Pocetni kapital C0 se sastoji od kapitala na kraju prve godine (C1) umanjenog za

odgovarajuce kamate.

C0 = C1 − C1q

100= C1

(1− q

100

)= C1

(100− q

100

),

C1 = C0100

100− q,

gdje je

ρ =100

100− qgodisnji anticipativni kamatni faktor.

Vrijednost kapitala na kraju druge godine (C2) izracunat cemo pomocu vrijednosti kapitala

na kraju prve godine:

C1 = C2 − C2q

100= C2

(1− q

100

)= C2

(100− q

100

),

C2 = C1100

100− q= C0

100

100− q100

100− q= C0

(100

100− q

)2

.

Analognim zakljucivanjem konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine iznosi:

Cn = C0

(100

100− q

)n

.

Kao i prilikom dekurzivnog obracuna kamata, i sada se ukupne kamate K jednake konacnoj

vrijednosti glavnice na kraju n-te godine umanjeno za pocetnu vrijednost glavnice C0:

K = Cn − C0.

Iskoristimo li prethodno izvedeni izraz za konacnu vrijednost glavnice na kraju n-te godine,

ukupne kamate mozemo izraziti pomocu aniticipativne kamatne stope q i pocetne vrijednosti

glavnice C0:

K = C0

((100

100− q

)n

− 1

).

U sljedecem primjeru cemo usporediti dekurzivan i anticipativan obracun kamata.

13

Primjer 2.2 Duznik je posudio iznos 10000 na 1 godinu. Koji iznos duznik mora vratiti ako

je godisnja kamatna stopa 10, a obracun kamata je: (a) dekurzivan (b) anticipativan.

Rjesenje:

Poznat nam je pocetni iznos kapitala C0 = 10000, broj razdoblja ukamacivanja n = 1 i

godisnja kamatna stopa p = 10. Zelimo izracunati konacnu vrijednost kapitala (Cn = C1).

(a) Dekurzivan obracun kamata:

C1 = 10000

(1 +

10

100

)= 11000.

(b) Anticipativan obracun kamata:

C1 = 10000100

100− 10= 11111.10.

Nakon godine dana ce duznik kod kojeg je koristen anticipativan obracun kamata morati

vratiti veci iznos od duznika kojeg je koristen dekurzivan obracun kamata.

2

14

3. Sadasnja i konacna vrijednost financijskih renti

Renta je serija od n jednakih isplata/uplata, u jednakim vremenskim intervalima. Ako

su isplate/uplate izvjesne, neovisne o smrti ili dozivljenju neke osobe onda se renta naziva

financijska renta. Ukoliko isplate nisu izvjesne i ovise o smrti ili o dozivljenju, radi se o

zivotnoj renti.

3.1. Postnumerando i prenumerando rente

Promotrimo prvo slucaj isplate u iznosu 1 na kraju svake od n uzastopnih godina (je-

dinicnih intervala).

0 1 2 n

1 1 1

C C C

Definicija 3.1 Postnumerando ili unatrag plativa renta je renta koje se izvrsava uvi-

jek na kraju vremenskog razdoblja.

Zanima nas sadasnja i konacna vrijednost postnumerando rente na kraju n-tog razdoblja.

Uvodimo sljedece oznake:

R - konstantna uplata (isplata) u jednakim vremenskim intervalima,

n - broj razdoblja ukamacivanja,

p - konstantna godisnja kamatna stopa,

Sn - konacna vrijednost prenumerando renti na kraju n-tog razdoblja,

S ′n - konacna vrijednost postnumerando renti na kraju n-tog razdoblja,

An - sadasnja vrijednost pretnumerando renti,

A′n - sadasnja vrijednost postnumerando renti.

Vrijednost na pocetku prvog razdoblja niza uplata (isplata) izvrsenih krajem svakog od n

razdoblja, odnosno sadasnja vrijednost n postnumerando uplata (isplata) jednaka je:

A′n =R

r+R

r2+ . . .+

R

rn=R

rn(rn−1 + rn−2 + . . .+ 1),

A′n =R

rn· r

n − 1

r − 1. (1)

Uocimo da je stvar translaciono invarijantna. Racun je analogan kada racunamo vrijednost

jednu godinu prije prve isplate.

15

A′n

An

0 1 2 n− 1 n

R R R R

R R R R

S ′n

Sn

Definicija 3.2 Prenumerando ili unaprijed plativa renta je renta koje se izvrsava

uvijek na pocetku vremenskog razdoblja.

Pocetna vrijednost na pocetku prvog razdoblja isplata izvrsenih pocetkom svakog od n raz-

doblja odnosno pocetna vrijednost n prenumerando isplata jednaka je:

An = R +R

r+ . . .+

R

rn−1=

R

rn−1(rn−1 + rn−2 + . . .+ 1),

An =R

rn−1· r

n − 1

r − 1. (2)

Konacna vrijednost na kraju n-tog razdoblja uplata (isplata) izvrsenih krajem svakog od n

razdoblja je:

S ′n = R(rn−1 + rn−2 + . . . r + 1),

odnosno

S ′n = Rrn − 1

r − 1.

Konacna vrijednost na kraju n-tog razdoblja uplata (isplata) izvrsenih pocetkom svakog od

n razdoblja jednaka je:

Sn = Rr(rn−1 + rn−2 + . . . r + 1)

pa je

Sn = Rrrn − 1

r − 1.

Ponekad se Sn i S ′n zovu akumulacije, odnosno akumulirane vrijednosti renti.

3.2. Ispodgodisnje rente

Neka je p dekurzivna godisnja kamatna stopa. Pretpostavimo da smo godinu podijelili na

m jednakih obracunskih razdoblja i da se pocetkom svakog od n takvih razdoblja uplacuju

iznosi R. Treba izracunati sumu konacnih i sadasnjih vrijednosti svih uplacenih svota.

0

R

1m

R

2m

R

. . .

. . .

1

R

. . .

. . .

n−1m

R

nm

Slika 5: Periodicne ispodgodisnje uplate

16

Suma svih n svota na kraju n-tog obracunskog razdoblja je:

Sn = Rr1m (r

n−1m + . . . r

1m + 1).

Zbrajanjem sume u zagradi dobivamo:

Sn = Rr1mr

nm − 1

r1m − 1

.

Ovo je konacna vrijednost n jednakih periodicnih uplata (isplata) pocetkom obracunskog

razdoblja, odnosno konacna vrijednost ispodgodisnjih prenumerando renti.

Oznacimo sa An sadasnju (u trenutku t0 = 0) vrijednost sume svih tih svota. Tada vrijedi:

Sn = Anrnm ,

a onda iz danog izraza dobivamo sadasnju vrijednost:

An = Snr− n

m = Rr1−nmr

nm − 1

r1m − 1

.

Na analogan nacin dobijemo sumu konacnih i sadasnjih vrijednosti iznosa R koji se uplacuju

na kraju svakog od n obracunskih razdoblja.

Konacna vrijednost ispodgodisnjih postnumerando renti je:

S ′n = Rr

nm − 1

r1m − 1

.

Sadasnja vrijednost ispodgodisnjih postnumerando renti je:

A′n = Rr−nmr

nm − 1

r1m − 1

.

17

4. Zajam

Da bismo ostvarili svoje zivotne potrebe i poslovne ideje potreban je novac. Novac dolazi

u razlicitim oblicima, a ono sto je nama bitno imamo li taj novac u odgovarajucem trenutku

ili ne. Ukoliko ga nemamo, potrebno je posegnuti za drugim nacinima pribavljanja novca.

U danasnje doba jedan od ucestalijih nacina financiranja, odnosno pribavljanja financijskih

sredstava potrebnih za investicije je uzimanje zajma.

4.1. Ugovor o zajmu

Zajam se odobrava na temelju ugovora o zajmu kojeg zakljucuju kreditor (zajmodava-

telj, vjerovnik) i korisnik zajma (zajmotrazitelj, duznik). Kreditor je financijska institucija

koja ustupa, odnosno isplacuje ugovoreni iznos korisniku zajma odjednom ili u obrocima.

