Dynamika punktu materialnego 3-1

3 Dynamika punktu materialnego Masa bezwładna

vVMm w

w sdotequiv

Pęd Pęd jest ilościową miarą ruchu obiektu

rarrrarrsdotequiv vmp

Siła Siła jest przyczyną zmiany stanu ruchu (zmiany pędu)

dtpdFrarr

rarrequiv albo

tpF sr

∆∆=

rarrrarr

Jeżeli const=m

to rarrrarr

sdot= amF

Dynamika punktu materialnego 3-2

Zasady dynamiki Newtona Pierwsza - zasada bezwładności Jeżeli suma sił działających na ciało (siła wypadkowa) jest roacutewna zeru to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (Oznacza to że prędkość ciała jest stała a przyspieszenie jest roacutewne zeru) Druga zasada dynamiki Szybkość zmiany pędu (zmiana pędu przypadająca na jednostkę czasu - pochodna pędu względem czasu) jest roacutewna wypadkowej sile działającej na ciało

Fdtpd

equiv

equiv

∆∆ F

tp

Trzecia - zasada akcji i reakcji Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie na siebie to siła wywierana przez pierwsze ciało na drugie jest roacutewna i przeciwnie skierowana do siły jaką ciało drugie działa na pierwsze

BAAB FF

minus= Te dwie siły nie znoszą się bo są przyłożone do innych ciał Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie inercjalnych układoacutew odniesienia Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje układ odniesienia w ktoacuterym to ciało spoczywa lub ma prędkość stałą Układ odniesienia w ktoacuterym są spełnione zasady dynamiki Newtona nazywamy inercjalnym układem odniesienia

Dynamika punktu materialnego 3-3

Przykład wykorzystania 3 zasady dynamiki

F

BAF

B

A ABF

ABBA

ABA

BAB

FFamFF

amF

minus=

sdot=+

sdot=

Roacutewnoważny układ roacutewnań skalarnych i rozwiązanie

BA

BA

AB

AAB

ABB

mmFa

ammFamamF

amFFFam

+=

+=sdot=sdotminus

sdot=minus=sdot

)(

Dynamika punktu materialnego 3-4

Zachowanie pędu w układach odosobnionych

vmp sdot= Pęd jest wielkością addytywną co oznacza że pęd całkowity układu składającego się z wielu części jest sumą pędoacutew tych części

sum=

sdot=++=n

iiinC vmpppp

121

Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do dwoacutech części

BBAAC vmvmp sdot+sdot= Układ odosobniony (izolowany) układ na ktoacutery nie działają żadne siły zewnętrzne Oznacza to że jeżeli w tym układzie działają jakieś siły to są to siły wzajemnego oddziaływania między częściami tego układu Na podstawie 3 zasady dynamiki

BA FF

minus= wykorzystując 2 zasadę dynamiki możemy zapisać

dtpd

dtpd BA

minus= lub t

pt

p BA

∆∆minus=

∆∆

BA pp ∆minus=∆

0=∆+∆ BA pp

0)( =+∆ BA pp

0 constpp CC =rArr=∆

Pęd układu odosobnionego nie zmienia się

Dla większej liczby części rezultat uogoacutelnia się i można go zapisać w postaci roacutewnania

p p constC i= =sum

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-1

4 Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się to moacutewimy o pracy wykonywanej przez siłę

AB rrs minus=∆ praca jest skalarem

)cos(lub

sFsFW

sFW

∆sdot∆sdot=∆

∆sdot=∆

Iloczyn skalarny wektoroacutew jest liczbą określoną następująco

zzyyxx babababababa sdot+sdot+sdot=sdotsdot=sdot )cos(

Ogoacutelnie możemy pracę zapisać nieco inaczej

tvFW ∆sdotsdot=∆

Stosunek wartości pracy do czasu w ktoacuterym została wykonana nazywamy mocą (średnią)

Pt

W =∆

∆

Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi

vFP sdot=

albo

)cos( vFvFP sdotsdot=

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Dynamika punktu materialnego 3-2

Zasady dynamiki Newtona Pierwsza - zasada bezwładności Jeżeli suma sił działających na ciało (siła wypadkowa) jest roacutewna zeru to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (Oznacza to że prędkość ciała jest stała a przyspieszenie jest roacutewne zeru) Druga zasada dynamiki Szybkość zmiany pędu (zmiana pędu przypadająca na jednostkę czasu - pochodna pędu względem czasu) jest roacutewna wypadkowej sile działającej na ciało

