Wykład II Ruch masy...Wykład II Ruch masy Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej Wydział...

1

Wojciech Piątkowski

Inżynieria Chemiczna i ProcesowaInżynieria Bioprocesowa

Wykład II

Ruch masy

Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej

Wydział Chemiczny, Politechnika Rzeszowska

P o l i t e c h n i k a R z e s z o w s k a i m. I g n a c e g o Ł u k a s i e w i c z a

W y d z i a ł C h e m i c z n y

LITERATURA

T. Hobler – „Dyfuzyjny ruch masy i absorbery”, WNT W-wa

K. Kaczmarski, W. Piątkowski – „Podstawy przenoszenia masy”, Of. Wyd. PRz.,Rzeszów 2014

Praca zbiorowa pod red. Z. Ziółkowskiego – „Procesy dyfuzyjne i termodynamiczne” – skrypt Pol. Wrocławskiej część 1;3;

Z. Kembłowski, St. Michałowski, Cz. Strumiłło, R. Zarzycki –„ Podstawy teoretyczne Inżynierii Chemicznej i Procesowej”

R. Petrus, G. Aksielrud, J. Gumnicki, W. Piątkowski, „Wymiana masy w układzie ciało stałe-ciecz”, monografia, Of. Wyd. PRz., Rzeszów 1998

R. Zarzycki – „Zadania rachunkowe z inżynierii chemicznej”

K.F. Pawłow; P.G. Romankow; A.A. Noskow – „Przykłady i zadania z zakresu aparatury i inżynierii chemicznej”

Z. Kawala; M. Pająk; J. Szust – „Zbiór zadań z podstawowych procesów inżynierii chemicznej”; skrypt Pol. Wrocławskiej cz.: I, II,

T.Kudra (pod redakcją) – „Zbiór zadań z podstaw teoretycznych inżynierii chemicznej i procesowej”

Praca zbiorowa pod red. J. Bandrowskiego – „Materiały pomocnicze do ćwiczeń i projektów z inżynierii chemicznej” – skrypt Pol. Śląskiej

2

Ruch masy – nauka o procesach transportu masy.

Ruch masy należy do grupy korpuskularnych zjawisk transportowych.Transport masy wykazuje analogię z przepływem innych wielkościzachowywanych ilościowo (prawo zachowania masy), na przykład zanalogicznym transportem ciepła oraz z transportem pędu(hydrodynamiką). Inżynieria chemiczna zajmuje się jedno- orazmiędzyfazowym ruchem masy.

Ruch masy ma fundamentalne znaczenie w opisie wielu zjawisk w fizyce,chemii, biologii oraz w całym szeregu dyscyplin pokrewnych (np.astronomia, geologia, elektrochemia, meteorologia, ochrona środowiska)oraz wiele zastosowań praktycznych w różnych dziedzinach aktywnościludzkiej. Jest ono szczególnie oczywiste w produkcji i przetwarzaniumateriałów. Wiele procesów wymaga np. transportu substratów domiejsca reakcji, a następnie transportu produktów reakcji z tego miejsca.

Ruch masy Pojęcia podstawowe

Siła napędowa ruchu masy to różnica stężenia składnika kluczowego ZA

lub SA (dokładna definicja rodzaju i wymiaru stężenia - przy każdymmechanizmie lub procesie ruchu masy)

3

http://pl.wikipedia.org/wiki/Zjawiska_transportowe

http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawa_zachowania

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wymiana_cieplna

http://pl.wikipedia.org/wiki/Substrat_(chemia)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Produkt_reakcji

Nazwa stężenia Symbol Def. Wymiar

Faza gazowa Faza ciekła

Stężenie ogólnie ZA SA

Ciśnienie cząstkowe pA - Pa

Koncentracja molowa C’Ag C’

Ac [kmolA/m3]

Koncentracja masowa CAg CAc [kgA/m3]

Udział molowy yA xA [kmolA/kmol]

Udział masowy wA uA [kgA/kg]

Stosunek molowy YA XA [kmolA/kmol i]

Stosunek masowy WA UA [kgA/kg i]

VnA

VmA

nnA

mmA

iA nn

iA mm

Ay

AXAY

Ax

4 4

Ruch masy Pojęcia podstawoweNazewnictwoRodzaj stężenia

Ruch ciepłaCzysta konwekcja

Ruch masyCzysta konwekcja

Konwekcyjny transport ciepła, częstookreślany jako konwekcja wymuszonalub naturalna ciepła, jestprzenoszeniem ciepła z jednego miejscana drugie poprzez ruch płynów.Konwekcja jest zwykle dominującąformą przenoszenia ciepła w cieczach igazach. Chociaż często omawiane są jakoodrębna metoda przekazywania ciepła,konwekcyjne przenoszenie ciepłaobejmuje połączone procesy nieznanegoprzewodzenia ciepła i adwekcji(przenoszenie ciepła przez przepływobjętościowy.

Konwekcja wymuszona lub naturalnato transport masy z powodu masowegoruchu płynu. Na przykład przepływciekłej wody transportuje cząsteczki lubjony rozpuszczone w wodzie. Podobnie,przepływ powietrza transportujecząsteczki obecne w powietrzu, w tymzarówno skoncentrowane cząsteczki (np.tlen i azot), jak i rozcieńczone cząsteczki(np. dwutlenek węgla).

Zjawiska, a więc także definicje są podobne 5


Wiemy, że czysta konwekcja istnieje - ale w naturzekonwekcja jest połączona z przewodzeniem ciepła,a w ruchu masy z dyfuzją masy. Nazywamy to zjawiskoKONWENCJĄ (wymuszoną i/lub naturalną) – czyliWNIKANIEM CIEPŁA i/lub WNIKANIEM MASY

Termin konwekcja w przenoszeniu ciepła odnosi się zwykle do kombinacjiwymiany ciepła przez przewodzenie i adwekcję, gdzie adwekcja odnosi się doprzenoszenia ciepła w wyniku ukierunkowanego ruchu płynu.W ruchu masy jest analogicznie! - konwekcja masy jest sumą równoległychzjawisk: adwekcji oraz dyfuzji masy

Konwekcję można "wymusić" przez wymuszenie ruchu płynu za pomocąśrodków innych niż siły grawitacji czy wyporu (na przykład pompa) – patrzruchy wymuszone i niewymuszone.

Bardzo często Konwekcja ciepła oraz Konwekcja masy są ze sobąnierozerwalnie związane!

6


Istnieją dwa odrębne mechanizmy ruchu masy:– molekularna dyfuzja masy –na skutek różnicy stężenia masa jest przekazywanaspontanicznie w materialnych ośrodkach ciągłych. Przekazywanie makroskopowych ilościmaterii (lub energii), zwykle opisywane jest równaniem dyfuzji i prowadzi dowyrównywania stężenia każdej z dyfundujących substancji w całym układzie.– konwekcja masy – w ten sposób na skutek dyfuzji masy oraz unoszenia cząsteczek przez istniejące pole prędkości masa może być przekazywana w cieczach i gazach.

Mechanizmy ruchu masy

7

Mechanizmy ruchu masy mogą występować łącznie w kombinacjach: szeregowo, lub równolegle - zależnie od tego na co pozwala dany ośrodek – np.:- w ciałach stałych: istnieje tylko dyfuzja, - w cieczach i gazach (płynach): dyfuzja masy w wartwie przyściennej + konwekcja masy.Należy podkreślić, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszenia występują z reguły jednocześnie. Jeśli mamy do czynienia z pojedynczym mechanizmem ruchu masy to jest nim tylko i na pewno dyfuzja masy! I to w ciałach stałych.

Przenoszenie molekularne - DYFUZJA

DYFUZJA masy + makroskopowe mieszanie elementów płynu =

KONWEKCJA masy


https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=R%C3%B3wnanie_dyfuzji&action=edit&redlink=1

Wnikanie masy – ogólna nazwa transportu masy od rdzenia płynu dopowierzchni międzyfazowej – zwierciadła. Jest to proces transportu masyskładający się z 2 mechanizmów ruchu masy przebiegających następczo(szeregowo jeden za drugim): konwekcji masy w rdzeniu płynu orazdyfuzji masy w warstwie przyściennej – lub odwrotnie – od powierzchnimiędzyfazowej do rdzenia płynu – zwierciadła, w funkcji zwrotuprzyłożonej siły napędowej.

Przenikanie masy – ogólna nazwa ruchu masy od rdzenia jednego dordzenia drugiego płynu poprzez powierzchnię międzyfazową, złożonego z2 szeregowych wnikań.

