Układy złożone i ewolucja materii

R o z d z ia ł II

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a MATERII

W jaki sposób ze złożonych, nieregularnych i chaotycznych stanów materii wyłania się porządek? W klasycznej starożytności złożoność zjawisk przyrodniczych filozofowie usiłowali zredukować do pierwszych zasad. Obserwowaną nieregulam ość i złożoność orbit planetarnych astronomowie próbowali sprowadzić, za pom ocą modeli m atem atycznych, do regularnych i prostych ruchów sfer. Aż do Kopernika prostotę traktowano jako znak rozpoznawczy prawdy (podrozdz. 2.1). Wraz z Newtonem i Leibnizem teoria kinetycznych modeli ruchu została wzbogacona o pewien nowy element. Rachunek różniczkowy i całkowy pozwala uczonym obliczyć chw ilow ą prędkość ciała oraz przedstawić ją za pom ocą wektora stycznego do jego trajektorii. Pole wektora prędkości stało się jednym z podstawowych pojęć teorii układów dynamicznych. Teorie wszechświata N ewtona i Einsteina sformułowano z pom ocą w pełni deterministycznych modeli dynamicznych (podrozdz. 2.2).

Poincare odkrył jednak, że modeli tych na dłuższą metę nie da się utrzymać (zagadnienie ruchu wielu ciał). Naw et w świecie w pełni zdeterm inowanym założenie, iż demon Laplace’a może dokonywać dokładnych wyliczeń w szechświata okazało się zw odniczą fikcją. Chaos może wystąpić nie tylko w kosmosie, ale i w świecie kwantowym (jako chaos kwantowy) (podrozdz. 2.3). Z metodologicznego punktu w idzenia nieliniowość jest koniecznym , ale niewystarczającym w arunkiem chaosu. Umożliwia ona także tworzenie się uporządkowania. Emergencję strukturalnej różnorodności we wszechświecie, od cząstek elementarnych aż do gwiazd i organizmów żywych, fizyka współczesna przedstawia m odelowo za pom ocą przejść fazowych oraz łam ania symetrii stanów rów-

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r ii 2 7

nowagi (podrozdz. 2.4). W spółczesne teorie superstrun nie dostarczają pełnego wyjaśnienia ewolucji materii jako narastającej złożoności. Zdumienie presokratyków, że „byt jest, a niebytu nie m a”, nie zostało uchylone. Lecz teoria układów złożonych zapoczątkowuje nowe podejście do badania struktur tworzenia w nanoświecie, które w nauce o materiałach znajduje zastosowanie w wyjaśnianiu samotworzenia się materiałów (podrozdz. 2.5). Z metodologicznego punktu widzenia istotne jest pytanie, jak w niezmierzonej mnogości danych pomiarowych można w yśledzić atraktory tworzenia się struktury. Kompleksowe wykrywanie danych oraz analiza szeregów czasowych są wyzwaniem dla współczesnej teorii układów złożonych. Rozdział ten zamyka opis stopni złożoności różnych atraktorów nieliniowej dynamiki (podrozdz. 2.6).

2.1. Kosmos Arystotelesa i logos Heraklita

Od presokratyków fundamentalnym zagadnieniem filozofii przyrody było pytanie, jak porządek wyłania się ze złożonych, bezładnych i chaotycznych stanów materii [2.1]. Zasługą presokratyków było to, że złożoność postrzeganych zjawisk przyrodniczych odnieśli do „pierwszych przyczyn” (ap/ij), „zasad”, czyli do pewnego ładu. Rozważmy kilka przykładów. Tales z M iletu (625-545 p.n.e.), o którym się powiada, że udowodnił pierwsze tw ierdzenia geometryczne, jest także pierwszym filozofem przyrody. Sądził, że tylko pierwsze przyczyny materialne m og ą być prawdziwymi przyczynami wszystkich rzeczy. Za pierw szą przyczynę Tales uważał wodę lub wilgoć. Twierdzenia tego dowodził, odwołując się do obserwacji, że pożywienie i zarodki wszystkich rzeczy są w ilgotne oraz że woda jest naturalnym substratem w ilgotnych rzeczy.

A naksym ander (610-545 p.n.e.), uczeń i współtowarzysz Talesa, w niósł do jego filozofii przyrody nowe elementy. Dlaczego woda winna być pierw szą przyczyną wszystkiego? Jest ona tylko jedną z w ielu form materii, która pozostaje w nieustannych przeciw ieństwach i napięciach: gorąco jest przeciwieństwem zimna, wilgoć przeciwieństwem suchośc i... Dlatego Anaksym ander przyjął, że „początkiem i pierw szą przyczyną istniejących rzeczy” jest „bezkresne i nieokreślone” pierwotne tworzywo (aneipov), z którego powstały przeciwstawne formy materii. M usimy zatem wyobrazić sobie „bezkresną nieokreśloność” jako pierwotny stan, w którym m ateria nie m iała granic ni przeciwieństw i w konsekwencji wszędzie była taka sama. Był to zatem stan początkowy całkowitej homogeniczności i symetrii. Stan symetrii poprzedza łam anie symetrii, z którego powstaje świat oraz wszystkie widzialne przeciwieństwa i napięcia:

2 8 P o z n a w a n ie z ł o ż o n o ś c i

Przy powstawaniu tego świata oddzieliła się wieczna materia twórcza, a z niej ukształtowała się jakaś kula ognia wokół powietrza okalającego ziemię, jak kora wokół drzewa. Następnie, kiedy pękła i rozpadła się w skończone kręgi, zrodziło się słońce, księżyc i gwiazdy [2.2],

Późniejsze stany materii, jakie A naksym ander opisuje w swej kosmo- gonii, nie były bynajmniej chaotyczne, lecz częściowo określone przez nowy, rodzący się porządek. Podziw dla Anaksym andra rośnie, kiedy zapoznajemy się z jego wybiegającym daleko w przyszłość pojm ow aniem ewolucji biologicznej. Twierdzi on, że pierwsi ludzie, których potomkowie szybko zdobyli samodzielność, zrodzili się ze zw ierząt żyjących w morzu. Do wyciągnięcia takiego wniosku doprowadziły go obserwacje niektórych gatunków rekina. Sto lat później na poparcie tezyo pochodzeniu ludzi z m orza przytaczano obserwacje skamielin zwierząt morskich. Trzecim słynnym m ilezyjskim filozofem przyrody jest Anak- symenes (zm. 525 p.n.e.), następca Anaksymandra. Zm ienność pojm ował on jako skutek działania zew nętrznych sił sprężania i rozprężania. Zgodnie z tym poglądem każdą postać materii m ożna traktować jako podstawową. Anaksymenes wybiera powietrze (aepa):

Kiedy [powietrze] rzednie, powstaje ogień, a gdy gęstnieje, staje się wiatrem, a później chmurą. Gdy jeszcze bardziej zgęstnieje, powstaje woda, następnie ziemia, później kamienie, a wszystko inne z nich. Przyjmował on także wieczny ruch jako źródło zmiany. - Zimnem jest to, powiada on, co spręża i ścieśnia materię, a ciepłem, przeciwnie - to, co rozpręża i rozrzedza [2.3].

Anaksymenes uznaje zatem istnienie zewnętrznych sił, za pośrednictwem których wytwarzane są, i następnie przekształcane w inne, różne stany materii ze wspólnego, pierwotnego tworzywa.

Heraklit z Efezu (ok. 500 p.n.e.), nazywany „ciemnym”, m a dla naszego zagadnienia najdonioślejsze znaczenie. Język H eraklita je s t ezoteryczny, raczej proroczy niż naukowy, pełen wnikliwych metafor. Od Anaksym andra przejmuje on teorię walki i napięć między przeciw ieństwami w przyrodzie. Pierwotne tworzywo, źródło wszystkiego, samo się zmienia i dlatego jest tożsame z ogniem:

Wszystkim kieruje błyskawica (czyli ogień). - Tego porządku świata, tego samego dla wszystkiego, nie stworzył żaden z bogów ani ludzi, lecz był zawsze, jest i będzie wiecznie żywym ogniem, rozpalającym się miarowo i miarowo gasnącym [2.4].

Dalej Heraklit szczegółowo opisywał, jak wszelkie stany materii m ożna pojmować jako poszczególne formy pierwotnego tworzywa, ognia. W naszych czasach fizyk Werner Heisenberg stwierdził:


Można tu zauważyć, że poglądy fizyki współczesnej są w pewnym sensie niezwykle zbliżone do koncepcji Heraklita. Jeśli zastąpimy słowo „ogień” terminem „energia”, to jego twierdzenia będą niemal całkowicie się pokrywały z naszymi dzisiejszymi poglądami. Właśnie energia jest tą substancją, z której utworzone są wszystkie cząstki elementarne, wszystkie atomy - a więc i wszystkie rzeczy. Jednocześnie jest ona tym, co powoduje ruch [...]. Energia przekształca się w ruch, w ciepło, w światło i w napięcie elektryczne. Można ją nazwać podstawową przyczyną wszystkich zmian w przyrodzie [2.5].

Świat m aterialny składa się z przeciwnych stanów i tendencji, które - pom im o to - są przez ukrytą harm onię utrzymywane w jedności:

To, co przeciwstawne, dąży do jedności, z tego, co różne, powstaje najpiękniejsza harmonia (ap^ovia), i wszystko następuje poprzez walkę [2.6].

Ukryta harmonia przeciwieństw jest kosmicznym prawem Heraklita nazywanym przezeń „logosem ” (lóyoę).

Co się dzieje, gdy walka przeciwieństw dobiega końca? Według He- rakłita świat w kracza wtedy w końcowy stan absolutnej równowagi. Ten stan materii Parmenides z Elei (ok. 500 p.n.e.) opisywał jako (pustą) przestrzeń bez jakichkolw iek zmian i ruchów. M ateria jest wówczas wszędzie rozłożona równomiernie (hom ogeniczność) i żaden możliwy kierunek ruchu nie jest wyróżniony (izotropowość). Warto zauważyć, że nieskończoność uważano za coś niedoskonałego i dlatego przyjmowano skończony rozkład materii. Toteż Parmenides przedstawiał świat w postaci niezmiennej, skończonej i jednorodnej kuli materialnej, w której nie m a ani czasu, ani ruchu, ani zmiany. Eleacka filozofia niezmiennego bytu była w rzeczywistości krytyką Heraklitejskiej filozofii ciągłej zm iany, k tórą odrzucała jako zwykłe złudzenie zmysłowe. W późniejszym czasie jej historyczny wpływ zaznaczył się u Platona, w jego krytyce zwodniczej zmienności zmysłów przeciwstawionej prawdziwem u światu niezmiennego bytu Idei. Ale z punktu w idzenia filozofii przyrody świat opisywany przez Parmenidesa nie musi być zaprzeczeniem nauki Heraklita. W jego kosm ogonii może być on w całości zinterpretowany jako osobliwy stan końcowy najwyższej postaci symetrii.

Ponieważ wodę, powietrze i ogień uznano za podstawowe elementy, łatwo można było uzmysłowić sobie, iż są one składnikami ostatecznego tworzywa świata. W tym kierunku poszedł Empedokles (4 9 2 ^ 3 0 p.n.e.), dodając czwarty, obok ognia, wody i powietrza, elem ent - ziemię. E lem enty te swobodnie m ieszają się i w iążą ze sobą w różnych proporcjach oraz rozkładają i rozdzielają. Czym są, wedle Empedoklesa, stałe zasady ciągłych zm ian i ruchów w przyrodzie? Są nimi przede wszystkim owe cztery elementy, o których Em pedokles sądził, iż w yrastają z samej natu


ry i przypadku (my/j), a nie ze świadomych zamierzeń. Zm iany są w ywoływane przez obopólne skutki działań tych elementów, czyli przez mieszanie i rozdzielanie:

Inną ci rzecz powiem: żadna z materialnych rzeczy nie ma narodzin, ani końca w niszczącej śmierci. Jest tylko mieszanie i rozdzielanie tego, co zmieszane [2.7].

Dwie podstawowe moce są odpowiedzialne za to wzajemne oddziaływanie elementów na siebie. Empedokles nazwał je „m iłością” (ę d ia ) , by wyjaśnić ich przyciąganie, oraz „waśnią” (veiKoę), by wyjaśnić odpychanie. Jest tu pewna analogia do dualizmu yin-yang filozofii chińskiej. Empedokles głosił naukę o stałym procesie przeobrażania, czyli łączenia się i oddzielania elementów, w jakim były one zawarte. Procesu tych transformacji w ogóle nie pojmował m echanistycznie (jak późniejsi ato- miści), lecz raczej fizjologicznie. Zachodzące w organizmach procesy metabolizmu przeniósł do przyrody nieożywionej.

W jego teoriach m edycznych równowaga jest pojm owana jako naturalne i proporcjonalne powiązanie części. Zdrowie to zatem szczególne zrównoważenie przeciwstawnych składników, a choroba powstaje wtedy, gdy któryś z nich zyskuje przewagę nad drugim. W świetle współczesnej bakteriologii, podkreślającej znaczenie przeciwciał w ludzkim ciele, stanowisko Empedoklesa jest zadziwiająco trafne.

Anaksagoras (499-426 p.n.e.) był zwolennikiem poglądu, który pod wielom a względam i jest uszczegółowieniem nauk jego poprzedników. Podobnie jak Empedokles rozwinął on teorię materii jako mieszaniny. Zastąpił jednak cztery elementy Em pedoklesa nieskończoną liczbą substancji utworzonych z nasion (ajzśppaza) lub z jednakow ych pod względem rozmiarów cząstek {opoipepr], ocbpam). Były one nieograniczone w swej liczbie i nieskończenie małe. M ateria została zatem uznana za nieskończenie podzielną. Nasuwa się tu skojarzenie z ideą nieskończonego continuum. W ten sposób Anaksagoras próbował także wyjaśnić mieszanie się barw. Twierdził, że śnieg jest, do pewnego stopnia, czarny, choć biel w nim dominuje. W szystko jest zawarte w każdej rzeczy, która różni się od innych tylko przew agą jednych elementów nad innymi.

W swej filozofii przyrody Anaksagoras usiłował dokładniej niż niektórzy jego poprzednicy, w sposób fizykalny, wytłumaczyć zjawiska zachodzące na niebie oraz ruchy, które w matematycznej astronomii Greków były opisywane jedynie kinematycznie. W kosmologii wychodził od pojedynczego stanu początkowego: homogenicznego zmieszania materii. M ieszaninę wprowadziła w ruch wirowy niematerialna siła początkowa, nazwana przez Anaksagorasa „duchem” (vovę), powodująca oddzielanie się poszczególnych rzeczy stosownie do prędkości każdej z nich. W środku

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r ii 31

tego wiru Ziemia zbiła się w jedną bryłę, olbrzymie zaś kawałki kamieni zostały odrzucone na zewnątrz i utworzyły gwiazdy. Świecenie gwiazd to skutek rozgrzania się ich masy spowodowanego olbrzym ią prędkością. Teoria wirów Anaksagorasa powraca w czasach nowożytnych u Descar- tes’a, a następnie, w udoskonalonej postaci, w teorii mechanicznego początku systemu planetarnego K anta-Laplace’a.

W nowożytnych naukach przyrodniczych atomizm okazał się nadzwyczaj skutecznym program em badawczym. W historii filozofii teoria atomów Dem okryta jest często przedstawiana jako konsekwencja filozofii zmienności Heraklita oraz zasady niezmiennego bytu Parmeni- desa. Demokrytejskie odróżnienie „pełni” od „próżni”, maleńkich, niezniszczalnych atomów (aTOjiwę) i pustej przestrzeni, stanowi odpowiednik Parmenidejskiego odróżnienia „bytu” od „niebytu” . H eraklitejską złożoność i zmienność traktowano jako skutek jednostkow ych rekonfigu- racji atomów. Przyjmowano, że pusta przestrzeń jest homogeniczna i izotropowa.

Atom y różnią się od siebie kształtem (,uoptpij), pozycją (Oćaię) i niejednakow ym ułożeniem (mCię) w m aterialnych połączeniach. Ułożenie atomów może być obrazowo porównane do następstwa liter w słowach, co pozwala przypuszczać, że idea atomizmu mogła się rozwinąć tylko w kulturach posługujących się alfabetem fonetycznym. W Chinach, gdzie zamiast takiego alfabetu używano znaków ideograficznych, pojęcie cząstki elementarnej było nieznane, a dom inującą pozycję zdobyła polo- wo-falowa koncepcja procesów przyrody. Demokrytejskie atomy poruszają się z konieczności (cwdyKtj) w pewnym stałym wirze (Óivoę lub Sivq). W przeciwieństwie do późniejszej koncepcji Arystotelesa ruch oznacza jedynie zmianę położenia w pustej przestrzeni. W szystkie zjawiska, wszelkie stawanie się i zanikanie, są skutkami łączenia (aóyKpicrię) i rozłączania (SiÓKpicnę). Sumaryczne stany materii, takie jak gazy, ciecze czy ciała stałe, są wyjaśniane różnicami atomów w natężeniu i zdolności ruchu. W świetle współczesnej krystalografii godne uwagi jest Demokrytejskie przekonanie, że nawet atomy ciał stałych podlegają lokalnym drganiom.

Platon w swym dialogu Timajos wprowadził m atem atyczny model atomizmu. W szystkie zmiany, mieszanie się elementów oraz ich oddzielanie, o którym mówili presokratycy, zostały sprowadzone do niezm iennych prawidłowości matematycznych. U Em pedoklesa klasyfikacja czterech elementów - ognia, powietrza, wody i ziemi - przeprowadzona była w oparciu o bezpośrednią ich dostępność w doświadczeniu. Teajtet dokonał pełnej klasyfikacji wszystkich regularnych ciał, jakie są możliwe w trójwymiarowej (euklidesowej) przestrzeni: czworościanów, ośmio- ścianów, dwudziestościanów, sześcianów i dwunastościanów. Platon


w ysunął zatem pomysł, by cztery elementy Em pedoklesa zinterpretować za pom ocą geom etrycznych brył.

Platon świadomie unikał nazywania elementów „atom am i” - można je było bowiem rozłożyć na pojedyncze figury płaskie. Czworościany, ośmiościany i dwudziestościany m ają boki składające się z trójkątów równobocznych, które, jeśli zostaną przepołowione, utw orzą trójkąty prostokątne o długościach boków 1, 2 i V3 • Z kolei przepołowione boki sześcianów, będące kwadratami, dają trójkąty prostokątne o długościach boków 1, 1 i x/2 . W rezultacie „ciecze”, takie jak woda, powietrze i ogień, m ogą wszystkie łączyć się ze so b ą natomiast ciało stałe składa się z brył ziemi, albowiem z różnych trójkątów tych brył m ożna utworzyć tylko inne ciało stałe.

Platon stworzył pewien rodzaj fizyki cząstek elementarnych, w której określone elementy przekształcają się na wszystkie inne, a „cząstki elem entarne” (tzn. odpowiednie trójkąty składowe) „wzajemnie na siebie działają”, zgodnie z prawami geometrii. Przekształcanie tych elementów może być na przykład spowodowane ich krojeniem. Wedle Platona jest ono zależne od ostrości kątów danego ciała. Bryła o dostatecznie ostrych kątach zdolna jest przekroić wielościan, którego kąty są większe. Każdy czworościan, każdy sześcian, każdy ośmiościan, każdy dwudziestościan w każdym przypadku przekroić może następujący po nim wielościan, ale nie może przekroić tego, który go poprzedza lub który jest wielościanem tego samego typu, co on sam. W ypływa stąd ogólny wniosek ważny w filozofii przyrody: ogień może rozdzielić lub rozpuścić wszystkie elementy; natomiast ziemia tylko powietrze i wodę, powietrze - tylko wodę.

Platon kategorycznie twierdził, iż nie wszystkie elementy m ają tę sam ą wielkość. Aby m ożna było na przykład wyjaśnić, że ogień może przekształcić wodę w stanie stałym w wodę w stanie płynnym, należy przyjąć, że w stanie płynnym elementy są mniejsze i ruchliwsze, natom iast w stanie stałym większe.

W ygasanie ognia jest nazywane ochładzaniem, a stan całkowitego zaniku ognia - krzepnięciem. Ogień i powietrze bez przeszkód m ogą wnikać w odstępy między bryłami ziemi (sześcianami) bez ich rozpuszczania. Zgęszczonego powietrze nie da się rozpuścić bez zniszczenia jego elementów. Zgęszczone powietrze jest bowiem najlepszym z m ożliwych nagrom adzeniem konfiguracji ośmiościanów w danym obszarze. N awet ogień, którego bryły m ają kąty mniejsze od kątów brył wszystkich innych elementów, byłby niezdolny wcisnąć się w konieczne odstępy między nimi bez zniszczenia ośmiościanów. W przypadku wody tylko ogień może rozłożyć w iększą kondensację. Odstępy m iędzy przylegającymi do siebie dwudziestościanami tw orzą pomiędzy swymi płaszczy

UKŁADY ZŁOŻONE I EWOLUCJA MATERII 3 3

znami kąty, które nie pozw alają na wnikanie ani ziemi, ani powietrza. Tylko ogień (czworościany) zdolny jest przeniknąć i rozpuścić to połączenie elementów.

N ie ulega wątpliwości, że Platon zbudował wewnętrznie spójny m odel matematyczny, z pom ocą którego można wyjaśnić różne stany złożoności i wzajemne oddziaływania substancji, o ile tylko zaakceptuje się - wprowadzone mniej lub bardziej arbitralnie - założenia początkowe niezbędne do interpretacji owych elementów. Oczywiście, wiele wniosków wypływających z zastosowania tego modelu jest dziwnych i pozbawionych sensu. Ale mamy tu pierw szą w historii nauki próbę wytłumaczenia materii oraz jej stanów prostymi prawami geometrii. Szczytowym punktem w rozwoju tego sposobu m yślenia jest współczesna fizyka cząstek elementarnych. Heisenberg wypowiedział następującą uwagę na ten temat:

Cząstki elementarne mają formę, jaką przypisywał im Platon, albowiem jest to forma matematycznie najpiękniejsza i najprostsza. Toteż ostatecznym źródłem zjawisk nie jest materia, lecz prawo matematyczne, symetria, forma matematyczna [2.8],

W starożytności i średniowieczu atomizm matematyczny Platona nie m iał zwolenników. Podstawowy problem, który w geometrycznej teorii materii Platona interesował jego następców, został postawiony już w Timajosie. Jak m ożna wytłumaczyć funkcjonowanie żywych organizm ów? Hipoteza stwierdzająca, że niektóre formy cielesne są tym, czym s ą by mogły spełniać pewne fizjologiczne cele (np. lejkowaty kształt przełyku m a umożliwiać odżywianie), nie może być w żadnym razie wywiedziona z teorii geometrycznego uporządkowania ciał stałych. Ponadto idea w yjaśniania zm iennych i rytm icznych procesów życia za pom ocą „twardych” i „m artwych” figur geom etrycznych ludziom żyjącym w tym czasie m usiała się wydawać całkowicie nienaturalna, spekulatyw- na i naciągana. Nawet obecnie wywołuje ona opory w zrozumieniu zawiłości, które do współczesnych wyjaśnień naukowych w noszą skomplikowane i abstrakcyjne teorie m atematyczne. W tym m iejscu rozważyć trzeba Arystotelesow ską filozofię przyrody.

Sw oją koncepcję „równowagi” w przyrodzie Arystoteles sformułował, odwołując się głównie do sposobów funkcjonowania organizmów żywych - roślin i zwierząt. Życie oraz jego przebieg znamy z codziennego doświadczenia. Cóż bardziej naturalnego niż porównywanie i wyjaśnianie części świata, który jest nieznany i dziwny, za pom ocą czegoś, co dobrze znamy? Według Arystotelesa zadaniem nauki jest wytłumaczenie zasad oraz funkcji pełnionych przez złożoność i zmienność przyrody. Stąd krytyka filozofów przyrody, którzy utożsamiali prawa natury z po


szczególnymi substancjami. Rośliny czy zwierzęta nie są po prostu sumą swych materialnych części. Ogół, który sprawia, że jednostkow y byt jest tym, czym jest, Arystoteles nazywał form ą (eidoę). To, co jest kształtowane przez formę, zostało nazwane m aterią (vXrj). Form a i m ateria nie istniały jednak samoistnie, lecz były ujętymi w oderwaniu zasadami przyrody. Dlatego materię określano także jako możność (Svva/Liię) bycia formowaną. Dopiero gdy m ateria zostaje uformowana, rzeczywistość (evepyeia) staje się czymś realnym.

Postrzegane przez nas realne istoty żywe podlegają ciągłym zm ianom. W tym punkcie rację miał Heraklit, a nie Parmenides, który zmiany uważał za iluzoryczne. Jednakże, wedle Arystotelesa, Heraklit m ylił się, gdy utożsam iał zmiany z pojedynczą substancją (ogniem). Zmiany te Arystoteles wyjaśniał trzec ią obok materii i formy, zasad ą mianowicie brakiem formy (<rrś p ^ a ię ) , który jest znoszony przez odpowiednią zmianę. M łode zwierzęta czy dzieci są małe, słabe i niedojrzałe. W zras ta ją ponieważ stosownie do swej naturalnych skłonności (formy) winny stać się duże, silne i dojrzałe. Przyjęto tu zatem, że ruch (icwrjmę) jest w ogólności zm ianą przechodzeniem od możności do urzeczywistnienia, „aktualizacją potencji” (jak mówiono w średniowieczu). Zadaniem fizyki było badanie ruchu w przyrodzie w tym ogólnym znaczeniu. Przez przyrodę ((póaię) - w przeciwieństwie do wytwarzanych przez człowieka dzieł sztuki lub narzędzi technicznych - rozumiano wszystko, co zasadę ruchu ma w sobie. Jeśli Arystotelesowskie określenia przyw odzą myśl, by przede wszystkim rozpatrywać procesy życia roślin, zwierząt i ludzi - w tej postaci, w jakiej jaw ią się w codziennym doświadczeniu - to w ydają się one w pełni wiarygodne i trafne. Przyroda nie jest jakim ś zbiorowiskiem kamieni, które dowolnie m ożna dzielić na części. Przyrodę wyobrażano sobie jako racjonalny organizm, którego poruszenia są zarazem konieczne i celowe. Arystoteles wyróżnił trzy rodzaje ruchu: zmianę ilościow ą polegającą na wzroście lub zm niejszaniu się wielkości, zm ianę jakościow ą będącą zm ianą w łaściwości, oraz zmianę przestrzenną dokonującą się przez zmianę umiejscowienia. Przyczynowość ma, wedle Arystotelesa, cztery aspekty interpretowane jako przyczyny zmiany. Dlaczego roślina rośnie? Rośnie, bo (1) wzrost um ożliw iają jej składniki materialne (causa m aterialis), (2) wzrastanie określa jej funkcje fizjologiczne (causa form alis), (3) wzrost pobudzają warunki zewnętrzne, np. składniki odżywcze w ziemi, woda, światło (causa efficiens), (4) stosownie do jej przyczyny celowej dojrzewanie jest osiąganiem doskonałej formy (causa finalis).

Aby więc wyjaśnić m aterię w znaczeniu węższym, nazyw aną później nieorganiczną częścią przyrody, Arystoteles posługiwał się tymi samymi zasadami, które najwyraźniej zostały zaczerpnięte z obserwacji cykli


rozwojowych roślin, zwierząt i ludzi. Tu też rozpoczynał od bezpośredniego doświadczenia. To, z czym się stykamy, nie jest w ielością jakichś określonych i odrębnych części składowych przyrody. Doświadczamy raczej pewnych charakterystycznych cech, takich jak ciepło i zimno, w ilgotność i suchość. Połączenia tych cech tw orzą następne pary, które określają poszczególne elementy: gorące-suche (ogień), gorące-w ilgotne (powietrze), zim ne-w ilgotne (wodę), zim ne-suche (ziemię). Pary gorą- ce-zim ne oraz w ilgotne-suche są wykluczone jako warunki obowiązujące równocześnie. Dlatego są tylko cztery elementy. W nioskowanie to było później krytykowane jako arbitralne, lecz ilustruje ono Arystotele- sow ską m etodę - wychodzenie nie od abstrakcyjnych modeli m atem atycznych, lecz bezpośrednio z doświadczenia. Ogień, powietrze, woda i ziemia bardziej lub mniej, w większym lub m niejszym stopniu, zawarte są w realnych ciałach i podlegają ciągłej transformacji. Według Arystotelesa usunięcie z wody zim na za pom ocą ciepła daje powietrze, a usunięcie z powietrza wilgoci daje ogień. Zmiany przyrody są interpretowane jako procesy dojrzewania i przekształcania.

Jak taka - w przeważającej m ierze - organicystyczna filozofia przyrody mogłaby dostarczyć fizycznych wyjaśnień matematycznemu przyrodoznawstwu, gdyby w tym czasie ono istniało? Uważano, iż są tylko dwa podstawowe ruchy w przestrzeni - po linii prostej i po okręgu. Dlatego sądzono, że m uszą istnieć jakieś elementy, ku którym te podstawowe ruchy w naturalny sposób są skierowane. Ruchy innych ciał były wyznaczone przez te elementy oraz przez ich naturalne ruchy; ich przebieg był następstwem tego, który z dwu czynników uzyska przewagę. Za ruch najbardziej doskonały uważano ruch po okręgu. Tylko ruch doskonały zachodzi bez zdążania do jakiegokolw iek celu; miało to tłumaczyć, dlaczego należy go traktować jako elem ent wieczny, niezniszczalny Ruch ten był piątym elementem (kwintesencją), z którego utworzone były, jak sądzono, niezm ienne sfery niebios oraz gwiazdy. Bezustanne zmiany w obrębie świata ziemskiego (podksiężycowego) równoważyła niezmienna regularność świata niebiańskiego (ponadksiężycowego). Te transformacyjne procesy łączono z czterema elementami oraz z przysługującymi im ruchami po linii prostej, szczególnie z prostoliniowym ruchem ku centrum świata, do którego zdążały - jako do swych miejsc naturalnych - ciężkie elementy ziemi i wody, oraz z prostoliniowym ruchem ku peryferiom sfery księżycowej, do której zdążały elementy lekkie.

