MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 65 ISSN 1896-771X

107

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE

Z SIŁOWYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM

Mateusz Saków1a, Arkadiusz Parus1b, Karol Miądlicki1c

1Instytut Technologii Mechanicznej, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki,

Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie amateusz.sakow@zut.edu.pl, barkadiusz.parus@zut.edu.pl, ckarol.miadlicki@zut.edu.pl

Streszczenie Systemy zdalnie sterowane z siłowym sprzężeniem zwrotnym są jedną z przyszłościowych gałęzi rozwoju robotyki.

Pojawienie się kanału siłowego sprzężenia zwrotnego przyniosło jednak wiele nowych problemów. Znane filtry ana-

logowe, dyskretne, adaptacyjne powodują przesunięcie filtrowanego sygnału w czasie. W ramach badań została

opracowana metoda filtracji sygnałów w czasie rzeczywistym, która jest dedykowana do dyskretnych układów ste-

rowania. Metoda jest oparta na lokalnej aproksymacji parametrów wielomianu z zastosowaniem metody poszuki-

wania pseudorozwiązań równań liniowych nadokreślonych - najefektywniejszej według metody najmniejszych kwa-

dratów. Zaproponowany algorytm minimalizuje przesunięcie czasowe sygnału filtrowanego. Sposób działania me-

tody został zweryfikowany podczas dwóch niezależnych eksperymentów na hydraulicznym stanowisku badawczym.

Słowa kluczowe: siłowe sprzężenie zwrotne, zdalne sterowanie, zdalna manipulacja, filtracja z niskim

opóźnieniem

LS FILTER AND ITS IMPLEMENTATION INTO THE CONTROL UNIT OF THE MASTER-SLAVE SYSTEM WITH FORCE-FEEDBACK

Summary Remotely controlled systems with force-feedback are one of the future development of the robotics. However, the

use of a force-feedback communication channel have brought many new problems. Well-known analogue, discreet

or adaptive filters are a cause of the delay between measured and filtered signal. During research, a low-delay fil-

tration algorithm was developed which have been dedicated to work in a real-time control units. The algorithm

has been based on the method of finding the solutions of overdetermined systems - most effective according to the

least squares criterion. The algorithm minimizes the delay between the measured and filtered signal. The proposed

method of filtration was validated on the hydraulic test stand during two independent experiments.

Keywords: force-feedback, remote control, telemanipulation, low time delay filtration

1. WSTĘP

Systemy zdalnie sterowane odgrywają bardzo ważną rolę

w dzisiejszych czasach, ponieważ znalazły zastosowanie

niemal w każdej gałęzi przemysłu. Próżno jest szukać

zakładów pracy, w których brak jest urządzenia stero-

wanego pilotem, joystickiem czy klawiaturą. Jednak

urządzenie zdalnie sterowane nie musi ograniczać się

jedynie do wykonywania zaprogramowanego prostego i

nieskomplikowanego zestawu poleceń [23].

Od lat 60. ubiegłego wieku trwają badania, które mają

zapewnić urządzeniom zdalnie sterowaną [11, 9, 48] lub

częściowo autonomiczną pracę [10, 19, 43, 53]. Podział

na zdalnie sterowane i autonomiczne urządzenia został

zaproponowany, gdy określono graniczną wartość opóź-

nienia w kanale komunikacyjnym systemów zdalnie

sterowanych, która ma bardzo istotny wpływ na stabil-

ność oraz jakość pracy całego systemu [43]. W układach

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)

108

ciągłych podstawowych systemów sterowania system

zazwyczaj staje się niestabilny, gdy opóźnienie w za-

mkniętej pętli sprzężenia przekroczy wartość połowy

cyklu dowolnej częstotliwości pracy dla wzmocnienia

pętli większego od jedności [43]. Okazuje się jednak, że

sama odległość nie jest jedynym składnikiem sumarycz-

nego opóźnienia w kanałach komunikacyjnych układów

sterowania. Na sumaryczne opóźnienie składają się m.in.

czas potrzebny na przetworzenie wartości analogowej na

cyfrową przetwornika A/C, czas dokonania obliczeń

przez program sterownika rozumiany jako cykl jego

pracy, ponowne przetworzenie sygnału cyfrowego na

analogowy w przetworniku C/A, stany przejściowe

obiektów mechanicznych reprezentowane przez ich

dynamiczne parametry, a także te przesunięcia fazowe

sygnałów, których przyczyną jest stosowanie metod

filtracji sygnałów [43].

Wiele wartościowych artykułów naukowych zostało

poświęconych budowie schematów sterowania oraz

opracowaniu metod kontroli, które zapewnią stabilną

pracę oraz przeciwdziałają opóźnieniom i przesunięciom

fazowym w systemach zdalnie sterowanych [11, 17, 18,

27]. Jednymi z pierwszych metod stabilizujących pracę

systemów obustronnego działania Master-Slave były

strategie kontroli manipulatora Master. Dwie strategie

opracowane przez W. R. Ferrela polegały na dyskretyza-

cji ruchu operatora oraz na celowym spowolnieniu ruchu

przy zbliżaniu się do obiektu środowiska przez podatny

metalowy palec oklejony tensometrem [11]. Strategie

kontroli podsystemu Master jednak nie dawały tak

dobrych wyników pod względem czasu ukończenia zadań

przez operatora jak adaptacyjne schematy sterowania

[27]. Schemat sterowania oparty na bezpośrednim prze-

kazywaniu wartości siły z czujnika opracowany w [11]

został rozwinięty przez W. S. Kima o dodanie współdzie-

lonej kontroli zgodności, która polegała na wprowadza-

niu podatności w konstrukcji manipulatora Master [18].

