Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gierN - osobowych

Konferencja Matematyczna OBLICZE 2014

Krzysztof Buczyński

9 — 11 maja 2014

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 1 / 24

Spis treściStreszczenie.1 Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych:

Czym jest teoria gier?Pojęcia.Założenia.

2 Gry koalicyjne:Pojęcia.Rozwiązania gier koalicyjnych:

J. von Neumanna oraz O. Morgensterna.Wartość Shapley’a.Rozwiązanie strukturalne.Rozwiązanie stabilne.

Uwagi.3 Gry parlamentarne i wyborcze:

Głosowanie szczere i strategiczne.Umowa reprezentacyjna.Przykłady.

4 Wnioski.Bibliografia.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 2 / 24

Streszczenie

ABSTRAKT

W referacie skupimy się na przeanalizowaniu zagadnienia teorii gier, jakimsą gry N-osobowe.

Szczególny nacisk położony zostanie na gry parlamentarne oraz możliwośćtworzenia się koalicji.

Po krótkim wprowadzeniu teoretycznym przystąpimy do zbadaniazastosowań tych gier i ich możliwych rozwiązań.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 3 / 24

Podstawowe pojęcia

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 4 / 24

Czym jest teoria gier?

Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnegozachowania w sytuacji konfliktu interesów. Wywodzi się ona z badania gierhazardowych i taka jest też jej terminologia. W drugiej połowie XX w.teoria gier zyskała matematyczną formę, a jej opis nie dotyczył już tylkoprostych gier czy konfliktów, lecz rownież złożonych problemów. Ma toodzwierciedlenie w zastosowaniu jej w ekonomii, biologii (szczególnie wsocjobiologii), socjologii, informatyce (sztuczna inteligencja) oraz naukachpolitycznych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 5 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.

Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.

Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.

Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.

Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).

Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

DefinicjaWybrane pojęcia teorii gier to:

Gra - dowolna sytuacja konfliktowa.Gracz - dowolny uczestnik gry.Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniającywszystkie możliwe sytuacje.Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w którejznalazł się gracz.Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk)w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni,wolność, wygrana polityczna itd.).Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyborustrategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie -zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku.

DefinicjaGrą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ:

G = (S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un),

gdzie S1, . . . ,Sn są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1, . . . , n, zaś

ui : S1 × . . .× Sn → R,

i = 1, . . . , n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnychgraczy.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.

Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.

Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.

Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.

W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych

UwagaWybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to :

Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacjąswojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dlakażdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niżgdyby grał oddzielnie.Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członkówkoalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grającychoddzielnie.Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przezprecyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy.Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicjioraz pozostałych jej członków.Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej.W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowaniekoalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczoneze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimyprzy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych.

aCzasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół wPolsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy(CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 7 / 24

Gry koalicyjne

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 8 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia

DefinicjaGrą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1, . . . , n} jestzbiorem graczy, zaś ν : 2N → R, zwana funkcją charakterystyczną gry,spełnia warunek ν(∅) = 0.

DefinicjaKoalicja to dowolny podzbiór K ∈ N. Liczbę ν(K ) nazywamy wartościąkoalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N.

UwagaKażdej koalicji przypisujemy jakąś wartość.Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grałindywidualnie.

DefinicjaGrę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy

∀K ,K ′∈2N(K ∩ K ′ = ∅ ⇒ ν(K ∪ K ′) ­ ν(K ) + ν(K ′)

)Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne.

DefinicjaWektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowoi indywidualnie racjonalny.a

apatrz pojęcia teorii gier N-osobowych.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 9 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnychW literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych.Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich.

J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstajekoalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jestto rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy.

Przykłada Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L – lewica, C –centrum, P – prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy,tzn.

ν(L) = ν(C ) = ν(P) = 3313%

Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiastproces ich formowania przedstawia się np. następująco:

I1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1)

H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2)

I2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3)

H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4)

I3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5)

aPietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowaniadecyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu MariiCurie-Skłodowskiej, 1997, s.104bNa temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier.

UwagaImputacje H1 oraz H2 nazywane są imputacjami heretyckimi, czylitakimi, które przeczą któremuś założeniu. W tym przykładzie zaprzeczająone oczywiście indywidualnej racjonalności.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnychW literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych.Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich.

J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstajekoalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jestto rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy.

Przykłada Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L – lewica, C –centrum, P – prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy,tzn.

ν(L) = ν(C ) = ν(P) = 3313%

Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiastproces ich formowania przedstawia się np. następująco:

I1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1)

H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2)

I2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3)

H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4)

I3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5)

aPietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowaniadecyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu MariiCurie-Skłodowskiej, 1997, s.104bNa temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier.

UwagaImputacje H1 oraz H2 nazywane są imputacjami heretyckimi, czylitakimi, które przeczą któremuś założeniu. W tym przykładzie zaprzeczająone oczywiście indywidualnej racjonalności.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnychW literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych.Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich.

J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstajekoalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jestto rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy.

Przykłada Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L – lewica, C –centrum, P – prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy,tzn.

