Wprowadzenie do ogólnej teorii...

James B. Hartle

GRAWITACJA

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Einsteina

##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw==

James B. Hartle

GRAWITACJA

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Einsteina

logo WUW.indd 1 5/12/2014 12:54:19 PM


Tytuł oryginału angielskiegoGravity. An Introduction to Einstein’s General Relativity

Authorized translation from the English language edition: GRAVITY.AN INTRODUCTION TO EINSTEIN’S GENERAL RELATIVITY,First Edition, ISBN 0805386629 by James B. Hartle, published byPearson Education, Inc., publishing as Benjamin Cummings, Copyright c©2003

This publication is protected by Copyright and permission should be obtainedfrom the publisher prior to any prohibited reproduction, storage in a retrievalsystem, or transmission in any form or by any means, electronic, mechanical,photocopying, recording, or likewise. To obtain permission(s) to use materialfrom this work, please submit a written request to Person Education, Inc.,Permissions Department, 1900 E. Lake Ave., IL 60025. For informationregarding permissions, call 001/847/486/2635.

Projekt okładkiKatarzyna A. Jarnuszkiewicz

Ilustracja na okładceNASA

Redakcja naukowa polskiego przekładuMarek Demianski

Redakcja i korektaElzbieta Sejferówna

Redakcja technicznaZofia Kosinska

Redaktor prowadzacyMałgorzata Yamazaki

Skład i łamanieRaven

c© Copyright for the Polish edition byWydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 2010

ISBN 978-83-235-0476-4

Wydanie 1, dodruk 2

Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego00-497 Warszawa, ul. Nowy Swiat 4http://www.wuw.pl; e-mail: [email protected] internetowa: www.wuw.pl/ksiegarnia


B.Obrebska

Tekst maszynowy

ISBN 978-83-235-1914-0 PDF

B.Obrebska

Tekst maszynowy

B.Obrebska

Tekst maszynowy

B.Obrebska

Tekst maszynowy

Dla Mary Jo


Spis treści

Przedmowa xi

I PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCENEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORIIWZGLĘDNOŚCI 1

1 Grawitacja 3

2 Geometria jako fizyka 142.1 Grawitacja to geometria 142.2 Geometria a doswiadczenie 162.3 Rózne geometrie 192.4 Okreslenie geometrii 222.5 Współrzedne i element liniowy 232.6 Współrzedne i niezmienniczosc 30

3 Przestrzeń, czas i grawitacjaw fizyce newtonowskiej 343.1 Inercjalne układy odniesienia 343.2 Zasada wzglednosci 403.3 Newtonowska teoria grawitacji 423.4 Masa grawitacyjna i masa bezwładna 463.5 Zasada wariacyjna w mechanice

newtonowskiej 47

4 Zasady szczególnej teorii względności 524.1 Dodawanie predkosci i eksperyment

Michelsona–Morleya 524.2 Rozwiazanie problemu podane przez Einsteina

i jego konsekwencje 544.3 Czasoprzestrzen 57


vi GRAWITACJA

4.4 Dylatacja czasu i paradoks blizniat 674.5 Pchniecia Lorentza 734.6 Jednostki 80

5 Mechanika relatywistyczna 865.1 Czterowektory 865.2 Kinematyka relatywistyczna 925.3 Dynamika relatywistyczna 955.4 Zasada wariacyjna dla czastki swobodnej 1005.5 Promienie swietlne 1025.6 Obserwatorzy i obserwacje 107

II ZAKRZYWIONA CZASOPRZESTRZEŃW OGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI 117

6 Grawitacja jako geometria 1196.1 Doswiadczalna weryfikacja równosci masy

grawitacyjnej i masy bezwładnej 1196.2 Zasada równowaznosci 1236.3 Zegary w polu grawitacyjnym 1276.4 Globalny System Wyznaczania Pozycji (GPS) 1356.5 Czasoprzestrzen jest zakrzywiona 1396.6 Newtonowska teoria grawitacji w jezyku geometrii

czasoprzestrzeni 140

7 Opis zakrzywionej czasoprzestrzeni 1507.1 Współrzedne 1507.2 Metryka 1537.3 Konwencja sumacyjna 1547.4 Lokalne układy inercjalne 1567.5 Stozki swietlne i linie swiata 1587.6 Długosc, pole, objetosc i objetosc czterowymiarowa

w przypadku metryki diagonalnej 1627.7 Zanurzenie czasoprzestrzeni i tunele

czasoprzestrzenne 1657.8 Wektory w zakrzywionej czasoprzestrzeni 1697.9 Trójwymiarowe powierzchnie w czterowymiarowej

czasoprzestrzeni 176


Spis treści vii

8 Linie geodezyjne 1888.1 Równanie linii geodezyjnych 1888.2 Rozwiazywanie równania linii geodezyjnej –

symetrie i zasady zachowania 1958.3 Zerowe linie geodezyjne 1998.4 Lokalne układy inercjalne i układy swobodnie

spadajace 200

9 Czasoprzestrzeń w otoczeniu sferycznej gwiazdy2089.1 Czasoprzestrzen Schwarzschilda 2089.2 Grawitacyjne przesuniecie ku czerwieni 2129.3 Orbity czastek – precesja peryhelium 2149.4 Trajektorie promieni swietlnych – ugiecie promieni

i opóznienie sygnałów 228

10 Testy ogólnej teorii względności w UkładzieSłonecznym 24510.1 Grawitacyjne przesuniecie ku czerwieni 24510.2 Parametry PPN 24810.3 Pomiar parametru γ w przyblizeniu PPN 25010.4 Pomiar parametru β – precesja peryhelium

Merkurego w przyblizeniu PPN 257

11 Relatywistyczne efekty grawitacyjne 26211.1 Soczewki grawitacyjne 26211.2 Dyski akrecyjne wokół zwartych obiektów 27211.3 Podwójne pulsary 279

12 Grawitacyjne zapadanie się ciał i czarne dziury 28512.1 Czarna dziura Schwarzschilda 28812.2 Powstanie czarnej dziury wskutek grawitacyjnego

zapadania 29312.3 Współrzedne Kruskala–Szekeresa 30112.4 Niesferyczne grawitacyjne zapadanie sie

gwiazdy 307

13 Astrofizyka czarnych dziur 31413.1 Czarne dziury w rentgenowskich układach

podwójnych 31513.2 Czarne dziury w jadrach galaktyk 31813.3 Kwantowe parowanie czarnych dziur –

promieniowanie Hawkinga 323


viii GRAWITACJA

14 Powolna rotacja 33214.1 Rotacyjne wleczenie inercjalnych układów

odniesienia 33314.2 Zyroskopy w zakrzywionej czasoprzestrzeni 33414.3 Precesja geodezyjna 33614.4 Czasoprzestrzen w otoczeniu powoli wirujacego

sferycznego ciała 33914.5 Zyroskopy w czasoprzestrzeni wokół powoli

wirujacego sferycznego ciała 34014.6 Zyroskopy i swobodnie spadajace układy 345

15 Wirujące czarne dziury 34815.1 Kosmiczna cenzura 34815.2 Czasoprzestrzen Kerra 34915.3 Horyzont wirujacej czarnej dziury 35215.4 Orbity w płaszczyznie równikowej 35515.5 Ergosfera 362

16 Fale grawitacyjne 37216.1 Zlinearyzowana fala grawitacyjna 37316.2 Detekcja fal grawitacyjnych 37416.3 Polaryzacja fal grawitacyjnych 37816.4 Interferometryczne detektory fal

grawitacyjnych 38116.5 Energia fal grawitacyjnych 384

17 Obserwacje Wszechświata 39017.1 Budowa Wszechswiata 39117.2 Ekspansja Wszechswiata 39517.3 Mapy Wszechswiata 404

18 Modele kosmologiczne 41018.1 Jednorodne i izotropowe czasoprzestrzenie 41018.2 Kosmologiczne przesuniecie ku czerwieni 41318.3 Materia, promieniowanie i próznia 41618.4 Ewolucja płaskich modeli FRW 42218.5 Wielki Wybuch, wiek i rozmiary

Wszechswiata 42618.6 Metryki Robertsona–Walkera z niezerowa

krzywizna przestrzeni 43118.7 Dynamika Wszechswiata 435


Spis treści ix

19 Jaki model opisuje rzeczywisty Wszechświat? 44919.1 Obmierzanie Wszechswiata 45119.2 Jak wyjasnic budowe Wszechswiata 460

III RÓWNANIE EINSTEINA 467

20 Jeszcze trochę matematyki 46920.1 Wektory 46920.2 Wektory dualne 47120.3 Tensory 47820.4 Pochodna kowariantna 48220.5 Swobodnie spadajace układy odniesienia raz

jeszcze 493

21 Krzywizna czasoprzestrzeni i równanie Einsteina 49921.1 Siły pływowe 49921.2 Równanie dewiacji linii geodezyjnych 50421.3 Tensor krzywizny Riemanna 50921.4 Równanie Einsteina w prózni 51121.5 Zlinearyzowana teoria grawitacji 515

22 Źródła krzywizny 52822.1 Gestosci 52822.2 Zasada zachowania energii i pedu 53622.3 Równanie Einsteina 54022.4 Granica newtonowska 544

23 Emisja fal grawitacyjnych 55123.1 Zlinearyzowane równanie Einsteina ze

zródłami 55123.2 Rozwiazanie równania falowego ze zródłem 55323.3 Ogólne rozwiazanie zlinearyzowanego równania

Einsteina 55623.4 Emisja słabych fal grawitacyjnych 55923.5 Promieniowanie grawitacyjne układów

podwójnych 56323.6 Wzór kwadrupolowy na utrate energii wskutek

emisji fal grawitacyjnych 56723.7 Wpływ emisji promieniowania grawitacyjnego na

ruch podwójnego pulsara 56923.8 Silne zródła 572


x GRAWITACJA

24 Relatywistyczne gwiazdy 57724.1 Zasada Pauliego 57824.2 Równowaga hydrostatyczna w przypadku

relatywistycznym 58224.3 Modele gwiazd 58524.4 Stan podstawowy materii 58924.5 Stabilnosc 59124.6 Maksymalna masa gwiazd neutronowych 597

A Jednostki 604A.1 Problem jednostek 604A.2 Jednostki uzywane w tej ksiazce 605

B Wielkości opisujące krzywiznę 608

C Krzywizna i równanie Einsteina 613

D Strategia dydaktyczna 618D.1 Zasady dydaktyczne 618D.2 Organizacja 620D.3 Planowanie wykładu 622

Załączniki 624

Bibliografia 629

Źródła ilustracji 635

Indeks 637


Przedmowa

Relatywistyczna teoria grawitacji – czyli ogólna teoria wzglednosciEinsteina – juz wkrótce bedzie miała sto lat. Jej podstawa jest jednaz najpiekniejszych i najbardziej rewolucyjnych koncepcji współczesnejnauki, polegajaca na utozsamieniu grawitacji z geometria czterowy-miarowej, zakrzywionej czasoprzestrzeni. Ogólna teoria wzglednoscito, obok teorii kwantów, najwieksze odkrycie fizyki XX wieku.

Ogólna teoria wzglednosci została dokładnie przetestowana w skaliUkładu Słonecznego. Teoria ta lezy u podstaw naszej wiedzy o Wszech-swiecie w najwiekszej skali i ma zasadnicze znaczenie dla wyjasnieniatakich ekstremalnych zjawisk astrofizycznych, jak grawitacyjne zapa-danie, czarne dziury, zródła promieniowania rentgenowskiego, gwiaz-dy neutronowe, aktywne jadra galaktyk, fale grawitacyjne i WielkiWybuch. Wiele koncepcji współczesnej fizyki czastek elementarnychwywodzi sie z teorii grawitacji Einsteina, a jej znajomosc jest wa-runkiem koniecznym zrozumienia róznych teorii unifikacji wszystkichoddziaływan elementarnych, takich jak teoria strun.

Poznanie teorii Einsteina, tak podstawowej, tak dobrze potwier-dzonej, tak waznej dla wielu dziedzin fizyki i budzacej powszechnezainteresowanie, stanowi oczywiscie czesc programu studiów kazdegofizyka. Przedstawienie ogólnej teorii wzglednosci studentom nizszychlat wymaga jednak rozwiazania pewnego podstawowego problemu.Zgodnie z logicznym porzadkiem, wykładajac teorie wzglednosci(podobnie jak wiekszosc innych przedmiotów), nalezałoby zaczacod przygotowania niezbednych narzedzi matematycznych, uzasadnicpodstawowe równania teorii, znalezc ich rozwiazania i zastosowac jew fizycznie interesujacych sytuacjach. Wymóg elegancji skłania, byzaczac od geometrii rózniczkowej, a nastepnie wprowadzic równanieEinsteina i zajac sie jego rozwiazywaniem. To jednak długa droga,zbyt długa, by pozwoliła przedstawic współczesne zastosowania teorii,jakie mozna wyłozyc studentom nizszych lat.

W Grawitacji ogólna teoria wzglednosci została zaprezentowa-na w innym porzadku. Strukture wykładu przyjeta w ksiazce ob-szernie omawiam w dodatku D, natomiast strategia całego wykładuwyglada nastepujaco: najpierw przedstawiamy najprostsze fizycznieinteresujace rozwiazania równania Einsteina (bez wyprowadzenia),by omówic obserwowalne konsekwencje istnienia takich czasoprze-strzeni, które badamy, rozwazajac trajektorie czastek materialnych


xii GRAWITACJA

i promieni swietlnych. To pozwala czytelnikom bardzo szybko za-poznac sie z interesujacymi zjawiskami fizycznymi. Ta czesc teoriijest najbardziej zblizona do mechaniki klasycznej i wymaga tylkokilku nowych pojec matematycznych. Dopiero pózniej wprowadza-my równanie Einsteina i rozwiazujemy je, by wyjasnic pochodzeniezbadanych geometrii.

Wykład ogólnej teorii wzglednosci dla studentów trzeciego i czwar-tego roku fizyki, oparty własnie na takich zasadach, jest prowadzonyna Uniwersytecie Kalifornijskim w Santa Barbara juz od ponad 25 lat.Przyjeta strategia sprawdza sie w działaniu.

Podziękowania

Byłbym rozczarowany, gdyby moi koledzy, specjalisci od grawitacji,znalezli tu cos nowego. Oznaczałoby to bowiem, ze nie przestudiowalidokładnie klasycznych monografii Landaua i Lifszica (1962), Misnera,Thorne’a i Wheelera (1970), Taylora i Wheelera (1963), Walda (1984)oraz Weinberga (1972), na których w znacznej mierze opiera sie mójwykład. W tekscie nie cytuje tych prac przy kazdej okazji, niemniejksiazka ta wiele im zawdziecza.

Jestem ogromnie zobowiazany Rogerowi Blandfordowi, TedowiJacobsonowi, Channonowi Price’owi, Kipowi Thorne’owi i BobowiWaldowi, którzy przeczytali wstepna wersje całej ksiazki, udzielilimi cennych rad na temat jej struktury oraz przekazali szczegółoweuwagi. Ksiazka ta wiele zyskała dzieki sugestiom i krytyce osób,które przez wiele lat wykładały ogólna teorie wzglednosci na podstawiewstepnych wersji tego tekstu. Oto ich lista: Vernon Barger, Omer Blaes,Doug Eardley, Jerome Gauntlett, Gary Horowitz, Clifford Johnson,Shawn Kolitch, Rob Myers, Thomas Moore, Stan Peale, Channon Pricei Kristin Schleich – wszystkim im jestem bardzo wdzieczny. Wielemoich kolezanek i kolegów – Lars Bildstein, Omer Blaes, Peter D’Eath,Doug Eardley, Wendy Freedman, Daniel Holz, Gary Horowitz, ScottHughes, Robert Kirshner, Lee Lindblom, Richard Price, Pater Saulson,Bernard Schutz, David Spergel, Joseph Taylor, Michael Turner, BillUnruh i Clifford Will – przekazało mi konstruktywne uwagi na tematróznych rozdziałów, za co im bardzo dziekuje. Eric Adelberger, NeilAshby, Matt Colless, Francis Everitt, Andrea Ghez, John Hall, JimMoran, Michael Perryman, Wolfgang Schleich, Tuck Stebbins, MaxTegmark, Dave Tytler i Jim Williams pomogli mi przygotowac ramkii rysunki. Duzo dały mi dyskusje na temat poszczególnych problemów;wsród moich rozmówców byli: Dave Arnett, Peter Bender, Dieter Brill,J. Richard Gott, Jeanne Dickey, Andrew Fabian, Jerome Gray, GaryGibbons, Wick Haxton, Gordon Kane, Angela Olinto i Roger Penrose.Lista ta jest tak długa, ze z pewnoscia kogos pominałem – przepraszam


Przedmowa xiii

i mam nadzieje, iz bede miał okazje to skorygowac przy nastepnymwydaniu.

Podajac zródła poszczególnych rysunków, jednoczesnie dziekujewszystkim, którzy pomogli w ich przygotowaniu.

Liczni studenci – było ich zbyt wielu, by wszystkich wymienic –zwracali mi uwage na błedy, literówki i niedostatecznie zrozumiałeargumenty. Szczególnie chciałbym tu podziekowac Joe Alibrandiemu,Marii Cranor, Ianowi Eisenmanowi, Billowi Paxtonowi i Taro Sato.

Jestem wdzieczny Esther Singer i Recie Bernhardt, które przepi-sywały na maszynie notatki do wykładów, wykorzystane nastepniepodczas pisania ksiazki. Szczególnie dziekuje Thei Howard, któraopracowywała elektroniczna wersje tekstu w róznych fazach pracyi przygotowała na komputerze niemal wszystkie rysunki.

Jestem bardzo zobowiazany Leonardowi Parkerowi, który napisałprogram w systemie Mathematica, słuzacy do obliczania tensora krzy-wizny. Program ten znajduje sie na stronie internetowej ksiazki. LeeLindblom obliczył modele gwiazd, które sa przedstawione w rozdziale24, a Matt Hansen starannie przeczytał maszynopis w pózniejszychfazach pracy nad tekstem, poprawił wiele błedów i udzielił mi cennychrad.

Chciałbym równiez podziekowac zespołom pracowników wydaw-nictwa Addison-Wesley, na którego czele stał Adam Black; zespo-łem redaktorów merytorycznych kierował Leslie Galen, a ilustratorówGeorg Morris. Jestem im wdzieczny za dobra współprace, elastycznosci cierpliwosc.

Ksiazke te dedykuje mojej zonie, Mary Jo, z wyrazami wdziecz-nosci za szczodre wsparcie na wiele róznych sposobów, elastycznoscw obliczu zblizajacych sie terminów i niewyczerpana tolerancje nazbyt optymistyczne oceny dotyczace czasu zakonczenia prac.