Ten sam autor zaproponował także nowy schemat

sterowania oparty na obustronnym sterowaniu siłą, na

podstawie uchybu pozycji pomiędzy podsystemami Slave

oraz Master [17, 18], który znacząco poprawił dokład-

ność przekazywanej siły w siłowym sprzężeniu zwrot-

nym. Niestety, żaden z tych schematów sterowania nie

gwarantował stabilnej pracy systemu dla opóźnień w

kanale komunikacyjnym wynoszącym więcej niż kilkana-

ście milisekund. Dopiero modyfikacja kanału komunika-

cyjnego, która wykorzystywała zmienne falowe, pozwoli-

ła na całkowite ustabilizowanie pracy systemów obu-

stronnego działania [42]. W późniejszym czasie zmienne

falowe zostały rozbudowane o układy sterowania we-

wnętrznie pasywne [2]. Znaczącą poprawę odwzorowania

wartości siły w siłowym sprzężeniu zwrotnym przyniosło

jednak zwiększenie liczby kanałów komunikacyjnych z

dwóch [11, 9, 10, 17, 18] do czterech [13, 20]. W cztero-

kanałowym schemacie sterowania przesyłane z podsys-

temu Master do Slave były w obydwu kierunkach infor-

macje o sile oddziaływania operatora/środowiska oraz

pozycja konkretnych przegubów manipulatora Ma-

ster/Slave [13, 20]. Czterokanałowy schemat sterowania

został również wyposażony w adaptacyjny układ regula-

cji kontrolujący równolegle siły w systemie oraz pozycje

poszczególnych manipulatorów [52].

XXI wiek to okres implementacji algorytmów sterowania

opartych na regulatorach z przesuwnym horyzontem [15,

25, 26], logice rozmytej [6], separacji częstotliwości w

kanale siłowego sprzężenia zwrotnego [3, 30], specjalnych

metodach dyskretyzacji rozdzielczości czujników na

podstawie systemów jako ciągło-dyskretnych [14],

sztucznych sieciach neuronowych [46], a nawet wykorzy-

stujących stosowanie adaptacyjnych regulatorów prze-

znaczonych do systemów obustronnego działania z

niesymetrycznym opóźnieniem w kanale komunikacyj-

nym, które zostały uzupełnione o adaptacyjne metody

filtracji [54, 55].

Należy jednak zwrócić uwagę na to, że systemy zdalnie

sterowane posiadają trzy różne rodzaje sprzężenia

zwrotnego z operatorem: sprzężenie zwrotne wizyjne [10,

43], sprzężenie zwrotne siłowe (czuciowe) [11] oraz

kombinację sprzężenia zwrotnego wizyjno-siłowego [5,

13, 17, 18, 39, 46, 47, 56]. Zdalne systemy sterowania

mogą być sterowane za pomocą skanerów ruchu kończyn

[11, 9, 10, 17, 36-41, 43], w szczególnym przypadku

będących egzoszkieletami kończyn górnych [37] i dłoni

[56], za pomocą gestów [24, 28], a także z zastosowaniem

komend głosowych [44, 45]. Sterowanie gestem lub

komendami głosowymi pozwala jednak jedynie na zasto-

sowanie wizyjnego sprzężenia zwrotnego pomiędzy

manipulatorem a człowiekiem.

Ważnym podziałem systemów zdalnie sterowanych

obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-

nym jest podział, który dzieli urządzenia na wykorzystu-

jące pomiar siły [3, 11, 18, 30] oraz bezczujnikowe [16,

35, 37, 46, 51]. Grupa bezczujnikowa wykorzystuje

głównie modele odwrotne oparte na strukturach sztucz-

nych sieci neuronowych [46], nieliniowych modelach

autoregresyjnych z egzogennym wejściem [37], a także

mikromanipulatorach, które wykorzystują procesy

odwrotne zachodzące w piezokryształach [16, 33-35].

Systemy zdalnie sterowane obustronnego działania

Master-Slave z siłowym sprzężeniem zwrotnym niewąt-

pliwie zajmują jedną z przyszłościowych gałęzi rozwoju

robotyki; świadczy o tym wiele nowych prac, które stale

rozwijają telemanipulatory. Dotychczas większość sys-

temów beczujnikowych opartych na modelach odwrot-

nych wykorzystywała nieliniowe metody estymacji

wartości siły w kanale siłowego sprzężenia zwrotnego

[37, 46], aby poradzić sobie ze zjawiskami tarcia, opóź-

nień transportowych i przesunięć fazowych spowodowa-

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki

109

nych przez same obiekty mechaniczne, ale także przez

konieczność stosowania filtrów.

W niniejszym artykule przedstawiono algorytm filtracji

sygnałów dyskretnych oparty na poszukiwaniu pseudo-

rozwiązań równań liniowych dedykowany do systemów

obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-

nym. Prezentowany algorytm charakteryzuje się efektem

filtracji zbliżonym do filtrów ułamkowych [4, 29] pod

względem wartości przesunięcia fazowego w użytecznym

spektrum częstotliwości [21], ale o znacznie szerszym

paśmie przepustowym oraz szerszym zakresie częstotli-

wości dla których może być wykorzystany. Algorytm

filtracji ze względu na swój charakter może zostać

zaimplementowany jedynie w cyfrowych układach

sterowania. Dla pasma przepustowego wartość przesu-

nięcia fazowego jest zbliżona do wartości zerowej. Bliskie

zeru opóźnienie fazowe algorytmu jest na tyle małe, że

opóźnienie pomiędzy sygnałem filtrowanym a przefiltro-

wanym jest praktycznie niezauważalne dla operatora

systemu obustronnego działania z siłowym sprzężeniem

zwrotnym opartym na bezczujnikowym schemacie

sterowania.

2. ZDEFINIOWANIE PROBLEMU

Problemem przy wykorzystaniu modeli odwrotnych w

układach sterowania jest zawsze występujące pewne

opóźnienie pomiędzy „przyczyną” a „skutkiem” [43].

Istnieją rozwiązania, które pozwalają na kompensację

wpływu opóźnień transportowych i przesunięć fazowych

powodowanych przez napędy, obiekty, czujniki pomia-

rowe oraz filtrację sygnałów pochodzących z tych obiek-

tów w kanale komunikacyjnym [54, 55]. Niniejsza praca

przedstawia rozwiązanie problemu filtracji i związanych

z nią przesunięć fazowych, jednak nie wykorzystuje

skomplikowanych obliczeniowo iteracyjnych metod

filtracji, takich jak algorytmy LMS, WRLS czy filtr

Kalmana [7, 8, 32], które dodatkowo wymagają znajo-

mości sygnału odniesienia bądź dokładnego modelu

obiektu. Przedstawiony w pracy algorytm przede

wszystkim zapobiega powstawaniu opóźnień sygnału już

w układzie sterowania systemu Master-Slave. Schemat

systemu Master-Slave z siłowym sprzężeniem zwrotnym

został przedstawiony na rys. 1.