ν(L) = ν(C ) = ν(P) = 3313%

Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiastproces ich formowania przedstawia się np. następująco:

I1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1)

H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2)

I2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3)

H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4)

I3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5)

aPietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowaniadecyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu MariiCurie-Skłodowskiej, 1997, s.104bNa temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier.

UwagaImputacje H1 oraz H2 nazywane są imputacjami heretyckimi, czylitakimi, które przeczą któremuś założeniu. W tym przykładzie zaprzeczająone oczywiście indywidualnej racjonalności.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnychW literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych.Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich.

J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstajekoalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jestto rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy.

Przykłada Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L – lewica, C –centrum, P – prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy,tzn.

ν(L) = ν(C ) = ν(P) = 3313%

Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiastproces ich formowania przedstawia się np. następująco:

I1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1)

H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2)

I2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3)

H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4)

I3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5)

aPietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowaniadecyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu MariiCurie-Skłodowskiej, 1997, s.104bNa temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier.

UwagaImputacje H1 oraz H2 nazywane są imputacjami heretyckimi, czylitakimi, które przeczą któremuś założeniu. W tym przykładzie zaprzeczająone oczywiście indywidualnej racjonalności.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Wartość Shapley’a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałejkoalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, towartość Shapley’a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jestliczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley’anazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy:

DefinicjaWartość Shapley’a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczbrzeczywistych φ(ν) = [φ1(ν), . . . , φn(ν)] spełniających aksjomaty:∑

i∈Nφi (ν) = ν(N) racjonalność grupowa, (6)

∀K∈2N(i /∈ K , j /∈ K

)⇒ ν(K ∪ i) = ν(K ∪ j) symetria = bezstronność,

(7)

ν(K ) = ν(K ∪ i)⇒ ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8)(ν ∧ ν1 : 2N → R

)⇒ φi (ν + ν1) = φi (ν) + φi (ν1) addytywność. (9)

DefinicjaWartość Shapley’a gracza i jest to współrzędna φi (ν) wartościShapley’a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze.

TwierdzenieWartość Shapley’a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jestwyznaczona jednoznacznie.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Wartość Shapley’a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałejkoalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, towartość Shapley’a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jestliczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley’anazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy:

DefinicjaWartość Shapley’a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczbrzeczywistych φ(ν) = [φ1(ν), . . . , φn(ν)] spełniających aksjomaty:∑

i∈Nφi (ν) = ν(N) racjonalność grupowa, (6)

∀K∈2N(i /∈ K , j /∈ K

)⇒ ν(K ∪ i) = ν(K ∪ j) symetria = bezstronność,

(7)

ν(K ) = ν(K ∪ i)⇒ ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8)(ν ∧ ν1 : 2N → R

)⇒ φi (ν + ν1) = φi (ν) + φi (ν1) addytywność. (9)

DefinicjaWartość Shapley’a gracza i jest to współrzędna φi (ν) wartościShapley’a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze.

TwierdzenieWartość Shapley’a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jestwyznaczona jednoznacznie.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Wartość Shapley’a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałejkoalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, towartość Shapley’a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jestliczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley’anazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy:

DefinicjaWartość Shapley’a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczbrzeczywistych φ(ν) = [φ1(ν), . . . , φn(ν)] spełniających aksjomaty:∑

i∈Nφi (ν) = ν(N) racjonalność grupowa, (6)

∀K∈2N(i /∈ K , j /∈ K

)⇒ ν(K ∪ i) = ν(K ∪ j) symetria = bezstronność,

(7)

ν(K ) = ν(K ∪ i)⇒ ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8)(ν ∧ ν1 : 2N → R

)⇒ φi (ν + ν1) = φi (ν) + φi (ν1) addytywność. (9)

DefinicjaWartość Shapley’a gracza i jest to współrzędna φi (ν) wartościShapley’a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze.

TwierdzenieWartość Shapley’a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jestwyznaczona jednoznacznie.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Wartość Shapley’a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałejkoalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, towartość Shapley’a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jestliczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley’anazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy:

DefinicjaWartość Shapley’a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczbrzeczywistych φ(ν) = [φ1(ν), . . . , φn(ν)] spełniających aksjomaty:∑

i∈Nφi (ν) = ν(N) racjonalność grupowa, (6)

∀K∈2N(i /∈ K , j /∈ K

)⇒ ν(K ∪ i) = ν(K ∪ j) symetria = bezstronność,

(7)

ν(K ) = ν(K ∪ i)⇒ ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8)(ν ∧ ν1 : 2N → R

)⇒ φi (ν + ν1) = φi (ν) + φi (ν1) addytywność. (9)

DefinicjaWartość Shapley’a gracza i jest to współrzędna φi (ν) wartościShapley’a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze.

