Krzysztof Gęsicki

Fizyka atmosfer gwiazdowych

Wykład kursowy dla studentów astronomii 2 stopnia

wykład 7.przybliżenie Rosselanda,absorpcja ciągła,tablice nieprzezroczystości

Przybliżenie Rosselanda przy obliczaniu strumienia

Zakładamy atmosferę płasko-równoległą

µ∂Iν∂z= −χν(Iν − Sν)

przepiszmy inaczej:

Iν(z, µ) = Sν(z)−µ

χν

∂Iν∂z

W pierwszym (zerowym) przybliżeniu

∂Iν∂z= 0

I(0)ν (z, µ) ≈ S(0)ν (T )

I(0)ν jest niezależne od µ, więc można całkować po kątach

J (0)ν ≈ S(0)ν (T )

J (0)ν ≈ S(0)ν (T )

Stąd, pamiętając, że:

Sν =κνBν(T ) + σνJνκν + σν

otrzymujemy:

S(0)ν = Bν(T )

Tak obliczone I(0)ν podstawmy dalej

I(1)ν (z, µ) ≈ Bν(T )−µ

χν

∂Bν(T )

∂z

drugi wyraz pozwala uwzględnić niezerowy strumień

I(1)ν (z, µ) ≈ Bν(T )−µ

χν

∂Bν(T )

∂z

skorzystajmy z tego, że część Bν(T ) natężenia nie zależy od µ,

więc daje zerowy wkład do strumienia

całkujemy tylko drugi składnik

Fν(z) = 2π

1∫

−1

I(1)ν µdµ

= −2π

χν

∂Bν(T )

∂z

1∫

−1

µ2dµ

= −4π

3

1

χν

∂Bν(T )

∂T

∂T

∂z

Obliczmy teraz całkowity strumień, łącznie dla wszystkich częstości:

F (z) =

∞∫

0

Fν(z)dν = −4π

3

∂T

∂z

∞∫

0

1

χν

∂Bν(T )

∂Tdν

Zauważmy, że:

∞∫

0

∂Bν(T )

∂Tdν =

∂

∂T

∞∫

0

Bν(T )dν =∂

∂T

(

σ

πT 4)

=4σ

πT 3

definiujemy średni współczynnik absorpcji Rosselanda1

χR=

∞∫

0

1χν

∂Bν(T )∂Tdν

∞∫

0

∂Bν(T )∂Tdν

otrzymamy: F (z) = −16σT 3

3χR

∂T

∂z

jest to właściwie równanie dyfuzji

F (z) = −16σT 3

3χR

∂T

∂z

[strumień] = [współczynnik dyfuzji] × [gradient wielkości fizycznej]

Podstawiając stałe fizyczne oraz zakładając, że χR ≈ 1

można pokazać, że w Słońcu Tc ∼ 6× 106K

Gdy wzór na Iν wycałkujemy po dν otrzymamy

I(z, µ) = B (T (z)) +3

4πµF (z)

Obliczmy stosunek wyrazu anizotropowego do izotropowego

F (z)

B(T (z))=σπT 4effσπT 4

dla dużych temperatur T ≫ Teffwyciekanie, dyfuzja energii maleje,

przybliżenie dyfuzyjne jest coraz lepsze

Z kolei dla T ∼ Teffmamy swobodny wypływ energii promienistej

a średnią Rosselanda współczynnika absorpcji

do dziś stosujemy w astrofizyce

1

χR=

∞∫

0

1χν

∂Bν(T )∂Tdν

∞∫

0

∂Bν(T )∂Tdν

Absorpcja ciągła

w atomach mamy do czynienia z przejściami

b-b – czyli linie widmowe

b-f, f-f – to absorpcja ciągła

dla dużych długości fali dominuje f-f

dla zakresu widzialnego widma – kontinuum Paschena wodoru oraz jon H−

dla λ < 500A – absorpcja He

w zakresie UV dominują metale

rozpraszanie

rozpraszanie na molekułach (Rayleigh), zależne od λ, wzrasta dla fal krótszych

rozpraszanie Thomsona na swobodnych elektronach

skok Balmera zależy od obsadzeń poziomów 2 i 3 wodoru

oraz od absorpcji jonu H−

dlaczego jon H− jest tak ważny?

energia wiązania jonu H− wynosi ok. 0.7 eV

graniczna długość fali dla jonizacji to 17 000 A

zatem jon H− w całości kontrybuuje do absorpcji zakresu widzialnego

dla warunków panujących w fotosferze Słońca,

czyli log T = 3.78, T ≈ 6 000K, logPe = 1.5

przy założeniu LTE możemy obliczyć

N(H+)