Rys. 1. Analizowany system Master-Slave

W analizowanym systemie z rys. 1 występują trzy

charakterystyczne składniki: operator systemu, który

zmienia pozycję skanera ruchu – podsystemu Master

oddziałując siłą Fh. Podsystem Master przekazuje infor-

mację do podsystemu Slave o swojej aktualnej pozycji

xm. Podsystem Slave dąży do tego, aby pozycja xs=xm.

W siłowym sprzężeniu zwrotnym Ff system przekazuje

wartość oddziaływania środowiska � na manipulator

Slave. Drugim zadaniem skanera ruchu jest przekazanie

informacji o oddziaływaniu siłowego środowiska z kana-

łu komunikacyjnego Ff≅Fe. W teoretycznym przypadku

Fm=Fe [37]. W praktyce model nigdy nie odzwierciedla

obiektu rzeczywistego z nieskończoną dokładnością,

dlatego Fm≅Fe, o której dokładności decyduje model

odwrotny urządzenia.

W przypadku analizowanego systemu mogą wystąpić

trzy sprzężenia zwrotne, w których przekazywane są

informacje operatorowi: sprzężenie siłowe zwrotne,

sprzężenie wizyjne pozycji skanera (podsystemu Master)

oraz sprzężenie wizyjne pozycji podsystemu Slave.

Sprzężenie zwrotne wizyjne pomiędzy podsystem Slave a

operatorem może wystąpić jedynie wtedy, gdy przeka-

zywany jest obraz za pomocą kamer na znacznych

dystansach lub podsystem Slave znajduje się w bezpo-

średnim sąsiedztwie operatora.

Problem przesunięcia fazowego i związanego z nim

opóźnienia w czasie sygnału przefiltrowanego jest szcze-

gólnie dotkliwy dla telemanipulatorów ze względu na ich

bilateralny charakter pracy. Bilateralizm czyli obustron-

ność w systemach zdalnie sterowanych polega na przesy-

łaniu sygnałów ze sterowaniem zarówno z urządzenia

nadzorczego, Master, do urządzenia zdalnie sterowanego,

Slave, ale również w przeciwnym kierunku. Fakt ten

nierzadko prowadzi do zwielokrotnienia opóźnienia

sygnałów przefiltrowanych względem sygnałów opisują-

cych rzeczywisty przepływ informacji w systemie. Istnie-

ją rozwiązania wykorzystujące skomplikowane oblicze-

niowo filtry adaptacyjne [7, 8, 32] oraz [54, 55], ale ich

adaptacyjność polega m.in. na dostrajaniu struktury

oraz parametrów filtrów o skończonej odpowiedzi impul-

sowej - SOI, które w szczególnych przypadkach mogą

charakteryzować się liniową charakterystyką fazową [22].

To z kolei skutkuje stałym przesunięciem czasowym

sygnału przefiltrowanego względem sygnału filtrowanego

i nie jest tak niebezpieczne jak zmienne w funkcji często-

tliwości przesunięcie czasowe, które może skutkować

utratą stabilności systemu zdalnie sterowanego.

Kryterium doboru parametrów filtracji dla bezczujniko-

wych systemów obustronnego działania z siłowym

sprzężeniem zwrotnym daje przede wszystkim możliwość

jak najdokładniejszego wyznaczenia pochodnych sygnału

położenia w czasie rzeczywistym. Fakt ten jest uwarun-

kowany podstawową cechą bezczujnikowych schematów

sterowania, które oparte są na wykorzystaniu zewnętrz-

nego obserwatora w postaci modelu odwrotnego podsys-

temu Slave. Celem modelu odwrotnego jest wyznaczenie

sygnału wymuszenia na podstawie znanej odpowiedzi

obiektu rzeczywistego, a do tego niezbędne są przynajm-

niej dwie pochodne sygnału odpowiedzi obiektu będące-

go sygnałem położenia.

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)

110

W czasie badań każdy z filtrów dostrajany był tak, aby

pierwsza pochodna sygnału charakteryzującego się

udziałem białego szumu była na tyle dokładnie wyzna-

czona, aby sygnał wyjściowy modelu odwrotnego nie

zakłócał sygnału w kanale siłowego sprzężenia zwrotne-

go. Dla sygnału harmonicznego charakteryzującego się

zmienną częstotliwości w przedziale od 0.1 do 10Hz oraz

białym szumem o odchyleniu standardowym wynoszą-

cym 5% wartości maksymalnej sygnału zostały przepro-

wadzone testy symulacyjne filtrów SOI (opartym na

średniej ważonej), LMS oraz RLS - rys. 2.

Rys. 2. Efekty wykorzystywania prostych sposobów filtracji

oraz zaawansowanych adaptacyjnych filtrów LMS oraz RLS

Sygnałem odniesienia, względem którego porównano

analizowane filtry, był sygnał przefiltrowany (rys. 2a)

metodą regularyzacji Tickonova (rys. 2b i 2c). Jedyną

wadą regularyzacji jest sam proces doboru jej współ-

czynnika. W przypadku badań symulacyjnych współ-

czynnik został dobrany tak, aby metoda nie uśredniała

sygnału filtrowanego pod względem jego głównych

składowych częstotliwości zmieniających się w przedziale

od 0 do 10Hz. Na rys 2b i 2c widać znaczącą przewagę

filtrów LMS i RLS nad filtrem SOI (przy założeniu

znajomości sygnału odniesienia). Widoczna jest także

przewaga algorytmu RLS, który charakteryzuje się

znacznie większą szybkobieżnością algorytmu w stosun-

ku do filtru LMS (rys. 2b). Filtr SOI wykorzystujący

średnią ważoną próbek z przeszłości znacznie odbiega od

metod filtracji adaptacyjnej, jednak należy zwrócić

uwagę, że jest on znacznie bardziej wygładzony, co

pozwala na wyliczenie pochodnej numerycznej sygnału

przefiltrowanego z mniejszą amplitudą szumu w stosun-

ku do filtrów LMS i RLS (rys. 3).