Korisnik zajma moze biti bilo koja fizicka ili pravna osoba koja je stekla uvjete za uzima-

nje zajma i obvezala se na vracanje zajma u dogovorenom roku uz placanje odgovarajucih

kamata. Nadalje, na zajam mozemo gledati kao na posebnu vrstu imovinsko - pravnog od-

nosa u kojem je doslo do viska financijskih sredstava na jednoj strani (strani kreditora) i

manjka financijskih sredstva na drugoj strani (strani korisnika zajma) pa strana s viskom

ustupi svoja financijska sredstva drugoj strani pod odredenim uvjetima. Uvjeti se navode u

ugovoru o zajmu.

Ugovor o zajmu zadrzi sljedece:

1. iznos zajma,

2. kamatnu stopu za redovnu i zateznu kamatu,

3. kada i na koji nacin ce kreditor izvrsiti svoje obveze,

4. razdoblje nakon kojeg pocinje redovno vracanje zajma,

5. rok i nacin otplate zajma.

Prethodno su navedeni osnovni elementi ugovora o zajmu. Medutim, u njemu je definirana

i vrsta zajma, ostala orocenja, interkalarne kamate, zastitne klauzule (valutna klauzula,

revalorizacija i sl.), razne naknade i sl. Da bi kreditor osigurao povrat posudenih financijskih

sredstava on ima pravo traziti jamstvo i osiguranje povrata kredita u obliku nekretnina koje

se daju u zalog ili depozita koje posjeduje korisnik zajma. Isto tako, u ugovoru o zajmu

se najcesce navode i uvjeti koje je kreditor duzan ispuniti prema pravilnicima i zakonskoj

regulativi.

18

4.2. Anuiteti

Nakon sto su definirani svi uvjeti dani ugovorom, zajam se zakljucuje. U ugovoru se, kao

sto smo prethodno naveli, definira i nacin vracanja zajma. Korisnik zajma placa periodicne

iznose davatelju zajma. Iznosi tog oblika se nazivaju anuiteti i njima se zajam otplacuje

(amortizira) kroz vrijeme. Anuiteti se sastoje od dva dijela:

• otplatnih kvota,

• kamata.

Otplatne kvote su dio anuiteta kojim se otplacuje osnovni dio zajma, a kamate su dio ko-

jim se placa naknada za koristenje posudenih financijskih sredstva. U nastavku rada cemo

za anuitete koristiti oznaku a, za otplatne kvote oznaku R i za kamate oznaku K. Unu-

tar perioda otplate zajma kamatna stopa moze biti konstantna ili promjenjiva, ali samo za

vremenske intervale jednakih duljina. Relativna i konformna kamatna stopa koriste se ako

osnovno razdoblje ukamacivanja nije jednake duljine kao osnovno razdoblje na koje se odnosi

propisana godisnja kamatna stopa. Ukoliko nije drugacije naglaseno, koristi se konformna

kamatna stopa jer se njezinim koristenjem (za razliku od relativne), uvijek dobiva isti iznos

bez obzira na vremenski interval izmedu obracuna.

Opcenito, anuitet moze biti konstantan ili promjenljiv i vraca se krajem ili pocetkom vre-

menskih razdoblja. Otplata zajma pomocu anuiteta pocinje tek nakon sto je zajam u cijelosti

iskoristen. U nasoj gospodarskoj praksi se anuteti najcesce vracaju krajem vremenskog raz-

doblja. U skladu s imenima financijskih renti, ovakvi anuiteti se nazivaju postnumerando

anuiteti. Anuiteti koji se vracaju pocetkom obracunskog razdoblja nazivaju se prenume-

rando anuiteti. Kao sto smo vec spomenuli, u nasoj gospodarskoj praksi se najcesece rabi

dekurzivan nacin obracuna kamata pa cemo se u ovom radu usmjeriti iskljucivo na modele

otplate zajma koji koriste dekurzivan nacin obracuna kamata. Razlog je jednostavan, ka-

mate obracunate anticipativno su uvijek vece od kamata obracunatih dekurzivno, uz ostale

uvjete nepromjenjene, pa je za korisnika zajma bolje i povoljnije dekurzivno ukamacivanje

jer placa manje.

4.3. Otplatna tablica

Otplata (amortizacija) zajma vodi se pregledno prema rokovima otplate i za svaki se rok

racuna nominalni iznos anuiteta, kamate, otplatne kvote i ostatak duga. Takav pregled,

u formi tablice, naziva se plan otplate, plan amortizacije ili otplatna tablica. Plan

otplate je za korisnika zajma pregled iznosa i rokova njegovih obaveza, a za kreditora plan

priljeva sredstava od odobrenih zajmova i kamata na ta sredstva. U svakoj otplatnoj tablici

moraju vrijediti sljedeca pravila:

19

1. Suma svih otplatnih kvota jednaka je iznosu zajma.

n∑i=1

Rk = C0, k = 1, 2, . . . , n.

2. Suma svih anuiteta jednaka je sumi ukupnih otplatnih kvota i ukupnih kamata.

na =n∑

i=1

Rk +n∑

i=1

Kk, k = 1, 2, . . . , n.

Nakon izrade otplatne tablice moze se provesti kontrola rezultata. Kontrole su bile vrlo bitne

u vrijeme kad se racunala nisu koristila ili bar nisu bila na razini na kojoj su danas. Danas

one nisu potrebne.

20

5. Modeli otplate zajma

Svi modeli otplate zajma temelje se na cinjenici da pocetna vrijednost svih uplacenih anuiteta

mora biti jednaka visini odobrenog zajma.

5.1. Otplata zajma u jednakim anuitetima

Pretpostavke modela su sljedece:

1. obracun kamata je slozen i dekurzivan,

2. anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim intervalima krajem razdoblja,

3. duljina razdoblja ukamacivanja jednaka je duljini vremena dospjeca izmedu anuiteta i

iznosi 1,

4. kamatna stopa je stalna tijekom cijelog razdoblja otplate zajma.

Korisnik zajma se zaduzuje uplatama jednakih iznosa koji dospijevaju u jednakim vremen-

skim intervalima. Nas zanima kako odrediti iznos anuiteta (a) uz godisnju kamatnu stopu

(p), na temelju poznatog odobrenog iznosa zajma (C0).

0

C0

1

C1

a2

C2

a

. . .

. . .

k. . .

. . .

n

Cn

a

Slika 6: Otplata zajma u jednakim godisnjim anuitetima

Prema (1), sadasnju vrijednost kapitala C0 predstavlja sadasnja vrijednost postnumerando

rente, dok anuiteti a prestavljaju periodicne uplate (isplate):

C0 =a

rn· r

n − 1

r − 1.

Iz gornje formule dobivamo izraz za velicinu anuiteta:

a = C0rn(r − 1)

rn − 1. (3)

Cesto je u praksi potrebno nakon izvjesnog broja uplacenih anuiteta izracunati ostatak duga

u svrhu redefiniranja uvjeta, konacne otplate zajma i slicno. Za ostatak duga na kraju k-te

godine (1 ≤ k ≤ n) imamo:

Ck = C0rk − a(rk−1 + . . .+ r + 1).

Dobili smo formulu iz koje mozemo izracunati ostatak duga na kraju k-te godine:

Ck = C0rk − ar

k − 1

r − 1. (4)

21

Uocimo da je ostatak duga na kraju k-te godine jednak vrijednosti svih neuplacenih

anuiteta tj.

Ck = a

(1

r+

1

r2+ . . .+

1

rn−k

)= a

1

rn−k(1 + r + . . .+ rn−k−1

)= a

1

rn−k· r

n−k − 1

r − 1. (5)

Ovako dobivena formula za ostatak duga naziva se prospektivnom, dok se formula (4) na-

ziva retrospektivnom. Uocimo da se (5) dobije iz (4) uvrstavanjem izraza (3) i sredivanjem:

Ck =a

rn· r

n − 1

r − 1rk − ar

k − 1

r − 1

= arn − 1− rn−k(rk − 1)

rn−k(r − 1)

= arn−k − 1

rn−k(r − 1).