8

Procesy ruchu masy

ruch masy w kombinacjach mechanizmów, o których mowa na poprzednim slajdzie

Ruch masy Pojęcia podstawoweNazewnictwo

Ilość masy składnika kluczowego A przenoszona w czasie to:

-[kmolA]; lub - [kgA];

Strumień masowy: [ kmolA /s]; [ kgA /s];

Gęstość strumienia masy - szybkość ruchu masy.

= - [kmolA/m2s];

lub = - [kgA/m2s],

AmmA'

mA

'

Am

N A'

A

'

m A

Am A

9

AN

NazewnictwoRuch masy Pojęcia podstawowe

Powierzchnia izokoncentryczna – to miejsce geometryczne punktów ojednakowej wartości stężenia w danej chwili czasu.Przecięcie płaszczyzną normalną A powierzchni izokoncentrycznych umożliwia

śledzenie zmian stężenia zwanych gradientem stężenia: 𝑛 = 𝑥; 𝑦; 𝑧

Wektor gęstości strumienia masy – parametr wprost proporcjonalny dogradientu stężenia:

- równanie (I prawo) Fick’a w formie różniczkowej, gdzie: współczynnikiemproporcjonalności jest współczynnik dyfuzji D.

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor NA ma oczywiście 3 składowe,jest normalny do powierzchni izokoncetrycznej i jest dodatni w kierunkumalejącego stężenia (masa zawsze płynie samoistnie od punktu ciała o wyższejwartości stężenia do punktu ciała o niższej wartości stężenia. Tak więc wektory

NA oraz grad CA = mają ten sam kierunek i przeciwny zwrot.

n

CA

N DC

nA

A

n

CA

10


Dynamika procesu – model procesu ruchu masy

Matematyczne zależności między istotnymi dla procesu ruchu masy wielkościami (parametrami)

dla• procesu ruchu masy

lub • aparatu - wymiennika masy

nazywa się modelem dynamiki procesu (aparatu)

11


pedu iaprzenoszen równanie

reakcjikinetyka

procesu mika)(termodyna statyka

masyu transportkinetyka

masy(bilanse)bilans

cieplau transportkinetyka

ciepla (bilanse)bilans

To jest idea modelu ogólnego dla jednoczesnego ruchu ciepła, masy oraz reakcji

Układ równań w modelu dynamiki rozwiązywany jest JEDNOCZEŚNIE !




masy(bilanse)bilans

A jak należy uprościć prezentowany model dynamiki procesu dla

fizycznego („czystego”) ruchu masy?

12


reakcjikinetyka



masy(bilanse)bilans

cieplau transportkinetyka

ciepla (bilanse)bilans


Dynamika procesu – model procesu ruchu masy

(1) W przypadku, gdy: – wartości stężenia zależą od czasu oraz od położenia w przestrzeni);– powierzchnia procesu jestzmienna (powierzchnia procesu ≡ powierzchnia izokoncentryczna, to miejsce geometryczne punktów o jednakowej wartości stężenia w danej chwili czasu);to proces jest nieustalony (1)

Wówczas model dynamiki procesu to układ równań różniczkowych przedstawiających bilanse masy dla sześcianu jednostkowego

Proces może być lub nieustalony (1) lub ustalony (2)

(2) W przypadku, gdy:

– wartości stężenia nie zależą od czasu;– powierzchnia procesu jest stała;

to proces jest ustalony (2)

; , ,A AZ S f x y z

przeciwprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

współprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

Model dynamiki

ruchu masy może być

zapisany jako układ

równań scałkowanych

operujących parame-

trami w przekrojach

wlotu i wylotu

wymiennika masy

13 13


Przenoszenie masy przez dyfuzję

Dyfuzja masy zachodzi w obrębie jednej fazy (jednego stanu skupienia), w którymistnieje różnica stężenia między dwoma punktami tego ciała.Jest to proces samorzutnego rozprzestrzeniania się cząsteczek w danym ośrodkubędący konsekwencją chaotycznych zderzeń cząsteczek dyfundującej substancjimiędzy sobą lub z innymi cząsteczkami otaczającego ją ośrodka. Nie istniejenatomiast makroskopowy ruch translacyjny cząstek tej fazy w konkretnymkierunku. Dopuszczalny jest ruch bezwładny fazy, np. ruchy Browna w gazach.

Dyfuzja masy zachodzi we wszystkich stanach skupienia. Jest jedynymsposobem transportu masy w ciałach stałych.

POWTÓRZENIE - Siła napędowa dyfuzji to różnica stężenia składnika kluczowego ZA (lub S.A.) między dwoma punktami tego ciała.

Definicja dyfuzji masy

14

Ruch masy Mechanizmy ruchu masy

15

Dyfuzja ustalonaDyfuzja (ruch masy) nieustalona

Ruch masy Dyfuzja masy

CAc = constCAc = f()

Różniczkowy bilans masy

zyxx

NN Ax

Ax ddd

dzdyN Ax

zmiana masyskl.natezenie natezenie akumulacja

doplywu skl. odplywu skl. w wyniku reakcjiskl.

A

A A A

UWAGA: stężeniem użytym w wyprowadzanym bilansie masy w sześcianie jednostkowym jest koncentracja masowa:

AC /Am V – [kgA/m3]

AA

mN

A – [kgA/m2s]

Szybkość ruchu masy jest wyrażona następująco:

1. R. Petrus; G. Aksielrud; J. Gumnicki; W. Piątkowski, „ Wymiana masy w układzie ciało stałe – ciecz”

2. Z. Kembłowski, St. Michałowski, Cz. Strumiłło, R. Zarzycki –„ Podstawy teoretyczne InżynieriiChemicznej i Procesowej” rozdz. 1.4; 18

16

AA AN Cu

Ruch masy

0A

A A

CN R

Założenie (Uproszczenie 1): ponieważ bilansujemy wymiennik masy a nie reaktor - reakcja chemiczna nie zachodzi RA = 0.

Dywergencja (źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy we współrzędnych prostokątnych 17



A

A A A

[kgA/m3s]0AyAxA Az

A

NC N NR

x y z

(1)

Uwaga:to bilans masy dla skł. APatrz warunek 2 na slajdzie 18

AyAx AzA

NN NN

x y z

gdzie:

Ruch masy Różniczkowy bilans masy

(1a)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pole_wektorowe

http://pl.wikipedia.org/wiki/Operator_r%C3%B3%C5%BCniczkowy

Ruch masy nie istnieje, jeśli dana faza jest 1-składnikowa. Dyfuzja masy

nie będzie mieć miejsca, jeśli nie będzie mieszaniny: A + B. A musi

dyfundować przez B, lub odwrotnie.

0B

B

CN

(1b) dla skł. B

( )( ) ( )0

0

Ay ByAx Bx Az Bz

A B

N NN N N N

x y z

N N

Łącząc (sumując) zależności (1a) oraz (1b) otrzymujemy:

gdzie: A Bm C C

(2)

[kgB/m3s]

[kgm/m3 s]

18

Konsekwencja – konieczność zapisu bilansu masy także dla składnika B:


m

kgA/m3 + kg B/m3 = (kgA + kg B)/m3 = [kgm/m3]

19

A A B AAw C C C C

dla: m = const i DAB = const,

A A AAx Ay AzA A A AAB

B B BBx By BzB B B BAB

u C u C u C y y yCD

x y z x x y y z z

u C u C u C y y yCD

x y z x x y y z z

(3)

W tym miejscu do wyprowadzenia wprowadza się chwiloworównoczesny ruch masy przez konwekcję masy oraz dyfuzję masy

Substancja może przemieszczać się przez sześcian ze strumieniem konwekcyjnym,poruszającym się z prędkością masową [m/s] oraz jednocześnie w wyniku

dyfuzji cząsteczkowej. Taki proces można opisać równaniem (3) osobno dla substancji Aoraz dla B:

NC

u

19

wAത𝑦𝐴 - udział masowy ułamek masowy

R. Petrus, G. Aksielrud, J. Gumnicki, W. Piątkowski, „Wymiana masy w układzie ciało stałe-ciecz”, Rozdz.1. – równ. (9)

Przypomnienie pojęcia operatora Laplace’a:

2 2 22

2 2 2

A A AA

C C CC

x y z

A A AAx Ay Az

A

u C u C u CN

x y z

Przypomnienie pojęcia dywergencji:


1. R. Petrus; G. Aksielrud; J. Gumnicki; W. Piątkowski, „ Wymiana masy w układzie ciało stałe – ciecz”

2. Z. Kembłowski, St. Michałowski, Cz. Strumiłło, R. Zarzycki –„ Podstawy teoretyczne Inżynierii Chemicznej i Procesowej”20

Kolejna wersja bilansu masy -przekształcenie r-nia (2) (3a)