Do ruchów naturalnych zaliczano także swobodne spadanie. Jednak Arystoteles, inaczej niż Galileusz, nie zaczynał od pojedynczych ruchów jako wyidealizowanych sytuacji eksperymentalnych. Swobodne spadanie ciał rozważał w połączeniu z jego kom pleksowym otoczeniem; sił tarcia


(„dyssypacji”) nie traktował jako osobnego czynnika. Podczas swobodnego opadania ciało zanurza się w powietrze, podobnie jak kamień w wodę. Arystoteles pojm ował więc swobodny spadek nie jako ruch przyśpieszony w próżni, lecz jako proces hydrodynamiczny. Zakładał, że ciało spada ze stałą prędkością v, która je s t wprost proporcjonalna do ciężaru ciała p i odwrotnie proporcjonalna do gęstości ośrodka d (tj. powietrza), czyli, stosując w spółczesną notację, v ~ p/d. Jednocześnie równanie to dostarczyło Arystotelesowi argumentu przeciwko istnieniu próżni atomistów. W próżni o gęstości d = 0 wszystkie ciała musiałyby spadać nieskończenie szybko, co oczywiście jest niemożliwe.

Typowym przykładem ruchu wym uszonego (przez człowieka) jest rzut, który także tutaj jest rozpatrywany w jego kom pleksowym otoczeniu „dyssypatywnych” sił. Według Arystotelesa ciało nieożywione może poruszać się tylko pod wpływem stałej, zewnętrznej przyczyny ruchu. Wyobraźmy sobie wóz na wyboistej drodze w Grecji, który zatrzymuje się, gdy osioł (lub niewolnik) przestaje go ciągnąć czy pchać. Dlaczego jednak kamień po rzuceniu go ręką porusza się dalej? Według A rystotelesa w pustej przestrzeni nie ma oddziaływania na odległość. Toteż twierdził on, że miotacz wprawia w ruch otaczające kam ień powietrze, które popycha kam ień dalej. Prędkość v ruchu wym uszonego byłaby więc proporcjonalna do siły wywołującej ten ruch: v ~ K/p. Oczywiście, nie je s t to matematyczne ujęcie zależności między mierzonymi wielkościami, a raczej form uła wyrażająca proporcjonalność jakościow ych czynników, która w tej algebraicznej postaci po raz pierwszy pojawiła się w perypatetycznej fizyce średniowiecza. W przeciw ieństwie zatem do dynamiki Galileusza i Newtona w dynamice Arystotelesa każda (prostoliniowa) zmiana położenia wymaga jakiejś przyczyny ruchu (siły). Średniowieczna teoria impetusu zm odyfikowała dynamikę Arystotelesa, wiążąc przyczynę ruchu z „im petem ” tkwiącym w ciele wprawionym w ruch, a nie z działaniem przenoszonym przez zewnętrzny nośnik.

Jak perypatetyczna dynamika wyjaśnia kosmiczne praw a nieba? Centryczna symetria kosmologicznego m odelu została oparta na (niewymuszonym) obrotowym ruchu sfer, który traktowano jako naturalny dla elementu „niebiańskiego”, oraz na teorii naturalnego umiejscowienia w centralnym punkcie kosmosu. Już Ptolem eusz umiejscowienie Ziemi tłumaczył, odwołując się do izotopii tego modelu oraz do pewnego rodzaju sylogizmu racji dostatecznej. Jeśli wszystkie kierunki są całkowicie równorzędne, nie ma powodu, dla którego Ziemia winna się poruszać w jakim ś jednym , a nie innym kierunku.

Centryczno-sym etryczny model z Z iem ią w centrum świata przedstawił Platon, nauczyciel Arystotelesa. W modelu tym niebo obraca się w prawo wokół osi nieba przecinającej Ziemię. Słońce, Księżyc i planety


obracają się w lewo po sferach, które m ają różne odległości od Ziemi. Najbliżej Ziemi położona jest sfera Księżyca, po której kolejno następują sfery M erkurego, Wenus, Słońca, M arsa, Jowisza i Saturna. Powłoka znajdująca się najdalej od centrum unosi sferę gwiazd stałych. Wedle koncepcji platońsko-pitagorejskiej cykle obrotowe są ze sobą powiązane za pom ocą liczb całkowitych. Istnieje wspólna wielokrotność wszystkich czasów obrotu, po upłynięciu których wszystkie planety znajdą się dokładnie w tym samym położeniu. Ruch każdej planety wywołuje określony dźwięk, tak iż tony zrodzone z ruchów sfer tw orzą łącznie harmonię sfer w sensie dobrze uporządkowanej skali muzycznej. Geom etryczna, arytm etyczna i estetyczna symetria kosm osu przenika cały w szechświat jako harm onijna muzyka sfer. W niedługim czasie ten skrajnie symetryczny model kosm osu został zakwestionowany przez dokładne obserwacje. Trudnym problemem okazała się nieregulam ość orbit planetarnych, zwłaszcza powrotne ruchy planet. N ieregulam ość ta była czymś niepokojącym, zwłaszcza dla filozofów z tradycji pitagorejskiej, którzy niebo - w przeciwieństwie do Ziemi - pojmowali jako dziedzinę wiecznej symetrii i harmonii.

Aby zredukować złożoność ruchów na niebie, Platon postawił słynne pytanie: jak „uratować” , tzn. jak kinem atycznie wytłumaczyć, regularne i prawidłowe ruchy obrotowe postrzeganych planet? Posłużenie się dokładnym modelem obserwowanych krzywizn stało się możliwe, gdy A poloniusz z Pergi (ok. 210 p.n.e.) stwierdził, iż trzeba porzucić koncepcję wspólnego środka sfer i jednocześnie utrzymać sferyczny kształt ruchu planet oraz jednakow ą prędkość sfer. Zgodnie z tym pomysłem planety obracają się ruchem jednostajnym po sferach (epicyklach), których wyobrażone środki poruszają się jednostajnie po w ielkich okręgach (dyferentach) wokół punktu centralnego (Ziemi). Dzięki odpowiedniemu dobraniu prędkości i średnicy dwu ruchów obrotowych oraz zmianie kierunku ich ruchów stało się możliwe skonstruowanie nieoczekiwanie bogatego zbioru krzywych, które znalazły także częściowe zastosowanie w astronomii, od Ptolemeusza aż do Keplera. Utrzym ano zatem sferyczną symetrię poszczególnych modeli, choć nie miały już one jednego, wspólnego środka, lecz wiele różnych środków.

Omówione niżej przykłady wykorzystania metody epicykli-dyfe- rentów pokazują, jak w ielką liczbę pozornych form ruchu m ożna otrzymać poprzez odpowiednie składanie jednostajnych ruchów obrotowych [2.9]. Dzięki tem u Platońska filozofia, stwierdzająca, iż poza zmiennymi zjawiskami istnieje wieczny i niezm ienny świat form, staje się bardziej zrozumiała. N a rysunku 2.1. eliptyczna orbita jest utworzona przez złożenie ruchu dyferentu z ruchem epicyklu. Rysunek 2.2 przedstawia zam kniętą cykloidę. W ten sam sposób m ożna również przedstawić zmień-


ne odległości między planetami a Ziemią. W zasadzie nawet figury posiadające kąty m ogą być w taki sposób otrzymane. Kiedy średnica epicyklu zbliża się do średnicy dyferentu, powstaje linia prosta. Jeśli zmieni się prędkość wschodnio-zachodniego ruchu planety poruszającej się po epicyklu, mającym ten sam kierunek, przez odpowiednie składanie ruchu epicyklu z ruchem dyferentu m ożna otrzymać nawet trójkąty i prostokąty.

Rys. 2.1. Dyferencjalno-epicykliczny model elipsy

Rys. 2.2. Dyferencjalno-epicykliczny model cykloidy

Rozpatrując obrót ciała niebieskiego po jednym epicyklu, którego środek porusza się po jakim ś innym, m ożna otrzymać rozm aite orbity eliptyczne, krzywe symetryczne w zględem odbicia, krzywe okresowe, a także krzywe nieokresowe i asymetryczne. Z punktu widzenia czysto matem atycznego i kinematycznego postawiony przez Platona problem „ratowania zjawisk” jest w zupełności rozwiązany. Toteż Platońskie sprowadzenie złożoności do jednostajnego ruchu obrotowego (zmodyfikowane przez Apoloniusza i Ptolemeusza) zasadniczo oddziałuje na naukę po dziś dzień. Tak czy inaczej, nie może być obalone przez zjawiskowy opis zakrzywionych torów. W szczególności chodzi bowiem o to, iż nie tylko zm iana pozycji Ziemi i Słońca w tzw. przewrocie kopemi- kańskim, ale również zastąpienie przez Keplera orbit kołowych eliptycznymi w ydają się czymś drugorzędnym. Obydwa te ujęcia m ożna wszakże wywieść ze złożenia ruchów obrotowych dokonanego zgodnie z m etodą epicykli-dyferentów. To z kolei nasuwa dwa pytania: (1) Jak w sposób matem atyczny dowieść tego twierdzenia? (2) Jeśli jego dowód jest możliwy, dlaczego nie odgrywa ono większej roli w dzisiejszych naukow ych zastosowaniach teorii krzywych? Aby odpowiedzieć na pierwsze


pytanie w sposób ścisły i ogólny, m usimy odwołać się do aparatury pojęciowej współczesnej geometrii analitycznej. Ale historycznie biorąc, już Kopernik i K epler wiedzieli, w jaki sposób krzywe, którymi się posługiwali (elipsy), można skonstruować w oparciu o metodę epicykli-dyferentów.

Należy przede wszystkim pamiętać, że punkty na płaszczyźnie można przedstawić za pomocą liczb zespolonych z = x + iy = re" o współrzędnych kartezjań- skich (x, y) lub zespolonych (r, 6). Dodawanie liczb zespolonych wyraża zatem wektor dodawania [2.10]. Jednostajny ruch obrotowy wokół punktu centralnego c, o promieniu p i okresie T można przedstawić równaniem:

z = c + pei(am/T) + a) = c + PqGkU/T) + (2.1),

gdzie / jest czasem ruchu, a zaś początkową fazą punktu. Weźmy teraz punkt A poruszający się zgodnie z równaniem z = f (t). Niech punkt B porusza się względem A po okręgu o promieniu p, okresie T i początkowym kącie biegunowym a. Ruch punktu B wyraża wtedy równanie:

z = f{ i)+ p e a*i,rr) + ia (2.2).

Ruch punktu B można przedstawić na pewnym epicyklu, którego środek obraca się wokół punktu A. Dodanie nowego epicyklu jest matematycznie wyrażone przez dodanie do wyrażenia z nowego składnika pe(2m,/T) + Oczywiście, dla pewnej liczby zespolonej a i- 0 i pewnej liczby rzeczywistej k, p e 2m,T] = p e a e2m'/T) = aek‘ . W przypadku ruchu wstecznego T oraz k są ujemne. Ruch będący skutkiem złożenia n epicykli jest wtedy wyrażony przez równanie:

i k , t . i k j t , . i k j /^> z = a^e 1 +a2e 2 +... + ane " (2.3).

Rozważmy najpierw ruch okresowy na płaszczyźnie z = / ( t) (czyli o okresie 2ji). Załóżmy, ż e /je s t funkcją ciągłą ze skończoną wariacją. Wówczas/ można przedstawić za pomocą szeregu zbieżnego jednostajnie:

/(O = X c»e'"' (2-4)-

Dlatego można matematycznie dowieść, że / ( t) da się w przybliżeniu przedstawić za pomocą sumy:

N

SN (0 = 2 Cne“" (2‘5)n=-N

z dowolnym stopniem dokładności przy rosnącym N.


Funkcja/jest jednostajnie zbieżna. Dlatego dla dowolnie małego e > 0 można znaleźć współczynnik N0 taki, że dla wszystkich A' > A'0 i dla każdego t

\f (0 - Sjv(0I < e (2-6).

W astronomii twierdzenie to oznacza, że tor ruchu jednostajnego (o skończonej wariacji) można z dowolnym stopniem dokładności przybliżać za pomocą skończonych superpozycji ruchów po epicyklach.

Oczywiście posługiwaliśmy się dotąd jedynie superpozycją epicykli o okresach ±2k, ±7t, ±2/37r, ±M2n, ±2/5k, .... Dlatego, w szczegółowych przypadkach, możliwe jest wykorzystanie jedynie superpozycji współmiernych, które w zgodzie z tradycją pitagorejską można przedstawić za pomocą stosunków między liczbami całkowitymi. W rzeczywistości jednak, jeśli dopuścimy okresy niewspółmierne, również krzywe nieokresowe dadzą się przybliżać za pomocą superpozycji epicykli. Twierdzenia tego, dotyczącego funkcji quasi-okresowych, w 1932 dowiódł matematycznie Harald Bohr [2.11]. Na pytanie drugie - dlaczego metoda epicykli-dyferentów została w wyjaśnianiu torów ruchu zarzucona - nie można odpowiedzieć, odwołując się do obserwacji brakujących krzywych. Pod względem matematycznym obserwowane krzywe - jakkolwiek byłyby egzotyczne - z zasady (przy spełnieniu powyższego, bardzo szerokiego matematycznie, układu warunków) nadal mogą być wyjaśniane za pomocą pochodzącej od Platona i Apoloniusza starożytnej strategii redukcji złożoności ruchów.

Najważniejszym problemem jest jednak w tym przypadku pytanie, jakim ruchom „naprawdę” podlegają planety - złożonym, jednostajnym i niewymuszonym ruchom obrotowym, które oglądane z Ziemi zdają się mieć tory eliptyczne, czy może w rzeczywistości ich eliptyczne tory są wymuszone przez jakieś siły? Problemu tego nie można rozwiązać geometrycznie i kinematycznie, lecz tylko dynamicznie, tzn. przy wykorzystaniu odpowiedniej teorii sił, a więc z pom ocą fizyki.

Ptolemeusz stosował, oprócz metody epicykli-dyferentów, fikcyjne punkty równowagi, względem których jednostajne ruchy obrotowe, odniesione do Ziemi jako centrum, robiły wrażenie niejednostajnych. M etoda ta okazała się użyteczna w prowadzeniu obliczeń, ale naruszała centralną symetrię, skutkiem czego wydawała się założeniem ad hoc, które nie jest zbyt przekonujące z punktu widzenia filozofii przyrody. Spotkało się ono przeto z kry tyką głównie Kopernika. Powody, dla których Kopernik umieścił Ziemię w miejscu Słońca, były głównie kinematyczne. M ożna było w ten sposób uzyskać pewne uproszczenie kinematycznego opisu oraz w iększą symetrię. W modelu heliocentrycznym powrotne ruchy planet można interpretować jako skutek corocznego obrotu Ziemi, która według Kopernika porusza się dużo wolniej niż planety zewnętrzne (Mars, Jowisz i Saturn) oraz szybciej niż planety położone bliżej Słońca (Merkury i Wenus). Jako filozof przyrody Kopernik był w yznawcą całkowicie konserwatywnego punktu widzenia. Osiągnięcie większej prostoty w pojmowa

l i KŁADY ZŁOŻONE I EWOLUCJA MATERII 41

niu „naturalnego” ruchu obrotowego uważał wszakże za oznakę bardziej wiernego zbliżenia się do rzeczywistości.

Niezachwiana niczym wiara w prostotę cechowała również Johannesa Keplera, pierwszego wielkiego matem atyka nowożytnej astronomii. W swym M isterium cosmographicum z 1596 K epler ponownie usiłował wyrazić odległości w systemie planetarnym za pom ocą m odelu regularnych brył naprzemiennie wpisanych i opisanych na sferach. Planety Saturn, Jowisz, Mars, Ziemia, Wenus i M erkury odniesione są do sześciu sfer um ocowanych wewnątrz każdej innej i rozdzielonych w tej kolejności przez sześcian, czworościan, dwunastościan, dwudziestościan i ośmiościan. Oczywiście spekulacje Keplera nie dadzą się uogólnić tak, by m ożna je było dostosować do odkrycia, w późniejszym czasie, Urana, N eptuna i Plutona.

Kepler nie pogrążał się jednak w platońskich spekulacjach, był bowiem przede wszystkim fizykiem. Jego Astronomia Nova z 1609 jest unikalnym zapisem dociekań, które krok po kroku - pod naciskiem w yników dokładnych pomiarów - rozkładają stare, platońskie pojmowanie prostoty. W przeciwieństwie do Kopernika Kepler uzupełnia swe kinem atyczne rozważania oryginalnymi argumentami z dziedziny dynamiki. Słońce nie jest już, jak u Kopernika, traktowane jako byt pozbawiony fizykalnych funkcji, jako kinematycznie niewspółśrodkowy punkt, lecz jako dynamiczna przyczyna ruchu planet. Nowym zadaniem stało się matematyczne obliczenie tych sił. Podana przez Keplera interpretacja dynamiczna, odwołująca się do pól magnetycznych, była jedynie pew ną początkow ą (i fałszywą) spekulacją. Sukces przyszedł później, wraz z teorią grawitacji Newtona.

Także w innych kulturach prostota świata niebiańskiego („ponadksię- życowego”) i złożoność świata ziemskiego („podksiężycowego”) stanow ią powszechnie znany przedm iot rozważań. Weźmy taoistyczną filozofię przyrody w starożytnych Chinach. Jest ona z pew nością osadzona w micie i logicznie mniej zasadna niż grecka filozofia przyrody, w w iększym stopniu odwołuje się do intuicji i empatii. Pomimo to są między nimi pewne analogie. Taoizm przedstawia przyrodę jako wielki organizm rządzony cyklicznymi ruchami i rytm am i - trwającym od narodzin aż do śmierci cyklem życia pokoleń, dynastii i poszczególnych ludzi, następstwem pór roku, nocy i dni, pojawianiem się i układem gwiazd na niebie. W szystko jest powiązane ze wszystkim innym. Rytmy następują po sobie podobnie jak fale na wodzie. Jakie siły są ostateczną przyczyną tego działania przyrody? Tak jak u Empedoklesa, w taoizm ie wyróżnia się dwie przeciwstawne moce, yin i yang, których rytmiczne narastanie i słabnięcie rządzi światem. W księdze Kuei Ku Tzu (IV wiek p.n.e.) czytamy: „Yang cyklicznie wraca do swego początku. Yin osiąga swój


szczyt i ustępuje m iejsca yang” [2.12], Wedle Arystotelesa każdy byt jednostkow y nosi w sobie samym naturalne cele oraz źródła ruchów. Podobnie w taoizmie, yin i yang determ inują wewnętrzne rytmy poszczególnych rzeczy, a siły te zawsze pow racają do swych początkowych stanów. Taoistyczny model cyklicznych przem ian w astronomii jest podstaw ą kalendarza, w meteorologii - cyklów wodnych. W fizjologii stanowi punkt odniesienia w pojmowaniu fizjologicznego łańcucha pokarmowego i układu krążenia. Jego ogromna sugestywność ma swe źródło w naturalnym rytmie życia, którego działania ludzie dośw iadczają każdego dnia, kształtując swe podejście do życia. Przyroda jaw i się tu jako celowo działający organizm.

Warto zaznaczyć, że chińska filozofia przyrody nie posługiwała się pojęciem atomu i dlatego nie rozwinęła matematycznej mechaniki sformułowanej ju ż w epoce renesansu. Jej centralną koncepcją jest harm oniczny model przyrody pojmowanej jako rytmiczne pulsacje i pola, które sprawiają, że wszystko jest ze wszystkim powiązane. Nie dziwi przeto, że preferowała ona zagadnienia akustyczne i od początku zaabsorbowana była zjawiskami magnetycznymi i elektrostatycznym i. Poglądy taoistów bardziej przypom inają filozofię przyrody stoików niż filozofię Arystotelesa. Również tu dyskusje koncentrują się na badaniu procesów tw orzących kontinuum podobne do fal wodnych. Kontinuum stoików to pneu- ma, której napięcia i pulsacje są uważane za czynniki determinujące poszczególne stany przyrody. Różnorakie ukształtowania przyrody są tylko przejściowymi strukturami formowanymi przez zmienne napięcia pneumy. Nowożytne myślenie oczywiście skwapliwie wykorzystuje modele regularnych fal wodnych czy dźwiękowych albo pól m agnetycznych. Niemniej ani stoicka, ani taoistyczna baza heurystyczna nie doprowadziła do zbudowania fizycznej teorii zjawisk akustycznych lub magnetycznych, porównywalnej z m echaniką Galileusza opartą na ato- mistycznej filozofii przyrody. W yłanianie się porządku ze złożonych, bezładnych i chaotycznych stanów materii przedstawiano jedynie w sposób jakościowy, wykorzystując różne modele Ziemi i nieba.

2.2. Wszechświat Newtona i Einsteina oraz demon Laplace’a

Od starożytności astronomowie i filozofowie byli przekonani, że ruchy ciał niebieskich są rządzone prostymi prawami geometrii. Prostotę uważano nie tylko za wymóg oszczędnej metodologii, ale również - tak sądził jeszcze Kopernik - za własność prawdy. Dlatego teorie astrono


miczne od Platona po Kopernika stwierdzały: redukuj pozorną złożoność układu niebieskiego do prostego schematu takich czy innych rzeczywistych ruchów! Prostych składników dostarczały podstawowe pojęcia geometrii Euklidesa: okrąg (kompas) i linia prosta (liniał). W przeciwieństwie do prostoty świata nadksiężycowego podksiężycowy świat ziemski wydawał się naprawdę złożony. Jego dynamiki nie można było opisać matematycznie; w każdym razie w ram ach systemu geometrii Euklidesa było to niewykonalne. Z tego pow odu m atem atyczny atomizm Platona został w krótkim czasie zapoznany. Arystotełesowskie przekonanie o jakościowej złożoności dynamiki przyrody, która z zasady jest niepodatna na matematyzację, aż do renesansu kładło się cieniem na badaniach naukowych.

Pierwsi fizycy, na przykład Galileusz, odrzucili odgraniczenie „prostego” świata nadksiężycowego od „złożonego” świata podksiężycowe- go. Byli oni przekonani, że dynamikę przyrody w yznaczają te same proste zależności m atematyczne, obowiązujące na niebie i ziemi. Technicznie rzecz ujmując, Galileusz - wyodrębniwszy niektóre dające się zaobserwować i zmierzyć wielkości oraz pominąwszy inne ograniczenia ruchu - dokonał uproszczenia dynamiki (na przykład swobodnego spadania). Zbudował prosty matematyczny model pewnej wyidealizowanej sytuacji eksperymentalnej. Rzecz jasna, nawet astronomiczne modele starożytności uwzględniały tylko niektóre parametry, takie jak prędkość kątow ą czy pozycje planet, a pomijały skom plikow aną wielorakość innych czynników (np. gęstość, masę, tarcie sfer niebieskich). Ze w spółczesnego punktu widzenia nawet presokratycy w swych jakościowych „m odelach” kompleksowej dynamiki przyrody wyróżniali pewne „param etry” główne (np. wodę, ogień, powietrze i ziemię).

Ogólnie biorąc, system fizyczny, biologiczny czy społeczny można obserwować w różnych stanach. Od starożytności strategie tworzenia modeli obserwowanych zjawisk mogły się zmieniać, ale cel, jaki służy ich budowaniu, w pewnym sensie jest ten sam: chodzi o ukazanie dynam iki zm iennych stanów obserwowanego systemu. Oczywiście, rzeczywiste stany nie m ogą być opisane tylko przez niektóre dające się obserwować parametry, ale zakłada się, że jest to możliwe. W przypadku wczesnej astronomii i mechaniki był to pierwszy krok ku matematycznej idealizacji, który doprowadził do zbudowania geometrycznego modelu układu wyidealizowanych stanów, dzisiaj nazywanych przestrzenią stanów modelu. M odele współczesne różnią się od „m odeli” przyrody pre- sokratyków nie tylko sw ą m atem atyzacją i mierzalnością, ale również tym, że dawniej przyjmowano, iż wzajemne związki między aktualnymi stanami pewnego rzeczywistego układu a geometrycznymi punktami m odelu są ontologicznie konieczne. We współczesnym pojmowaniu


systemu związki te są pew ną fikcją, k tórą podtrzymuje się przez wzgląd na sam ą teorię, możność dokonywania przewidywań.

Najprostszym systemem jest model z jednym parametrem. Już w czesne doświadczenia m edyczne ze ssakami dowodziły, że stan zdrowia i choroby m ogą pozostawać w korelacji z param etrem temperatury. U wielu zwierząt obserwowalne cechy zachowania związane są z ich stanami emocjonalnymi: postawione uszy psa są powiązane ze stanem jego niepokoju, a szczerzenie kłów to pewien jakościow y „param etr” stopnia rozdrażnienia. Połączenie obydwu tych postaw daje bardziej adekw atną charakterystykę stanu emocjonalnego psa. Pozycja planety w średniowiecznej kosmologii może być wyznaczona przez jej prędkość kątow ą i umiejscowienie. Dla określenia stanów innych układów może być potrzebna znajomość więcej niż dwóch cech (np. w przypadku stanu zdrowia ssaka - temperatury, ciśnienia krwi i częstości pulsu).

Jeśli parametry te są liczbami, odpowiednie przestrzenie stanów m ogą być przedstawione za pom ocą przestrzeni geometrycznych. Wartości dwu liczbowych parametrów może reprezentować pojedynczy punkt w dwuwymiarowej przestrzeni stanów przedstawionej za pom ocą płaszczyzny geometrii Euklidesa. Obserwowane zmiany aktualnego stanu układu m ożna przedstawić za pom ocą pewnej krzywej w przestrzeni stanów. Jeśli każdemu punktowi na tej krzywej odpowiada jakiś czas obserwacji, otrzymujemy trajektorię modelu. W niektórych przypadkach wygodnie jest wprowadzić inną w spółrzędną czasu, a zmieniające się parametry stanu przedstawić za pom ocą szeregów czasowych. Taki rodzaj reprezentacji nazywa się wykresem trajektorii.

Dynamiczne pojęcia, jakim i posługiwano się w średniowieczu, obejm ują oba typy reprezentacji. Około roku 1350 paryski scholastyk Nicole Oresme wprowadził pojęcie graficznych reprezentacji (lub geometrycznych konfiguracji) natężenia jakości. Oresme rozważał głównie przypadek jakości liniowej, której rozciągłość jest m ierzona pewnym odstępem albo liniowym odcinkiem przestrzeni lub czasu („długość jakości”). W ysunął on postulat, by natężenia jakości w każdym punkcie interwału mierzyć w tym punkcie rzędną pionow ą („szerokością jakości”). Wielkość liniowej jakości jest przedstawiona za pom ocą układu dwu param etrów. W przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego w danym przedziale czasowym, odpowiadającym długości A B (rys. 2.3), szerokość w każdym punkcie odcinka AB jest rzędną PQ, której długość wyraża prędkość w danym momencie [2.13], Prosta D C układu to wykres trajektorii przedstawiającej stan prędkości. Tak zwana zasada M ertona w ywodzi się bezpośrednio z geometrycznej weryfikacji rysunku 2.3: z wzoru na powierzchnię trapezu na rysunku 2.3 w ynika bowiem, że całkowita przebyta odległość s = Vi (V0 + V/)t.


Być może interpretacja ta wzięła się stąd, że powierzchnię tę potraktowano jako składającą się z wielu pionowych („niepodzielnych”) odcinków, z których każdy przedstawia prędkość w bardzo krótkim („nieskończenie małym”) czasie. Zasada M ertona pokazuje, że nawet w bardzo wczesnym okresie powstawania koncepcji przestrzeni stanów dobra reprezentacja geometryczna jest nie tylko pożyteczną wizualizacją, ale i dostarcza nowego zrozumienia pojęć dynamiki. Oczywiście Oresme i M erton chcieli tylko zmatematyzować podobną do Arystotelesowskiej fizykę jakościową. Ale ich badania stały się w Europie powszechnie znane i doprowadziły do powstania dzieła Galileusza. W swoich słynnych Discorsi (1638) Galileusz wprowadził podstawowe pojęcia nowożytnej mechaniki i podał dobrze znany wzór s = !4 at2 na ruch jednostajnie przyspieszony (swobodne spadanie), a także jego dowód, do którego dołączony jest geometryczny wykres przypominający koncepcje Oresm e’a.

Rys. 2.3. Współrzędne jakości liniowej Oresme’a

Newton i Leibniz wzbogacili teorię dynam icznych systemów o nowe pojęcia. Rachunek różniczkowy i całkowy pozwala obliczyć chwilową prędkość jako pochodną funkcji prędkości oraz przedstawić ją w postaci wektora stycznego do odpowiedniej krzywej (rys. 2.4a). Pole wektora prędkości stało się jednym z podstawowych pojęć teorii systemów dynamicznych (rys. 2.4b). Rachunek różniczkowy służy wyznaczaniu trajektorii, które określają wektory prędkości. I odwrotnie, rachunek całkowy pozwala wyznaczyć trajektorie w oparciu o wektory prędkości.