Fdtpd

equiv

equiv

∆∆ F

tp

Trzecia - zasada akcji i reakcji Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie na siebie to siła wywierana przez pierwsze ciało na drugie jest roacutewna i przeciwnie skierowana do siły jaką ciało drugie działa na pierwsze

BAAB FF

minus= Te dwie siły nie znoszą się bo są przyłożone do innych ciał Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie inercjalnych układoacutew odniesienia Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje układ odniesienia w ktoacuterym to ciało spoczywa lub ma prędkość stałą Układ odniesienia w ktoacuterym są spełnione zasady dynamiki Newtona nazywamy inercjalnym układem odniesienia

Dynamika punktu materialnego 3-3

Przykład wykorzystania 3 zasady dynamiki

F

BAF

B

A ABF

ABBA

ABA

BAB

FFamFF

amF

minus=

sdot=+

sdot=

Roacutewnoważny układ roacutewnań skalarnych i rozwiązanie

BA

BA

AB

AAB

ABB

mmFa

ammFamamF

amFFFam

+=

+=sdot=sdotminus

sdot=minus=sdot

)(

Dynamika punktu materialnego 3-4

Zachowanie pędu w układach odosobnionych

vmp sdot= Pęd jest wielkością addytywną co oznacza że pęd całkowity układu składającego się z wielu części jest sumą pędoacutew tych części

sum=

sdot=++=n

iiinC vmpppp

121

Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do dwoacutech części

BBAAC vmvmp sdot+sdot= Układ odosobniony (izolowany) układ na ktoacutery nie działają żadne siły zewnętrzne Oznacza to że jeżeli w tym układzie działają jakieś siły to są to siły wzajemnego oddziaływania między częściami tego układu Na podstawie 3 zasady dynamiki

BA FF

minus= wykorzystując 2 zasadę dynamiki możemy zapisać

dtpd

dtpd BA

minus= lub t

pt

p BA

∆∆minus=

∆∆

BA pp ∆minus=∆

0=∆+∆ BA pp

0)( =+∆ BA pp

0 constpp CC =rArr=∆

Pęd układu odosobnionego nie zmienia się

Dla większej liczby części rezultat uogoacutelnia się i można go zapisać w postaci roacutewnania

p p constC i= =sum

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-1

4 Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się to moacutewimy o pracy wykonywanej przez siłę

AB rrs minus=∆ praca jest skalarem

)cos(lub

sFsFW

sFW

∆sdot∆sdot=∆

∆sdot=∆

Iloczyn skalarny wektoroacutew jest liczbą określoną następująco

zzyyxx babababababa sdot+sdot+sdot=sdotsdot=sdot )cos(

Ogoacutelnie możemy pracę zapisać nieco inaczej

tvFW ∆sdotsdot=∆

Stosunek wartości pracy do czasu w ktoacuterym została wykonana nazywamy mocą (średnią)

Pt

W =∆

∆

Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi

vFP sdot=

albo

)cos( vFvFP sdotsdot=

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Dynamika punktu materialnego 3-3

Przykład wykorzystania 3 zasady dynamiki

F

BAF

B

A ABF

ABBA

ABA

BAB

FFamFF

amF

minus=

sdot=+

sdot=

Roacutewnoważny układ roacutewnań skalarnych i rozwiązanie

BA

BA

AB

AAB

ABB

mmFa

ammFamamF

amFFFam

+=

+=sdot=sdotminus

sdot=minus=sdot

)(

Dynamika punktu materialnego 3-4

Zachowanie pędu w układach odosobnionych

vmp sdot= Pęd jest wielkością addytywną co oznacza że pęd całkowity układu składającego się z wielu części jest sumą pędoacutew tych części

sum=

sdot=++=n

iiinC vmpppp

121

Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do dwoacutech części

BBAAC vmvmp sdot+sdot= Układ odosobniony (izolowany) układ na ktoacutery nie działają żadne siły zewnętrzne Oznacza to że jeżeli w tym układzie działają jakieś siły to są to siły wzajemnego oddziaływania między częściami tego układu Na podstawie 3 zasady dynamiki

BA FF

minus= wykorzystując 2 zasadę dynamiki możemy zapisać

dtpd

dtpd BA

minus= lub t

pt

p BA

∆∆minus=

∆∆

BA pp ∆minus=∆

0=∆+∆ BA pp

0)( =+∆ BA pp

0 constpp CC =rArr=∆

Pęd układu odosobnionego nie zmienia się

Dla większej liczby części rezultat uogoacutelnia się i można go zapisać w postaci roacutewnania

p p constC i= =sum

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-1

4 Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się to moacutewimy o pracy wykonywanej przez siłę