N

Cu

A AC w

2

2

AA AA AB

BB BB AB

Cu C D C

Cu C D C

(4)

strumień konwekcyjny

Strumień dyfuzyjny - dyfuzja cząsteczkowa

Rozpatrując od tego miejsca równoczesny ruch masyprzez dyfuzję i konwekcję tylko dla składnika A

2

AA AA AB

Cu C D C


Uproszczenie 2: Jeżeli płyn jest nieruchomy – to konwekcja masy nie istnieje:

II prawo Fick’a dla dyfuzji nieustalonej21

2AAAB

CD C

Akumulacja = dyfuzja

Wynik: ogólne różniczkowe równanie dyfuzji masy

Uproszczenie 3: Dyfuzja masy jest dalej ruchem nieustalonym, ale odbywasię tylko w kierunku x:

2

2

A A

AB

C CD

x

W tym miejscu powrót w wyprowadzeniu do czystej dyfuzji masy

(4) 2

AA AA AB

Cu C D C

II-gie prawo Fourieradla przewodzenia nieustalonego

2

2

T T

x

a


Całkowanie równania Laplace’a przy następujących warunkach brzegowych:

dla x = 0 CA = CA1; dla x = s CA = CA2

Uproszczenie 4: Dyfuzja jest ruchem masy ustalonym i odbywa się tylko wkierunku x:

UWAGA! Po prawej zapis przy użyciu koncentracji molowej. Zapis przy użyciu

każdego dowolnego rodzaju stężenia – nic nie zmienia w rozumowaniu!

I prawo Fick’adla dyfuzji ustalonej

22

2

2

A A

AB

C CD

x

Równanie Laplace’a 2

20A

ABC

Dx

[kmolA/m2 s][kgA/m2 s]lub

2

20

A

AB

CD

x

Pierwsze całkowanie daje:

A

A AB

CN D

x

[kgA/m2 s]

Szybkość dyfuzji masy

Drugie całkowanie daje:

1 2 ABA AA

DN C C

s[kgA/s]

Strumień dyfundującej masy

1 2 ABA A AA

DN A m A C C

s

Równanie Laplace’adla przewodzenia ustalonego

2

20

T

x


Szczegółowe równanie na gradient dyfuzji, uważane odtąd za podstawowe,przyjmuje postać: gdzie: a - stała proporcjonalności A A B A Bp C C u ua

I prawo Fick’a może zostać wyprowadzone dla dyfuzji masy w fazie gazowej zkinetycznej budowy gazów Maxwella - Stefana. Opór dyfuzji w gazowej,dwuskładnikowej mieszaninie jest mierzony spadkiem ciśnienia składnikakluczowego A i jest proporcjonalny do: – pA zA zB (uA – uB)

gdzie: zA - ilość cząsteczek składnika dyfundującego; zB - ilość cząsteczek składnika,przez który dyfunduje składnik A; (uA – uB) - różnica wypadkowych prędkościcząsteczek obu gazów w kierunku dyfuzji – ogólnie; [m/s] - prędkośćmolekularna (masowa) składnika i;

'i

iu N C

Posłużmy się sześcianem elementarnym i obliczmy ilość cząsteczek z składnika Aznajdujących się w tym elemencie: zA A = cA - gdzie A - masa 1 cząsteczki [g/cz];cA - łączna masa cząsteczek w 1 cm3 koncentracja masowa cząsteczek [g/cm3].Według prawa Avogadra masy cząsteczek mają się do siebie jak masy molowe, w związku z czym:

AA A

A

cz C

M B

B B

B

cz C

M a

[kmol/m3]

23


gdzie: - koncentracja całkowita układu;1

n

ii

C C

'A A AN C u [kmolA/m2s] a stąd:

'

AA

A

Nu

C

'

BB

B

Nu

C

R R PV n T P C TPodstawiając wyrażenia na u oraz prawo Clapeyrona otrzyma się z:

' '

RA A B B A

CC N C N C

T C

a

A A B A Bp C C u ua

Definicja kinematycznego współczynnikadyfuzji: :

2 2R R AB BA

T TD D

C Pa a[m2/s]

' '1

R

A B B A

CN C N C

T C

a

'AB ABD C

Definicja dynamicznego współczynnika dyfuzji:

[kmolA/m s] 24

' '1A B B A

AB

N C N CD C

AC

UWAGA: stężeniem użytym w bilansie masy jest koncentracja molowa:

R A Ap C T


'

' '

AA

B BA

AB AB

CCN

CCC

Szybkość dyfuzji

'A

'B

B'A

'A

AN

N;

N

N 1

Definicja stosunków gęstości strumienimasy:

'

' A

A B B A

AB

N CC C C

C

ii

Cy

C

' '

1A

B BA

AB AB

yy

y

Przejdźmy dopostaci równania z wprowadzeniem ułamka molowego:

' '1A A B B A

AB

C N C N CD C

'AB ABD C

25

'

' '

1

AA

B BA

AB AB

CN

CCC

C C


'

' '

11

1

A AA A

B B A AA

AB AB

yN y

y yy

fAA yy 1

n

i

iA

1

gdzie:

oraz:

' '

f A

B B fA

AB AB

y y

y yy

'

' '

1A A

B BA

AB AB

N yy

y

26

'

' '

1

1

f A A AA

B B f A AA

AB AB

y y yN

y y yy


'

' ' ' ' ' '... ...

f AA

fC N C NB BA

AB AC AN AB AC AN

y yN

yy yyy

Nawias z poprzedniego r-nia można przez analogię rozszerzyć dla mieszaniny n-składnikowej:

'

' ' ' ' ' '

1

... ...

f A A

Am

C N C NB BA

AB AC AN AB AC AN

y y

y yyy

Ogólna postać I prawa Fick’aw formie różniczkowej

Definicja zastępczego, dynamicznego współczynnika dyfuzji składnika A przez mieszaninę inertów

27

' '

AA Am

f

yN wyrazenie na

y

' A

Am

f

y

y


Przekształcenia upraszczające I prawa Fick’a wedlug charakterystycznych przypadków - rodzajów dyfuzji w ustalonym ruchu masy przez dyfuzję:

1. Dyfuzja składnika A przez drugi składnik inertny B i – 1-wszy rodzaj dyfuzji:

a po scałkowaniu:

im

AA'Ai

i

i'Ai'

Ay

yy

sy

y

sN 21

2

1ln

y

y yim

A A 1 1

2

1 2gdzie:

;N

N'A

'A

A 1 ;N

N'A

'B

B 0 yf = 1 – yA = yB = yi;N 'B 0

n

i

iA

1

1

'Ai

A'Ai

i

i'Am

yy

y

0

' '

1 2A AAiA

im

y ym A

s y

28 28

' AA Ai

f

yN

y x


Przypomnienie niektórych zasad rozwiązywania (całkowania) równań różniczkowych:

' ' ' 'd dd

d 1

A AA Ai A Ai

i A

y yN N s

y s y

'1 2A AAi

im

y y

s y

1i B Ay y y

y

y yim

A A 1 1

2

1 2

2 2 11' ' ' ' ' 11

21 1 2

d dd ln

1 1

yAA AA Ai Ai A Ai yA

A A

y yN s N s

y y

'

' 1

2ln

yAi iA yi

Ns

Uproszczenie otrzymanego rozwiązania przez definicję „średniej logarytmicznej”:

1 2 1 21

21

2

ln

ln

A A A Aiim

i imi

i

y y y yyy

y yy

y

29

1' ' 11

2ln

yAA Ai yA

N s

'' 1

2

lnAi iA

i

yN

s y

2. Dyfuzja ekwimolarna przeciwkierunkowa – 2-gi rodzaj dyfuzji:

Przekształcenia upraszczające I prawa Fick’a wedlug charakterystycznych przypadków - rodzajów dyfuzji w ustalonym ruchu masy przez dyfuzję c.d.

a po scałkowaniu:

1

21 AA'AB'

A

yy

sN

;N

N'A

'A

A 1 yf = 1;1'BN

n

iiA

1

0

'AB

'AB

A'AB

B

'Am

yy

1

' '

1 2

1

A AABA

y ym A

s

'

'1;B

B

A

N

N

30 30

'

1 A

A Aiy

Nx


Przekształcenia upraszczające I prawa Fick’a wedlug charakterystycznych przypadków - rodzajów dyfuzji w ustalonym ruchu masy przez dyfuzję c.d.