Strategia m odelow ania układu dynam icznego rozpoczyna się od w yboru przestrzeni stanów, w której obserw acje m ogą być reprezentowane przez poszczególne param etry. Przeprow adzane obserwacje um ożliw iają w yznaczenie w ielu trajektorii w przestrzeni stanów. R a


chunek różniczkow y N ew tona i Leibniza pozw ala znaleźć w ektor prędkości w każdym punkcie tych krzyw ych, co um ożliw ia określenie w każdym punkcie właściwej im tendencji dynam icznej. Pole w ektora prędkości w yznacza się poprzez przyporządkow anie każdem u punktowi przestrzeni stanów jakiegoś w ektora prędkości. Przestrzeń stanów w ypełniona trajektoriam i je s t nazyw ana „portretem fazow ym ” systemu dynam icznego (rys. 2.4c). To podstaw ow e pojęcie teorii układu dynam icznego zostało po raz pierw szy w prow adzone przez Henriego Poin- carego. Pole w ektora prędkości w yprow adza się z portretu fazowego poprzez różniczkow anie [2.14].

Rys. 2.4a-c. Geometryczna reprezentacja systemu dynamicznego: prędkość chwilowa jako wektor styczny (a), pole wektora prędkości (b), portret fazowy (c)


Oczywiście pole w ektora prędkości obrazuje dynamikę pewnego konkretnego, odpowiednio wym odelowanego układu. W rzeczywistości, aby odkryć dynamiczne tendencje układu przedstawionego przez odpowiednie pole wektora prędkości, konieczne są dokładne, trwające długi czas obserwacje. K onstrukcja m odelu przebiega właściwe tylko wtedy, gdy (a) wektor prędkości obserwowanej trajektorii jest w każdym punkcie taki sam jak wektor wym agany przez układ dynam iczny oraz (b) pole wektorowe m odelu jest gładkie. Słowo „gładkie” intuicyjnie znaczy, że nie m a ono żadnych przerw ani ostrych kątów. W przypadku jednow ymiarowej przestrzeni stanów pole wektorowe m ożna przedstawić za pom ocą wykresu na płaszczyźnie. Wykres ten jest gładki, jeśli jest ciągły oraz gdy ciągła jest także jego pochodna. Historycznie biorąc, warunek (b) jest odpowiednikiem słynnej zasady ciągłości Leibniza, odgrywającej pierw szorzędną rolę w systemie pojęciowym klasycznej fizyki.

Rys. 2.5. Trajektoria układu dynamicznego w polu wektorowym

Czynność modelowania m ożna ogólnie podsum ować następująco. M odel dynamiczny tworzy się na użytek pewnej sytuacji eksperym entalnej. W yobraźmy sobie narzędzia badawcze takich fizyków, jak Galileusz i N ew ton lub biologów obserwujących pewne organizmy czy nawet socjologów badających jakieś grupy społeczne. M odel dynamiczny składa się z przestrzeni stanów oraz z pola wektorowego. Przestrzeń stanów jest pew ną przestrzenią geom etryczną (tzn. płaszczyzną euklidesow ą czy, ogólniej biorąc, rozm aitością topologiczną) sytuacji eksperymentalnej. Pole wektorowe przedstawia charakterystyczne tendencje stanów podle


gających zmianom i jest nazywane dynam iką modelu. Jak m ożna znaleźć trajektorie, czyli określić zachowanie systemu? Form alnie biorąc, problem ten rozwiązuje się, tworząc portret fazowy systemu. Oznacza to, że m usimy skonstruować trajektorie układu dynamicznego. Jeśli dana jest przestrzeń stanów oraz („gładkie”) pole wektorowe, krzywa w przestrzeni stanów jest trajektorią układu dynamicznego, jeśli jej w ektor prędkości pokrywa się z polem wektora rozum ianym jako wektory styczne (rys. 2.5). Punkt odpowiadający czasowi zero jest nazywany początkowym stanem trajektorii. Zakłada się, że trajektorie te opisują zachowanie układu obserwowanego przez jakiś odcinek czasu. Fizycy byli ponadto na tyle ambitni, iż dążyli do w ysnuwania przewidywań nieskończenie daleko sięgających w przyszłość i wyliczania biegu przyrody tak, jak gdyby była ona ogrom nym zegarem.

Rozważmy wszechświat Newtona, który wydaje się skuteczną aplikacją teorii układów dynamicznych, skonstruowaną przy pom ocy m atematycznych narzędzi opracowanych przez Newtona, Leibniza, Eulera i innych. Newton odkrył trzy prawa rządzące ruchem ciał materialnych. Pierwsze prawo (lex inertiae) mówi, że ciało porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej, jeśli nie działa na nie żadna siła. Jeśli jakaś siła na nie działa, to jest ona równa jego masie pomnożonej przez przyspieszenie (drugie prawo). Podstawy systemu uzupełnia trzecie prawo: każdemu działaniu zawsze towarzyszy równe m u przeciwdziałanie. W szechświat Newtona składa się z cząstek poruszających się w przestrzeni spełniającej prawa geometrii Euklidesa. Przyspieszenia tych cząstek są w yw oływane działającymi na nie siłami. Siłę działająca na każdą cząstkę oblicza się, dodając do siebie, zgodnie z prawem dodawania wektorów, wszystkie siły pochodzące od innych cząstek. Jeśli siłą tą jest grawitacja, działa ona przyciągająco na dwa ciała, a jej wielkość jest proporcjonalna do iloczynu mas obu ciał i odwrotnie proporcjonalna do kw adratu odległości między nimi. Rzecz jasna, istnieć m ogą także inne rodzaje sił.

Drugie prawo New tona było w rzeczywistości pojmowane jako uniwersalny wzorzec stosujący się do wszystkich sił przyrody w makro- i mikrokosmosie. Gdy zadana jest określona siła, Newtonowski schemat przekształca się w ścisły system równań dynamicznych. Jeżeli położenia, prędkości i masy różnych cząstek są znane w jakim ś jednym czasie, ich położenia i prędkości są matematycznie określone dla całej przyszłości. Krótko mówiąc, stan ciała w Newtonowskim wszechświecie jest wyznaczony przez dwa param etry - położenie i prędkość. N ewtonowskie trajektorie są wyznaczone przez dynamiczne równania ruchu. Jeśli znane są stany początkowe, zachowanie Newtonowskiego w szechświata wydaje się w zupełności zdeterminowane. Ten rodzaj determ inizm u miał ogrom ny wpływ na filozofię osiemnastego i dziewiętnastego wieku. Dynamika

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r i i 49

New tona była pojm owana jako podstaw ow a nauka o modelowym przedstawianiu przyrody. Ale m echanistyczne modele są ważne tylko w granicznych przypadkach braku tarcia i eksperymentalnie nigdy nie są w pełni osiągalne. Przyroda jest tak złożona, że fizycy woleli skupiać się na badaniu nienaturalnych („sztucznych”) przypadków granicznych. Przekonamy się później, że wiara fizyków w proste prawa była przyczyn ą całkowitego pom ijania złożoności początkowych warunków i ograniczeń, skutkiem czego wykreowano iluzoryczny model deterministycznej i w pełni obliczalnej natury.

Według Newtona, istnieje tylko jeden świat materialny w jednej absolutnej czasoprzestrzeni, w której możemy wybierać względne układy odniesienia. Oznacza to, że w przypadku każdych dwu zdarzeń m ożna rozstrzygnąć, czy są one równoczesne lub czy zachodzą w tym samym miejscu. Absolutna przestrzeń New tona jest matematycznie reprezentow ana przez trójw ym iarow ą przestrzeń Euklidesa, której metrykę wyznaczają pomiary przeprowadzane za pom ocą linijek, natomiast czas jest traktowany jako jednow ym iarow a przestrzeń Euklidesa o współrzędnej t mierzonej przez standardowe zegary.

Rys. 2.6a. Model czasoprzestrzeni Newtona jako przestrzennych warstw równoczesnych zdarzeń i trajektorii jednostajnych ruchów inercyjnych (linie proste) i przyspieszeń (krzywa)

Z racji swej absolutnej równoczesności czterowymiarowa czasoprzestrzeń Newtona jest rozwarstwiona na maksymalne podzbiory równoczesnych zdarzeń. Każda warstwa jest pew ną m ożliwą do wyodrębnienia trójwym iarową hiperpłaszczyzną t = t (z) zdarzenia z, oddzielającą swą przyczynową przyszłość, która ma warstwę t> t (z), od swej przyczynowej


przeszłości, która ma warstwę t < t (z). N a rysunku 2.6a trzecia współrzędna przestrzenna została pominięta, by przedstawić każdą warstwę jako dwuwymiarową płaszczyznę. Ta przyczynowa struktura opiera się na Newtonowskim założeniu istnienia dowolnie szybkich sygnałów, z pomocą których odbywa się chwilowe oddziaływanie na odległość [2.15],

b) c)

Rys. 2.6b, c. Czasoprzestrzenny stożek Minkowskiego (b), paradoks bliźniąt: odległość Minkowskiego RQ jest większa od sumy odległości RS i SQ (c)

Relatywne przestrzenie N ewtona precyzyjnie przedstawił Lange jako inercyjne układy odniesienia dla swobodnego ruchu ciała odbywającego się po linii prostej ze stałą prędkością. N ie m a znaczenia, którym z wielu m ożliwych układów inercjalnych będziem y się posługiwać. Odpowiednich współrzędnych dostarczają poszczególne transform acje z jednego systemu inercjalnego do drugiego (tzw. transform acje Galileusza). Transformacje te są zgodne z prawami mechaniki. Ponieważ każda transformacja Galileusza ma dziesięć param etrów (jeden param etr czasu oraz po trzy parametry obrotu, stałej prędkości i przesunięcia), m ożna stąd w yprowadzić dziesięć praw zachowania. N a przykład Galileuszowska nie- zmienniczość współrzędnej czasu implikuje prawo zachowania energii. W układach niebędących układam i inercjalnymi zachodzą typowe zjawiska. Na dysk obracający się względem gwiazd stałych działają radialne siły, których transformacje Galileusza nie m ogą wyeliminować. Krótko


m ówiąc, w Newtonowskiej czasoprzestrzeni ruchom jednostajnym przysługuje absolutne pierwszeństwo względem ruchów przyspieszonych. Ich strukturę określa grupa transformacji Galileusza.

N a początku dwudziestego w ieku Einstein wykazał, że Newtonowski model czasoprzestrzeni stosuje się jedynie do ruchów mechanicznycho niewielkiej prędkości względem prędkości światła c. Elektrodynamika M axwella opiera się na fakcie, iż prędkość c jest niezależna od jakiegokolwiek ruchom ego układu odniesienia. W elektrodynamice Newtonow skiej prawo dodawania prędkości oraz niezmienniczość Galileusza nie m ogą być więc prawdziwe. Podstawowe założenia szczególnej teorii względności Einsteina (1905) to stała prędkość światła, niezmienniczość praw fizyki względem wszystkich inercjalnych układów odniesienia („szczególna zasada w zględności”) oraz przyjęcie wspólnych ram przestrzenno-czasowych dla elektrodynamiki i mechaniki. M atematycznym modelem relatywistycznej czasoprzestrzeni Einsteina jest czterowymiarowa geometria M inkowskiego. Czterowymiarowość nie powinna być dla nas zaskoczeniem, bo także czasoprzestrzeń N ewtona ma trzy (karte- zjańskie) współrzędne przestrzeni oraz jed n ą w spółrzędną czasu.

Przez wzgląd na prostotę jednostki dobiera się w ten sposób, że prędkość światła rów na się jeden, skutkiem czego jednostki długości i czasu są wzajem nie wymienialne. Każdy punkt w czasoprzestrzeni reprezentuje jakieś zdarzenie zachodzące w pewnym punkcie przestrzeni. Ponieważ jednak cząstka trwa w czasie, nie jest ona reprezentowana przez punkt, lecz przez linię nazyw aną linią świata cząstki. Aby zobrazować m odel M inkowskiego, układ czasoprzestrzeni przedstawiam y jako posiadający standardow ą współrzędną czasu m ierzoną w kierunku wertykalnym oraz dwie współrzędne przestrzenne mierzone w kierunku horyzontalnym (rys. 2.6b) [2.16].

Cząsteczki poruszające się ruchem jednostajnym są przedstawione za pom ocą prostych, cząsteczki poruszające się z przyspieszeniem - przez linie krzywe. Ponieważ cząsteczki światła (fotony) poruszają się ruchem jednostajnym z prędkością światła c, ich linie świata są prostymi nachylonymi do pionu pod kątem 45°. Tworzą one stożek świetlny, którego wierzchołek umieszczony jest we wspólnym dla wszystkich prostych punkcie 0. M odelem relatywistycznej czasoprzestrzeni M inkowskiego jest układ stożków świetlnych um iejscowionych we wszystkich punktach czasoprzestrzeni.

Linia świata fotonu leży zawsze w całości na powierzchni stożka świetlnego, natom iast linia świata każdej cząsteczki materialnej, poruszającej się ruchem przyspieszonym lub jednostajnym z prędkością m niejszą niż c, musi zawsze w całości leżeć wewnątrz stożka. Ponieważ cząsteczki materialne lub fotony nie m ogą poruszać się szybciej od


światła, tylko linie świata położone na powierzchni i wewnątrz stożka świetlnego są powiązane fizycznymi przyczynami. Dane zdarzenie jest nazywane późniejszym niż punkt 0, jeśli w przyszłości m a stożek leżący ponad punktem 0. Jeśli natom iast m a w przeszłości stożek leżący poniżej punktu 0, nazywa się zdarzeniem wcześniejszym niż punkt 0. Stożek świetlny określa zatem kauzalną strukturę czasoprzestrzeni.

Zasadnicza różnica między modelem M inkowskiego a zw ykłą reprezentacją euklidesow ą polega na tym, że długość linii świata jest utożsamiana z czasem, jak i m ierzą fizyczne zegary. W przeciwieństwie do Newtonowskiego założenia o absolutności czasu jego pom iar staje się więc zależny od drogi. Pokazuje to wyraziście tzw. paradoks bliźniąt. Na rysunku 2.6c jeden z braci bliźniaków pozostaje na Ziemi R, poruszającej się bardzo wolno ruchem jednostajnym , natomiast drugi z ogrom ną prędkością, b liską prędkości światła, udaje się w podróż w kierunku pobliskiej gwiazdy S. Z geometrii M inkowskiego wynika, że brat, który odbył podróż, po swym powrocie na Ziemię (punkt Q) będzie wciąż młody, podczas gdy brat, który pozostał w domu, zestarzeje się. Nie jest to oczywiście naukowa fikcja, lecz pewna konsekwencja czasowego pom iaru długości linii świata M inkowskiego. W przeciwieństwie do zwykłej interpretacji euklidesowej odległość M inkowskiego RQ jest w iększa od sumy odległości R S i SQ. W niosek ten został eksperym entalnie potwierdzony w przypadku cząstek elementarnych poruszających się z ogrom ną prędkością bliską c.

Transformacja Lorentza wyraża niezmienniczość praw fizyki względem poszczególnych układów inercjalnych w czasoprzestrzeni M inkowskiego. Czasoprzestrzeń New tona oraz niezmienniczość Galileusza są granicznym przypadkiem układów, w których ruch odbywa się z m ałą prędkością względem stałej c (np. ruch planet na niebie czy ruch kul bilardowych). Koncepcja Einsteinowskiej czasoprzestrzeni jest więc w istocie nie tyle rewolucyjnym zerwaniem z Newtonem, ile raczej szczytowym punktem rozwojowym klasycznej fizyki.

Ważnym pojęciem, wprowadzonym po raz pierwszy do fizyki klasycznej przez Leibniza, jest energia składająca się z energii kinetycznej T i energii potencjalnej układu U. Praca wykonana przez punktow ą masę przem ieszczającą się od punktu 1 do punktu 2 odpowiada różnicy m iędzy energią kinetyczną w tych punktach. Jeśli praca ta nie zależy od drogi m iędzy punktami 1 i 2, wówczas odpowiednie pole sił nazywa się polem zachowawczym. Siły tarcia nie są zachowawcze. W szystkie siły jednokierunkowe m uszą być zachowawcze, ponieważ droga od jednego punktu do drugiego jest w tym przypadku linią prostą (tarcie m ożna tu pominąć). Całkowita energia T + U je st stała w zachowawczym polu siły.


Ważnym zastosowaniem mechaniki N ewtona jest oscylator harm oniczny, np. wahadło o małej amplitudzie albo drgania ciężaru um ocowanego na sprężynie. Oscylator harmoniczny to modelowe pojęcie wykorzystywane we wszystkich działach fizyki, a nawet w chemii i biologii. Weźmy na przykład elektromagnetyczne fale świetlne, gdzie oscylacjom podlegają natężenia pola elektrycznego i magnetycznego. Również w technice pojęcie drgań harm onicznych jest dobrze znane; przykładem m ogą być drgania prądu elektrycznego w cewce i kondensatorze, w których odpowiednikiem tarcia jest opór elektryczny. W filozofii osiemnastego i dziewiętnastego w ieku wahadło było symbolem m echanistyczne- go wszechświata, który wydawał się całkowicie zdeterminowany i m ożliwy do obliczenia za pom ocą równań ruchu Newtona.

Rys. 2.7a, b. Układ dynamiczny (wahadło) (a) w dwuwymiarowej przestrzeni stanów (cylinder kołowy) (b) [2.17]

Wahadło można zatem uznać za klasyczny przykład metody dynamicznego modelowania. W modelu tym zakłada się, że pręt jest bardzo lekki, choć zarazem sztywny. Punkt zaczepienia zupełnie nie m a tarcia. Ciężarek umieszczony na końcu pręta jest ciężki, lecz bardzo mały. Siła grawitacji stale ciągnie go w dół. Na rysunku 2.7a wahadło jest narysowane na dwuwymiarowej płaszczyźnie; kąt a oznacza jego odchylenie, F je s t siłą przyciągania grawitacyjnego, siła działająca wzdłuż pręta wynosi F cos a, siła powodująca ruch powrotny F sin a. Aby wyobrazić sobie dynamiczne zachowanie wahadła, musimy posłużyć się dynamicznym modelem prze


strzeni stanów i portretu fazowego. Stan wahadła jest w pełni określony przez zm ienną kątow ą a (a = 0 i a = 2n oznacza ten sam kąt) oraz prędkość kątow ą v. M amy więc dwuwymiarową przestrzeń stanów, którą można przedstawić za pom ocą cylindra kołowego (rys. 2.7b). Pionowy okrąg w środku cylindra oznacza stany zerowe prędkości kątowej v = 0. Prosta biegnąca od frontu ku tylnej stronie cylindra to oś zerowego wychylenia a = 0. W początku układu współrzędnych (a, v) = (0, 0) wahadło jest w spoczynku i zajmuje najniższe położenie [2.17].

Rys. 2.8a, b. Portret fazowy wahadła w cylindrycznej przestrzeni stanów(a) oraz jego rozcięcie na płaszczyźnie (b)

Kiedy tarcia nie ma i powietrze nie stawia oporu, niewielkie przesunięcie wahadła w lewo wywołuje jego nieprzerwany ruch w obydwie strony. Odpowiadająca tym oscylacjom trajektoria w przestrzeni stanów jest pewnym cyklem lub zam kniętą pętlą. W położeniu górnym działające siły rów now ażą się i wahadło pozostaje w niestabilnej równowadze. Lekkie odchylenie w lewo powoduje jego opadanie w praw o oraz wzrost prędkości. Prędkość kątowa osiąga maksimum, gdy ciężarek znajduje się w dolnym punkcie swego ruchu. Podnosząc się w górę, wahadło zwalnia. W położeniu górnym znów osiąga równowagę. Kiedy jednak zostanie mocno popchnięte w prawo, jego prędkość kątowa staje się dość duża. Zawracając, wahadło zwalnia, nie na tyle jednak, by w położeniu górnym zatrzymać się. Wahadło obraca się wtedy zgodnie z kierunkiem ruchu w skazówek zegara. Odpowiadająca m u trajektoria w cylindrycznej przestrzeni stanów jest pewnym cyklem. W przeciwieństwie do oscylacji, odbywających się powoli, wahania szybkie zataczają kręgi wokół cylindra. Dzięki w ielokrotnym pom iarom ruchu w ahadła można uzyskać portret fazowy tego dynamicznego m odelu (rys. 2.8a). M amy tu dwa

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r i i 5 5

punkty równowagi: u góry znajduje się punkt siodłowy, w początku układu współrzędnych - wir, który nie jest granicznym punktem sąsiednich trajektorii. Portret fazowy widać lepiej, gdy cylinder jest rozcięty wzdłuż prostej biegnącej od frontu do tylnej strony cylindra, przecinającej górny punkt siodłowy (rys. 2.8b).

Rys. 2.8c. Portret fazowy wahadła z tarciem

Jeśli układ nie jest zamknięty i - tak jak w rzeczywistości fizycznej - uwzględniamy tarcie, punkt równowagi w początku układu współrzędnych


nie jest już wirem (rys. 2.8c). Stał się on spiralnym rodzajem punktowego atraktora. Ponieważ z powodu tarcia ruch wahadła ustaje, każda trajektoria, która przedstawia powolny ruch wahadła w pobliżu najniższego położenia, asymptotycznie zbliża się do tego granicznego punktu.

W dwu lub więcej wym iarach m ogą występować inne rodzaje trajektorii i granicznych zbiorów. Asymptotycznym zbiorem granicznym trajektorii może być na przykład pew ien cykl (rys. 2.9), a w trzech w ymiarach może pojawić się torus albo nawet inne zbiory graniczne, bardziej lub mniej dziwne.

4k

W' 11s \\ ii r\ \W \rV /b*

K

1/ W11

✓ ----j / — ft \11MAŁ- . _ _......

Rys. 2.10. Portret fazowy z dwoma punktowymi atraktorami, dwoma otwartymi zbiorami zbieżnych trajektorii oraz separatorem

Zbiory graniczne um ożliw iają tworzenie modeli układów zm ierzających do stanów równowagi. Kluczowymi pojęciami są zbiory graniczne nazywane atraktorami [2.18], M atematycznie biorąc, pew ien zbiór graniczny (punkt graniczny, cykl, torus itp.) jest nazywany atraktorem, jeśli zbiór wszystkich trajektorii asymptotycznie zbliżających się do tej granicy je s t otwarty. M ówiąc obrazowo, atraktory zaw ierają w sobie w iększość trajektorii położonych w sąsiedztwie pewnego zbioru granicznego. Spośród wszystkich zbiorów granicznych reprezentujących m ożliw ą równowagę układu dynamicznego atraktory są najważniejsze. W przypadku gdy zbiorem granicznym jest punkt, atraktor reprezentuje równowagę statyczną. Jeśli natomiast zbiorem granicznym jest jakiś cykl, atraktor wyznacza periodyczną równowagę oscylacji. Drgania wahadła,

U KŁADY ZŁOŻONE I EWOLUCJA MATERII 5 7

sprężyny czy instrumentu m uzycznego to tylko niektóre spośród m echanicznych sposobów wykorzystania tej prawidłowości. Jak zobaczymy później, periodyczna równowaga układów dynam icznych wykonujących drgania odgrywa znaczącą rolę w fizyce, chemii, biologii i naukach społecznych.

Typowy portret fazowy posiada wiele atraktorów. Portret fazowy można podzielić na różne obszary zbieżnych trajektorii. Granice podziału nazywane są separatorami. Rysunek 2.10 przedstawia dwa punktowe atraktory, dwa otwarte zbiory zbieżnych trajektorii oraz ich separator.

Rys. 2.11 a, b. Dwa zegary jako oscylatory z dwoma cyklami będącymi przestrzeniami stanu

W rzeczywistości układ dynamiczny nie może być rozważany w oderwaniu od innych układów. Aby otrzymać bardziej adekwatny model, m usim y zbadać dwa powiązane ze sobą układy. Prostego przykładu dostarczają dwa sprzężone ze sobą zegary. Taki szczególny układ po raz pierwszy rozważał w siedemnastym stuleciu Christian Huyghens. Zauważył on, że dwa zegary zawieszone na tej samej ścianie zdążają do synchronizacji. Zjawisko to jest spowodowane nieliniowym sprzęganiem dokonującym się za pośrednictwem sprężystej ściany. Z dwu dynam icznych układów m ożna wszakże utworzyć jeden układ, będący iloczynem


kartezjańskim dwu przestrzeni stanów. N iewielkie zaburzenia tego złożonego układu nazywane są sprzęganiem się układów. Geometryczny model stanu takiego układu konstruuje się w następujący sposób [2.19]:

Zegary A i B są pewnym i rodzajami oscylatora. Ażeby zobrazować asymptotyczne zachowanie dwóch oscylatorów, ich chwilowe zachowanie zostało pominięte, a przedstawiony na płaszczyźnie euklidesowej dwuwymiarowy model stanu z cyklem granicznym wokół początku układu współrzędnych o dwu param etrach (położenia i prędkości) zastąpiono samym tylko cyklem granicznym. Stan oscylatora A je st określony przez kąt a odpowiadający jego okresowi (rys. 2.1 la), stan oscylatora B przez kąt /? (rys. 2.11 b).

Aby wyznaczyć przestrzeń stanów złożonego układu dwu oscylatorów, rozważmy cykl graniczny zegara A w płaszczyźnie poziomej. Każdy punkt tego poziom ego cyklu reprezentuje pewien okresowy stan A. Punkt taki traktujemy jako środek cyklu granicznego zegara B ustawionego prostopadle do poziomej płaszczyzny zegara A (rys. 2.1 lc). Każdy punkt takiego pionowego cyklu reprezentuje jakiś okresowy stan B. Para (a, fl) obu okresów reprezentuje stan układu złożonego [2.20],

Jeśli oscylator A jest zatrzymany w okresie a, a oscylator B zatacza pełny cykl, wypadkowy punkt okresu zatacza cykl przedstawiony na rysunku 2 .l ic . Jeśli także oscylator A zatacza pełny cykl, pionowy cykl na rysunku 2 .l i c obraca się wokół cyklu poziomego, zakreślając torus przedstawiony na rysunku 2 .l id . Przestrzenią złożonego stanu układu dwóch oscylatorów jest zatem torus, który jest iloczynem kartezjańskim obu cyklów. Faktyczny model stanu dwu oscylatorów jest oczywiście czterowymiarowy, a nie jedynie dwuwymiarowy, jak na naszym uproszczonym rysunku.

Rys. 2.1 lc, d. Przestrzeń stanów układu złożonego dwóch oscylatorów (torus jako iloczyn kartezjański dwóch cykli)


Aby otrzymać portret fazowy dynamicznego zachowania układu złożonego, m usimy zbadać pole wektorowe oraz trajektorie w przestrzeni stanów torusa. Załóżmy najpierw, że każdy zegar jest całkowicie obojętny na stan drugiego. W takim przypadku zegary nie są ze sobą sprzężone. Trajektoria punktu na torusie, która odpowiada okresowi czasu każdego zegara, obraca się wokół torusa. Jeśli prędkość, z jak ą chodzi każdy zegar, jest stała, trajektoria na spłaszczonym prostokątnym modelu torusa jest linią prostą (rys. 2.12). Nachylenie tej prostej określa stosunek tempa, w jakim chodzi zegar B, do tempa zegara A. Jeśli dwa zegary chodzą w tym samym tempie, stosunek ten równa się jeden. Jeśli wskazu ją one ten sam czas, m ają identyczne okresy. Trajektoria na spłaszczonym torusie jest wówczas przekątną przedstaw ioną na rysunku 2.12a.

Drobna zmiana w układzie wywołuje nieznaczną zmianę tempa lub częstotliwości oscylatorów. Trajektoria na torusie przekształca się wtedy z trajektorii periodycznej w trajektorię ąuasi-periodyczną lub trajektorię obracającą się nie raz, lecz wiele razy (rys. 2.12b). Jeżeli dwa oscylatory są sprzężone (na przykład dwa zegary zawieszone przez Huyghensa na tej samej ścianie), do dynamicznego modelu reprezentującego układ niesprzężony musi być dodane pewne małe pole wektorowe. Godnym uwagi twierdzeniem geometrycznej analizy jest teza, że splot trajektorii na torusie jest strukturalnie niezmienny w tym sensie, że małe zakłócenia nie powodują znaczącej zmiany portretu fazowego. Wniosek ten znalazł eksperymentalne potwierdzenie w zaobserwowanym już przez Huyghensa zjawisku synchronizacji dwóch zegarów zawieszonych na tej samej ścianie.

a) b)

Rys. 2.12a, b. Portrety fazowe układu złożonego dwóch oscylatorów o okresie identycznym (a) oraz o okresach nieznacznie różniących się od siebie (b)


Oscylatory dostarczają podstawowego dynam icznego paradygmatu tworzenia modeli przyrody Nie ograniczają się one bynajmniej do zastosowań w mechanice. W dziewiętnastym wieku Herm ann von Helmholtz w ynalazł oscylator elektryczny, a lord Rayleigh badał połączone układy oscylatorów w lampie próżniowej zastosowane do pierwszej transmisji radiowej. W wieku dwudziestym van der Pol wykorzystał dalszy rozwój elektroniki częstotliwości radiowych dla zrozumienia działania oscylatorów sprzężonych.

