PODSTAWY WYTRZYMAŁO ŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)imik.wip.pw.edu.pl/kmib/docs/Powym_1.pdf ·...

PODSTAWY WYTRZYMAŁO ŚCI MATERIAŁÓW

(POWYM)

Automatyka i RobotykaSem. 3

Dr inŜ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

2

(4, 11, 18, 25) X; (8, 13, 22, 29) XI; (6, 13, 20), XII; (3, 10, 17, 24) I

13 XI (wtorek) zamiast 15 XI (czwartek) – Dzień Politechniki


3

LITERATURA

1. Lewiński J., Wilczyński A., Wittenberg –Perzyk D, Podstawy Wytrzymałości Materiałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000,

2. Lewiński J., Wawrzyniak A., Pomoce dydaktyczne do ćwiczeń z wytrzymałości materiałów, Warszawa 2005,

3. Bąk Roman, Burczyński Tadeusz, Wytrzymałośćmateriałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001,

4. Niezgodziński M., E, Niezgodziński T, Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe, WNT, 1996,

5. Brzoska Zbigniew, Wytrzymałośćmateriałów, PWN, Warszawa 1972


4

Momenty wzgl ędem osi i wzgl ędem uk ładu osi (od środkowe, dewiacji, zboczenia)

Przy obliczeniach wytrzymałościowych dotyczących niektórych przypadkówobciąŜenia (np. zginanie) potrzebna jest znajomość pewnych wielkościgeometrycznych charakteryzujących przekroje poprzeczne prętów. Wielkościami tymi są momenty bezwładności względem osi oraz moment względem układu osi, nazywany równieŜ momentem dewiacji lubodśrodkowym. Dalej podane są definicje tych wielkości.


5

MOMENTY BEZW ŁADNO ŚCI WZGL ĘDEM OSI

Dowolnych Centralnych

ρ

•JeŜeli osie układu współrzędnych przechodzą przez środek cięŜkościfigury, noszą nazwę osi centralnych i są oznaczanexic (i = l, 2).

•Definicje momentów bezwładności względem osi centralnych pozostająbez zmiany,


6

BIEGUNOWY MOMENT BEZW ŁADNO ŚCI

∫ ∫ +=+==A A

2x1x22

21

2o IIdA)xx(dAρI

WZGL ĘDEM UKŁADU OSI

(momenty odśrodkowe, dewiacji, zboczenia)

- osie dowolne

- osie centralne•Moment dewiacji wzgl ędem uk ładu osi, z których co najmniej jedna jest osi ą symetrii figury, jest równy zeru .

0dAx)x(dAxxdAxxIA A A

221121212x1x

1 2

=−+== ∫ ∫ ∫Układ osi, wzgl ędem których moment dewiacji jest równy zeru, nazywa si ę uk ładem g łównym. JeŜeli dodatkowo uk ład taki przechodzi przez środek ci ęŜ-kościfigury, nosi nazw ę głównego centralnego. KaŜda oś symetrii figury jest oczywi ście osi ą główn ą centraln ą.


7

• Jednostk ą momentów jest m 4,

• Momenty wzgl ędem osi s ą zawsze dodatnie,

• moment dewiacji mo Ŝe być dodatni, ujemny lub równy zero, zale Ŝnie odpo łoŜenia figury wzgl ędem uk ładu wspó łrzędnych


8

Przykład

Dany jest trójk ąt (rys. 2) o wysoko ści h podstawie b,

jako element pola dA przyjmuje si ę pasek równoleg ły do osi x 1 i odleg ły od niej o x2, o szeroko ści dx 2 i d ługo ści c(x 2) zmiennej wraz z odleg łością x2

Długo ść paska c(x2) wyznacza si ę nast ępuj ącą funkcj ą wspó łrzędnej

Przy obliczaniu momentu dewiacji nale Ŝy we wzorze (I x1x2) przyj ąć: x1 = (l/2)c(x 2)