3. Dyfuzja składnika A przez mieszaninę inertów - 3-ci rodzaj dyfuzji:

a po scałkowaniu:

im

AA'Ai

i

i'Ai'

Ay

yy

sy

y

sN 21

2

1ln

y

y yim

A A 1 1

2

1 2gdzie:

;N

N'A

'A

A 1 ;N

N'A

'i

i 0 yf = 1 – yA = yi =' 0;iN

n

i

iA

1

1

'AN

N

'AC

C

'AB

BA'

AN

N

'AC

C

'AB

B

AA'Am

...yy

...yy

y

1

y y yB C Ni

n

...1

31 31

' AA Am

f

yN

y x


32

Powtórzenie



A

A A A

natezenie natezenie

0doplywu skl. odplywu skl.A A

2

20

A

AB

CD

x

AA AB

CN D

x

Równanie Laplace’a

I prawo Fick’a

2 0AABD C

Jeżeli dyfuzja odbywa się w trybie ustalonym

Jeżeli dyfuzja odbywa się tylko w kierunku x:

32

(z bilansu sześcianu jedn.) (z teorii kinetycznej budowy gazów)


3333

aA A B A Bp C C u u

2

20

A

AB

CD

x

AA AB

CN D

x

'AB ABD C

PRZYPOMNIENIE

AA

Cy

C

AA Am

f

yN

y x

1 A

A ABf

CN D

y x

AA AB

f

y CN

y x C

33

𝑁𝐴′ − 𝛿𝐴𝐵

′𝛻𝑦𝐴𝑦𝑓


Jeżeli dyfuzja odbywa się w trybie ustalonym

(z bilansu sześcianu jedn.) (z teorii kinetycznej budowy gazów)

Jeżeli dyfuzja odbywa się tylko w kierunku x:

I prawo Fick’a

I prawo Fick’a


Różnice w wyniku wyprowadzenia I prawa Fick’a z: a) bilansu sześcianu jednostkowego oraz

b) teorii kinetycznej budowy gazów.

Wyprowadzenie z sześcianu jednostkowego nie uwzględnia:

1. Istnienia inertów w mieszaninie gazowej i innegomechanizmu dyfuzji (w konsekwencji innej szybkościdyfuzji masy) w tym przypadku;

2. Możliwości obliczenia - współczynnika dynamicznegodyfuzji skł. A przez mieszaninę inertów.

𝛿𝐴𝑚′

32


im

AA'Ai

i

i'Ai'

Ax

xx

sx

x

sN 21

2

1ln

x

x xim

A A

1 1

2

1 2gdzie:

Dyfuzja masy w fazie ciekłej

35


W podejściu Hoblerowskim, mimo tego, że wyrażamy moduł napędowywybranym, dowolnym rodzajem stężenia, moduł napędowy dyfuzji jestzawsze bezwymiarowy i co do wartości A = const.oraz postać i wymiar współczynnika dyfuzji:

= [kmol/m s]SĄ ZAWSZE STAŁE.

'Am

Hoblerowskie ujęcie ruchu masy

'Ai

As

Uogólniona siła napędowa dyfuzji z powodu swojej bezwymiarowości nazywana modułem napędowym (dyfuzji).

1 2 1 2 1 2itd.

A A A A A AA

im im im

y y C C p p

y C p

gdzie:

' '1 2' 1

2

lnA AAi i Ai

Ai im

y yyN

s y s y

36


37

Wprowadźmy definicję współczynnika wnikaniamasy: (patrz slajd 48) s

'AB'

A

[kmol/m2s]

' '

A A AN

I zapiszmy równanie szybkości dyfuzji masy w nowej postaci:

Hoblerowskie ujęcie ruchu masyI prawo Fick’a

'' AiA AN

s

Jest to zapis I-szego prawa Fick’a dla dyfuzji masyoparty na zapisie szybkości wnikania masy.

37


W podejściu Hoblerowskim, mimo tego, że wyrażamy moduł napędowywybranym, dowolnym rodzajem stężenia, moduł napędowy dyfuzji masy jestzawsze bezwymiarowy i co do wartości A = const.oraz postać i wymiar współczynnika wnikania masy: = [kmol/m2s]SĄ ZAWSZE STAŁE.

A'

'Ai

As

Wymiar lewej strony równania to N’A = [kmol A/m2s]. Taki sam wymiar musi mieć także

prawa strona równania: 21)( AACA CC

itd.

Ujęcie dyfuzji masy analogicznie jak wnikania masy

Zasadą tego podejścia jest operowanie siłą napędową a nie modułem napędowymprocesu. PRZYKŁAD: Wyjdźmy ze scałkowanego równania na szybkość dyfuzji, gdzie siłanapędowa zapisana jest w koncentracjach molowych:.

'' A AAiA

im

C CN

s C

1 2

Zapiszmy stosunek współczynnika wnikania masy do przeciwstężenia warstwy jako:

'A

A C'imC

Wymiarem współczynnika wnikania masy A(C), jeśli siła napędowa jest wyrażona za

pomocą koncentracji molowej, jest [m/s]

'( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2A A p A A A C A A A y A AN p p C C y y

Uogólniając:

38

Wprowadźmy definicję współczynnika wnikania masy i otrzymamy:

'

' AA A A

im

N C CC

1 2

s

'AB'

A


2

20A

AmC

Dx


' AA Am

CN D

x

I prawo Fick’a

' AA Am

f

CN D

C x

Prawidłowo!(dokładniej)

' ' AA Am

f

d yN

y dxto:

' '' Am AmAA A

f

yN

s y s

'Am AmD C jeśli:

1f A Ay y

AA

Cy

C

39

Dyfuzja masyPowtórzenie

''

Am AA

f

yN

s y

itd...A A AA

f f f

y C p

y C p

Ujęcie I

Ujęcie II

[kmol A/m2s]

' ' ''

'( ) ( ) itd...

Am AmA AA A A AA y

f ff

A A C A A p A

yN y y y

s y ys y

i przez analogiędla innych rodzajówstężenia

N C p

[kmol A/m2s]

40

=𝛿𝐴𝑚′

𝑠𝛥𝜋𝐴

Dyfuzja masyPowtórzenie

Obliczanie wartości współczynnika dyfuzji

Wartości współczynnika dyfuzji zostały znalezione i określone na drodzeeksperymentalnej dla wielu par gazów i cieczy i stabelaryzowano przy wokreślonych warunkach standardowych. Są to najczęściej:•dla gazów - t = 0oC i p = 1 atm,•dla cieczy - t = 20oC.W przypadku gdy nie da się znaleźć tych wartości w tablicach należy wyznaczyć je zodpowiednich zależności matematycznych.

'BA

'AB A

'ABAB M [kg/m s] ponieważ AB BA

Przypomnienie podstawowych zależności: DAB = DBA,

'AB ABD C

M

AB'AB

V

D

Ogólnie dla obu stanów skupienia

1

n

ii

C C

41


tylko dla gazu

Obliczanie wartości współczynnika dyfuzji w fazie gazowej

Korelacja Arnolda-Gillilanda na kinematyczny współczynnik dyfuzji::

[m2/s]

3/2

21/3 1/3

1 10.04306AB

A BA B

TD

M Mp v v

gdzie: vA oraz vB [cm3/mol] - objętości molowe odpowiednich składników w postacicieczy w temperaturze wrzenia - w tablicach; p - ciśnienie całkowite układu w Pa, M- masa molowa w [kg/kmol], T w skali Kelvina.

Korelacja Arnolda-Gillilanda na dynamiczny współczynnik dyfuzji:

1/2' 5

21/3 1/3

1 14.37 10

RAB

A BA B

T

M Mv v

[kmol/m s]; R= 8.314[J/mol K]

42


Obliczanie wartości współczynnika dyfuzji w fazie ciekłej

Korelacja Arnolda na kinematyczny współczynnik dyfuzji:

[m2/s]

8

21/3 1/3

1 1 13.16 10

A BAB

A BB A B

DM Mv v

Zależność kinematycznego współczynnika dyfuzji w cieczach od temperaturywyrażona jest wzorem Nernsta: (DAB)t = (DAB)20 [1 + b (t - 20)]; b - w tablicach lubdo obliczenia:gdzie: B - lepkość dynamiczna rozpuszczalnika B w [Pa s]; B - gęstośćrozpuszczalnika B w [kg/m3] w 20oC.

3

20

320

6.32 10b

B

B

43


gdzie A i B to tzw. czynniki odchylenia od ideału dla substancji dyfundującej A wcieczy B (rozpuszczalniku) – w tab.; B – lepkość dynamiczna rozpuszczalnika B w[Pa s]

Równanie Stokesa-Einsteina na kinematyczny współczynnik dyfuzji słusznedla roztworów rozcieńczonych:

D T

N rAB

B A

531 10 7.R

gdzie: N - liczba Avogadro; rA - promień rozpuszczonych cząstek A; wszystkie parametry w wymiarach układu SI.