N(H)= 10−4

N(H+)

N(H)= 10−4

N(H−)

N(H)= 3 · 10−8

N(H+)

N(H)= 10−4

N(H−)

N(H)= 3 · 10−8

N(H)n=3N(H)n=1

= 6 · 10−10

N(H+)

N(H)= 10−4

N(H−)

N(H)= 3 · 10−8

N(H)n=3N(H)n=1

= 6 · 10−10

N(H−)

N(H)n=3= 5 · 102

współczynnik absorpcji ciągłej

wodoru i helu

na jeden atom wodoru

i na jednostkowe ciśnienie elektronowe

dla głębokości τ ≈ 1

dla fotosfer trzech różnych karłów

panel a – Słońce,

b – późny typ A,

c – późny typ B

obejrzyjmy diagram (confusogram) Vitense skopiowany z pracy Novotny (1973)

kolejne rysunki pokazują współczynniki absorpcji ciągłej

podzielone przez ciśnienie elektronowe,

w funkcji długości fali,

dla słonecznego składu chemicznego,

różnych temperatur (różne wykresy),

różnych ciśnień elektronowych

(różne linie na tym samym rysunku, oznaczane przez logPe = 0, 0.5, 1, 2, 3)

pierwszy z nich jest dla temperatur słonecznych,

od karłów (duże ciśnienie)

do olbrzymów (małe ciśnienie)

funkcjaG to czynnik ważący Rosselanda G =∂Bν(T )∂T∂B(T )∂T

maksimum tej funkcji przypada dla minimum nieprzezroczystości

linie ciągłe z logPe = 1, 2 – całkowita nieprzezroczystość dla głębokości τ ≈ 1

ich kształt pokazuje, że dominującym składnikiem jest jon H−

dla logPe = 3 widoczne są skoki Mg I 2514 A, Si I 1525 A, C I 1100 A, H I 912 A.

linie przerywane gładkie ilustrują rozpraszanie Rayleigha

linie przerywane zygzakowate to absorpcja b-f plus f-f wodoru neutralnego H I

na osiach pionowych zaznaczono wartości średniego wspólczynnika absorpcji κRdla różnych ciśnień elektronowych logPe = 0, 0.5, 1, 2, 3

——————————————————————–

kolejne „skomplikogramy”

parametryzowane wielkością

Θ = 5040/T

T = 100 800 K

T = 50 400 K, O 5

T = 10 080 K, B 9.5

T = 3 880 K, K 8

porównanie nieprzezroczystości ciągłej pochodzącej od różnych atomów

obniżającej strumień względem modeli z absorpcją tylko H i H−

dla wodoru przebieg współczynnika absorpcji pomiędzy skokami przebiega gładko,

znana jest zależność 1/ν3

dla złożonych atomów, jak widzieliśmy, już nie jest tak dobrze

co gorsza, występują tzw. rezonanse

fotojonizacja jednego elektronu jest procesem „gładkim”

fotojonizacja dwuelektronowa powiązana jest z jednoczesnym wzbudzeniem dwóch

elektronów, kiedy to oba pozostają związane, ale suma ich energii przewyższa

energię jonizacji

po takim dwuelektronowym wzbudzeniu najczęściej następuje tzw. autojonizacja,

choć czasem, z mniejszym prawdopodobieństwem, oba elektrony przechodzą do

poziomów niższych, produkując linie emisyjne

rysunki pokazują przekroje czynne na fotojonizację jonu węgla

w jednostkach Mb = mega barn = 10−18 cm2

na osi poziomej jest energia fotonu jonizującego

wyrażona w Rydbergach (en. jonizacji wodoru 13.6 eV)

kolejne rysunki pokazują przekroje czynne na fotojonizację atomu baru

Tablice nieprzezroczystości

Pierwsze tablice nieprzezroczystości, lata 40-te:

bound–free, free–free, rozpraszanie na swobodnych elektronach

dołączano absorpcję H− i rozpraszanie Rayleigha

zakładano, że linie widmowe

nie dodają niczego

do średniego współczynnika Rosselanda absorpcji

Tablice z Los Alamos

A.N.Cox, J.N.Stewart, D.D.Eilers, J.E.Tabor, lata 1960-70

uwzględniono przejścia w liniach widmowych

obliczano metodami mechaniki kwantowej energie poziomów

stopień jonizacji – z równania Sahy

stopniowo poprawiano tablice

skorygowano obfitość żelaza

lepiej uwzględniono obniżenie poziomu kontinuum jonów

na początku lat 80-tych okazało się, że

wiele rozbieżności między modelami a obserwacjami gwiazd

można wyjaśnić

wprowadzając arbitralnie zmiany w tablicach nieprzezroczystości

Porównanie nieprzezroczystości OP i OPAL

oba projekty powstały w latach 80-tych XX w.