We wszechświecie newtonowskim przykładami oscylatorów sprzężonych są ruchy układów wielu ciał. Co m ożna ogólnie powiedzieć o m echanice układów składających się z kilku poruszających się mas punktowych, które wzajemnie na siebie oddziałują? Układ z dwom a punktowymi masami ma proste i ścisłe rozwiązania. W przypadku zagadnienia dwu ciał z dwoma punktowymi masami i izotropowymi siłami centralnymi niewiadome (jest ich dwanaście) są wyznaczane przez prawa zachowywanych wielkości (jest ich dziesięć) oraz przez newtonowskie prawa ruchu dla dwóch cząstek. Wyrażając newtonowskie prawa ruchu za pom ocą wektora różnicy r i zredukowanej masy n = m tm 2/(mi + m2) obydwu mas punktowych m\ i m 2, m ożna sprowadzić zagadnienie dwu ciał do zagadnienia ruchu pojedynczej masy punktowej, które ma już rozwiązanie. Galileusz zakładał wcześniej, że Ziemia porusza się wokół Słońca, które jest w spoczynku. Sprowadzał zatem ruchy na niebie do prostego przypadku zagadnienia dwu ciał. Jak wszyscy wiemy, w rzeczywistości Słońce porusza się wokół wypadkowego, leżącego wewnątrz Słońca, środka mas planet tworzących Układ Słoneczny. Ale założenie to jest oczywiście nadal niedokładne, ponieważ wokół Słońca porusza się jednocześnie wiele planet, które wzajem nie oddziałują na siebie.

Innego przykładu problem u wielu ciał dostarcza zjawisko potrójnego zderzenia trzech kul bilardowych. Przy założeniu, że kule zderzają się tylko parami i że żadnych zderzeń dodatkowych nie ma, sytuacja sprowadza się do zagadnienia dwóch ciał. Gdy droga ruchu kul jest płaska, rezultat zależy od stanu początkowego. Stosunkowo małe zmiany stanu początkowego pow odują tylko niewielkie zmiany końcowe. Jeśli trzy kule zderzają się jednocześnie, wynikające stąd zachowanie w sposób zasadniczy zależne jest od tego, które kule zderzą się najpierw. A zatem w przeciwieństwie do zasady ciągłości Leibniza - k tórą Leibniz, w swej krytyce Kartezjańskich badań zderzeń, posłużył się jako czymś podstawowym - rezultat zależy skokowo od danych początkowych. Ponieważ zachowanie fizyczne w całej przyszłości i przeszłości jest matematycznie w zupełności określone przez położenia i prędkości kul czy planet, we wszechświecie newtonowskim zagadnienie wielu ciał, dotyczące kul bilardowych lub planet, może być przedstawiane za pom ocą modeli de


terministycznych. Jednak w praktyce modele te, gdyby ich używać do prognoz długoterminowych, są zawodne. W przypadku teorii planetarnej komputerowe symulacje zachowań na wiele milionów lat w przyszłość m ogą prowadzić do ogromnych błędów, albowiem początkowe położenia i prędkości nie są dokładnie znane. N ieznaczna zm iana danych początkowych może nagle spowodować kolosalną zmianę końcową. Taka nieregulam ość w zachowaniu jest czymś charakterystycznym, gdy chodzio zagadnienie w ielu ciał. N aw et w rzeczywistości całkowicie zdeterm inowanej założenie dem ona Laplace’a, wedle którego m ożna przewidzieć odległy bieg zdarzeń w newtonowskim wszechświecie, okaże się w końcu rodzajem zwodniczej fikcji.

2.3. Układy Hamiltona, chaos nieba i świat kwantowy

W osiemnastym i dziewiętnastym stuleciu wydawało się, że newtonowska mechanika odsłania odwieczny porządek przyrody. Z dzisiejszego punktu w idzenia newtonowskie układy ciał to tylko pewien użyteczny rodzaj systemu dynamicznego, którym posługujem y się w konstruowaniu modeli przyrody. Ażeby ustalić początkowy stan newtonowskiego układu, trzeba znać położenia i prędkości wszystkich jego cząstek. W połowie dziewiętnastego wieku m atem atyk William Hamilton wprowadził nadzwyczaj elegancki i skuteczny formalizm [2.21]. Owocnym pomysłem Ham iltona było opisanie układu zachowawczego poprzez tzw. hamiltonian H, będący funkcją całkowitej energii układu (równej sumie energii kinetycznej i potencjalnej) zdefiniow aną za pom ocą uogólnionych położeń i uogólnionych pędów. Jeśli prędkość cząstki jest, najprościej mówiąc, tempem zmiany położenia w czasie, jej pęd równa się prędkości pomnożonej przez jej masę. Za pom ocą drugiego prawa ruchu Newtona układy newtonowskie opisywane są w term inach przyspieszeń, będących tempem zmiany tempa zmiany położenia. M atematycznie są one zatem wyrażane równaniami drugiego stopnia. W formalizmie Ham iltona w ystępują dwa układy równań. U kład pierwszy opisuje, jak zm ieniają się w czasie pędy cząstek, układ drugi - jak zm ieniają się w czasie położenia. Równania Ham iltona opisują tem pa zmiany wielkości (np. położenia czy pędu). Otrzymujemy zatem uproszczony zapis matematyczny, zawierający równania pierwszego stopnia, które - rzecz jasna - są deterministyczne. Układy dynamiczne n swobodnych cząstek w przestrzeni o trzech niezależnych kierunkach m ają 3n współrzędnych położenia oraz 3n współrzędnych pędu.


Po wyborze właściwego ham iltonianu równania Hamiltona można wykorzystać do scharakteryzowania każdego układu dynamicznego - nie tylko układów newtonowskich. Naw et w elektrodynamice M axwella równania podobne do równań Ham iltona opisują tem po zmian w czasie pól elektrycznych i magnetycznych. Jedyna różnica polega na tym, że równania M axwella są równaniami pola o nieskończonej liczbie parametrów potrzebnych do opisania układu, a nie równaniami cząstek. W równaniach M axwella wektory pola zaczepione w każdym punkcie przestrzeni są odpowiednikami skończonej liczby param etrów z trzema współrzędnymi położenia i trzem a współrzędnymi pędu dla każdej cząstki. Równania H am iltona znalazły także zastosowanie w szczególnej oraz (w nieco zmodyfikowanej postaci) ogólnej teorii względności. N awet rewolucyjne zastąpienie przez Bohra mechaniki klasycznej m echaniką kw antow ą dokonało się w ramach formalizmu Hamiltona. Zastosowania te zostaną omówione później. W tej chwili zaznaczmy jedynie, że równania Ham iltona dostarczają uniwersalnego formalizmu dla tw orzenia w fizyce modeli dynam icznych układów.

Odpowiednie przestrzenie stanów pozw alają unaocznić ewolucję układu dynamicznego w każdej jego „fazie” . Dlatego nazywa się je przestrzeniami fazowymi. W układach o n cząstkach przestrzenie fazowe m ają 3« + 3/7 = 6n wymiarów. Pojedynczy punkt przestrzeni fazowej reprezentuje całkowity stan danego, być może złożonego, układu n cząstek. Równania Ham iltona określają trajektorię punktu fazowego w przestrzeni fazowej. M ówiąc ogólnie, opisują one tem pa zmian każdego punktu fazowego i dlatego w yznaczają pole wektorowe przestrzeni fazowej, określając tym samym całą dynamikę odpowiedniego układu.

Z empirycznych zastosowań wiadomo, że stany dynam icznych m odeli nie m ogą być m ierzone z dow olną dokładnością. M ierzona wartość danej wielkości zm ienia się pod wpływem oddziaływania aparatury pomiarowej, warunków otoczenia itd. Odpowiednie punkty fazowe skupione są w pewnych m ałych, sąsiadujących ze sobą obszarach. Zasadniczym problemem jest pytanie, czy trajektorie zaczynające się w sąsiednich stanach początkowych są lokalnie stabilne, w tym znaczeniu, że m ają sąsiednie stany końcowe. N a rysunku 2.13a pewien obszar stanu fazy R 0 stanów początkowych o czasie zero pod wpływem działania pola w ektorowego przemieszcza się w czasie t w kierunku obszaru R, (oczywiście, przy takim przedstawieniu przestrzeni fazowej ogrom na liczba faktycznych w spółrzędnych musi być pom inięta) [2.22].

Podobne stany początkowe prow adzą w tym przypadku do podobnych stanów końcowych. Założenie to jest niczym innym, ja k klasyczną zasadą przyczynowości w yrażoną w języku dynamiki Hamiltona: podobne przyczyny w yw ołują podobne skutki. W przeszłości filozofowie,


od Leibniza do M axwella, akceptowali tę zasadę. W ydawało się, iż gwarantuje ona stałość procesu m ierzenia oraz - pom im o zauważalnego stopnia niedokładności pomiarowej - um ożliwia przewidywanie.

a)

Rys. 2.13a, b. Obszar stanu fazy R„ o czasie zero pod wpływem dynamiki Hamiltona przemieszcza się w czasie t w kierunku obszaru R, (a) [2.22]; Według twierdzenia Liouville’a objętość początkowego obszaru w przestrzeni fazowej pozostaje w dynamice Hamiltona niezmieniona, ale jego kształt efektywnie rozciąga się we wszystkich kierunkach (b) [2.22]

Należy podkreślić, że reprezentacja wyrażona za pom ocą formalizmu Hamiltona generuje pewne ogólne twierdzenie dotyczące przyczynowości klasycznych układów dynamicznych. Zgodnie ze słynnym twierdzeniem matematyka Liouville’a objętość każdego obszaru przestrzeni fazowej musi pozostawać niezmieniona w każdej dynamice Hamiltona - a zatem również w każdym zachowawczym układzie dynamicznym. W konsekwencji przedstawiona na rysunku 2.13a wielkość początkowego obszaru R0 w każdej dynamice Hamiltona nie może wzrastać, jeśli przez „wielkość” rozumieć objętość przestrzeni fazowej. Ale jej zachowanie nie w yklucza, że kształt początkowego obszaru może podlegać zmianom i rozciągać się na wielkie odległości w przestrzeni fazowej (rys. 2.13b) [2.22].

W yobraźmy sobie kroplę atramentu rozlew ającą się w dużej objętości wody, która znajduje się w jakim ś naczyniu. Z tw ierdzenia Liouville’a nie wynika, że ten możliwy w przestrzeniach fazowych proces gwarantuje lokalną stabilność trajektorii. Naw et bardzo niewielka zmiana danych początkowych m oże wywołać dużą końcow ą zmianę. Zagadnienie w ielu ciał w mechanice nieba oraz zderzenia kul bilardowych pozostają problemami, które - pomimo ich deterministycznej dynamiki -


są nierozwiązalne dla długich przedziałów czasowych. Z twierdzenia L iouville’a w ynikają jednak pewne ogólne wnioski dotyczące końcowych obszarów, które m ożna przedstawić za pom ocą dynamiki Ham iltona, czyli zachowawczych układów dynamicznych. W róćmy do przedstawionego na rysunku 2.8c portretu fazowego wahadła z tarciem, które nie jest układem zachowawczym i m a inny punkt równowagi początkowej. O ile układ niezachowawczy posiada wężykowaty typ atraktora punktowego (rys. 2.14a), o tyle układ zachowawczy ma w ir (rys. 2.14b), który nie jest atraktorem [2.23],

Rys. 2.14a, b. Atraktor punktowy układu niezachowawczego (a), wir układu zachowawczego (b)

N a rysunku 2.14a trajektorie są przyciągane przez pew ien punkt pola, a rozm iar obszaru początkowego zm niejsza się. Na rysunku 2.14b trajektorie okrążają wir, a rozm iar obszaru początkowego pozostaje niezmieniony. W ychodząc zatem z tw ierdzenia Liouville’a, m ożna ogólnie stwierdzić, że w każdym układzie zachowawczym punkty przyciągania są z konieczności niemożliwe. Zm niejszanie się obszarów początkowych m ożna łatwo zobrazować także za pom ocą trajektorii cykli granicznych. Z tych samych, m atem atycznych (apriorycznych) racji w ypływa wniosek, że również cykle graniczne jako atraktory będą w układach zachowawczych niemożliwe.

W nioski te są konsekw encją ogólnego tw ierdzenia matematycznego stosującego się do układów Hamiltona. N ależy pamiętać, że zachowawcze układy fizyczne, jak systemy planetarne, wahadła czy swobodnie opadające ciała, to tylko niektóre empiryczne egzemplifikacje układów Hamiltona. Układy Ham iltona są zdefiniowane przez pew ien szczególny typ równań m atem atycznych (równań Hamiltona). W łasności układów Ham iltona w ynikają z matematycznej teorii odpowiednich równań.


M ożliwość m odelowego wykorzystania układów H am iltona świadczy więc o tym, iż na drodze rozważań epistemologicznych jesteśm y zdolni przewidzieć pewne aprioryczne własności rzeczywistości, na przykład to, że jakakolw iek statyczna równowaga granicznego atraktora punktowego czy periodyczna równowaga atraktora cyklu granicznego jest niemożliwa.

Taki punkt w idzenia jest pod względem filozoficznym zbieżny z epistem ologią Kanta w jej zmodyfikowanym w pewien sposób znaczeniu. Jeśli zakładamy m atem atyczną strukturę dynam icznych układów, m ożemy wówczas, rzecz jasna, wysnuwać aprioryczne tw ierdzenia o em pirycznych modelach, niezależnie od ich empirycznych zastosowań w poszczególnych naukach. Jednakże epistemologia Kanta oraz podejście do dynamicznego układu różnią się od siebie: mam y nie tylko jakiś jeden system kategorialny (układy typu newtonowskiego), ale wiele rodzajów systemów, z pom ocą których m ożna - z większym czy m niejszym powodzeniem - tworzyć modele rzeczywistości. Fizykalista czy redukcjonista nie może więc wykorzystać układów zachowawczych nawet w naukach kognitywnych i ekonomii.

K olejną aprioryczną konsekw encją (zachowawczych) układów Ham iltona są trajektorie nieregularne i chaotyczne. W osiemnastym i dziewiętnastym w ieku fizycy i filozofowie byli przekonani, że przyrodę opisują równania ruchu New tona czy Hamiltona, czyli że przyszłe i m inione stany wszechświata m ogą być w zasadzie obliczone, o ile tylko początkowe stany teraźniejszych zdarzeń są dobrze znane. Od strony filozoficznej przekonanie to ilustruje pojęcie demona Laplace’a, który - podobnie jak olbrzymi kom puter - bez jakichkolw iek fizycznych ograniczeń może przechowywać i obliczać wszystkie konieczne stany. Od strony matematycznej w iara w demona Laplace’a polegać musi na przyjęciu założenia, że układy są w klasycznej mechanice całkowalne, czyli że zawsze m ają rozwiązania. Już w 1892 Poincare wykazał, że niecałko- walne zagadnienie trzech ciał mechaniki klasycznej może prowadzić do całkowicie chaotycznych trajektorii [2.24]. Około sześćdziesiąt lat później Kołmogorow (1954), Arnold (1963) i M oser (1967) dowiedli słynnego tw ierdzenia KAM, mówiącego, że w przestrzeni fazowej mechaniki klasycznej ruch nie jest ani całkowicie regularny, ani całkowicie nieregularny, ale że typy trajektorii są znacząco uzależnione od obranych w arunków początkowych [2.25],

Ponieważ m echanika stanowi empirycznie dobrze potwierdzony dynamiczny model układu Hamiltona, twierdzenie KAM obala tradycyjny pogląd na świat „ponadksiężycowy” . N iebo nie jest światem wiecznej regularności - ani w znaczeniu kosm osu Arystotelesa, ani w znaczeniu demona Laplace’a. Rzecz jasna, nie jest ono siedzibą bogów. M imo to


niebo nie jest całkowicie bezładne. Jak w ynika z teorii układów Ham iltona, w większym czy m niejszym stopniu cechuje się ono zarazem regularnością i nieregulamością. O wiele bardziej, niż sądzili nasi przodkowie, zdaje się przypom inać nasze codzienne życie. Z tego punktu w idzenia układy Ham iltona m ogą być traktowane przez pewnych autorów jako kuriozalne. Rozważmy jednak teraz kilka m atem atycznych faktów.

Jednym z najprostszych przykładów układu całkowalnego jest oscylator harmoniczny. Równania ruchu danego układu całkowalnego o n stopniach swobody w praktyce są takie same, jak równania układu n niesprzę- żonych oscylatorów harmonicznych. Odpowiednia przestrzeń fazowa ma 2n wymiarów, n współrzędnych położenia i n współrzędnych pędu. Dla oscylatora harmonicznego o n = 1 otrzymujemy okrąg, a dla oscylatora0 n = 2 torus (por. rys. 2 .lid ) . N całek ruchu zacieśnia trajektorie w 2«-wymiarowej przestrzeni fazowej układu całkowalnego do «-wymiarowej rozmaitości, która ma konfigurację ^-wymiarowego torusa. Dla układu całkowalnego o dwu stopniach swobody w czterowymiarowej przestrzeni fazowej trajektorie można przedstawić na torusie. Zamknięte trajektorie występują tylko wtedy, gdy stosunek częstotliwości odpowiednich oscylatorów jest wymierny (rys. 2.15). Jeśli jest on niewymierny, trajektoria nigdy się nie zamyka i pokrywa gęsto cały torus [2.26].

Niecałkowalny układ mechaniki nieba zanalizowali w 1964 Henon1 Heiles. M odel dynamiczny składa się z całkowalnej pary oscylatorów harm onicznych powiązanych niecałkowalnymi członami współrzędnych trzeciego stopnia. Jeśli początkowy stan m odelu o dwu współrzędnych położenia q\, q2 i dwu współrzędnych pędu p t, p 2 jest znany, jego całkowita energia E jest określona przez odpow iednią funkcję Ham iltona zależną od tych współrzędnych. Trajektorie układu poruszają się w czterowymiarowej przestrzeni fazowej po trójwymiarowej hiperpłaszczyźnie wyznaczonej równaniem H (qu q i,P \,P i) = E.

Rys. 2.15. Układ całkowalny z dwoma stopniami swobody na torusie i zamkniętą trajektorią


Rys. 2.16a-d. Przekroje Poincarego dla układu Henona-Heilesa [2.27]

Wartości E można wykorzystać do zbadania współistnienia ruchów regularnych i bezładnych, wynikających z twierdzenia KAM. Przy małych wartościach E układ dynamiczny zachowuje się regularnie, natomiast przy wartościach dużych staje się chaotyczny. Ażeby zobrazować tę zmianę zachowania, rozważmy punkty przecięcia trajektorii z dwuwymiarową płaszczyzną o współrzędnych q \'\ q i (przekrój Poincarego). Dla E = 1/24 (rys. 2.16a) i E = 1/12 (rys. 2.16b) przekrój Poincarego wskazuje punkty przecięcia zdeformowanych w pewien sposób torusów, będących oznaką regularnego ruchu. Powyżej krytycznej wartości E = 1/9 większość toru-


sów - choć nie wszystkie - znika oraz pojawiają się przypadkowo rozsiane plamki nieregularnych punktów. Dla E = 1/8 (rys. 2.16c) odwzorowanie Poincarego przedstawia pewien stan przejściowy, w którym współistnieją ze sobą ruchy regularne i bezładne. Dla E = 1/6 (rys. 2 .lód) ruch wydaje się niemal zupełnie nieregularny i chaotyczny [2.27],

Empirycznej egzemplifikacji powyższej zależności dostarcza zagadnienie trzech ciał, występujące w mechanice nieba. Zagadnienie to jest niecałkowalne. Rozważmy ruch Jowisza, zakłócający ruch pewnego asteroidu okrążającego Słońce (rys. 2.17).

A steroid i Jowisz są traktowane jako dwa oscylatory o pewnej częstotliwości drgań. Zgodnie z twierdzeniem KAM , zależnie od stosunku częstotliwości m ożna wyróżnić stabilne i niestabilne ruchy asteroidu.

M usimy w ogólności zdawać sobie sprawę z tego, że zarówno trajektorie stabilne, jak i niestabilne są matematycznie dobrze określone. W rezultacie nawet niecałkowalne zagadnienia w ielu ciał podpadają pod deterministyczny model świata. M etaforycznie m ożna powiedzieć, że Bóg Leibniza i Newtona nie miałby żadnych trudności w przewidywaniu regularnych i nieregularnych trajektorii sub specie aeternitatis i nie m usiałby obliczać ich postępu krok po kroku. Obserwowane zachowanie chaotyczne nie jest wywołane ani ogrom ną liczbą stopni swobody (ruch trzech ciał na niebie ma stosunkowo niewiele stopni swobody), ani niepew nością ludzkiej wiedzy. N ieregulam ość ma sw ą przyczynę w nieliniowości równań Hamiltona, która sprawia, że trajektorie, które początkowo ze sobą sąsiadują w granicznym obszarze fazy wykładniczo oddalają się od siebie. Ponieważ ich warunki początkowe m ogą być m ierzone jedynie ze skończoną dokładnością błędy zaś rosną wykładniczo, odległego w czasie zachowania tych układów nie m ożna przewidzieć. Pod względem matem atycznym warunki początkowe są określane przez wartości rzeczywiste, które m ogą być liczbami niewym iernym i z nieskończoną liczbą cyfr po przecinku. Komputerowe obliczenia będą obarczone coraz większym błędem, w miarę, jak pom iar wyrażany będzie coraz w iększą liczbą cyfr.

M akrokosmos mechaniki nieba - asteroidy, planety, gwiazdy i galaktyki - jest determinowany współwystępowaniem regularnej i bezładnej dynamiki. Deterministyczny chaos nieba jest możliwy tylko lokalnie i dlatego może wywoływać katastrofy kosm iczne, których z zasady nie da się wykluczyć. A co się dzieje w m ikrokosmosie m echaniki kw antowej, w kwantowym świecie fotonów, elektronów, atomów i cząsteczek? Czy chaos istnieje w świecie kwantów? Ażeby odpowiedzieć na to pytanie, m usim y najpierw przypomnieć kilka podstawowych pojęć związanych z układami Ham iltona i przestrzeniam i fazowymi, dotyczących obiektów w kwantowym świecie [2.28],


Rys. 2.17. Zakłócenia ruchu asteroidu powodowane przez Jowisza

W 1900 M ax Planck wysunął tezę, że drgania elektromagnetyczne rozchodzą się w określonych porcjach zwanych kwantami, których energię E wyraża zależność E = hv, gdzie v jest częstotliwością drgań, a h pew ną stałą („kwantem Plancka”). Wedle dwudziestowiecznej fizyki niewielki kwant Plancka, obok olbrzymiej prędkości c światła Einsteina, jest drugą podstaw ow ą stałą przyrody. Twierdzenie Plancka zostało eksperymentalnie potwierdzone m.in. przez zjawisko prom ieniowania ciała czarnego. W 1923 Louis de Broglie wysunął hipotezę, że nawet cząsteczki materii powinny czasem zachowywać się jak fale. Częstotliwość v fali de Broglie’a dla danej cząstki m spełnia równanie Plancka. Korzystając ze słynnego wzoru Einsteina E - m c 2 („masa jest szczególnym stanem energii i dlatego może być przekształcona w energię prom ieniowania”), otrzymujemy zależność, która mówi, że v jest związane z m równaniem hv = mc2. Wynika stąd, że w świecie kwantowym drgania pól z daną częstotliw ością m ogą odbywać się tylko dla skokowych w artości masy zależnych od stałych Plancka i Einsteina. Oczywiście w świecie kwantowym zjawiska m ogą być zarazem traktowane jako fale i kor- puskuły. Tzw. dualizm korpuskulam o-falowy został dobrze potwierdzony przez wiele doświadczeń, które - zależnie od warunków eksperym entalnych - ujawniły cechy fal lub cząstek w takich układach kw antowych, jak fotony czy elektrony.

W 1913 Niels Bohr wprowadził „planetarny” model atomu, który z zadziw iającą dokładnością wyjaśniał obserwowane i m ierzone dyskretne poziomy energii oraz częstotliwości w idm a fal. Zasady Bohra głosiły, że m om ent pędu elektronów na orbitach atomowych może przyjmować wartości będące całkow itą w ielokrotnością h = h!2n. Sukces jego teorii, choć była ona hipotezą przyjętą ad hoc, ujawnił tylko wagę pewnego


przybliżonego modelu geometrycznego, który musi być wywiedziony z dynamicznej teorii świata kwantowego. Teoria ta jest odpowiednikiem klasycznej mechaniki N ewtona czy Hamiltona, wyjaśniającej podane przez Keplera prawa ruchu planet. Dynamikę świata kwantowego odkryła mechanika kwantowa Heisenberga i Schrodingera, która stała się podstaw ow ą teorią materii fizyki dwudziestego wieku.

Główne pojęcia mechaniki kwantowej m ożna heurystycznie wprowadzić przez analogię do odpowiednich pojęć mechaniki Hamiltona, o ile uwzględni się pewne konieczne modyfikacje zależne od stałej Plancka. Procedura ta nosi nazwę zasady korespondencji Bohra (rys. 2.18). I tak w mechanice kwantowej klasyczne wektory, takie ja k położenie czy pęd, m uszą być zastąpione odpowiednimi operatorami spełniającymi pew ną nieprzem ienną (nieklasyczną) relację, która zależy od stałej Plancka. Jeśli h maleje nieskończenie (h —> 0), otrzymujemy dobrze znane przemienne zależności, np. położenia i pędu, które pozw alają mierzyć obydwa wektory z nieograniczoną dokładnością. Bezpośrednią konsekwencją nieprzmiennych zależności jest w mechanice kwantowej zasada nieoznaczoności Heisenberga Ap Aq > hl2. Jeśli mierzy się położenie q z dokładnością Aq, zakłóceniu ulega pęd p m ierzony z dokładnością Ap. Oczywiście w świecie kwantowym nie ma trajektorii czy orbito dokładnie określonych wartościach położenia i pędu cząstki. Dobrze znane orbity elektronowe Bohra stanow ią zaledwie przybliżoną ilustrację geom etryczną [2.29],

Rys. 2.18. Zasada korespondencji Bohra

Zgodnie z zasadą korespondencji Bohra klasyczne układy opisywane przez funkcję Hamiltona m uszą być zastąpione układami kwantowymi (np. elektronami czy fotonami), opisywanymi przez operator Hamiltona zależny od operatorów (położenia i pędu), a nie od wektorów. W fizyce

U KŁADY ZŁOŻONE I EWOLUCJA MATERII 71

klasycznej stany układów Ham iltona są określone przez punkty przestrzeni fazowej. W mechanice kwantowej analogicznym pojęciem jest przestrzeń Hilberta. Stany układu kwantowego są opisywane przez wektory przestrzeni Hilberta generowanej przez wektory własne operatora Hamiltona.

Aby nieco dokładniej zilustrować ten m atematyczny przykład, w yobraźmy sobie pojedynczą cząstkę. W mechanice klasycznej stan cząstki jest określony przez jej położenie w przestrzeni i pęd. W mechanice kwantowej każde pojedyncze położenie, w jakim cząstka może się znaleźć, jest jakąś pojedynczą m ożliw ością należącą do zbioru wszystkich m ożliwych położeń o współczynnikach zespolonych. M am y zatem złożoną funkcję położenia, tak zw aną funkcję falow ą y (x). Dla każdego położenia x wartość y/ (x) oznacza amplitudę prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w x. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w jakim ś ustalonym i niewielkim przedziale wokół tego położenia otrzymuje się przez obliczenie kwadratu modułu amplitudy \y j{x)f. Funkcja falowa wyznacza także amplitudy dla różnych możliwych pędów. Przestrzeń Hilberta jest zatem złożoną przestrzenią stanu układu kwantowego.

K auzalną dynamikę stanów kwantowych określa cząstkowe równanie różniczkowe nazywane równaniem Schrodingera. Klasyczne dane obserwacyjne zawsze kom utują z określonymi wartościami. Natom iast nieklasyczne dane obserwacyjne układów kwantowych zasadniczo nie kom utują z żadnym wektorem własnym i - w konsekwencji - z żadną określoną w artością własną. Wartości danych obserwacyjnych stanu kwantowego m ogą być obliczone jedynie statystycznie.

Zasadniczą w łasnością formalizmu kwantowego Schrodingera jest zasada superpozycji, która ma charakter liniowy. Rozważmy dwa oddziałujące na siebie układy kwantowe (np. parę fotonów emitowanych w przeciwnych kierunkach przez to samo źródło światła). Naw et w ów czas, gdy przy dużych odległościach ich fizyczne oddziaływanie znika, pozostają one w pewnej wspólnej superpozycji stanów, których nie m ożna oddzielić czy umiejscowić. Dane obserwacyjne dwu układów kw antowych w takim splątanym (czystym) kwantowym stanie superpozycji m ogą mieć jedynie nieokreślone wartości własne. Zasada superpozycji czy liniowości mechaniki kwantowej ukazuje współzależność (splątanych) stanów sprzężonych układów; ich istnienie zostało bezsprzecznie potwierdzone przez eksperymenty EPR. Filozoficznie biorąc, całość (kwantowa) jest czymś więcej niż sum ą jej części. Brak umiejscowienia jest fundam entalną w łasnością świata kwantowego, odm ienną od w łasności klasycznych układów Ham iltona [2.30]. Do zagadnienia tego wrócimy, gdy rozważać będziemy emergencję umysłu-mózgu oraz sztuczną inteligencję (rozdz. 4-5).