U gospodarskoj praksi uvijek je poznat iznos zajma C0, a trazi se iznos anuiteta. Plan

otplate zajma pregledno prikazujemo u otplatnoj tablici koja sadrzi podatke o razdoblju,

anuitetu, kamatama, otplatnoj kvoti i ostatku duga. Ti podaci su dani po stupcima ot-

platne tablice. Razdoblje oznacava broj razdoblja u kojem dolazi do novcanog tijeka. Nulto

razdoblje je razdoblje u kojemu je odobreni zajam stavljen na raspolaganje. Posljednje raz-

doblje je ono razdoblje u kojemu dolazi do posljednjeg novcanog tijeka. U nulto razdoblje se

upisuje samo iznos odobrenog zajma koji predstavlja ostatak dugovanja. U stupcu anuitet

su iznosi koji se sastoje od dijela kojim se vraca zajam i dijela kojim se vraca kamata na

zajam. U stupac kamate se unosi iznos kamata na ostatak dugovanja koji treba otplatiti za

sva razdoblja osim nultog. Otplatna kvota je stupac u koji se unose iznosi kojima se vraca

glavnica, odnosno zajam. Za razdoblje k = 1, 2, . . . , n unose se iznosi kamata, otplatnih

kvota i ostatka duga.

Iznos kamata na kraju k-te godine racunamo pomocu formule:

Kk =Ck−1p

100, k = 1, 2, . . . , n.

Od prije je poznato da u otplatnoj tablici vijedi da je suma svih anuiteta jednaka je sumi

ukupnih otplatnih kvota i ukupnih kamata. Ukoliko poznajemo vrijednost anuiteta i kamata

u k-toj godini, vrijednost otplatne kvote na kraju k-te godine racunamo na sljedeci nacin:

Rk = a−Kk, k = 1, 2, . . . , n.

22

Krajk-tegod

ak Kk Rk Ck

0 - - - C0

1 a K1 = C0·p100

R1 = a−K1 C1 = C0 −R1

2 a...

......

......

k a Kk = Ck−1·p100

Rk = a−Kk Ck = Ck−1 −Rk...

......

......

n a Kn = Cn−1·p100

Rn = a−Kn 0∑n · a

n∑i=1

Ki

n∑i=1

Ri = C0

Tablica 1: Izgled otplatne tablice

Primjer 5.1 Zajam od 480000.00kn odobren je na pet godina, uz godisnju kamatnu stopu 9

i placanje jednakih anuiteta krajem godine. Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan.

Sastavite otplatnu tablicu.

Rjesenje:

Poznata je visina zajma u iznosu C0 = 480000.00, kamatna stopa p = 9 godisnje i

vremenski interval otplate zajma n = 5 godina. Moramo izracunati anuitet a:

a = C0rn(r − 1)

rn − 1= 480000.00

1.095(1.09− 1)

1.095 − 1= 123404.38.

Sada racunamo ostale podatke za k = 1:

K1 =C0 · p100

=480000.00 · 9

100= 43200.00,

R1 = a−K1 = 123404.38− 43200.00 = 80204.38,

C1 = C0 −R1 = 480000.00− 80204.38 = 399795.62.

Analognim postupkom popunjavamo i ostale vrijednosti u Tablici 2.

Primjecujemo da, kako smo i ranije spomenuli, zbroj svih anuiteta mora biti jednak zbroju

svih kamata i otplatnih kvota. Uocimo da se kamate smanjuju kako se zajam blizi kraju, a

otplatne kvote se povecavaju. Takoder zbroj svih otplatnih kvota jednak je iznosu zajma tj.

ostatku dugovanja na pocetku. Vidimo i da je ostatak dugovanja iz predzadnjeg razdoblja

jednak otplatnoj kvoti zadnjega razdoblja. Ostatak duga na kraju zadnje godine jednak je

0.00 sto znaci da je dug otplacen.

2

23

Krajk-tegod

ak Kk Rk Ck

0 - - - 480 000.001 123 404.38 43 200.00 80 204.38 399 795.622 123 404.38 35 981.61 87 422.77 312 372.853 123 404.38 28 113.56 95 290.82 217 082.034 123 404.38 19 537.38 103 867.00 113 215.035 123 404.38 10 189.35 113 215.03 0.00∑

617 021.90 137 021.90 480 000.00

Tablica 2: Otplatna tablica za Primjer 5.1

U nastavku navodimo primjer u kojem imamo ispodgodisnje ukamacivanje

Primjer 5.2 Banka je poduzecu odobrila zajam u iznosu od 200000.00kn na 3 godine uz de-

kurzivnu godisnju kamatnu stopu 12 i placanje jednakih anuiteta krajem polugodista. Izradite

otplatnu tablicu za polugodisnji, slozen i dekurzivni obracun kamata.

Rjesenje:

Kako je zadan godisnja kamatna stopa, a ukamacivanje je polugodisnje (m = 2), najprije

cemo odrediti polugodisnji konformni kamatnjak.

pm = 100 ·[(

1 +p

100

) 1m − 1

]= 100 ·

[(1 +

10

100

) 12

− 1

]= 5.83005244,

r = 1 +0.0583005244

100= 1.0583005244.

Broj anuiteta n = 3 pa imamo y = 6 polugodisnjih anuiteta, te dobivamo

a = C0ry(r − 1)

ry − 1= 200000.00

1.05830052446(1.0583005244− 1)

1.05830052446 − 1= 40455.61.

Racunamo podatke za prvo polugodiste k = 1:

K1 =C0 · p100

=200000.00 · 5.83005244

100= 11660.10,

R1 = a−K1 = 40455.61− 11660.10 = 28795.51,

C1 = C0 −R1 = 4200000.00− 28795.51 = 171204.49.

Pripadna otplatna tablica slijedi u Tablici 3. Primjetimo da ostatak duga nakon zadnje

godine nije nula. To nije nista zabrinjavajuce, radi se o pogresci u racunu koja nastane zbog

zaokruzivanja.

2

24

Kraj k-togpolugod.

ak Kk Rk Ck

0 - - - 200 000.001 40 455.61 11 660.10 28 795.51 171 204.492 40 455.61 9 981.31 30 474.30 140 730.193 40 455.61 8 204.64 32 250.97 108 479.224 40 455.61 6 324.40 34 131.21 74 348.015 40 455.61 4 334.53 36 121.08 38 226.936 40 455.61 2 228.65 38 226.96 -0.03∑

242 733.66 42 733.63 200 000.00

Tablica 3: Otplatna tablica za Primjer 5.2

5.2. Otplata zajma u unaprijed dogovorenim jednakim anuitetima

U nasoj gospodarskoj praksi u upotrebi su i modeli otplate zajma u kojima se dogovara

i iznos anuiteta. Naime zajam C0 potrebno je otplatiti u unaprijed dogovorenim jednakim

anuitetima a krajem svakog razdoblja, uz godisnju kamatnu stopu p. Ovaj model se cesto

koristi u praksi radi jednostavnijeg obracuna zajma, ali i pruzanja prilike zajmoprimcu da

sam odredi iznos anuiteta za koji pretpostavlja da ce moci otplacivati. Ono sto ce zajmo-

primca u ovom modelu zasigurno zanimati je koliko dugo on mora otplacivati zajam ovog

oblika, odnosno koliko je vrijeme otplate (amortizacije) zajma n.

Zelimo izvesti izraz za vrijeme otplate zajma n. To cemo uciniti iz formule za iznos zajma:

C0 = arn − 1

rn(r − 1).

Sredivanjem dobivamo

rn =a

C0 − C0r + a.

Odavde se logaritmiranjem dobije

n log r = log a− log(C0 − C0r + a)

pa je vrijeme otplate n tijekom kojeg se isplacuju jednaki anuiteti krajem razdoblja

n =log a− log[a− C0(r − 1)]

log r. (6)

Ukoliko je n cijeli broj, dobivamo zajam uz jednake anuitete. Ukoliko n nije cijeli broj,

tada cjelobrojni dio decimalnog broja predstavlja broj razdoblja tijekom kojih se isplacuje

dogovoreni jednaki anuiteti. Na kraju sljedeceg razdoblja ((n+ 1)-og razdoblja) isplacuje se

posljednji, krnji anuitet a′n+1. S obzirom da iznos zajma mora biti jednak zbroju sadasnjih

vrijednosti svih anuiteta imamo:

C0 = a1

r+ a

1

r2+ a

1

r3+ . . .+ a

1

rn+ a′n+1

1

rn+1,

a′n+1

1

rn+1= C0 −

(a

1

r+ a

1

r2+ a

1

r3+ . . .+ a

1

rn

),

25

a′n+1 = rn+1[C0 −

(ar

+a

r2+a

r3+ . . .+

a

rn

)],

a′n+1 = C0rn+1 − (arn + arn−1 + arn−2 + . . .+ ar),

iz cega slijedi da je krnji ili nepotpuni anuitet jednak:

a′n+1 = C0rn+1 − arr

n − 1

r − 1.