TwierdzenieWartość Shapley’a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jestwyznaczona jednoznacznie.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Wartość Shapley’a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałejkoalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, towartość Shapley’a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jestliczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley’anazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy:

DefinicjaWartość Shapley’a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczbrzeczywistych φ(ν) = [φ1(ν), . . . , φn(ν)] spełniających aksjomaty:∑

i∈Nφi (ν) = ν(N) racjonalność grupowa, (6)

∀K∈2N(i /∈ K , j /∈ K

)⇒ ν(K ∪ i) = ν(K ∪ j) symetria = bezstronność,

(7)

ν(K ) = ν(K ∪ i)⇒ ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8)(ν ∧ ν1 : 2N → R

)⇒ φi (ν + ν1) = φi (ν) + φi (ν1) addytywność. (9)

DefinicjaWartość Shapley’a gracza i jest to współrzędna φi (ν) wartościShapley’a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze.

TwierdzenieWartość Shapley’a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jestwyznaczona jednoznacznie.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

DefinicjaIndeks siły Shapley’a-Shubika to wektor, którego współrzędne dająułamek układów, w których dany głosujący jest graczem kluczowym.

Przykład (Gra prosta - głosowanie)

Niech < N, ν >=< 10; 7, 4, 3, 2 >. Oznacza to, że aby wygrać koalicjapotrzebuje co najmniej 10 głosów. Partia A ma 7, B – 4, C – 3, D – 2.Możliwe koalicje wygrywające to : AB – 11, AC – 10, ABC – 14, ABD –13, ACD – 12 oraz ABCD – 16. A jest graczem kluczowym w 5 koalicjach(AB, AC, ABC, ABD, ACD), B w 2 (AB, ABD), C w 2 (AC, ACD), D wżadnej. Stąd ich indeksy siły Shapley’a-Shubika wynoszą:

A =59,B =

29,C =

29,D = 0.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

DefinicjaIndeks siły Shapley’a-Shubika to wektor, którego współrzędne dająułamek układów, w których dany głosujący jest graczem kluczowym.

Przykład (Gra prosta - głosowanie)

Niech < N, ν >=< 10; 7, 4, 3, 2 >. Oznacza to, że aby wygrać koalicjapotrzebuje co najmniej 10 głosów. Partia A ma 7, B – 4, C – 3, D – 2.Możliwe koalicje wygrywające to : AB – 11, AC – 10, ABC – 14, ABD –13, ACD – 12 oraz ABCD – 16. A jest graczem kluczowym w 5 koalicjach(AB, AC, ABC, ABD, ACD), B w 2 (AB, ABD), C w 2 (AC, ACD), D wżadnej. Stąd ich indeksy siły Shapley’a-Shubika wynoszą:

A =59,B =

29,C =

29,D = 0.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

DefinicjaIndeks siły Shapley’a-Shubika to wektor, którego współrzędne dająułamek układów, w których dany głosujący jest graczem kluczowym.

Przykład (Gra prosta - głosowanie)

Niech < N, ν >=< 10; 7, 4, 3, 2 >. Oznacza to, że aby wygrać koalicjapotrzebuje co najmniej 10 głosów. Partia A ma 7, B – 4, C – 3, D – 2.Możliwe koalicje wygrywające to : AB – 11, AC – 10, ABC – 14, ABD –13, ACD – 12 oraz ABCD – 16. A jest graczem kluczowym w 5 koalicjach(AB, AC, ABC, ABD, ACD), B w 2 (AB, ABD), C w 2 (AC, ACD), D wżadnej. Stąd ich indeksy siły Shapley’a-Shubika wynoszą:

A =59,B =

29,C =

29,D = 0.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstająkoalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temuużyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposóbnajbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, żekoalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1.W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodzewewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych.Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicjaprzeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiejmożliwości. Odgrywa on rolę ”języczka u wagi”.

UwagaOdgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Jużw starożytności Tukidydes napisał:

„Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców,patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nichskorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swychdawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena.”a

aIbidem, s.108.

DefinicjaGra koalicyjna nazywana jest grą koalicyjną prostą, jeżeli∀K∈2N ν(K ) ∈ {0, 1}. W grach prostych jeżeli ν(K ) = 0, to K nazywa siękoalicją przegrywającą, jeżeli ν(K ) = 1 — wygrywającą.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstająkoalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temuużyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposóbnajbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, żekoalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1.W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodzewewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych.Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicjaprzeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiejmożliwości. Odgrywa on rolę ”języczka u wagi”.

UwagaOdgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Jużw starożytności Tukidydes napisał:

„Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców,patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nichskorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swychdawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena.”a

aIbidem, s.108.

DefinicjaGra koalicyjna nazywana jest grą koalicyjną prostą, jeżeli∀K∈2N ν(K ) ∈ {0, 1}. W grach prostych jeżeli ν(K ) = 0, to K nazywa siękoalicją przegrywającą, jeżeli ν(K ) = 1 — wygrywającą.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstająkoalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temuużyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposóbnajbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, żekoalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1.W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodzewewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych.Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicjaprzeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiejmożliwości. Odgrywa on rolę ”języczka u wagi”.

UwagaOdgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Jużw starożytności Tukidydes napisał:

„Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców,patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nichskorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swychdawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena.”a

aIbidem, s.108.