Zasada korespondencji Bohra skłania do postawienia pytania, czy chaotyczny ruch występujący w klasycznych układach Hamiltona prowadzi do braku uporządkowania w odpowiednich układach kwantowych [2.31]. Dokonując krótkiego przeglądu podstawowych pojęć mechaniki kwantowej, wspomnieliśmy o pewnych zmianach, których należy się spodziewać przy przejściu od układów chaotycznych w sensie klasycznym do odpowiadających im układów kwantowych. W przeciwieństwie do mechaniki klasycznej mechanika kwantowa pozwala wysuwać jedynie przewidywania statystyczne. Choć równanie Schrodingera jest liniowe w sensie zasady superpozycji i może być dokładnie rozwiązane (np. dla oscylatora harmonicznego) i choć funkcja falowa jest przez to równanie ściśle określona, nie znaczy to, że własności stanu kwantowego m ogą być ściśle obliczone. Możemy obliczyć jedynie gęstość prawdopodobieństwa znalezienia fotonu czy elektronu w danym punkcie czasoprzestrzeni.

Z racji zasady nieoznaczoności Heisenberga w świecie kwantowym nie m a trajektorii. Dlatego określenie chaosu poprzez wykładniczo zwiększające się oddzielenie sąsiednich trajektorii w układach kwantowych jest niemożliwe. Godna uwagi jest również inna konsekwencja zasady nieoznaczoności, która dotyczy chaosu. W róćmy do klasycznej przestrzeni fazowej z obszarami chaosu przedstawionej na rysunku 2.16. Z zasady nieoznaczoności wynika, że punktów w 2«-wymiarowej przestrzeni fazowej w danej objętości hn nie da się rozróżnić. Przyczyną jest to, że chaotyczne zachowanie m niejsze niż h" nie może być w mechanice kwantowej opisane. Przewidzieć m ożna jedynie zachowanie regularne poza obszarem chaosu. W tym sensie bardzo mała, lecz skończona w artość stałej Plancka może niwelować chaos.

W mechanice kwantowej odróżnia się układy stacjonarne niezależne od czasu oraz zależne od czasu układy Hamiltona. W układach ze stacjonarnym hamiltonianem równanie Schrodingera może być zredukowane do liniowego zagadnienia wartości własnej, które pozwala obliczyć poziomy energii, np. atomu wodoru. Dopóki poziomy te są dyskretne, dopóty funkcja falowa ma przebieg regularny i chaosu nie ma. Powstaje pytanie, czy są jakieś różnice między widmem energii układu kw antowego o ustalonej granicy w sensie klasycznym a układem kwantowym, którego klasyczny odpowiednik zawiera chaos. Hamiltoniany zależne od czasu są wykorzystywane do sporządzenia opisu ewolucji czasowej, np. cząstek elementarnych i molekuł.

Według zasady korespondencji Bohra chaos kwantowy można stwierdzić, wychodząc od badania pewnych klasycznych układów Hamiltona. M ogą być one całkowalne, prawie całkowalne lub chaotyczne. Trajektorie na hiperpłaszczyznach energii m ogą być zatem regularne, prawie regularne lub prawie chaotyczne. W wyniku kwantyzacji funkcji


Hamiltona, polegającej na zastąpieniu wektorów położenia i pędu odpowiednimi operatorami, otrzymujemy operator Ham iltona odpowiedniego układu kwantowego. N astępnie możem y wyprowadzić równanie Schrodingera i równanie wartości własnych. M ożna teraz postawić pytanie: czy własności systemu klasycznego z jego całkowalnym, prawie całkowalnym oraz chaotycznym zachowaniem m ożna przenieść do odpowiedniego układu kwantowego? Jak będzie wyglądać widmo, funkcje w łasne? Pytania te m ożna zebrać pod nagłówkiem: „chaos kwantowy’ . S ą na przykład obliczenia dowodzące, że widm o energii swobodnej cząstki kwantowej poruszającej się po pętli stadionu, dla której ruch w sensie klasycznym jest chaotyczny, drastycznie różni się od w idm a takiej cząstki poruszającej się po okręgu, dla której ruch w sensie klasycznym jest regularny.

''n a)

r S s .

b)T\sl

n1 _ nI p

C) n d)

A r %

t \ i/ . V . .0 1 2 3s 3 i 2' 3 s

Rys. 2.19a-d. Dwa sprzężone oscylatory o regularnej (a) i prawie chaotycznej dynamice klasycznej, (b) atom wodoru w jednorodnym polu magnetycznym z regularną (c) i prawie chaotyczną dynamiką klasyczną (d) [2.32]

N a rysunku 2.19 rozkład odległości między sąsiednimi poziomami jest zilustrowany dwoma przykładami [2.32], Rysunek 2.19a, b przedstawia układ składający się z dwu sprzężonych oscylatorów o dwu różnych w artościach w spółczynnika sprzężenia. N a rysunku 2.19a dynam ika odpowiedniego układu klasycznego jest regularna, na rysunku 2.19b prawie chaotyczna. Rysunek 2.19c, d przedstawia atom wodoru w jednorodnym polu magnetycznym. O ile odpowiednia dynam ika klasyczna na rysunku 2.19c jest regularna, o tyle dynam ika klasyczna na rysunku


2.19d jest prawie chaotyczna. Przypadki zachowań regularnych i chaotycznych różnią się od siebie odmiennym rozkładem poziom ów energii (Poissona i Wignera), który m ożna obliczyć, rozwiązując odpowiednie równanie Schródingera. Znalazły one potwierdzenie w wielu symulacjach komputerowych oraz w pom iarach laboratoryjnych w ykorzystujących spektroskopię laserową. W tym sensie kwantowy chaos nie jest żadną ilu z ją lecz pew ną złożoną strukturalną w łasnością świata kwantowego. Układy Ham iltona są pewnym kluczem um ożliwiającym odkrywanie chaosu w makro- i mikrokosmosie. M a się rozumieć, iż nie powinniśm y jednak mylić złożonych struktur m atem atycznych determ inistycznego chaosu z potocznym wyobrażeniem nieporządku.

2.4. Układy zachowawcze i dyssypatywne. Wyłanianie się porządku

Odkąd Poincare opracował mechanikę nieba (1892), na podstawie m atem atycznych rozważań m ożna było wysnuć wniosek, że pewne układy mechaniczne, których czasow ą ewolucję określają nieliniowe rów nania Hamiltona, m ogą działać chaotycznie. Dopóki jednak uczeni nie dysponowali odpowiednimi narzędziami badania układów niecałkowal- nych, dopóty deterministyczny chaos był traktowany jako zwykła ciekawostka. W pierwszych dekadach dwudziestego wieku odkryto wiele num erycznych metod, pozwalających przynajmniej w przybliżeniu radzić sobie z m atem atyczną zaw iłością nieliniowych równań różniczkowych. Moc obliczeniowa współczesnych szybkich kom puterów oraz wyrafinowana technika eksperymentalna stały się podstaw ą obecnych sukcesów nieliniowego podejścia do systemów złożonych w naukach przyrodniczych i społecznych. Komputerowe wizualizacje modeli nieliniowych ułatw iają interdyscyplinarne zastosowania, które m ają ważkie konsekwencje w wielu gałęziach nauki. W 1963 meteorolog Edward Lorenz, uczeń znanego matem atyka Birkhoffa [2.33], zauważył, że dynamiczny układ opisywany za pom ocą układu trzech nieliniowych rów nań różniczkowych pierwszego rzędu prowadzić może do całkowicie chaotycznych trajektorii. Z matem atycznego punktu w idzenia nieliniowość jest koniecznym, lecz niewystarczającym warunkiem chaosu. Jest warunkiem koniecznym, ponieważ liniowe równania różniczkowe można rozwiązać za pom ocą dobrze znanych procedur matem atycznych (transformacje Fouriera) i nie otrzymać chaosu. Układ Lorenza, wykorzystujący model dynamiki pogody, różni się od układów Ham iltona a la Poincare głównie sw ą dyssypatywnością. Ujmując rzecz obrazowo,


m ożna powiedzieć, że układ dyssypatywny nie jest zachowawczy, lecz „otwarty” ; posiada on zewnętrzny param etr kontrolny, który można zestroić z krytycznymi wartościami powodującym i przechodzenie w chaos.

Dokładniej rzecz ujmując, zarówno układy zachowawcze, jak i dyssypatywne są opisywane nieliniowymi równaniam i różniczkowymi x = F (x , X), w których nieliniowa funkcja F wektora x = (xu ... , xd) zależy od zewnętrznego param etru kontrolnego X. O ile dla układów zachowawczych, zgodnie z twierdzeniem Liouville’a, elementy objętości w odpowiedniej przestrzeni fazowej zm ieniają swój kształt, lecz zachow ują wraz z upływem czasu objętość, o tyle elementy objętości układów dyssypatywnych stopniowo kurczą się (por. rys. 2.13, 2.14) [2.34],

Odkrycia determ inistycznego m odelu turbulencji dokonał Lorenz, który badał przebieg procesów atmosferycznych decydujących o pogodzie. Nagrzewana przez Słońce Ziemia ogrzewa atmosferę od dołu. Zewnętrzna przestrzeń, która jest zawsze wychłodzona, absorbuje ciepło z zewnętrznej powłoki atmosfery. N iższa warstwa powietrza usiłuje wzbić się w górę, a wyższa opada w dół. Ten ruch warstw został m odelowo przedstawiony w kilku eksperym entach Benarda. Prądy powietrzne w atmosferze m ożna sobie wyobrazić jako przekroje warstw. Ruchy ścierających się ze sobą mas powietrza gorącego i zimnego przedstaw iają zawirowania nazwane komórkami Benarda. U noszą one nagrzane powietrze ruchem kolistym ku górze, a zimne powietrze opada w dół. A tm osfera składa się zatem z w ielu trójwym iarowych kom órek Benarda ściśle stłoczonych jak sześciokątna siatka. Śladów takich atm osferycznych wirów m ożna dopatrzyć się w regularnych wzorcach pagórków i dolin na pustyniach, na zaśnieżonych polach czy górach lodowych.

W typowym eksperymencie Benarda ciekła warstwa jest ogrzewana od dołu w polu grawitacyjnym (rys. 2.20a). Nagrzana ciecz na dole przem ieszcza się do góry, a zimny płyn na górze opada w dół. Ruchy te przeciw staw iają się siłom lepkości. Dla m ałych różnic temperatury S T lepkość dominuje, ciecz pozostaje wtedy w spoczynku, a ciepło przenoszone jest równomiernie drogą przewodnictwa cieplnego. Zewnętrzny param etr kontrolny układu jest tzw. liczbą Rayleigha Ra prędkości, która jest proporcjonalna do AT. D la krytycznej wartości Ra stan cieczy staje się niestabilny i zaczyna się wykształcać struktura stacjonarnych zawirowań konwekcji (rys. 2.20b) [2.35].

Poza graniczną w artością Ra obserwujemy przechodzenie w ruch chaotyczny. Skomplikowane równania różniczkowe, opisujące eksperym ent Benarda, Lorenz uprościł do trzech nieliniowych równań różniczkowych w ystępujących w jego słynnym modelu. Każde równanie różniczkowe opisuje tempo zmiany - zmiennej X , wyrażającej prędkość cyrkulacji strumienia cieczy, zmiennej Y, charakteryzującej różnicę tem-


peratury między wznoszącymi się i opadającymi składnikami cieczy, zmiennej Z, wyrażającej odchylenie pionowego przekroju temperatury od jego wartości równowagowej. Z równań tych wynika, że dowolny elem ent objętości danego obszaru w odpowiedniej przestrzeni fazowej wykładniczo kurczy się wraz z upływem czasu. Model Lorenza jest więc dyssypatywny.

a)

T

T+AT

/ / / / / / / / / / / / / / '/ / // / / / / // / /

/ / / / / / // / / / / / ,' / / ' / / / / / - / ,

Rys. 2.20a, b. Eksperyment Benarda: nagrzewana warstwa cieczy

Zjawisko to m ożna zobrazować komputerowo, obliczając trajektorie generowane przez trzy równania modelu Lorenza. Przy spełnieniu pewnych warunków pojedynczy obszar w trójwymiarowej przestrzeni fazowej jest przyciągany przez trajektorie zataczające jedną pętlę w prawo, następnie kilka pętli w lewo, potem znów w prawo itd. (rys. 2.21) [2.36],

Tory tych trajektorii znacząco zależą od warunków początkowych. Niewielkie zmiany ich wartości m ogą spowodować wystąpienie torów, które będą nagle odchylać się od starych, zataczając wiele różnych pętli. Z powodu swego dziwnego wyglądu, podobnego do dwóch oczu sowy, obszar przyciągania fazy Lorenza został nazwany „dziwnym atraktorem ” . Dziwny atraktor jest oczywiście chaotyczny. Jaka jednak struktura topologiczna sprawia, że trajektorie układają się coraz bliżej siebie, nie przecinając się wzajemnie? Oto przykład objaśniający definicję tzw. wymiarów fraktalnych [2.37]:

Niech M będzie podzbiorem atraktora w ^-wymiarowej przestrzeni fazowej. Załóżmy, że przestrzeń fazowa jest pokryta przez sześciany o długości krawędzi e. Niech N (e) będzie liczbą sześcianów, które mieszczą w sobie jakąś część atraktora M Jeśli e zdąża do zera (e —► 0), ujemna granica stosunku logarytmu iV (e) i logarytmu e, tzn. D = - lim ln N (e) / ln e, jest nazywana wymiarem fraktalnym.

Jeżeli atraktor jest punktem (rys. 2.14a), wymiar fraktalny wynosi zero. W przypadku stałego cyklu granicznego (rys. 2.9) w ym iar fraktalny wynosi jeden. Ale w układach chaotycznych wym iar fraktalny nie jest liczbą całkowitą. W ogólności wymiar fraktalny można obliczyć jedynie


numerycznie. W przypadku m odelu Lorenza dziwny atraktor ma wymiar D ~ 2.06 ± 0.01.

t Z

Rys. 2.21. Atraktor Lorenza

Innym układem dyssypatywnym, w którym ruch chaotyczny był badany eksperymentalnie, jest reakcja B iełousowa-Żabotyńskiego. W tym chemicznym procesie cząstka organiczna jest utleniana przez jony brom kowe; utlenianie jest katalizowane przez układ redoksy. Tempo zmiany stężenia reagentów w danym układzie reakcji chem icznych jest opisywane przez układ nieliniowych równań różniczkowych z nieliniow ą funkcją. Zmienna będąca wskaźnikiem chaotycznego zachowania jest w reakcji Biełousow a-Żabotyńskiego stężeniem jonów w układzie redoksy. Przy odpowiedniej kom binacji reagentów eksperymentalnie zaobserwować można nieregularne oscylacje tego stężenia. W skaźnikami oscylacji są oddzielnie zabarwione kręgi. To oddzielenie jest w spaniałą ilustracją nieliniowości. Do ewolucji liniowej stosowałaby się zasada superpozycji. W takim wypadku oscylujące kręgi nakładałyby się na siebie i wzajem nie przenikały.

Odpowiednie rów nania różniczkowe są autonomiczne, czyli formalnie nie zależą od czasu. W symulacjach kom puterowych jest często rzeczą w ygodną badać przepływ w układzie dynamicznym opisywany rów naniami różniczkowymi, stosując dyskretne równania, pozwalające znaleźć punkty przecięcia trajektorii za pom ocą (d - l)-w ym iarow ego


odwzorowania Poincarego w odpowiedniej J-wym iarowej przestrzeni fazowej (por. rys. 2.16). Poszukiwane punkty oznacza się przez

Rys. 2.22a-c. Krzywa logistyczna jako odwzorowanie rekurencyjne dla parametru kontrolnego a = 4A = 2 (a), a = 4/. = 3,2 (b) i a = 4k = 4 (c)


x (l) , x (2 ),..., x{ń), x(n + 1), gdzie n je st rosnącą liczbą punktów czasowych. Odpowiednie równanie dla punktu x (n + 1), następującego po punkcie x(n) = (x \(n ),..., xd- :(«)), m a postać x(n + 1 ) = G (x(n), i ) . W ychodząc od przepływów, m ożna uogólnić klasyfikację układów zacho-

Rys. 2.23a, b. Sekwencja okresowego podwajania bifurkacji (a) oraz obszar chaosu odwzorowania logistycznego powyżej ac = 4AC (b)


wawczych i dyssypatywnych na odwzorowania Poincarego. Dyskretne równanie odwzorowania jest nazywane dyssypatywnym, jeśli prowadzi do ścieśniania objętości w przestrzeni fazowej.

Znanym przykładem odwzorowania dyskretnego je s t tzw. odwzorowanie logistyczne, które znalazło wiele zastosowań zarówno w naukach przyrodniczych, jak i społecznych. Przy zastosowaniu dość prostych metod symulacji komputerowej odwzorowanie to pozwala zilustrować podstawowe pojęcia opisujące przechodzenie złożonych systemów dynamicznych od nieliniowości do chaosu. Rozważmy krótko ten przykład. Odwzorowanie logistyczne jest matematycznie określone rekurencyjnym (nieliniowym) odwzorowaniem drugiego stopnia x„ + l = axn (1 - x„) przedziału 0 < x < 1 na siebie, w którym param etr kontrolny a ma wartości 0 < a < 4 . Kolejne wartości funkcji x \, x 2, x3,... m ożna obliczyć za pom ocą prostego kom putera kieszonkowego. Dla a < 3 kolejne wartości funkcji zdążają to pewnego punktu stałego (rys. 2.22a). Jeśli a przekracza pew ną krytyczną wartość « i, po pewnym okresie przejściowym kolejne wartości dokonują periodycznych skoków m iędzy dwoma wartościami (rys. 2.22b). Jeśli a rośnie dalej ponad pew ną krytyczną wartość a2, długość okresu periodycz nych zm ian ulega podwojeniu. Jeśli a wzrasta jeszcze bardziej, okres zmian każdorazowo podwaja się przy osiągnięciu pewnych krytycznych wartości a\, a2,.. . . Jednak po przekroczeniu krytycznej wartości ac, rozwój staje się coraz bardziej nieregularny i chaotyczny (rys. 2.22c) [2.38].

Przedstawioną na rysunku 2.23a sekw encją okresowego podwajania bifurkacji rządzi prawo regularności odkryte przez Grassmanna i Thom ae’ego, stosujące się do odwzorowania logistycznego. Prawo to Feigenbaum uznał za uniw ersalną własność całej klasy funkcji (stała Feigenbauma) [2.39], Rysunek 2.23b przedstawia chaos panujący w zakresie wartości w iększych od ac.

Na rysunkach 2 .24a-c odwzorowania x„ na xn + 1 są przedstawione dla różnych parametrów kontrolnych, co um ożliwia wykreślenie odpowiednich atraktorów o punkcie stałym, okresowych oscylacjach między dwoma punktami oraz całkowitym braku regularności, który nie posiada żadnego atraktora czy okresowości.

Trochę dziwne, że prosta matematyczna prawidłowość, jak ą jest odwzorowanie logistyczne, powoduje skomplikowane bifurkacje i chaos możliwy w prezentowanych na rysunkach 2.23a, b przekształceniach. Konieczną, lecz niew ystarczającą przyczyną tego stanu rzeczy jest nieliniowość równania. W tym kontekście stopnie narastania złożoności są określane przez narastające rozwidlenia, które prow adzą do chaosu jako bardziej złożonego, fraktalnego scenariusza. Każde rozwidlenie reprezentuje m ożliw ą gałąź rozwiązania równania nieliniowego. Od strony


fizykalnej rozwidlenia te ukazują fazy przechodzenia od stanu rów now agi do nowych możliwych stanów równowagi. Jeśli przez równowagę rozumieć stan symetrii, faza przechodzenia oznacza załamanie się symetrii pod wpływem sił fluktuacji.

Rys. 2.24a-c. Atraktory odwzorowania logistycznego dla różnego parametru kontrolnego: atraktor o punkcie stałym (a), oscylacja okresowa (c), chaos(b)

Symetria jest matem atycznie zdefiniowana przez inwariantność pew nych praw względem kilku transformacji m iędzy odpowiednimi układa


mi odniesienia, w jakich pozostaje obserwator. W tym znaczeniu symetria praw Keplera jest określona przez transformacje Galileusza (por. rys. 2.6a). Prawa hydrodynamiki, opisujące oddolne ogrzewanie warstwy cieczy (rys. 2.20a), są inwariantne względem wszystkich horyzontalnych przesunięć. Równania reakcji chemicznych (w nieskończenie rozciągłym środowisku) są inwariantne względem wszelkich przesunięć, obrotów i przekształceń układu odniesienia używanego przez obserwatora [2.40].

Niemniej jednak owe wysoce symetryczne prawa pozw alają na przejścia fazowe do stanów cechujących się m niejszą symetrią. W przypadku eksperymentu Benarda rozgrzana warstwa cieczy staje się niestabilna, co powoduje powstanie stacjonarnych zawirowań konwekcji (rys. 2.20b). To przejście fazowe oznacza złamanie symetrii, ponieważ drobne fluktuacje zm uszają zawirowania do wyboru jednego z dwu możliwych kierunków. Nasz przykład pokazuje, że przejście fazowe oraz złamanie symetrii wywołane jest zm ianą zewnętrznych param etrów i ostatecznie prowadzi do wykształcenia nowej makroskopowej i przestrzenno-czasowej struktury układu oraz wyłonienia się porządku.

Oczywiście fluktuacje cieplne obarczone są pew ną niepew nością czy, precyzyjniej mówiąc, cechują się pewnym prawdopodobieństwem. Cząstkę, przypadkowo zaw racaną w biegu lub popychaną naprzód (ruchy Browna), m ożna opisać stochastycznym równaniem, które zmianę prawdopodobieństwa rozkładu ujmuje jako funkcję czasu. Jednym z najważniejszych narzędzi pozwalającym obliczyć prawdopodobieństwo rozkładu danego procesu jest tzw. równanie główne. Ażeby w yobrazić sobie ten proces, rozważmy cząstkę poruszającą się w trzech wym iarach sieci krystalicznej.

Prawdopodobieństwo znalezienia układu w punkcie x i czasie t rośnie, gdy zmiany rozpoczynające się w jakim ś innym punkcie x ’ zdążają do rozpatrywanego punktu („wzrost”). Zmniejsza się ono, gdy zmiany przekraczają ten punkt („spadek”). Ponieważ „wzrost” tw orzą wszystkie zmiany zachodzące między punktami początkowymi x ’ a x, jest on w ynikiem ich zsumowania. Każdy składnik tej sumy jest określony prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w punkcie x ’ pom nożonym przez prawdopodobieństwo zmiany (w jednostce czasu) przy przejściu od x ’ do x. Analogicznie m ożna znaleźć „spadek” dla zmian po przekroczeniu punktu x. Dlatego tem po zmiany prawdopodobieństwa rozkładu procesu opisywane jest stochastycznym równaniem różniczkowym i zależy od różnicy między „wzrostem ” a „spadkiem ” .

Fluktuacje są wywoływane niezliczoną liczbą przypadkowo poruszających się cząsteczek. Przykładem są tu molekuły cieczy. Rozdwojenie stochastycznego procesu może być zatem wywołane wyłącznie przez zmianę rozkładu probabilistycznego. Rysunek 2.25 przedstawia zmiany funkcji


prawdopodobieństwa. Na rysunku 2.25a funkcja ma kształt ostrego piku z pojedynczym atraktorem, na rysunku 2.25b rozkład prawdopodobieństwa jest płaski, zaś na rysunku 2.25c - gdy parametr kontrolny przekracza pew ną krytyczną wartość - ma on dwa maksima z dwoma atraktorami. Wykres 2.25c przedstawia stochastyczne złamanie symetrii [2.41],

a) b)

*o

c)

Rys. 2.25a-c. Funkcja prawdopodobieństwa z pojedynczym atraktorem (a), rozkład płaski (b), stochastyczne złamanie symetrii przez dwa atraktory (c)

Złożoność oznacza tu, że układ cechuje ogromna liczba stopni swobody. Poprzez oddziaływanie z zewnątrz można zmieniać jego stopnie swobody. Na przykład przy podniesionej temperaturze cząsteczki pary wodnej poruszają się swobodnie bez jakiejkolwiek wzajemnej korelacji. Kiedy temperatura się obniża, tw orzą się kropelki cieczy. To makroskopowe zjawisko zachodzi wtedy, gdy cząsteczki dzieli od siebie pewna uśredniona odległość, umożliwiająca wzajem ną korelację ruchu. W punkcie zamarzania woda przekształca się w kryształki lodu, cechujące się niezmiennym uporządkowaniem cząsteczek. Od bardzo dawna dobrze znano te przejścia fazowe. Rozmaite nagromadzenia takich stanów mogły przyczynić się do wysunięcie filozoficznych koncepcji, które głosiły, że woda stanowi podstawowy składnik materii (por. podrozdz. 2.1).

Drugi przykład zaczerpnięty jest z nauk technicznych. Po przekroczeniu pewnej krytycznej wartości nagrzewany m ateriał ferrom agnetyczny traci swe magnetyczne właściwości. Ale gdy tem peraturę się obniży - odzyskuje je. M agnetyzm jest m akroskopow ą własnością, którą na poziomie m ikroskopowym m ożna wyjaśnić zm ianą stopni swobody. Ferrom agnetyk składa się z w ielu m agnesów atomowych. Przy podniesionej tem peraturze atomowe magnesy skierowane są w przypadkowych kierunkach. Dlatego na poziomie makroskopowym nie obserwuje się żadnego namagnesowania. Poniżej temperatury krytycznej atomowe magnesy ustawione są w pewnym m ikroskopowym porządku, dając m akroskopow ą własność nam agnesowania (rys. 4.9a). W obydwu przypadkach pojawienie się m akroskopowego porządku zostało wywołane


obniżeniem temperatury. Struktura ta została utworzona bez straty energii w niższej temperaturze. Jest ona zatem pewnym rodzajem zachowawczej (odwracalnej) samoorganizacji. Jej fizycznej interpretacji dostarcza prawo rozkładu Boltzmanna stwierdzające, że struktury z m niejszą energią w ystępują głównie w niskich temperaturach.

Istnieją jednak układy, które swego uporządkowania i działania nie zaw dzięczają obniżeniu temperatury, lecz podtrzym ywaniu strumienia energii i materii. Dobrze znanymi przykładami są tu systemy żywe, jak rośliny i zwierzęta, które przysw ajają energią biochemiczną. Przetwarzanie tej energii może prowadzić do wytwarzania makroskopowych struktur, ja k wzrastanie roślin czy przem ieszczanie się zwierząt. Lecz takie wyłonienie się porządku jest bez wątpienia czymś typowym dla systemów żywych (por. rozdz. 3). Jest to rodzaj dyssypatywnej (nieodwracalnej) samoorganizacji dalekiej od równowagi cieplnej, k tórą znajdujemy zarówno w fizyce i chemii, jak też w biologii.

Jak dobrze wiadomo, z drugiego prawa termodynamiki wynika wniosek, że układy zamknięte, które nie w ym ieniają energii i materii ze swym otoczeniem, przekształcają się w układy nieuporządkowane, bliskie rów nowagi cieplnej. Stopień nieporządku mierzy się w ielkością nazyw aną „entropią” . Drugie prawo mówi: w układach zam kniętych entropia zawsze rośnie do pewnej wartości maksymalnej. Kiedy na przykład ciało chłodne styka się z ciałem ciepłym, wym iana ciepła sprawia, iż obydwa ciała uzyskują tę sam ą temperaturę, czyli ten sam stopień nieuporządko- wania i jednorodności cząsteczek. Kiedy wlewamy kroplę mleka do kawy, mleko rozlewa się tak, iż w końcu powstaje pewna nieuporządkowana i jednorodna mieszanina kawy z mlekiem. Procesu odwrotnego nigdy się nie obserwuje. Wedle drugiego prawa termodynamiki, procesy są zatem nieodwracalne i m ają jeden tylko kierunek [2.42],

Przykładem zaczerpniętym z hydrodynamiki jest opisana na początku rozdziału 2.4 niestabilność Benarda. Kiedy ogrzewana w arstwa cieczy (rys. 2.20a) osiąga wartość k ry tyczną pojawia się pewien makroskopowy ruch (rys. 2.20b). Z nieuporządkowanego i jednorodnego stanu wyłania się przeto dynamiczna, dobrze uporządkowana struktura przestrzenna, która utrzymuje się tak długo, jak długo układ jest podtrzymywany przez strumień energii.