Primjer 5.3 Poduzetnik trazi od banke zajam od 50100.00kn. Poduzetnik moze na ime pos-

tnumerando godisnjih anuiteta, izdvajati po 19850.00kn. Banka mu odobrava godisnju ka-

matnu stopu 8. Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan. Koliko godina ce poduzetnik

otplacivati zajam?

Rjesenje:

Iz formule (6) dobivamo vrijeme otplate:

n =log a− log[a− C0(r − 1)]

log r

=log 19850.00− log[19850.00− 50100.00(1.08− 1)]

log 1.08= 2.930565425.

Krnji anuitet je u ovom slucaju jednak

a′3 = 50100.00 · 1.083 − 19850 · 1.081.082 − 1

1.08− 1= 18520.53.

Dakle, da bi se otplatio zajam od 50100.00kn uz anuitete od 19850.00kn, potrebno je krajem

prve i druge godine uplatiti anuitet od 19850.00kn i jos na kraju trece godine 18520.53kn.

2

5.3. Otplata zajma u jednakim otplatnim kvotama

U ovom modelu otplate zajma u svakom razdoblju otplati se isti dio zajma (glavnice) i

pripadna kamata. Dakle otplatne kvote su iste za svako razdoblje, dok se anuiteti mjenjaju

s vremenom. U nastavku cemo navesti pretpostavke ovog modela.

1. Obracun kamata je slozen i dekurzivan.

2. Otplatne kvote su jednake, a anuiteti dospjevaju u jednakim vremenskim razmacima

krajem razdoblja.

3. Duljina razdoblja ukamacivanja jednaka je duljini vremenskog dospjeca izmedu anu-

iteta i iznosi 1.

4. Kamatna stopa je stalna tijekom cijelog razdoblja otplate zajma.

26

Pretpostavimo da zajam C0 treba vratiti s n jednakih otplantih kvota R plativih krajem

godine uz dekurzivnu godisnju kamatnu stopu p. Nakon sto izracunamo iznos otplatne

kvote R = Rk za sve k = 1, 2, . . . , n racunamo ostale elemente u otplatnoj tablici. Njih

racunamo na analogan nacin kao i u prethodnim modelima. Buduci da su otplatne kvote

jednake slijedi da je

C0 = nR

pa je visina otplatne kvote jednaka n-tom dijelu zajma

R =C0

n

pri cemu je ostatak duga na kraju k-te godine jednak

Ck = C0 − kC0

n= C0

(1− k

n

).

Svaki anuitet sadrzi otplatnu kvotu i kamate na ostatak duga. Tako dobivamo anuitete:

a1 = R + C0p

100,

a2 = R +

(C0 −

C0

n

)p

100= R + C0

p

100

(1− 1

n

),

i opcenito

ak = R + C0p

100

(1− k − 1

n

),

Primjer 5.4 Zajam od 900000.00kn odobren je poduzecu na 3 godine uz godisnju dekurzivnu

kamatu 8 i placanjem anuiteta krajem godine, pri cemu su otplatne kvote jednake. Sastavite

otplatnu tablicu.

Rjesenje:

Iznos jednake otplatne kvote za svaku godinu otplate zajma iznosi

R =C0

n=

900000.00

3= 300000.00.

Kamate za prvu godinu zajma moraju se platiti za cijeli iznos

K1 =C0p

100=

900000.00 · 8100

= 72000.00

pa je anuitet za prvu godinu jednak

a1 = K1 +R = 72000.00 + 300000.00 = 372000.00,

a ostatak duga na kraju prve godine

C1 = C0 −R = 900000.00− 300000.00 = 600000.00.

Analogno se dobiju vrijednosti u otplatnoj tablici i za ostale godine sto mozemo vidjeti u

Tablici 4.

2

27

Krajk-tegod

ak Kk Rk Ck

0 - - - 900 000.001 372 000.00 72 000.00 300 000.00 600 000.002 348 000.00 48 000.00 300 000.00 300 000.003 324 000.00 24 000.00 300 000.00 0.00∑

1 044 000.00 144 000.00 900 000.00

Tablica 4: Otplatna tablica za Primjer 5.4

5.4. Otplata zajma u promjenjivim anuitetima i promjenjivim ot-platnim kvotama

Ovaj je model otplate zajma najopcenitiji od svih. U nastavku cemo navesti pretpostavke

ovog modela.

1. Obracun kamata je slozen i dekurzivan.

2. Anuiteti dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama na kraju razdoblja.

3. Razdoblje ukamacivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeca izmedu anuiteta.

4. Kamatna stopa je konstantna tijekom cijelog razdoblja otplate zajma.

U otplatnoj tablici vrijede jednaka pravila kao i kod ostalih modela otplate zajma tako da

se otplatna tablica popunjava jednako kao i kod ostalih modela.

Primjer 5.5 Poduzetnik trazi zajam na tri godine. Na kraju prve godine u mogucnosti je

platiti 15789.00kn s naslova anuiteta, na kraju druge godine 16000.00kn i na kraju trece

godine 17000.00kn. Koliki je odobreni zajam ako banka primjenjuje godisnju kamatnu stopu

7? Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan. Sastavite otplatnu tablicu.

Rjesenje:

Zadan nam je anuitet na kraju prve godine a1 = 15789.00, anuitet na kraju druge godine

a2 = 16000.00, anuitet na kraju trece godine a3 = 17000.00, broj razdoblja ukamacivanja

n = 3 godine te kamtnu stopu p = 7 godisnje. Potrebno je izracunati iznos zajma C0 koji

mora biti jednak zbroju pocetnih (diskontiranih) vrijednosti svih anuiteta:

C0 =a1r

+a2r2

+a3r3,

Buduci da je dekurzivni kamatni faktor

r = 1 +7

100= 1.07,

slijedi

C0 =15789.00

1.07+

16000.00

1.072+

17000.00

1.073= 42608.15.

28

Sada mozemo izracunati elemente otplatne tablice i naciniti otplatnu tablicu primjenjujuci

poznate formule za kamate, otplatnu kvotu i ostatak duga.

Za kraj prve godine (k = 1) imamo :

K1 =C0 · p100

=42608.15 · 7

100= 2982.57,

R1 = a1 −K1 = 15789.00− 2982.57 = 12806.43,

C1 = C0 −R1 = 42608.15− 12806.43 = 29801.72.

Za kraj druge godine (k = 2) imamo :

K2 =C1 · p100

=29801.72 · 7

100= 2086.12,

R2 = a2 −K2 = 16000.00− 2086.12 = 13913.88,

C2 = C1 −R2 = 29801.72− 13913.88 = 15887.84.

Da bi anuiteti ostali nepromijenjeni, korigira se zadnja otplatna kvota i zadnji iznos kamata:

R′3 = C2 = 15887.84,

K ′3 = a3 −R′3 = 17000.00− 15887.84 = 1112.16.

Zavrsni rezultat je vidljiv u Tablici 5.

Krajk-tegod

ak Kk Rk Ck

0 - - - 42 608.151 15 789.00 2 982.57 12 806.43 29 801.722 16 000.00 2 086.12 13 913.88 15 887.843 17 000.00 1 112.16 15 887.84 0.00∑

48 789.00 6 180.85 42 608.15

Tablica 5: Otplatna tablica za Primjer 5.5

2

29

5.5. Otplata zajma uz promjenjivu kamatnu stopu

Zadana je velicina zajma C0, rok otplate, nacin otplate i kretanje dekurzivne godisnje

kamatne stope tijekom otplate zajma. Razmotrimo najprije slucaj jednkratne otplate, a

zatim i otplate zajma s vise anuiteta.

5.5.1. Jednokratna otplata zajma

Pretpostavimo da je u trenutku t0 = 0 odobren kratkorocni zajam C0 s rokom otplate

u trenutku tn. Nadalje, neka u intervalu [ti−1, ti] vrijedi godisnja kamatna stopa pi za i =

1, 2, . . . , n.

