V.6 Energia i pęd dla prędkości bliskich c

Jan Królikowski Fizyka IBC 1

r. akad. 2005/ 2006

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu

2. Relatywistyczna energia kinetyczna3. Relatywistyczna energia całkowita i energia spoczynkowa

4. Czterowektor energii i pędu. 5. Układ środka masy i układ laboratoryjny6. Zastosowanie w problemach fizycznych: aberracja światła, rozpady cząstek nietrwałych,


r. akad. 2005/ 2006

1. Pęd relatywistyczny

Z szeregu doświadczeń wynika, że należy zmodyfikować nierelatywistyczną definicję wektora pędu: . Poprawnewyrażenie relatywistyczne ma postać:

Dla elektronów

=p mv

2 21= = γ

−

mvp m v

v c

= γ

= γ

e ev

ev

e

m m

mm

~1910-1920


r. akad. 2005/ 2006

Pęd relatywistyczny cd.

Spójny opis dostajemy definiując pęd relatywistyczny jako iloczyn masy i czterowektora prędkości:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

1, , , ;/ 1

, , , , ,

µ µµ

µ

= = = γ γ =τ γ −

= γ = γ =

= γ =

x y z

x y z

dx dxu c v v v

d d t v c

p m c c cv cv cv mc cp E cp

p m v mu

Czas własny


r. akad. 2005/ 2006

Relatywistyczne uogólnienie równania ruchu

( )= γ =dp d

m v Fdt dt


r. akad. 2005/ 2006

Uogólnienie II zasady dynamiki dla v→c

Wiemy już, że II zasada dynamiki zapisana jako pochodna pędu po czasie= sile jest słuszna relatywistycznie. Oznacza to, że:

Konstrukcja i interpretacja K0:

µµ=

ττ

= = → = γτ

m m

dpK

ddp dp d

F K Fdt d dt

00

;

1 02

1

µµ

µ

µ µµ µ

µ µ µ µ

= ⋅ = γτ

⎛ ⎞⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟τ τ τ⎝ ⎠

⋅ γ γ= = ⋅ = =

dpK u K F

ddp du d

K u u mu m u ud d d

K u dEK F v P

u c c c dt


r. akad. 2005/ 2006

2-3. Całkując pracę powinniśmy dostać zmianę energii kinetycznej:

( )

( )

0 0

0

2 2 2

2

2

0

2

/

= ⋅ = γ ⋅ =

= ⋅ γ =

= γ − γ = γ + γ

γ

−

= −

∫ ∫

∫

∫

k

v v

v

v

k

dF ds m v ds

dt

dsd m v

dt

m v m vdv m v

E

E m

c

c

c m

mc

m

Relatywistyczna energia całkowita E

RelatywistycznaEnergia spoczynkowa E0


r. akad. 2005/ 2006

Związek między energią i pędem

( )

( )

2 2 2 2 4

22 2 2 2

22 2 2 2 2

1

1

=

γ − β γ =

− =

== + +

c

m c

E p c mc

E p c mc p m

Prędkość cząstki wyraża się przez jej wektor pędu i energię:

zaś jej czynnik Lorentza γ wynosi:

; = β =cp cp

v cE E

2γ =E

mc


r. akad. 2005/ 2006

4. Czterowektor energii- pędu

Podobnie do interwału czasoprzestrzennego:

który jest niezmiennikiem tr. Lorentza, wielkość

utworzona z E i relatywistycznego pędu jest niezmiennikiem.Sugeruje to, że E i wektor pędu.c mogą być czasową i przestrzennymi składowymi czterowektora, który transformuje się zgodnie z transformacją Lorentza:

( )22 2= − =s ct r inv

( )22 2 2 2− =E p c mc

( ), , , =0,1,2,3µ = µx y zE E p c p c p c


r. akad. 2005/ 2006

Czterowektor E-p podlega tr. Lorentza

Pod wpływem pchnięcia Lorentza wzdłuż osi OX z prędkością Vczterowektor E‐p transformuje się następująco:

gdzie

ʹʹʹʹ

⎛ ⎞⎛ ⎞γ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ γ −= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

xV

xxV

y

yz

z

VE p c

E cp c V

p c Ep c c

p cp cp c

V2 2

1 , 1

γ = β =−

V

VcV c


r. akad. 2005/ 2006

Dowód oparty jest na transformacji prędkości ..

x x

y y Vx

2z z V

v v V1v v v /V v1v v /c

′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′= = γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟−′ γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


r. akad. 2005/ 2006

Czteropęd fotonu (cząstki o zerowej masie)

Dla cząstki o zerowej masie spoczynkowej zachodzi:

Stąd energia fotonu związana z częstością wzorem E=hν wiąże sięz pędem wzorem:

Zaś czteropęd fotonu lecącego w kierunku :

2 2 2 0− =E p c

/ /γ = = νp k c h c

e

( )ˆ,µ = ν νk h h e


r. akad. 2005/ 2006

5. Układ środka masy i układ laboratoryjny

W przypadku nierelatywistycznym zdefiniowaliśmy układ środka masy układu N punktów materialnych poprzez warunek:

narzucony na wektorową sumę pędów p*i w tym układzie.