Innym przykładem, pochodzącym z dynamiki cieczy, jest przepływ cieczy wokół cylindra. Zewnętrznym parametrem kontrolnym jest tu liczba Reynoldsa Re prędkości cieczy. Przy małej prędkości przypływ jest jednorodny (rys. 2.26a). Przy prędkościach w iększych pojawia się nowa struktura makroskopowa z dwoma wirami (rys. 2.26b). Przy jeszcze większych - wiry zaczynają oscylować (rys. 2.26c-d). Przy pewnej wartości krytycznej po drugiej stronie cylindra pojawia się nieregularna

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r i i 8 5

i chaotyczna struktura przepływu turbulentnego (rys. 2.26e). Rysunki 2 .26a-e są m apą możliwych atraktorów z jednym lub wielom a punktami stałymi, bifurkacjami, oscylacjami, quasi-oscylacjami, a w końcu fraktalnym chaosem [2.43].

d)

e)

Rys. 2.26a-e. Makroskopowa struktura dynamiki cieczy po drugiej stronie cylindra w zależności od rosnącej prędkości cieczy jako parametru kontrolnego: stan jednorodny (a), dwa wiry (b), oscylacje (c), quasi-oscylacje (d), chaos (e)

Znanym przykładem zaczerpniętym ze współczesnej fizyki i techniki jest laser. Laser zbudowany w oparciu o ciało stałe składa się z pręta


zawierającego domieszkę określonych atomów. Każdy atom jest pobudzany przez doprowadzaną z zewnątrz energię, która powoduje emisję impulsów świetlnych. Zw ierciadła umieszczone na obu końcach pręta służą selekcji tych impulsów. Jeśli impulsy rozchodzą się wzdłuż osi, są wielokrotnie odbijane i pozostają dłużej wewnątrz lasera, natom iast impulsy rozchodzące się w innych kierunkach w ychodzą na zewnątrz. Przy małej mocy pompowania laser działa tak jak lampa, ponieważ atomy em itują impulsy świetlne niezależnie od siebie (rys. 2.21 a). Począwszy jednak od pewnej wartości mocy, atomy drgają zgodnie, co powoduje emisję jednego monochrom atycznego impulsu o nieograniczonej długości trwania (rys. 2.27b) [2.44],

Rys. 2.27a, b. Wykresy fal emitowanych przez lampę (a) i laser (b)

Promień lasera stanowi przykład w yłaniania się makroskopowego porządku możliwego dzięki dyssypatywnej (nieodwracalnej) sam oorganizacji dalekiej od równowagi termicznej. Jako urządzenie wymieniające i przetwarzające energię, laser jest bez wątpienia układem dyssypatywnym dalekim od równowagi termicznej.

Dawniej uczeni musieli odwoływać się do demonów lub mitycznych sił przeobrażających elementy układów w nowe wzorce porządku. Sa- moorganizację dyssypatywną m ożna jednak wyjaśnić - podobnie jak samoorganizację zachowawczą - pew ną ogólną praw idłow ością k tórą precyzyjnie ujm ują dobrze znane metody matematyczne. Rozważmy pierw szą lepszą strukturę, na przykład jednorodną ciecz czy zachodzącą przypadkowo emisję lasera. Przyczyną niestabilności takiej struktury jest zmiana parametrów zewnętrznych, która ostatecznie powoduje wyłonienie nowej makroskopowej struktury czasoprzestrzennej. Niedaleko od


punktu równowagi m ożna wyróżnić stabilne i niestabilne ruchy wspólne lub drgania. Ruchy niestabilne zaczynają oddziaływać i wpływać na ruchy stabilne, które w skutek tego m uszą być wyeliminowane. Hermann Haken sugestywnie nazwał ten proces „zasadą podporządkowania” . Rzeczywiście, począwszy od pewnego progu, ruchy stabilne są „podporządkowywane” niestabilnym.

Ten sposób zachowania jest w matematyce dobrze znany jako tzw. eliminacja adiabatyczna szybko m alejących zmiennych, na przykład z głównego równania, opisującego zmianę prawdopodobieństwa w danym układzie. Oczywiście elim inacja ta um ożliw ia znaczącą redukcję stopni swobody. Pojawienie się nowej struktury jest następstwem faktu, że utrzymująca się niestabilność pełni funkcję parametrów porządkowania określających m akroskopowe zachowanie układu. Ewolucję param etrów m ikroskopowych opisuje równanie różniczkowe. W przeciw ieństwie do m ikroskopowych własności poszczególnych elem entów układu (np. atomów i molekuł) parametry porządkowania w yznaczają m akroskopowe własności całego układu. W przypadku lasera niektóre powoli zmieniające się („nietłum ione”) amplitudy niestabilnych ruchów czy zaburzeń m ogą służyć jako parametry porządkowania, albowiem uzyskują one dominację nad układem atomów. W języku biologii równania param etru porządkowania opisują proces „współzawodnictwa” i „selekcji” między różnymi rodzajami ruchów. Rzecz jasna, są to tylko m etaforyczne sformułowania, które m ożna doprecyzować za pom ocą w spomnianych wyżej technik matematycznych [2.45].

Podsumowując, układ dyssypatywny, przy pewnej wartości progowej, może stać się układem niestabilnym i zaniknąć, umożliwiając wyłonienie nowej struktury. Ponieważ wprowadzenie odpowiednich parametrów porządkowania jest skutkiem eliminacji ogromnej liczby stopni swobody, emergencja porządku dyssypatywnego pociąga za sobą radykalną redukcję złożoności. Struktury dyssypatywne to podstawowe pojęcie teorii systemów złożonych. W książce tej używane są one dla zobrazowania procesów badanych przez nauki przyrodnicze i społeczne. N ieodwracalność struktur dyssypatywnych przypom ina znaną sentencję Heraklita, że nie można dwa razy wejść do tej samej rzeki. N ieodwracalność narusza oczywiście symetrię czasu charakterystyczną dla klasycznego (Hamilto- nowskiego) świata New tona i Einsteina. Ale klasyczny pogląd okaże się pewnym szczególnym przypadkiem w świecie, który podlega stałym zmianom. Heraklit wszakże wierzył w porządkujące prawo, harm onizujące przypadkowe oddziaływania i wytwarzające nowe stany uporządkowanej materii. N ależy upewnić się, czy matematyczny model układu dyssypatywnego będzie zdolny wyrazić uniwersalne własności takiego prawa.


Ogólny schemat ewolucji materii m ożna oprzeć na zunifikowanej teorii oddziaływań fizycznych (rys. 2.28). Standardowe modele ewolucji kosmicznej, które w ynikają z ogólnej teorii względności Einsteina, m uszą być wyjaśnione przez prawa mechaniki kwantowej. W chwili obecnej dysponujemy zaledwie kilkom a matem atycznym i modelami ewolucji kosmicznej, które jedynie częściowo zostały przetestowane i sprawdzone w doświadczeniu. Niemniej modele te oparte są na ogólnej idei, że emergencja struktur o rosnącej złożoności (cząstek elementarnych, atomów, molekuł, planet, gwiazd, galaktyk) może być wyjaśniona przez kosmiczne przejścia fazowe lub łam anie symetrii [2.46].

prawa ruchu planet

prawa swobodnego spadku itd. na Ziemi

elektryczność

magnetyzm

teoria Maxwella

elektrodynamikakwantowa

oddziaływanie słabe

superunifikacja

oddziaływanie silne

I---------- J| wielka unifikacja

Rys. 2.28. Zunifikowane oddziaływania fizyczne

Przyjmuje się, iż w ewolucji kosmicznej stan początkowy jest niemal jednorodny i symetryczny. N ie m ożna w nim wyróżnić oddzielnych cząstek elementarnych, ale cząstki m ogą przekształcać się jedne w drugie. W trakcie ewolucji kosmicznej urzeczywistnione zostały kolejne wartości krytyczne, przy których osiągnięciu dochodziło do łam ania symetrii wywoływanego odchyleniami i fluktuacjami, skutkiem czego wyłaniały się nowe cząstki i oddziaływania. Jak powiedział Pierre Curie: „C ’est la dissymetrie, qui cree le phenom ene” („To brak symetrii tworzy zjawiska”) [2.47], M usimy jednak pam iętać, że kosmiczny proces łamania


symetrii i przejścia fazowe są matem atycznym i ekstrapolacjami eksperymentów i teorii fizyki wysokich energii.

Fizyka współczesna wyróżnia cztery podstawowe oddziaływania - elektromagnetyczne, silne, słabe oraz grawitacyjne. M atematycznie są one wyrażane przez tzw. pola cechowania. Celem fizyki cząstek elementarnych jest zunifikowanie czterech rodzajów oddziaływań w jedno fundamentalne oddziaływanie odpowiadające początkowemu stanowi wszechświata. Dla wysokich energii osiągnięto już w akceleratorze w CERN unifikację oddziaływań elektromagnetycznych i słabych (rys. 2.28). Unifikacja oznacza, że w stanie bardzo wysokiej energii cząstki, które „czują” oddziaływanie słabe (elektrony, neutrina itp.), oraz te, które „czują” oddziaływania elektromagnetyczne, nie m ogą być odróżnione. Można je opisać za pom ocą tej samej grupy symetrii [U (l) x SU(2)], co znaczy, że są one niezmiennicze względem transformacji tej grupy. Przy pewnej ściśle określonej krytycznej wartości niższej energii symetria przekształca się w symetrię częściow ą [U (l) i SU(2)] odpowiadającą oddziaływaniom elektromagnetycznym i słabym.

Złamanie tego rodzaju symetrii fizycznie oznacza przejście fazowe związane z em ergencją dwu nowych fizycznych oddziaływań i odpowiadających im cząstek elementarnych. Proces spontanicznego łam ania symetrii jest dobrze znany. N a przykład jajko, które jem y na śniadanie, nie jest stabilne w swym symetrycznie pionowym ustawieniu. Każde najmniejsze zaburzenie powoduje jego spontaniczny powrót do asymetrycznego, lecz energetycznie stabilnego położenia poziomego. Przejście fazowe ferrom agnetyka ze stanu, w którym nie wykazuje on właściwości magnetycznych, do stanu, w którym właściwości te posiada, jest wywołane obniżeniem jego temperatury do pewnego krytycznego punktu. Elementarne dipole spontanicznie obierają jeden z dwu możliwych kierunków m agnetycznych, łamiąc symetrię spinu obrotowego i powodując wyłonienie się nowej makroskopowej własności (namagnesowania).

Z łożoną różnorodność barionów (protonów, neutronów itd.) i m ezonów, podlegających oddziaływaniom silnym, tw orzą tzw. kwarki, mające trzy stopnie swobody, tzw. kolory - czerwony, zielony i niebieski. Bario- ny są na przykład zbudowane z trzech kwarków, które m ają trzy różne kolory. Kolory te są kom plem entarne w tym znaczeniu, że hadron jest w swym otoczeniu neutralny (nie ma żadnego koloru). M atematyczna grupa symetrii [SU(3)], charakteryzująca transformację koloru kwarków, jest dobrze znana.

Po unifikacji oddziaływań elektrom agnetycznych i słabych fizycy będ ą chcieli dokonać „wielkiej unifikacji” oddziaływań elektrosłabych i silnych, a na koniec „superunifikacji” wszystkich oddziaływań. Jest kilka program ów badawczych dotyczących superunifikacji, np. teorie


supergrawitacji i superstrun. Od strony matematycznej polegają one na przejściu do bardziej ogólnych struktur symetrii („grup cechowania”) zawierających częściowe symetrie czterech podstawowych oddziaływań. Jeśli zaś chodzi o techniczną stronę zagadnienia, kolejne szczeble unifikacji m ożna urzeczywistnić, zwiększając wartości wysokich energii. Ale „wielka unifikacja” w ym aga stanów energii, których nie da się wytworzyć laboratoryjnie. Dlatego wnioski dotyczące wielkiej unifikacji, które w ynikają z fizyki wysokich energii, m ogą być potwierdzone jedynie drogą analizy pewnych konsekwencji dających się testować laboratoryjnie lub obserwować we wszechświecie (np. rozpad protonów). Superuni- fikacja wszystkich oddziaływań wymagałaby nieskończenie rosnących stanów energii, których prawa fizyczne nie są jeszcze znane.

Teoria tzw. inflacyjnego wszechświata zakłada wczesny wszechświat0 małych rozmiarach, lecz ogromnej energii („kwantowa próżnia”), który pod wpływem siły odpychania stanu kwantowej próżni („antygrawita- cji”) gwałtownie powiększa sw ą m akroskopow ą wielkość. To kosmiczne przejście fazowe pozwala wyjaśnić dobrze znane własności, jak ie obserwujemy we wszechświecie, np. względnie jednorodny rozkład gwiazd1 materii. W trakcie rozszerzania pewne drobne odchylenia od symetrii i jednorodności m ogły być wzmacniane, aż stały się na tyle duże, by m ożna było wytłumaczyć obserwowane struktury wszechświata. W rozszerzającym się wszechświecie gęstość materii nieznacznie zm ienia się przy przechodzeniu od jednego punktu do drugiego. Grawitacja mogła zatem sprawić, że obszary o większej gęstości spowolniły swe rozszerzanie i zaczęły się ścieśniać. Te lokalne zdarzenia doprowadziły do powstania galaktyk i gwiazd [2.48],

W yłanianie się strukturalnej złożoności wszechświata, od cząstek elementarnych aż po organizmy żywe, tłumaczy się ogólnie przejściami fazowymi, które związane są z łam aniem symetrii stanów równowagi (rys. 2.29, 2.30). W tym znaczeniu kosm iczna ewolucja materii jest samoistnie organizującym się procesem w yłaniania zachowawczych i dyssypatywnych struktur. M usimy jednak pamiętać, że kosm iczna samoorganizacja pozostaje dziś jedynie, jak mówił Kant, „regulatyw ną ideą badań” : mamy bardziej lub mniej wiarygodne modele dynamiczne, które w mniejszym czy większym stopniu są empirycznie potwierdzone. Sam początek ewolucji kosmicznej jest dotąd nieznany.

Jeśli weźmiemy pod uwagę jedynie prawa ogólnej teorii względności Einsteina, wówczas - jak matematycznie dowiedli tego Roger Penrose i Stephen Hawking - standardowe m odele ewolucji kosmicznej m ają pew ną osobliwość, k tórą m ożna interpretować jako W ielki Wybuch, tzn. jako wyłonienie się wszechświata z punktu matematycznego. Jeśli jed nak ogólną teorię względności (czyli relatyw istyczną teorię grawitacji

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c ja m a t e r ii 9 1

Einsteina) będziemy rozważać łącznie z m echaniką kw antow ą która posługuje się nie czasem rzeczywistym, lecz zespolonym, wtedy - czego matematycznie dowiódł Hawking - możliwy jest pewien „gładki” model kosmiczny, bez jakiegokolw iek początku, który po prostu istnieje w zgodzie z matematycznymi prawami zunifikowanej relatywistycznej fizyki kwantowej [2.49],

Rys. 2.29. Wyłanianie się strukturalnej różnorodności we wszechświecie od cząstek elementarnych po galaktyki [2.48]

Twierdzenia o osobliwościach Penrose’a i Hawkinga oparte są na hipotezie małych obszarów przestrzeni, w których czasoprzestrzeń jest tak dalece zakrzywiona, że grawitacja staje się nieskończenie duża. Istnienie takich osobliwości, w postaci na przykład czarnych dziur, jest metodologicznie wątpliwe. Ponieważ prawa klasycznej i relatywistycznej fizyki nie stosują się do obszarów o nieskończonej krzywiźnie, przewidywanie zdarzeń w czasie nie jest w nich możliwe. Oczywiście konsekwencje takiego stanu rzeczy są o wiele bardziej dramatyczne niż wykładniczo rosnące


trudności przewidzenia odległej przyszłości w chaotycznie zachowujących się systemach. Dlatego James B. Hartle i Stephen Hawking wysunęli m odel wszechświata bez osobliwości, w którym obowiązują zarówno prawa mechaniki kwantowej, jak i ogólnej teorii względności, a rzeczywistą oś czasu zastępuje oś urojona (w sensie liczb rzeczywistych i urojonych) [2.50]. W przeciwieństwie to teorii względności Einsteina w modelu Haw- kinga trzy osie przestrzeni, wraz z zespoloną osią czasu, są podstawą zamkniętego, wczesnego wszechświata kwantowego bez granic i brzegów. Taka czasoprzestrzeń nie tylko mogłaby istnieć zawsze, ale i każde zdarzenie fizyczne mogłoby być wyjaśnione zgodnie z jej prawami. W m odelu tym tradycyjne wyobrażenie wszystkiego, co jakoś się „zaczyna” lub jest „wytwarzane”, metodologicznie nie daje się uzasadnić i traktowane jest jako produkt ludzkiej wyobraźni dostosowanej do ograniczonych aspektów czasoprzestrzeni codziennego doświadczenia.

Rys. 2.30. Ewolucja materii z rosnącą i malejącą złożonością [2.51]

Teoria Hawkinga nie tylko jest matem atycznie spójna, ale i zasadniczo poddaje się eksperym entalnem u testowaniu. Dlatego m a ona status teorii naukowej - nie jest zw ykłą spekulacją. Jedną z przetestowanych konsekwencji modelu bez osobliwości są czarne dziury, w których wszystkie linie fotonów („wiązki św iatła”) nie zanikają całkowicie, lecz pow racają jako możliwe do zarejestrowania promieniowanie. W yjaśnienie początkowej osobliwości wszechświata tkwi w m ożliwości kwanto

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a MATERII 9 3

wych fluktuacji, które są skutkiem relacji nieoznaczoności. Ale czarne dziury, wytwarzając promieniowanie, pochłaniają energię i masę. Z czasem rozpadną się całkowicie, a wraz z nimi zginie również historia życia związanych z nimi gwiazd. W ich m iejsce pojawi się we wszechświecie przerw a w pamięci. W ynikałoby stąd, iż wraz z załam aniem się struktur galaktycznych przechodzący do stanu próżni wszechświat bez własności w ejdzie w stadium „kosmicznej choroby Alzheim era” .

W czesny i niezm ienny wszechświat kwantowy H awkinga przypom ina niezmienny byt Parmenidesa. Jednakże zasada nieoznaczoności utrzymuje, że wczesny wszechświat nie m ógł być całkowicie jednorodny: położenia i prędkości cząstek musiały podlegać fluktuacjom i cechowały się pew ną nieokreślonością. W szechświat musiał więc przebyć okres gwałtownej ekspansji opisywanej przez model rozszerzającego się wszechświata. Ekspansja ta, na przestrzeni odpowiednio długiego czasu, doprowadziła do powstania naszego złożonego świata. Równowaga świata parm enidejskiego załamała się i pod wpływem działania podstawowego prawa fizyki kwantowej przekształciła w ewoluujący i złożony świat Heraklita - przy założeniu, że czas jest „gładki”, pozbawiony ja kichkolwiek osobliwości.

Kosmologiczny model wszechświata „wiecznego” , bez początkui końca, już w 1948 roku opracowali Hermann Bondi, Thomas Goldi Fred Hoyle. Autorzy ci nie tylko zakładali jednorodność i izotropię przestrzeni w każdym momencie czasu („zasada kosm ologiczna” standardowych modeli W ielkiego Wybuchu), ale także jednorodność i izotropię czasu. Ich „doskonała Zasada Kosm ologiczna” , która stwierdza, że wszechświat w całości wygląda tak samo nie tylko w każdym punkciei w każdym kierunku, ale i w każdym czasie - prowadzi do modelu stanu stacjonarnego. Według H ubble’a zachodzi pewien związek między przesunięciem prążków widm ku czerwieni a w zrastającą odległością oddalających się galaktyk. Jeśli zatem liczba galaktyk przypadająca na jed nostkow ą objętość jest niezmienna, m uszą pojawiać się nowe galaktyki, by wypełnić luki w rozszerzających się oczkach skoordynowanej siatki powiązanych ruchów. W ytłumaczenie ciągłej kreacji materii z konieczności wymagało więc przyjęcia pewnej hipotezy ad hoc wysuwanej przez kosmologię stanu stacjonarnego.

We w spółczesnych kosm ologiach stanu ąuasi-stacjonam ego tę osobliw ą hipotezę o przypadkowej i nielokalnej kreacji materii wyjaśnia się lokalnym powstawaniem nowych galaktyk we wszechświecie, które ma m iejsce wszędzie i w każdym czasie. Przyjmuje się, że warunki lokalnych wielkich wybuchów spełnione są w centrach starych galaktyko ogromnej masie. O wieku galaktyki zdają się także świadczyć przesunięcia prążków widm ku czerwieni. Jednorodna ewolucja, prowadząca


do w yłaniania się, po globalnym Wielkim W ybuchu, kolejno cząstek elementarnych, atomów, molekuł, galaktyk, gwiazd (rys. 2.29), jest zastąpiona autokatalityczną sam oreprodukcją wszechświata, który nie ma początku ani końca, ale w którym m ają miejsce lokalne narodziny, rozwój i śmierć galaktyk. Stare, umierające galaktyki tw orzą w tym przypadku materię dla nowych galaktyk - tak jak rośliny i zwierzęta noszą w sobie zarodek nowego życia. Uniwersalna dynamika jaw i się jako gigantyczny, nigdy niekończący się, nieliniowy i cykliczny proces materii [2.51].

Być może jednak prawa mechaniki kwantowej otw ierają luki (czy „kanały”), które um ożliw iają uniknięcie fatum, jakie rządzi naszym wszechświatem. Wedle ogólnej teorii względności prędkość podróży kosmicznej nie może być w iększa od prędkości światła. Ponieważ tory promieni świetlnych są zaginane przez pola grawitacyjne, podróżnicy w czasie m uszą przebywać zakrzywione szlaki w czasoprzestrzeni z ogrom ną prędkością, ograniczoną prędkością światła. Dlatego żeby uniknąć rozerwania czasoprzestrzeni przez pole grawitacyjne, dla eksploracji obszarów czasoprzestrzeni należałoby używać ogromnych dróg objazdowych. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga kwantowe fluktuacje mogłyby otwierać istniejące przez krótką chwilę kanały w czasoprzestrzeni. Prawa mechaniki kwantowej pozw alają przypuszczać, że kanały takie m ożna by wykorzystać jako momentalne drogi szybkiego dostępu, położone między zakrzywionymi strefami czasoprzestrzeni. Jeżeli jednak nasz wszechświat nie jest światem jedynym , lecz splata się jakąś fraktalną rozm aitością z wielom a innymi rozwidlonymi wszechświatami (hipotezę taką stawia Andrei Linde w swej teorii inflacyjnej), wówczas kanały mogłyby być również używane jako drogi ucieczki ze wszechświata, który, starzejąc się, wchodzi w kosmiczny okres choroby Alzheimera i w miarę, jak traci sw ą energię, staje się coraz bardziej wrogi życiu.

Z teologicznego punktu widzenia modele te nie potrzebują jakiegokolwiek stwórcy, ponieważ zakłada się, że świat był i zawsze będzie czymś samowystarczalnym oraz zdolnym do samoorganizacji. Pod względem matematycznym modele te m ogą być bardzo eleganckie. Ale oceniając rzecz z punktu widzenia metodologii, m usimy przyznać, że nie stworzyliśmy dotąd kompletnej i spójnej teorii łączącej mechanikę kw antow ą z relatyw istyczną teorią grawitacji, która mogłaby wyjaśnić ewolucję materii oraz jej rosnącą złożoność. Zdobyliśmy jedynie pew ność co do tego, jakie pewne własności winna posiadać taka zunifikowana teoria. W chwili obecnej proponuje się różne ujęcia teorii strun w celu uzyskania unifikacji na podstawowym poziom ie cząstek elementarnych. Jeśli wszystkie rodzaje oddziaływań m iędzy cząsteczkami elementamy-


mi - grawitacyjne, silne, słabe i elektromagnetyczne - są generowane przez drgające struny, jest szansa uniknięcia ostatecznej utraty informacji w czarnych dziurach starzejącego się wszechświata: dzięki drgającym membranom strun o jeszcze większej liczbie wymiarów informacja m ogłaby się gromadzić w substrukturze materii [2.52].

2.5. Złożone systemy nanoświata i samotworzące się materiały

Procesy samoorganizacji związane z ew olucją materii można obserwować od poziom u cząstek elementarnych poczynając, a na kosmicznej strukturze galaktyk kończąc. Są one interesujące nie tylko z epistemicz- nego punktu widzenia, ale i z racji swych zastosowań w naukach o m ateriałach oraz w biologii. Dla oddzielenia nauki o materiałach od naukio życiu ogromne znaczenie m ają systemy supram olekulam e. M olekularna samoorganizacja polega na spontanicznym wiązaniu się cząstek w warunkach równowagi w stabilne i strukturalnie dobrze określone agregaty o wymiarach 1—102 nanometrów (1 nm = 10 9 m = 10 A).

Zależnie od punktu widzenia danej dyscypliny za nanostruktury uważa się agregaty małe, znane z codziennego doświadczenia, lub bardzo duże. Dla chemików nanostrukturami są molekularne nagromadzenia atomów o liczbie od 103 do 109 i o masie cząsteczkowej od 104 do 10l() daltonów. Z punktu widzenia chemii są one zatem ogromnymi supramo- lekułami. Dla m olekularnych biologów nanostruktury m ają rozmiary dobrze znanych przedmiotów, od prostych substancji białkowych aż do wirusów i organizmów komórkowych. Ale dla inżynierów m ateriałowych i elektroników nanostruktury sytuują się w obszarze granicznym dzisiejszej m ikroelektroniki i są dosyć małe [2.53],

Naukę o nanoświecie zapoczątkowało bystre spojrzenie pewnego wybitnego fizyka. W artykule zatytułowanym Na dnie je s t sporo miejsca Richard Feynman oświadczył:

Prawa fizyki, tak jak je pojmuję, nie wykluczają możliwości manipulowania rzeczami w skali atomowej. Zasadniczo byłoby możliwe [...], aby fizyk dokonał syntezy każdej substancji chemicznej, jaką zna chemik [...]. Jak? Umieść atomy tam, gdzie mówi chemik, a otrzymasz substancję. Zagadnieniom chemii i biologii udzieli się ogromnego wsparcia, jeśli nasza zdolność pojmowania tego, co robimy, i co robią rzeczy na poziomie atomowym, zostanie w końcu rozwinięta - jest to rozwój, którego, jak sądzę, nie da się uniknąć [2.54],


Sw ą fizyczną ideę nanoświata Feynm an wysunął w późnych latach pięćdziesiątych. Wiara w nowy świat wym aga dla swego utrzymania nowych narzędzi obserwacji i pomiaru. Od początku lat osiem dziesiątych nanoświat m ożna badać za pom ocą m ikroskopu tunelowego. U schyłku lat osiemdziesiątych Erie Drexler nakreślił rew olucyjną wizję technicznych możliwości:

Przyroda pokazuje, że molekuły mogą być traktowane jak maszyny, ponieważ w oparciu o taki mechanizm działają rzeczy ożywione. Enzymy są molekularnymi maszynami, które tworzą, rozbijają i ponownie porządkują wiązania utrzymujące razem inne molekuły. Mięśniami poruszają molekularne maszyny, które ciągną za sobą poszczególne włókna. DNA pełni rolę systemu zmagazynowanych danych przenoszącego cyfrowe dyrektywy do molekularnych maszyn, rybosomów, wytwarzających cząsteczki białka. Z kolei cząsteczki białka stanowią zasadniczą część opisywanego tu mechanizmu molekularnego [2.55].

N anotechnologia pozwoli umiejscowić i połączyć atomy w sposób podobny do procesów zachodzących w organizmach żywych. Złożone organizmy, jak rośliny i zwierzęta, w ykorzystują mechanizm m olekularny w procesie wytwarzania i usuwania defektów na poziom ach kom órkowym i subkomórkowym. Komórkę m ożna traktować jako wytwórnię nanomaszyn produkującą molekularne prototypy - białko, kwas nukleinowy, lipidy i wielocukry. Są one wykorzystywane do wytwarzania energii, przekazywania informacji, samoreplikacji, samonaprawiania sięi poruszania. N a przykład rybosomy są komórkowymi nanomaszynami, odczytującymi informację z łańcuchów RNA potrzebną do wytworzenia aminokwasów białek. Przypom ina to montaż aut przez roboty w przem yśle samochodowym. M ikroorganizmy biologiczne zostały zinterpretowane jako systemy komórkowe poruszane i kontrolowane przez nanomaszyny. N a przykład bakteria escherichia coli, aby obracać się w płynach, wykorzystuje ogonki przypom inające pejcz. Ogonki te, tak jak śmigło, są napędzane przez biochemiczne nanomaszyny. Nanom aszyny składają się z białek znajdujących się w błonach powodujących obrót ogon- ków-pejczy. Podobnie jak silniki elektryczne używ ają one wałów i w irników. Ale podobieństwo nanom aszyn do silników elektrycznych ma jedynie wartość poglądową. Do wytworzenia pola m agnetycznego biochemiczna nanom aszyna nie zużywa energii elektrycznej; ażeby wprawić w obrót wał, zm ienia ukształtowanie molekuł w biochemicznym procesie rozkładu ATP [2.56],

Inżynieria genetyczna i programowanie komputerowe zapoczątkowały rozwój nowych materiałów. Wykorzystując specjalne asemblery o wielkościach rzędu rozmiarów bakterii, nanotechnologia umożliwi dokładną

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c ja m a t e r ii 9 7

kontrolę i stałe manewrowanie molekularnymi strukturami. Szybko działający enzym jest w stanie przetworzyć w ciągu sekundy prawie milion molekuł i nawet bez urządzeń transmisyjnych oraz mechanizmu napędowego może umieścić now ą cząsteczkę w odpowiednim miejscu, gdy tylko stara zostanie z niego usunięta. Drexler zakładał, że ramię asemblera byłoby około pięćdziesiąt milionów razy krótsze niż ramię człowieka i dlatego mogłoby się poruszać w przód i w tył około pięćdziesiąt milionów razy szybciej. Wedle poglądu Feynmana takie maszyny mogłyby przechwytywać pojedyncze atomy, wybiórczo wykorzystując kleiste ramiona, by następnie łączyć je razem, tak jak klocki Lego, aż do wystąpienia wiązań chemicznych. Kierując się analogią do programowania komputerowego, m ożna przypuszczać, że uniwersalne syntezatory chemiczne działają podobnie jak uniwersalny komputer wykorzystujący nanotechnologię. Modele pożądanych molekuł można byłoby przedstawiać na ekranie komputera, a odpowiedni asembler umożliwiłby m asową produkcję potrzebnych substancji. Być może pewnego dnia specjalnie zaprojektowane nanourzą- dzenia o wielkości bakterii zostaną zaprogramowane tak, iż będą hamować choroby niszczące tętnice czy rozwój raka komórek albo naprawiać uszkodzenia starzejących się komórek. M ożna by je było wprowadzać do organizmu jako zaprogramowane na samozniszczenie lub na zintegrowanie się z komórkami ciała. W ciąż jeszcze naukow ą fikcją wydaje się twierdzenie, że rozmieszczone w mózgu inteligentne nanourządzenia pozwalałyby kopiować struktury myślowe oraz przesyłać treści zawarte w umyśle. Kopię czyjejś osobowości i pamięci można byłoby wtedy przechowywać, a nawet aktualizować jako pew ną formę naturalnie wytworzonej sztucznej inteligencji.