James Hartleczerwiec 2002 roku


xiv GRAWITACJA

Uwagi na temat układu książki

Zasady dydaktyczne przyjete w tej ksiazce sa wyjasnione w Dodat-ku D. Ponizsze uwagi moga sie jednak przydac przy korzystaniu z tegopodrecznika:

• Ramki: W ramkach zawarty jest materiał, stanowiacy ilustracje lubrozszerzenie zasadniczego tekstu wykładu. Niekiedy jest to jako-sciowe wyjasnienie pewnego zjawiska lub koncepcji, czasami opiswaznego doswiadczenia. Czasami zrozumienie materiału w ramcewymaga znajomosci fizyki wykraczajacej poza podstawy mechani-ki i szczególnej teorii wzglednosci, co zakładam w głównej czesciksiazki. Zrozumienie materiału w ramkach nie jest konieczne do zro-zumienia wykładu.• Zadania: Etykietki zadan maja nastepujace znaczenie:

A = zadanie wymaga dłuzszych obliczen algebraicznych niz prze-cietne

B = zadanie dotyczy problemu omawianego w ramceC = zadanie trudniejsze niz przecietneE = w zadaniu chodzi o ocene rzedu wielkosci, nie zas o dokładny

rachunekN = zadanie wymaga obliczen numerycznychP = zadanie wymaga znajomosci fizyki wykraczajacej poza przyjeta

w tekscie, np. elektromagnetyzmuS = łatwe (w opinii autora)

Problem bez etykiety to typowy problem, zwiazany z głównym tek-stem, przecietnie trudny etc.• Programy Mathematica: Na stronie internetowej ksiazki znajduje

sie kilka programów Mathematica do liczenia tensorów krzywizny,orbit i modeli kosmologicznych.• Strona internetowa: Informacje dotyczace ksiazki mozna znalezc

na stronie:http://www.physics.ucsb.edu/∼gravitybook/

Na stronie mozna znalezc errate, programy Mathematica, uzupeł-nienia, kolorowe rysunki i połaczenia z innymi stronami, które byłyuzyteczne podczas pisania ksiazki.• Kilka symboli:≡ równe na mocy definicji≈ w przyblizeniu równe∼ rzad wielkosci

→ dazy asymptotycznie� Słonce⊕ Ziemia


CZĘŚĆ

I

Przestrzeń i czas w fizycenewtonowskiej oraz szczególnej teorii

względności

W części tej pokrótce opisujemy najważniejsze zjawiskagrawitacyjne oraz pokazujemy, że geometria przestrzenii czasu jest zagadnieniem fizycznym. Następnie dokonujemyprzeglądu podstawowych pojęć fizyki newtonowskieji szczególnej teorii względności. Wprowadzone zostajątakże narzędzia służące do opisu geometrii czasoprzestrzeni.


ROZDZIAŁ

1Grawitacja

Grawitacja to jedno z czterech oddziaływan fundamentalnych. Przed-miotem tej ksiazki jest klasyczna teoria grawitacji, czyli ogólna teo-ria wzglednosci Einsteina. Ogólna teoria wzglednosci ma podstawo-we znaczenie dla zrozumienia wielu badanych współczesnie zjawiskastronomicznych, takich jak czarne dziury, pulsary, kwazary, konco-we stadia ewolucji gwiazd, Wielki Wybuch – cały Wszechswiat. Teo-ria ta wyjasnia równiez drobne rozbieznosci miedzy rzeczywistymi or-bitami planet i przewidywaniami wynikajacymi z praw Newtona; bezuwzgledniania takich relatywistycznych poprawek nie mógłby działacpowszechnie uzywany Globalny System Wyznaczania Pozycji (GPSGlobal Positioning System). Jako jedno z oddziaływan fundamental-nych, grawitacja ma zasadnicze znaczenie dla poszukiwan jednolitejteorii wszystkich oddziaływan; wiele koncepcji takich „teorii ostatecz-nych” wywodzi sie z teorii wzglednosci.

Fizyka zjawisk grawitacyjnych jest zatem nauka majaca dwa obsza-ry – odgrywa wazna role zarówno w zakresie najwiekszych, jak i naj-mniejszych odległosci rozwazanych we współczesnej fizyce. W naj-wiekszej skali teoria grawitacji wiaze sie z astrofizyka i kosmologia,natomiast w najmniejszej – z kwantowa fizyka czastek elementarnych.Te dwa fronty łaczyły sie w chwili Wielkiego Wybuchu, gdy cały ob-serwowalny Wszechswiat był scisniety w minimalnej mozliwej obje-tosci. W tym elementarnym podreczniku zajmujemy sie tylko klasycz-na (niekwantowa) teoria grawitacji, której bezposrednie zastosowaniadotycza przede wszystkim duzych skal odległosci, ale pojecia i me-tody wypracowane w tej dziedzinie pojawiaja sie ponownie w innymprzebraniu, gdy rozpatrujemy zjawiska zachodzace na bardzo małychodległosciach. W tym rozdziale, majacym charakter wstepu, rozwazy-my pokrótce zjawiska, których opis wymaga zastosowania klasycznejogólnej teorii wzglednosci.

Ogólna teoria wzglednosci wywodzi sie z pojeciowej rewolucji, ja-ka nastapiła w fizyce po sformułowaniu przez Einsteina szczególnejteorii wzglednosci. Znane od ponad trzech wieków prawo powszechne-go ciazenia Newtona jest niezgodne ze szczególna teoria wzglednosci.Zgodnie z prawem Newtona dwa ciała o masach m1 i m2 przyciagajasie z siła o wartosci wynoszacej:

Fgraw =Gm1m2

r212

, (1.1)


4 GRAWITACJA

gdzie r12 jest odległoscia miedzy nimi, a G to stała grawitacyjna, ma-jaca wartosc 6,67 × 10−8 dyn cm2/g2. Zgodnie z prawem Newtonasiła grawitacyjna działa natychmiast na odległosc. Siła, wywierana najedno ciało, zalezy od połozenia drugiego ciała w tej samej chwili.Tymczasem szczególna teoria wzglednosci nie dopuszcza natychmia-stowych oddziaływan na odległosc, gdyz zaden sygnał nie moze roz-chodzic sie szybciej, niz wynosi predkosc swiatła. Wobec tego prawopowszechnego ciazenia Newtona moze byc tylko pewnym przyblize-niem bardziej fundamentalnej teorii.

W 1915 roku prowadzone przez Einsteina poszukiwania nowej, re-latywistycznej teorii grawitacji nie przyniosły po prostu nowego wzo-ru, okreslajacego siłe grawitacji, czy tez teorii relatywistycznego polagrawitacyjnego, lecz doprowadziły do głebokiej rewolucji w naszychpogladach na nature czasu i przestrzeni. Einstein zauwazył, ze skoroz doswiadczenia wiadomo, iz w polu grawitacyjnym wszystkie ciałaspadaja z takim samym przyspieszeniem, to grawitacje mozna w na-turalny sposób wyjasnic, odwołujac sie do pojecia krzywizny cztero-wymiarowego połaczenia czasu i przestrzeni – czasoprzestrzeni. Masazakrzywia czasoprzestrzen w swoim otoczeniu, a trajektorie, po któ-rych spadaja swobodnie wszystkie ciała, sa liniami prostymi w tej za-krzywionej czasoprzestrzeni. W teorii newtonowskiej Słonce przycia-ga Ziemie i pod działaniem tej siły krazy ona wokół Słonca. W ogól-nej teorii wzglednosci masa Słonca zakrzywia otaczajaca ja czasoprze-strzen, a Ziemia porusza sie w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni po tra-jektorii prostej. Grawitacja to geometria. W dalszej czesci tego rozdzia-łu krótko przedstawiam rózne zjawiska, których zrozumienie wymagaogólnej teorii wzglednosci. Pewne cechy oddziaływan grawitacyjnych,które pomagaja wyjasnic, kiedy grawitacja jest istotna, wynikaja juzz prawa powszechnego ciazenia Newtona (1.1):

• Zgodnie z teoria Newtona wszystkie masy przyciagaja sie grawi-tacyjnie, a skoro E = mc2, to w teorii relatywistycznej wszelkieformy energii oddziałuja grawitacyjnie.

• Grawitacji nie mozna ekranowac. Nie istnieja ujemne ładunki gra-witacyjne, które mogłyby zrównowazyc działanie ładunków dodat-nich, a zatem ekranowanie oddziaływan grawitacyjnych jest nie-mozliwe. Grawitacja zawsze jest siła przyciagajaca.

• Grawitacja to oddziaływanie o dalekim zasiegu. Zgodnie z prawempowszechnego ciazenia siła grawitacyjna maleje jak 1/r2. Nie ist-nieje zadna skala odległosci, charakteryzujaca oddziaływania gra-witacyjne, tak jak w przypadku silnych i słabych oddziaływan ja-drowych.

• Grawitacja jest najsłabszym z czterech oddziaływan fundamental-nych wystepujacych miedzy czastkami w dostepnym nam zakre-sie energii. Stosunek przyciagania grawitacyjnego do elektroma-gnetycznego odpychania miedzy dwoma protonami połozonymi


1. Grawitacja 5

Rysunek 1.1. Teoria grawitacji zajmuje sie zjawiskami zachodzacymi we wszystkichskalach, od mikroskopowej do kosmologicznej – najwiekszej, jaka jest rozpatrywanawe współczesnej fizyce. W całym tym zakresie odległosci i mas znane sa zjawiska,w których grawitacja odgrywa wazna role. Rysunek przedstawia charakterystycznemasy M i odległosci R dla róznych układów. Kropki oznaczaja zjawiska, w którychgrawitacja jest istotna. Natomiast kwadracikami oznaczono zjawiska, w których gra-witacja nie odgrywa wiekszej roli. Zjawiska, którym odpowiadaja punkty powyzejlinii diagonalnej, sa nieobserwowalne, gdyz zachodza wewnatrz czarnych dziur. Wzjawiskach, którym odpowiadaja punkty połozone blisko linii 2GM = c2R, ma-ja znaczenie relatywistyczne efekty grawitacyjne. Najwieksze skale stanowia obszarbadan astrofizyki i kosmologii; najmniejsze – zwiazane sa z fizyka czastek elemen-tarnych. Najmniejsza zaznaczona odległosc (∼ 10−33 cm) to długosc Plancka, sta-nowiaca granice miedzy klasyczna i kwantowa grawitacja. Skale dotyczace Wszech-swiata w róznych fazach jego historii to srednice kuli, jaka swiatło mogłoby przebycod Wielkiego Wybuchu, oraz masa zawarta w takiej kuli, gdyby Wszechswiat zawszerozszerzał sie w takim tempie jak obecnie.


6 GRAWITACJA

w odległosci r wynosi:

Fgraw

Felek=

Gm2p/r

2

e2/(4πε0r2)=

Gm2p

(e2/4πε0)∼ 10−36, (1.2)

gdzie mp jest masa protonu, a e to jego ładunek.Te cztery fakty w znacznej mierze wyjasniaja role grawitacji w zja-

wiskach fizycznych. Tłumacza na przykład, dlaczego grawitacja, chocjest najsłabsza siła, decyduje o strukturze Wszechswiata w astrofizycz-nej i kosmologicznej skali odległosci. Takie odległosci sa bez porów-nania wieksze niz zasieg słabych i silnych oddziaływan. Oddziaływa-nia elektromagnetyczne mogłyby przejawiac sie w duzej odległosci,gdyby istniały wielkie ciała, majace niezerowy ładunek elektryczny.Wszechswiat jest jednak elektrycznie obojetny, a siły elektromagne-tyczne o wiele rzedów wielkosci przewyzszaja siły grawitacyjne, wiecwszelkie ładunki wystepujace w duzej skali sa bardzo szybko neutrali-zowane. Pozostaje tylko grawitacja – jedyna siła determinujaca struk-ture Wszechswiata w duzej skali.

W tej ksiazce nie interesujemy sie wszystkimi zjawiskami, w któ-rych grawitacja jest istotna, lecz tylko takimi, w których wazna role od-grywaja relatywistyczne efekty grawitacyjne. Jesli chcemy zrozumiecwewnetrzna budowe Słonca, wystarcza do tego newtonowska teoriagrawitacji. Efekty relatywistyczne staja sie istotne dla obiektów o ma-sie M i wielkosci R tylko wtedy, gdy charakterystyczna bezwymiaro-wa wielkosc, utworzona z uzyciem stałej grawitacyjnej G i predkosciswiatła c,

GM

Rc2 , (1.3)

jest bliska jednosci. Rysunek 1.1 przedstawia rózne zjawiska zacho-dzace we Wszechswiecie oraz ich charakterystyczne wartosci M i R.Relatywistyczne efekty grawitacyjne sa najwazniejsze dla zjawisk, któ-rym odpowiadaja punkty na linii 2GM = c2R. Teraz opiszemy niecobardziej szczegółowo niektóre takie zjawiska.

Precyzyjne pomiary grawitacyjne w UkładzieSłonecznym

Jesli wezmiemy pod uwage parametr (1.3), Ziemia nie okaze sie szcze-gólnie relatywistycznym obiektem: GM⊕/c2R⊕ ∼ 10−9 (⊕ to stoso-wany w astronomii symbol Ziemi). Jednakze zegary stanowiace pod-stawe konstrukcji GPS (rys. 1.2) musza działac z taka dokładnoscia,ze gdyby efekty ogólnej teorii wzglednosci zostały pominiete, systemzawiódłby juz po upływie pół godziny (rozdz. 6).

Dla Słonca (�) GM�/c2R� ∼ 10−6, a zatem poprawki wynikaja-ce z ogólnej teorii wzglednosci w przypadku orbit planet sa niewielkie,


1. Grawitacja 7

Rysunek 1.2. Satelity GPS.Prawidłowe działanie tegosystemu wymaga uwzgled-nienia niewielkich efektów,przewidywanych przez ogól-na teorie wzglednosci.

Rysunek 1.3. Mgławica Krab.Mgławica ta jest pozostało-scia po wybuchu supernowej,której swiatło dotarło do Zie-mi w 1054 roku. Zródłemenergii mgławicy jest wiruja-ca, relatywistyczna gwiazdaneutronowa.

ale mozna je wykryc, przeprowadzajac dokładne pomiary. Na przy-kład, zmiana połozenia peryhelium Merkurego (punktu na orbicie pla-nety połozonego najblizej Słonca), zachodzaca przy kazdym okrazeniuorbity, jest klasycznym testem ogólnej teorii wzglednosci. Z ogólnejteorii wzglednosci wynika równiez, ze promienie swietlne przecho-dzace w poblizu Słonca ulegaja ugieciu, a czas, jakiego potrzebuja napokonanie takiej drogi, jest dłuzszy niz to wynika z teorii Newtona.To niewielkie efekty, ale obecnie sa zawsze uwzgledniane podczas do-kładnych obserwacji astronomicznych (rozdz. 10).


8 GRAWITACJA

Relawistyczne gwiazdy

Wiekszosc gwiazd zawdziecza równowage cisnieniu gazu ogrzewa-nego przez reakcje termojadrowe, zachodzace w ich centralnych cze-sciach. Cisnienie gazu równowazy wszechobecne przyciaganie grawi-tacyjne. Gdy konczy sie zapas paliwa jadrowego, gwiazda zaczynasie zapadac pod własnym ciezarem. Jadra niektórych zapadajacych siegwiazd przechodza do stanu równowagi, w którym przyciaganie gra-witacyjne jest równowazone przez nietermiczne zródła cisnienia – po-wstaja wtedy zwarte, geste białe karły i gwiazdy neutronowe. Gwiaz-dy neutronowe maja mase porównywalna z masa Słonca i promienrzedu 10 km, a zatem sa obiektami relatywistycznymi, dla którychGM/c2R ∼ 0,1. Własnosci takich gwiazd omawiamy w rozdz. 24.Maksymalna masa gwiazd neutronowych i białych karłów jest równakilku masom Słonca. Dalsze zapadanie sie jader gwiazd o wiekszejmasie prowadzi do powstania czarnych dziur.

Czarne dziury

Zgodnie z ogólna teoria wzglednosci czarna dziura powstaje wtedy,gdy dana masa jest scisnieta w tak małej objetosci, ze wskutek potez-nego przyciagania grawitacyjnego, panujacego na jej powierzchni, nicnie moze z niej uciec, nawet swiatło (rozdz. 12 i 15). Z zasad dynamikii prawa powszechnego ciazenia Newtona wynika, ze czastka o masiem, połozona w odległosci R od srodka masy M , moze pokonac jejprzyciaganie grawitacyjne, jesli jej predkosc poczatkowa jest wiekszaod predkosci ucieczki Vu, takiej ze energia kinetyczna czastki równo-wazy jej ujemna potencjalna energie grawitacyjna, czyli:

12mV 2

u =GmM

R. (1.4)

Predkosc ucieczki staje sie wieksza od predkosci swiatła, gdy:

2GMc2R

> 1. (1.5)

Wprawdzie w przypadku relatywistycznym analiza newtonowska niejest własciwa, ale warunek (1.5) stanowi poprawne, relatywistycznekryterium powstania sferycznie symetrycznej czarnej dziury o masieM , o ile własciwie zinterpretujemy wielkosc R.

Granice czarnej dziury w czasoprzestrzeni stanowi powierzchniazwana horyzontem zdarzen. Masa, informacja, obserwatorzy i wszelkieinne obiekty moga przekroczyc horyzont zdarzen, spadajac na czarnadziure, ale zgodnie z fizyka klasyczna nic nie moze wydostac sie nazewnatrz spod horyzontu. Choc czarne dziury czesto powstaja w wyni-ku bardzo burzliwego procesu grawitacyjnego zapadania sie gwiazdy,


1. Grawitacja 9

Rysunek 1.4. Model rentge-nowskiego układu podwójne-go GRO J1655-40. Gwiazdao duzej masie krazy wokółniewidocznej czarnej dziury.Materia z masywnej gwiaz-dy spada na czarna dziurei tworzy goracy dysk, któryemituje promieniowanierentgenowskie.

zgodnie z ogólna teoria wzglednosci sa obiektami bardzo prostymi,które mozna w pełni opisac za pomoca kilku parametrów. Jak to wyra-ził S. Chandrasekhar: „Czarne dziury to ze swej natury najdoskonalszemakroskopowe obiekty istniejace we Wszechswiecie, sa zbudowanewyłacznie z czasu i przestrzeni. A poniewaz ogólna teoria wzgledno-sci ma tylko jedna rodzine rozwiazan, które je opisuja, sa to równieznajprostsze istniejace obiekty” (Chandrasekhar 1983).

Zaobserwowano czarne dziury o masie kilku mas Słonca, kraza-ce wokół zwykłych gwiazd. W jadrach galaktyk istnieja supermasyw-ne czarne dziury o masie rzedu miliarda mas Słonca. W centrum na-szej Drogi Mlecznej znajduje sie czarna dziura o masie w przyblizeniutrzech milionów mas Słonca. Obecnie coraz wiecej danych wskazujena to, ze czarne dziury istnieja w jadrach wszystkich galaktyk o dosta-tecznie duzej masie.

