Andrzej Witek 1

Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki

Wprowadzenie

Działająca w śrubie siła osiowa Q jest przenoszona przez rdzeń i zwoje gwintu. Powoduje rozciąganie lub ściskanie rdzenia śruby, zginanie i ścinanie zwojów gwintu oraz wywołuje naciski na ich powierzchni. Wytrzymałość zwojów gwintu na zginanie jest znacznie wyższa od pozostałych i dlatego nie będzie przedmiotem dalszych rozważań, dotyczących relacji między kryteriami wytrzymałościowymi połączenia gwintowego, związanymi z: - rozciąganiem rdzenia śruby

rr

r kA

Q ≤=σ (1)

- ścinaniem zwojów gwintu

tt

t kA

Q ≤=τ (2)

- naciskami powierzchniowymi na zwojach gwintu

dopp

pA

Qp ≤= (3)

gdzie: Ar - pole powierzchni przekroju rozciąganego rdzenia śruby, At - pole powierzchni ścinanych zwojów gwintu, Ap - pole nominalnej powierzchni kontaktowej zwojów gwintu. Pole powierzchni Ar przekroju rozciąganego rdzenia śruby określa wzór

4

d A

2r

r

π= (4)

gdzie dr jest średnicą rdzenia śruby (rys.1). Pola powierzchni At i Ap wyznacza się przy założeniu, że gwint w śrubie i nakrętce został wykonany bezbłędnie i wszystkie pracujące zwoje gwintu przenoszą równomiernie siłę osiową Q. Przy tym założeniu można określić liczbę pracujących zwojów gwintu

P

Nn = (5)

gdzie: N - wysokość nakrętki (długość wkręcenia śruby w korpus), P - podziałka gwintu. Pole powierzchni At ścinanych zwojów gwintu określa wzór

P

NhdnhdA ttttt ππ == (6)

gdzie: dt - średnica, na której został ścięty zwój gwintu, ht - wysokość ścinanego przekroju zwoju gwintu (rys.1).

Rys.1. Podstawowe wymiary gwintu

dz

Dw

dt

dr

ht

2 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki

Pole powierzchni Ap styku zwojów gwintu określa wzór

( ) ( )P

NDd

4n Dd

4A 2

w2z

2w

2zp −=−= ππ

(7)

gdzie: dz - zewnętrzna średnica gwintu śruby, Dw - wewnętrzna średnica gwintu nakrętki (rys.1). Na podstawie każdego z kryteriów wytrzymałościowych (1-3) można określić dopuszczalne obciążenia śruby z warunku na:

- rozciąganie rdzenia śruby

rrr kAQ dop = (8)

- ścinanie zwojów gwintu

ttt kAQ dop = (9)

- naciski na powierzchni zwojów gwintu

doppp pAQ =dop (10)

Zależności (8-10) mają charakter ogólny i mogą dotyczyć każdego rodzaju gwintu. Dalsze analizy zostaną przeprowadzone w odniesieniu do gwintu metrycznego, którego podstawowe parametry geometryczne i relacje między nimi przedstawiono na rys.2.

Rys.2. Geometria gwintu metrycznego Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na rozciąganie rdzenia śruby

Z porównania oznaczeń geometrii gwintu na rysunkach 1 i 2 wynika, że średnica rdzenia gwintu dr = d3 i dla gwintu metrycznego pole powierzchni rdzenia śruby określa wzór

4

d A

23

r

π= (11)

Po uwzględnieniu związku

−=−≅d

PdPdd 316.11 316.13 (12)

Ptg

PH

o866.0

302== ; tdd 21 −= ; Ht

8

5= ; Pdd 0825.11 −= ; Pdd 316.13 −≅

D

D1

d1

d3

d

P

H

H81H

41

H85

D2 = d2

Zależność (d-d 3 )/P=f(d)

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

0 10 20 30 40 50 60średnica nominalna gwintu, mm

(d-d 3 )/P

[(d-d 3 )/P)] śr =1.316

Andrzej Witek 3

wzór (11) zapisuje się w postaci

22

316.11 4

−=d

PdAr

π (13)

We wzorze (13) występuje stosunek P/d tj. stosunek podziałki do średnicy nominalnej gwintu. W tablicy 1 zmieszczono wielkości P i d dla gwintu metrycznego z ciągu podstawowego.