AB rrs minus=∆ praca jest skalarem

)cos(lub

sFsFW

sFW

∆sdot∆sdot=∆

∆sdot=∆

Iloczyn skalarny wektoroacutew jest liczbą określoną następująco

zzyyxx babababababa sdot+sdot+sdot=sdotsdot=sdot )cos(

Ogoacutelnie możemy pracę zapisać nieco inaczej

tvFW ∆sdotsdot=∆

Stosunek wartości pracy do czasu w ktoacuterym została wykonana nazywamy mocą (średnią)

Pt

W =∆

∆

Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi

vFP sdot=

albo

)cos( vFvFP sdotsdot=

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Dynamika punktu materialnego 3-4

Zachowanie pędu w układach odosobnionych

vmp sdot= Pęd jest wielkością addytywną co oznacza że pęd całkowity układu składającego się z wielu części jest sumą pędoacutew tych części

sum=

sdot=++=n

iiinC vmpppp

121

Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do dwoacutech części

BBAAC vmvmp sdot+sdot= Układ odosobniony (izolowany) układ na ktoacutery nie działają żadne siły zewnętrzne Oznacza to że jeżeli w tym układzie działają jakieś siły to są to siły wzajemnego oddziaływania między częściami tego układu Na podstawie 3 zasady dynamiki

BA FF

minus= wykorzystując 2 zasadę dynamiki możemy zapisać

dtpd

dtpd BA

minus= lub t

pt

p BA

∆∆minus=

∆∆

BA pp ∆minus=∆

0=∆+∆ BA pp

0)( =+∆ BA pp

0 constpp CC =rArr=∆

Pęd układu odosobnionego nie zmienia się

Dla większej liczby części rezultat uogoacutelnia się i można go zapisać w postaci roacutewnania

p p constC i= =sum

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-1

4 Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się to moacutewimy o pracy wykonywanej przez siłę

AB rrs minus=∆ praca jest skalarem

)cos(lub

sFsFW

sFW

∆sdot∆sdot=∆

∆sdot=∆

Iloczyn skalarny wektoroacutew jest liczbą określoną następująco

zzyyxx babababababa sdot+sdot+sdot=sdotsdot=sdot )cos(

Ogoacutelnie możemy pracę zapisać nieco inaczej

tvFW ∆sdotsdot=∆

Stosunek wartości pracy do czasu w ktoacuterym została wykonana nazywamy mocą (średnią)

Pt

W =∆

∆

Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi

vFP sdot=

albo

)cos( vFvFP sdotsdot=

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-1

4 Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się to moacutewimy o pracy wykonywanej przez siłę

AB rrs minus=∆ praca jest skalarem

)cos(lub

sFsFW

sFW

∆sdot∆sdot=∆

∆sdot=∆

Iloczyn skalarny wektoroacutew jest liczbą określoną następująco

zzyyxx babababababa sdot+sdot+sdot=sdotsdot=sdot )cos(

Ogoacutelnie możemy pracę zapisać nieco inaczej

tvFW ∆sdotsdot=∆

Stosunek wartości pracy do czasu w ktoacuterym została wykonana nazywamy mocą (średnią)

Pt

W =∆

∆

Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi

vFP sdot=

albo

)cos( vFvFP sdotsdot=

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-2

W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły

vF ||

constmFa

amF

==

sdot=

tmFvatvv +=+= 00

++=

mtFv

mtFvv 02

2220

2 2

tmFFvvFP

2

0 +sdot=sdot=

w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu

W chwili początkowej 0 0 000 == xvt Praca wykonana od początku do chwili t wynosi w tych warunkach

mtFtvFtatvFsFW

2)

2(

22

0

2

0sdot+sdotsdot=sdot+sdot=∆sdot=∆

1O 00 =v

mtFW

2

22 sdot=∆ mtFv sdot=

czyli

2

2vmW sdot=∆

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Praca siły Energia kinetyczna w ruchu postępowym 4-3

2O 00 nev

sdotsdot+sdot=sdot+sdotsdot=∆

mtvF

mtFm

mtFtvFW 0

2

2222

02

22

minussdotsdot+sdot+=∆ 20

02

2220

2

22

vm

tvFm

tFvmW

v $ amp

22

20

2 vmvmW sdotminussdot=∆

Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w ktoacuterym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością) Klasyczna definicja energii kinetycznej

2

2vmEksdot=

albo

mpEk 2

2

=

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Klasyczna zasada względności 5-1