Ten warunek definiuje ŚM także w przypadku relatywistycznym.Prowadzi to do wzoru na prędkość układu ŚM V względem układu inercjalnego:

Układ ŚM i wyjściowy UI połączone są tr. Galileusza:

*

10

=

=∑N

i

i

p

= =∑ ∑∑ ∑

i i i

i i

m v pV

m m

* = −i i ip p m V


r. akad. 2005/ 2006

cd. ŚM-uogólnienie na przypadek relatywistyczny

Ponieważ prędkość cząstki relatywistycznej wyraża się przez jej relatywistyczny pęd i energię:

Możemy uogólnić wyrażenie na prędkość układu ŚM jako:

Do znalezienia czterowektorów energii‐ pędu w ŚM musimy zastosować tr. Lorentza z powyższym pchnięciem miedzy układami.

=pc

v cE

0→= ⎯⎯⎯→∑ ∑

∑∑i

ii

vi

i

p c pV c

mE


r. akad. 2005/ 2006

C=1

Dalej we wszystkich rozważaniach będziemy stosowali układ z

C=1W tym układzie jednostek:

[m]=[E]=[p]Najczęściej będziemy podawali masy cząstek w GeV/c2, energię w GeV, pędy w GeV/c.


r. akad. 2005/ 2006

Układ ŚM i układ laboratoryjny LAB

Terminologia wiąże się z doświadczeniami wykonywanymi w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych przy akceleratorach‐źródłami cząstek‐ pocisków relatywistycznych.

Po zderzeniu w LAB: suma energii cząstek wylatujących z reakcji jest równa E1+m2, zaś suma (wektorowa) pędów‐ pędowi pocisku p1.Po zderzeniu w ŚM: suma pędów produktów jest równa zero, suma energii jest równa E1*+E2*

LAB ŚM (CMS)

* 0=∑p( )2 21 1 1 1,= +E m p p ( )2 2 ,0=E m

C=1


r. akad. 2005/ 2006

Układ ŚM i układ laboratoryjny LAB cd.

W LAB wektory czteropędów:

Kwadrat sumy czterowektorów jako kwadrat czterowektora jest niezmiennikiem tr. Lorentza:

W ŚM wektory czteropędów:

zaś niezmiennik s wynosi:

( ) ( )2 21 1 1 1 1 2 2, ; ,0 µ µ= = + =P E m p p P m

( ) ( )2 2 21 2 1 2 1

2 21 2 2 12 :

µ µ+ = + − =

= + + = =

P P E m p

m m m E inv s

( )( )

2 21 1 1 1 1

2 22 2 2 1 1

* * * , * ;

* * * , *

µ

µ

= = +

= = + −

P E m p p

P E m p p

( ) ( )2 2 21 2 1 2* * * *µ µ= + = + =

ŚMs P P E E E

Niezmiennik s jest kwadratem energii w układzie ŚM


r. akad. 2005/ 2006

Energia progowa na produkcję N cząstek {m’i}W ŚM:

Porównując dostajemy wyrażenie na energię progową:

2

ʹ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ is m

22 21 2

2

ʹ

2

⎛ ⎞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠=∑ i

th

m m mE

m

Pytanie praktyczne: jaką minimalną energię‐ energię progową Eth‐ w LAB musi mieć cząstka (z akceleratora, wiązki), żeby zderzając się ze stacjonarną tarczą o masie m2 wyprodukować N cząstek o masach {m’i} w stanie końcowym?W układzie ŚM N cząstek może spoczywać. Będą one wtedy miały najmniejszą możliwą energię równą sumie ich energii spoczynkowych (sumie mas). W LAB:

2 21 2 22= + + ths m m m E


r. akad. 2005/ 2006

Dodatek: Notacja i iloczyn skalarny czterowektorów

Czterowektor kontrawariatnytransformuje się zgodnie z transformacją Lorentza.

Zdefiniujemy czterowektor kontrawariantny:

i czterowektor kowariantny:

Iloczyn skalarny definiujemy jako:

( )0 ,µ =a a a

( )0 ,µ = −a a a

( )22 0µµ= ⋅ = − ⋅a a a a a a

V.6 Energia i pęd dla prędkości bliskich c

Documents

Transcript of V.6 Energia i pęd dla prędkości bliskich c