Z powyższego równania wynika, że dla pary składników tzw. grupa dyfuzyjna= const - jest wielkością stałą.

ABB

A

D

TF

2 1

2 11 2

AB ABT T

TD D

T

Zależność kinematycznego współczynnika dyfuzji w cieczach od temperatury z porównania tej grupy jest następująca:

44



45

Wilke stwierdził, że grupa

dyfuzyjna jest funkcją

FA = f( ) i stworzył

wykres tej funkcji, na

którym znajduje się wartość

tej grupy dla szukanego

układu, a następnie oblicza

się szukaną wartość

kinematycznego

współczynnika dyfuzji.

vA1 3/

43

Wpisz tutaj równanie.

𝐷𝐴𝐵 =𝑇

𝐹𝐴 𝜂𝐵



Przenoszenie masy przez konwekcję masyWnikanie masy

Wnikanie masy to proces, który sklada się zszeregowo po sobie następujących:

• dyfuzji masy w warstwie granicznej,

• konwekcji masy w rdzeniu płynu.

Lub odwrotnie w zależności od zwrotu siły napędowej.

Ponieważ ruch masy następuje w wyniku makroskopowego przemieszczania się cząstek płynu, a jest to spowodowane przez dostarczenie odpowiedniej energii (ciśnienia; kinetycznej) z zewnątrz, to w literaturze używa się także innej nazwy wnikania masy - konwekcja wymuszona masy.

46

xg

yA

NA

xz

yAx

yAz

rd

zeń

fazy

dyfuzja masy konwekcja masy

ścia

na cie

cz

gaz

Ruch masy

1 1

ABA Ax Az Ax Az A Ax

dyfuzji konw

DN Z Z Z Z Z Z

x O O

Ax Az A Ax A Az A dyf A konw A dyf konwZ Z Z Z Z Z N O N O N O O

xg

yA

NA

xz

yAx

yAz

rd

zeń

fazy


ścia

na

cie

cz

gaz

47 47

W warunkach ustalonych:

Ruch masy Wnikanie masy

A Az A Az

A

dyf konwkonw

AB

Z Z Z ZN

xO OO

D

Jeśli:

ABA A Az

DN Z Z

x

[kmolA/m2 s] lub

[kgA/m2 s]

Równanie Newtona A A Az AN Z Z

Szybkość wnikania masy

ABA

D

x

48

dyf konw

AB

xO O

D

Definicja współczynnika wnikania masy


POWTÓRZENIE - Siła napędowa wnikania masy to różnica stężenia składnika kluczowego ZA (lub S.A.) między rdzeniem fazy a powierzchnią międzyfazową (w 1 fazie!).

[kmol A/m2s][kg A/m2s]

gdzie:

AB

A

D

x AB

Ax

[m/s] lub

Równanie Newtona

AA A Az AN A m A Z Z

[kmolA/ s] lub

[kgA/ s]

A A Az AN Z Z

49

Gęstość strumienia masy szybkość wnikania masy

Strumień wnikajacej masy

49


Faza gazowa porusza się w przepływie:• wymuszonym, najlepiej burzliwym:a) w pustym aparacie lub b) aparacie wypełnionym.

Faza ciekła porusza się w przepływie:• niewymuszonym: a) grawitacyjnym spływie cieczy

po ścianie lub po wypełnieniu.

lub b) w opadaniu kropel w

strumieniu gazu.

Faza ciekła porusza się w przepływie:• wymuszonym, najlepiej burzliwym:a) w pustym aparacie lub b) aparacie wypełnionym.

Faza gazowa porusza się w przepływie:• niewymuszonym: a) w perleniu się gazu

przez ciecz, w pustej rurze

lub b) przez wypełnienie

Wnikanie masy jest zależne od rodzaju i charakteru przepływu płynu.

Rozpatrujemy przepływ dwufazowy w wymienniku masy

50


Cytowane poniżej kryteria bezwymiarowe charakteryzujące ruch masy przezwnikanie masy mogą być otrzymane na drodze analizy wymiarowej danychdoświadczalnych, na podstawie różniczkowych bilansów ciągłości przepływustrugi oraz ruchu masy, lub/oraz teorii podobieństwa.

Funkcja ogólna opisująca wszystkie przypadki ruchu masy przez wnikanie jest następująca: (S; Re; Fo’; Sc; Sh) = 0 (dla procesów nieustalonych - nie omawiane!). TYLKO dla procesów ustalonych (Re; Sc; Sh) = 0 .

Bezwymiarowe moduły kryterialne mają następujące definicje:

'ABAB

A l'

D

l

11Sh

dwRe

ABAB DD

Sc

L

l1

- liczba Sherwooda;

- liczba Reynoldsa;

- liczba Schmidta;

- moduł geometryczny51


Równanie kryterialne - modułowe opisujące wszystkie przypadki wnikania masy wprzepływach: A) - wymuszonym oraz B) - niewymuszonym jest równanie:

= Re; l1 = d; wykładnik potęgowy D= 0

A1) Ruch wymuszony burzliwy

Sh C ScA B Re

gdzie:

'AB

'A

AB

CA d

D

d

Sh

1

Sh = Π; Sc;

DL

fl

Równanie ogólne

gdzie: l1 - wymiar poprzeczny; L - wymiar podłużny.

Sh 0.023 Sc0.83 0.44 Re

Wzory szczegółowe – przykład wzór Colburna

dla 2 * 103 < Re < 35 * 103 oraz dla 0.6 < Sc < 2.5

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków wnikania masywedług podziału ze względu na rodzaj i charakter przepływu

A11) Ruch wymuszony burzliwy przez wypełnienie

Rez

m

F a

g

a

4 4 0

'AB

e'A

AB

eCA d

D

d

Sh

da

e 4

52


Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków wnikania masy c.d.

A2) Ruch wymuszony laminarny

= Re; l1 = d; wykładnik potęgowy D 0

Sh C ScA B

Re

d

H

D

Wykładniki potęgowe tego równania:A; B oraz D są sobie równe: A = B = D ipodobnie jak stala C równania sąfunkcją iloczynu:

H

dScRe

Wzór szczegółowy

Sh C ScA B

Re

d

H

D

13ScRe

H

d

Sh 1.62 Sc1/3 1/3

Re

/d

H

1 3

dla:

Sh 0.5 Sc

Re

d

H

54ScRe .H

d

53


dla:

ShSc;Π;1

D

l

Lf

Równanie ogólne

gdzie: l1 - wymiar poprzeczny; L - wymiarpodłużny.

Szczegółowe postaci równania kryterialnego dla przypadków wnikania masy c.d.

B1) Spływ cieczy po ścianie pionowej

W przypadku pionowej ściany większość spływów cieczy mieści się w zakresieprzepływu laminarnego.

; l1 = z; 21004

ReΠ z

'AB

z'A

zSh [m]

3330

2

2

.

z

g

Sh C SczB

D

Rez

A z

h

C = 0.725; A = 0.333; B = D = 0.5

a

gRe c

z0

1ed

adla najczęściej definiowanej średnicy ekwiwalentnej:

B11) Spływ grawitacyjny cieczy po wypełnieniu

Sh C SczB Rez

A C; A; B – w lit.; D = 0

54


B2) wnikanie masy w konwekcji naturalnej

= V = yA; l1 = z;

z

AB

M

MM

D

zBA

hC

ScVSh z

A = B = i; D = 1 - 3i

Stała C oraz wykładniki równania zależne od rzędu wartości iloczynu: X

-3

z

hX

ScV

55


AzAzAAA SSZZN 21

1

AA A Az

NZ Z Z

2

AA Az A

NS S S

Z

21

56

Ruch masy Przenikanie masy

Rozważmy przenikanie masy między dwoma płynami (rdzeniami 2 faz) przy założeniu, że transport masy jest ustalony. Przedstawmy oba stadia ruchu masy (oddawania i pobierania) przy pomocy równań (oba równania to równania Newtona na wnikaniemasy):

Obliczając spadki stężenia (siły napędowe) w każdym z procesów cząstkowych (wnikań) otrzymamy:

Faza 1

Faza 2

1

AA A Az

NZ Z Z

2

AA Az A

NS S S

Następnym krokiem jest zsumowanie w/w sił napędowych w celu obliczenia sumarycznej siły napędowej przenikania masy:

i okazuje się, że nie można tego zrobić, ponieważ obliczone siły napędowe wnikania masy po obu stronach powierzchni międzyfazowej są wyrażone inaczej (rodzajem stężenia dla fazy 1 oraz odpowiednio rodzajem stężenia dla fazy 2).