DefinicjaGra koalicyjna nazywana jest grą koalicyjną prostą, jeżeli∀K∈2N ν(K ) ∈ {0, 1}. W grach prostych jeżeli ν(K ) = 0, to K nazywa siękoalicją przegrywającą, jeżeli ν(K ) = 1 — wygrywającą.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstająkoalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temuużyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposóbnajbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, żekoalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1.W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodzewewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych.Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicjaprzeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiejmożliwości. Odgrywa on rolę ”języczka u wagi”.

UwagaOdgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Jużw starożytności Tukidydes napisał:

„Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców,patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nichskorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swychdawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena.”a

aIbidem, s.108.

DefinicjaGra koalicyjna nazywana jest grą koalicyjną prostą, jeżeli∀K∈2N ν(K ) ∈ {0, 1}. W grach prostych jeżeli ν(K ) = 0, to K nazywa siękoalicją przegrywającą, jeżeli ν(K ) = 1 — wygrywającą.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Przykład (Gra na większość)

ν(K ) =

{1, dla S = N,

0, wpp.

Przykład (Gra ważonego głosowania)

ν(K ) =

{1, dla

∑i∈K wi > q,

0, wpp.

gdzie wi , i = 1, . . . , n są nieujemnymi wagami, a q > 0 jest wymaganymwarunkiem. Dla q = 1

2 ·∑i∈K

wi grę nazywamy grą ważonego głosowania

większościowego.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Przykład (Gra na większość)

ν(K ) =

{1, dla S = N,

0, wpp.

Przykład (Gra ważonego głosowania)

ν(K ) =

{1, dla

∑i∈K wi > q,

0, wpp.

gdzie wi , i = 1, . . . , n są nieujemnymi wagami, a q > 0 jest wymaganymwarunkiem. Dla q = 1

2 ·∑i∈K

wi grę nazywamy grą ważonego głosowania

większościowego.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Przykład (Gra na większość)

ν(K ) =

{1, dla S = N,

0, wpp.

Przykład (Gra ważonego głosowania)

ν(K ) =

{1, dla

∑i∈K wi > q,

0, wpp.

gdzie wi , i = 1, . . . , n są nieujemnymi wagami, a q > 0 jest wymaganymwarunkiem. Dla q = 1

2 ·∑i∈K

wi grę nazywamy grą ważonego głosowania

większościowego.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce’a. Zakłada się, że niewszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęciezbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nieuznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków grykoalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowodochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd.Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partiepostsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma „zdolności koalicyjnej”.

DefinicjaPodział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że:∑

i∈Kxi ¬ ν(K ) oraz ∀i∈K xi > yi .

Oznaczenie : x ∼ y .

DefinicjaZbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli:

1.x ∈ V , y ∈ V ⇒ x � y wewnętrzna stabilność.

2.z /∈ V∃x∈V x ∼ z zewnętrzna stabilność.

UwagaW danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończeniewiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiadażadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono„życiowej”interpretacji dla tego zjawiska.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce’a. Zakłada się, że niewszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęciezbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nieuznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków grykoalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowodochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd.Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partiepostsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma „zdolności koalicyjnej”.

DefinicjaPodział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że:∑

i∈Kxi ¬ ν(K ) oraz ∀i∈K xi > yi .

Oznaczenie : x ∼ y .

DefinicjaZbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli:

1.x ∈ V , y ∈ V ⇒ x � y wewnętrzna stabilność.

2.z /∈ V∃x∈V x ∼ z zewnętrzna stabilność.

UwagaW danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończeniewiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiadażadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono„życiowej”interpretacji dla tego zjawiska.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce’a. Zakłada się, że niewszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęciezbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nieuznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków grykoalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowodochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd.Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partiepostsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma „zdolności koalicyjnej”.

DefinicjaPodział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że:∑

i∈Kxi ¬ ν(K ) oraz ∀i∈K xi > yi .

Oznaczenie : x ∼ y .

DefinicjaZbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli:

1.x ∈ V , y ∈ V ⇒ x � y wewnętrzna stabilność.

2.z /∈ V∃x∈V x ∼ z zewnętrzna stabilność.

UwagaW danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończeniewiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiadażadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono„życiowej”interpretacji dla tego zjawiska.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce’a. Zakłada się, że niewszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęciezbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nieuznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków grykoalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowodochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd.Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partiepostsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma „zdolności koalicyjnej”.

DefinicjaPodział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że:∑

i∈Kxi ¬ ν(K ) oraz ∀i∈K xi > yi .

Oznaczenie : x ∼ y .

DefinicjaZbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli:

1.x ∈ V , y ∈ V ⇒ x � y wewnętrzna stabilność.

2.z /∈ V∃x∈V x ∼ z zewnętrzna stabilność.

UwagaW danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończeniewiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiadażadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono„życiowej”interpretacji dla tego zjawiska.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych

Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce’a. Zakłada się, że niewszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęciezbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nieuznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków grykoalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowodochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd.Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partiepostsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma „zdolności koalicyjnej”.

