ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAN´ …pkokocki/Research/dyplom.pdf · 2012. 7. 14. ·...

UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU

Piotr Kokocki

ZAGADNIENIA OKRESOWE

DLA NIELINIOWYCH RÓWNAN

EWOLUCYJNYCH

Praca magisterskaprzygotowana na Wydziale Matematyki i InformatykiUniwersytetu Mikołaja Kopernika w ToruniuPromotor : dr Aleksander Cwiszewski

TORUN 2009

Spis tresci

Wstep 4

Oznaczenia 8

1 Operatory liniowe 101.1 Ogólne własnosci operatorów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Własnosci spektralne operatorów liniowych zwartych . . . . . . . . . . . . 151.3 Własnosci spektralne operatorów liniowych o zwartych rezolwentach . . . 171.4 Generatory C0 półgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Operatory wycinkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Operatory eliptyczne rzedu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Stopien topologiczny 352.1 Stopien topologiczny dla zaburzen generatorów zwartych C0 półgrup . . . . 352.2 Stopien topologiczny dla zaburzen operatorów wycinkowych . . . . . . . . 36

3 Zagadnienia rózniczkowe z warunkiem poczatkowym 443.1 Istnienie i jednoznacznosc rozwiazan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Nieliniowe zaburzenia generatorów zwartych C0 półgrup . . . . . . 453.1.2 Nieliniowe zaburzenia operatorów wycinkowych . . . . . . . . . . 47

3.2 Własnosci operatora przesuniecia wzdłuz trajektorii . . . . . . . . . . . . . 543.2.1 Zaburzenia nieliniowe generatorów zwartych C0 półgrup . . . . . . 543.2.2 Zaburzenia nieliniowych operatorów wycinkowych . . . . . . . . . 60

4 Wzór indeksowy typu Krasnosielskiego 654.1 Wzór indeksowy dla zaburzen generatorów zwartych C0 półgrup . . . . . . 654.2 Wzór indeksowy dla zaburzen operatorów wycinkowych . . . . . . . . . . 66

5 Zagadnienia okresowe 725.1 Metody usredniania dla zaburzen operatorów wycinkowych . . . . . . . . . 735.2 Metody usredniania wzgledem jadra operatora liniowego . . . . . . . . . . 835.3 Kryteria z warunkami typu Landesmana – Lazera . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Dodatek 1006.1 Stopien topologiczny dla pełnociagłych zaburzen identycznosci . . . . . . . 1006.2 Przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Twierdzenia o zwartosci i zbieznosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Nierównosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Literatura 106

2

Wstep

Nieliniowe równania ewolucyjne postaci

(P ) u(t) = −Au(t) + F (t, u(t)), t > 0

gdzie A : X ⊃ D(A) → X jest operatorem liniowym okreslonym na przestrzeni BanachaX , zas odwzorowanie ciagłe F : [0,+∞) × X → X jest nieliniowym i ciagłym zabu-rzeniem, stanowia abstrakcyjne sformułowanie bardzo wielu zagadnien zarówno z równanjak i układów równan rózniczkowych czastkowych, w tym modeli zjawisk przyrodniczych.Zazwyczaj A jest operatorem rózniczkowym, zas X stanowi odpowiednia przestrzen funk-cyjna.

Tak jak w przypadku równan autonomicznych, dla opisu dynamiki istotne jest znalezienierozwiazan stacjonarnych, to w równaniach nieautonomicznych bardzo wazne jest znajdowa-nie rozwiazan okresowych przy załozeniu, ze F jest T–okresowe ( T > 0 ) ze wzgledu naczas. Jesli przyjmiemy, ze operator −A jest generatorem C0 półgrupy, to przy dodatkowychzałozeniach dotyczacych istnienia rozwiazan, z zagadnieniem (P ) mozna stowarzyszyc od-wzorowanie ΦT : X → X dane wzorem

ΦT (x) := u(T ),

gdzie u : [0,+∞) → X jest rozwiazaniem zagadnienia (P ), z warunkiem poczatkowymu(0) = x.Powyzsze odwzorowanie nosi nazwe operatora przesuniecia wzdłuz trajektorii. Zauwazmy,ze jesli F jest T–okresowe i x ∈ X jest punktem stałym odwzorowania ΦT , to jest równiezpoczatkiem rozwiazania okresowego powyzszego zagadnienia.