5 Klasyczna zasada względności

Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Prawa mechaniki nie wyroacuteżniają żadnego układu odniesienia Wszystkie układy są roacutewnoprawne Nie ma absolutnego układu odniesienia nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku Są to pojęcia względne Położenie stan ruchu prędkość itp zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Klasyczna zasada względności 5-2

Transformacja Galileusza

OO

OO

rrrrrr

minus=+=

vdtrd

vdtrd

Vdtrd OO

=

=

=

VvvVvv

minus=+=

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Klasyczna zasada względności 5-3

Transformacja Galileusza wspoacutełrzędnych

=+=

yytVxx

=minus=

yytVxx

Transformacja Galileusza prędkości

Vvv +=

lub

Vvv minus=

Roacuteżniczkowanie roacutewnania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach

aa = Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia W mechanice klasyczne przyspieszenie a roacutewnież i siła ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Mechanika relatywistyczna 6-1

6 Mechanika relatywistyczna Szczegoacutelna zasada względności

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia

Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ w ktoacuterym prędkość światła w proacuteżni jest roacutewna

smc 299792458=

i nie zależy od kierunku Ogoacutelna zasada względności

Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia

Według wzoru klasycznego

ABBA vvv +=

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Mechanika relatywistyczna 6-2

Jeżeli prędkość światła w proacuteżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego) to wzoacuter 4-2 nie może być prawdziwy Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentzrsquoa

21c

vvvvv

BA

ABBA sdot+

+=

Wzoacuter (4-3) wyraża transformację Lorentzrsquoa dla prędkości W szczegoacutelności jeżeli v cB = to

ccvcvc

ccv

vcvA

A

A

ABA =

++=sdot+

+=21

Wynika z tego że wartość prędkości światła w proacuteżni jest maksymalną wartością prędkości

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Mechanika relatywistyczna 6-3

Transformacja Lorentzrsquoa wspoacutełrzędnych

minussdot+=

=minus

+=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

tVxx

minussdotminus=

=minus

minus=

22

2

22

1

1

cVcVxtt

yycV

Vtxx

W mechanice relatywistycznej roacutewnież czas traci charakter bezwzględny Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki roacuteżnych pomiaroacutew) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzoroacutew transformacyjnych Jeżeli c rarr infin to transformacja Lorentzrsquoa przechodzi w granicy w transformację Galileusza

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-1

7 Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych

Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się np tyknięcia zegara

1212

2211

)( )(

xxtttxtxt=minus=∆

1212

2211

)( )(xxttt

xtxtneminus=∆

2222

2

1

1

cVtVxx

cVcVxtt

minus+=

minussdot+=

22

211

122

222

21

1

cVcVxtt

cVcVxtt

minussdot+=

minussdot+=

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-2

22

22

21212

12

1

1)(

cVt

cVcVxxttttt

minus∆

=minus

sdotminus+minus=minus=∆

1

22

tt

cVtt

∆gt∆

minus∆=∆

Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym (bdquonie poruszającym sięrdquo) to uznamy że w układzie primowanym (bdquoporuszającym sięrdquo) czas płynie wolniej Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-3

Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (Orsquo) znajduje się pręt o długości lrsquo (spoczywający w tym układzie) ułożony roacutewnolegle do osi Orsquoxrsquo Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O W tym celu należy zaproponować sposoacuteb pomiaru poruszających się przedmiotoacutew przy pomocy nieruchomej miary

Odległość między aparatami ktoacutere jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox W układzie Ox

12122211 )( )( ttxxltxtx =minus= (E 7-1) W układzie pręta

12122211 )( )( ttxxltxtx neminus= (E 7-2)

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-4

222212

221212

12

2222

22211

1

11

1)()(

1

1

cvl

cvxx

cvttvxxxxl

cvvtxx

cvvtxx

minus=

minusminus=

=minus

minusminusminus=minus=

minusminus=

minusminus=

(E 7-

3)

1 22

ll

cvll

lt

minussdot=

(E 7-4)

Długość przedmiotoacutew poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj mierzonej w układzie w ktoacuterym spoczywają) Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skroacuteceniem długości

22

2

22

21212

12

1

1)(

cvcvl

cvcvxxtttt

minussdotminus

=minus

sdotminus+minus=minus (E 7-5)

Według obserwatora w układzie Orsquo ktoacutery porusza się razem z prętem migawki aparatoacutew nie zadziałały jednocześnie Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1 Oznacza to że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogoacuteł nie są jednoczesne w innym poruszającym się względem pierwszego Jednoczesność zdarzeń jest względna