Rys. 3. Pochodna numeryczna sygnałów przefiltrowanych

Analizując wpływ filtracji na zachowanie się systemu

obustronnego działania z siłowym sprzężeniem zwrot-

nym, uwzględniono także filtry analogowe Butterwortha

[31], 2 rodzaje filtrów Chebysheva [50], filtry eliptyczne

[1] oraz filtry Bessela [12]. Niestety, znane filtry analo-

gowe charakteryzują się stosunkowo większym przesu-

nięciem fazowym dla tych samych parametrów filtracji

w stosunku do filtrów cyfrowych i adaptacyjnych. Tylko

jeden rodzaj filtrów analogowych, filtry Bessela, posiada

charakterystykę fazową zbliżoną do liniowej. Ze względu

na ten fakt w układzie sterowania wykorzystywano w

badaniach jedynie filtry cyfrowe SOI oraz NOI, których

opóźnienie czasowe było na tyle duże, że w fazie sztyw-

nego kontaktu manipulatora Slave z otoczeniem system

tracił stabilność. Filtr RLS i LMS dostrajany względem

sygnału zadanego manipulatora Slave nie powodowały

zauważalnego przesunięcia sygnału w czasie, ale ich

wymagające obliczeniowo algorytmy nie pozwalały na

zastosowanie odpowiedniej długości filtra w celu wyzna-

czenia pochodnej sygnału z niewielką amplitudą szumu,

jak w przypadku filtru SOI. Szum pochodnej numerycz-

nej z kolei także powodował utratę stabilności systemu,

tym razem jednak podczas ruchu swobodnego manipula-

tora Slave.

Proces doboru metody i typu filtracji dla systemów

zdalnie sterowanych z siłowym sprzężeniem zwrotnym

nie jest rzeczą prostą, w szczególności dla systemów

bilateralnych opartych na bezczujnikowych schematach

sterowania. Konieczność wyliczania pochodnych oraz

zachowania stabilności systemu spowodowały koniecz-

ność poszukiwania nowych rozwiązań, które sprostają

tym wymaganiom.

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki

111

3. ALGORYTM FILTRACJI OPARTY NA PPRLN

Zaproponowany algorytm filtracji został oparty na

metodzie poszukiwania pseudorozwiązań równań linio-

wych nadokreślonych (PPRLN), dopasowujących wielo-

miany optymalnie według kryterium najmniejszych

kwadratów - LS [49]. Algorytm filtracji w każdej chwili

czasowej cyklu pracy sterownika dopasowuje wielomian

o zdefiniowanym stopniu do określonej liczby próbek z

przeszłości zgromadzonych w utworzonym wektorze

pamięciowym. To z kolei pozwala na dynamiczne dostra-

janie się wielomianu do sygnału filtrowanego. Wartością

aktualną sygnału przefiltrowanego jest pierwsza próbka

nowo utworzonego sygnału przez dopasowany wielomian

(rys. 4).

Procedura pozwala na zminimalizowanie przesunięcia

fazowego do poziomu, który jest przede wszystkim

niezauważalny dla operatora systemu zdalnego sterowa-

nego z siłowym sprzężeniem zwrotnym. Fakt bliskiego

zeru przesunięcia fazowego w użytecznym spektrum

częstotliwości jest szczególnie korzystny pod względem

transparentności siłowego sprzężenia zwrotnego gdy

dochodzi do sztywnego kontaktu pomiędzy manipulato-

rem zdalnie sterowanym Slave a obiektami otoczenia.

Rys. 4. Przykład dynamiczne dopasowywanego wielomianu

Procedura doboru parametrów algorytmu filtracji

PPRLN rozpoczynana jest od zdefiniowania stopnia

wielomianu n, jaki dynamicznie będzie dopasowywany

do filtrowanego zestawu danych w postaci wektora FFFF.

Stopień wielomianu decyduje o parametrach filtracji,

jednak należy pamiętać, że im wyższy stopień wielomia-

nu zostanie zastosowany, tym lepiej będzie się on dopa-

sowywał do zestawu danych filtrowanych, co spowoduje

zmniejszenie współczynnika tłumienia dla pasma zapo-

rowego. Definiowana jest także liczba pamiętanych

próbek z przeszłości k, do których dopasowany jest

wielomian. Na podstawie znanego stopnia wielomianu n

oraz liczby pamiętanych próbek k z przeszłości tworzona

jest macierz pseudoodwrotna WWWW opisana równaniem (1):

WWWW(n+1)×k=(XXXXTXXXX)-1XXXXT, (1)

gdzie macierz XXXX zdefiniowana jest na podstawie stopnia

wielomianu n oraz liczby próbek pamiętanych z prze-

szłości k i opisana jest jako (2):

XXXXk×(n+1)=

������1n ⋯ 1 1 1 12n ⋯ 8 4 2 13n ⋯ 27 8 3 14n ⋯ 64 16 4 1⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯kn ⋯ k3 k2 k1 k0%

&&&&'

. (2)

Macierz XXXX o wymiarach k wierszy oraz n+1 kolumn jest

zdefiniowana ściśle wedle podanego wzoru (2). Zastoso-

wanie ciągu w kolumnach macierzy XXXX o formule ap= pn, gdzie p∈⟨1;k⟩ ∧ p∈ZZZZ, było kluczowe ze względu na

uproszczenie kolejnego kroku algorytmu, który po wy-

znaczeniu wektora współczynników dopasowanego

wielomianu BBBB(n+1)×1 (3):

BBBB(n+1)×1=WFWFWFWF, (3)

pozwolił na sumowanie współczynników wielomianu w

celu otrzymania aktualnej próbki sygnału w danej chwili

czasowej o uśrednionej wartości xxxxi,1f , ale za pomocą

dopasowanego wielomianu (4):

xi,1f = ∑ BBBBj,1

nnnn++++1111jjjj====1111 , (4)

gdzie i jest aktualnym cyklem pracy sterownika wyposa-

żonego w algorytm filtracji. Algorytm filtracji został

przedstawiony w formie graficznej na rys. 5.