24

bhI,

12

hbI,

12

bhI

22

x,x

3

x

3

x 2121===

24

hb

4

1

3

2

2

1h

h

b

2

1I

4

x

3

xh2

2

xh

h

b

2

1dx)xhx2xh(

h

b

2

1I

dxx)xh(h

b

2

1dx)x(cx)x(c

2

1dAxxI

224

2

2

xx

h

0

42

32

222

2

2h

0

232

222

22

2

xx

A

h

0

h

0

222

22

2

222221xx

21

21

21

=

+−⋅=

+⋅−⋅=+−=

⋅−=⋅⋅==

∫

∫ ∫ ∫


9

CENTRALNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

(względem osi centralnych)

Osiexlc i x2c, względem których momenty te obliczano, są jednocześnie osiami symetriitych figur. Moment dewiacji względem układu osi, z których co najmniej jedna jest osiąsymetrii figury, jest równy zeru.

0I,12

hbI,

12

bhI

c2c1c2c1 xx

3

x

3

x === 0I4

rπ

64

dπII

c2c1c2c1 xx

44

xx ====


10

MOMENTY WZGLĘDEM OSI RÓWNOLEGŁYCH DO OSI CENTRALNYCH

Twierdzenia Steinera


11

PROSTE PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA TWIERDZE ŃSTEINERA


12

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR ZŁOśONYCH

A i – pole figury cząstkowej i, x1i, x2i – własne centralne osie figury Ai,, e1i , e2i odległości tych osi od x1 i x2,

Momenty względem własnych osi centralnych figury Ai


13

Wyznaczyć połoŜenie głównych centralnych osi bezwładności oraz wartości głównychcentralnych momentów bezwładności pola figury pokazanej na rysunku. Wymiary podano w centymetrach.

PRZYKŁAD 1

A1=1cm2

A2 = 6 cm2


14

MOMENTY WZGL ĘDEM OSI OBRÓCONYCH


15

MOMENTY WZGL ĘDEM OSI OBRÓCONYCH

Współrzędne – składowe tensora:

I1, I2 – główne centralne momenty bezwładności

W układach osi: x1c, x2c; x1c ,̀x2c`; x10, x20


16

GŁÓWNE CENTRALNE MOMENTY BEZW ŁADNO ŚCI

Głównymi centralnymi momentami bezwładności nazywa się momenty wzgłędemosi takiego układu centralnego, względem którego moment dewiacji jest równyzeru.

αααα01010101=α=α=α=α0000, α, α, α, α02 02 02 02 = α= α= α= α0000 + π/2+ π/2+ π/2+ π/2

Dla


17

•Jeśli figura ma jedną oś symetrii, środek cięŜkości leŜy na tej osi i naleŜy określić połoŜenie drugiej osi głównej centralnej, prostopadłej do osi symetrii.

•Gdy figura ma dwie osie symetrii, są to jednocześnie osie główne centralne.

•Dla figury, która ma wi ęcej niŜ dwie osie symetrii, kaŜdy układ osi centralnych jest zarazem układem głównym centralnym. Przykładem takich figur moŜe być kwadrat, trójk ąt równoboczny, koło.

FIGURY Z OSIAMI SYMETRII


18


19

PRZYKŁAD 2

Wyznaczyć połoŜenie głównych centralnych osi bezwładności oraz wartości głównych centralnych momentów bezwładności pola figury przedstawionej na rysunku. Wymiary podano w centymetrach.


20

PRZYKŁAD 2


21

PRZYKŁAD 2


22

Przykłady momentów bezwładności figur płaskich

PODSTAWY WYTRZYMAŁO ŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)imik.wip.pw.edu.pl/kmib/docs/Powym_1.pdf ·...

Documents

Transcript of PODSTAWY WYTRZYMAŁO ŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)imik.wip.pw.edu.pl/kmib/docs/Powym_1.pdf ·...