Nanostruktury są złożonymi systemami, które najwyraźniej leżą pośrodku między fizyką ciała stałego, supram olekulam ą chem ią i m olekularną biologią. Wynika stąd, iż badania nanostruktur m ogą dostarczać wskazówek dotyczących zarówno pojawienia się życia, jak i wytwarzania nowych materiałów. Ale umiejętności zapanowania nad nanostruktu- ram i nie m ożna posiąść tradycyjnym sposobem konstrukcji m echanicznej. Nanostruktury nie są wytworzonymi przez człowieka narzędziami czy maszynami składającymi się z poszczególnych części, tak jak zegar, silnik czy komputer. Dlatego m usimy zrozumieć zasady samoorganizacji, którymi nanostruktury rządzą się w przyrodzie. Następnie powinniśmy jedynie ustalić odpowiednie warunki, w jakich jednostkow e składniki nanostruktur łączą się ze sobą w spontaniczny układ. Aby osiągnąć termodynamiczne minimum, składniki te dostosow ują swe wzajemne położenia bez jakiejkolw iek pomocy ze strony człowieka.

Idea supram olekulam ych oddziaływań swój historyczny początek ma w znanej metaforze Emila Fischera (1894), który selektywne oddziały


wanie molekuł opisał za pom ocą zasady zamka i klucza. Dzisiejsza chemia organiczna dalece wykroczyła poza punkt, od którego rozpoczął się jej rozwój. Żeby utworzyć duże, strukturalnie dobrze określone agregaty atomów, molekularne samoagregaty łączą w sobie wiele cech syntezy kowalencyjnej i niekowalencyjnej. Siły poszczególnych oddziaływań van der Wasala oraz wiązania wodorowe w porównaniu z typowymi wiązaniami kowalencyjnymi są słabe, rzędu wielkości energii cieplnej. Dlatego dla osiągnięcia molekularnej stabilności samoagregatów potrzeba w ielu słabych, niekowalencyjnych oddziaływań. Biologia zna dużą liczbę systemów złożonych, które istnieją w nanoskali (np. proteinyi wirusy) i tw orzą się w skutek samonagromadzeń. Aby utworzyć odpowiednio dużą całość, systemy żywe łączą w sobie wiele słabych oddziaływań m iędzy związkami chemicznymi. Jak jednak wytworzyć strukturyo wym iarach i złożoności cechującej struktury biologiczne bez posługiwania się biologicznymi katalizatoram i lub m ateriałem informacyjnym, który zakodowany jest w genach?

Otóż zachowanie polegające na zdolności do samoorganizacji wykazuje także wiele systemów niebiologicznych. Co więcej, systemy te dostarczają przykładów korzystnej interakcji. M olekularne kryształy są samozorganizowanymi strukturami. Ciekłe kryształy to samodzielnie organizujące się fazy, które cechuje uporządkowanie pośrednie między uporządkowaniem kryształów i lipidów. Micele, zawiesiny i lipidy w ykazują ogrom ną rozm aitość zachowań polegających na samoorganizacji. Przykładem takiego procesu jest tworzenie się kaskady polimerów, dające molekularne bifurkacje superstruktur o fraktalnym uporządkowaniu [2.57], Ich synteza opiera się na architektonicznym wzorze drzew. D latego ten rodzaj supramolekuł nazywa się dendrytami (od gr. słowa dendron - drzewo, polimer). W ytwarzanie dendrytów legło u podstaw dwu zasadniczych typów monom erycznego wzrostu. Struktura dywergentna ma swój początek w centrum i rozrasta się w kierunku zewnętrznym poprzez powtarzające się kolejno rozwidlenia. Struktura konwergentna powstaje na peryferium i tworzy się w kierunku wewnętrznym w ustalonej liczbie transformacji. Struktura dywergentna przenosi centra reakcji chem icznych od środka na peryferium, generując wokół środka sieć rozwidlonych odgałęzień. Rozwidlenia te rosną wykładniczo aż do osiągnięcia pewnego krytycznego stanu o maksymalnej wielkości. Tak jak m olekularne gąbki, tw orzą one struktury fraktalne, zawierające mniejsze cząsteczki, które - kontrolując cały proces - m ożna oddzielić od siebie w celu ich wykorzystania w medycynie.

Przykładami m olekuł z wewnętrznym wydrążeniem są cząsteczki Buckm instera Fullera, które tw orzą duże kulki węgla [2.58], Stabilność takich złożonych skupisk jest utrzymywana dzięki ich wysoce geome

trycznej symetrii. Cząsteczki Buckm instera Fullera sw ą nazwę wzięły od układu kopuł geodezyjnych skonstruowanych przez amerykańskiego architekta Richarda Buckm instera Fullera (1895-1983). Skupisko atom ów węgla C60 ma w dużym stopniu Platońską symetrię atomowych pięciokątów, składających się na kom pletnie zam kniętą sferoidę.

UKŁADY ZŁOŻONE I EWOLUCJA MATERII 9 9

Rys. 2.31. Duże supramolekulame skupisko („wielkie koło”) przedstawione za pomocą układu kulek i prętów - przykład systemu złożonego bliskiego stanu równowagi [2.59]

Cząsteczki z wewnętrznym wydrążeniem m ożna otrzymać za pom ocą chem icznych szablonów i matryc służących do w ytwarzania złożonych struktur molekularnych. D rogą samodzielnego grom adzenia uzyskano pojedyncze skupiska atomów cechujące się dużymi rozmiarami, porównywalnymi do m ałych substancji białkowych. Rysunek 2.31 przedstawia kulkowo-prętowy model największego pojedynczego skupiska (700 ciężkich atomów), opracowany na podstawie analizy rentgenowskiej. Skupisko to, składające się ze 154 atomów molibdenu, 532 atomów tlenu

1 0 0 P o z n a w a n ie z ł o ż o n o ś c i

i 14 atomów azotu, posiada masę cząsteczkow ą około 24 000. To wysoce symetryczne „wielkie koło” otrzymał drogą syntezy Achim M uller oraz jego współpracownicy [2.59]. Duże skupiska m ogą się cechować wyjątkowym i własnościami strukturalnymi i elektrycznymi - są tu poziomyo różnym stopniu nam agnesowania charakterystyczne dla poszczególnych struktur ciała stałego. Poziomy te m ają pierwszorzędne znaczenie w nauce o materiałach. G odną uwagi w łasnością strukturalną jest obecność wewnątrz dużego skupiska wydrążenia o wielkości rzędu nanom etrów. W ykorzystanie szablonów oraz dobór odpowiednich układów m olekularnych przypomina zasadę zam ka i klucza Fischera.

« o

Rys. 2.32. Samoistna organizacja nanokryształów („kropli kwantowych”)[2.60]

M olekularne wydrążenia m ożna wykorzystać jako pojem niki na inne substancje chemiczne, a nawet na leki, które trzeba wprowadzić do ludzkiego organizmu. Substancją białkow ą zawierająca zmagazynowane żelazo i w ystępującą w wielu wyższych organizmach jest ferrytyna. Jest ona niezwykłym systemem typu gospodarz—gość, składającym się z organicznego gospodarza (aproteiny) i zm iennego nieorganicznego gościa (magazynowanego żelaza). Stosownie do zewnętrznej potrzeby żelazo może być albo z systemu-usuwane, albo z powrotem wchłaniane. Częstokroć stwierdzano, że budowa złożonych agregatów chemicznych, takich jak polioksometalaty, opiera się na regularnych i w ypukłych wie- lościanach, podobnych do brył Platona. Ale ich wspólnych właściwości elektrycznych i/lub m agnetycznych nie można wyprowadzić ze znanych w łasności składowych elementów. Zgodnie z chwytliwym zwrotem „od cząsteczek do tworzywa” chemia supram olekulam a wykorzystuje „plany” samoorganizacji zachowawczej, by wytwarzać złożone materiałyo rozm iarach rzędu nanom etrów i nowych właściwościach katalitycznych, elektrycznych, elektrochemicznych, optycznych, magnetycznych

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a m a t e r ii 1 0 1

i fotochemicznych. M ateriały posiadające te wielorakie cechy są nadzwyczaj interesujące.

Badanie nanoświata i zastosowania nanotechnologii są uw arunkowane m ożliwościam i wykorzystania precyzyjnych narzędzi obserwacjii pomiarów. Rozdzielczość skaningowa m ikroskopu została zwiększona dzięki zbudowaniu skaningowego m ikroskopu tunelowego, za pom ocą którego można, podobnie jak za pom ocą wiecznego pióra, obrazować molekularne struktury o wielkości rzędu nanometra. C ienką emulsję molekuł tiolowych nazywa się „nanoatram entem ”. W niewielkiej kropli wody molekuły tiolowe samoistnie łączą się ze sobą, tworząc monowar- stwę. Nanokryształy składające się z kilkuset atomów m ogą samoistnie utworzyć jony kadmu, selenu oraz organiczne cząsteczki o strukturze podobnej do piłki (rys. 2.32). Poddane działaniu promieni ultrafioletowych fluoryzują, przybierając pew ną barwę. Można je zatem wykorzystać, na przykład w medycynie, jako znaczniki („krople kwantowe”) molekuł, kom órek i substancji. Złożone układy cząsteczek węgla, przybierając postać cienkich rurek o średnicy 1 nanometra, m ogą się samoistnie organizować w pewne katalizatory i wzorniki. Symetryczne uporządkowanie w iązań daje w efekcie ich ogrom ną twardość oraz w ytrzymałość. Nanorurki węglowe mogłyby znaleźć zastosowanie jako przewodniki w zm iniaturyzowanych chipach, niepodlegające ograniczeniom technologii krzemowej.

Faktem bez precedensu, mogącym wywołać rewolucyjne zmiany w rozwoju komputerów chemicznych, są supram olekulam e tranzystory. We współczesnej elektronice zaobserwować można silny zwrot ku badaniom nanostruktur, które przyczynić się m ogą do skonstruowania małychi szybkich urządzeń oraz przechowywania ogromnych zasobów inform acji. M ożna sobie również wyobrazić wykorzystanie nanostruktur poza obrębem elektroniki. M ogą być one stosowane jako komponenty mikro- sensorów lub jako katalizatory i elementy rozpoznawania, działające analogicznie jak enzymy i receptory w systemach żywych. W naturalnej ewolucji bardzo duże i złożone systemy molekularne są stopniowo w ytwarzane także w procesach sterowanych przez geny. Procesy samoorganizacji zachowawczej nanom olekulam ej chemii są reakcjami niemają- cymi żadnego wpływu na geny. Jedynie zręczne połączenie samoorganizacji zachowawczej i niezachowawczej mogłoby zapoczątkować ewolucję prebiotyczną przed pojawieniem się genów. Lecz nawet w trakcie ewolucji złożonych organizmów m usiała się pojawić samoorganizacja zachowawcza. Otwarte („dyssypatywne”) układy fizyczne i chemiczne tracą sw ą strukturę, gdy energia i m ateria na ich wejściu ulega zatrzym ywaniu lub jest zm ieniana (np. laser, reakcja BŻ). Systemy organiczne (jak komórki) potrafią zachować większość swych struktur przez stosun


kowo długi czas. Aby utrzymać jednak swe struktury z dala od rów nowagi cieplnej, potrzebują one energii i materii w pewnym przedziale czasu. Zasady rządzące sam oorganizacją zachow aw czą i dyssypatywną zostały niegdyś odkryte w toku technicznej ewolucji człowieka i otworzyły nowe drogi technologicznem u ich wykorzystaniu.

Kompleksowe podejście systemowe otwiera przed techniką m ożliwość wyposażania materiałów w rosnącą liczbę atrybutów, jakie przysługują organizmom żywym. Samoregulacja i samoadaptacja do zm iennego otoczenia to dobrze znane zdolności systemów żywych. M ożna je potraktować jako specyficzne formy samoorganizacji, otwierające system y na zmienne otoczenie. Analogicznie, technicy dążą do stworzenia złożonych układów materialnych, m ogących odczuwać swój własny stan oraz stan swego otoczenia, na które mogłyby reagować. Spektakularnymi przykładami są materiały stosowane w budowie mostów, które m ogą wykrywać korozję i przeciwdziałać niszczeniu wsporników, budowle, których usztywnienie przeciwdziała wstrząsom sejsmicznym, a także powłoki samolotów samorzutnie wykrywające niebezpieczeństwo zm ęczenia materiału.

Serwomotory są materiałami, które zdolne są zmieniać swe własności stosownie do zmian stanów układu [2.61], N a przykład piezoelektryk ceramiczny oraz polim ery działają albo tak jak sensory ciśnienia, albo jak serwomotory mechaniczne. Polaryzacja elektryczna kryształu lub struktur m olekularnych umożliwia przetwarzanie działających na nie sił m echanicznych na prąd elektryczny albo przeciwnie - pozwala przekształcać impulsy elektryczne na drgania mechaniczne. Piezoelektryczne polimery m ożna umieścić na powłoce okrywającej ramię robota, ażeby zwiększyć stopień jego czułości (i umożliwić na przykład czytanie tekstu napisanego brajlem).

Innym przykładem podobnie działających materiałów są stopy z tzw. pam ięcią kształtu, które można wykorzystać jako serwomotory. Poniżej pewnej kontrolnej wartości zmiany temperatury pamięć kształtu przewodu elektrycznego przybierać może dowolnie nadaną jej postać. Kiedy przewód jest podgrzany powyżej tej zmiany, wraca ona do swojej pierwotnej postaci. Inżynierowie chcą włączyć pamięć kształtu metalu do układu materialnego znajdującego się w stanie o niskiej temperaturze. Ilekroć jest on ogrzewany, wywiera pew ną siłę. Zmiana generowanej siły ma miejsce wtedy, gdy w krystalicznych ziarnach stopu atomy dokonują przełączeń między różnymi geometrycznymi ustawieniami. Przypuszczalnym wykorzystaniem takich sterowniczych struktur mogłoby być na przykład ich użycie w celu powstrzymania korozji mostów czy skrzydeł w samolotach.

Są nawet takie serwomotory, które przy przechodzeniu ze stanu ciekłego w stały w sposób odwracalny zm ieniają swe m echaniczne właści

U k ł a d y z ł o ż o n e i e w o l u c j a MATERII 1 0 3

wości. Składają się one z drobnych, spolaryzowanych cząsteczek ceram iki lub polim eru zawieszonych w cieczy, podobnie jak olej silikonowy. Poddane działaniu silnych pół elektrycznych ciecze takie przekształcają się w substancję o strukturze w łókien i sieci, która zagęszcza m ateriał w ciało stałe przypom inające żel. Gdy pole elektryczne zostanie wyłączone, struktura ta znika i materiał znów staje się cieczą. Inne zastosowania to światłowody działające podobnie jak materialne sensory. W łasności takich, cienkich jak włos, włókien zależą od zmian temperatury, ciśnienia oraz od innych fizycznych czy chemicznych warunków panujących w materiałach. M ożna je traktować jako „szklane nerw y” dostarczające optycznych sygnałów świadczących o wewnętrznym „zdrowiu” materiałów.

W spółcześni naukowcy niekiedy nazyw ają te systemy materiałami żywymi czy wręcz „inteligentnymi” . O celu tych badań mówi się czasem, iż zm ierzają one do „ożywienia świata nieożywionego” [2.62], Z filozoficznego punktu widzenia slogan ten wydaje się powrotem do wyjściowego punktu tradycji alchemicznej. N iektórzy filozofowie nauki być może m ają prawo, by krytykować to słownictwo jako nienaukowy animizm. Jednakże z punktu widzenia systemów złożonych jest w tym wszystkim pewne racjonalne jądro. Szczególne cechy samoorganizacji niekoniecznie są powiązane ze świadomym zachowaniem opartym na działaniu systemów nerwowych. N ie są one nawet uzależnione od biologicznych katalizatorów czy inform acyjnych struktur zakodowanych w genach. M iędzy tzw. światem nieożywionym a ożywionym nie ma zatem żadnej luki. W ewolucyjnym rozwoju materii dostrzegalne są systemy o większym lub mniejszym stopniu organizacji. Nie ulega w ątpliwości, że zrobiliśmy właśnie pierwszy krok prowadzący do zrozum ienia pełni ich możliwości.

Nasuwa się pytanie, czy w świetle przyszłej techniki realna jest wizja robotów zdolnych do samoreprodukcji. Byłyby one odpowiednikiem jakiejś nowej formy pasożytniczego życia. Chorobotwórcze bakterie czy komórki rakotwórcze są przykładami niebezpiecznych, samoreplikują- cych się systemów biologicznych. Wirusy komputerowe, zdolne replikować łańcuchy bitów, to, jak dotychczas, pierwsze wirtualne przykłady sztucznych, samoistnie organizujących się systemów. Znaczenie społecznych następstw rozm nażania się nanorobotów podkreślał Bill Joy, czołowy naukowiec Sun M icrosystems [2.63]. Joy twierdzi, iż nieprzyjazne dla życia czynniki sprawcze mogłyby przekształcić się w populacje urzeczywistnionych czynników biochem icznych o rozm iarach rzędu nanometrów. Jako autonomiczne, dążące do realizacji własnych celów byty mogłyby one zagrozić fundamentom ludzkiego życia. Richard E. Smalley, laureat Nagrody Nobla z chemii za odkrycie fullerenów,


odrzuca koncepcję nanorobotów niepodatnych na zewnętrzne sterowanie [2.64]. Nawiązując do hasła Feynmana, iż „na dnie jest sporo m iejsca”, Smalley twierdzi, że nie potrzeba zbyt wiele miejsca, ażeby m ożna było kierować pojedynczymi atomami przy pomocy atomowych narzędzio wielkości rzędu nanometrów. Ograniczenie to nazywa problemem grubych i lepkich palców: „palce” nanorobota są nie tylko za duże („grube”), ale i zbyt lepkie, ponieważ atomy, z jakich się sk ładają będą przylegać do atomu, który byłby poruszony. Obraz palców, jakim się posługuje Smalley, podkreśla fakt, że współczesna technologia nanom etryczna nie m a żadnych odpowiedników. Ewolucja systemów żywych wytw orzyła wzory biochem icznych nanom aszyn i nie ma powodu, by nie w ierzyć, że podobne maszyny nie mogłyby działać w oparciu o inne m ateriały. Jednakże strategia technologiczna powinna, w odpowiednich granicach, nawiązywać do idei samoistnej organizacji naturalnej, a nie do przestarzałej idei m echanicystycznego wybierania i um ieszczania atomów w nanoskali za pom ocą szczypców. Powinniśmy poszukiwać nie asemblerów, lecz samoasemblerów. Z punktu widzenia nauk kom puterowych idea uniwersalnego wytwórcy każdego typu struktury - nie w ykluczając swojej własnej - bynajmniej nie jest dziwna. Uniwersalna m aszyna Turinga (por. rozdz. 5.2) została już urzeczywistniona przez kom putery ogólnego zastosowania, pracujące w oparciu o programy dowolnego typu. Dlaczego miałoby to być niemożliwe w nanoskali?

2.6. Wykrywanie złożonych danych i analiza szeregu czasowego

W ygląda na to, iż zrozumienie działania w przyrodzie złożonych systemów dynamiki nieliniowej dostarczyć może trafnych modeli ewolucji materii. Skąd jednak pewność, że nasze m odele są w łaściwe? M atem atyczna teoria nieliniowej dynamiki w yróżnia odmienne rodzaje zależnych od czasu równań, generujących różne typy zachowania - punkty stałe, graniczne cykle oraz chaos. W zastosowaniach odnosi się je do naturalnych układów mikro-, nano- i makroświata. Ażeby sformułować odpowiednie równanie dynamiczne, posłużyć się m usim y interpretacją jakiegoś szczegółowego zjawiska. N a przykład podana przez Lorenza interpretacja dynamiki pogody doprowadziła do sformułowania znanych równań nieliniowych, które specjaliści zastosowali również do opisu działania systemów biologicznych i ekonomicznych.

Z metodologicznego punktu widzenia jest to odgórny sposób tw orzenia modelu: zaczynamy od przyjęcia m atem atycznego m odelu systemu


przyrody i dedukujemy jego zachowanie, rozwiązując odpowiednie rów nania dynamiczne spełniające pewne początkowe i dodatkowo ustalone warunki. Rozwiązania te m ożna przedstawić w postaci geometrycznych trajektorii w przestrzeni fazowej układu dynamicznego oraz dokonać ich klasyfikacji za pom ocą różnych typów atraktorów. S ą one prognozami typów zachowań, jakie spodziewamy się zaobserwować w wyspecjalizowanych dziedzinach badania. Jeśli określone kryteria są spełnione, z zadanych równań m ożna wyprowadzić zwłaszcza dynamikę chaotyczną. W praktyce jednak m usimy często stosować podejście przeciwne, oddolne. Fizycy, chemicy, biolodzy czy lekarze zaczynają od wykrywania danych w nieznanej dziedzinie badań. M ają oni do czynienia jedynie ze skończonym szeregiem danych pomiarowych, odniesionym do czasowych zdarzeń zachodzących w jakim ś układzie dynamicznym. Na podstawie tych danych m uszą odtworzyć zachowanie układu, aby odgadnąć właściwy m u typ równania dynamicznego. Dlatego oddolne podejście jest nazywane analizą szeregów czasowych [2.65]. W wielu przypadkach znamy układ, z którego pochodzą dane. Celem analizy szeregów czasowych jest wówczas zbudowanie czarnej skrzynki, która gromadzi na swym wejściu dane pomiarowe, a na swym wyjściu dostarcza m atem atycznego m odelu ich opisu. W praktyce realna strategia badań jest połączeniem odgórnego podejścia do tworzenia modelu z oddolnym podejściem cechującym analizę szeregów czasowych.

Podejście oddolne wychodzi od wyników pomiarów jako danych, a nie od wyidealizowanych zmiennych modelu. Dane pomiarowe w przybliżeniu odpow iadają zmiennym dynamicznego modelu. Różnice nazywane są błędem pomiarowym, który może być spowodowany w ieloma różnymi czynnikami zakłócającymi. Zakłócenia pomiarów w iążą się z fluktuacją danych, które odbiegają od dobrze określonego zachowania i są przypadkowe. Podczas gdy szum pomiarowy jest wywołany wewnętrznym zachowaniem rzeczywistego układu, również oddziaływania zewnętrzne dają w efekcie pewien rodzaj zakłóceń. Ażeby zredukować złożoność tworzonego modelu, należy wykluczyć wiele czynników oddziaływania zewnętrznego. Zewnętrzny wpływ na faktyczne zachowanie układu jest traktowany jako przypadkowe zakłócenie oddziałujące na mierzone wartości zmienne modelu.

W klasycznej teorii pomiaru błąd pom iaru wyznacza się metodami statystyki, jak na przykład współczynnik korelacji czy funkcja autokorelacji. Lecz takie standardowe procedury nie pozw alają odróżnić danych pochodzących od modeli liniowych i nieliniowych. W nieliniowej analizie danych dane pom iarowe są już na wstępie wykorzystywane do odtworzenia dynamiki układu w pewnej zrekonstruowanej przestrzeni fazowej. Prostym przykładem może być, omówione w rozdz. 2.4, rów na


nie różnicowe odwzorowania logistycznego. N ieliniowe równanie x t + 1 =f(x t) wyraża związek między x,+ 1 a x,. W zajemna zależność x t+ \i x, została graficznie przedstawiona na rys. 2.24. Gdyby nie było żadnego szumu pomiarowego, m ożna byłoby pom iar danej D, w czasie t utożsamić ze zm ienną x,. N ic więc dziwnego, że rozrzut danych pom iarowych D , + 1 w stosunku do D, ukazuje ten sam związek, który ukazuje model.

Jeśli gromadzi się dane pochodzące od układu dynamicznego o ciągłym czasie, który opisują równania różniczkowe, a nie równania różnicowe, odpowiednia płaszczyzna czy przestrzeń fazowa musi być zrekonstruowana w oparciu o pom iar danych takiego ciągłego układu. H eurystyczną koncepcją jest w tym wypadku założenie, iż pom iar danych w rekonstruowanej przestrzeni fazowej ukazuje takie samo dynamiczne zachowanie, ja k trajektorie w przestrzeni fazowej dynamicznego modelu. Weźmy na przykład dane generowane przez oscylator harm oniczny opisywany równaniami różniczkowym i drugiego stopnia d 2x /d t2 = - bx. O dpowiednią płaszczyznę fazow ą w yznaczają zmienne x i y , które są określone przez dwa równania różniczkowe pierwszego stopnia dx/dt = v oraz dy/dt = - bx. Załóżmy, że pom iar szeregu czasowego D{t) = x(t) przebiega bez zakłóceń. Ażeby odtworzyć płaszczyznę fazow ą na podstawie pom iaru danych, pamiętać trzeba, że stan układu w danej chwili t jest na płaszczyźnie fazowej przedstawiony przez punkt (x, y). Czasowy szereg pom iarów daje nam w każdej chwili jedynie jed n ą współrzędną D = x. Ale inną w spółrzędną v = dD/dt można obliczyć z równania różniczkowego pierwszego stopnia w przestrzeni fazowej. Zależność dD/dt od D daje ciągłą płaszczyznę fazową. N a nieciągłej płaszczyźnie fazowej, przedstawiającej zależność pomiarów danych D ,+ , od D t, trajektoria ukazuje takie samo cykliczne zachowanie, jak na ciągłej płaszczyźnie fazowej modelu.

W ogólnym przypadku dynamikę płaszczyzny fazowej opisuje układ równań różniczkowych dx/dt f(x , v) i dy/dt - g (x, y). W niektórych przypadkach można zmierzyć jedynie wielkość x. Możliwe jest jednak obliczenie dx/dt i otrzymanie w ten sposób wartości/ (x, y), która także zawiera pewną informację o y. Informacja ta często wystarcza, by zrekonstruować dynamikę trajektorii z płaszczyzny fazowej (x, y). Pierwszą pochodnąx po czasie t obliczamy z dobrze znanego wzoru:

dx(t)ldt= lim[x(t + h) - x(t)\lh. h—>0

Szereg czasowy pomiarów D(t) = x(t) bez zakłóceń składa się z pomiarów danych D0, D u D2,... dokonywanych w nieciągłym czasie t = 0, 1, 2, ... . P o chodną x po czasie t można w przybliżeniu wyrazić przez różnicę pomiarów odpowiednich danych


dDJdt = [Dl+h-D , ]lh, gdzie h= 1,2, . . . .

Najmniejsza użyteczna wartość h wynosi 1. Niekiedy jednak lepiej wybrać większe opóźnienie czasowe h. Kreśląc zależność D , , h od D„ płaszczyznę fazową układu dynamicznego można często zrekonstruować bez bezpośredniego mierzenia zmiennej y modelu. W przypadku tym dynamika w zrekonstruowanej płaszczyźnie fazowej (D„ D, + /,) jest podobna do dynamiki w pierwotnej płaszczyźnie fazowej (x, y) układu dynamicznego.

Nieliniowe układy dynamiczne, generujące chaos, m uszą być opisywane przez co najmniej trzy równania. Na przykład atraktor Lorenza (rys. 2.21) powstaje w przestrzeni fazowej o trzech współrzędnych x(t), y(t) i z(t), którą opisują trzy nieliniowe równania różniczkowe. N a rysunku 2.33a przedstawiony jest szereg czasowy pomiarów danych D, pochodzących z układu Lorenza. Jeśli możliwy jest pomiar tylko jednej zmiennej D(t) = x(t), atraktor Lorenza w przestrzeni fazowej (D„ D, h, D, _ 2h) (rys. 2.33c) można z dużym przybliżeniem do pierwotnego atraktora Lorenza odtworzyć w przestrzeni fazowej (x, y, z) (rys. 2.33b). Mówiąc ogólnie, szereg czasowy można zanurzyć w /?-wymiarowej przestrzeni o p współrzędnych Df = (Dh D, /„ D, 2h, ■■■, A - ( p - i)ft) i czasie opóźnienia h. Zgodnie z twierdzeniem Takensa o zanurzeniu [2.66] zarówno w przypadku układów o czasie ciągłym, jak i nieciągłym zrekonstruowana dynamika jest geometrycznie podobna do dynamiki pierwotnej. Sekwencja punktów wytwarzanych przez zanurzony szereg czasowy nazywa się trajektorią szeregu czasowego.