Wprawdzie czarne dziury sa ciemne, ale mocno zakrzywiona cza-soprzestrzen wokół nich stanowi arene najgwałtowniejszych procesów,jakie zna współczesna astrofizyka. Materia spadajaca na czarna dziurewchodzi na orbite wokół niej, po czym tworzy goracy dysk. Taki dyskemituje promieniowanie rentgenowskie (rys. 1.4). Materia spadajacana wirujaca, namagnesowana czarna dziure jest zródłem energii kwa-zarów. Nie mozna wykluczyc, ze czarne dziury sa odpowiedzialne zarozbłyski gamma, wsród których zdarzaja sie najpotezniejsze eksplo-zje od czasu Wielkiego Wybuchu (metody wykrywania czarnych dziuroraz ich znaczenie w astrofizyce omawiamy w rozdz. 13).

Fale grawitacyjne

Z ogólnej teorii wzglednosci wynika, ze niewielkie zaburzenia krzy-wizny czasoprzestrzeni rozchodza sie w pustej przestrzeni z pred-koscia swiatła. Sa to tak zwane fale grawitacyjne (rozdz. 16). Do-


10 GRAWITACJA

wolne ciało, które w trakcie ruchu nie zachowuje symetrii sferyczneji nie porusza sie ruchem prostoliniowym, emituje fale grawitacyj-ne (rozdz. 23). Do najsilniejszych zródeł fal grawitacyjnych nalezyzaliczyc zderzenia zwartych gwiazd, łaczenie sie masywnych czar-nych dziur oraz Wielki Wybuch. We Wszechswiecie jest duzo poru-szajacych sie mas, a tego grawitacyjnego odpowiednika ładunku niemozna ekranowac. A zatem, jesli chodzi o promieniowanie grawi-tacyjne, to Wszechswiat nie jest szczególnie ciemny. Zlewajace sieczarne dziury w jadrach łaczacych sie galaktyk moga stanowic najpo-tezniejsze zródła energii we Wszechswiecie, której wiekszosc zostajewyemitowana w postaci fal grawitacyjnych. Detekcja promieniowa-nia grawitacyjnego dlatego wiaze sie z takimi trudnosciami, ze jestono słabo sprzezone z materia (1.2), ale to słabe sprzezenie sprawiarówniez, iz rejestracja fal grawitacyjnych jest tak interesujaca. Razwyemitowane fale grawitacyjne niemal nie ulegaja absorpcji. Wo-bec tego fale grawitacyjne moga stac sie nowym oknem na Wszech-swiat, które pozwoli nam zobaczyc najwczesniejsze chwile WielkiegoWybuchu oraz obserwowac przebieg procesu powstawania czarnychdziur.

Promieniowania grawitacyjnego nie udało sie jeszcze zarejestrowacbezposrednio, w ziemskim laboratorium, ale zaobserwowano wpływtego promieniowania na ruch jego zródeł. Fale grawitacyjne moznawykryc za pomoca dokładnych pomiarów wzglednego ruchu ciał podwpływem zaburzenia krzywizny czasoprzestrzeni, tyle ze fale z układupodwójnego gwiazd, bedacego dla obserwatorów na Ziemi najsilniej-szym zródłem fal grawitacyjnych, powoduja wzgledna zmiane odległo-sci miedzy dwiema masami próbnymi rzedu 1 do 1020. Nawet w przy-padku najwiekszego detektora fal grawitacyjnych, jaki został do tej po-ry zaproponowany – ma on postac układu satelitów odległych od siebie

Rysunek 1.5. Szkic kos-micznego interferometru,słuzacego do rejestracjifal grawitacyjnych LISA.Wiazki laserowe łacza trzydetektory odległe od siebieo 5 000 000 km. Fale gra-witacyjne mozna wykryc,mierzac niewielkie zmianyodległosci miedzy detektorami,spowodowane przejsciem fali.


1. Grawitacja 11

o 5 000 000 km – zmiana odległosci byłaby mniejsza od srednicy ato-mu (rys. 1.5).

Choc wykrycie fal grawitacyjnych stanowi wielkie wyzwanie, obec-nie sa budowane detektory naziemne i trwaja prace studyjne nad detek-torami kosmicznymi, które sprawia, ze w XXI w. astronomia fal gra-witacyjnych stanie sie mozliwa.

Wszechświat

Jak juz wspomnielismy, grawitacja decyduje o strukturze i ewolucjiWszechswiata w najwiekszych skalach odległosci i czasu. Takie skalesa przedmiotem badan kosmologii (rozdz. 17–19).

Obserwacje ruchu galaktyk dowodza, ze Wszechswiat sie rozsze-rza. Ich rozkład w najwiekszej skali swiadczy o tym, ze Wszechswiatjest dzis zaskakujaco regularny – srednio biorac, taki sam wszedziei we wszystkich kierunkach. Pomiary kosmicznego promieniowaniatła, wyemitowanego tuz po Wielkim Wybuchu, wskazuja, ze w prze-szłosci Wszechswiat był jeszcze bardziej jednorodny. Ogólna teoriawzglednosci pozwala przewidziec krzywizne czasoprzestrzeni takie-go regularnego Wszechswiata, a takze okresla jego ewolucje w czasie,dzieki czemu mozemy zrozumiec jego powstanie i historie oraz prze-widziec przyszłosc.

Z ogólnej teorii wzglednosci i obserwacji kosmologicznych wynika,ze Wszechswiat rozpoczał sie od Wielkiego Wybuchu, czyli osobliwo-sci, w której gestosc, temperatura i krzywizna były nieskonczone. Chocpod tymi wzgledami Wielki Wybuch był ekstremalny, charakteryzowa-ła go niezwykła regularnosc przestrzenna. Niewykluczone, ze jedyneodstepstwa od scisłej jednorodnosci stanowiły niewielkie kwantowefluktuacje gestosci materii, z których pod wpływem przyciagania gra-witacyjnego powstały pózniej obserwowane dzis gwiazdy i galaktyki.Liczne własciwosci Wszechswiata w duzej skali sa okreslone przezgrawitacje i fizyke czastek elementarnych w najwczesniejszej faziejego historii. Poza powstaniem zarodków obecnie obserwowanychstruktur w rozkładzie materii w skali kosmicznej, w fazie tej zostałokreslony stosunek gestosci materii do antymaterii, materii do pro-mieniowania grawitacyjnego, elektromagnetycznego i neutrinowego,a takze pierwotne obfitosci pierwiastków chemicznych.

Grawitacja kwantowa

W tym podreczniku zajmujemy sie klasyczna teoria grawitacji i wspo-minamy o teorii kwantowej tylko w jednym miejscu (rozdz. 13),ale zagadnienie kwantowej czasoprzestrzeni zasługuje na wzmian-ke w kazdym przegladzie waznych zjawisk grawitacyjnych. Wielko-scia charakterystyczna dla wszystkich zjawisk kwantowych jest stała


12 GRAWITACJA

Rysunek 1.6. Obraz Wszechswiata kilkaset tysiecy lat po Wielkim Wybuchu. Mapaotrzymana w eksperymencie Boomerang przedstawia fluktuacje temperatury mikro-falowego promieniowania tła, odpowiadajace zaburzeniom jednorodnosci Wszech-swiata, z których nastepnie powstały galaktyki. Róznica temperatury miedzy najja-sniejszymi i najciemniejszymi obszarami jest rzedu milikelwina.

Plancka ~. Dla kwantowych zjawisk grawitacyjnych charakterystycznesa jednoznacznie okreslone kombinacje stałych ~, G i c o wymiarzedługosci, czasu, energii i gestosci:

`Pl ≡ (G~/c3)1/2 = 1,62× 10−33 cm,

tPl ≡ (G~/c5)1/2 = 5,39× 10−44 s,

EPl ≡ (~c5/G)1/2 = 1,22× 1019 GeV,

ρPl ≡ c5/~G = 5,16× 1093 g/cm3.

(1.6)

Wielkosci te nazywamy długoscia, czasem, energia i gestoscia Plancka.Zjawisk zachodzacych w takich skalach nie mozna opisywac za pomo-ca klasycznej ogólnej teorii wzglednosci Einsteina, poniewaz w takiejsytuacji istotna role powinny odgrywac kwantowe fluktuacje klasycz-nej geometrii czasoprzestrzeni. W takim wypadku nalezy posłuzyc siekwantowa teoria grawitacji, dla której ogólna teoria wzglednosci Ein-steina stanowi klasyczne przyblizenie.

Wystarczy rzut oka na liczby we wzorach (1.6), by sie przekonac,ze domena, w której istotna role odgrywaja kwantowe własnosci cza-soprzestrzeni, jest bardzo odległa zarówno od codziennego doswiad-czenia, jak i mozliwosci badan laboratoryjnych. O ile wiemy, warunkischarakteryzowane przez skale Plancka sa spełnione tylko w dwóchsytuacjach: w Wielkim Wybuchu, w którym powstał Wszechswiat(rozdz. 17–19), oraz podczas kwantowego procesu parowania czar-


1. Grawitacja 13

nych dziur (rozdz. 13). Mimo to kwantowa grawitacja zajmuje waznemiejsce w dwóch dziedzinach badan współczesnej fizyki. Pierwszasa poszukiwania jednolitej teorii wszystkich oddziaływan fundamen-talnych, w tym grawitacji, której prostota stałaby sie widoczna w za-kresie energii porównywalnych z energia Plancka EPl. Drugim takimobszarem sa poszukiwania kwantowych warunków poczatkowych dlacałego Wszechswiata. We wczesnej fazie historii Wszechswiata, pod-czas Wielkiego Wybuchu i chwile pózniej, duze i małe skale sa ze sobapołaczone. Najwiekszy układ fizyczny jest scisniety do minimalnejwielkosci i osiaga maksymalna energie. W ksiazce tej nie omawiamykwantowej grawitacji, ale klasyczna teoria grawitacji, która sie tu zaj-mujemy, stanowi konieczny wstep do zrozumienia granic współczesnejfizyki.


ROZDZIAŁ

2Geometria jako fizyka

W ksiazce tej zajmujemy sie przestrzenia, czasem i grawitacja, ponie-waz (jak wspomnielismy pokrótce w rozdz. 1), zgodnie z podstawowaidea ogólnej teorii wzglednosci, przyczyna grawitacji jest krzywiznaczasoprzestrzeni – czterowymiarowej syntezy przestrzeni i czasu. Gra-witacja to geometria. W tym rozdziale omawiamy nieco szerzej kon-cepcje grawitacji jako geometrii, a nastepnie opisujemy, w jaki sposóbgeometria przestrzeni i czasu moze stac sie przedmiotem eksperymen-talnych i teoretycznych badan w fizyce.

2.1. Grawitacja to geometria

Z eksperymentów wynika, ze w jednorodnym polu grawitacyjnymwszystkie ciała spadaja z jednakowym przyspieszeniem – przyspiesze-nie nie zalezy od budowy spadajacego ciała. Gdyby Galileusz mógłzrzucic kule armatnia i piórko z Krzywej Wiezy w Pizie w próz-ni, oba te ciała spadałyby na Ziemie z przyspieszeniem 980 cm/s2.Równosc przyspieszen spadajacych ciał jest jednym z najdokładniejsprawdzonych faktów w całej fizyce. Wiadomo na przykład, ze w cza-sie powstawania tej ksiazki zarówno Ziemia, jak i Ksiezyc spadaja naSłonce z równym przyspieszeniem – wzgledna róznica jest mniejszaniz 1,5 × 10−13 (patrz ramka 2.1 na s. 15; dokładniej omawiamy tenproblem w rozdz. 6). Ów doswiadczalny fakt stanowi podstawe ogólnejteorii wzglednosci.

Rysunek 2.1 przedstawia wykres zaleznosci czasu t od wysokosci hpiłki podrzuconej pionowo do góry z powierzchni Ziemi. Piłka zaczy-na ruch z pewna predkoscia poczatkowa, zwalnia, osiaga maksymalnawysokosc, przyspiesza w dół i wraca na powierzchnie Ziemi. Kazdeinne ciało wyrzucone z tego samego miejsca z taka sama predkosciapoczatkowa poruszałoby sie wzdłuz dokładnie takiej samej krzywej.

Takie jednoznaczne okreslenie trajektorii w przestrzeni i czasie jestwyjatkowa własciwoscia grawitacji. Ruch ciała w polu magnetycznymzalezy od jego ładunku elektrycznego. Ciała majace ładunek dodatniodchylaja sie w przeciwna strone niz ciała o ładunku ujemnym, a ciałaelektrycznie obojetne poruszaja sie po linii prostej. Tylko w polu grawi-tacyjnym wszystkie ciała poruszaja sie po tej samej trajektorii w prze-strzeni i czasie, jednoznacznie okreslonej przez warunki poczatkowe.


2. Geometria jako fizyka 15

RAMKA 2.1. Zastosowanie laserowychdalmierzy księżycowych doweryfikacji równości przyspieszeń ciałw polu grawitacyjnymNajdokładniejszy test równosci przyspieszenwszystkich ciał spadajacych w polu grawitacyjnym,jaki dotychczas przeprowadzono, nie został wyko-nany w laboratorium, lecz polegał na porównaniuprzyspieszen, z jakimi Ziemia i Ksiezyc spadaja naSłonce. Przyspieszenia te sa równe ze wzgledna do-kładnoscia lepsza niz 1,5 × 10−13 (Williams i in.,1996; Anderson, Williams, 2001).

Test ten opiera sie na bardzo dokładnych po-miarach pozycji Ksiezyca wzgledem Ziemi w za-leznosci od czasu. Miara odległosci jest czas, ja-ki potrzebuje wysłany impuls laserowy, by dotrzecdo powierzchni Ksiezyca i wrócic na Ziemie. Od-ległosc do Ksiezyca, która wynosi w przyblize-niu 384 401 km, mozna obecnie wyznaczyc z błe-dem mniejszym niz kilka centymetrów, a zatemwzgledna dokładnosc pomiaru wynosi 10−10! Klu-czowym elementem dalmierza laserowego jest re-troreflektor, składajacy sie z trzech odbijajacychswiatło płaskich powierzchni, tworzacych wierz-chołek szescianu. Taka geometria sprawia, ze pro-mien swietlny, który wpadnie do srodka retroreflek-

Emisja impulsu laserowego w kierunkuKsiezyca w Obserwatorium McDonald

Lokalizacja retroreflektorów na powierzchni Ksiezyca

tora, zostaje odbity dokładnie w tym samym kie-runku, z którego nadleciał (patrz zad. 2.1). W la-tach 1969 i 1970 załogi statków Apollo 11, 14i 15 umiesciły w róznych miejscach na Ksiezy-cu układy składajace sie z od jednego do trzy-stu takich retroreflektorów. W 1973 roku radziec-ka automatyczna sonda kosmiczna Łunochod 2 ulo-kowała na Ksiezycu jeszcze jeden układ retrore-flektorów, zbudowany przez Rosjan i Francuzów.Od 1969 roku prowadzony jest systematyczny pro-gram pomiarów orbity Ksiezyca, realizowany głów-nie w Obserwatorium McDonald na Mt. Locke

Retroreflektor na Ksiezycu


16 GRAWITACJA

RAMKA 2.1. (cd.)

w Teksasie i Obserwatorium Côte d’Azur w Gras-se we Francji. Obecnie uzywane lasery wysyłaja 10impulsów na sekunde; kazdy impuls trwa 200 piko-sekund i składa sie w przyblizeniu z 1018 fotonów.Dyfrakcja, refrakcja w atmosferze i inne czynnikisprawiaja, ze do retroreflektora dociera tylko 10−9

wysłanych fotonów. Po powrocie wiazka swiatła majuz srednice 20 km, a zatem teleskop o srednicy 1 modbiera 10−9 powracajacych fotonów. Ostatecznieudaje sie zarejestrowac jeden odbity foton co kil-ka sekund. Pierwsze odbite fotony zarejestrowanow 1970 roku, a zatem program ten jest realizowanyjuz przez ponad 30 lat.

Rysunek 2.1. Piłka podrzucona pionowo do góry z pewna predkoscia poczatkowazwalnia z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu g = 980 cm/s2,osiaga maksymalna wysokosc h, a nastepnie spada na ziemie. Rysunek przedstawiacharakterystyczna paraboliczna krzywa zaleznosci czasu t od wysokosci h dladanej predkosci poczatkowej. Zgodnie ze standardowa konwencja przyjeta w teoriiwzglednosci, czas jest odłozony na osi pionowej. Dowolne ciało podrzucone z takasama predkoscia poczatkowa poruszałoby sie w czasoprzestrzeni po takiej samejkrzywej. Według ogólnej teorii wzglednosci Einsteina podrzucone ciała poruszajasie po trajektoriach prostych w zakrzywionej czasoprzestrzeni, a zródłem krzywiznyjest masa Ziemi.

Einstein wpadł na pomysł, ze jednoznacznie okreslenie trajektoriiw czasoprzestrzeni mozna wyjasnic jako konsekwencje geometrii czte-rowymiarowej unii przestrzeni i czasu, zwanej czasoprzestrzenia. Ein-stein wysunał hipoteze, ze obecnosc materii, takiej jak Ziemia, zmieniageometrie czasoprzestrzeni w jej otoczeniu – powoduje jej zakrzywie-nie – ale jesli nie działaja zadne siły, wszystkie ciała poruszaja sie w za-krzywionej czasoprzestrzeni po prostych trajektoriach. Zgodne z pierw-sza zasada dynamiki Newtona ciała, na które nie działaja zadne siły,poruszaja sie po trajektoriach prostych w trójwymiarowej przestrzenieuklidesowej. Według Einsteina Ziemia krazy wokół Słonca nie dlate-go, ze działa na nia siła grawitacji, ale z tego powodu, iz porusza sie ponajprostszej mozliwej trajektorii w czasoprzestrzeni o nieco nieeukli-desowej geometrii, a Słonce jest zródłem krzywizny czasoprzestrzeni.

2.2. Geometria a doświadczenieZgodnie z pewna relacja, pod koniec lat dwudziestych XIX wieku wiel-ki matematyk C. F. Gauss przeprowadził pomiary, których celem by-ło sprawdzenie elementarnego twierdzenia geometrii euklidesowej, ze



Rysunek 2.2. Współczesna mapa Niemiec z zaznaczonymi szczytami Hohenhagen,Brocken i Inselsberg. Niewykluczone, ze Gauss przeprowadził pomiary geodezyj-ne trójkata utworzonego przez te trzy wierzchołki, by stwierdzic, czy suma katówwewnetrznych trójkata wynosi rzeczywiscie 180◦, zgodnie z przewidywaniami geo-metrii euklidesowej.

suma katów wewnetrznych dowolnego trójkata wynosi 180◦. Gaussmiał mierzyc katy trójkata utworzonego przez szczyty Hohenhagen,Brocken i Inselsberg; zakładał przy tym, ze promienie swietlne rozcho-dza sie po liniach prostych. Okazało sie, ze suma katów rzeczywisciewynosi 180◦, a ewentualne odstepstwa od geometrii euklidesowej samniejsze od błedów pomiarów (patrz rys. 2.2.).