DefinicjaPodział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że:∑

i∈Kxi ¬ ν(K ) oraz ∀i∈K xi > yi .

Oznaczenie : x ∼ y .

DefinicjaZbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli:

1.x ∈ V , y ∈ V ⇒ x � y wewnętrzna stabilność.

2.z /∈ V∃x∈V x ∼ z zewnętrzna stabilność.

UwagaW danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończeniewiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiadażadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono„życiowej”interpretacji dla tego zjawiska.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 15 / 24

Uwagi

Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych –poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy.

Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gierkoalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metodyuzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalniewygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaśistotną postacią będzie gracz kluczowy.

W literaturze szczegółowo analizuje się koalicyjne triady, tetrady, pentady,a czaem i większe. Wynika to z faktu, że w praktyce politycznej dochodzido upraszczania układów, np. po wyborach w 1991r. w Polsce rozmowykoalicyjne prowadziło nie 29 ugrupowań partyjnych, ale na ogół”trójki”i śzóstki”.a

apatrz Ibidem, s.114.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi

Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych –poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy.

Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gierkoalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metodyuzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalniewygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaśistotną postacią będzie gracz kluczowy.

W literaturze szczegółowo analizuje się koalicyjne triady, tetrady, pentady,a czaem i większe. Wynika to z faktu, że w praktyce politycznej dochodzido upraszczania układów, np. po wyborach w 1991r. w Polsce rozmowykoalicyjne prowadziło nie 29 ugrupowań partyjnych, ale na ogół”trójki”i śzóstki”.a

apatrz Ibidem, s.114.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi

Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych –poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy.

Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gierkoalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metodyuzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalniewygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaśistotną postacią będzie gracz kluczowy.

W literaturze szczegółowo analizuje się koalicyjne triady, tetrady, pentady,a czaem i większe. Wynika to z faktu, że w praktyce politycznej dochodzido upraszczania układów, np. po wyborach w 1991r. w Polsce rozmowykoalicyjne prowadziło nie 29 ugrupowań partyjnych, ale na ogół”trójki”i śzóstki”.a

apatrz Ibidem, s.114.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi

Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych –poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy.

Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gierkoalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metodyuzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalniewygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaśistotną postacią będzie gracz kluczowy.

W literaturze szczegółowo analizuje się koalicyjne triady, tetrady, pentady,a czaem i większe. Wynika to z faktu, że w praktyce politycznej dochodzido upraszczania układów, np. po wyborach w 1991r. w Polsce rozmowykoalicyjne prowadziło nie 29 ugrupowań partyjnych, ale na ogół”trójki”i śzóstki”.a

apatrz Ibidem, s.114.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 16 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoichpomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadkozdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów,tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak byosiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swegoprogramu.

DefinicjaGrą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partiipolitycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział wewładzy.Grą wyborczą – sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partiepolityczne.

UwagaWyborcy są racjonalni - dążą do maksymalizacji zysków, które mogąuzyskać dzięki zwycięzcom. Partie również są racjonalne - dążą dopozyskania jak największej liczby wyborców.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoichpomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadkozdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów,tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak byosiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swegoprogramu.

DefinicjaGrą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partiipolitycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział wewładzy.Grą wyborczą – sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partiepolityczne.

UwagaWyborcy są racjonalni - dążą do maksymalizacji zysków, które mogąuzyskać dzięki zwycięzcom. Partie również są racjonalne - dążą dopozyskania jak największej liczby wyborców.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoichpomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadkozdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów,tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak byosiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swegoprogramu.

DefinicjaGrą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partiipolitycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział wewładzy.Grą wyborczą – sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partiepolityczne.

UwagaWyborcy są racjonalni - dążą do maksymalizacji zysków, które mogąuzyskać dzięki zwycięzcom. Partie również są racjonalne - dążą dopozyskania jak największej liczby wyborców.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoichpomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadkozdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów,tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak byosiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swegoprogramu.

DefinicjaGrą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partiipolitycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział wewładzy.Grą wyborczą – sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partiepolityczne.

UwagaWyborcy są racjonalni - dążą do maksymalizacji zysków, które mogąuzyskać dzięki zwycięzcom. Partie również są racjonalne - dążą dopozyskania jak największej liczby wyborców.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Głosowanie szczere – głos jest oddany zgodnie z własnymi preferencjami.

Głosowanie strategiczne – głos jest oddany niekoniecznie zgodniez preferencjami, ale za to w celu osiągnięcia dodatkowych korzyści.Przykładem może być głosowanie w pierwszej turze wyborówprezydenckich 1995r., kiedy to część Polaków głosowała od razu,pomijając swoich ulubieńców, na jednego z dwóch kluczowych kandydatów(Lecha Wałęsę lub Aleksandra Kwaśniewskiego).

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Głosowanie szczere – głos jest oddany zgodnie z własnymi preferencjami.