Rys. 2.33a. Pomiar szeregu czasowego układu Lorenza [2.67]

Wybór chaotycznej dynamiki w praktyce jest dość trudny. Jak rozstrzygnąć, że szereg czasowy danych pom iarowych nie jest wytwarzany przez nieregularne szumy, lecz przez wysoce ustrukturyzowane, chaotyczne atraktory? Chaotyczny atraktor określa trajektoria w granicznym obszarze przestrzeni fazowej, k tórą cechuje aperiodyczne zachowanie oraz duża czułość na warunki początkowe. Kryteria te - determinizm, graniczność, aperiodyczność i duża czułość — można sprawdzać wielom a


metodami analizy szeregów czasowych. U kład jest deterministyczny, gdy przyszłe zdarzenia są przyczynowo warunkowane przez zdarzenia przeszłe. N a przykład równanie różnicowe x,+ x = f(x ,) jest determ inistyczne, jeśli f ( x t) m a tylko jed n ą wartość dla każdej wartości x, i gdy przyszłą wartość x , + 1 m ożna obliczyć za pom ocą funkcji / z wcześniejszej wartości x t.

Rys. 2.33b, c. Trajektoria w przestrzeni fazowej (x, y, z) (b) i zrekonstruowana trajektoria przestrzeni fazowej (D„ D, /), „,) z czasem opóźnienia h atraktora Lorenza (c) [2.68]

Jak rozstrzygnąć, że pomiary danych przeszłego zdarzenia D, determinują przyszłe zdarzenia D , + Załóżmy, iż pomiarów dokonuje się do chwili T oraz że przewidzenie wartości w czasie T + 1 jest możliwe. Można ponownie posłużyć się wspomnianą wcześniej metodą zanurzania szeregu czasowego w /(-wymiarowej przestrzeni o czasie opóźnienia h. Zanurzony punkt w czasie T, reprezentujący przeszłe zdarzenia, to D, = (Dr, D, l)T fp l)h). Przeszukujemy skończoną resztę zanurzonego szeregu czasowego w ścisłym otoczeniu D,, nazywanym Dc o czasie c. Ponieważ Dy przylega do Dc, można oczekiwać, że zgodnie z deterministyczną dynamiką zmierzona wartość Dc + i będzie bliska Dt+ ,. Przewidywane DT, i jest zatem identyczne ze zmierzoną wartością Dc+l. Różnica między wartością przewidywaną a DT+ j jest przewidywanym błędem, który stanowi wskaźnik ścisłości prognozy. Ściślejszy determinizm posługuje się uśrednioną wartością wielu przewidywanych błędów.

Dynam ika jest ograniczona, jeśli utrzymuje się w pewnym skończonym obszarze przestrzeni fazowej i niż zdąża do wielkości nieskończonych wraz z upływem czasu. W przypadku występowania zakłóceń tra

UKŁADY ZŁOŻONE i EWOLUCJA MATERII 1 0 9

jektorie rozciągają się nieograniczenie w całej przestrzeni fazowej. Atraktor chaotyczny zawsze jest ograniczony w pewnym obszarze przestrzeni fazowej. Praktycznie jednak dane pom iarowe zawsze pozostają w pewnym skończonym przedziale, ponieważ wszechświat fizyczny jest skończony. Ich skończoność jest zatem związana z pojm owaniem stacjonam ości. Szereg czasowy jest stacjonarny, jeśli średnie i standardowe odchylenie jest w całym szeregu takie samo. Aperiodyczność oznacza, że stany układu dynamicznego nigdy nie w racają do poprzednich wartości. Lecz wartości stanów m ogą mniej lub bardziej zbliżać się do wcześniej osiągniętych wartości. Aperiodyczność jest więc stopniowalna. Jak w yznaczyć stopień aperiodyczności danych pomiarowych?

Tak jak przedtem, zanurzmy szereg czasowy pomiarów w p -wymiarowej przestrzeni z opóźnieniem czasowym h. Każdy punkt D, = (D r, D t D T-(p-\ )h) reprezentuje stan układu dynamicznego w czasie t. Odległość dwóch stanów jest mierzona odległością między dwoma punktami i oraz j i wynosi dy = |D, - Dy| (rys. 2.34). Jeśli szereg czasowy jest okresowy i ma okres T, wartości stanów wielokrotnie pow tarzają się zgodnie ze zmianami T. W przypadku tym odległość Sj punktów odpowiadających czasom t i j równa się zero dla |/ - j\ = nT, gdzie n = 0, 1 , 2 , . . . . Jeśli odległość D, od D, jest m niejsza od pewnej odległości r, stopień periodyczności i aperiodyczności m ożna wyznaczyć z wykresów rekurencji punktów (/, /)■

Rys. 2.34a, b. Wykresy rekurencji periodycznej dla odwzorowania drugiego stopnia xl+, = 3,52x,(l -x ,) (p = 2 ,r = 0.001) (a) i aperiodycznej dla odwzorowania chaotycznegox,+ 1 = 4x,(l - x t) (p = 2, r = 0.001) (b) [2.69]

Wykresy takie pokazują, jak zrekonstruowana trajektoria powraca lub powtarza się. Ilość kropek na w ykresie rekurencji wskazuje, ile razy trajektoria zbliża się na odległość r do wartości poprzedniej. Jeśli m ie


rzone szeregi czasowe D, i Dy są mniejsze niż r dla i * j , całka korelacji C(r) określa gęstość punktów (i, j ) na wykresie rekurencji (rys. 2.34). Całka korelacji jest wygodnym pojęciem przy badaniu chaotycznych szeregów czasowych [2.70]. Jeśli odległość r rośnie, na wykresie rekurencji pojawia się wiele punktów o rosnącej gęstości C(r). Dla układów periodycznych charakterystyczne krzywe C(r) są płaskie. Jeśli układ jest chaotyczny, krzywe te m ają łagodne nachylenie, a jeśli działa przypadkowo, są one bardzo strome.

M iędzy całką korelacji a pojęciem wym iaru fraktalnego zachodzi ważny związek (por. rozdz. 2.4). Rozważmy punkty rozrzucone na pew nej powierzchni znajdujące się w odległości nie większej niż r względem danego punktu odniesienia położonego na dwuwymiarowej płaszczyźnie (np. w obrębie koła o prom ieniu r i powierzchni nr2) lub w trójw ym iarowej przestrzeni (np. wewnątrz kuli o prom ieniu r i objętości 4/3tut3). W ogólnym przypadku liczba punktów rozrzuconych w danym obiekcie przestrzeni v-wymiarowej, znajdujących się w odległości mniejszej od r, je st proporcjonalna do r . Całkę korelacji wprowadzono jako miarę gęstości punktów rozrzuconych na odległość nie w iększą niż r względem punktu odniesienia w ykresu rekurencji. Całka korelacji punktów rozrzuconych w pewnym v-wymiarowym obiekcie jest proporcjonalna do r \ czyli C(r) = q r , gdzie (/jes t stałym współczynnikiem proporcjonalności. W ymiar korelacji v v-wymiarowego obiektu można obliczyć, logaryt- mując to równanie: log C(r) = v log r + log q. Ażeby znaleźć wym iar korelacji v, należy sporządzić wykres logC(r) jako funkcji log r i określić nachylenie otrzymanej linii. M etodę taką m ożna również zastosować do w yznaczenia wymiaru fraktalnego obiektu.

W badaniu szeregu czasowego wym iar korelacji służy niekiedy do określania atraktorów. Dobrze wiadomo, że chaotyczne atraktory cechuje często samopodobieństwo i m ają one wym iar fraktalny. Jeśli szereg czasowy jest generowany przez układ chaotyczny, trajektoria szeregu czasowego, rekonstruowana na podstawie pomiaru danych poprzez zanurzenie, ma takie same własności topologiczne jak pierwotny atraktor układu, o ile tylko zanurzony wym iar jest dostatecznie duży. Takens w ykorzystał metodę określania odpowiedniego wym iaru zanurzenia dla rekonstrukcji atraktora: Jeśli pierwotny atraktor ma wym iar v, wówczas wym iar p = 2v + 1 odpowiada zanurzonej przestrzeni rekonstruowanego atraktora. M etoda ta nie dostarcza jednak żadnej procedury wykrywania chaotycznego atraktora, albowiem jego istnienie, na podstawie pomiaru danych, zostało założone w celu określenia jego wymiaru.

Inny sposób opisu chaotycznej dynamiki polega na pomiarze stopnia jej czułości na dane początkowe. Rozpatrzmy dwie trajektorie, wychodzące od prawie takich samych danych początkowych. W układzie o dynamice cha


otycznej nawet niewielka różnica warunków początkowych spowodować może pojawienie się dwu trajektorii, które po upływie krótkiego czasu będą wykładniczo oddalać się od siebie (rys. 2.35). W przypadku tym odległe w czasie przewidywanie jest trudne, ponieważ dane początkowe można mierzyć ze skończoną dokładnością. Nawet ułamkowe odchylenia w pomiarze danych m ogą doprowadzić do całkowicie odmiennych przewidywań. Tu tkwi przyczyna niepowodzeń prognoz pogody, gdy jest ona chaotycznai niestabilna. Teoretycznie biorąc, ruch skrzydeł motyla może spowodować globalną zmianę biegu wypadków. „Efekt motyla” można mierzyć za pomocą tzw. wykładnika Lapunowa. Trajektoria x(t) wychodzi od pewnego stanu początkowego x(0). Jeśli jej wzrost dokonuje się wykładniczo, jest on w przybliżeniu określony wyrażeniem |x(/)| ~ \x(0)\eAl. Wykładnik A jest mniejszy od zera, jeśli trajektoria jest przyciągana przez atraktor, tak jak punkty stałe czy orbity. Jest on większy od zera, jeśli jest rozbieżny i czuły na bardzo małe zakłócenia stanu początkowego.

Rozważmy równanie różnicowe x,+, =f(x,) oraz dwa sąsiednie położenia x0 i Vo w przestrzeni fazowej. Stosując wielokrotnie funkcję f otrzymujemy x, = /(* , !) = / ( x 0) i * = /(* ,_ !) = /'O o), gdzie t = 0, 1, 2,... . Jeśli wielokrotne użycie funkcji/sprawia, że położenia x, i y, oddalają się od siebie wykładniczo, wówczas ich odległość wynosi \y, - x,| = [y(> - x0\eAI, gdy A > 0. Gdy czast —> 00, wtedy (1/0 Ly, - x,\ / [v0 - x0\ -> A. Jeśli tor trajektorii zawarty jest w pewnym ograniczonym obszarze, wykładnicze oddalenie pojawia się tylko wtedy, gdy początkowe położenia są bardzo bliskie siebie. W przypadku tym zmniejszamy różnicę \y0- x 0\, zanim określimy granicę dla t —> co. Wykładnik Lapunowa trajektorii x,=/ (x0) można wyznaczyć za pomocą stałej

A = lim 1 / / lim ln | y t - xt | / 1 y 0 - x() |< - > co \yQ - x 0 | - » o

= lim \/t lim ln | f ' ( y 0) - 1 f ‘(xa) | / | y 0 - x0 |/-I

= lim \ / t ln | d f '( x 0)/x0 \= lim l / r X ln I d f(x i )/xi \ .t - > CO t - * 00 i = 0

W przypadku ciągłego układu dynamicznego opisywanego równaniami różniczkowymi trajektoria jest wektorem x(0 o wykładniku Lapunowa A = lim sup l/x ln |x(0|. Wykładnik Lapunowa jest miarą współczynnika konwergencji i dywergencji sąsiednich trajektorii układu dynamicznego. W układzie M-wymiarowym n wykładników Lapunowa A\ > A2 > ... A„ opisuje różne rodzaje atraktorów. W przypadku atraktorów niechaotycznych można wyróżnić asymptotycznie stabilną równowagę dla A, < 0 (i = 2,..., n), asymptotycznie stabilny cykl graniczny dla/!, - 0 i A, < 0 (i = 2,..., n), asymptotycznie stabilny podwójny torus dla A 1=A2 = 0 i A, < 0 (i = 3,..., ń) oraz asymptotycznie stabilny m-torus dlaA, = ...A m = 0 i A, < 0 (i = m+ 1,. . . , n). Układ chaotyczny musi mieć co najmniejjeden dodatni wykładnik Lapunowa. W przypadku trzech wymiarów chaos jest możliwy tylko wtedy, gdy A l >0, A2- 0 , A t < 0 \ gdy A3< -A \.


< R a ' X mx2 V t; A (t)~ A(0)exp(A.t)

Rys. 2.35. Wykładnicza zależność warunków początkowych mierzona wykładnikiem Lapunowa A [2.71]

Tabela 2.1. Złożoność dynamiki atraktorów w układach trójwymiarowych [2.72]

U kłady dynamiczne m ożna klasyfikować za pom ocą atraktorów, które cechuje rosnąca złożoność - od punktów stałych, periodycznychi quasi-periodycznych, aż po zachowania chaotyczne. Klasyfikacji atraktorów m ożna dokonać różnymi metodami, np. w oparciu o charaktery-


styczne struktury szeregów czasowych, natężenie widma, portrety fazowe w przestrzeni fazowej, wykładniki Lapunowa, wym iary fraktalne czy pom iar przepływu informacji (entropii Kołm ogorow a-Sinaja). M etody te szczegółowo zostaną omówione w podrozdziale 5.3. Tabela 2.1 daje przegląd stopni dynamicznej złożoności, tworzącej ramy prezentowanego w tej książce kom pleksowego podejścia dynamicznego.

P r z y p is y

Rozdział I

1.1 Mainzer, K., Schirmacher, W. (eds.), Quanten, Chaos und Damonen. Erkenntnis-theoretische Aspekte der modernen Physik, B.I. Wissenscha- ftsverlag, Mannheim 1994.

1.2 Stein, D.L. (ed.), Lectures in the Sciences o f Complexity, Santa Fe Insti- tute Studies in the Sciences of Complexity, vol. 1. Addison-Wesley, Re- dwood City, CA, 1989; Jen, E. (ed.), Lectures in Complex Systems, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, vol. 2, 1990; Stein, D.L. (ed.), Lectures in Complex Systems, Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity, vol. 3, 1991; Kurdyumov, S. P., Evolution and self-organization laws in complex systems, „Intern. J. Modem Physics C”, vol. 1, no. 4 (1990), s. 299-327.

1.3 Nicolis, G., Prigogine, I., Exploring Complexity. An Introduction,W.H. Freeman, New York 1989.

1.4 Haken, H., Synergetics. An Introduction, wyd. 3, Springer, Berlin 1983.1.5 Mainzer, K., Symmetries in Naturę, De Gruyter, New York 1995 (wyd.

niem.: Symmetrien der Natur, 1988).1.6 Chua, L.O., CNN: A Paradigm for Complexity, World Scientific, Singa-

pore 1998.

Rozdział II

2.1 Pochodzenie historycznych źródeł cytatów w rozdz. 2.1 zob. Mainzer, K., Symmetries in Naturę, De Gruyter, New York 1994 (wyd. niem.: 1988), rozdz. 1.

2.2 Diels, H., Die Fragmente der Yorsokratiker, wyd. 6, korekta W. Kranz,vol. 3, Berlin 1960/1961 (w skrócie: Diels-Kranz), 12 A 10 (Pseudo-Plutarch).

2.3 Diels-Kranz 13 A 5, B 1.2.4 Diels-Kranz 22 B 64, B 30.2.5 Heisenberg, W., Fizyka a filozofia, tłum. S. Amsterdamski, Warszawa

1965, s. 47.2.6 Diels-Kranz 22 B 8.2.7 Diels-Kranz 31 B 8.


2.8 Heisenberg, W., Die Plancksche Entdeckung und die philosophischen Grundlagen der Atomlehre, [w:] Heisenberg, W., Wandlungen in den Grundlagen der Naturwissenschaften, S. Hirzel, Stuttgart 1959, s. 163.

2.9 Zob. też Hanson, N.R., Constellations and Conjectures, Boston 1973, s. 101.

2.10 Odpowiednich obliczeń dokonał N.R. Hanson (zob. op. cit., przyp. 9, s. 113).

2.11 Bohr, H., Fastperiodische Funktionen, Berlin 1932.2.12 Forke, A., Geschichte der alten chinesischen Philosophie, Hamburg

1927, s. 486; Feng Yu-Lan, A History o f Chinese Philosophy, vol. 2, The Period o f ClassicalLearning, Princeton, NJ 1953, s. 120.

2.13 Mainzer, K., Geschichte der Geometrie, B. I., Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zurich 1980, s. 83; Edwards, C.H., The Historical Development o f the Calculus, Springer, Berlin 1979, s. 89.

2.14 Mainzer, K., Geschichte der Geometrie (zob. przyp. 13), s. 100; Abraham, R.H., Shaw, C.D., Dynamics - The Geometry o f Behavior, cz. 1, Aerial Press, Santa Cruz 1984, s. 20.

2.15 Audretsch, J., Mainzer, K. (eds.), Philosophie und Physik der Raum-Zeit,B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1988, s. 30.

2.16 Audretsch, J., Mainzer, K. (eds.), Philosophie und Physik der Raum-Zeit (zob. przyp. 15), s. 40; Weyl, H., Raum, Zeit, Materie. Vorlesung uber Allgemeine Relativitatstheorie, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1961 (reprint wyd. 5. z 1923), s. 141.

2.17 Mach, E., Die Mechanik. Historisch-kritisch dargestellt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1976 (reprint wyd. 9. 19331, s. 149; Abraham, R.H., Shaw, C.D., Dynamics - The Geometry o f Behavior (zob. przyp. 14), s. 57.

2.18 Ruelle, D., Smali random pertubations o f dynamical systems and the definition o f attractors, „Commun. Math. Phys.” 82 (1981), s. 137-151; Abraham, R.H., Shaw, C.D., Dynamics - The Geometry o f Behavior (zob. przyp. 14), s. 45.

2.19 Analityczne opracowanie zagadnienia por. Stauffer, D., Stanley, H.E., Od Newtona do Mandelbrota. Wstęp do fizyki teoretycznej, tłum. Ł.A. Turski, Warszawa 1996, s. 26-30.

2.20 Nicolis, G., Prigogine, I., Die Erforschung des Komplexen (zob. rozdz. I, przyp. 3), s. 132; Abraham, R.H., Shaw, C.D., Dynamics - The Geometry ofBehavior (zob. przyp. 14), s. 168, 174.

2.21 Analityczne opracowanie zagadnienia por. Mainzer, K., Symmetries in Naturę (zob. przyp. 1) rozdz. 3.31; Stauffer, D., Stanley, H.E., From Newton to Mandelbrot (zob. przyp. 19), s. 24.

2.22 Arnold, V.I., Metody matematyczne mechaniki klasycznej, tłum. P. Kucharczyk, Warszawa 1981; Davies, P.C.W, The Physics ofTime Asymme- try, Surrey University Press, London 1974; Penrose, R., Nowy umysł cesarza, tłum. P. Amsterdamski, Warszawa 1995, s. 208-209.

2.23 Lichtenberg, A.J., Liebermann, M.A., Regular and Stochastic Motion, Springer, Berlin 1982; Schuster, H.G., Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, tłum. P. Pepłowski, K. Stefański, Warszawa 1993, s. 189.

P r z y p is y 4 8 5

2.24

2.25

2.262.27

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32

2.33

2.34

2.35

2.36

2.37

2.38

2.39

Poincare, H., Les methodes nouvelles de la mecaniąue celeste, Gauthier- Villars, Paris 1892.Arnold, V.I., Smali Denominators II, Proof o f a theorem o f A.N. Kolmo- gorov on the preservation o f conditionally-periodic motions under a smali perturbation o f the Hamiltonian, „Russ. Math. Surveys” 18 (1963), s. 5; Kołmogorow, A.N., On Conservation o f Conditionally- Periodic Motions for a Smali Change in Hamilton's Function, „Dokł. Akad. Nauk.” USSR 98 (1954), s. 525; Moser, X., Convergent series expansions o f ąuasi-periodic motions, „Math. Anm.” 169 (1967), s. 163. Por. Arnold, V.I., Metody...-, Schuster, H.G., Chaos..., s. 161.Henon, M., Heiles, C., The applicability o f the third integral o f the motion: Some numerical experiments, „Astron. J.” 69 (1964), s. 73; Schuster, H.G., Deterministic Chaos (zob. przyp. 23), s. 150; rysunki 2.16a-d od M.V. Berry, [w:] S. Joma (ed.), Topics in nonlinear dynamics, „Am. Inst. Phys. Conf. Proc.”, vol. 46 (1978).Szczegółowe opracowanie matematyczne zagadnienia por. np. Staufer, D., Stanley, H.E., Od Newtona..., s. 119 i n.Mainzer, K., Symmetrien der Natur (zob. przyp. I), s. 423; Primas, H., Muller-Herold, U., Elementare Quantenchemie, Teubner, Stuttgart 1984 (zawiera elementarne wprowadzenie do niezmienniczej w sensie Galileusza mechaniki kwantowej, rozdz. 3).Audretsch, J., Mainzer, K. (eds.), Wieviele Leben hat Schrodingers Katze? B. I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1990.Gutzwiller, M.C., Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer, Berlin 1990.Friedrich, H., Chaos in Atomen, [w:] Mainzer, K., Schirmacher, W. (eds.), Quanten, Chaos und Damonen (zob. przyp. 1, rozdz. 1); Friedrich, H., Wintgen, D., The hydrogen atom in a uniform magnetic field, „Physics Reports” 183 (1989), s. 37-79.Birkhoff, G.D., Nomelles recherches sur les systemes dynamiąues, „Mem. Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei” 1 (1935), s. 85.Enz, C.P., Beschreibung nicht-konservativer nicht-linearer Systeme I-II, „Physik in unserer Zeit” 4 (1979), s. 119-126, 5 (1979), s. 141-144 (II). Lorenz, E.N., Deterministic nonperiodic flow, „J. Atoms. Sci.” 20 (1963), s. 130; Schuster, H.G., Deterministic Chaos (zob. przyp. 23), s. 9.Eckmann, I.P, Roads to turbulence in dissipative dynamical systems, „Rev. Mod. Phys.” 53 (1981), s. 643; Komputerowa symulacja przedstawiona na rys. 2.21 opublikowana przez O.E. Lanforda, Turbulence Semi- nar, [w:] Bernard, P., Rativ, T. (eds.), Lecture Notes in Mathematics 615, Springer, Berlin 1977, s. 114.Mandelbrot, B.B., The Fractal Geometry o f Naturę, Freeman, San Fran- sisco 1982; Grassberger, P., On the Hausdorff dimension o f fractal attractors, „J. Stat. Phys.” 19 (1981), s. 25; Lichtenberg, A. J., Liebermann, M.A., Regular and Stochastic Motions (zob. przyp. 23).Collet, P., Eckmann, J.P., Iterated Maps o f the Interval as Dynamical Systems, Birkhauser, Boston 1980 (zob. przyp. 2.22-24).GroBmann, S., Thomae, E., Imariant distributions and stationary corre-


lation fimctions o f one-dimensional discrete processes, „Z. Naturforsch.” 32 A (1977), s. 353; Feigenbaum, M.J., Quantitative universality for a class o f nonlinear transformations, „J. Stat. Phys.” 19 (1978), s. 25.

2.40 Mainzer, K., Symmetrien der Natur (zob. przyp. 1).2.41 Por. Nicolis, G., Prigogine, I., Die Erforschung des Komplexen (zob.

przyp. 3, rozdz. 1), s. 205.2.42 Por. Prigogine, I., From Being to Becoming - Time and Complexity in

Physical Sciences, Freemann, San Fransisco 1980; idem, Introduction to Thermodynamics o f Irreversible Processes, Wiley, New York 1961.

2.43 Rys. 2.26 pochodzi z: Feynman, R.P., Leighton, R.B., Sands, M., Feyn- mana wykłady z fizyki, tłum. S. Bażański, Z. Białynicka-Birula, A. Lenda, t. 2, cz. 2, Warszawa 2001.

2.44 Haken, H., Synergetics (zob. przyp. 4, rozdz. 1), s. 5.2.45 Ibidem, s. 202; Haken, H., Advanced Synergetics. Instability Hierarchies

o f Self-Organizing Systems and Devices, Springer, Berlin 1983, s. 187; Weinberg, S., Gravitation and Cosmology. Principles and Applications o f the General Theory o f Relatmty, Wiley, New York 1972.

2.46 Por. Mainzer, K., Symmetrien der Natur (zob. przyp. 1), rozdz. 4.2.47 Curie, P., Sur la symetrie dans les phenomenes physiąues, „Journal de

Physique” 3 (1894), s. 3.2.48 Audretsch, J., Mainzer, K. (eds.), Vom Anfang der Welt, Beck, C.H.,

Miinchen ("1990); Mainzer, K., Symmetrien der Natur (zob. przyp. 1),s. 515; Fritzsch, H., Vom Urknall zum Zerfall. Die Welt zwischen Anfang undEnde, Piper, Miinchen 1983, s. 278.

2.49 Hawking, S.W., Krótka historia czasu. Od wielkiego wybuchli do czarnych dziur, tłum. P. Amsterdamski, Warszawa 1990; Hoyle, F., Burbrid- ge, G., Narlikar, J.V., A quasi-steady State cosmological model with cre- ation o f matter, „Astrophys. Journal” 410 (1993), s. 437 457.

2.50 Hartle, J.B., Hawking, S.W., Wave function in the universe, „Physical Review” D 28 (1983), s. 2960-2975; Mainzer, K., Hawking, Herder, Freiburg 2000.

2.51 Audretsch, J., Mainzer, K. (eds.), Vom Anfang der Welt (zob. przyp. 48), s. 165.

2.52 Greene, B., The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, W.W. Norton & Co, New York 1999; Hawking, S.W., The Universe in a Nutshell, Bantam Books, New York 2001; Mainzer, K., The Little Book o f Time, Copemicus Books, New York 2002.

2.53 Whitesides, G.M., Mathias, J.P., Seto, C. T., Molecular self-assembly and nano-chemistry: A chemical strategy for the synthesis o f nanostructures, „Science” 254 (1991), s. 1312-1319.

2.54 Feynman, R., There’s plenty o f room at the bottom, „Miniaturization” 282(1961), s. 295-296.

2.55 Drexler, K.E., Nanotechnology summary, „Encyclopedia Britannica Science and the Futurę Yearbook 162” (1990); por. też Drexler, K.E., Nanosystems: Molecular Machinery, Manufacturing, and Computation, John Wiley & Sons, New York 1992.

P r z y p is y 4 8 7

2.56 Whitesides, G.M., The once and futurę nanomachine, „Scientific American” 9 (2001), s. 78-83.

2.57 Newkome, G.R. (ed.), Advances in Dendritic Macromolecules, JAI Press, Greenwich, Conn. 1994.

2.58 Curl, R.F., Smalley, R.E., Probing C60, „Science” 242 (1988), s. 1017— 1022; Smalley, R.W., Great balls o f carbon: The story o f Buckminsterful- lerene, „The Sciences” 31 (1991), s. 22-28.

2.59 Muller, A., Supramolecular inorganic species: An expedition into a fa- scinating rather unknown land mesoscopia with interdisciplinary expectations and discoveries, „I Molecular Structure” 325 (1994), s. 24; „Angewandte Chemie” (wyd. międzynarodowe w jęz. ang.) 34 (1995), s. 2122-2124; Muller, A., Mainzer, K., From molecular systems to more complex ones, [w:] Muller, A., Dress, A.,Vogtle, F. (eds.), From Simpli- city to Complexity in Chemistry - and Beyond, Vieweg, Wiesbaden 1995, s. 1-11.

2.60 Rys. 2.32 jest ryciną sporządzoną przez Bryana Christie: „Spektrum der Wissenschaft Spezial” 2 (2001), s. 22.

2.61 Dry, C.M., Passive smart materials for sensing and actuation, „Journal of Intelligent Materials Systems and Structures” 4 (1993), s. 415.

2.62 Amato, I., Animating the materiał world, „Science” 255 (1992), s. 284-286.

2.63 Joy, B., Why the futurę doesn ’t need us, „Wired” 4 (2000).2.64 Smalley, R.E., O f chemistry, love and nanobots, „Scientific American” 9

(2001), s. 76-77.2.65 Abarbanel, H.D.I., Analysis o f ObservedData, Springer, New York 1996;

Kanz, H., Schreiber, T., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge 1997.

2.66 Takens, F., Detecting strange attractors in turbulence, [w:] Rand, D.A., Young, L. S. (eds.), Dynamical Systems and Turbulence, Springer, Berlin 1981, s. 336-381.

2.67 Kapłan, D„ Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, New York 1995, s. 310 (rys. 6.20).

2.68 Kapłan, D., Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics (zob. przyp. 67), s. 310 (rys. 6.21), s. 311 (rys. 6.22).

2.69 Kapłan, D., Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics (zob. przyp. 67), s. 316 (rys. 6.26), s. 317 (rys. 6.28).

2.70 Grassberger, P., Procaccia I., Characterization o f strange attractors, „Physical Review Letters” 50 (1983), s. 346-349.

2.71 Deco, G., Schurmann, B., Information Dynamics: Foundations and Applications, Springer, New York 2001, s. 17 (rys. 2.6).

2.72 Chen, G., Moiola, J.L., An overview o f bifurcation, chaos and nonlinear dynamics in control systems, [w:] Chua, L.O. (ed.), „Journal of the Franklin Institute Engineering and Applied Mathematics”, Philadelphia 1995, s. 838.

Układy złożone i ewolucja materii

Documents

Transcript of Układy złożone i ewolucja materii