0

C0

p0 t1

Ct1

p1 t2

Ct2

. . .

. . .

tn−1

Ctn−1

pn−1 tn

Ctn t

Slika 7: Jednokratna otplata zajma uz promjenjivu kamatnu stopu

Oznacimo s ri = 1 + pi100, i = 1, 2, . . . , n, godisnji kammatni faktor. Tada dug u trenutku t1

iznosi:

Ct1 = C0rt11 ,

a u trenutku t2 on iznosi:

Ct2 = Ct1rt2−t12 = C0r

t11 r

t22 .

Opcenito (uz oznaku Ct0 = C0) vrijedi:

Cti = Cti−1rti−ti−1

i = C0rt11 r

t22 · · · r

ti−ti−1

i , i = 1, . . . , n.

Primjer 5.6 Dana 1.01. u godini koja nije prijestupna odobren je zajam od 10000.00 s rokom

otplate 1.07. iste godine. Promatramo slucaj konstantne kamatne stope p = 12 i promjenjive

kamatne stope, koja se mijenja svakog prvog u mjesecu na sljedeci nacin: u sijecnju je p = 12,

u veljaci je p = 15, u ozujku je p = 18, u travnju je p = 15, u svibnju je p = 20 i u lipnju je

p = 18.

Rjesenje:

datum konstantna kamatna stopa promjenjiva kamatna stopa1.02. 10 096.72 10 096.721.03. 10 184.88 10 205.551.04. 10 283.38 10 350.031.05. 10 379.62 10 469.611.06. 10 480.00 10 632.991.07. 10 578.08 10 778.63

Tablica 6: Kretanje stanja duga

2

30

5.5.2. Otplata zajma s vise anuiteta

Pretpostavimo da je u trenutku t0 = 0 odobren zajam C0 koji treba vratiti s n anuiteta

a1, a2, · · · , an plativih u trenucima t1, t2, · · · , tn (vrijeme u godinama). Dekurzivna godisnja

kamatna stopa je promjenjiva. U intervalu vremena [ti−1, ti] vrijedi dekurzivna kamatna

stopa pi za i = 1, 2, . . . , n.

0

C0

p0 t1

a1

p1 t2

a2

. . .

. . .

tn−1

an−1

pn−1 tn

an t

Slika 8: Otplata zajma s vise anuiteta i promjenjivom kamatnom stopom

Da bi anuitetima a1, a2, · · · , an plativim u trenucima t1, t2, · · · , tn zajam C0 bio otplacen,

mora suma sadasnjih vrijednosti svih anuiteta biti jednaka velicini zajma C0, odnosno mora

biti:

C0 =n∑

i=1

ai

i∏k=1

r−(tk−tk−1), rk = 1 +pk

100.

U opcem slucaju trenutak uplate pojedinog anuiteta ne mora se podudarati s trenutkom

promjene kamatne stope.

31

6. Interkalarne kamate i konverzija zajma

Uobicajena je praksa da se dugorocni zajmovi ne pocinju otplacivati na kraju prvog raz-

doblja, vec nakon nekog odredenog razdoblja. To razdoblje zovemo pocekom (engl. grace

period). Ako je, recimo, zajam odobren na deset godina uz tri godine poceka, znaci da se

zajam pocinje otplacivati u cetvrtoj godini, tj. prvi se anuitet uplacuje na kraju cetvrte go-

dine. No, za prve se tri godine obracunavaju tzv. interkalarne kamate. One se obracunavaju

slozeno i dekurzivno uz kamatnu stopu p. Razdoblje ukamacivanja je jednako razdoblju

izmedu dospijeca anuiteta. Ako nam je poznat dekurzivni kamatni faktor r, odnosno ka-

matna stopa p, tada je vrijednost odobrenog zajma C0 nakon tri godine jednaka

C3 = C0r3.

Interkalarne su kamate sada jednake razlici vrijednosti zajma nakon tri godine i odobrenog

zajma, tj.

I = C3 − C0 = C0(r3 − 1).

Definicija 6.1 Interkalarna kamata je kamata koju duznik placa na odobrena sredstva

za razdoblje od trenutka doznake tih sredstava do trenutka kada se ona pocinju otplacivati.

Interkalarna kamata se moze otplatiti odjednom, u trenutku pocetka otplacivanja zajma ili

dodati iznosu odobrenog zajma u trenutku pocetka otplacivanja zajma.

Primjer 6.1 Zajam od 450000.00kn odobren je poduzecu na deset godina, uz godisnju ka-

matnu stopu 10, placanje jednakih anuiteta na kraju godine i pocek od dvije godine. Obracun

kamata je godisnji, slozen i dekurzivan. Izracunajte anuitet ako se interkalarne kamate

placaju odmah i ako se dodaju iznosu zajma.

Rjesenje:

Zadani su nam iznos zajma C0 = 450000, vremenski interval otplate zajma n = 10

i kamatna stopa p = 10 sto znaci da je dekurzivni kamatni faktor u tom slucaju jednak

r = 1.1. Prvo cemo izracunati vrijednost zajma nakon dvije godine:

C2 = C0r2 = 450000.00 · 1.12 = 544500.00.

Interkalarne kamate su jednake:

I = C2 − C0 = 544500.00− 450000.00 = 94500.00.

Imamo dva slucaja:

1. Ako se kamate placaju odmah, onda je iznos zajma ponovno 450000.00kn. Racunamo

anuitet za preostalih osam godina:

a = C0r8(r − 1)

r8 − 1= 450000.00

1.18(1.1− 1)

1.18 − 1= 84349.81

32

2. Ako se interkalarne kamate dodaju iznosu zajma, onda je ”novi” zajam 544500.00kn.

Racunamo anuitet za preostalih osam godina:

a = C2r8(r − 1)

r8 − 1= 544500.00

1.18(1.1− 1)

1.18 − 1= 102063.27

2

U gospodarskoj praksi tijekom otplate zajma javlja se potreba izmjene uvjeta i nacina

otplate zajma. Kreditor ili korisnik zajma mogu iz objektivnih razloga zahtjevati promjenu

kamatne stope, vrijeme otplate zajma, iznos anuiteta ili nacin otplate zajma.

Definicija 6.2 Konverzija zajma je svaka promjena uvjeta ili/i nacina otplate zajma

izmedu kreditora i korisnika zajma u tijeku otplate zajma.

Konverzija zajma provodi u koracima koje cemo navesti u nastavku.

1. Iz ugovorenih uvjeta izracunavaju se anuiteti i svi elementi otplatne tablice.

2. Odreduje se ostatak duga do trenutka promjene uvjeta ili (i) nacina otplate zajma.

3. Taj ostatak duga u novim uvjetima sada je zajam na temelju kojeg izracunavamo nove

anuitete i nove elemente otplatne tablice.

Primjer 6.2 Tvrtka treba otplatiti zajam od 47980.00kn tijekom tri godine uz godisnju ka-

matnu stopu 9, placanjem jednakih postnumerando godisnjih anuiteta. Obracun kamata

je slozen, godiznji i dekurzivan. Zbog nesolventnosti tvrtke, ova nakon dvije godine trazi

produzenje otplate zajma na jednu godinu. Svi ostali uvjeti zajma ostaju nepromijenjeni.

Sastavite otplatnu tablicu.

Rjesenje:

Prije promjene uvjeta imamo iznos zajma C0 = 47980.00, vrijeme otplate n = 3 godine i

kamatnu stopu p = 9 godisnje, s godisnjim ukamacivanjem. Mozemo izracunati anuitet prije

promjene uvjeta zajma

a = C0rn(r − 1)

rn − 1= 47980.00

1.099(1.09− 1)

1.099 − 1= 18954.73.

Racunamo elemente tablice za prve dvije godine, odnosno do promjene uvjeta rabeci poznate

formule za kamate, otplatne kvote i ostatak duga.

Za kraj prve godine (k = 1) imamo :

K1 =C0p

100=

47980.00 · 9100

= 4318.20,

R1 = a1 −K1 = 18954.73− 4318.20 = 14636.53,

C1 = C0 −R1 = 47980.00− 14636.53 = 33343.47.