Pierwszy krok algorytmu wymaga wyznaczenia macierzy

XXXX wedle wzoru (2) dla podanego stopnia wielomianu n

oraz liczby pamiętanych próbek z przeszłości k.

Drugi krok to wyznaczenie macierzy pseudoodwrotnej

WWWW, rezerwacji pamięci dla wektora wartości pamiętanych

próbek z przeszłości FFFF, który na samym początku pracy

sterownika przyjmuje wyłącznie wartości pierwszej

próbki filtrowanego sygnału xxxxt×1. Na potrzeby algoryt-

mu zdefiniowana jest także zmienna iteracyjna 6, ponie-

waż algorytm może zostać zastosowany do danych

zgromadzonych w wektorach - do filtracji offline. Jednak

jego właściwości w przypadku filtracji offline są znacznie

gorsze niż w przypadku regularyzacji Tickonova, więc

algorytm przeznaczony jest przede wszystkim do pracy

w czasie rzeczywistym w cyfrowych układach sterowa-

nia.

Trzeci krok polega na przypisaniu aktualnej próbki

sygnału filtrowanego xxxxt×1 do pierwszego elementu wek-

tora pamięciowego FFFF.

Czwarty krok to wyznaczenie wektora współczynników

dopasowanego wielomianu BBBB dla aktualnie zgromadzo-

nych próbek w wektorze pamięciowym FFFF.

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)

112

Rys. 5 Prezentacja graficzna algorytmu filtracji opartym na PPRLN

W piątym kroku sumowane są wszystkie współczynniki

dopasowanego wielomianu zgromadzone w wektorze BBBB, a

wyliczona suma przypisywana jest do wektora przefil-

trowanego 78,9:

na i-tej pozycji w przypadku filtracji

offline. W przypadku filtracji online algorytm wyliczał

aktualną wartość próbki sygnału po procesie filtracji.

Szósty krok występuje tylko w przypadku filtracji offli-

ne. Podejmowana jest w nim decyzja o zakończeniu

pracy algorytmu wówczas, gdy już odwołano się do

wszystkich t próbek z wektora danych filtrowanego xxxxt×1.

W siódmym kroku dane zgromadzone w wektorze pa-

mięciowym FFFF są kolejkowane (przesuwane o jedną pozy-

cję dalej) Fa,1≔Fb,1, gdzie parametr a∈Z Z Z Z ∧ a∈=2>,>k?, a

parametr b∈Z ∧ b∈=1>,>k-1@.

W ósmym kroku rozpoczynana jest kolejna pętla itera-

cyjna, w przypadku filtracji offline.

W kroku dziewiątym, przy filtracji offline, otrzymuje się

przefiltrowany sygnał zgromadzony w wektorze xxxxi,1f ,

który zgromadzony był uprzednio w wektorze danych

wejściowych xxxxt×1.

Opracowany sposób filtracji charakteryzuje się stosun-

kowo niższym przesunięciem fazowym w stosunku do

filtrów SOI i NOI w użytecznym spektrum częstotliwości

pracy dla systemów telemanipulacyjnych. Potwierdza to

analiza częstotliwościowa stosunku widma transmitancji

sygnałów po filtracji do sygnału przed filtracją dla

sterownika pracującego min. z częstotliwością 10kHz

(rys. 6).

Algorytm posiada trzy możliwości zmiany parametrów

filtracji. Jedną z nich jest liczba próbek sygnału pamię-

tanych z przeszłości k, której zwiększenie wartości

również zwiększa wartość tłumienia. Jednak zwiększenie

liczby pamiętanych próbek z przeszłości k powoduje

także zawężenie pasma przepustowego. Inną możliwością

zmiany parametrów filtracji jest zmiana stopnia dopa-

sowywanego wielomianu n (rys. 7).

Rys. 6. Wpływ ilości pamiętanych próbek z przeszłości przez

algorytm k na parametry filtracji

100

101

102

103

Częstotliwość [Hz]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Am

plit

uda 2

0lo

g10(

Gf(z

))

Charakterystyka Amplitudowo-Częstotliwościowa

- metody filtracji

n = 1, k = 100

n = 1, k = 125

n = 1, k = 150

n = 1, k = 175

100

101

102

103

Częstotliwość [Hz]

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Faza [°]

Charakterystyka Fazowo-Częstotliwościowa

- metody filtracji

n = 1, k = 100

n = 1, k = 125

n = 1, k = 150

n = 1, k = 175

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki

113

Rys. 7. Wpływ stopnia wielomianu n na parametry filtracji

Stopień wielomianu decyduje o zawężeniu pasma przej-

ściowego na charakterystyce fazowej, ale kosztem zwięk-

szenia wzmocnienia amplitudy pasma przejściowego.

Zwiększenie stopnia wielomianu n wpływa także ko-

rzystnie na szerokość pasma przepustowego, jednak

drastycznie zmniejsza tłumienie częstotliwości w paśmie

zaporowym.

Ostatnim czynnikiem decydującym o właściwościach

filtracji jest częstotliwość pracy układu sterowania, w

którym algorytm został zaimplementowany. Częstotli-

wość ta wpływa na szerokość pasma przepustowego

metody filtracji. Zwiększenie częstotliwości pracy ste-

rownika zwiększa szerokość pasma przepustowego bez

zmiany kształtu charakterystyki w paśmie przejściowym

i zaporowym. Fakt ten oznacza, że dla częstotliwości

pracy większych niż te, którym podlegają systemy

telemanipulacyjne, wymagane mogą być układy stero-

wania pracujące z bardzo wysokimi częstotliwościami

zależnymi od pasma przepustowego. Należy jednak

pamiętać, że sam algorytm jest 10-40 razy bardziej

czasochłonny obliczeniowo od filtra SOI o tych samym

współczynniku tłumienia. Dlatego algorytm dedykowany

jest przede wszystkim do implementacji w systemach

pracujących z niskimi częstotliwościami, takimi jak

systemy telemanipulacyjne.