Tablica 1. Średnice nominalne gwintu metrycznego i odpowiadające im podziałki

Średnica d, mm 4 5 6 8 10 12 16 20 24 30 36 42 48 56 64

Podziałka P, mm 0.7 0.8 1.0o 1.25 1.5 1.75 2 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Rys.3. Wykres zmienności podziałki w funkcji średnicy nominalnej gwintu metrycznego

Relacje pomiędzy tymi wielkościami przedstawiono na wykresie w formie zależności P = f (d) - rys.3. Założono, że w pierwszym przybliżeniu związek pomiędzy P i d można opisać za pomocą zależności liniowej

dP 0.1047= (14)

i na tej podstawie

0.1047=d

P (15)

Po uwzględnieniu wartości relacji (15) pole przekroju rdzenia śruby metrycznej określa się na podstawie wzoru

2r dA 0.1859 π= (16)

natomiast zgodnie z ogólnym zapisem (8) dopuszczalne obciążenie rdzenia śruby określa zależność

r2

dopr kdQ 0.1859 π= (17)

Podziałka P=f(d)P = 0.1047d

R2 = 0.95

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40 50 60 70

Średnica nominalna gwintu d, mm

PodziałkaP,mm

4 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki

Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na ścinanie zwojów gwintu

Ścinanie zwojów gwintu występuje na pewnej średnicy dt , której odpowiada wysokość ścinania ht (rys.1). Aby określić średnicę dt i wysokość ht dla gwintu metrycznego należy szczegółowo przeanalizować zjawisko ścinania zwojów gwintu (rys.4).

Rys.4. Określenie średnicy ścinania zwojów gwintu metrycznego

Średnica dt dzieli podziałkę gwintu na dwie części

sn PPP += (18)

Po obustronnym podzieleniu sumy (18) przez podziałkę P otrzymuje się

snsn cc

P

P

P

P1 +=+= (19)

gdzie cn i cs są współczynnikami udziału ścinanej wysokości zwojów gwintu nakrętki i śruby w podziałce gwintu, co można zapisać jako

P cP nn = (20)

P cP ss = (21)

oraz P cP cP sn += (22)

Zwoje gwintu śruby i nakrętki na średnicy dt ścina ta sama siła Qt, którą opisuje zależność w przypadku:

- śruby tsstts k n Pd Q π= (23)

- nakrętki tnnttn k n Pd Q π= (24)

D=d

D1=d1

P

H

H81

H41

D2 = d2

P/2

P/2

H85

dt

Pn=cnP

Ps=csP

∆r

∆P

α/2

Andrzej Witek 5

Po uwzględnieniu związków (5), (20) i (21) zależności (23) i (24) przyjmują postać

tsstts k Ncd Q π= (25)

tnnttn k Ncd Q π= (26)

Ponieważ Qts=Qtn=Qt, zatem

tnntss kckc = (27)

a stąd po uwzględnieniu związku (19) otrzymuje się wzory określające współczynniki udziału

tstn

tns kk

kc

+= (28)

tstn

tsn kk

kc

+= (29)

Średnicę dt można wyznaczyć z zależności (rys.4)

r2dd 2t ∆+= (30)

Także na podstawie rys. 4 można napisać

P22

PPcn ∆+= (31)

oraz

2tg

Pr

α

∆∆ = (32)

P4

1c2P n −=∆ (33)

i ostatecznie

Ptg2

1c2dd

2

n2t α

−+= (34)

Po uwzględnieniu relacji dla gwintu metrycznego (rys.2), na podstawie których

P65.0dH4

3dd2 −=−= (35)

wzór (34) przyjmuje postać

−−−=d

P

2

1c26501dd

2

nt αtg

. (36)