33

Za kraj druge godine (k = 2) racunamo analogno.

Nakon promjene uvjeta zajma, mijenjaju se i elementi zajma. Pocetni iznos zajma je sada

vrijednost zajma na kraju druge godine, odnosno

C ′0 = C2 = 17389.65.

Vrijeme otplate je jednako sumi vremena koje jos nije proslo i jedne godine produzenja,

odnosno vrijeme otplate je

n′ = (n− 2) + 1 = 2.

Kamatna stopa je ostala jednaka kao i prije promjene uvjeta

p′ = p = 9,

godisnje, uz godisnje ukamacivanje. Dakle radi se u modelu otplate zajma u jednakim, sada

novim, postnumerando anuitetima. Racunamo novi iznos anuiteta a′ na sljedeci nacin:

a′ = C ′0r′n(r′ − 1)

r′n − 1= 17389.65

1.099(1.09− 1)

1.099 − 1= 9885.48.

Elemente na kraju trece godine (k = 3) racunamo analogno kao i na kraju prve i druge

godine uz napomenu da je C ′0 sada jednak C2.

Na kraju cetvrte godine (k = 4) imamo ostatak duga C4 = 0−00, korigiranu otplatnu kvotu

R′4 = C3 = 9069.24

i korigiranu kamatu

K ′4 = 9885.48− 9069.24 = 816.24.

Zavrsni izgled otplatne tablice mozemo vidjeti u Tablici 7. Buduci da se radi o otplati zajma

s jednakim anuitetima, iz tablice se moze uociti da je doslo do promjene uvjeta zajma jer se

anuitet promjenio u trecoj godini otplate.

Krajk-tegod

ak Kk Rk Ck

0 - - - 47 980.001 18 954.73 4 318.20 14 636.53 33 343472 18 954.73 3 000.91 15 953.82 17 389.653 9 885.48 1 565.07 8 320.41 9 069.244 9 885.48 816.24 9 069.24 0.00∑

57 680.42 9 700.42 47 980.00

Tablica 7: Otplatna tablica za Primjer 7.1

2

34

7. Primjer zajma iz prakse

U ovom poglavlju cemo prikazati stvarne primjere zajmova iz prakse, odnosno dva kredita

hrvatskih banaka. Prvi kredit je nenamjenski kredit i izdaje ga Raiffeisen Banka. Drugi

kredit je stambeni kredit s nesto duzim vremenom otplate od prvog i izdaje ga HPB (Hrvatska

Postanska Banka). Usredotocit cemo se na analizu cijelokupnog kredita. Dakle, ne samo na

analizu otplate vec i svih drugih elemenata kredita koji su dani ugovorom o kreditu.

7.1. Nenemjenski kredit

Nenamjenski krediti spadaju medu najbrze nacine da fizicka ili pravna osoba dode do

gotovine. Procedura je danas krajnje jednostavna, tako da u pravilu svaki kreditno sposobni

gradanin s nekom vrstom redovitih primanja moze podici ovakav kredit.

Hypo Alpe-Adria-Bank svojim klijentima nudi nenamjenski gotovinski kredit do 15000.00e

u kunskoj protuvrijednosti. Rok otplate je od jedne do sedam godina uz efektivnu kamatnu

stopu od 10.90. Nije potreban depozit, ali je potrebno imati jednoga kreditno sposobnog

jamca te, prema potrebi, i suduznika. U Raiffeisen banci rok otplate nenamjenskih kredita

iznosi do deset godina, a ugovaraju se u kunama ili s valutnom klauzulom u eurima. Pritom

klijenti koji primaju placu ili mirovinu putem RBA tekuceg ili deviznog racuna imaju pravo

na povoljnije kamatne stope. Kamatne stope za kredite u eurima iznose 9.25, a za kredite

u kunama 9.75. Erste und Steiermarkische banka nudi gotovinski kredit za umirovljenike

u iznosu do 30000.00kn na rok od tri godine. Efektivna kamatna stopa iznosi 10.36, a

potrebno je imati i status klijenta banke. Privredna banka Zagreb u ponudi ima potrosacki

kredit bez kamate i naknade. Namijenjen je svim punoljetnim stedisama PBZ stambene

stedionice, a odobrava se omjeru 1 : 1 u odnosu na stedni ulog. Rok otplate je tri, sest, devet

ili dvanaest rata. Tako uz kamatu na stednju u stambenoj stedionici klijent moze dobiti

i iznimno atraktivan kredit bez naknade. U nasem slucaju je kreditor Raiffaisen banka, a

korisnik kredita nepoznata fizicka osoba.

Podizanje kredita je projekt u koji osoba ne bi trebala uci nepripremljena. Da bi se

kredit uspjesno realizirao bitno je realno procijeniti vlastite financijske mogucnosti i potrebe,

proanalizirati kreditne ponude na trzistu te se kod bankara informirati koliko ce uistinu kredit

kostati. Najprije se treba upoznati ponudom banaka. Bilo da je rijec o kamatnim stopama,

ostalim uvjetima otplate ili bilo kojoj drugoj ugovornoj obvezi, nuzno je pazljivo procitati

ugovor i cuti misljenje strucne osobe.

35

Nas korisnik kredita se odlucio za sljedecu ponudu:

Iznos kredita: 2700.00eRok otplate (u mjesecima): 24Vrsta otplate: anuitetskaKamatna stopa: 7.65Efektivna kamatna stopa: 9.60Naknada za obradu kredita: 1.60Premija osiguranja kredita: 0.00Mjesecni anuitet/obrok: 121.68e

Ponuda za nenamjenski kredit osim prethodno navedenih podataka o kreditu sadrzi i podatke

o trazitelju kredita (Slika 9 ) te njegove podatke o zaposlenju (Slika 10 ). Da bismo citatelju

ovog rada priblizili kako navedeni dokumenti izgledaju prilozene su slike tih dokumenata.

Slika 9: Ponuda za nenamjenski kredit (1. dio)

36

Slika 10: Ponuda za nenamjenski kredit (2. dio)

Nakon sto klijent pristane na ponudu banke, sklapa se Ugovor o kreditu. U Poglavlju 4.1.

smo naveli elemente Ugovora o zajmu. Prije no sto proucimo otplatnu tablicu treba obratiti

pozornost na neke termine iz Ugovora o kreditu. Efektivna kamatna stopa (EKS) je kamatna

stopa koji pokazuje koliko odobreni zajam zaista kosta klijenta. Ona odrazava sve troskove

zajma koje osim efektivne kamatne stope sadrze i naknade, osiguranje i ostale troskove

zajma. Tek otkada banke imaju obvezu iskazivanja efektivne kamatne stope, klijenti mogu

procijeniti cijenu kredita jer ona daje realniju sliku o cijeni kredita od nominalne kamatne

stope. Efektivna kamatna stopa se odreduje u Odluci o efektivnoj kamatnoj stopi [6] koju

donosi Hrvatska narodna banka. Interkalarnu kamatu placamo na iznos isplacenih sredstava

kredita za razdoblje od datuma isplate kredita na nas racun do datuma prijenosa kredita u

otplatu. Banke obicno imaju odreden(e) dan(e) u mjesecu kada isplacuju odobrena sredstva

na racune korisnika kredita. Zatezna kamata se obracunava u slucaju neispunjenja novcane

obveze. Ona se obracunava jednostavnim kamatnim racunom. Na visinu kamatne stope,

pa tako i na konacnu cijenu kredita, utjece i valuta u kojoj ce biti odabran kredit. Iako su

kunski krediti sve cesci u ponudi banaka u Hrvatskoj i dobro su prihvaceni od klijenata, vecina

kredita, osobito s duzim rokovima otplate, odobrava se uz valutnu klauzulu. To znaci da se

vrijednost ukupnog iznosa, kreditne rate i svih ostalih elemenata otplatnog plana obracunava

u drugoj valuti, najcesce eurima. U tom slucaju je nesto niza kamatna stopa od kunskog

kredita. Svako placanje se obavlja u kunskoj protuvrijednosti. U kreditnim ponudama

banaka mogu se pronaci krediti s promjenjivom, ali isto tako i s fiksnom kamatnom stopom,

ali rijede. Banke kamate mijenjaju u skladu s promjenom troskova, odnosno elemenata koji

utjecu na njihovu visinu i duzne su prilikom promjene kamatnih stopa obavijestiti klijenta.