Głosowanie strategiczne – głos jest oddany niekoniecznie zgodniez preferencjami, ale za to w celu osiągnięcia dodatkowych korzyści.Przykładem może być głosowanie w pierwszej turze wyborówprezydenckich 1995r., kiedy to część Polaków głosowała od razu,pomijając swoich ulubieńców, na jednego z dwóch kluczowych kandydatów(Lecha Wałęsę lub Aleksandra Kwaśniewskiego).

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Głosowanie szczere – głos jest oddany zgodnie z własnymi preferencjami.

Głosowanie strategiczne – głos jest oddany niekoniecznie zgodniez preferencjami, ale za to w celu osiągnięcia dodatkowych korzyści.Przykładem może być głosowanie w pierwszej turze wyborówprezydenckich 1995r., kiedy to część Polaków głosowała od razu,pomijając swoich ulubieńców, na jednego z dwóch kluczowych kandydatów(Lecha Wałęsę lub Aleksandra Kwaśniewskiego).

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Zanotujmy ważną uwagę dotyczącą głosowania w parlamencie:

UwagaW praktyce politycznej każdy reprezentant klubu głosuje samodzielnie. Abyuniknąć nieporozumień lub tzw. wpadek w trakcie głosowania, klub możenakazać dyscyplinę, tzn. wszyscy członkowie głosują w ten sam sposób.Wtedy obecność parlamentarzystów jest tylko wymogiem formalnym –wystarczyłoby zebrać niezrzeszonych posłów oraz reprezentatów klubów(głosowaliby odpowiednio tyle razy, ilu członków liczy dany klub).W istocie mamy do czynienia z tzw. umową reprezentacyjną – głosyposzczególnych członków klubu przekazane są reprezentantowi.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Zanotujmy ważną uwagę dotyczącą głosowania w parlamencie:

UwagaW praktyce politycznej każdy reprezentant klubu głosuje samodzielnie. Abyuniknąć nieporozumień lub tzw. wpadek w trakcie głosowania, klub możenakazać dyscyplinę, tzn. wszyscy członkowie głosują w ten sam sposób.Wtedy obecność parlamentarzystów jest tylko wymogiem formalnym –wystarczyłoby zebrać niezrzeszonych posłów oraz reprezentatów klubów(głosowaliby odpowiednio tyle razy, ilu członków liczy dany klub).W istocie mamy do czynienia z tzw. umową reprezentacyjną – głosyposzczególnych członków klubu przekazane są reprezentantowi.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Zanotujmy ważną uwagę dotyczącą głosowania w parlamencie:

UwagaW praktyce politycznej każdy reprezentant klubu głosuje samodzielnie. Abyuniknąć nieporozumień lub tzw. wpadek w trakcie głosowania, klub możenakazać dyscyplinę, tzn. wszyscy członkowie głosują w ten sam sposób.Wtedy obecność parlamentarzystów jest tylko wymogiem formalnym –wystarczyłoby zebrać niezrzeszonych posłów oraz reprezentatów klubów(głosowaliby odpowiednio tyle razy, ilu członków liczy dany klub).W istocie mamy do czynienia z tzw. umową reprezentacyjną – głosyposzczególnych członków klubu przekazane są reprezentantowi.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

PrzykładZałóżmy, że w parlamencie są trzy równo liczne grupy – zwolennicy ustawy(U), przeciwnicy (O) oraz umiarkowani zwolennicy, którzy chcąprzegłosować poprawki (P). Preferencje głosowania przedstawiają sięnastępująco : dla U – UPO, tzn. Ustawa, Poprawka, Odrzucenie, O –OPU, zaś P – PUO.Przy głosowaniu szczerym ustawa upadnie w pierwszym czytaniu – P orazO będą głosować za jej odrzuceniem. W kolejnym głosowaniu U oraz Pprzegłosują poprawki. Wygra więc partia P.

Przykład (cd.)

Załóżmy, że najpierw głosowane są poprawki. Wtedy nie przejdą one –przeciwko będzie U oraz O. W drugim głosowananiu za całym projektembędą wtedy U oraz P. Wtedy wygrywa partia U.Głosowanie strategiczne będzie polegało na niedopuszczeniu do sytuacjinajgorszej dla danej partii. Dlatego też O może poprzeć P w pierwszymczytaniu, czym co prawda nie odrzuci projketu, ale osłabi go poprzezprzyjęcie poprawek.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

PrzykładZałóżmy, że w parlamencie są trzy równo liczne grupy – zwolennicy ustawy(U), przeciwnicy (O) oraz umiarkowani zwolennicy, którzy chcąprzegłosować poprawki (P). Preferencje głosowania przedstawiają sięnastępująco : dla U – UPO, tzn. Ustawa, Poprawka, Odrzucenie, O –OPU, zaś P – PUO.Przy głosowaniu szczerym ustawa upadnie w pierwszym czytaniu – P orazO będą głosować za jej odrzuceniem. W kolejnym głosowaniu U oraz Pprzegłosują poprawki. Wygra więc partia P.

Przykład (cd.)

