Wstęp do Teorii Gier

Dzielenie ciastka

Handlowanie z sekwencyjnymi ofertami (alternating offers bargaining)

• Dwóch graczy, Adam i Bartek negocjują ile kto dostanie ciastka wielkości 1

• W czasie 0, Adaś składa Bartkowi ofertę – Jeśli Bartek zaakceptuje, Adaś dostanie , a Bartek– Jeśli Bartek odrzuci, wtedy:

• W czasie 1, Bartek składa Adasiowi ofertę– Jeśli Adaś zaakceptuje, Bartek otrzymuje , a Adaś – Jeśli Adaś odrzuci, musi złożyć następną ofertę w czasie 2

• Proces trwa dopóki któryś z nich nie zaakceptuje• Ponieważ chłopcy są niecierpliwi, okresowe dyskonto

wynosi

Stacjonarna równowaga bez opóźnień

• Bez opóźnień – wszystkie oferty równowagi są zaakceptowane

• Stacjonarne – Oferty równowagi nie zależą od czasu

Niech będzie ofertami równowagi– Co Bartek oczekuje dostać jeśli odrzuci ofertę

Adasia? – A zatem w równowadze:

– I podobnie dla Adama:

Niecierpliwość czy naturalne prawa natury?

Stacjonarna równowaga bez opóźnień

• Istnieje góra jedna równowaga stacjonarna bez opóźnień• Trzeba jeszcze udowodnić, że w ogóle istnieje taka równowaga• Rozważmy następujące strategie:

• Gracz A: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jeśli

• Gracz B: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jesli

Stacjonarna równowaga bez opóźnień

• Jednorazowe odstępstwo - one-shot deviation - od strategii s w podgrze jest strategią, która różni się od s tylko jedną akcją dla początkowego wierzchołka tej podgry

• Zasada jednorazowego odstępstwa – one-deviation property – profil strategii jest SPNE wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z graczy nie posiada zyskownego dla siebie jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze:– Zasada ta zachodzi dla gier nieskończonych jeśli spełnione są

pewne warunki– Na szczęście te warunki spełnione są przez naszą grę

Stacjonarna równowaga bez opóźnień• Udowodnimy, że poniższy profil strategii jest SPNE:

• Trzeba pokazać, że żaden gracz nie ma zyskownego jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze

• Podgry zaczynające się od oferty Adasia:– Jeśli Adaś zaoferuje

• Bartek zaakceptuje• Ale Adasia wypłata będzie niższa niż w równowadze

– Jeśli Adaś zaoferuje• Bartek odrzuci i zaoferuje• Adaś zaakceptuje, ale jego wypłata będzie mniejsza

• Podgry zaczynające się od Adasia odpowiadającego na oferty Bartka:– Jeśli Adaś odrzuci ofertę

• On zaoferuje i jego wypłata będzie– Jeśli Adaś zaakceptuje ofertę

• Wtedy też nie jest to opłacalne

• Podobnie strategia Bartka jest optymalna w każdej podgrze

• Zatem udowodniliśmy, że profil strategii jest SPNE

Stacjonarna równowaga bez opóźnień

• Ariel Rubinstein (1982) pokazał, że to jest jedyna równowaga doskonała w podgrach (SPNE) jeśli chłopcy są niecierpliwi (choćby minimalnie)– Ta równowaga jest również efektywna

• Siła negocjacyjna (bargaining power)– Kawałek dla Adasia

– Kawałek dla Bartka– Kto bardziej cierpliwy, ten więcej dostanie

• A co jeśli są jednakowo cierpliwi?– Korzyść pierwszego, ale ona znika dla

Stacjonarna równowaga bez opóźnień

Prisoners’ dilemma – how to get cooperation?

Equivalent to:

Where T>R>U>S and R≥(S+T)/2R – reward, S – sucker, T – temptation, U - uncooperative

Goal: get cooperation

Nash equilibrium

Pareto optimum

Cooperate DefectCooperate (R,R) (S,T)

Defect (T,S) (U,U)

A BA (0,0) (-2,1)B (1,-2) (-1,-1)

Get cooperation in prisoners’ dilemma

• Three ways:– Iterated game– Meta-game– Experiments

1 – Iterated game

• In most real situations, the game is played many times

• Suppose we play the game N times:– Domino effect: solve by backward induction

• Two ways to overcome domino effects:– Real players rarely conform to strict rationality– We don’t know how many games we are gonna play

• Suppose, p is the probability of next iteration. We play the first game with probability 1, the next with probability p, the second next with probability p2, etc.