Zródła historyczne nie pozwalaja jednoznacznie stwierdzic, czyGauss faktycznie przeprowadził te pomiary. Mógł to jednak uczynic,co zwraca uwage na wazna sprawe. Sama logika nie gwarantuje, zeGauss musiał otrzymac 180◦. Fizyczna przestrzen moze miec wielegeometrii, odmiennych od geometrii Euklidesa. Z geometrii tych wy-nikaja inne przewidywania co do sumy katów wewnetrznych trójkata.Problem geometrii przestrzeni stanowi zagadnienie empiryczne. Pyta-


18 GRAWITACJA

nie to nalezy do fizyki, wymaga pomiarów, hipotez i testów. Pod koniecksiazki przekonamy sie, ze gdyby Gauss był w stanie przeprowadzicpomiary z dostateczna dokładnoscia, stwierdziłby, iz suma katów niejest dokładnie równa 180◦. Niewielka róznica, spowodowana przezmase Ziemi M⊕, jest rzedu:∣∣∣∣(suma katów wewnetrznych

trójkata w radianach

)∣∣∣∣− π ∼ (pole trójkata)R2⊕

(GM⊕

R⊕c2

),

(2.1)(gdzie R⊕ to promien Ziemi). Na wynik maja wpływ równiez Słon-ce i planety. Prosze zwrócic uwage na czynnik GM/Rc2, charaktery-styczny dla słabych efektów relatywistycznych (patrz rozdz. 1). Odle-głosci miedzy wierzchołkami wynosza 69 km, 85 km i 107 km. Jakłatwo stwierdzic, odstepstwo od przewidywan geometrii euklidesowejsiega 10−15 radiana (!). Takiej róznicy nie udałoby sie wykryc nawetza pomoca obecnych metod pomiarowych, ale potrafimy mierzyc od-stepstwa od geometrii euklidesowej spowodowane przez Słonce orazwyznaczyc geometrie przestrzeni w bardzo duzych skalach odległosci,jakimi zajmuje sie kosmologia (patrz ramka 2.2).

RAMKA 2.2. Geometria przestrzeniWszechświata

Współczesne pomiary – jakosciowo podobne dotych, jakie miał przeprowadzic Gauss – pozwala-ja okreslic geometrie przestrzeni w skali porówny-walnej z rozmiarami obserwowalnego Wszechswia-ta. Jak sie przekonamy w rozdz. 18, ogólna teoriawzglednosci w połaczeniu z obserwacjami rozkła-du galaktyk i promieniowania tła dopuszcza tylkokilka geometrii trójwymiarowej przestrzeni w danejchwili. Dwuwymiarowymi odpowiednikami mozli-wych wielkoskalowych geometrii przestrzeni trój-wymiarowej sa: płaska geometria płaszczyzny, geo-metria powierzchni sfery z dodatnia krzywizna orazgeometria powierzchni, która przypomina ziem-

niaczanego chipsa, majaca krzywizne ujemna. Jakmozna wyznaczyc geometrie przestrzeni naszegoWszechswiata?

Aby z grubsza zapoznac sie z metoda pomia-ru, wyobrazmy sobie, ze geometria przestrzeninie zalezy od czasu (w rzeczywistosci geometriaprzestrzeni sie zmienia, poniewaz Wszechswiat sierozszerza). Załózmy, ze potrafimy zidentyfikowacpewne obiekty astronomiczne o znanej wielko-sci p, połozone w znanej odległosci d . Gdybygeometria przestrzeni była płaska (odpowiednikpłaszczyzny), rozmiary katowe takich obiektówwynosiłyby θ = p/d . Jak widac na rysunku, gdy-by przestrzen miała dodatnia krzywizne, tak jakpowierzchnia kuli, rozmiary katowe najmniejszegoobiektu o wielkosci s byłyby takie samea). Moznato wyrazic jeszcze inaczej: rozmiary katowe obiektuo danej wielkosci i połozonego w znanej odległoscisa wieksze na powierzchni o krzywiznie dodatniej,takiej jak sfera, niz na płaszczyznie (zad. 2.6).Analogicznie, w przestrzeni o krzywiznie ujemnejtaki obiekt ma mniejsze rozmiary katowe (patrzzad. 18.12). W rozdz. 19 uzupełnimy te analize,uwzgledniajac ekspansje Wszechswiata, ale jako-sciowo wynik sie nie zmienia: pomiar rozmiarówkatowych wielkosci astronomicznych o znanej roz-ciagłosci i połozonych w znanej odległosci pozwala



RAMKA 2.2. (cd.)

okreslic, czy przestrzen jest płaska, czy ma krzywi-zne dodatnia, czy tez ujemna. Odpowiednimi obiek-tami sa pewne cechy promieniowania tła.

Kosmiczne mikrofalowe promieniowanie tła(KMPT) to swiatło, jakie zostało wyemitowane nie-długo po Wielkim Wybuchu, od którego rozpoczełasie historia Wszechswiata. Powstało ono w chwili,gdy Wszechswiat rozszerzył sie i ostygł na tyle, zemateria stała sie przezroczysta dla promieniowania.Od tej pory przez 14 miliardów lat promieniowanierozprzestrzeniło sie swobodnie we Wszechswiecie.Gdyby Wszechswiat sie nie rozszerzał, promienio-wanie tła pokonałoby w tym czasie odległosc 14 mi-liardów lat swietlnych. Temperatura promieniowa-nia zmniejszyła sie do 2,73 K i jest niemal dokładnie

taka sama niezaleznie od kierunku pomiaru. Zaob-serwowano niewielkie fluktuacje temperatury pro-mieniowania, rzedu kilkudziesieciu milionowychkelwina. Z teorii powstania i ewolucji takich fluktu-acji wynika, ze ich widmo ma pewna okreslona ska-le długosci. Fluktuacje temperatury promieniowaniastanowia zatem pewien zbiór obiektów o znanymwidmie i połozonych w znanej odległosci. Wobec te-go, obserwujac ich rozmiary katowe, mozemy okre-slic geometrie Wszechswiata. Na rysunku w gór-nej czesci znajduje sie mapa fluktuacji temperaturypromieniowania tła na obszarze o srednicy katowej25◦, sporzadzona w ramach eksperymentu Boome-rang (deBernardis i in., 2000). Ponizej przedstawio-no wyniki symulacji numerycznej mapy dla teore-tycznego widma rozmiarów fluktuacji w przestrzenio krzywiznie dodatniej (z lewej), płaskiej (w srodku)i o krzywiznie ujemnej (z prawej). Ilosciowe porów-nanie rezultatów obserwacji i symulacji wskazuje,ze przestrzen jest w przyblizeniu płaska (w najbliz-szej przyszłosci nalezy oczekiwac dokładniejszychwyników, ale metoda nie ulegnie zmianie). Kwestiageometrii przestrzeni to pytanie fizyczne, na któremozna odpowiedziec tylko dzieki pomiarom.

aJesli nie jest to dostatecznie jasne, prosze sobie wyobra-zic, ze sfera jest zrobiona z gumy i ze przyciskamy ja dopłaszczyzny stycznej do bieguna północnego. Katy mie-dzy południkami przecinajacymi sie w biegunie nie ule-gaja zmianie, natomiast równik i wszystkie równoleznikizostaja rozciagniete. Wobec tego kat rozpiety przez obiekto danej długosci geograficznej na sferze jest taki sam, jakrozpiety przez znacznie wiekszy obiekt na płaszczyznie.

2.3. Różne geometrie

Koncepcje geometrii nieeuklidesowej mozna łatwo zilustrowac w przy-padku dwóch wymiarów. Uczac sie w szkole euklidesowej geometriipłaszczyzny, poznajemy takie pojecia, jak punkt, prosta, odległosc, kat,równoległa, trójkat, koło i cieciwa. Jednym z dobrze znanych twierdzenjest wspomniane juz twierdzenie dotyczace trójkata:

∑wierzchołki

(kat

wewnetrzny

)= π. (2.2)


20 GRAWITACJA

Inne twierdzenie okresla stosunek obwodu koła do jego promienia:

(obwód)(promien)

=C

r= 2π. (2.3)

Powierzchnia sfery stanowi przykład dwuwymiarowej przestrzeni

Rysunek 2.3. Suma katówwewnetrznych w trójkaciesferycznym NAB wynosi270◦. Trójkat jest zbudo-wany z dwóch południkówprzecinajacych sie podkatem 90◦ w biegunie pół-nocnym oraz z fragmenturównika, zawartego pomie-dzy nimi. Sa to fragmentywielkich kół na sferze,a zatem z punktu widze-nia geometrii sferycznejstanowia linie proste.

o innej geometrii niz euklidesowa geometria płaszczyzny. W takiejgeometrii obowiazuja odmienne twierdzenia. Linie prosta na sferzemozna zdefiniowac jako najkrótsza linie przechodzaca przez dwa za-dane punkty, czyli odcinek koła wielkiego. Trójkaty sa zatem zbudo-wane z fragmentów trzech przecinajacych sie kół wielkich. Okrag tomiejsce geometryczne punktów równoodległych od zadanego punktu– srodka okregu – przy tym odległosc mierzymy po powierzchni sfery.Dla trójkata sferycznego o powierzchni A mamy:∑

wierzchołki

(kat

wewnetrzny

)= π +

A

a2 , (2.4)

gdzie a oznacza promien sfery.Równanie (2.4) pokazuje, ze suma katów wewnetrznych trójkata

sferycznego jest zawsze wieksza od π . Rysunek 2.3 przedstawia przy-kład trójkata sferycznego. Gdy powierzchnia trójkata staje sie corazmniejsza w porównaniu z kwadratem promienia krzywizny, coraz trud-niej jest odróznic płaszczyzne od zakrzywionej powierzchni sfery. Dlatrójkatów o bardzo małej powierzchni (A/a2

� 1) wynik otrzymanydla płaszczyzny (2.2) staje sie dobrym przyblizeniem wzoru (2.4).

Korzystajac ze zwiazków przedstawionych na rys. 2.4, mozemy ła-two obliczyc stosunek obwodu okregu na sferze do jego promienia:

(obwód)(promien)

=C

r= 2π

sin(r/a)(r/a)

. (2.5)

Podobnie, jesli r � a, to prawa strona wzoru sprowadza sie do wynikuotrzymanego dla płaszczyzny (2.3).

W celu wyznaczenia geometrii Ziemi nie trzeba opuszczac jej po-wierzchni. Geodeci (tacy jak Gauss), którzy niewatpliwie pozostajana powierzchni, potrafia mierzyc takie wielkosci, jak katy wewnetrznetrójkata oraz obwód i promien okregu. Porównujac wyniki z wzorami(2.4) i (2.5), moga, przynajmniej teoretycznie, sprawdzic, czy maja doczynienia z powierzchnia sferyczna i wyznaczyc promien krzywiznya. Podobnie, wykonujac pomiary w trzech wymiarach, mozemy w za-sadzie okreslic geometrie przestrzeni, obywajac sie bez dodatkowychwymiarów.

Wyobrazenie sobie trójwymiarowej zakrzywionej przestrzeni niejest tak łatwe, jak przestrzeni dwuwymiarowych o nieeuklidesowejgeometrii, które czesto mozna przedstawic w postaci powierzchni



Rysunek 2.4. Stosunek obwodu koła dojego promienia w geometrii sferycznej. Kołoto miejsce geometryczne punktów równooddalonych od jego srodka, przy czymodległosc jest mierzona po powierzchnisfery. Na rysunku srodek okregu znajdujesie w biegunie północnym, a okrag torównoleznik okreslony przez szerokoscgeograficzna θ . Promien r to odległoscod bieguna północnego do równoleznika,mierzona wzdłuz dowolnego południka.

w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Pewne proste trójwymia-rowe geometrie mozna jednak wyobrazic sobie jako zakrzywione po-wierzchnie w hipotetycznej czterowymiarowej przestrzeni euklideso-wej. Na przykład, trójwymiarowa przestrzenia analogiczna do dwuwy-miarowej sfery omawianej powyzej jest trójwymiarowa powierzchniakuli w przestrzeni czterowymiarowej – trójwymiarowa sfera. Gdybyprzestrzen miała ustalona geometrie trójwymiarowej kuli, podejmujacpodróz prosto w dowolnym kierunku, ostatecznie powrócilibysmy dopunktu wyjscia. Niemniej dokładniejsze informacje o geometrii prze-strzeni mozna uzyskac za pomoca pomiarów lokalnych. Okazuje sie naprzykład1, ze objetosc zamknieta dwuwymiarowa sfera o promieniu rw przestrzeni o takiej geometrii wynosi:

V = 4πa3{

12

sin−1(r

a

)−r

2a

[1−

(r

a

)2]1/2}(2.6a)

≈4πr3

3

[1+

(poprawki

rzedu (r/a)2

)], dla małych r/a, (2.6b)

gdzie a to charakterystyczny promien krzywizny trójwymiarowej sfe-ry. Ze wzoru (2.6b) wynika, ze dla dwuwymiarowej sfery o promieniuznacznie mniejszym od a zaleznosc objetosci od promienia przyjmujepostac znana z geometrii trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.Gdyby przestrzen fizyczna miała geometrie trójwymiarowej sfery,moglibysmy wyznaczyc jej charakterystyczny promien krzywizny,przeprowadzajac staranne pomiary promieni i objetosci dwuwymiaro-wych sfer. Jak sie przekonamy w rozdz. 18, z ogólnej teorii wzglednosci

1Wynik ten wyprowadzimy w przykładzie 7.6.


22 GRAWITACJA

wynika, ze jest to jedna z mozliwych geometrii przestrzeni jednorodne-go wszechswiata w bardzo duzej skali. W ramce 2.2 na s. 18 opisujemyjedna z prób zbadania własciwosci przestrzeni w takiej skali.

2.4. Określenie geometrii

Oprócz geometrii płaszczyzny i geometrii sfery jest jeszcze nie-skonczenie wiele mozliwych geometrii dwuwymiarowej przestrzeni,np. geometria powierzchni jajka lub płaszczyzny z kilkoma zagłe-bieniami. Podobnie w trzech wymiarach istnieje nieskonczenie wieleróznych geometrii. Jak opisywac i porównywac matematycznie prze-strzenie o róznych geometriach?

Jeden ze sposobów polega na opisaniu takiej przestrzeni jako po-wierzchni w przestrzeni euklidesowej o wiekszej liczbie wymiarów.Skorzystalismy z tej metody, przedstawiajac przestrzenie dwuwymia-rowe jako powierzchnie zanurzone w trójwymiarowej przestrzeni Eu-klidesa – płaszczyzne, sfere, jajko itp., ale poza nielicznymi najprost-szymi przypadkami jest rzecza niemal niemozliwa wyobrazic sobieprzestrzen trój- lub czterowymiarowa jako powierzchnie w euklideso-wej przestrzeni cztero- lub pieciowymiarowej. Ponadto, z fizycznegopunktu widzenia te dodatkowe wymiary sa zbedne. To, czego potrze-bujemy, to wewnetrzna geometria, w której wykorzystujemy mierzalne,fizyczne wymiary.

Jeszcze inna mozliwoscia jest okreslenie geometrii przestrzeni zapomoca kilku aksjomatów, z których wyprowadza sie twierdzenia obo-wiazujace w tej geometrii. Dla geometrii płaszczyzny mamy piec ak-sjomatów Euklidesa. Dwa punkty jednoznacznie okreslaja linie prosta,proste równoległe nigdy sie nie przecinaja itd. Mozna w ten sposób, zapomoca odpowiednich aksjomatów, opisac niektóre proste geometrie.Na przykład, geometrie dwuwymiarowej powierzchni sfery okreslajaaksjomaty Euklidesa, tyle ze piaty zastapimy postulatem, iz dwie linierównoległe zawsze przecinaja sie w dwóch punktach. Ta metoda majednak powazne ograniczenia. Jakie aksjomaty opisuja geometrie po-wierzchni ziemniaka? Potrzebujemy bardziej szczegółowego i lokalne-go opisu.

Kluczem do ogólnego opisu geometrii przestrzeni jest zastosowa-nie rachunku rózniczkowego i całkowego, co pozwala zredukowac ca-ła geometrie do okreslenia odległosci miedzy sasiednimi punktami. Je-sli znamy odległosc miedzy bliskimi punktami, to całkujac, mozemyobliczyc odległosc wzdłuz dowolnej krzywej. Linie proste to najkrót-sze krzywe łaczace dwa punkty. Katy to stosunki długosci łuków doich promieni, jesli długosc łuku jest niewielka. Powierzchnie, objetoscitp. mozna wyznaczyc, obliczajac całke wielokrotna po elementach po-wierzchni lub objetosci, okreslonych przez odległosci miedzy bliskimi



punktami. Jesli znamy odległosc miedzy dowolnymi dwoma sasiadu-jacymi punktami, to za pomoca rachunku rózniczkowego i całkowegomozemy opisac najbardziej ogólna geometrie. Te gałaz matematyki na-zywamy geometria rózniczkowa. W nastepnym podrozdziale zapozna-my sie z jej podstawami.

2.5. Współrzędne i element liniowy

Geometria euklidesowa płaszczyzny

Aby okreslic odległosc miedzy sasiednimi punktami, nalezy najpierwwprowadzic systematyczny sposób oznaczania punktów. Jednoznacz-na etykieta pozwala przypisac kazdemu punktowi układ współrzed-nych, przy czym istnieje wiele mozliwych układów. Na dwuwymia-rowej płaszczyznie mozemy np. wprowadzic współrzedne kartezjan-skie (x, y), współrzedne biegunowe (r, φ) wokół pewnego punktu itd.(rys. 2.5).

Rysunek 2.5. Współrzedne kartezjanskie i biegunowe sa to dwie systematycznemetody oznaczania punktów na płaszczyznie. Oba układy współrzednych pozwalajawyrazic odległosc miedzy sasiednimi punktami.

Punkty połozone w niewielkiej odległosci od siebie maja współ-rzedne o podobnej wartosci. Punkty (x, y) i (x + dx, y + dy) lezaw niewielkiej odległosci od siebie, jesli dx i dy sa wielkosciami in-finitezymalnymi. Podobnie, punkty (r, φ) i (r + dr, φ + dφ) równiezznajduja sie w niewielkiej odległosci od siebie.

