Twierdzenie Pitagorasa

Witam w krainie Trójkątlandii !

Nazywam się Trójkąt Prostokątny.

Pewnie jesteście ciekawi jak wyglądam?

To ja ! Trójkąt prostokątny !

Moją cechą rozpoznawczą jest kąt prosty, czyli 90o

Moje części ciała to: przyprostokątne

i przeciwprostokątna

Mogę stać w różnych pozycjach ...

Wskażcie proszę które to przyprostokątne, a które

to przeciwprostokoątna

Najważniejsze jest to, że zawsze:

przyprostokątne są przy kącie prostym.

przeciwprostokątna jest naprzeciw kąta prostego.

Trójkąt prostokątny

c

Przeciwprostokątna

a

Przyprostokątne

b

A teraz zadanie dla Was…

Przyjrzyjcie się podanym trójkątom i podajcie, które boki są przyprostokątnymi a które przeciwprostokątną

A teraz przejdźmy do twierdzenia Pitagorasa

Kim był PitagorasPitagoras był filozofem greckim, żyjącym w latach ok.582-507 p.n.e. Urodził się i żył na wyspie Samos, a następnie działał w Krotonie w Italii, gdzie założył religijno-filozoficzną szkołę. Pitagoras wprowadził pojęcie podobieństwa figur, dowiódł znanego twierdzenia dla trójkątów zwanego od Jego nazwiska, podał konstrukcję pewnych wielokątów i wielościanów jak np.heksaedru, dodekaedru, ikosaedru, oktaedru.Badając wielokąty odkrył niewspółmierność odcinków, złoty podział odcinka.Zajmował się także ze swymi uczniami własnościami liczb, przypisując im mistyczne znaczenie.

Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jego przeciwprostokątnej jest równy

sumie kwadratów długości jego przyprostokątnych.

c2 = a2 + b2

Ciąg dalszy dowoduUkładając te trójkąty w taki sposób, jak wskazuje rysunek, otrzymamy pośrodku kwadrat c2. Stąd wniosek, że kwadrat o boku a + b, pomniejszony o 2ab, daje w pierwszym przypadku a2+b2, a w drugim c2

c2

III II

IIV

Przypuszczalny dowód samego PitagorasaBudujemy kwadrat, którego bok równa się sumie przyprostokątnych a i b danego trójkąta prostokątnego. Kwadrat ten dzielimy na dwa kwadraty: a2 i b2 oraz dwa równe prostokąty o bokach a i b Podzielimy ten prostokąt na cztery równe trójkąty prostokątne: I, II, III, IV.

a2

b2

I

II

IVIII

c2 = a2 + b2

A teraz drugie ćwiczenie dla Was...

m2=a2+n2

r2=o2+p2 |AC|2=|AB|2+|BC|2

CiekawostkiTrójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3, 4, 5,

nazywamy trójkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest zawsze liczbą

całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6.Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne

wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim.

Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim.

W trójkątach prostokątnych równoramiennych przeciwprostokątna jest zawsze liczbą niewymierną.

Koniec

Myślę, że wiele mogliście się nauczyć, o Twierdzeniu

Pitagorasa... Teraz nie sprawi Wam to z pewnością żadnych trudności w dalszej nauce...