???A AZ S

Z

57


58

PRZYKŁAD:


???

ponieważ kmol /kmol fazy kmol /kmol fazy

A A A AZ S y x

A A

1 2

kmol fazy 1 kmol fazy 2np. kmol mieszaniny gazów a kmol roztworu wodnego

Czyli siła napędowa procesu przenikania masy = ???

( const)

( const)

( const)

lub

*A

T , p

A

*T , p A A

*A

A

T , p

ZK

S

K S Z

ZS

K

* *

1 2

1A A A A A A A Az z z z A

nZ Z S S Z Z Z Z N

* * * *

1 2

1 1A A A A A A A Az z z z AS S S S S S S S N

n

Dopiero zamiana stężenia fazy 1 na równowagowe stężeniefazy 2 lub odwrotnie (poprzez równanie równowagi termodynamicznej) pozwala na w/w sumowanie. Otrzymuje się rzeczywistą siłę napędową przenikania masy w postaci:

lub

n - zamiennik stężeń

59

?

?

*

A Az A AN k Z Z

21

11

n

kAz

*

A As A AN k S S

21

111

nkAs

Stężenie przy zwierciadle jest i musi być po przeliczeniuidentyczne w obu fazach. *

AzAz SS *AzAz ZZ lub

lub

gdzie: lub

Po odwróceniu równania:

Szybkość przenikania masy


?

?

60

WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU TERMODYNAMICZNEGO

Proces termodynamiczny zachodzi dopóty, dopóki układ nie osiągnie stanurównowagi.W stanie równowagi odpowiedni potencjał termodynamiczny układu osiągaminimum, podczas gdy entropia układu i otoczenia osiąga maksimum.W szczególności: kiedy entropia (S) i "zewnętrzne parametry" (np. objętość)zamkniętego układu termodynamicznego są stałymi parametrami przemiany,energia wewnętrzna (U) maleje i osiąga minimalną wartość w punkcie równowagi.Wynika to z pierwszej i drugiej zasady termodynamiki i jest nazwane zasadąminimum energii. Kiedy temperatura (T) i/lub stężenie oraz inne zewnętrzneparametry zamkniętego układu termodynamicznego są stałe w czasie, energiaswobodna Helmholtza (F) maleje i osiąga minimalną wartość w punkcierównowagi.

Ruch masy Równowaga termodynamiczna

*A AZ f S

61

Skąd się wziął zamiennik stężeń n?:

( const) ( const)

dconst.

d

* *A A

T , p T , p

A A

Z Zm K H

S S

Zamiennik n rozpatrujemy na razie tylko dla tego, uproszczonegoprzypadku, gdy linia równowagi jest prostą: m = tg nachylenia K = n


dtg

d

*A

A

Zm

S

Nachylenie linii równowagi - styczna do funkcji - 1-wsza pochodna)

0

62

2

1A A Az AS S S N

1 2

1* *A A A A A A A A A Az z z z A

nZ Z S S Z Z Z Z N*Z Z

Przykład W przypadku zamiany stężenia S na Z – odwracamy równanie Newtona

na szybkość wnikania masy w fazie S

2

* *A Az

A A

Z Z nn S n N

n n

Mnożymy równanie stronami przez noraz przeliczamy przez równowagę stężenie S

62

Opuszczamy nawias i siłę napędową wnikania podstawiamy do obliczenia siły napędowej przenikania masy

2

* *A A A Az

nn S Z Z N

* *A AA Az

n S Z Z Z


Skąd się wziął zamiennik stężeń n?:

2 A AA zN S S

𝐾(𝑇 , 𝑝 = const) =𝑍𝐴∗

𝑆𝐴= n

𝑍𝐴∗

𝑛= 𝑆𝐴

Zamiennik stężeń n we wszystkich przypadkach (rodzajach dyfuzji – rodzajach przenikania masy) wyraża się wzorem ogólnym:

Dla przypadków przenikania masy (dyfuzji) - 1): oraz 3):

Dla przypadku przenikania masy (dyfuzji) - 2): n = m

We wszystkich przypadkach, gdy stężenie jest niskie: n m

a gdy w równowadze obowiązuje prawo Henry’ego: n = K = H

63( const) *A T , p A AZ K S H S


Zamiennik stężeń n

𝑛 = m𝑆𝑓

𝑍𝑓∗ = m

1 + 휀𝐴 𝑆𝐴1 + 휀𝐴 𝑍𝐴

∗gdzie:

- nachylenie linii równowagi w danym przekroju wymiennika masy.

m =d 𝑍𝐴

∗

d 𝑆𝐴

𝑛 = m1 − 𝑆𝐴1 − 𝑍𝐴

∗

Korzystając z istoty równowagi międzyfazowej, która wiąże ze sobąstężenia w obu fazach możemy zdefiniować siłę napędową przenikania masy w dwojaki sposób:

* AA A

Az

N

kZ Z

* AA A

As

N

kS S

64

POWTÓRZENIE - Siła napędowaprzenikania masy to różnica stężenia (jednego rodzaju stężenia!) składnika kluczowego

ZA = lub SA =

między rdzeniem fazy 1 a rdzeniem fazy 2.

*AA ZZ A

*A SS

Powtórzenie

przenikanie masy przenikanie masy

ZA

NA

x1z

rdze

ń f

azy

2


gaz

rdze

ń fazy 1

x2

Z*Az

SAz

ZAx

SAx

SA

konwekcja masykonwekcja masy

wnikanie masy 2wnikanie masy 2 wnikanie masy 1wnikanie masy 1

S*

A

ZAz

Z*A

S*

Az


21

11

n

kAz

21

111

nkAs

TOK OBLICZEŃ WYMIENNIKA MASY

Zaprojektować wymiennik masy to obliczyć powierzchnię wymiany masy A jakąnależy rozwinąć w wymienniku z odwróconego równania Newtona na strumieńprzenikającej masy:

Przedyskutujmy wpływ poszczególnych parametrów występujących po prawej stronie tego równania na wielkość powierzchni przenikania masy jaką należy rozwinąć w wymienniku aby obliczona z bilansu masy ilość masy (licznik!) się na drodze przez wymiennik wymieniła.

im

A

im

AA

S

S

Z

Z

Moduł napędowy przenikania masy

zgodny z jego definicją

65

bilans(bilanse)masy

kinetyka transportu masy

statyka (termodynamika) procesu

równanie przenoszenia pedu


𝑚•

𝐴

𝑘𝐴𝛥𝜋𝐴,𝑍=

𝑚•

𝐴

𝑘𝐴𝛥𝜋𝐴,𝑆𝐴 =

𝑚•

𝐴

𝑘𝐴𝑍𝛥𝑍𝐴=

𝑚•

𝐴

𝑘𝐴𝑆𝛥𝑆𝐴=

lub lublub

przeciwprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

współprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

1 1 2 1 2 1 2A A A A A Am Z Z Z S S

przeciwprąd

1 1 2 1 2 2 1A A A A A Am Z Z Z S S

współprąd

*

A A xZ Z *

A A xS S

6666

1) Strumień masy wynika z rozwiązania jednego z równań bilansu masowego wymiennika, gdzie: indeksy 1 i 2 określają skrajne przekroje wymiennika - wlot i wylot; 2) 1, 2 - to pojemności masowe danej fazy.3) Jeśli różnica stężenia ZA po lewej stronie r-nia jest dana jako tzw. dana technologiczna to zapis nawiasu (kolejność stężenia w różnicy) po prawej stronie r-nia jest zależna od kierunku wzajemnego przepływu faz.

Am

Ruch masy Przenikanie masyTOK OBLICZEŃ

I wymiarowo:

21][kg][kg AA ZZs/is/A PYTANIE:Przez jaki wymiar stężenia należy pomnożyćprawą stronę równania aby wymiary obu stron równania były zgodne?

][kg][kg s/is/A ][?

Przez pojemność masową danej fazy należy rozumieć takie natężenie przepływu:całości danej fazy lub takiej jej części - aby parametr ten był stały! na drodze przezwymiennik.Rozważmy przypadki szczególne, zależne od rodzaju przenikania (dyfuzji) masy:

A i iA A A Am m Z Z m S S

1 21 2 1 2 np. przepływ w [kgA/s]

Dla przenikania masy (dyfuzji) - 1): oraz 3) rodzaju - w tym przypadku jedynie przepływ masowy inertów jest stały na drodze przez wymiennik i staje siędogodną wartością odniesienia. Ułóżmy następujące, szczegółowe równanie bilansu masy:

1 21 2;i im m

67

Ruch masy TOK OBLICZEŃ

I wymiarowo:

21][kg][kg AA ZZs/is/A

][kg][kg s/is/A ]kg[kg i/A

Wymiar stężenia wskazuje na stosunek masowy

POWTÓRZENIE: Użycie w tym przypadku przenikania masy (dyfuzji) – 1; 3)jako konkretnego rodzaju stężenia stosunków molowych lub masowychpozwala na proste i poprawne zbilansowanie wymiennika masy.