We współrzednych kartezjanskich (x, y) odległosc dS miedzypunktami (x, y) i (x + dx, y + dy) wynosi (patrz rys. 2.5):

dS = [(dx)2 + (dy)2]1/2. (2.7)

Te sama regułe mozna zapisac równiez we współrzednych bieguno-wych; odległosc miedzy punktami (r, φ) i (r + dr, φ + dφ) jest równa


24 GRAWITACJA

(patrz rys. 2.5):

dS = [(dr)2 + (rdφ)2]1/2. (2.8)

Wzór (2.8) i podobne sa poprawne tylko wtedy, gdy dr i dφ towielkosci bardzo małe. Odległosc miedzy punktami mozna obliczyc,wykorzystujac te zwiazki dla wielkosci infinitezymalnych, a nastepniewykonujac całkowanie. Obliczmy np. stosunek obwodu do srednicyokregu o promieniu R. Jesli tak wybierzemy układ współrzednych, byjego poczatek znajdował sie w srodku okregu, to równanie okregu wewspółrzednych kartezjanskich bedzie miało postac:

x2+ y2

= R2. (2.9)

Obwód C jest równy całce z dS po okregu. Korzystajac z (2.7), mamy:

C =

∮dS =

∮[(dx)2 + (dy)2]1/2 (2.10a)

= 2∫+R

−R

dx[

1+(

dydx

)2]1/2

x2+y2=R2(2.10b)

= 2∫+R

−R

dx

√R2

R2 − x2 . (2.10c)

Po zmianie zmiennej całkowania x = Rξ całka przybiera postac:

C = 2R∫ 1

−1

dξ√1− ξ2

= 2πR. (2.11)

Jest to poprawny wynik. Całke te mozemy nawet uznac za definicje π ;obliczajac ja numerycznie, dostaniemy π = 3,1415926535 . . .

Jeszcze łatwiej zwiazek miedzy promieniem i obwodem okregumozna wyprowadzic, uzywajac współrzednych biegunowych, w któ-rych równanie okregu to po prostu r = R. Tym razem wyznaczamy dSwedług wzoru (2.8). Po całkowaniu dostajemy:

C =

∮dS =

∫ 2π

0Rdφ = 2πR. (2.12)

To, ze z taka łatwoscia wyprowadzilismy zwiazek (2.12), korzystajacze współrzednych biegunowych, pokazuje, ze w konkretnych przypad-kach, jedne układy współrzednych sa lepsze od innych.

W podobny sposób moglibysmy wyprowadzic wszystkie twierdze-nia euklidesowej geometrii płaszczyzny. Na przykład kat miedzy dwie-ma przecinajacymi sie liniami mozna zdefiniowac jako stosunek dłu-gosci 1C łuku okregu o srodku w miejscu przeciecia sie tych linii,



wycietego z okregu przez te linie, do jego promienia R:

θ ≡1C

R(radianów). (2.13)

Wykorzystujac te definicje, moglibysmy udowodnic, ze suma katówwewnetrznych trójkata jest równa π . Przyjmujac za punkt wyjsciawzory (2.7) lub (2.8), moglibysmy nawet sprawdzic aksjomaty eukli-desowej geometrii płaszczyzny. Wszystkie twierdzenia geometrycznemozna zredukowac do stwierdzen dotyczacych stosunków długosci,a wszystkie długosci do całek z odległosci miedzy infinitezymalniebliskimi punktami. We wzorach (2.7) i (2.8) zawarta jest cała euklide-sowa geometria płaszczyzny.

Reasumujac, mozemy powiedziec, ze geometria jest okreslonaprzez element liniowy, taki jak (2.7) lub (2.8), który odległosc mie-dzy infinitezymalnie bliskimi punktami wyraza jako funkcje róznicwspółrzednych tych punktów w pewnym układzie współrzednych.Element liniowy zwykle zapisuje sie w postaci zwiazku okreslajacegodS2, np.:

Element liniowydS2= dx2

+ dy2, (2.14)

bez nawiasów wokół rózniczek. Postac elementu liniowego zalezy odwyboru układu współrzednych [np. (2.7) i (2.8)], ale geometria jestzawsze taka sama.

Nieeuklidesowa geometria sfery

Przykładem przestrzeni o nieeuklidesowej geometrii jest powierzchniadwuwymiarowej sfery. Połozenie punktów na sferze mozemy okreslac,uzywajac katów (θ, φ) trójwymiarowych współrzednych sferycznych.Po prostych obliczeniach (rys. 2.6) mozemy stwierdzic, ze odległoscmiedzy punktami: (θ, φ) i (θ + dθ, φ + dφ) wynosi:

dS2= a2(dθ2

+ sin2 θdφ2). (2.15)

Jest to element liniowy dla powierzchni sfery.

Element liniowy sfery

Wykorzystamy element liniowy (2.15) do obliczania stosunku ob-wodu do promienia okregu na powierzchni sfery. Przez okrag rozumie-my miejsce geometryczne punktów na powierzchni, połozonych w sta-łej odległosci (promien okregu) mierzonej po powierzchni, od ustalo-nego punktu (srodka okregu) na powierzchni. Poniewaz zaden punktna powierzchni sfery nie jest wyrózniony, mozemy tak wybrac układwspółrzednych biegunowych, by os biegunowa przechodziła przez sro-dek rozwazanego okregu. Okrag to zatem krzywa, dla której kat mastała wartosc θ . Rozwazmy okrag o równaniu:

θ = 2 (2.16)


26 GRAWITACJA

Rysunek 2.6. Wyprowadzenie elementu liniowego na sferze. W rozumowaniu ko-rzystamy z tego, ze dwuwymiarowa sfera stanowi powierzchnie w trójwymiarowejprzestrzeni euklidesowej. Na powierzchni sa zaznaczone dwa infinitezymalnie odle-głe od siebie punkty (θ, φ) i (θ +dθ, φ+dφ). Z rysunku widac, ze odległosc miedzyφ i φ+dφ mierzona wzdłuz linii stałej szerokosci geograficznej θ , jest równa a sin θ ,natomiast odległosc miedzy θ i θ + dθ , mierzona wzdłuz linii stałej długosci geogra-ficznej jest równa adθ . Poniewaz linie majace stała wartosc jednej ze współrzednych(θ, φ) sa ortogonalne, to suma kwadratów tych rózniczek daje kwadrat odległosci dSmiedzy rozwazanymi punktami dla infinitezymalnie małych dθ i dφ. W ten sposóbotrzymujemy element liniowy (2.15).

dla stałego2. Obwód jest równy długosci tej krzywej. Punkty na krzy-wej połozone infinitezymalnie blisko siebie róznia sie wartoscia współ-rzednej φ o dφ, ale dφ = 0. Wobec tego z (2.15) wynika, ze dS = asin θdφ, a zatem obwód wynosi:

C =

∮dS =

∫ 2π

0a sin2dφ = 2πa sin2. (2.17)

Promien to odległosc od srodka do dowolnego punktu na okregu, mie-rzona wzdłuz krzywej, dla której zmienia sie θ , natomiast dφ = 0.Wzdłuz tej krzywej dS = adθ , a zatem promien ma długosc:

r =

∫dS =

∫ 2

0adθ = a2. (2.18)

Korzystajac z (2.18), mozemy wyeliminowac 2 z (2.17). Dostajemyzatem relacje miedzy obwodem okregu i jego promieniem w nieeukli-desowej geometrii powierzchni sfery:



C = 2πa sin(r

a

), (2.19)

gdzie a to ustalona liczba charakteryzujaca dana geometrie, bedacamiara krzywizny rozwazanej przestrzeni. Gdy promien okregu jest du-zo mniejszy od promienia sfery, r � a, otrzymujemy w przyblizeniu:

C ≈ 2πr, (2.20)

czyli dobrze znany wynik z geometrii euklidesowej. Powierzchnia Zie-mi ma w dobrym przyblizeniu geometrie sfery.

Tak jak istnieje wiele układów współrzednych pozwalajacychopisac geometrie sfery, wiele jest odwzorowan (rzutów) kartograficz-nych słuzacych do sporzadzania map jej powierzchni. Opisujemy jew ramce 2.3.

RAMKA 2.3. Odwzorowaniakartograficzne

Liczne odwzorowania uzywane do sporzadzaniapłaskich map powierzchni Ziemi to przykłady sto-sowania róznych układów współrzednych opisuja-cych te sama geometrie. Sa one bardzo dobrymdwuwymiarowym przyblizeniem powierzchni sfe-ry. W zwykłych współrzednych biegunowych ele-ment liniowy wyrazony jest przez (2.15), przy czyma jest długoscia promienia Ziemi. Kat azymutalny φna powierzchni Ziemi to długosc geograficzna (mie-rzona w radianach, nie zas w stopniach), natomiastszerokosc geograficzna λ = π/2−θ . Element linio-wy wyrazony przez długosc i szerokosc geograficz-na wynosi:

dS2= a2(dλ2

+ cos2 λdφ2). (a)

Aby sporzadzic mape, wprowadzamy nowe współ-rzedne x i y na sferze, okreslone przez wzory:

x = x(λ, φ), y = y(λ, φ), (b)

i traktujemy je jako współrzedne prostokatne napłaszczyznie, na której zaznaczamy kontury kon-tynentów, połozenie miast itp. W zaleznosci ododwzorowania kartograficznego funkcje x(λ, φ)

i y(λ, φ) sa inaczej zdefiniowane. Okreslaja one ma-tematyczne odwzorowanie sfery na płaszczyzne.

Tyle jest róznych odwzorowan kartograficz-nych, ile funkcji x i y. Najprostszym przykłademjest:

x = (Lφ)/2π, y = (Lλ)/π, (c)

gdzie L to szerokosc mapy. W ten sposób φ i λ sta-ja sie x i y w prostokatnym układzie współrzednych.W rezultacie otrzymujemy, co widac na rysunku, takzwane odwzorowanie prostokatne. Znane sa jednakwygodniejsze odwzorowania, które gwarantuja za-chowanie na płaszczyznie mapy pewnych własnoscigeometrii sfery. Oczywiscie, zadne odwzorowanianie zachowuja wszystkich własciwosci sfery, ponie-waz sfera ma inna geometrie niz płaszczyzna!

Dla wielu uzytecznych odwzorowan kartogra-ficznych długosc geograficzna jest proporcjonalnado współrzednej x:

x =Lφ

2π, y = y(λ). (d)

Odwzorowanie prostokatne


28 GRAWITACJA

RAMKA 2.3. (cd.)

Dla odwzorowan tego typu prawdziwa odległoscmiedzy punktami jest okreslona przez element linio-wy:

dS2= a2

[(2πL

cos[λ(y)])2

dx2+

(dλdy

)2

dy2].

(e)Prostym przykładem takiego odwzorowania

jest odwzorowanie Merkatora, wymyslone przezG. Kramera w 1569 r. i zilustrowane ponizej. Kra-mer chciał znalezc takie odwzorowanie, w którymkaty na mapie byłyby równe wskazaniom kompasuna sferze. Przy takim załozeniu odwzorowanie sfe-ry na płaszczyzne powinno zachowywac katy mie-dzy liniami wychodzacymi z dowolnego punktu.Zeglarz podrózujacy z Caracas do Lizbony mógłbypo prostu wykreslic na mapie prosta linie łaczacate dwa porty, a kat miedzy nia i osia pionowa był-by wtedy równy katowi miedzy kursem statku i po-łudnikiem. Zachowujac przez cały czas stały kurs,zeglarz dotarłby z Caracas do Lizbony. Jak nalezywybrac funkcje y(λ) lub λ(y), zeby mapa spełniałaten warunek?

Jak wiemy z (2.13), katy sa okreslone przez sto-sunki odległosci. Kat miedzy dwoma kierunkami nasferze jest równy katowi miedzy odpowiednimi kie-runkami na płaszczyznie, element liniowy na sferzejest proporcjonalny do elementu liniowego na płasz-czyznie, dS2

= dx2+dy2. Aby zrealizowac pomysł

Kramera, funkcje λ(y) musimy tak wybrac, by ele-ment liniowy (e) mozna było zapisac w postaci:

dS2= �2(x, y)(dx2

+ dy2) (f)

dla pewnej funkcji �(x, y). Jest oczywiste, ze po-szukiwana funkcja musi spełniac warunek:

dλdy=

2πL

cos λ. (g)

Jesli tak wybierzemy y, by punktowi osi y = 0 od-powiadało λ = 0, otrzymamy:

y(λ) =L

2π

∫ λ

0

dλ′

cos λ′

=L

2πlog

[tan

(π

4+λ

2

)](h)

Równania (d) i (h) okreslaja odwzorowanie Merka-tora. Równik λ = 0 odpowiada linii y = 0. Biegunyλ = ±π/2 sa odwzorowane na y = ±∞.

Czynnik proporcjonalnosci�(x, y)miedzy me-tryka sfery i metryka płaszczyzny, zdefiniowanyrównaniem (f), jest równy:

�(y) =2πaL

cos λ(y) =4πaL

e2πy/L

1+ e4πy/L . (i)

Wiekszosc dobrze znanych własciwosci odwzoro-wania Merkatora wynika z postaci tego czynnika.Rozwazmy na przykład dwa punkty o tej samej sze-rokosci geograficznej, których długosc geograficznarózni sie o 1x. Rzeczywista odległosc miedzy tymipunktami 1S jest równa:

1S = �(y)1x (j)

i zalezy od szerokosci geograficznej. Gdy y → ∞,czyli w miare zblizania sie do bieguna północne-go, odległosc miedzy punktami maleje do zera, takjak powinna. Z uwagi na czynnik �(y) na duzychszerokosciach geograficznych prawdziwa odległoscw kierunku równoleznikowym jest mniejsza niz od-ległosc mierzona róznica współrzednych.

To samo dotyczy powierzchni. Niewielki prosto-kat na mapie, o bokach okreslonych przez róznicewspółrzednych 1x i 1y, ma powierzchnie:

1A = [�(y)1x][�(y)1y] = �2(y)1x1y. (k)

Dlatego, choc w odwzorowaniu Merkatora Gren-landia wydaje sie ogromna w porównaniu z Ame-ryka Południowa, jej rzeczywista powierzchnia jestznacznie mniejsza.

Odwzorowanie Merkatora



Geometria powierzchni osiowo symetrycznych

Element liniowy dla płaszczyzny i sfery wyprowadzilismy na podsta-wie prostego obrazu ich geometrii jako powierzchni w przestrzeni eu-klidesowej. W ogólnej teorii wzglednosci mamy czesto do czynieniaz elementem liniowym i musimy zbadac własciwosci geometrii, któraon reprezentuje.

Rozwazmy nastepujacy element liniowy:

dS2= a2(dθ2

+ f 2(θ)dφ2) (2.21)

dla róznych mozliwych funkcji f (θ). Dla f (θ) = sin θ dostajemy ele-ment liniowy sfery (2.15). Jakie powierzchnie zanurzone w trójwymia-rowej przestrzeni euklidesowej maja geometrie wewnetrzna okreslo-na przez element liniowy (2.21) dla innych funkcji f (θ)? Mamy kilkawskazówek.

1. Skoro element liniowy nie zalezy od kata φ, to odpowiada onpowierzchni majacej symetrie osiowa wokół linii biegunowej.

2. Obwód C(θ) okregu o stałej wartosci θ wynosi (z (2.21)):

C(θ) =

∫ 2π

0af (θ)dφ = 2πaf (θ). (2.22)

3. Odległosc od bieguna do bieguna jest równa:

d = a

∫ π

0dθ = πa. (2.23)

Obliczajac rózne wielkosci geometryczne, mozna otrzymac obrazpowierzchni zanurzonej w trójwymiarowej przestrzeni (patrz przy-kład 2.1).

PRZYKŁAD 2.1. Geometria fistaszka. Rozwazmy powierzchnieokreslona przez funkcje:

f (θ) = sin θ(

1−34

sin2 θ

). (2.24)

Powierzchnia jest symetryczna ze wzgledu na odbicie w płaszczyz-nie równikowej θ = π/2. Gdy zaczynamy od θ = 0, długosc ob-wodu okregu o stałej wartosci θ najpierw rosnie, osiaga maksimum,zaczyna malec, po przekroczeniu równika znowu rosnie, po czym ma-leje do zera, gdy zblizamy sie do θ = π . Dla kazdej wartosci kataθ obwód okregu jest mniejszy niz dla tej samej wartosci na sferze.


30 GRAWITACJA

Obwód równika wynosi:

C

(π

2

)= 2πa

(1−

34

)=πa

2. (2.25)

Maksymalna wartosc obwodu wynosi 8π/9 i odpowiadaθ = sin−1(2/3) = 0,73 radiana. Poniewaz odległosc od bieguna dobieguna jest równa πa, powierzchnia ta ma kształt wydłuzonego fi-staszka (rys. 2.7).

Rysunek 2.7. Powierzch-nia zanurzona w trój-wymiarowej przestrzenieuklidesowej, którejgeometria jest okreslonaprzez element liniowy(2.21), dla funkcji f (θ) =sin θ(1− 3/4 sin2 θ). Liniepoziome odpowiadaja sta-łym wartosciom θ . Obwódtych linii zalezy od kataθ zgodnie z równaniem(2.22). Linie pionowe tolinie stałej wartosci kataazymutalnego φ, naryso-wane w stałych odstepachkatowych wokół osi sy-metrii. Powierzchnia przy-pomina kształtem bardzosymetryczny fistaszek.

2.6. Współrzędne i niezmienniczość

Wczesniej, gdy liczylismy stosunek obwodu do promienia okregu napłaszczyznie, dwukrotnie otrzymalismy taki sam wynik, zarówno wewspółrzednych kartezjanskich, jak i biegunowych. Jest oczywiste, zew obu przypadkach odpowiedz musi byc taka sama. Długosc obwo-du okregu i odległosc miedzy srodkiem okregu i dowolnym punktemna okregu to konkretne wielkosci, które nie zaleza od wyboru układuwspółrzednych uzywanego do okreslenia połozenia na płaszczyznie.Gdyby ktos nam wreczył metalowy dysk, moglibysmy sprawdzic, czyjego krawedz stanowi okrag, mierzac odległosc od punktów na kra-wedzi do srodka. Nastepnie moglibysmy zmierzyc obwód i obliczycstosunek obwodu do promienia. Wybór układu współrzednych nie mawpływu na wyniki tych rachunków. Współrzedne to tylko wygodnyi systematyczny sposób oznaczania punktów. Współrzedne same w so-bie nie maja zadnego znaczenia. Równie dobrze moglibysmy nadawacpunktom imiona Jas, Alicja, Felek . . . Tak robimy na mapach – uzy-wamy takich nazw, jak Nowy Jork, Pekin itd. Taki sposób jednak niejest ani systematyczny, ani wygodny, gdy w geometrii stosujemy meto-dy rachunku rózniczkowego i całkowego. Współrzedne to uporzadko-wane zbiory etykiet punktów, przy czym istnieje nieskonczenie wieleukładów współrzednych i wszystkie sa równowazne. W zaleznosci odobliczen, jakie chcemy wykonac, jedne układy sa wygodniejsze od in-nych. Na przykład obwód okregu łatwiej obliczyc we współrzednychbiegunowych niz kartezjanskich, co pokazuja wyrazenia 2.11 i 2.12.W innym konkretnym przypadku – na przykład przy sporzadzaniu ma-py morskiej bedzie inaczej, jak to ilustruja mapy z ramki 2.3. Jednakbez wzgledu na wybór układu współrzednych otrzymamy takie sameodpowiedzi na wszystkie dobrze sformułowane pytania.

