Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Autor: Piotr Szlagor

Troszkę Historii

Twierdzenie to, wbrew temu co podpowiada nam intuicja, najprawdopodobniej było znane i powszechnie wykorzystywane o wiele wcześniej niż Twierdzenie Pitagorasa.

Starożytne kultury Azji (Indie, Chiny, czy Babilonia), a także Egipcjanie wykorzystywali je do praktycznego wyznaczania kąta prostego w terenie budując trójkąt o bokach 3, 4, 5. Kąt prosty uzyskuje się wtedy pomiędzy bokami o długości 3 i 4.

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie brzmi następująco:

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego z nich, to jest to trójkąt prostokątny, a kąt prosty znajduje się pomiędzy dwoma krótszymi bokami.

a2 + b2 = c2

|<MKL| = 90o

Dowód Twierdzenia

Twierdzenie to można uzasadnić w poniższy sposób:

1. Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio:

|AB| = a, |BC| = b, |AC| = c

spełniający warunek:

a2 + b2 = c2

Naszym zadaniem będzie pokazanie, że:

|<ABC| = 90o

Dowód Twierdzenia

2. Narysujmy trójkąt KLM, taki że:

|KL| = a |LM| = b |<KLM| = 90o

Dowód Twierdzenia

3. Trójkąt KLM jest prostokątny, a więc możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok KM.

a2 + b2 = |KM|2

Z trójkąta ABC mamy:

c2 = a2 + b2 = |KM|2

a więc:

|KM| = c

Dowód Twierdzenia

4. Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty ABC i KLM są przystające. Z faktu iż trójkąt KLM jest prostokątny, wynika, że trójkąt ABC jest również prostokątny.

Zostało więc pokazane, że każdy trójkąt, którego suma kwadratów długości krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego z boków, jest trójkątem prostokątnym.