212211 AAiAAiA SSmZZmm

[kgA/s]

POWTÓRZENIE - przestrzeganie powyższych zasad prowadzi do obliczeń(budowy) modelu dynamiki) wymiennika masy przy użyciu konkretnegorodzaju stężenia, zależnego od rodzaju dyfuzji, we wszystkich stadiach obliczeń!

A A A iW U m m ]kg[kg i/A

68


I wymiarowo:

21][kmol][kmol AA ZZs/s/A

][kmol][kmol s/s/A ][?

212211 AAAAA SS'mZZ'm'm

[kmolA/s]

Dla przenikania masy (dyfuzji) - 2) - w tym przypadku jedynie przepływmolowy całej fazy jest stały na drodze przez wymiennik i staje się dogodnąwartością odniesienia. Ułóżmy następujące, szczegółowe równanie bilansumasy:

1 1 2 2' ; 'm m

69


PYTANIE:Przez jaki wymiar stężenia należy pomnożyćprawą stronę równania aby wymiary obu stron równania były zgodne?

I wymiarowo:

21][kmol][kmol AA ZZs/s/A

][kmol][kmol s/s/A kmol][kmol /AWymiar stężenia wskazuje na ułamek molowy

POWTÓRZENIE: Użycie w tym przypadku przenikania masy (dyfuzji) – 2) jakokonkretnego rodzaju stężenia ułamków molowych pozwala na proste i poprawnezbilansowanie wymiennika masy.

212211 AAAAA SS'mZZ'm'm

[kmolA/s]

A A Ay x n n kmol][kmol /A

70


POWTÓRZENIE - przestrzeganie powyższych zasad prowadzi do obliczeń(budowy) modelu dynamiki) wymiennika masy przy użyciu konkretnegorodzaju stężenia, zależnego od rodzaju dyfuzji, we wszystkich stadiach obliczeń!

Równanie linii operacyjnej (ruchowej) wymiennika masy

Równanie bilansu masowego jest układem dwóch równań.Jeśli wprowadzimy do bilansu dane technologicznewymiennika masy to można rozwiązać w całości jedno zrównań bilansu masy (np. lewą jego stronę).Po prawej stronie r-nia pozostaną i tak co najmniej 2niewiadome np.: 2 oraz SA1 na wylocie fazy 2 (czyli mamy 1r-nie i 2 niewiadome!). Należy więc założyć jedną z tychniewiadomych jako zmienną niezależną – najczęściejzakładamy SA2 .

PYTANIE – W jakim zakresie wartości mogą się zmieniać parametryrównania bilansu masowego (przepływy, stężenia) aby bilans miał sensnie tylko matematyczny - ale przede wszystkim fizyczny?

1 1 2 2 1 2A A A A Am Z Z S S

PRZYKŁADBilans masy dla przeciwprądu

71


przeciwprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

?

?

1 1 2 1A A Ax A Axm Z Z S S

A stąd po przekształceniu i opuszczeniu indeksu x:

11

1

2

1

2AAAA ZSSZ

- równanie linii ruchowej (operacyjnej) dla przeciwprądu

Bilans masy obowiązuje ZAWSZE! tzn. nie tylko w skrajnych przekrojachwymiennika (1) oraz (2). Obowiązuje również między wlotem (1) a dowolnymprzekrojem wymiennika (x):

11

1

2

1

2AAAA ZSSZ

- równanie linii ruchowej dla współprądu

W obu przypadkach jest to równanie prostej operacyjnej wymiennikawiążącej ze sobą pary stężeń rzeczywistych w obu fazach

występujących obok siebie w dowolnym przekroju wymiennika. Przeniesienie jejprzebiegu na wykres i porównanie z przebiegiem linii równowagi pozwalawyznaczyć następujące wielkości:

A AZ a S b

7272

indeks x opuszczono uzmienniając ZA i SA



przeciwprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

Przykład dla przeciwprądu

Po naniesieniu danych technologicznychna wykres należy wrysować przebieglinii operacyjnej. Dla przeciwprąduznamy współrzędne przekroju (2) iwiemy, że linia przechodzi przez tenpunkt. Nie znamy tangensa kątanachylenia linii operacyjnej.Doprowadzamy do przecięcia się liniioperacyjnej z linią równowagi wprzekroju (1’). Pozwala nam to znaleźćwartość:

tgamin = 2 min

1

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

ZA1

ZA

SA

ZA2

2

SA2

S*A1

1’

amin

Położenie przekroju (1’) jest hipotetyczne (nie istnieje!) DLACZEGO?

Następnie należy odsunąć linię operacyjną od linii równowagi poprzez wzrost wartości tangensa nachylenia tej linii.

11

1

2

1

2AAAA ZSSZ

73



PYTANIE – Dlaczego należy odsunąć linię operacyjną od linii równowagipoprzez wzrost wartości tangensa nachylenia linii operacyjnej?

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

ZA1

ZA

SA

ZA2

2

S*A1

1’

amin

1

SA1

arz

ODPOWIEDŹ –W każdym przekroju wymiennika od wlotu do wylotu musi istnieć siła napędowa ruchu (przenikania) masy:

W położeniu minimalnym siła napędowa jestrówna 0 w przekroju (1’).W położeniu rzeczywistym (1) w każdymprzekroju jest dodatnia, a im większa wartość tgnachylenia prostej operacyjnej tym większa jejwartość.

*AA ZZ > 0 lub

AA S*S > 0

ZA1

SA1

SA2

tg a = z tg amin (z > 1) przeciwprąd

(2)

(1)

21

ZA2 SA2

SA1ZA1

x

*

A A xZ Z

Przykład dla przeciwprądu 7474



11

1

2

1

2AAAA ZSSZ

Przykład dla współprądu

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

ZA

SA

ZA1

ZA2

amin

SA1

1 2’

S*A2SA2

2

arz

Dla współprądu znamy współrzędneprzekroju (1) i wiemy, że liniaprzechodzi przez ten punkt. Nieznamy tangensa kąta nachyleniaprostej ruchowej. Doprowadzamydo sytuacji przecięcia się liniioperacyjnej z linią równowagi wprzekroju (2’). Pozwala nam toznaleźć wartość:

tgamin = 2 min

1

W położeniu minimalnym siła napędowa jest równa 0 w przekroju(2’). W położeniu rzeczywistym (2) w każdym przekroju jest dodatnia,a im większa wartość tg nachylenia prostej operacyjnej tym większajej wartość.

*AA ZZ > 0 lub

> 0AA S*S

tgarz = z tgamin (z > 1).

SA1

ZA1

75


współprąd

(1)

21

ZA2 SA2

SA1

x

(2)

ZA1

Przypadki zanikania oporu wnikania masy w jednej fazie

I na odwrót!

Jednym z dwóch sposobów wpływania na szybkość (powierzchnię) procesuprzenikania masy jest tworzenie takich warunków prowadzenia procesu, abyzanikł jeden z oporów wnikania masy. W odróżnieniu od ruchu ciepła takieprzypadki, w których opór wnikania w jednej z faz zanika, występują często. Jeślinp.:

11

10

a szybkość przenikania masydąży do szybkości wnikania w fazie 2: AAzA SSN 2

to

2

11

Ask

?? ??

A A

Az A As A

m mA

k Z k S

Zaprojektować wymiennik masy to równieżzooptymalizować (zminimalizować ) powierzchnięprzenikania masy.Aby tego dokonać można jedynie maksymalizowaćmianownik prawej strony równania.

76


A Az A Az AZ Z N S S 1 20

Aby NA miało wartość skończoną to:

Obliczanie wartości siły napędowej przenikania masy

Na przedstawionych poprzednio wykresach przebiegu linii ruchowej wobec liniirównowagi można stwierdzić zmienność siły napędowej przenikania masyna drodze przez wymiennik. Należy więc:

1. operować średnią siłą napędową (lub modułem napędowym) przenikaniamasy

2. maksymalizować średnią siłą napędową przenikania masy poprzezzwiększanie tg nachylenia linii operacyjnej

Ad. 1. Należy określić wartość Zam (SAm). Do rozwiązania tego zagadnienianależy użyć modelu dynamiki wymiennika masy w formie różniczkowej:

AA Zm dd 1

*AAAzA ZZAkm

dd- szybkość przenikania masy : :

Wyznaczamy powierzchnię przenikania masy : d

d A

*Az A A

mA

k Z Z

- bilans masowy dla jednej z faz np. 1:

77


1 1 2 1A A A Am Z Z Z

Podstawiamy wymienioną masę w liczniku obliczając ją z bilansu masowego::

d d

dA A

*AAzAz A A

Z ZA

k Zk Z Z

1 1

2

11

d

AAz

A

Zk

ZA

Całkujemy r-nie otrzymując całkowitą powierzchnię wymiany masy::

Całkujemy bilans masowy aby obliczyć całkowitąwymienioną masę:

2

11 d AA Z m

Dodajemy r-nie, do którego dążymy w zamyśle: AZZkm m*AAAzA

Podstawiamy całkowitą powierzchnię wymiany masy oraz przyrównujemy dosiebie prawe strony równań (masa):

2

11

2

11 d

dA

AAz

Am

*AAAzA Z

Zk

ZZZkm

Obliczamy średni iloczyn: d

d

A*

Az A A Az A mmA

Az A

Z

k Z Z k ZZ

k Z

2

11

2

11

??