Równowaznosc współrzednych kartezjanskich i biegunowych napłaszczyznie mozna wykazac równiez w sposób ogólny. Skoro dwaukłady współrzednych stanowia rózne metody oznaczania połozeniatych samych punktów na płaszczyznie, to musi istniec miedzy nimi



pewien zwiazek. Połozenie danego punktu mozna okreslic albo zapomoca współrzednych (x, y), albo współrzednych (r, φ). Wyrazeniejednych współrzednych przez drugie to przekształcenie (transforma-cja) współrzednych. W tym przypadku mamy:

x = r cosφ, y = r sinφ. (2.26)

Wykorzystujac przekształcenie współrzednych (2.26), mozemy zupeł-nie automatycznie wykazac równowaznosc elementów liniowych (2.7)i (2.8), które okreslaja geometrie płaszczyzny. Zaczynamy od elementuliniowego (2.7) i liczymy dx i dy ze wzorów (2.26):

dx = (dr) cosφ − r sinφ(dφ), (2.27)

dy = (dr) sinφ + r cosφ(dφ), (2.28)

a nastepnie podstawiamy je do równania (2.7) i porzadkujemy wyra-zy. W ten sposób otrzymujemy element liniowy (2.8) okreslajacy dS2

we współrzednych biegunowych. Ten rachunek dowodzi, ze odległoscmiedzy pobliskimi punktami dS jest wielkoscia niezmiennicza – niezalezy od współrzednych uzytych w obliczeniach.

We wszystkich obliczeniach mozna uzywac dowolnych współrzed-nych, natomiast wyniki nalezy zawsze wyrazac za pomoca wielkosciniezmienniczych, majacych okreslone znaczenie fizyczne. W nastep-nych rozdziałach spotkamy jeszcze wiele przykładów ilustrujacych tenfakt.

Zadania2.1. [B] (a) Promien swietlny rozchodzi sie w pewnej płaszczyznie i odbija od

reflektora majacego postac dwóch linii przecinajacych sie pod katemprostym. Udowodnij, ze niezaleznie od kata, pod jakim promien padana reflektor, zawsze odbija sie on w kierunku, w którym padał.

(b) Udowodnij to samo w przypadku ruchu w trzech wymiarach i reflek-tora majacego postac wierzchołka szescianu.

2.2. [S] Srodek Słonca znajduje sie znacznie dalej niz srodek Ziemi od trójkatana naszej planecie, którego katy mierzymy, ale Słonce ma znacznie wiek-sza mase niz Ziemia. Korzystajac z (2.1), oszacuj, które z tych ciał wywie-ra wiekszy wpływ na takie pomiary, historycznie przypisywane Gaussowi.

2.3. [C] (a) Sprawdz zwiazek (2.4) miedzy suma katów wewnetrznych trójkatasferycznego i jego powierzchnia, w przypadku gdy trójkat ma dwakaty proste.

(b) Udowodnij ten zwiazek w ogólnym przypadku.

2.4. Narysuj na powierzchni sfery trójkaty, dla których:(a) suma katów wewnetrznych jest nieco wieksza niz π ;(b) suma katów wewnetrznych jest równa 2π .


32 GRAWITACJA

(c) Jaka jest maksymalna wartosc sumy katów wewnetrznych trójkata nasferze zgodnie ze wzorem (2.4)? Czy mozesz narysowac trójkat, dlaktórego suma katów wewnetrznych osiaga te wartosc?

2.5. Oblicz pole powierzchni koła o promieniu r (promien to odległosc od srod-ka koła do punktu na obwodzie) w dwuwymiarowej przestrzeni majacejgeometrie powierzchni sfery o promieniu a. Udowodnij, ze wynik dazy doπr2, gdy r � a.

2.6. [B] Dany jest odcinek o długosci s, stanowiacy czesc równoleznika sferyo promieniu a, odległego od bieguna o d . Jaki jest kat miedzy południ-kami przechodzacymi przez konce odcinka? Czy kat ten jest wiekszy, czymniejszy niz kat, jaki rozpiałby ten odcinek na płaszczyznie, gdyby wierz-chołek kata równiez był od niego odległy o d?

2.7. Dane jest nastepujace przekształcenie współrzednych kartezjanskich(x, y) oznaczajacych połozenie punktów na płaszczyznie, na współrzedne(µ, ν):

x = µν, y =12(µ2− ν2).

(a) Narysuj linie stałej wartosci µ i ν na płaszczyznie xy.(b) Wyraz element liniowy dS2

= dx2+ dy2 we współrzednych (µ, ν).

(c) Czy linie stałej wartosci µ i ν przecinaja sie pod katem prostym?(d) Znajdz równanie okregu o promieniu r i srodku w poczatku układu

współrzednych (x, y) we współrzednych (µ, ν).(e) Oblicz stosunek obwodu do srednicy okregu we współrzednych

(µ, ν). Czy otrzymałes poprawny wynik?

2.8. [A] Powierzchnia jajka jest w dobrym przyblizeniu osiowo symetryczna,a zatem jej element liniowy mozna przedstawic w postaci (2.21). Wybierztak funkcje f (θ), by powierzchnia przypominała jajko. Oblicz stosunekobwodu najwiekszego okregu wokół osi do odległosci od bieguna do bie-guna.

2.9. Powierzchnia Ziemi nie jest idealna sfera. Promien Ziemi na biegunie wy-nosi 6357 km, a sredni promien na równiku 6378 km. Załóz, ze jest to po-wierzchnia osiowo symetryczna, element liniowy ma postac (2.21), a funk-cja f (θ) to:

f (θ) = sin θ(1+ ε sin2 θ),

gdzie ε to pewna niewielka liczba. Jak nalezy wybrac a i ε, by mozliwienajlepiej przyblizyc wartosci promieni na biegunie i na równiku?

2.10. [B] Odwzorowanie równopowierzchniowe. Odwzorowanie równopo-wierzchniowe jest tak zdefiniowane, by powierzchnia na mapie była pro-porcjonalna do powierzchni na sferze. Jak nalezy wybrac funkcje y(λ)dla x = Lφ/2π , by otrzymac taka mape? (Wskazówka: jesli infinitezy-malny element powierzchni dxdy jest proporcjonalny do odpowiedniegoinfinitezymalnego elementu powierzchni na sferze w dowolnym punkcie,to powierzchnie skonczonych obszarów równiez beda do siebie propor-cjonalne).

2.11. [B] Odwzorowania stozkowe. Odwzorowania stozkowe odwzorowujapunkty na sferze na współrzedne (r, ψ) na płaszczyznie mapy (uzywa-



my tu symbolu ψ , poniewaz φ oznacza współrzedna na sferze). Zatemw ogólnym przypadku r = r(λ, φ) i ψ = ψ(λ, φ). Szczególnie prostapostac maja odwzorowania stozkowe, dla których biegun północny jestpoczatkiem biegunowego układu współrzednych, a r = r(λ) i ψ = ψ(λ).(a) Wyraz element liniowy na sferze we współrzednych (r, ψ) dla takich

odwzorowan.(b) Znajdz taka funkcje r(λ), by otrzymac odwzorowanie równopo-

wierzchniowe, czyli takie, dla którego powierzchnia danego obszaruna sferze jest proporcjonalna do powierzchni odpowiedniego obszaruna mapie. (Wskazówka: patrz zad. 2.10.)

2.12. [B, N] Twoja osobista mapa swiata. Mapy w ramce 2.3 zostały narysowa-ne za pomoca programu Mathematica WorldPlot. Narysuj własna mape,uzywajac odwzorowania, dla którego poczatek układu znajduje sie w two-im rodzinnym miescie, a współrzedna r(λ) odzwierciedla twoje pogladyna temat znaczenia całej reszty swiata.


ROZDZIAŁ

3Przestrzeń, czas i grawitacja

w fizyce newtonowskiej

W rozdziale drugim wprowadzilismy pojecie geometrii i odpowiedniemetody jej opisu. W tym rozdziale omawiamy geometrie przestrzenii pojecie czasu przyjmowane w mechanice newtonowskiej. Przy okazjiprzypominamy pewne aspekty mechaniki i szczególnej teorii wzgled-nosci, które beda miały znaczenie w dalszych rozwazaniach.

3.1. Inercjalne układy odniesienia

W mechanice Newtona zakładamy pewna konkretna geometrie prze-Pierwsza zasada dynamikiNewtona strzeni i przyjmujemy pewne szczególne pojecie czasu. Widac to wy-

jatkowo wyraznie, gdy rozwazamy pierwsza zasade dynamiki, któraokresla ruch czastek swobodnych – czastek, na które nie działaja zadnesiły. Zgodnie z pierwsza zasada dynamiki Newtona, czastka swobodnaporusza sie po linii prostej ze stała predkoscia. Jakiej geometrii uzy-wamy, by okreslic, co to znaczy „linia prosta”? Jakiego pojecia czasuuzywamy, by zdefiniowac „stała predkosc?”

Linia prosta, o jakiej mowa w pierwszej zasadzie dynamiki Newto-na, to najkrótsza linia łaczaca dwa punkty w trójwymiarowej przestrze-ni euklidesowej. Geometria jest okreslona przez element liniowy, którywe współrzednych kartezjanskich ma postac:

dS2= dx2

+ dy2+ dz2. (3.1)

Element liniowy okresla odległosc dS miedzy dwoma punktami, któ-rych współrzedne róznia sie o infinitezymalne przedziały dx, dy i dz.Geometria ta stanowi naturalne uogólnienie geometrii płaszczyznydo trzech wymiarów, dlatego mówimy, ze opisuje płaska przestrzen.W mechanice newtonowskiej zakładamy, ze przestrzen fizyczna mageometrie Euklidesa.

Aby zrozumiec, jak opisujemy ruch w płaskiej przestrzeni przyjetejw mechanice Newtona, wyobrazmy sobie swiat, w którym czastki swo-bodne poruszaja sie we wszystkich mozliwych kierunkach. Obserwatorchce opisac i wyjasnic ruch czastek, które przelatuja przez jego labora-torium (patrz rys. 3.1). W tym celu moze wybrac układ współrzednychkartezjanskich (x, y, z), o poczatku w kacie laboratorium i osiach zo-


3. Przestrzeń, czas i grawitacja w fizyce newtonowskiej 35

Rysunek 3.1. Laboratorium definiuje układ odniesienia. Obserwator w wyideali-zowanym laboratorium moze wybrac układ współrzednych kartezjanskich (x, y, z),którego poczatek znajduje sie w jednym z katów laboratorium i osie pokrywaja siez liniami przeciecia scian i podłogi. Te trzy współrzedne oraz czas mierzony przezzegar mozna wykorzystac do opisu ruchu czastek w laboratorium i do sformułowaniapierwszej zasady dynamiki Newtona.

rientowanych wzdłuz linii przeciecia scian i podłogi. Współrzedne po-zwalaja okreslic połozenie punktów w przestrzeni, w której porusza sieobserwowana czastka. Ten układ współrzednych stanowi układ odnie-sienia, a w skrócie układ1.

Jest wiele mozliwych laboratoriów. Laboratoria moga poruszac siewzgledem siebie ze stała predkoscia, z przyspieszeniem, moga rów-niez obracac sie i poruszac sie ruchem złozonym (patrz rys. 3.2). Niewszystkie takie układy odniesienia sa równie uzyteczne, jesli chcemysformułowac zasady dynamiki. Szczególnie uzyteczny układ odnie-sienia mozna skonstruowac w nastepujacy sposób. Wybieramy pew-na czastke swobodna, która przez cały czas bedzie słuzyc za pocza-tek układu współrzednych (patrz rys. 3.3). W pewnej chwili wybie-ramy trzy osie współrzednych (x, y, z), wychodzace z tak okreslone-go poczatku układu współrzednych i ustawione zgodnie ze wskaza-niami trzech wzajemnie prostopadłych zyroskopów. Wskazania tychzyroskopów okreslaja kierunki trzech osi współrzednych w kolejnychchwilach. W jezyku blizszym geometrii oznacza to, ze w miare jakpoczatek układu porusza sie po linii prostej wraz z wybrana czast-ka swobodna, osie sa przesuwane równolegle do siebie (bez obrotu).

1Uzywamy tu terminu układ jako synonimu okreslenia układ współrzednych. Szcze-gółowe definiowanie tego pojecia jest zbyteczne, ale przypomnijmy, ze układy sa na ogółzwiazane z laboratorium danego obserwatora i pozwalaja opisywac tylko ograniczony ob-szar w przestrzeni i w czasie. Układy inercjalne w mechanice newtonowskiej i szczególnejteorii wzglednosci sa wyjatkiem, gdyz pokrywaja cała przestrzen i cały czas.


36 GRAWITACJA

Rysunek 3.2. Nie wszystkie układy odniesienia sa układami inercjalnymi. Rysunekprzedstawia cztery wyidealizowane laboratoria poruszajace sie w swiecie wypełnio-nym czastkami swobodnymi. Kazde laboratorium okresla pewien układ odniesienia(patrz rys. 3.1). Załózmy, ze dolne laboratorium stanowi inercjalny układ odniesie-nia. Najwyzsze laboratorium, które porusza sie ze stała predkoscia wzgledem dolne-go, równiez stanowi inercjalny układ odniesienia, natomiast dwa pozostałe laborato-ria, wirujace wzgledem pierwszego (z lewej) lub poruszajace sie z przyspieszeniem(z prawej) nie definiuja układu inercjalnego.

Otrzymany w ten sposób układ współrzednych nazywamy układeminercjalnym2.Układ inercjalny

Zasady dynamiki Newtona przybieraja najprostsza, standardowapostac w inercjalnych układach odniesienia. Obserwator w inercjal-nym układzie odniesienia moze zdefiniowac taki parametr t , ze wrazze zmiana wartosci tego parametru połozenie wszystkich czastek swo-bodnych zmienia sie ze stała predkoscia. Ten parametr to czas. Ruchdowolnej czastki swobodnej mozna opisac, podajac jej współrzednejako funkcje czasu x(t), y(t) i z(t). Przyspieszenie czastki jest równezeru:

d2x

dt2= 0,

d2y

dt2= 0,

d2y

dt2= 0. (3.2)

Równanie (3.2) wyraza pierwsza zasade dynamiki Newtona.2Istnieje legion synonimów uzywanych na okreslenie układów inercjalnych; na ogół

stanowia one jakis skrót okreslenia inercjalny (inercyjny) kartezjanski układ odniesienia.



Rysunek 3.3. Konstrukcja inercjalnego układu odniesienia. Jedna wybrana czastkaokresla poczatek układu współrzednych. Kierunki trzech osi w dowolnej chwili sawyznaczone przez trzy wzajemnie prostopadłe zyroskopy. Tak skonstruowany układwspółrzednych kartezjanskich (x, y, z) stanowi inercjalny układ odniesienia, słuzacydo opisu ruchu innych czastek. Rysunek przedstawia ten układ w dwóch dowolnychchwilach.

Widac z tego, ze układy inercjalne mozna zdefiniowac jako karte-zjanskie układy współrzednych, w których pierwsza zasada dynamikiNewtona przyjmuje postac równania (3.2).

Korzystajac z zasad dynamiki, obserwator w inercjalnym układzieodniesienia moze skonstruowac zegar, który mierzy czas t . Na przy-kład, miara upływu czasu moze byc zmiana połozenia wybranej czast-ki swobodnej, poniewaz wraz z upływem czasu t połozenie zmienia siew sposób jednostajny.

Nie kazdy kartezjanski układ współrzednych jest układem inercjal-nym. Na przykład układ odniesienia zwiazany z laboratorium na po-wierzchni Ziemi nie jest, scisle mówiac, układem inercjalnym. Równa-nia ruchu czastki swobodnej w takim układzie nie maja postaci (3.2),gdyz zawieraja jeszcze wyrazy opisujace przyspieszenie odsrodkowei przyspieszenie Coriolisa, które pojawiaja sie wskutek ruchu obroto-wego Ziemi. Powolny obrót wahadła Foucault dobitnie swiadczy, zeukład odniesienia zwiazany z Ziemia nie jest układem inercjalnym,lecz obraca sie wzgledem takiego układu (patrz ramka 3.1, gdzie opi-sujemy inny eksperyment ilustrujacy ten fakt).

Nie ma jednego układu inercjalnego, istnieje ich wiele. W konstruk-cji opisanej powyzej moglibysmy wybrac osie układu o trzech innychwzajemnie prostopadłych kierunkach, np. układ (x′, y′, z′) obróconywzgledem pierwszego. Moglismy równiez zwiazac poczatek układuwspółrzednych z inna czastka swobodna – w ten sposób otrzymaliby-smy układ przesuniety wzgledem pierwszego i na ogół poruszajacy siewzgledem niego ze stała predkoscia. Jak sie okazuje, obrót osi, prze-suniecie poczatku i ruch ze stała predkoscia wzgledna (oraz wszystkiekombinacje) to jedyne mozliwe róznice miedzy dowolnymi układamiinercjalnymi.


38 GRAWITACJA

RAMKA 3.1. Pomiar rotacji Ziemiza pomocą pierścieniowegointerferometru żyroskopowego

Laboratorium zwiazane z Ziemia nie stanowi iner-cjalnego układu odniesienia, poniewaz Ziemia sieobraca. Predkosc wirowania Ziemi mozna zmierzyc,wykonujac eksperymenty w zamknietym ziemskimlaboratorium bez odwoływania sie do takich zja-wisk astronomicznych jak wschody i zachody Słon-ca. Mozna to zrobic, obserwujac np. ruch wahadłaFoucault lub precesje zyroskopu, jednak pierscie-niowy interferometr zyroskopowy pozwala osia-gnac znacznie wieksza dokładnosc. Rysunek poni-zej przedstawia idee takiego urzadzenia w układziezyroskopu. Fale wyemitowane w fazie z punktu naobwodzie pierscienia rozchodza sie w przeciwnychkierunkach wokół pierscienia, po czym sa rejestro-wane w miejscu emisji. Jesli pierscien sie nie obra-ca, to fale rejestrowane w dowolnej chwili pokonujataka sama odległosc, sa w fazie i nastepuje konstruk-tywna interferencja. Mozemy skorzystac z układuinercjalnego z poczatkiem w srodku pierscienia, ze-by przeanalizowac, co dzieje sie, gdy pierscien ob-raca sie z predkoscia katowa � w tym układzie.W trakcie rozchodzenia sie fal wokół pierscienia,detektor obraca sie o kat � × (czas rozchodzeniasie fal) od miejsca, w którym znajdował sie w chwiliemisji fal. Fala rozchodzaca sie w kierunku przeciw-

nym do kierunku obrotu pierscienia dociera do de-tektora po czasie 1tp , krótszym niz czas, po jakimdociera do detektora fala rozchodzaca sie w kierun-ku zgodnym z kierunkiem obrotu. Odległosc, jakapokonuje ta fala, wynosi v1tp , gdzie v to predkoscrozchodzenia sie fali. Odległosc ta jest takze rów-na (2π − �1t)p)/R, gdzie R to promien pierscie-nia. Porównujac te dwa wyrazenia, mozemy obli-czyc czas 1tp . Odległosc pokonana przez fale jestrówna (2πR)/(1+ (�R/v)). Podobnie rozumujac,otrzymujemy odległosc pokonana przez druga fale– wyrazenie rózni sie tylko znakiem w mianowni-ku. Róznica odległosci jest równa:

(4πR2�/v)[1− (�R/v)2]−1.