4. EKSPERYMENT

Przedstawiona w pracy metoda filtracji została zweryfi-

kowana na przygotowanym stanowisku badawczym o

strukturze serwoosi hydraulicznej wyposażonej w serwo-

zawór MOOG 760s (rys. 8).

Rys. 8. Stanowisko badawcze (a) fotografia, (b) widok rozstrze-

lony CAD

Uproszczony liniowy manipulator został wyposażony w

dwa niezależne czujniki pomiaru ciśnienia pozwalające

na pomiar ciśnienia w dwóch osobnych komorach siłow-

nika. Pomiar położenia korpusu manipulatora zrealizo-

wano za pomocą dwóch analogowych czujników induk-

cyjnych, z których wyliczana była wartość średnia

położenia korpusu.

Eksperyment dotyczył wykorzystania zaproponowanej

metody filtracji do filtracji sygnałów niezbędnych do

estymacji siłowego oddziaływania środowiska na mani-

pulator zdalnie sterowany - Slave. Są to dwa sygnały:

pomiar pozycji oraz pomiar sygnału sterowania prądu

zaworu.

Pierwszy sygnał, który został przefiltrowany w czasie

rzeczywistym metodą opartą na PPRLN, był pomiarem

pozycji. Sygnał ten charakteryzował się niższą wartością

amplitudy szumu w stosunku do pomiaru prądu. Ampli-

tuda natomiast była na tyle duża, że nie było możliwo-

ści wykorzystania tego sygnału w modelu odwrotnym ze

względu na poziom szumu sygnału pochodnych. Wyniki

pierwszego eksperymentu na sygnale pozycji zostały

zaprezentowane na rys. 9.

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)

114

Rys. 9. Filtracja pomiaru położenia z czujników indukcyjnych

Rys. 10. Filtracja pomiaru sygnału zadanego - prąd zaworu

Algorytm "PPRLN" w tym przypadku nie generował

zauważalnego przesunięcia w czasie sygnału pomiarowe-

go pozycji w stosunku do filtrów SOI i NOI. Mimo

braku widocznego przesunięcia fazowego algorytm

wygładził przebieg na tyle, że możliwe było obliczenie

pochodnych numerycznych z poziomem szumu, który nie

zakłócał pracy systemu. Filtr został także zastosowany

w pętli sprzężenia zwrotnego sterowania pozycją mani-

pulatora Slave, nie doprowadzając do utraty stabilności

systemu.

Natężenie prądu przepływającego przez cewkę zaworu

hydraulicznego jest kluczowym sygnałem z punktu

widzenia opisywanego bezczujnikowego układu sterowa-

nia. W celu wyznaczenia prawidłowej wartości natężenia

prądu (koniecznej do pokonania oporów ruchu środowi-

ska) od bieżącej wartości sygnału należy odjąć wartość z

modelu odwrotnego (dla manipulatora pracującego w

ruchu swobodnym). Wyniki filtracji prądowego sygnału

sterowania zostały przedstawione na rys. 10.

Sygnał sterowania przefiltrowany zaproponowaną meto-

dą również charakteryzuje się znacznie mniejszym

przesunięciem czasowym niż w przypadku filtrów SOI

oraz NOI. Jednak widoczne jest, że dla spektrum często-

tliwości przejściowego algorytm nieznacznie przesuwa w

fazie sygnał sterowania. Są to wartości jednak na tyle

małe, że nie wpływają na pracę systemu.

W dwóch przypadkach eksperymentu do filtracji sygna-

łów wykorzystano algorytm, który w czasie rzeczywi-

stym dopasowywał wielomian 3. stopnia do 150 próbek

sygnału z przeszłości. Poprawa pod względem przesunię-

cia w czasie sygnału była znacząca i wynosiła 20-40ms

względem filtrów SOI i NOI o zbliżonych parametrach

filtracji. Algorytm został zaimplementowany w sterow-

niki dSpace 1104, pracującego z częstotliwością 10kHz

5. PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono metodę filtracji przeznaczoną do

dyskretnych układów sterowania zdalnie sterowanych,

bezczujnikowych systemów obustronnego działania z

kanałem siłowego sprzężenia zwrotnego. Algorytm

oparto na metodzie poszukiwania pseudorozwiązań

równań liniowych nadokreślonych, za pomocą której w

czasie rzeczywistym do zgromadzonych próbek sygnału

dopasowywany był wielomian. Podstawowa cecha algo-

rytmu, w postaci bliskiego zeru przesunięciu fazowego w

przepustowym spektrum częstotliwości, została potwier-

dzona zarówno przez charakterystyki częstotliwościowe,

jak i eksperymenty. Eksperymenty zostały przeprowa-

dzone na hydraulicznym systemie bilateralnym z siło-

wym sprzężeniem zwrotnym. Algorytm filtracji z powo-

dzeniem zaimplementowano w strukturę układu stero-

wania w pętli sprzężenia zwrotnego pozycji manipulatora

Slave, nie powodując utraty stabilności systemu nawet

podczas sztywnego kontaktu manipulatora z otoczeniem.

Prace realizowane były w ramach projektu

PBS3/A6/28/2015 finansowanego przez NCBiR.

0 5 10 15

Czas [s]

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6a) Pomiar położenia korpusu

10.175 10.18 10.185 10.19 10.195

Czas [s]

1.47

1.48

1.49

1.5

1.51

1.52

1.53

b) Pomiar położenia korpusu

(Powiększony a) w przedziale czasu 6.111<t<6.122)

Pomiar

Algorytm "PPRLN"

SOI

NOI

Prą

d w

[m

A]

Prą

d w

[m

A]

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki

115

Literatura

1. Ali F., Jain R., Gupta D., Agarwal A.: Design and analysis of low pass elliptic filter. In: Second International

Conference on Computational Intelligence & Communication Technology (CICT). Ghaziabad, India 2016. p.

449-451.

2. Arcara P., Melchiorri C., Stramigioli S.: Intrinsically passive control in bilateral teleoperation mimo systems. In:

Control Conference (ECC), 2001 European. Porto, Portugal 2001. p. 1180-1185.