Wysokość ścinania zwoju nakrętki określa zależność

Pch nt = (37)

Po uwzględnieniu zależności (36) i (37) pole przekroju ścinanego zwojów (6) określa wzór

−−−=d

P

tg

ccdNA n

nt

2212

65.01 α

π (38)

6 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki

Ogólnie przyjmuje się, że materiał śruby jest lepszy od materiału nakrętki, np. kts=1.3 ktn i stąd na podstawie zależności (29) cn = 0.565. Po uwzględnieniu tych założeń oraz wartości wielkości geometrycznych (15) i α = 60˚ w wyniku obliczeń otrzymuje się:

0.5332 dNAt π= (39)

oraz dopuszczalne obciążenia z warunku na ścinanie zwojów gwintu

tndopt kdNQ 0.5332π= (40)

Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na naciski powierzchniowe

W celu wyznaczenia dopuszczalnego obciążenia śruby z warunku (10) zapisuje się pole powierzchni styku (7) zwojów gwintu metrycznego w postaci

( ) ( )21

221

2p Dd

P4

NDd

4

nA −=−=

ππ

(41)

Ponieważ ( )( )11

21

2 DdDdDd +−=− (42)

oraz na podstawie rys.2

P08251H4

5Dd 1 .==− (43)

dlatego

( )( ) dd

P082512P08251DdDd 11 . .

−=+− (44)

Po uwzględnieniu zależności (44) wzór (41) określający pole powierzchni styku przyjmuje postać

−=d

PdNAp 0825.12

4 0825.1 π

(45)

a po podstawieniu wartości wielkości P/d = 0.1047 otrzymuje się

dNAp 0.5106 π= (46)

oraz ostatecznie wzór określający dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na naciski powierzchniowe

dopdopp pdNQ 0.5106 π= (47)

Podsumowanie W tablicy 2 zamieszczono zestawienie wyprowadzonych zależności określających dopuszczalne obciążenie śruby z poszczególnych warunków wytrzymałościowych

Tablica 2

Warunek wytrzymałości: Zależność na obciążenie dopuszczalne

rozciąganie rdzenia śruby rdopr kdQ 2 0.1859π= (17)

ścinanie zwojów gwintu tndopt kdNQ 0.5332π= (40)

naciski powierzchniowe na zwojach dopdopp pdNQ 0.5106 π= (47)

Andrzej Witek 7

Jeżeli będą spełnione warunki:

dop dop rp QQ ≥ (48)

dop dop rt QQ ≥ (49)

wówczas obliczenia wytrzymałościowe złącza śrubowego można ograniczyć do obliczeń wytrzymałości rdzenia śruby na rozciąganie.

Po uwzględnieniu zależności (17), (40) i (47) w warunkach (48) i (49) otrzymuje się

rdop kdpdN 2 0.1859 0.5106 ππ ≥ (48)

rtn kdkdN 2 0.1859 0.5332 ππ ≥ (49)

Rys.5. Porównanie wysokości nakrętki wg literatury PKM i własnego opracowania

Dopuszczalne obci ążenia śruby M10 wg literatury PKM

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wysokość nakrętki, mm

Siła

4.8 6.7

Qpdop

Qtdop

Qrdop

według własnych analiz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wysokość nakrętki, mm

Siła

9.17.67.7

8 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki

a stąd warunki określające wymaganą wysokość nakrętki (długość skręcenia)

dop

r

p

kdN 364.0≥ (50)

oraz

tn

r

k

kdN 349.0≥ (51)

Dla zalecanych w gwintach relacji kr/kt = 2.2 oraz kr/pdop = 2.5 otrzymuje się

dN 91.0≥ (52)

oraz

dN 77.0≥ (53)

Ilustracją zależności (52) i (53) są wykresy dopuszczalnych obciążeń przedstawione na rys. 5