Załóżmy, że najpierw głosowane są poprawki. Wtedy nie przejdą one –przeciwko będzie U oraz O. W drugim głosowananiu za całym projektembędą wtedy U oraz P. Wtedy wygrywa partia U.Głosowanie strategiczne będzie polegało na niedopuszczeniu do sytuacjinajgorszej dla danej partii. Dlatego też O może poprzeć P w pierwszymczytaniu, czym co prawda nie odrzuci projketu, ale osłabi go poprzezprzyjęcie poprawek.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

PrzykładZałóżmy, że w parlamencie są trzy równo liczne grupy – zwolennicy ustawy(U), przeciwnicy (O) oraz umiarkowani zwolennicy, którzy chcąprzegłosować poprawki (P). Preferencje głosowania przedstawiają sięnastępująco : dla U – UPO, tzn. Ustawa, Poprawka, Odrzucenie, O –OPU, zaś P – PUO.Przy głosowaniu szczerym ustawa upadnie w pierwszym czytaniu – P orazO będą głosować za jej odrzuceniem. W kolejnym głosowaniu U oraz Pprzegłosują poprawki. Wygra więc partia P.

Przykład (cd.)

Załóżmy, że najpierw głosowane są poprawki. Wtedy nie przejdą one –przeciwko będzie U oraz O. W drugim głosowananiu za całym projektembędą wtedy U oraz P. Wtedy wygrywa partia U.Głosowanie strategiczne będzie polegało na niedopuszczeniu do sytuacjinajgorszej dla danej partii. Dlatego też O może poprzeć P w pierwszymczytaniu, czym co prawda nie odrzuci projketu, ale osłabi go poprzezprzyjęcie poprawek.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2)

Załóżmy, że mamy N graczy, wymagana większość wynosi W (tzn.N2 <W ¬ N). Nie ma zawartej żadnej umowy. Wartość Shapley’a każdegogracza wynosi więc 1N . Niech teraz gracz k przekaże swój głos graczowi l ,zaś pozostali gracze grają samodzielnie. Wtedy mamy :

xk = 0 , xl =1 + 1N − 1

=2

N − 1, xi =

1− 2N−1

N − 2=

N − 3(N − 1)(N − 2)

dla i 6= k , l . Zauważmy, że gracze k oraz l zyskują – teraz mają siłę głosu :

0 +2

N − 1>

1N

+1N

UwagaOmówiony przykład jest ważny o ile W < N. W przypadku gryjednomyślności, tzn. W = N zawiązanie koalicji nie jest korzystne dlagraczy k oraz l . Niemniej w takiej grze żadne koalicje nie są korzystne.Dlatego zwyczajowo zakłada sie, że W < N, co zresztą jest zgodnez praktyką polityczną.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2)

Załóżmy, że mamy N graczy, wymagana większość wynosi W (tzn.N2 <W ¬ N). Nie ma zawartej żadnej umowy. Wartość Shapley’a każdegogracza wynosi więc 1N . Niech teraz gracz k przekaże swój głos graczowi l ,zaś pozostali gracze grają samodzielnie. Wtedy mamy :

xk = 0 , xl =1 + 1N − 1

=2

N − 1, xi =

1− 2N−1

N − 2=

N − 3(N − 1)(N − 2)

dla i 6= k , l . Zauważmy, że gracze k oraz l zyskują – teraz mają siłę głosu :

0 +2

N − 1>

1N

+1N

UwagaOmówiony przykład jest ważny o ile W < N. W przypadku gryjednomyślności, tzn. W = N zawiązanie koalicji nie jest korzystne dlagraczy k oraz l . Niemniej w takiej grze żadne koalicje nie są korzystne.Dlatego zwyczajowo zakłada sie, że W < N, co zresztą jest zgodnez praktyką polityczną.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2)

Załóżmy, że mamy N graczy, wymagana większość wynosi W (tzn.N2 <W ¬ N). Nie ma zawartej żadnej umowy. Wartość Shapley’a każdegogracza wynosi więc 1N . Niech teraz gracz k przekaże swój głos graczowi l ,zaś pozostali gracze grają samodzielnie. Wtedy mamy :

xk = 0 , xl =1 + 1N − 1

=2

N − 1, xi =

1− 2N−1

N − 2=

N − 3(N − 1)(N − 2)

dla i 6= k , l . Zauważmy, że gracze k oraz l zyskują – teraz mają siłę głosu :

0 +2

N − 1>

1N

+1N

UwagaOmówiony przykład jest ważny o ile W < N. W przypadku gryjednomyślności, tzn. W = N zawiązanie koalicji nie jest korzystne dlagraczy k oraz l . Niemniej w takiej grze żadne koalicje nie są korzystne.Dlatego zwyczajowo zakłada sie, że W < N, co zresztą jest zgodnez praktyką polityczną.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2 cd.)

Niech teraz umowę reprezentacji zawrze m graczy. Wtedy mamy sytuację– przed zawarciem koalicji : x1 = x2 = . . . = xN = 1

N , zaś po :

xj1 = xj2 = . . . = xjm−1 = 0

oraz

xk =

mN−m+1 dla m ¬ N −W ,

N−W+1N−m+1 dla N −W < m <W ,

1 dla m ­W .

