Autor: Piotr Szlagor

Twierdzenie Pitagorasa

Troszkę Historii

Już starożytni Egipcjanie do wyznaczania kąta prostego w terenie posługiwali się trójkątem o bokach długości 3, 4 i 5 (trójkąt taki nazywamy właśnie trójkątem egipskim).

Kilkaset lat później grecki matematyk i filozof Pitagoras z Samos zajął się podobnymi trójkątami, czyli takimi, w których długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi (np. 5, 12, 13; 7, 24, 25).

Twierdzenie Pitagorasa

Sformułował i udowodnił on twierdzenie, mówiące o tym, że:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych.

c2 = a2 + b2

Dowód Twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie to można uzasadnić w następujący sposób:

1. Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zbudujmy na nim kwadrat o boku długości przeciwprostokątnej.

2. Dzieląc ten kwadrat w poniższy sposób:

Otrzymamy cztery przystające trójkąty prostokątne i kwadrat o boku b-a.

Dowód Twierdzenia Pitagorasa

3. Przeanalizujmy więc pola powstałych figur.

Pole dużego kwadratu wynosi c2 i jest równe sumie pól poniższych figur.

Dowód Twierdzenia Pitagorasa

4. Zapisujemy równość pomiędzy polami:

c2= 4*(ab/2) + (a-b)2

Po prostych przekształceniach dochodzimy do równości:

c2= a2 + b2

Zostało więc pokazane, że dla każdego trójkąta prostokątnego, długość kwadratu przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadratów przyprostokątnych danego trójkąta.

Dowód Twierdzenia Pitagorasa