A

Az A

mA

k Z

78 78



d( )

d d

A* A A

A A Amm

A A

*A A A

ZZ Z

Z Z ZZ Z

Z Z Z

2

1 212 2

1 1

dla kAz = const.

dla linii równowagi będącej prostą

(prawo Henry’ego):

2

1

21

lnAAz

AAz

AAzAAzmAAz

Zk

Zk

ZkZkZk

lub:

2

1

21

lnA

A

AA

mA

Z

Z

ZZZ

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

ZA

SA

ZA1

ZA2

SA1

1

S*A2SA2

2

S*A1

SA1

SA2

ZA1

ZA2

?I

II

III

AmA A

A

A

1 2

1

2

ln

Przejście na moduł napędowy

przenikania masy

Jest to, jak wiemy, bardzo proste!

gdzie: to siły napędowe na wlocie i wylocie21,AZ

79 79



PYTANIE 1 – Dlaczego należy odsunąć linię operacyjną od linii równowagipoprzez wzrost wartości tangensa nachylenia linii operacyjnej?

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

ZA1

ZA

SA

ZA2

2

S*A1

1’

amin

Przykład dla przeciwprądu

*AA ZZ > 0 lub

AA S*S > 0

Maksymalizacja siły napędowej przenikania masy

2

1

Rośnie tga = Rośnie SA

lub ZA

Rośnie SAm

lub ZAm

PYTANIE 2 – Gdzie leży granicawzrostu siły napędowej?

1b 1a

SA1a

SA1

ZA1

SA1b

80


Do rozwiązania tego zagadnienia należy użyć modelu dynamiki wymiennika masy w formie różniczkowej:

AA Zm dd 1

- bilans masowy dla jednej z faz np. 1:

*AAAzA ZZAkm

dd- szybkość przenikania masy:

gdzie: F - przekrój poprzeczny pustego aparatu; a - powierzchnia wymiany masy(właściwa) w 1m3 aparatu; d h - różniczkowa wysokość.

- powierzchnia kontaktu międzyfazowego: d A = a F d h

W ruchu masy ustalonym, przyrównanie obu równań do siebie:

*AAAzAA ZZAkZm

ddd 1

Rozdzielenie zmiennych i całkowanie otrzymanego równania w granicach: wysokośćh = 0 do H; oraz stężenie ZA od ZA 1 do ZA 2

Metoda wyznaczania wysokości (czynnej!) wymiennika masyza pomocą wysokości jednostkowej oraz liczby jednostek przenikania masy

81


:

0101

2

1

1 NHZZ

dZ

FakH

*AA

A

Az

gdzie:

- wysokość jednostkowa przenikania masy: [m];

- ilość jednostek przenikania masy – analog siły napędowej:

FakH

Az

101

2

101 *

AA

A

ZZ

ZdN

Analogicznie dla siły napędowej: 𝑆𝐴∗ - 𝑆𝐴

*AAAzAA ZZAkZm

ddd 1

82


Metoda wyznaczania wysokości (czynnej!) wymiennika masyza pomocą wysokości jednostkowej oraz liczby jednostek przenikania masy

Podstawienie r-nia na powierzchnię wypełnieniaoraz wynik całkowania :

Patrz całka w mianowniku r-nia– slajd 79

Równoczesny ruch ciepła i masy

Najpewniejszym sposobem postępowania w takim przypadku jestzbudowanie takiego modelu kinetyki rozpatrywanego procesujednoczesnego ruchu ciepła i masy, aby rozpatrzyć oba procesyprzebiegające obok siebie szeregowo lub równolegle oraz aby wpływ jednegoprocesu na drugi zostały w tym równaniu uwzględnione w zależnościach:• między współczynnikami wnikania ciepła oraz masy,lub• między siłami napędowymi ruchu ciepła oraz masy.

83

Zależność między współczynnikami wnikania ciepła oraz masy

Zależność tę wyprowadzamy porównując ze sobą niezależne równania kryterialnena wnikanie ciepła oraz masy w danym przypadku wnikania.Dla przykładu porównanie ze sobą przypadków wnikania ciepła oraz masy dlaprzepływu burzliwego w rurze:

dla wnikania ciepła: Nu C A B Re Pr

dla wnikania masy: Sh C ScA B Re

Tworzymy stosunek powyższych równańi otrzymujemy:

BB

LuSc AiAiA

Pr

gdzie: Lu - liczba Lewisa

Lewis udowodnił, że dla układu woda-para wodna-powietrze, występującegonp. w procesie suszenia, wartość liczby jest równa cH ciepłu wilgotnemupowietrza (pojęcie omawiane w teorii procesu suszenia).

AHc

84


Zależność między siłami napędowymi wnikania ciepła oraz masyOmawiane dla przypadku desorpcji pary wodnej

W omawianych przypadkach między siłami napędowymi wnikania ciepła orazmasy istnieje następująca zależność:ZA = f (T) = T

2m

*AmAm

TmRL

Yrgdzie:

Równania ogólne kinetyki jednoczesnego wnikania ciepła oraz masy

indeks m - wartość średnia w średniej temperaturze Tm; m* = MA/Mi; rA - ciepłoparowania; YA - stosunek masowy pary w fazie gazowej; R - stała gazowa; L - cieplnyrównoważnik pracy mechanicznej.

Proces wnikania ciepła do jakiejś powierzchni, w tym przypadku powierzchnimiędzyfazowej ujmujemy równaniem podstawowym:

d T = dA T

Q

Masa pary, która wnika do fazy gazowej pod wpływem dostarczonego ciepła: d A = A dA A

m

Ta masa pary niesie ze sobą ilość ciepła daną równaniem bilansowym:

d p = dmA iAg

Q85 85


gdzie: znak wprowadzono, aby wzór był ogólny, obejmujący przypadki kierunkuruchu masy w stosunku do ruchu ciepła; znak + to dotychczas omawiany przypadekwspółprądowego ruchu ciepła i masy; znak - to przypadek przeciwprądowego ruchuciepła i masy (w suszeniu znak −).

Dwa warianty równań końcowych:

Podstawiając oba równania dotyczące masy do siebie

otrzymujemy:d p = A dA A iAg

Q

Teraz możemy zsumować oba strumienie cieplne otrzymując wzór na strumieńciepła przy jednoczesnej wymianie ciepła i masy:

d = d T + d p = dA ( T A A iAg)

Q

Q

Q

- od strony ruchu ciepła,*d d 1 dAQ A i T A T

* 1 AT i T

- od strony ruchu masy.*d d dA

A A A A Am A i A

* A A Ai

86



Zbierzmy w nową stałą wszystkie parametry stałe lub słabozmienne:

AmmA Yi

gdzie: patrz slajd nr 85 – definicja i porównaj z 2m

*AmAm

mTmRL

ir

Wprowadzając liczbę m do obu wariantów równań końcowychotrzymamy:

- od strony ruchu masy.AAAmm

AA iY

Am

11

d d

- od strony ruchu ciepła, TYAQ Amm

1d d

W końcuoznaczmy:

Amm* Y1

AAAmm

A*A

Y

1

1

i przedyskujmy powyższe zależności:

dla Yam 0; 1; *

dla Yam ; A 1; * 87



Siła napędowa

T A ZA

Równanie kinetyczne

Moduł dla współczynnikaciepła

równoczesnego wnikania

i masy

Nu* = Nu Sh* = Sh A

Moduły charakteryzujące transporcie

rolę ruchu masy w

ciepła

TAQ * d d

A*AA Am d d

AmmY 1

1

1

AmmA

Y

88



DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

89

Wykład II Ruch masy...Wykład II Ruch masy Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej Wydział...

Documents

Transcript of Wykład II Ruch masy...Wykład II Ruch masy Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej Wydział...