3. Atashzar S. F., Polushin I.G., Patel R.V.: Projection-based force reflection algorithms for teleoperated

rehabilitation therapy. In: IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Tokyo, Japan

2013. p. 477-482.

4. Baranowski J., Piątek P., Bauer W., Dziwiński T., Zagorowska M.: Bi-fractional filters. Part 2: Right half-plane

case. In: Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 2014 19th International Conference

Międzyzdroje, Poland 2014. IEEE. p. 369-373.

5. Ben-Dov D., Salcudean S.E.: A force-controlled pneumatic actuator for use in teleoperation masters. In:

Robotics and Automation. Proceedings.IEEE International Conference. Vol. 3. Atlanta, GA, USA 1993. p. 938-

943.

6. Chang Ming-Kun: An adaptive self-organizing fuzzy sliding mode controller for a 2-DOF rehabilitation robot

actuated by pneumatic muscle actuators. "Control Engineering Practice" 2010, Vol. 18, Iss. 1, p. 13-22.

7. Evensen G.: The ensemble Kalman filter: theoretical formulation and practical implementation. "Ocean

Dynamics" 2003, 53(4), p. 343-367.

8. Ferrara E.: Fast implementations of LMS adaptive filters. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal

Processing, 1980, 28(4), p. 474-475.

9. Ferrell W. R.: Remote manipulation with transmission delay. IEEE Transactions on Human Factors in

Electronics, 1965. HFE-6(1), p. 24-32.

10. Ferrell W. R., Sheridan T.B.: Supervisory control of remote manipulation. IEEE Spectrum, 1967, 4(10), p. 81-

88.

11. Ferrell W. R.: Delayed force feedback. Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics

Society, 1966, 8(5), p. 449-455.

12. Filanovsky I. M.: Bessel-Butterworth transitional filters. In: IEEE International Symposium on Circuits and

Systems (ISCAS). Melbourne VIC, Australia, 2014, p. 2105-2108.

13. Hastrudi-Zaad K., Salcudean S. E..: On the use of local force feedback for transparent teleoperation. In:

Robotics and Automation. Proceedings. IEEE International Conference, Vol.3. Detroit, USA 1999, p. 1863-1869.

14. Hulin T., Albu-Schäffer A., Hirzinger G.: Passivity and stability boundaries for haptic systems with time delay.

In: IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2014, 22(4), p. 1297-1309.

15. Hyun C., Park J. H., Kyunghwan K., Park J.: Sliding-mode-based impedance controller for bilateral

teleoperation under varying time-delay. In: Proceedings 2001 ICRA. IEEE International Conference, Seoul,

South Korea 2001, Vol 1, p. 1025-1030.

16. Khadraoui S., Rakotondrabe M., Lutz P.: Interval Modeling and Robust Control of Piezoelectric Microactuators.

In: Control Systems Technology, IEEE Transactions, 2012, 20(2), p. 486-494.

17. Kim W. S.: Developments of new force reflecting control schemes and an application to a teleoperation training

simulator. In: Robotics and Automation, IEEE International Conference, Nice, France 1992, Vol 2, p. 1412-1419.

18. Kim W. S., Hannaford B., Fejczy A. K.: Force-reflection and shared compliant control in operating

telemanipulators with time delay. "Robotics and Automation" IEEE Transactions 1992, 8(2), p. 176-185.

19. Larson R., Keckler W.: Optimum adaptive control in an unknown environment. In: IEEE Transactions on

Automatic Control, 1968, 13(4), p. 438-439.

20. Lawrence D. A.: Stability and transparency in bilateral teleoperation. In: Robotics and Automation, IEEE

Transactions 1993, 9(5), p. 624-637.

21. Lichiardopol S., Van de Wouw N., Nijmeijer H.: Control scheme for human-robot co-manipulation of uncertain,

time-varying loads. In: 2009 American Control Conference. St. Louis, MO, USA, 2009, p. 1485-1490.

22. McClellan J., Parks T., Rabiner L.: A computer program for designing optimum FIR linear phase digital filters

In: IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 1973, 21(6), p. 506-526.

23. Miądlicki K., Pajor M.: Overview of user interfaces used in load lifting devices. "International Journal of

Scientific & Engineering Research" 2015, 6(9), p. 1215-1220.

24. Miądlicki K., Pajor M.: Real-time gesture control of a CNC machine tool with the use Microsoft Kinect sensor.

"International Journal of Scientific & Engineering Research" 2015, 6(9), p. 538-543.

FILTR LS I JEGO IMPLEMENTACJA W STEROWNIKU SYSTEMU MASTER-SLAVE (…)

116

25. Moreau R., Pham M. T., Tavakoli M., Le M. Q., Redarce T.: Sliding-mode bilateral teleoperation control design

for master–slave pneumatic servo systems. "Control Engineering Practice" 2012, 20(6), p. 584-597.

26. Nguyen T., Leavitt J., Jabbari F., Bobrow J. E.: Accurate sliding-mode control of pneumatic systems using low-

cost solenoid valves. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007, 12(2), p. 216-219.

27. Niemeyer G., Slotine J.: Stable adaptive teleoperation. Oceanic Engineering. In: IEEE Journal of, 1991, 16(1), p.

152-162.

28. Mirosław P., Miądlicki K., Saków M.: Kinect sensor implementation in fanuc robot manipulation. "Archives of

Mechanical Technology and Automation" 2014, 34(3), p. 35-44.

29. Piątek P., Baranowski J., Zagórowska M., Bauer W., Dziwiński T.: Bi-fractional filters, part 1: Left half-plane

case. "Advances in Modelling and Control of Non-Integer-Order Systems" 2015, p. 81-90.

30. Polushin I. G., Takhmar A., Patel R. V.: Projection-based force-reflection algorithms with frequency separation

for bilateral teleoperation. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2015, 20(1), p. 143-154.

31. Psychalinos C., Tsirimokou G., Elwakil A. S.: Switched-capacitor fractional-step Butterworth filter design.

"Circuits, Systems, and Signal Processing" 2016, 35(4), p. 1377-1393.

32. Ra W. S., Whang I.: Recursive weighted robust least squares filter for frequency estimation. In: 2006 SICE-

ICASE International Joint Conference. Busan, South Korea 2006, p. 774-778.

