Wykład z Matematyki dla X LO w Krakowie 8 VI 2013 r.

Jak ogarnąć nieskończoność?

Monika HerzogInstytut Matematyki

Politechnika Krakowska

Problemy

• Obliczyć pole obszaru krzywoliniowego ograniczonego prostymi , oraz krzywą o równaniu

• Podróżujemy samochodem, którego prędkościomierz pracuje poprawnie, natomiast licznik przebytej drogi zepsuł się. W czasie 3 godzinnej przejażdżki podróżujemy ze zmienną prędkością, ale zauważamy, że w dowolnej chwili t prędkość wynosi Obliczyć jaką drogę przebyliśmy w ciągu 3 godzin podróży.

• Cienki pręt o długości 3 metry i kołowym przekroju poprzecznym jest wykonany z niejednorodnego materiału, który z jednej strony jest bardzo lekki, z drugiej bardzo ciężki. Obliczyć masę tego pręta. Załóżmy, że w odległości x m od lewego końca pręta jego gęstość równa jest

2xy 0y 3x

32 /5 mkgx

hkmt /12 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

302 xyxy

Pole obszaru krzywoliniowego ograniczonego krzywymi

Przybliżamy pole trzema słupkami

0.5 1.5 2.50

1

2

3

4

5

6

7

Przybliżamy pole sześcioma słupkami

0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2.750

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Długość przebytej drogi

prędkość chwilowazatem

–

hkmttvch /12 2

hkmvhkmv chch /482/35,0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

20

40

60

80

100

120

Wartość v

t

x

dt

txdtvch

tvtx ch 75,25,025,25,075,15,025,15,075,05,025,05,0 chchchchchch vvvvvv

hkmttvch /12 2

9375,81275,25,025,25,075,15,025,15,075,05,025,05,012 222222

Masa niejednorodnego prętagęstość w odległości x od lewego końca zatem

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.505

101520253035404550

Wartość g

32 /5 mkgxxg 33 /25,315,2/25,15,0 mkggmkgg

V

mxg

32 /5 mkgxxg

xgVm

75,25,025,25,0

75,15,025,15,075,05,025,05,022

2222

grgr

grgrgrgr

9375,8575,25,025,25,0

75,15,025,15,075,05,025,05,05222

22222

r

r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

302 xyxy

Pole obszaru krzywoliniowego ograniczonego krzywymi

Przybliżamy pole sumą n pól prostokątów

• Dzielimy przedział na n równych części, każda długości • Wyznaczamy punkty pośrednie • Obliczamy wartość funkcji w punktach pośrednich• Sumujemy pola prostokątów o bokach równych oraz

2

1 33nn

i

ii

nii ,...,1

3,0 n

3

n

3

)( if

...2

13...

2

323

2

23

2

0323323323323

nnnnnnnn

ii

nnnnS

222222233

12...12...5312

33

2

13... ni

nn

nn

nnn

)([?]4

932

nnn

Sumowanie

NnRaa n ,...,Niech

zapisu Konwencja

1

5

1

554321

3

1

321

5

1

2222223

1

2222

111

6221

212222222,142222

5554321,14321

np.

...

i

i

i

i

ii

n

kk

n

iin

ii

aaaa

n

i

n

i

nn

i

in

in

nnin

q

qqqqqqq

1

22222

11

321

?...321

2

1...321

1

1...

Własności

Rcaccan

ii

n

ii

,11

n

ii

n

ii

n

iii baba

111

nmaaan

mii

m

ii

n

ii

1,111

01

110 ,...,1,,,...,, bbanibbaRbbb n

n

iiiiin

Zastosowanie

2

1,...,1,,,...,01

11

2

nninibbankkb

n

iiiik

22

1 1

221 111

niibba

n

i

n

iiii

nnin

i

212 2

1

nnnin

i

22 2

1

Zastosowanie cd.

6

121,...,1,,,...,01

1

21

3

nnninibbankkb

n

iiiik

33

1

33

11

1

111

niibban

i

n

iii

n

ii

nnniin

i

33133 23

1

2

nnnniin

i

n

i

3333 23

11

2

3

14

2

14

6

12144412

2

11

2

1

2

nnn

nnnnnniii

n

i

n

i

n

i

Można pokazać (wzór Johanna Faulhabera - 1631), że

n

ik

kkkkk nBk

knB

knB

knB

kn

ki

1

23

121

1 1...

3

1

2

1

1

1

1

1

gdzie B to liczby Bernoulliego – 1713 (Seki Kowa)

1,01

00

BBk

nk

n

k

Dziękuję za uwagę.Monika Herzog