Nas nenamjenski kredit se obracunava u eurima, uz placanje u kunskoj protuvrijednosti.

Kamatna stopa je godisnja, fiksna za prva 24 mjeseca, a promjenjiva za preostali rok otplate.

Kod nenamjenskog kredita najcesce je obvezna i polica osiguranja zivota, u smislu osigura-

nja kredita. Ona se moze zamijeniti depozitom, jamcem ili suduznikom. Nas klijent je kao

instrument osiguranja odabrao policu osiguranja zivota u UNIQA osiguranju. Premija je

uplacena odjednom i iznosi 28.72e, zaokruzeni iznos na Slika 11.

37

Slika 11: Polica osiguranja zivota

Buduci da se radi o kreditu s fiksnom kamatnom stopom, otplatna tablica se nece mi-

jenjati kroz cijelo vrijeme otplate kredita. Iz Tablice 8. se jasno vidi da se radi o modelu

otplate kredita s jednakim anuitetima. Tablica posjeduje sva svojstva koja smo naveli tije-

kom rada vezana za ovaj model. Suma otplatnih kvota jednaka je pocetnom iznosu kredita.

Isto tako suma ukupnih otplatnih kvota i ukupnih kamata jednaka je sumi svih anuiteta.

Osim osiguranja kredita, i naravno nominalnih kamata, korisnik kredita placa i interkalarnu

kamatu te troskove obrade kredita.

38

Otplatna tablica izgleda ovako:

Datum ak Kk Rk Ck

31.08.2014. - - - 2 700.0030.09.2014. 121.68 17.21 104.47 2 595.5331.10.2014. 121.68 16.55 105.13 2 490.4030.11.2014. 121.68 15.88 105.80 2 384.6031.12.2014. 121.68 15.20 106.48 2 278.1231.01.2015. 121.68 15.52 107.16 2 178.9628.02.2015. 121.68 13.84 107.84 2 063.1231.03.2015. 121.68 13.15 108.53 1 954.5930.04.2015. 121.68 12.46 109.22 1 845.3731.05.2015. 121.68 11.76 109.92 1 735.4530.06.2015. 121.68 11.06 110.62 1 624.8331.07.2015. 121.68 10.36 111.32 1 513.5131.08.2015. 121.68 9.65 112.03 1 401.4830.09.2015. 121.68 8.93 112.75 1 288.7331.10.2015. 121.68 8.22 113.46 1 175.2730.11.2015. 121.68 7.49 114.19 1 061.0831.12.2015. 121.68 6.76 114.92 946.1631.01.2016. 121.68 6.03 115.65 830.5129.02.2016. 121.68 5.29 116.39 714.1231.03.2016. 121.68 4.55 117.13 596.9930.04.2016. 121.68 3.81 117.87 479.1231.05.2016. 121.68 3.05 118.63 360.4930.06.2016. 121.68 2.30 119.38 241.1131.07.2016. 121.68 1.54 120.14 120.9731.08.2016. 121.68 0.71 120.97 0.00∑

2 920.32 220.32 2 700.00

Tablica 8: Otplatna tablica nenamjenskog kredita

Godisnja interkalarna kamata se obracunava od datuma koristenja kredita 24.7.2014. do

stavljanja kredita u otplatu 31.08.2014. Iznosi 6.22e i naplacuje se prilikom koristenja kre-

dita. Troskovi obrade kredita iznose 1.60%, odnosno 43.20e. Da bi korisnik zakljucio kredit

u pravnom smislu potrebno je platiti i troskove javnog biljeznika.

39

7.2. Stambeni kredit

Stambeni krediti su jedan od nacescih nacina financiranja i rjesavanja stambenih potreba,

od kupnje ili izgradnje nekretnine do dogradnje ili adaptacije stana ili kuce prema potrebama

i zeljama klijenta. Kao sto smo to ucinili i za nenamjenski kredit, prikazati cemo koje sve

uvjete buduci korisnik kredita duzan zadovoljiti da bi dobio stambeni kredit. Oni su dani

Ugovorom o stambenom kreditu kojeg imamo prilike vidjeti na Slici 12 i Slici 13.

Slika 12: Ugovor o stambenom kreditu (1. dio)

Dakle, klijent se odlucio za kredit HPB (Hrvatske Postanske Banke). Najbitniji elementi

Ugovora o stambenom kreditu su zaokruzeni crvenom bojom. Iznos kredita je 15000.00e.

Rok otplate kredita je 84 mjeseca, odnosno 7 godina. Kredit se otplacuje u mjesecnim anuite-

tima ili ratama iskazanim u eurima, u kunskoj protuvrijednosti po srednjem tecaju Banke.

Anuiteti dospijevaju na naplatu zadnjeg dana u mjesecu, sve do konacne otplate kredita.

40

Slika 13: Ugovor o stambenom kreditu (2. dio)

Kredit se moze otplacivati putem ugovorenog naloga za izravno terecenje po racunu otvore-

nom kod banke. Mjesecni anuitet iznosi 211.66e e u kunskoj protuvrijednosti po srednjem

tecaju tecajne liste banke vazece na dan placanja. Redovna kamatna stopa je fiksna za prvu

godinu otplate i iznosi 4.95, a nakon toga je promjenjiva do donosenja odluke o promjeni ove

kamate i iznosi 5.95 iskazana na godisnjoj razini. Tijekom otplate kredita banka moze mije-

njati visinu kamatnih stopa, naknada i troskova sukladno Nacelima za utvrdivanje promjene

kamatnih stopa na kredite i depozite [7] i Nacelima za utvrdivanje promjene naknada za us-

luge [8], koja su u obliku informacije za klijente javno dostupna u poslovnicama banke ili

na internetskoj stranici banke. Treba naglasiti da je promjenjiva kamatna stopa riskantnija

za korisnika kredita, ali je zato nesto niza od fiksne. Ukoliko tecaj eura poraste, porast ce

i kunska protuvrijednost u kojoj se otplacuje kredit, odnosno anuiteti ce porasti i kredit ce

”poskupiti”. Interkalarna kamata iznosi 39.19e i obracunava se na iskoristeni iznos kredita

41

od datuma koristenja do datuma stavljanja kredita u otplatu, po kamatnoj stopi kao redovna,

a naplacuje se prilikom koristenja kredita. Na sve dospjele, a nenaplacene iznose koje ko-

risnik kredita duguje temeljem Ugovora o kreditu, Banka obracunava i naplacuje zakonsku

godisnju zateznu kamatu 12, koja je promjenjiva, od prvog dana poslije dana dospijeca do

dana placanja, a kamate na kredit obracunavaju se dekurzivnom metodom, primjenom pro-

porcionalnog kamatnjaka. Naknada za obradu kredita naplacuje se jednokratno, ustezanjem

od iznosa kredita prilikom koristenja kredita. Iznosi 250.00e, odnosno 1.5 %. Korisnik kre-

dita obvezan je zakljuciti Ugovor o kreditu najkasnije 30 dana od dana odobrenja kredita,

u protivnom gubi pravo na kredit. Rok koristenja kredita je najduze 3 mjeseca od dana

sklapanja Ugovora o kreditu.

Instrumenti osiguranja stambenog kredita mogu biti zalozno pravo (hipoteka) na stam-

benoj nekretnini u korist banke, polica osiguranja nekretnine od pozara i drugih opasnosti,

suglasnost o zapljeni place za sve sudionike u kreditu, zaduznica za sve sudionike u kreditu.

Osim navedenih instrumenata banka moze za osiguranje kreditnog posla zatraziti i druge

instrumente osiguranja. Nas klijent se odlucio za kupovinu udjela u investicijskim fondo-

vima HPB Investa d.o.o. Klijent je jednokratom uplatom u iznosu 103.1265e ostvario pravo

na 10 % udjela u HPB Euro novcanom fondu (Slika 14 ).

Slika 14: Osiguranje kredita

42

Korisnik kredita, ovisno o instrumentima osiguranja povrata kredita, snosi i sljedece

troskove koji ne ulaze u izracun efektivne kamatne stope: javnobiljeznicke pristojbe, sudske

troskove izdavanja ZK izvatka i uknjizbe zaloznog prava u korist Banke, trosak procjene

vrijednosti nekretnine.