33. Rakotondrabe M., Ivan I. A.: Development and force/position control of a new hybrid thermo-piezoelectric

microgripper dedicated to micromanipulation tasks. In: Automation Science and Engineering, IEEE

Transactions 2011, 8(4), p. 824-834.

34. Rakotondrabe M., Ivan I. A., Khadraoui S., Clevy C., Lutz P., Chaillet N.: Dynamic displacement self-sensing

and robust control of cantilever piezoelectric actuators dedicated for microassembly. In: Advanced Intelligent

Mechatronics (AIM), 2010 IEEE/ASME International Conference on. Montreal, QC, Canada 2010, p. 557-562.

35. Rakotondrabe M., Ivan I. A., Khadraoui S., Lutz P., Chaillet N.: Simultaneous displacement/force self-sensing

in piezoelectric actuators and applications to robust control. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2015,

20(2), p. 519-531.

36. Saków M., Miądlicki K., Parus A.: Self-sensing teleoperation system based on 1-dof pneumatic manipulator.

"Journal of Automation, Mobile Robotics and Intelligent Systems" 2017, 11(1), p. 64-76.

37. Saków M., Pajor M., Parus A.: Estymacja siły oddziaływania środowiska na układ zdalnie sterowany ze

sprzężeniem siłowym zwrotnym o kinematyce kończyny górnej. "Modelowanie Inżynierskie" 2016, nr 58,t. 27, s.

113-122.

38. Saków M, Pajor M., Parus A.: Układ sterowania samowyznaczający siły oddziaływania środowiska na

manipulator wykonawczy w czasie pracy systemu telemanipulacyjnego. "Projektowanie Mechatroniczne -

Zagadnienia Wybrane" 2016, Vol. 1., s. 139-150.

39. Saków, M., Parus, A.: Sensorless control scheme for teleoperation with force-feedback, based on a hydraulic

servo-mechanism, theory and experiment. "Measurement Automation Monitoring" 2016, 62(12), p. 417-425.

40. Saków M., Parus A., Miądlicki K.: Predykcyjna metoda wyznaczania siły w siłowym sprzężeniu zwrotnym w

systemie zdalnie sterowanym. "Modelowanie Inżynierskie" 2017, nr 62, t. 31, s. 88-97.

41. Saków M., Parus A., Pajor M., Miądlicki K.: Nonlinear inverse modeling with signal prediction in bilateral

teleoperation with force-feedback. In: Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 22nd

International Conference,Międzyzdroje, 2017, p. 141-146.

42. Sheridan T. B.: Space teleoperation through time delay: review and prognosis. "Robotics and Automation":

IEEE Transactions 1993, 9(5), p. 592-606.

43. Sheridan T. B., William R. F.: Human control of remote computer-manipulators. In: Proceedings of the 1st

International Joint Conference on Artificial Intelligence. 1969, p. 483-494.

44. Keith D., Majewski M.: Intelligent opinion mining and sentiment analysis using artificial neural networks. In:

International Conference on Neural Information Processing. Istanbul, Turkey, 2015, p. 103-110.

45. Keith D., Majewski, M.: Ana Botella Trelis. Intelligent semantic-based system for corpus analysis through

hybrid probabilistic neural networks. In: International Symposium on Neural Networks, 2011, p. 83-92.

46. Tadano K., Kawashima K.: Development of 4-DOFs forceps with force sensing using pneumatic servo system.

In: Proceedings 2006 IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2006. ICRA 2006. Orlando,

FL, USA, 2006, p. 2250-2255.

47. Tavakoli M., Patel R. V., Moallem M.: A force reflective master-slave system for minimally invasive surgery. In:

Intelligent Robots and Systems (IROS 2003). Proceedings. 2003 IEEE/RSJ International Conference. Las Vegas,

NV, USA, 2003, Vol.3, p. 3077-3082

48. Tomovic R., Boni G.: An adaptive artificial hand. In: IRE Transactions on Automatic Control, 1962, 7(3), p. 3-

10

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus

49. Trefethen, Lloyd N, David Bau III.:

50. Tsirimokou G., Psychalinos C., Elwakil

realizations using current-mirrors. I

2015, p. 2337-2340.

51. Wei A., Khosla P. K., Riviere C. N.

actuators in trajectory-tracking applications.

142.

52. Wen-Hong Z., Salcudean S. E.: Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.

In: Automatic Control, IEEE Transactions 2000

53. Whitney D.: State space models of remote manipulation tasks.

1969, 14(6), p. 617-623.

54. Zhai D. H., Xia Y.: Adaptive control for teleoperation system with varying tim

constraints. In: IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016

55. Zhai D. H., Xia Y.: Adaptive control of semi

delays and input uncertainties. In: IEEE Transactions on Cybernetics, 2016

56. Zho M., Ben-Tzvi P.: RML glove

IEEE/ASME Transactions 2015, 20(2)

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Mateusz Saków, Arkadiusz Parus, Karol Miądlicki

117

.: Numerical linear algebra, 1997, Vol. 50.

, Elwakil A. S.: Digitally programmed fractional-order Chebyshe

mirrors. In: 2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS)

C. N.: Feedforward controller with inverse rate-dependent model for piezoelectric

tracking applications. In: Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007

Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.

Transactions 2000, 45(11), p. 1951-1969

State space models of remote manipulation tasks. In: IEEE Transactions on Automatic Control,

control for teleoperation system with varying time Delays and input saturation

IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(11), p. 6921-6929

control of semi-autonomous teleoperation system with asymmetric time

IEEE Transactions on Cybernetics, 2016, PP(99), p. 1-

glove - an exoskeleton glove mechanism with haptics feedback

20(2), p. 641-652.

y na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

order Chebyshev filters

2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS),

dependent model for piezoelectric

Mechatronics, IEEE/ASME Transactions 2007, 12(2), p. 134-

Stability guaranteed teleoperation: an adaptive motion/force control approach.

IEEE Transactions on Automatic Control,

elays and input saturation

asymmetric time-varying

-13.

an exoskeleton glove mechanism with haptics feedback. In: Mechatronics,

y na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.