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-5

Zdarzenia zachodzące w roacuteżnych miejscach x1 i x2 są jednoczesne w danym układzie jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o wspoacutełrzędnej x0 = frac12(x2 + x1) Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu Ze względu na relatywizm wynikoacutew pomiaroacutew wprowadza się pojęcia długości własnej czasu własnego itd Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie w ktoacuterym obiekt spoczywa Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Pomiary długości i czasu trwania w roacuteżnych układach inercjalnych 7-6

Przykład Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości

Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu strzelając jednocześnie z dwoacutech bdquodział laserowychrdquo

1212 = ttlxx =minus (E 7-6)

)( )( 1122 txtx (E 7-7)

2211

12222

2 1

1

cvvtxx

cvvtxx

minus+=

minus+= (E 7-8)

1

2212

lxcv

lxxx

gt∆minus

=minus=∆ (E 7-9)

22

211

122

222

2 1

1

cvcvxtt

cvcvxtt

minussdot+=

minussdot+= (E 7-10)

01

22

2

12 neminussdot=minus=∆

cvcvlttt (E 7-11)

Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest roacutewna długości rakiety lrsquo

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-1

8 Paradoks bliźniąt - astronautoacutew

Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D Dla niego

i czas potrzebny na podroacuteż

cD

cDt

DD

sdotminussdot=

sdot=

minussdot=

ββ

β

β

2

2

1

1

(E 8-12)

Dla B podroacuteż zaczyna się zdarzeniem (00) i kończy (0trsquo)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-2

Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A to początek wypada w (00) a koniec w

Dc

Dc

ctxx

=minussdotminus

minus+=

ββ

ββ

ββ

2

2

2

11

=1

(E 8-13)

cD

cD

cxtt

ββββ

ββ

=minus

sdotminus

=minussdot+=

2

2

2

111

1

(E 8-14)

czyli w

sdot cDD

β (E 8-15)

D = 40 [a]c lat świetlnych β = 099 99 prędkości światła

[ ]t

Dc

a cc

a=sdot

=sdot

sdot=

β β40

40 4 [ ] (E 8-16)

D a c D

tD

ca

[ ] )

[ ]

= sdot

=sdot

=

5 64

5 7

(141

β (E 8-17)

Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podroacuteż powrotną W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-3

Relatywistyczny efekt Dopplerrsquoa (dla światła)

lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną

Jaką częstość błyskoacutew f zarejestruje obserwator A

s 1 Hz1 0 =∆== tff (E 8-18) Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się Drugi błysk w A pojawi się po czasie T Drugi błysk ma w A wspoacutełrzędne

tvxcv

tt ∆sdot=minus∆=

1

22 (E 8-19)

1

1

1+

1

=

22

2222

tcv

cvccv

tvcv

tcxtT

∆minus+

=sdotminus

∆sdotminus∆

∆+=

(E 8-20)

11

11 T

cvcvt

cvcvT sdot

minus+=∆sdot

minus+= (E 8-21)

Wzoacuter Dopplerrsquoa (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni)

011 fcvcvf sdot

+minus=

(E 8-22)

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-4

Paradoks bliźniąt ndash inaczej Obu bliźniakoacutew zaopatrujemy w dokładne zegary każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsoacutew) Teraz każdy może ocenić wiek brata i swoacutej licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika) Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika Bliźniak B (podroacuteżujący) Naliczy w podroacuteży tam Trsquo = 57 lat i Trsquo = 57 lat w podroacuteży z powrotem hellip liczba błyskoacutew własnej lampy wyniesie

02 fT sdot Bratu A naliczy błyskoacutew

20

2000

12

1)1()1(

11

11

β

βββ

ββ

ββ

minus

=minus

++minussdot=

minus+sdot+

+minussdot

fT

fTffT

co odpowiada czasowi 808 lat Bliźniak A (pozostający na Ziemi) Naliczy swoich lat T = 404 lat i T = 404 lat czyli razem 808 lat co odpowiada liczbie błyskoacutew

02 fT sdot Bratu B naliczy 1 przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błyskoacutew wyniesie

ββ

+minussdot

11

0f

i będą odbierane przez czas podroacuteży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D co razem wyniesie βsdot+TT a liczba błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdot+sdot

+minussdot fTTf

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A

Paradoks bliźniąt - astronautoacutew 8-5

2 w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie

ββ

minus+sdot

11

0f

ale czas ich odbierania będzie znacznie kroacutetszy bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim βsdotminusTT co da liczbę błyskoacutew

200 1)1(

11 ββ

ββ minussdotsdot=sdotminussdot

minus+sdot fTTf

a razem

lat 41112 20 rarrminussdot βfT

Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku B powroacuteci młodszy o około 70 lat od A