Jesli ta róznica odległosci jest równa całkowitejwielokrotnosci długosci fali, nastepuje interferencjakonstruktywna, jesli natomiast jest równa nieparzy-stej wielokrotnosci połowy długosci fali, nastepujeinterferencja destruktywna. Jest to tak zwany efektSagnaca.

Ruch obrotowy Ziemi wykryto, wykorzystujaczjawisko Sagnaca w przypadku fal elektromagne-tycznych, ale – co godne uwagi – najdokładniej-sze wyniki otrzymano dla kwantowych fal de Bro-glie’a w atomach [np. Gustavson, Bouyer i Kasevich(1977)]. Długosc fal materii de Broglie’a dla czast-ki o masie m wynosi h/mv, a zatem dla predkoscielektronów w atomach jest znacznie mniejsza oddługosci fali swiatła widzialnego. Poniewaz o tym,czy nastepuje interferencja konstruktywna, czy de-struktywna, decyduje róznica odległosci wynoszacapół długosci fali, interferometry wykorzystujace fa-le materii moga dac bardzo dokładne wyniki. Precy-zyjne pomiary rotacji maja duze znaczenie, ponie-waz, jak sie przekonamy w rozdz. 14, z ogólnej teo-rii wzglednosci wynika, ze ruch obrotowy materiiwpływa na rotacje pobliskich układów inercjalnych.

Dwa układy współrzednych kartezjanskich (x, y, z) i (x′, y′, z′)zwiazane z dwoma inercjalnymi układami odniesienia stanowia tylkodwa sposoby okreslania połozenia punktów w trójwymiarowej prze-strzeni euklidesowej. Wobec tego musi istniec zwiazek miedzy tymidwoma systemami oznaczania punktów – czyli przekształcenie współ-rzednych. Oto trzy proste przykłady przekształcen współrzednych od-powiadajacych przesunieciu, obrotowi i ruchowi ze stała predkoscia.



1. Przesuniecie o odcinek d wzdłuz osi x (patrz rys. 3.4):

Rysunek 3.4. Dwa karte-zjanskie układy współrzed-nych przesuniete wzgledemsiebie o odcinek d wzdłuzosi x.

Rysunek 3.5. Dwa karte-zjanskie układy współrzed-nych obrócone wzgledemsiebie o kat ϕ wokół osi z.

Rysunek 3.6. Dwa kar-tezjanskie układy współ-rzednych poruszajace siewzgledem siebie ze stałapredkoscia v wzdłuz osiOX.

x′ = x − d,

y′ = y,

z′ = z.

(3.3)

2. Obrót o kat ϕ wokół osi z (patrz rys. 3.5):

x′ = (cosϕ)x + (sinϕ)y,

y′ = −(sinϕ)x + (cosϕ)y,

z′ = z.

(3.4)

3. Ruch ze stała predkoscia v wzdłuz osi x (patrz rys. 3.6):

x′ = x − vt,

y′ = y,

z′ = z.

(3.5)

Przekształcenia współrzednych (3.3), (3.4) i (3.5) pokazuja zwiazekmiedzy współrzednymi oznaczajacymi połozenie w róznych układachinercjalnych. Jaki jest natomiast zwiazek miedzy czasem w jednymukładzie i czasem w drugim? Powiedzielismy juz, w jaki sposób ob-serwator w jednym układzie moze okreslic czas t , by otrzymac prosteprawo ruchu czastki swobodnej. Czy podobnie skonstruowany czas t ′

w innym układzie inercjalnym bedzie taki sam? Dokładniej, czy dwazdarzenia zachodzace równoczesnie w jednym układzie inercjalnymsa równiez równoczesne w innych układach inercjalnych? Mechanikanewtonowska odpowiada jednoznacznie „tak” na te pytania. Zgodniez podstawowym załozeniem mechaniki newtonowskiej istnieje jedenczas, wspólny dla wszystkich inercjalnych obserwatorów. Jest to „abso-lutny”, „uniwersalny” czas, jaki wystepuje we wszystkich równaniachruchu we wszystkich układach inercjalnych. Zatem t ′ = t i przekształ-cenie współrzednych (3.5) przy przejsciu od jednego układu inercjal-nego do drugiego, poruszajacego sie wzgledem niego ze stała predko-scia v, mozna uzupełnic, otrzymujac:

Przekształcenie Galileusza

x′ = x − vt,

y′ = y,

z′ = z,

t ′ = t.

(3.6)


40 GRAWITACJA

Jest to tak zwane przekształcenie Galileusza. Pojecie absolutnego czasunie wystepuje w szczególnej teorii wzglednosci, zgodnie z która poje-cie czasu zalezy od wyboru inercjalnego układu odniesienia.

3.2. Zasada względności

Mechanika nie konczy sie na pierwszej zasadzie dynamiki Newtona.Druga zasada dynamiki okresla zwiazek miedzy zmiana predkosci cia-ła – czyli przyspieszeniem – a siłami, jakie na nie działaja. Wszystkieprawa mechaniki, w tym i druga zasada dynamiki, musza byc jednakzgodne z zasada wzglednosci.

Zasada względnościIdentyczne eksperymenty wykonywane w róznych układach

inercjalnych daja identyczne wyniki

Wyobrazmy sobie obserwatora w zamknietym laboratorium. Spraw-dzajac doswiadczalnie pierwsza zasade dynamiki Newtona, obserwa-tor moze zweryfikowac, czy znajduje sie w układzie inercjalnym, alezgodnie z zasada wzglednosci zadne doswiadczenie wykonane w labo-ratorium nie pozwala ustalic, w którym z nieskonczenie wielu układówinercjalnych znajduje sie laboratorium. Inaczej mówiac, nie ma czegostakiego, jak absolutne przesuniecie, absolutny obrót i absolutna pred-kosc. Pasazer z zawiazanymi oczami, jadacy samochodem po idealniegładkim torze, nie jest w stanie powiedziec, czy samochód stoi, czyjedzie ze stała predkoscia, moze natomiast stwierdzic, czy poruszasie z przyspieszeniem. Jak sie przekonamy w nastepnym rozdziale,zasada wzglednosci odegrała wazna role w odkryciu szczególnej teoriiwzglednosci.

„Gdy uczymy sie fizyki, dowiadujemy sie, ze istnieje wiele skom-plikowanych i szczegółowych praw, praw grawitacji, elektrycznoscii magnetyzmu, oddziaływan jadrowych itd. Jednak te wszystkie szcze-gółowe prawa sa podporzadkowane wielkim, ogólnym zasadom”.W ten sposób Richard Feynman (1965) scharakteryzował takie re-guły jak zasada wzglednosci. Od takich zasad dotyczacych wszystkichinnych praw fizycznych nie nalezy oczekiwac matematycznej scisłosci(co własciwie znaczy okreslenie „identyczne” w podanym sformuło-waniu zasady wzglednosci?). Nie zmienia to jednak faktu, ze wszyst-kie szczegółowe prawa fizyczne musza miec pewna wspólna ceche.Na przykład, z innego sformułowania zasady wzglednosci wynika, zewszystkie prawa mechaniki maja taka sama postac w kazdym układzieinercjalnym. Trudno jest scisle okreslic, co to znaczy, ze prawa maja



taka sama postac, ale mozna łatwo wyjasnic, o co chodzi, na przykła-dzie pierwszej zasady dynamiki Newtona. Załózmy, ze równanie (3.2)obowiazuje w pewnym układzie inercjalnym. Obroty, przesunieciai ruch ze stała predkoscia wzgledna zachowuja postac tego równania.Mozna to wykazac, rózniczkujac równania (3.3), (3.4) i (3.5) dwukrot-nie wzgledem czasu i wykorzystujac równanie t ′ = t . Poniewaz d, θi v maja stała wartosc, niezalezna od czasu, to we wszystkich trzechprzypadkach przekonujemy sie, ze z (3.2) wynika, iz:

d2x′

dt ′2= 0,

d2y′

dt ′2= 0,

d2z′

dt ′2= 0, (3.7)

a zatem równanie ruchu czastki swobodnej ma taka sama postac wewszystkich układach inercjalnych. W szczególnosci, równanie ruchujest niezmiennicze ze wzgledu na przekształcenia Galileusza.

RAMKA 3.2. Zasada Macha: jakieukłady są układami inercjalnymi?

Mechanika Newtona okresla zwiazki miedzy ukła-dami inercjalnymi, ale nie wyjasnia zwiazku miedzyukładami inercjalnymi i fizycznymi własciwoscia-mi Wszechswiata. Układy inercjalne mozna jednakscharakteryzowac w fizyczny sposób. W tym celurozwazmy nastepujacy eksperyment myslowy.

Wyobrazmy sobie, ze stoimy na biegunie północ-nym, a geste chmury zasłaniaja niebo. Obserwuje-my zawieszone pionowo wahadło Foucault. Płasz-czyzna ruchu wahadła powoli sie obraca wzgle-dem Ziemi. To dowodzi, ze układ inercjalny, w któ-rym płaszczyzna ruchu jest nieruchoma, obraca siewzgledem Ziemi. Po rozejsciu sie chmur, mozemyzauwazyc, ze ten układ inercjalny spoczywa wzgle-dem gwiazd stałych lub porusza sie wzgledem nichze stała predkoscia. Z doswiadczenia wiadomo, zeuzywane w mechanice układy inercjalne pozostajaw spoczynku wzgledem odległej materii lub poru-szaja sie wzgledem niej ze stała predkoscia. BiskupBerkeley (1685–1753) i fizyk Ernest Mach (1838–1916) wysuneli hipoteze, ze ten zwiazek miedzylokalnymi układami inercjalnymi i odległa mate-ria jest konieczny. Teza ta czasami jest nazywanazasada Macha. W ogólnej teorii wzglednosci zwia-zek ten nie jest konieczny. Gdyby układ inercjal-ny, w którym płaszczyzna ruchu wahadła Foucaultjest stacjonarna, obracał sie wzgledem odległychgwiazd, powiedzielibysmy, ze to Wszechswiat sieobraca. Izotropia odległej materii innego rodzaju –kosmicznego promieniowania tła (CMB – CosmicMicrowave Background) – nakłada bardzo silneograniczenia na rotacje Wszechswiata. Jednak, jaksie przekonamy w rozdz. 14, zgodnie z ogólna teo-ria wzglednosci ruch obrotowy materii wpływa naukłady inercjalne.


42 GRAWITACJA

Zasada wzglednosci, zgodnie z która prawa fizyki maja taka samapostac w układach inercjalnych, zwiazanych ze soba przekształcenia-mi opisujacymi obroty i przesuniecia, moze byc spełniona tylko dlate-go, ze przestrzen euklidesowa równiez ma taka symetrie. Prawa fizykinie byłyby niezmiennicze ze wzgledu na obroty i przesuniecia, gdybyprzestrzen miała taka geometrie, jak powierzchnia ziemniaka w dwóchwymiarach. Mozna w prosty sposób przekonac sie, ze przestrzen eu-klidesowa ma takie symetrie, badajac, jak zmienia sie element liniowy

dS2= dx2

+ dy2+ dz2 (3.8)

ze wzgledu na przesuniecia i obroty. Równania (3.3) i (3.4) okreslaja,jak zmieniaja sie współrzedne wskutek takich przekształcen. Rozwaz-my np. obroty. Równanie (3.4) mozna zapisac w postaci:

x = (cosϕ)x′ − (sinϕ)y′,

y = (sinϕ)x′ + (cosϕ)y′,

z = z′.

(3.9)

Podstawiajac to do (3.8), dostajemy:

dS2= (cosϕdx′ − sinϕdy′)2 + (sinϕdx′ + cosϕdy′)2 + dz′2 (3.10)

= dx′2 + dy′2 + dz′2.

Zatem postac elementu liniowego nie zmienia sie pod wpływem obro-tów, a tym samym równiez przestrzen euklidesowa jest symetryczna zewzgledu na obroty. Dowód przebiega tak samo w przypadku przesuniec.

3.3. Newtonowska teoria grawitacji

Prawo powszechnego ciazenia Newtona okresla siłe grawitacyjna EF ,z jaka punkt materialny A o masie M działa na punkt materialny Bo masiem, znajdujacy sie w odległosci r . Siła ta jest skierowana wzdłuzlinii łaczacej oba punkty i jest odwrotnie proporcjonalna do r2:

Prawo powszechnegociążenia Newtona

EFgraw = −GmM

r2 Eer . (3.11)

W tym wzorze Eer to wektor jednostkowy zwrócony od punktu mate-rialnego A do B, aG to stała grawitacyjna, o wartosci 6,67×10−8 dyncm2/g2. Siłe grawitacyjna działajaca na punkt materialny B mozna za-pisac w postaci:

EFgraw = −m E∇8(ExB), (3.12)



gdzie m masa punktu B, ExB to wektor połozenia punktu B, a 8(Ex) topotencjał grawitacyjny punktu materialnego A:

Newtonowski potencjałgrawitacyjny8(Ex) = −

GM

r≡ −

GM

|Ex − ExA|. (3.13)

Jesli punkt materialny B oddziałuje grawitacyjnie z wieloma ma-sami punktowymi MA, A = 1, 2, . . . połozonymi w punktach ExA, topotencjał grawitacyjny okreslajacy siłe w równaniu (3.12) jest sumapotencjałów grawitacyjnych kazdej z nich oddzielnie:

8(Ex) = −∑A

GMA

|Ex − ExA|. (3.14)

Dla ciagłego rozkładu gestosci masy µ(Ex), suma w (3.14) zmienia siew całke po masie µ(Ex)d3x zawartej w elemencie objetosci d3x, miano-wicie:

8(Ex) = −

∫d3x′

Gµ(Ex′)

|Ex − Ex′|. (3.15)

Czytelnicy znajacy elektromagnetyzm z pewnoscia natychmiast do-strzega podobienstwo miedzy potencjałem grawitacyjnym (3.15) i po-tencjałem elektrostatycznym, a takze miedzy siła przyciagania grawita-cyjnego, okreslona wzorem (3.12) a siła elektrostatyczna. Ta analogiajest przedstawiona bardziej szczegółowo w tabeli 3.1. Przyczyna podo-bienstwa jest to, ze obie siły sa odwrotnie proporcjonalne do kwadratuodległosci miedzy oddziałujacymi ciałami. Masa stanowi grawitacyjnyodpowiednik ładunku elektrycznego. Masa jest jednak zawsze dodat-nia, dlatego grawitacja zawsze przejawia sie w postaci siły przyciaga-jacej, natomiast siła elektrostatyczna moze działac odpychajaco.

TABELA 3.1. Porównanie teorii grawitacji Newtona i elektrostatyki

Newtonowska grawitacja Elektrostatyka

Siła miedzydwoma zródłami

EFgraw = −GmM

r2 Eer EFelek = +qQ

4πε0r2 Eer

Zwiazek miedzy siłai potencjałem

EFgraw = −m E∇8(ExB) EFelek = −q E∇8elek(ExB)

Potencjał na zewnatrzsferycznie symetrycznego zródła 8 = −

GM

r8elek =

Q

4πε0r

Równanie poladla potencjału ∇

28 = 4πGµ ∇28elek = −ρelek/ε0

Tutaj ExA i ExB to wektory połozenia mas M i m w przypadku grawitacji oraz ładunków Q i q w przypadkuelektrostatyki. Odległosc miedzy nimi wynosi r = |ExA − ExB |, a wektor jednostkowy Eer = (ExA − ExB)/r .EFgraw to siła grawitacyjna, z jaka ciało M działa na ciało m, a EFelek to siła elektrostatyczna, z jaka ładunek Q

przyciaga ładunek q. 8elek to potencjał elektrostatyczny, a ρelek to gestosc ładunku elektrycznego.


44 GRAWITACJA

Analogie miedzy grawitacja i elektrostatyka mozna posunac jeszczedalej. Mozemy zdefiniowac newtonowskie natezenie pola grawitacyj-nego Eg:

Newtonowskie polegrawitacyjne

Eg(Ex) ≡ −E∇8(Ex), (3.16)

które jest grawitacyjnym odpowiednikiem natezenia pola elektryczne-go. Teraz wyrazenie całkowe (3.15) okreslajace potencjał grawitacyjnymozemy zapisac w postaci rózniczkowej:

E∇ · Eg(Ex) = −4πGµ(Ex) (3.17)

lub

Newtonowskie równaniepola ∇

28(Ex) = 4πGµ(Ex), (3.18)

gdzie∇2 to laplasjan ∂2/∂x2+∂2/∂y2

+∂2/∂z2. Ten odpowiednik rów-nania Poissona w elektrostatyce jest newtonowskim równaniem polagrawitacyjnego.

PRZYKŁAD 3.1. Twierdzenie Newtona. Natezenie pola grawita-cyjnego na zewnatrz sferycznie symetrycznego rozkładu masy zalezytylko od całkowitej masy zródła. W celu udowodnienia tego twier-dzenia całkujemy obie strony równania (3.17) po objetosci V(r) sferyo promieniu r i srodku w srodku symetrii rozkładu, tak wybranej, byobjeła cały rozkład masy. Dostajemy:∫

V(r)d3x E∇ · Eg = −4πG

∫V(r)

d3xµ(r) = −4πGM, (3.19)

gdzieM to całkowita masa. Nastepnie korzystamy z twierdzenia Gaus-sa i wyrazamy całke po lewej stronie jako całke po powierzchni sferyo promieniu r: ∫

r

d EA · Eg = −4πGM. (3.20)

Z uwagi na sferyczna symetrie Eg moze zalezec tylko od r i ma kieru-nek radialny. Wobec tego całka po powierzchni jest równa 4πr2

|Eg(r)|,gdzie |Eg| to długosc wektora Eg. Wobec tego, jesli Eer jest wektorem jed-nostkowym w kierunku radialnym, to:

Eg(r) = −GM

r2 Eer (3.21)



i zalezy tylko od M . Potencjał grawitacyjny na zewnatrz sferyczniesymetrycznego rozkładu masy równiez zalezy tylko od M , o ile znor-malizujemy go tak, by znikał w nieskonczonosci:

8(r) = −GM

r. (3.22)

To, czy masa M jest skupiona w srodku, tworzy cienka powłoke czyjest rozłozona równomiernie w pewnej objetosci, nie jest istotne, byletylko rozkład był sferycznie symetryczny. Nie ma równiez znaczenia,czy masa wewnatrz sfery pozostaje w spoczynku, czy sie porusza, o ileporusza sie wyłacznie w kierunku radialnym. Pole i potencjał na ze-wnatrz sferycznie symetrycznego rozkładu masy sa dane odpowiedniowzorami (3.21) i (3.22) i nie zaleza od czasu, poniewaz całkowita masaukładu jest zachowana. W ogólnej teorii wzglednosci krzywizna czaso-przestrzeni na zewnatrz dowolnego sferycznie symetrycznego rozkładumasy równiez zalezy tylko od całkowitej masy.