Buduci da je kredit star tek dvije godine, a kamatna stopa je promjenjiva, konacna ot-

platna tablica ne postoji. Naime, banka dostavlja novu otplatnu tablicu u trenutku promjene

kamatne stope. Svaka nova promjena kamatne stope znaci novu otplatnu tablicu, time i nove

iznose anuiteta za korisnika kredita. Prilikom zakljucivanja kredita korisnik prima informa-

tivni otplatni plan. On je vazeci sve do prve promjene kamatne stope. U nastavku je dan

informativni plan naseg stambenog kredita (Slika 15 ) za prvih 18 anuiteta. U njemu je

su vidljive osnovne komponente kredita. Buduci da ce se ovaj otplatni plan u buducnosti

mjenjati i time postati nevazeci, zbog jednostavnosti i preglednosti nismo prikazali ostatak

informativnog plana.

Slika 15: Informativni otplatni plan (18 anuiteta)

43

Do danasnjeg datuma vec su nastupile dvije promjene, 20.01.2014. i 16.07.2014. (Slika 16 ).

Radi se o smanjenju kamatne stope. Prvi put je smanjena s pocetnih 5.95 na 5.71, a sljedeci

put na 5.45.

Slika 16: Smanjenje kamatne stope

Navedene promjene odgovaraju konverziji kredita (zajma) obradenoj u Poglavlju 6.

44

8. Zakljucak

Zbog nedovoljnih financijskih sredstava gradani su prisiljeni koristiti zajmove. Polazeci

od pojasnjenja obracuna i izracuna kamata u teoriji, zajma, modela otplate zajma, njihovih

temeljnih karakteristika i pretpostavki uz koje se isti mogu izgraditi, u ovom diplomskom

radu upoznali smo se i sa vrstama kredita koje poslovne banke nude gradanima, kao i s

uvjetima i nacinom odobravanja kredita te potrebnom dokumentacijom.

Ponuda kredita za gradane je zaista bogata. Od raznih stambenih kredita, nenamjenskih,

kredita za kupnju auta, pa do potrosackih kredita itd. Banke najcesce nude i primjenjuju

model otplate zajma jednakim anuitetima (mjesecnim), pri cemu anuiteti dospijevaju krajem

svakog mjeseca kroz vrijeme otplate. Namjena zadnjeg poglavlja bila je upoznati citatelje

s primjenom zajma u praksi pojedinih modela otplate zajma. Ono sto je svakom korisniku

kredita zasigurno zanimljivo jest kako proci sto povoljnije, s obzirom na iznos kamata koje

mora platiti. S druge strane, zajmodavcima je u interesu sto veca zarada. Svoju zaradu

pokusavaju ostvariti na svim poljima. Bilo da je rijec o nacinu obracuna kamata, raznim

naknadama koje korisnik mora placati ili cak kamatnjaku koji je povoljniji za njih, ali je

zato nepovoljniji za korisnika zajma.

Svaka osoba koja ce postati korisnik zajma trebala bi realno procjeniti vlastite financijske

mogucnosti i potrebe. Pri analizi ponude zajmova na trzistu, trebala bi donijeti odluku o

varijanti koja bi za njega bila povoljnija. U ovom radu su se analizom modela zajmova

dale uociti neke dobre i lose strane svakog pojedinog modela. Dobar dio ljudi koji koriste

usluge raznih financijskih institucija ni danas nisu dovoljno upoznati s nacinom na koji

one funkcioniraju. Zbog toga se dovode u nepovoljne financijske situacije. Tako je i sa

zajmovima. Svi cemo, ako vec nismo, jednoga dana posegnuti za njima. Stoga smatramo da

je poznavanje funkcioniranja zajmova bitno.

45

Literatura

[1] S. A. Broverman, Matematics of Investment and Credit - 5th edition, ACTEX Publi-

cation, Inc., Winsted, 2010.

[2] S. A. Broverman, Solution Manual for Matematics of Investment and Credit - 5th

edition, ACTEX Publication, Inc., Winsted, 2010.

[3] D. Bakic, D. Franciskovic, Financijska i aktuarska matematika, Sveuciliste J. J.

Strosmayera u Osijeku, Osijek, 2013.

[4] M. Crnjac, D. Jukic, R. Scitovski, Matematika, Sveuciliste J. J. Strosmayera u

Osijeku, Osijek, 1994.

[5] J. Durovic, I. Durovic, S. Rukavina, B. Jankovic, B. Pasanovic, Matematika

3, Neodidiacta, Zagreb, 2007.

[6] J. Matejas, Financijska matematika, Skripta, Ekonomski fakultet u Zagrebu, Zagreb,

2013.

[7] B. Segota, Modeli otplate kredita s revalorizacijom, Informator, Zagreb, 1991.

[8] A. Segota, Financijska matematika, Ekonomski fakultet Sveucilista u Rijeci, Rijeka,

2012.

[9] Nacela za utvrdivanje promjene kamatnih stopa na kredite i depozite:

http://www.paba.hr/UserDocsImages/Nacela utvrdjivanja promjenjivih

kamatnih stopa i naknada.pdf

[10] Nacela za utvrdivanje promjene naknada za usluge:

http://www.paba.hr/UserDocsImages/Nacela utvrdjivanja promjenjivih

kamatnih stopa i naknada.pdf

[11] Odluka o efektivnoj kamatnoj stopi:

http://www.hnb.hr/propisi/odluke-nadzor-kontrola/odluke-zoki-veljaca

-2010/h-odluka-eks-ugovaranje-usluga-potrosacima.pdf

Sazetak

U radu smo detaljno obradili zajmove i njihova osnovna svojstva. Da bismo mogli definirati

zajam na odgovarajuci nacin morali smo uvesti osnovne pojmove kamatnog racuna. Defi-

nirali smo i ukratko opisali dekurzivan i anticipativan obracun kamata te prenumerando i

postnumerando uplate i isplate. Pomocu uvedenih pojmova smo detaljnije prikazali dijelove

zajma. Usmjerili smo se na anuitete i otplatnu tablicu. Potom, dolazimo do najbitnijeg

dijela rada; modeli otplate zajma. Prikazali smo cetiri osnovna modela otplate zajma. Osim

matematickog aspekta, osvrnuli smo se i na ekonomski kako bismo sto bolje povezali teoriju

sa stvarnim zivotom. Naveli smo i objasnili utjecaj interkalarne kamate i konverzije zajma

na cijelokupan zajam. Na kraju smo prikazali dva konkretna primjera zajama; nenamjenski

kredit i stambeni kredit. Tijekom citavog rada smo nastojali teoriju potkrijepiti s konkretnm

primjerima i zadacima.

Kljucne rijeci: zajam, otplata zajma, kamatna stopa, otplatna kvota, anuitet, ostatak

duga, interkalarna kamata, konverzija zajma, kredit

Loans

Summary

In this paper we detailed processed the loans and their basic characteristics. We define and

describe briefly two types of interest accounts, as well as annuity certain and annuity due.

Using these terms, we display more briefly parts of loan. We directed on anuities and amor-

tization schedule. Then, we came to the most important part of this paper; loan repayment

models. We describe four basic models of loan repayment. Except mathematical aspect, we

look at economic aspect also in the order to better combine theory and real life. We indicated

and explained influence od interest rate and conversion of loan on entire loan. At the and,

we presented two examples of loan; nondedicated credit and mortgage credit. Throughout

the work we have tried to support a theory by examples and tasks.

Key words: loan, loan repayment, interest due, principal repaid, annuity, outstanding

balance, compound interest, conversion of loan, credit

Zivotopis

Rodena sam 23. sijecnja 1991. godine u Osijeku. Od rodenja zivim u Donjem Miholjcu,

gdje sam pohadala Osnovnu skolu August Harambasic i opcu gimnaziju u Srednjoj skoli

Donji Miholjac. Obrazovanje sam nastavila na Sveucilisnom preddiplomskom studiju mate-

matike na Odjelu za matematiku u Osijeku 2009. godine. Ondje sam 2012. godine stekla

titulu sveucilisne prvostupnice matematike. Iste godine upisujem Sveucilisni diplomski studij

matematike, smjer Financijska matematika i statistika.