W sieci WWW można przeczytać:

The name Opacity Project (OP) [1] refers to an international collaboration that

was formed in 1984 to calculate the extensive atomic data required to estimate

stellar envelope opacities and to compute Rosseland mean opacities and other

related quantities. It involved research groups from France, Germany, the United

Kingdom, the United States and Venezuela. The approach adopted by the OP

to calculate opacities is based on a new formalism of the equation of state [2]

and on the computation by ab initio methods of accurate atomic properties such

as energy levels, f-values and photoionization cross sections [3]. The OP final

results are discussed by Seaton et al. [4].

The OPAL code was developed at the Lawrence Livermore National Laboratory

to compute opacities of low- to mid-Z elements. Briefly, the calculations are ba-

sed on a physical picture approach that carries out a many-body expansion of the

grand canonical partition function. The method includes electron degeneracy and

the leading quantum diffraction term as well as systematic corrections necessary

for strongly-coupled plasma regimes. The atomic data are obtained from a para-

metric potential method that is fast enough for in-line calculations while achieving

an accuracy comparable to single configuration Dirac-Fock results. The calcu-

lations use detailed term accounting; for example, the bound-bound transitions

are treated in full intermediate or pure LS coupling depending on the element.

Degeneracy and plasma collective effects are included in inverse bremsstrahlung

and Thomson scattering. Most line broadening is treated with a Voigt profile that

accounts for Doppler, natural width, electron impacts, and for neutral and singly

ionized metals broadening by H and He atoms. The exceptions are one-, two-,

and three-electron systems where linear Stark broadening by the ions is included.

międzynarodowy OP – bardziej ambitny

prawdopodobieństwa obsadzeń poziomów obliczne są niezbyt rygorystycznymi

metodami, dzięki czemu stają się małe dla odpowiednio wzbudzonych poziomów

(„rozcieńczanie poziomów”) i funkcje partycji dobrze się zbiegają

oblicza dane atomowe wyrafinowaną metodą R-matrix,

uwzględniane są oddziaływania konfiguracji

linie w OP mają szersze skrzydła,

co powiększa średnią nieprzezroczystość Rosselanda

OPAL mniej ambitne podejście

jednokonfiguracyjne funkcje falowe,

parametry dopasowywane empirycznie

nie „rozpuszcza” poziomów wzbudzonych tak bardzo, jak OP,

zatem wzbudzone stany związane są znacznie bardziej obsadzone, niż w OP

OP nie był w stanie szybko obliczać takich ilości linii widmowych, jak OPAL,

za to był w stanie uwględniać efekty oddziaływania konfiguracji

pierwsze dane obu projektów różniły się znacznie przy dużych temperaturach

nadal występują pewne rozbieżności

jak choćby w przebiegu pochodnej κR po temperaturze

dla gazu czysto wodorowego,

jednak nie mają one istotnego wpływu na średnie współczynniki

niewykluczone, że zastosowane procedury interpolacyjne

mogą wyjaśnić obserwowane nieregularności

to OPAL po raz pierwszy wykazał,

że przejścia w jonach Fe z N=14 do 19 elektronów,

prowadzą do istotnej cechy we współczynniku Rosselanda przy log(T ) ≈ 5.2,

która poźniej stała się znana jako „Z-bump”

dla pierwszych stopni jonizacji z N=21 do 26 uwzględniane są dane Kurucza

zawierające niemal 7 milionów linii

niedawno (2004) stwierdzano raczej dobrą zgodność obu projektów dla wyników

dla 6 pierwiastków: H, He, C, O, S, Fe

w 2005:

projekt OP uzupełniony:

He, C, N, O, Ne, Na, Mg, Al, Si, S, Ar, Ca, Cr, Mn, Fe, Ni

uwzględniono nowe dane dla przejść w wewnętrznych powłokach

łącznie: 11 523 624 linie widmowe

815 989 przejść fotojonizacyjnych

bardzo dobra zgodność OP i OPAL

heliosejsmologia dostarcza danych dotyczących głębokości Rcz strefy konwekcji:

log T ≈ 6.34, r ≈ 0.715R⊙

chciało by się uzgodnić tę wartość z modelami teoretycznymi Słońca

co ciekawe, starsze tablice nieprzezroczystości dawały niezłą zgodność

najnowsze dane wskazują, że trzeba by zwiększyć nieprzezroczystość w pobliżu

Rcz o około 19%, co wymagało by zwiększenia współczynnika z OPAL o ok. 10%

w wymaganym rejonie współczynniki OP i OPAL nie różnią się więcej niż o 2.5%,

większa różnica nie wydaje się możliwa

sprawdzane były procedury interpolacyjne, przez zagęszczenie siatek, otrzymano

znikome różnice

w 2007 Seaton porównywał przyspieszanie promieniste grad

otrzymywane z tablicami nieprzezroczystości OP i OPAL

dla krzemu i żelaza zgodność otrzymał całkiem niezłą

zwiększając dokładność obliczeń wprowadzono tzw. poprawki mte

dotyczą one przekazywania elektronowi pędu fotonu przy przejściu b-f,

mogą one, niestety, powodować ujemne wartości stosunku grad/ggrav

zamiast poprawy wyszło gorzej

przy obliczeniach grad dla warunków panujących w Słońcu

dla węgla i dla krzemu otrzymano rozbieżności (także bez poprawek mte),

co ciekawe takich rozbieżności dla krzemu nie było na wcześniejszym rysunku

na razie ani dane OP ani OPAL

nie uwzględniają poprawek mte dla przejść f-f,

choć wydaje się, że nie powinny one mieć większego znaczenia

w porównaniu z tymi dla przejść b-b i b-f

niedawno pojawiły się nowe obliczenia współczynników nieprzezroczystości

Christophe Blancard, Philippe Cosse and Gerald Faussurier

SOLAR MIXTURE OPACITY CALCULATIONS USING DETAILED

CONFIGURATION AND LEVEL ACCOUNTING TREATMENTS

The Astrophysical Journal, 745:10 (7pp), 2012 January 20

opracowany został model OPAS

obliczający szczegóły poziomów i konfiguracji

i w konsekwencji nieprzezroczystości dla plazmy w warunkach LTE

uwzględniono szczegółowo oddziaływania

free–free,

bound–free

bound–bound

programem OPAS policzono nieprzezroczystości w widmie

dla tzw. mieszanki słonecznej,

dla różnych gęstości i temperatur wzdłuż tzw. drogi termodynamicznej Słońca,

czyli od środka Słońca do granicy z warstwą konwektywną

rysunek pokazuje porównanie stosunków nieprzezroczystości wzdłuż tzw. drogi

termodynamicznej Słońca, dla OPAL/OP i dla OPAS/OP

względny wkład poszczególnych pierwiastków do

średniej Rosselanda nieprzezroczystości OPAS

widać, że wzdłuż rozważanego promienia to

metale mają największy wkład

spośród metali – żelazo zawsze ma wkład

powyżej 10%

– białe – rozpraszanie

– czarne – free-free

– niebieskie – fotojonizacja – największy udział

– czerwone – linie – istotna rola dla Fe w war-

stwach w pobliżu połowy R⊙

znajdziemy jeszcze porównanie przebiegu nieprzezroczystości z długością fali

dla OP i dla OPAS

w funkcji tzw. zredukowanej energii fotonów u = hνkT

dla magnezu (górny panel) istotną różnicę znajdziemy dla u około 5

przyczyną są różnice w obliczeniach wkładu w pobliżu u = 7

silnej absorpcyjnej linii dziesięciokrotnie zjonizowanego magnezu

dla żelaza (dolny panel) widoczne różnice wyjaśniane są

nieco innym stopniem jonizacji powodującym różnice w fotoabsorpcji

w rezultacie:

współczynniki średnie Rosselanda są w dobrej zgodności

indywidualny wkład od poszczególnych pierwiastków wykazuje spore różnice

zagadnienia wymagane na egzaminie

• średni współczynnik absorpcji Rosselanda: wzór, sposób średniowania

• równanie dyfuzji promieniowania

• wyprowadzenie wzoru na strumień całkowity w przybliżeniu Rosselanda

• współczynnik absorpcji ciągłej, procesy dominujące w absorpcji ciągłej w

różnych zakresach widma

• znaczenie ujemnego jonu wodoru w absorpcji zakresu widzialnego