1 – Iterated game• Grim trigger strategy (GTS):

– Play C in the first game– If your opponent played C always before, play C– If your opponnet ever deviated in the past, play D

• Suppose that my opponent plays GTS.– If I play always C, I will get– If I play first m times C and then D, I will get

1 – Iterated game

• So I should never play D, if for any m:

• Which is equivalent to:

• Example

A BA (0,0) (-2,1)B (1,-2) (-1,-1)

2 – Meta-game• 1 Level: Mrs Column makes her decision dependent on her

expectation of what strategy will Mr Raw choose1. Choose A independent on her expectation about Mr Raw’s strategy2. Choose the same strategy as she expects Mr Raw to use3. Choose the opposite strategy to what she expects about Mr Raw’s

strategy4. Choose B independent on her expectation about Mr Raw’s strategy

Pani Kolumna

A B

Wiersz

A 0 0 -2 1

B 1 -2 -1 -1

Pani Kolumna

AA AB BA BB

Wiersz

A 0 0 0 0 -2 1 -2 1

B 1 -2 1 -2 -1 -1 -1 -1

2 – Meta-game

2 Level: Mr Raw decision dependent on his predictions about Mrs Column’s strategy:

– 16 strategies e.g. AAAA – always play A; ABAB – play B if your prediction is that Mrs Column uses strategy AB or BB, otherwise play A

Mr RawBABB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate if and only if you will cooperate(this strategy weakly dominates all the others)

Mrs ColumnAB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate

A BA (0,0) (-2,1)B (1,-2) (-1,-1)

Pani Kolumna

AA AB BA BB

Pan Wiersz

AAAA 0 0 0 0 -2 1 -2 1

AAAB 0 0 0 0 -2 1 -1 -1

AABA 0 0 0 0 1 -2 -2 1

AABB 0 0 0 0 1 -2 -1 -1

ABAA 0 0 -1 -1 -2 1 -2 1

ABAB 0 0 -1 -1 -2 1 -1 -1

ABBA 0 0 -1 -1 1 -2 -2 1

ABBB 0 0 -1 -1 1 -2 -1 -1

BAAA 1 -2 0 0 -2 1 -2 1

BAAB 1 -2 0 0 -2 1 -1 -1

BABA 1 -2 0 0 1 -2 -2 1

BABB 1 -2 0 0 1 -2 -1 -1

BBAA 1 -2 -1 -1 -2 1 -2 1

BBAB 1 -2 -1 -1 -2 1 -1 -1

BBBA 1 -2 -1 -1 1 -2 -2 1

BBBB 1 -2 -1 -1 1 -2 -1 -1

3 Sposób – praktyka i Wet za wet● Robert Axelrod przeprowadził eksperyment w 1984

roku:● Specjaliści mieli napisać programy implementujące

jakąś strategię – 14 programów● Zwycięzca – Anatol Rapoport strategia Tit for Tat czyli

wet za wet● Axelrod opublikował wyniki i podał programy, które

zwalczają Tit for Tat● W drugiej rundzie udział wzięło 62 specjalistów

● .... i znowu wygrał Rapoport z niezmienionym programem

Wet za wet – Tit for tat● Wet za wet:

● W pierwszej partii zagraj NZ● W każdej następnej zagraj to, co Twój

przeciwnik zagrał poprzednim razem● 4 właściwości dobrej strategii:

● Przyjazna – zaczyna od kooperacji i nie zdradza jako pierwsza

● Odwetowa – powinna zdecydowanie karać zdradę● Przebaczająca – po ukaraniu powinna być skłonna do

dalszej kooperacji● Przejrzysta – jej decyzje spójne i łatwe do przewidzenia

Uproszczony poker• Jaś i Małgosia pod nieobecność baby

jagi grają w karty w domku na kurzej łapce:– Oboje kładą 1 cukierka na stół– Z talii złożonej tylko z asów i króli

losują po jednej karcie– Jasiu może podbić stawkę o 2 cukierki

lub spasować– Jeśli spasuje Małgosia zabiera cukierki

ze stołu– Jeśli podbije, wówczas Małgosia może

sprawdzić lub spasować– Jeśli spasuje, Jasiu zabiera całą stawkę– Jeśli sprawdzi, wówczas porównują

karty i wyższa wygrywa, w przypadku remisu dzielą stawkę po równo.

Równoważna postać strategiczna

• Jasiu podbija…– 11 zawsze– 12 tylko gdy ma asa– 21 tylko gdy ma króla– 22 nigdy

• Małgosia sprawdza…– 11 zawsze– 12 tylko gdy ma asa– 21 tylko gdy ma króla– 22 nigdy

Równoważna postać strategiczna

• Jasiu podbija…– 11 zawsze– 12 tylko gdy ma asa– 21 tylko gdy ma króla– 22 nigdy

• Małgosia sprawdza…– 11 zawsze– 12 tylko gdy ma asa– 21 tylko gdy ma króla– 22 nigdy

Dwie równowagi Nasha, dwa punkty siodłowe