UwagaSytuacja jest trudniejsza do oceny, gdy zawierane jest więcej umówpomiędzy graczami. Z drugiej strony jest to sytuacja najciekawsza, gdyżwłaśnie taka występuje w praktyce politycznej. Jako jeden ze sposobówproponuje się porównywanie wartości Shapley’a dla gracza przed i pozawarciu każdej umowy. Nie ma jednak stałych i efektywnych wzorów natego typu działania.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 22 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2 cd.)

Niech teraz umowę reprezentacji zawrze m graczy. Wtedy mamy sytuację– przed zawarciem koalicji : x1 = x2 = . . . = xN = 1

N , zaś po :

xj1 = xj2 = . . . = xjm−1 = 0

oraz

xk =

mN−m+1 dla m ¬ N −W ,

N−W+1N−m+1 dla N −W < m <W ,

1 dla m ­W .

UwagaSytuacja jest trudniejsza do oceny, gdy zawierane jest więcej umówpomiędzy graczami. Z drugiej strony jest to sytuacja najciekawsza, gdyżwłaśnie taka występuje w praktyce politycznej. Jako jeden ze sposobówproponuje się porównywanie wartości Shapley’a dla gracza przed i pozawarciu każdej umowy. Nie ma jednak stałych i efektywnych wzorów natego typu działania.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 22 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze

Przykład (2 cd.)

Niech teraz umowę reprezentacji zawrze m graczy. Wtedy mamy sytuację– przed zawarciem koalicji : x1 = x2 = . . . = xN = 1

N , zaś po :

xj1 = xj2 = . . . = xjm−1 = 0

oraz

xk =

mN−m+1 dla m ¬ N −W ,

N−W+1N−m+1 dla N −W < m <W ,

1 dla m ­W .

UwagaSytuacja jest trudniejsza do oceny, gdy zawierane jest więcej umówpomiędzy graczami. Z drugiej strony jest to sytuacja najciekawsza, gdyżwłaśnie taka występuje w praktyce politycznej. Jako jeden ze sposobówproponuje się porównywanie wartości Shapley’a dla gracza przed i pozawarciu każdej umowy. Nie ma jednak stałych i efektywnych wzorów natego typu działania.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 22 / 24

Wnioski

Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowańpolitycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia siędanej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującymzagadnieniem.

Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistośćpolityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut okawydawałoby się nieracjonalnych, zachowań.

Politycy mogą korzystać z teorii gier w celu podjęcia decyzji najbardziej dlanich optymalnych. Warto jednak pamiętać, że przy analizie scenypolitycznej nie wolno ograniczyć się tylko do teorii gier. Trzeba uwzględnićinne aspekty, ciężko uchwytne przez tę dziedzinę nauki.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski

Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowańpolitycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia siędanej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującymzagadnieniem.

Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistośćpolityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut okawydawałoby się nieracjonalnych, zachowań.

Politycy mogą korzystać z teorii gier w celu podjęcia decyzji najbardziej dlanich optymalnych. Warto jednak pamiętać, że przy analizie scenypolitycznej nie wolno ograniczyć się tylko do teorii gier. Trzeba uwzględnićinne aspekty, ciężko uchwytne przez tę dziedzinę nauki.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski

Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowańpolitycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia siędanej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującymzagadnieniem.

Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistośćpolityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut okawydawałoby się nieracjonalnych, zachowań.

Politycy mogą korzystać z teorii gier w celu podjęcia decyzji najbardziej dlanich optymalnych. Warto jednak pamiętać, że przy analizie scenypolitycznej nie wolno ograniczyć się tylko do teorii gier. Trzeba uwzględnićinne aspekty, ciężko uchwytne przez tę dziedzinę nauki.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski

Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowańpolitycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia siędanej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującymzagadnieniem.

Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistośćpolityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut okawydawałoby się nieracjonalnych, zachowań.

Politycy mogą korzystać z teorii gier w celu podjęcia decyzji najbardziej dlanich optymalnych. Warto jednak pamiętać, że przy analizie scenypolitycznej nie wolno ograniczyć się tylko do teorii gier. Trzeba uwzględnićinne aspekty, ciężko uchwytne przez tę dziedzinę nauki.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 23 / 24

Bibliografia

Kasjan S., Malicki P.: Matematyczne modele współpracyi konfliktu – teoria gier w praktyce. Wydział Matematyki i Informatyki,Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń 2010.

Malawski M., Sosnowska H., Wieczorek A.: Konkurencjai kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych. PWN,Warszawa 2004.

Pietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesówpodejmowania decyzji politycznych. Wydawnictwo Uniwersytetu MariiCurie-Skłodowskiej, Lublin 1997.

Płatkowski T.: Matematyka stosowana. Wstęp do Teorii gier.Uniwersytet Warszawski, Warszawa 2012.

Weres L.: Teoria gier w amerykańskiej nauce o stosunkachmiędzynarodowych. Instytut Zachodni, Poznań 1982.

Krzysztof Buczyński Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych9 — 11 maja 2014 24 / 24