PRZYKŁAD 3.2. Trzecie prawo Keplera. Trzecie prawo Kepleraokresla zwiazek miedzy okresem orbitalnym satelity krazacego wokółzródła pola grawitacyjnego, a rozmiarami orbity. Rozwazmy satelitekrazacego po orbicie kołowej o promieniu R z okresem orbitalnym T ,wokół sferycznie symetrycznego zródła przyciagania o całkowitej ma-sie M . Zwiazek miedzy promieniem R a okresem T mozna otrzymac,porównujac przyspieszenie dosrodkowe V 2/R (gdzie V to predkoscorbitalna satelity) z przyspieszeniem grawitacyjnym. Dostajemy:

V 2

R=

(2πRT

)2 1R=GM

R2 . (3.23)

Z tego otrzymujemy:

T 2=

4π2

GMR3. (3.24)

Jest to szczególny przypadek trzeciego prawa Keplera, które stwierdza,ze kwadrat okresu orbitalnego jest proporcjonalny do szescianu duzejpółosi.

W rozdziale 6 zobaczymy, jak newtonowska teoria sił grawitacyj-nych i czastek poruszajacych sie z przyspieszeniem moze zostac sfor-mułowana w jezyku geometrii jako teoria czastek swobodnych poru-szajacych sie w zakrzywionej czasoprzestrzeni.


46 GRAWITACJA

3.4. Masa grawitacyjna i masa bezwładna

Podstawiajac wyrazenie na siłe grawitacyjna (3.12) do drugiej zasadydynamiki Newtona EF = mEa, dostajemy:

mEa = −m E∇8 (3.25)

lub

Ea = −E∇8. (3.26)

Z tego równania wynika, ze wszystkie ciała spadaja z takim samymprzyspieszeniem w polu grawitacyjnym, niezaleznie od masy i składuchemicznego. Jak wspomnielismy w podrozdz. 2.1, ten uniwersalnycharakter przyspieszenia swobodnie spadajacych ciał jest fundamentemgeometrycznej interpretacji grawitacji w ogólnej teorii wzglednosci.

W celu lepszego zrozumienia, dlaczego wszystkie ciała spadajaswobodnie z jednakowym przyspieszeniem, nalezy rozróznic dwie ro-le, jakie odgrywa masa w równaniu (3.25). Po lewej stronie równaniamasa okresla bezwładnosc ciała, dlatego nazywa sie ja masa bezwład-na mI ciała. To własnie masa bezwładna wystepuje w równaniu ruchuNewtona:

Masa bezwładnaEF = mI Ea, (3.27)

niezaleznie od tego, jaka siła (grawitacyjna, elektromagnetyczna, spre-zysta itd.) działa na dane ciało.

Natomiast masa po prawej stronie równania (3.25) jest miara siłygrawitacyjnej działajacej miedzy ciałami, dlatego nazywa sie ja masagrawitacyjnamG. Ta masa wystepuje w prawie powszechnego ciazeniaNewtona [por. (3.11)]:

Masa grawitacyjna EFgraw = −GmGMG

r2 Eer . (3.28)

Masa grawitacyjna jest odpowiednikiem ładunku elektrycznego. Masagrawitacyjna wystepuje równiez w równaniu, pozwalajacym wyrazicsiłe grawitacyjna za pomoca potencjału grawitacyjnego:

EFgraw = −mG E∇8(ExB), (3.29)

a gestosc masy grawitacyjnej jest zródłem potencjału grawitacyjnego(3.18):

∇28(Ex) = 4πGµG(Ex). (3.30)

Uzywajac dobrze znanych terminów, mozna powiedziec, ze to masagrawitacyjna okresla ciezar ciała w danym polu grawitacyjnym Eg:



EFgraw = mG Eg. (3.31)

Wszystkie masy i gestosci masy, wystepujace w tabeli 3.1, dotycza ma-sy grawitacyjnej.

Z doswiadczenia wynika, ze wszystkie ciała spadaja z takim samymprzyspieszeniem w polu grawitacyjnym. Wobec tego masa grawitacyj-na musi byc proporcjonalna do masy bezwładnej, a stała proporcjonal-nosci musi byc taka sama dla wszystkich ciał. Mozemy zatem przy-jac, ze dla jednego wybranego ciała, na przykład wzorca kilogramaw Sèvres we Francji, masa grawitacyjna jest z definicji równa masiebezwładnej. Z prawa swobodnego spadku wynika wówczas, ze masagrawitacyjna jest równa masie bezwładnej dla wszystkich ciał:

Masa grawitacyjna jestrówna masie bezwładnej.mI = mG. (3.32)

Jak wspomnielismy w ramce 2.1 na s. 15 jest to jedno z najdokład-niej sprawdzonych praw fizycznych (dokładniej omawiamy ten pro-blem w rozdz. 6).

Równosc dwóch wielkosci fizycznych – masy bezwładnejmI , któraokresla bezwładnosc ciał w ogólnym równaniu ruchu ciał pod działa-niem dowolnych sił, oraz masy grawitacyjnej mG, która stanowi miarejednej, szczególnej siły działajacej na ciało, mianowicie grawitacji –jest naprawde godna uwagi. W teorii Newtona równosc obu mas sta-nowi niewyjasniony fakt eksperymentalny, niemajacy zwiazku z całateoria. Jednak własnie ten fakt eksperymentalny pozwala sformuło-wac geometryczna teorie grawitacji i stanowi podstawe ogólnej teo-rii wzglednosci. Jesli wszystkie ciała, które poczatkowo znajduja siew tym samym połozeniu i poruszaja sie z taka sama predkoscia, spa-daja wzdłuz takiej samej krzywej, niezaleznie od składu i budowy, toprzebieg tej krzywej mozna uwazac za ceche geometrii czasoprzestrze-ni, nie zas konsekwencje siły działajacej na te ciała.

3.5. Zasada wariacyjna w mechanicenewtonowskiej

Fizyka – tam gdzie działanie.(Anonim)

Zasady dynamiki Newtona mozna sformułowac w postaci zasady wa-riacyjnej, zwanej zasada najmniejszego działania3. Uogólniajac te zasa-de, wyprowadzimy równania ruchu czastki w zakrzywionej czasoprze-

3Zasady wariacyjne sa równiez okreslane terminem „zasady działania”.


48 GRAWITACJA

strzeni. Zacznijmy od rozwazenia prostego przypadku czastki o masiem poruszajacej sie ruchem jednowymiarowym w potencjale V (x).Równanie ruchu czastki mozna wyrazic, korzystajac z lagrangianu:

L(x, x) =12mx2− V (x), (3.33)

gdzie kropka oznacza pochodna po czasie. Prawo ruchu Newtonamx = −dV/dx mozna teraz zapisac jako równanie Lagrange’a:

−ddt

(∂L

∂x

)+∂L

∂x= 0. (3.34)

Rozwazmy mozliwe trajektorie czastki, od punktu xA w chwili tAdo punktu xB w chwili tB , przedstawione na rys. 3.7. Dla kazdej trajek-torii mozemy obliczyc pewna liczbe rzeczywista, zwana działaniem:

S[x(t)] =

∫ tB

tA

dtL(x(t), x(t)). (3.35)

Działanie jest przykładem funkcjonału – odwzorowania funkcji (w tymprzypadku wszystkich trajektorii x(t)) na liczby rzeczywiste.

Rysunek 3.7. Mozna po-prowadzic bardzo wieleróznych trajektorii od po-łozenia xA w chwili tAdo połozenia xB w chwilitB , ale czastka porusza potej jednej, dla której jestspełnione równanie ruchuNewtona. Dla tej trajektoriidziałanie ma ekstremum.

Ze wszystkich krzywych łaczacych połozenie xA w chwili tA z po-łozeniem xB w chwili tB , równanie Lagrange’a (3.34) jest spełnionetylko dla tych, dla których działanie ma ekstremum. To stwierdze-nie stanowi sformułowanie mechaniki newtonowskiej w postaci zasadywariacyjnej.

Zasada wariacyjna w mechanice newtonowskiejDowolna czastka porusza sie od jednego punktu w przestrzeni

w pewnej chwili do innego punktu w chwili pózniejszej wzdłuztakiej drogi, dla której działanie ma ekstremum

Inaczej mówiac, czastka zachowujaca sie zgodnie z zasadami dynami-ki Newtona porusza sie po drodze, dla której działanie ma ekstremum.Teraz wyjasnimy, co oznacza, ze działanie ma ekstremum i udowodni-my sformułowana zasade.

Ekstrema funkcji jednej zmiennej f (x) to punkty, gdzie znikapierwsza pochodna – lokalne minima, maksima i punkty przegiecia.W ekstremum niewielka zmiana δx argumentu funkcji x nie powoduje– z dokładnoscia do wyrazów pierwszego rzadu – zmiany wartoscifunkcji. Jest tak dlatego, ze z dokładnoscia do pierwszego rzedu w δx,

δf =dfdxδx, (3.36)

a w ekstremum df/dx = 0.



Funkcja f (x1, . . . , xn) n zmiennych x1, . . . , xn ma ekstremaw punktach, w których znikaja wszystkie pochodne czastkowe ∂f/∂xa ,dla a = 1, . . . , n. Ekstrema takiej funkcji to miejsca, gdzie znikapierwsza wariacja funkcji:

δf =

n∑a=1

∂f

∂xaδxa = 0, (3.37)

dla dowolnych wariacji δxa , a = 1, . . . , n. W wielu wymiarach eks-tremum funkcji nie musi byc ani minimum, ani maksimum. Funkcjamoze miec minimum w pewnych kierunkach, a maksimum we wszyst-kich pozostałych.

W przypadku funkcjonału działania S[x(t)]mówimy, ze ma on eks-tremum, jesli znika pierwsza wariacja funkcjonału dla wszystkich wa-riacji δx(t) trajektorii łaczacych punkty (xA, tA) i (xB , tB). W ce-lu obliczenia wariacji działania δS[x(t)] nalezy po prostu podstawicx(t) + δx(t) w miejsce x(t) do definicji działania (3.35), rozwinacotrzymane wyrazenie w szereg wzgledem δx(t) i scałkowac raz przezczesci. Mamy:

δS[x(t)] =

∫ tB

tA

dt[∂L

∂x(t)δx(t)+

∂L

∂x(t)δx(t)

](3.38a)

=∂L

∂x(t)δx(t)

∣∣∣∣tBtA

+

∫ tB

tA

dt[−

ddt

(∂L

∂x(t)

)+

∂L

∂x(t)

]δx(t).

(3.38b)

Wariacja trajektorii łaczacych punkty xA w chwili tA i xB w tB mu-si znikac w punktach koncowych δx(tA) = δx(tB) = 0. Wobec tegopierwszy wyraz w równaniu (3.38b) znika. Jesli funkcjonał działaniama miec ekstremum, to drugi wyraz musi znikac dla dowolnych wa-riacji δx(t). To jest mozliwe tylko wtedy, jesli wyrazenie podcałkowew całce (3.38b) znika tozsamosciowo, czyli gdy:

−ddt

(∂L

∂x

)+∂L

∂x= 0. (3.39)

Wobec tego funkcjonał ma ekstremum dla trajektorii, które spełniajarównania Lagrange’a.

Wynik ten obowiazuje równiez w przypadku ruchu w przestrzeniwielowymiarowej. Jesli lagrangian jest funkcja n współrzednych xn(t)i ich pierwszych pochodnych, to w ekstremum musza byc spełnionerównania:

Równania Lagrange’a−ddt

(∂L

∂xa

)+∂L

∂xa= 0, a = 1, . . . , n. (3.40)


50 GRAWITACJA

PRZYKŁAD 3.3. Szczególna wariacja. Jesli działanie ma ekstre-mum, a zatem jego wariacja znika dla wszystkich wariacji trajektorii,dla której jest spełnione równanie ruchu, to wariacja działania musiznikac równiez dla dowolnej szczególnej wariacji drogi. Rozwazmyruch czastki swobodnej (V (x) = 0), poruszajacej sie od punktu xAw chwili tA do xB w tB . Z równania ruchu Newtona wynika, ze czastkata porusza sie ze stała predkoscia (xB − xA)/T , gdzie T = tB − tA.

Rysunek 3.8. Na rysunku przedstawiona jest rodzina trajektorii czastek łaczacychpoczatkowe połozenie czastki xA w chwili tA z połozeniem koncowym xB w chwilitB . Kazda oznaczona cienka linia trajektoria składa sie z dwóch prostych odcinków,które łacza sie w punkcie X w połowie czasu miedzy tA i tB . Trajektoria, która eks-tremalizuje działanie to pogrubiona prosta łaczaca oba punkty. Ta trajektoria spełniaprawo Newtona.

Rysunek 3.8 przedstawia droge czastki po linii prostej przechodza-cej przez te punkty. Po upływie T/2, czastka znajduje sie w punkcie(xB + xA)/2. Porównamy działanie dla tej drogi, dla której jest speł-nione równanie ruchu Newtona, z działaniem czastki, która poruszasie ze stała predkoscia do pewnego innego punktu X przez czas T/2,a nastepnie z inna stała predkoscia, taka by dotrzec do xB po całkowi-tym czasie T . Działanie S(X) dla tych dróg jest funkcja X, która łatwoznalezc z (3.35), poniewaz na kazdym etapie czastka porusza sie zestała predkoscia, (X − xA)/(T /2) na pierwszym i (xB −X)/(T /2) nadrugim. Gdy czastka porusza sie ze stała predkoscia V przez czas t , todziałanie wynosi mV 2t/2. Całkowite działanie dla obu etapów otrzy-mujemy, sumujac wyniki obliczone dla kazdego etapu oddzielnie:

S(X) = m[(xB −X)2+ (X − xA)

2]/T . (3.41)

Działanie ma ekstremum gdy dS/dX = 0. Ten warunek jest spełnionytylko wtedy, gdy:

X = (xB + xA)/2, (3.42)

czyli dla drogi zgodnej z równaniem ruchu Newtona.



Zadania3.1. Czastka swobodna porusza sie w układzie inercjalnym (x, y, z) w płasz-

czyznie xy po drodze x(t) = d , y(t) = vt , gdzie d i v nie zaleza od czasu.Układ współrzednych kartezjanskich (x′, y′, z′) obraca sie wzgledem te-go układu ze stała predkoscia katowa ω wokół wspólnej osi z (z′ = z).Jakie równanie ruchu spełniaja funkcje x′(t), y′(t) i z′(t) w obracajacymsie układzie współrzednych? Naszkicuj droge czastki w płaszczyznie x′y′

i udowodnij, ze spełnia ona równanie ruchu.

3.2. Udowodnij, ze równanie ruchu Newtona nie jest niezmiennicze ze wzgleduna przejscie do układu poruszajacego sie ze stałym przyspieszeniem wzgle-dem układu inercjalnego. Jaka postac przyjmuje równanie ruchu w układzieporuszajacym sie z przyspieszeniem?

3.3. [B, S] O ile stopni na godzine obraca sie płaszczyzna ruchu wahadła Fou-cault opisanego w ramce 3.2 na stronie 41?

3.4. Oblicz potencjał grawitacyjny wewnatrz i na zewnatrz jednorodnej sferyo promieniu R i masie całkowitej M . Unormuj potencjał tak, by znikałw nieskonczonosci.

3.5. Rozwaz funkcjonał:

S[x(t)] =

∫ T

0

[(dx(t)

dt

)2

+ x2(t)

]dt.

Znajdz krzywa x(t) spełniajaca warunki:

x(0) = 0, x(T ) = 1,

dla której funkcjonał S[x(t)] ma ekstremum. Jaka wartosc przyjmujeS[x(t)] w ekstremum? Czy jest to minimum, czy maksimum?

3.6. [B, E, C] Oszacuj, jaka czesc energii spoczynkowej Ksiezyca stanowi je-go grawitacyjna energia potencjalna. Czy stosunek energii potencjalnej doenergii spoczynkowej jest mniejszy czy wiekszy od wzglednej dokładno-sci pomiarów równosci masy grawitacyjnej i masy bezwładnej za pomocadalmierzy laserowych?


ROZDZIAŁ

4Zasady

szczególnej teorii względności

Szczególna teoria wzglednosci Einsteina z 1905 r. zmusiła do gruntow-nej zmiany interpretacji pojec czasu i przestrzeni, które zostały omó-wione w poprzednim rozdziale. Zgodnie ze szczególna teoria wzgled-nosci, absolutna przestrzen euklidesowa i niezalezny od niej, absolutnyczas łacza sie i tworza czterowymiarowa czasoprzestrzen. W tym roz-dziale omawiamy podstawowe zasady szczególnej teorii wzglednosci,zaczynajac od nieeuklidesowej geometrii czasoprzestrzeni.

4.1. Dodawanie prędkości i eksperymentMichelsona–Morleya

Nie trzeba wiele wiedziec o równaniach Maxwella opisujacych wła-snosci pól elektromagnetycznych, zeby stwierdzic, ze nie maja onetakiej samej postaci we wszystkich układach inercjalnych mechanikinewtonowskiej. Z równan Maxwella wynika, ze swiatło rozchodzi siez predkoscia c, która pojawia sie jako stała fizyczna1 w tych równa-niach. Jednak z przekształcenia Galileusza (3.6) opisujacego przejscieod jednego układu inercjalnego do drugiego wynika, ze w układachinercjalnych poruszajacych sie wzgledem siebie swiatło powinno roz-chodzic z inna predkoscia.

Załózmy, ze (V x, V y, V z) to składowe predkosci czastki2 mierzo-ne w jednym układzie inercjalnym, a (V x

′

, V y′

, V z′

) to składowe pred-kosci tej czastki mierzone w układzie inercjalnym poruszajacym siewzgledem pierwszego z predkoscia v wzdłuz osi x. Z równania (3.6)wynika, ze:

V x′

=dx′

dt ′=

dx′

dt=

dxdt− v = V x − v, (4.1)

natomiast przekształcenie składowych predkosci w kierunku osi y i zjest trywialne. Mamy zatem:

1Kiedys za takie podstawowe parametry uwazano ε0 i µ0, ale µ0 = 4π × 10−7 jestliczba bezwymiarowa, a ε0 = 1/(c2µ0).

2Duzymi literami, takimi jak EV , oznaczamy zwykle predkosci czastek mierzone w jed-nym układzie inercjalnym, a małymi literami, takimi jak Ev predkosc jednego układu iner-cjalnego wzgledem drugiego, czasem jednak musimy odstapic od tej konwencji.


Wprowadzenie do ogólnej teorii...

Documents

Transcript of Wprowadzenie do ogólnej teorii...