28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 1

Wykład 9Wykład 9

Moce zbiorów Moce zbiorów

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 2

Równoliczność Równoliczność

Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...

P ~ N

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 3

PrzykładyPrzykłady (1) Dowolne dwa przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych są równoliczne.

a b

c

d

f(x) = (d - c)(x - a)/(b - a) + c

Dowód (1)

(2) (- /2, /2) ~ R

Lemat Jeśli A ~ B i B ~ C, to A ~ C.

-/2 /2

f(x)= tg x

Dowod (2)

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 4

Zbiory przeliczalneZbiory przeliczalneKażdy zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnym.

Zbiór liczb parzystych

Zbiór liczb nieparzystych

f(n) = 2n

f(n) = 2n+1

Zbiór liczb całkowitych

f(x) = 2x+1, gdy x >0 f(x) = - 2x , gdy x <0

Zbiory skończone lub przeliczalne nazywa się co najwyżej przeliczalnymi.

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 5

WłasnościWłasnościZbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny.

Przecięcie zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Suma zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Produkt zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

Wniosek: zbiór słów nad alfabetem

skończonym jest zbiorem

przeliczalnym.

dalej

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 6

Zbiór liczb wymiernych jest Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.przeliczalny.

. . . . . . -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 00 11 22 33 44 . . .. . .

. . . . . . -4/2-4/2 -3/2-3/2 -2/2-2/2 -1/2-1/2 1/21/2 2/22/2 3/23/2 4/24/2 . . . . . .

. . . . . . -4/3-4/3 -3/3-3/3 -2/3-2/3 --1/31/3

1/31/3 2/32/3 3/33/3 4/34/3 . . . . . .

. . . . . . -4/4-4/4 -3/4-3/4 -2/4-2/4 --1/41/4

1/41/4 2/42/4 3/43/4 4/44/4 . . . . . .

. . . . . . -4/5-4/5 -3/5-3/5 -2/5-2/5 -1/5-1/5 1/51/5 2/52/5 3/53/5 4/54/5 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 7

Podzbiór zbioru przeliczalnego jest Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalnyprzeliczalny

00 11 22 33 44 55 66 77 . . .. . .aa b cc dd ee ff gg hh . . .. . .

Niech X będzie zbiorem przeliczalnym, f - bijekcją taką, że f: N X oraz niech A będzie nieskończonym podzbiorem X.

Definiujemy funkcję g : N A tak, że

g(0) = f(k0), gdzie k0 = min{i : f(i) A}

g(1) = f(k1), gdzie k1 = min{i : f(i) A- {f(k0)}}

g(2) = f(k2) ), gdzie k2 = min{i : f(i) A- {f(k0), f(k1)}}

g jest funkcją

różnowartoś-ciową i na A

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 8

Suma zbiorów przeliczalnych jest Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalnaprzeliczalna

{Ai}iN - rodzina zbiorów co najwyżej przeliczalnych.

Skoro Ai jest co najwyżej przeliczalny, to możemy przedstawić ten zbiór w postaci ciągu nieskończonego {ai1 ,ai2, ai3, ...} ewentualnie powtarzając nieskończenie wiele razy element ostatni, gdy zbiór był skończony. a11a11 a12a12 a13a13 a14a14 a15a15

a21a21 a22a22 a23a23 a24a24 . . .. . .

a31a31 a32a32 a33a33 a34a34 . . .. . .

a41a41 a42a42 a43a43 a44a44 . . .. . .

a51a51 . . .. . . . . .. . . . . .. . .

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 9

Zbiory nieprzeliczalneZbiory nieprzeliczalneZbiory, które nie są co najwyżej przeliczalne nazywają się nieprzeliczalnymi.

Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) jest nieprzeliczalny.

Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny.

Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.Zbiór wszystkich funkcji

f : N {0,1} jest nieprzeliczalny.

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 10

PrzykładPrzykład(1) Przedział [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Ad (1) Gdyby zbiór [0,1] był przeliczalny, to jego elementy możnaby było ustawić w ciąg np. (ci) iN . Tworzymy ciąg przedziałów [a0,b0], [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],...

0 1a0 b0

a1 b1

c0 [a0,b0] a0b0 b0 -a0 = 1/3c1 [a1,b1] a1b1 b1 -a1 = 1/9 c2 [a2,b2] a2b2 b2 -a2 = 1/27

itd.

1. Ciągi (ai) iN i (bi) iN są monotoniczne i ograniczone.

2. lim | ai - bi | = 0

Wniosek: istnieje liczba c= lim ai =lim bi .

Ale c ci dla wszystkich iN ! Sprzeczność.

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 11

PrzykładPrzykład(3) Zbiór 2 N wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny.

Dowód Zamiast mówić o funkcjach możemy mówić o ciągach zero-jedynkowych.Gdyby zbiór 2 N był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te ciągi w ciąg (ci) iN .

Oznaczmy kolejne elementy ciągu ci przez ci1 , ci2 ci3 , ...

c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , ...

c21 , c22 , c23 , c24 , c25 , ...

c31 , c32 , c33 , c34 , c35 , ...

c41 , c42 , c43 , c44 , c45 , ...

... Konstruujemy ciąg d = d1d2d3...

0 gdy cii 0 1 gdy cii = 0 di = {

Ciąg d2N i jest różny od wszystkich ciągów (ci) iN .

Sprzeczność!

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 12

PrzykładPrzykład(2) Przedział otwarty (0,1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód Gdyby zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te liczby w ciąg (di) iN .

Oznaczmy kolejne cyfry po przecinku liczby di przez di1 , di2 di3 , ...

0, d11 d12 d13 d14 d15 , ...

0, d21 d22 d23 d24 d25 , ...

0, d31 d32 d33 d34 d35 , ...

0, d41 d42 d43 d44 d45 , ...

Ciąg wszystkich liczb z przedziału (0,1).Konstruujemy liczbę c = 0,c1c2c3c4...

5 gdy dii 5 7 gdy dii = 5 ci = {

Oczywiście c jest różne od wszystkich liczb z ciągu (di) iN .

Sprzeczność!

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 13

Liczby kardynalneLiczby kardynalneLiczba kardynalna zbioru jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że

(1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0,

(2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów,

(3) zbiory równoliczne mają przypisaną tę samą cechę .

Oznaczenie :

liczba kardynalna X = moc zbioru X = card(X) = |X|

card(N) = alef 0.

card( R) = c.

Definicja card(X) = card(Y) wttw X ~Y

card(X) card(Y) wttw istnieje podzbiór zbioru Y równoliczny z X.

card(X) < card(Y) wttw istnieje podzbiór właściwy zbioru Y równoliczny z X oraz X nie jest równoliczne z Y.

28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 14

Twierdzenie CantoraTwierdzenie Cantora Dla każdego zbioru X , card(X) < card(2 X).

Dowód: Jeśli X jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest prawdziwe.

Oczywiście card(X) card(2 X), bo funkcja g(x)= {x} odwzorowuje X na podzbiór zbioru potęgowego P(X), a mianowicie na {{x}: xX}.

Wystarczy pokazać, że żaden podzbiór zbioru X nie jest równoliczny z 2 X . Przypuścmy przeciwnie, że dla pewnego A, istnieje bijekcja f : A 2 X . Mamy dla każdego a A, f(a) X. Niech Z= { a A : a f(a)}. Oczywiście Z X, czyli dla pewnego a0

f(a0) = Z.Iprzypadek a0 Z II przypadek a0 Z

Ale wtedy a0 Z

Ale wtedy a0 Z