W przypadku równan rózniczkowych zwyczajnych, jedna z technik znajdowania roz-wiazan okresowych zagadnien nieautonomicznych jest metoda usredniania, która miedzyinnymi rozwazali M. Furi i P. Pera w pracy [24], w przypadku gdy przestrzen stanów jestskonczenie wymiarowa. W przypadku nieskonczenie wymiarowym, A. Cwiszewski w pra-cach [16, 17] rozszerzył te zasade na zagadnienia postaci (P ), gdzie −A jest generatoremzwartej półgrupy, zas F jest odwzorowaniem ciagłym. Nastepnie, A. Cwiszewski wraz zautorem, w pracach [18] i [19] rozszerzyli zasade usredniania w sytuacji, gdy −A generujeC0 półgrupe kontrakcji, a zaburzenie F jest zwarte lub kontraktywne ze wzgledu na miareniezwartosci.Idea metody usredniania polega na rozwazaniu rodziny zagadnien postaci

(Pλ) u(t) = −λAu(t) + λF (t, u(t)), t > 0

gdzie parametr λ jest z przedziału [0, 1] oraz rodziny

(P ) u(t) = −λAu(t) + λF (u(t)), t > 0

gdzie

F (x) =1

T

∫ T

0

F (s, x)ds dla x ∈ X.

4

Jesli przez ΦλT oznaczmy operator przesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia (Pλ), to

przy załozeniu, ze −A generuje zwarta C0 półgrupe i standardowych załozeniach na F , od-wzorowanie Φλ

T jest pełnociagłe dla dowolnego λ ∈ (0, 1].Zasada usredniania mówi, ze dla dowolnego otwartego i ograniczonego zbioru U ⊂ X ta-kiego, ze 0 /∈ (−A+ F )(∂U ∩D(A)), istnieje dostatecznie małe λ > 0 takie, ze Φλ

T (x) 6= xdla x ∈ ∂U oraz

deg(I − ΦλT , U) = deg(−A+ F , U),

gdzie w powyzszej równosci deg oznacza odpowiedni stopien topologiczny. Wówczas, jestjasne, ze wiedza dotyczaca punktów stacjonarnych dla (P ) prowadzi do rozwiazan okreso-wych dla (Pλ).Dowód zasady usredniania składa sie z dwóch zasadniczych etapów. W pierwszym wyka-zuje sie, ze dla dostatecznie małych λ > 0, istnieje homotopia łaczaca Φλ

T z odwzorowaniemΦλT , które jest operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia

u(t) = −λAu(t) + λF (u(t)), t > 0

co implikuje, zedeg(I − Φλ

T , U) = deg(I − ΦλT , U).

Nastepnym etapem jest wykorzystanie wzoru indeksowego typu Krasnosielskiego, którymówi, ze

deg(I − Φ1t , U) = deg(−A+ F , U)

dla dostatecznie małych czasów t > 0, co konczy dowód, gdyz z autonomicznosci wynika,ze Φλ

T = Φ1λT .

W pracy przedstawie metode usredniania dla zaburzen operatorów wycinkowych (z ang.sectorial operators) oraz metode usredniania dla zagadnien z rezonansem, wraz z przykła-dem zastosowan do konkretnych równan rózniczkowych czastkowych. Narzedziem bedziewzór indeksowy Krasnosielskiego, który zostanie udowodniony dla autonomicznych zabu-rzen operatorów wycinkowych. Motywacji dostarczy nam nastepujacy przykład obejmujacyszeroka klase zagadnien rózniczkowych

ut = ∆u+ f(t,∇u) dla t ≥ 0, x ∈ Ω,

gdzie Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, zas f : R × Rn → R jest odwzorowaniem ciagłym.Fakt, ze zaburzenie nieliniowe jest zalezne równiez od ∇u nie pozwala na rozwazanie tegorównania na przestrzeni L2(Ω) i tym samym nie pozwala na zastosowanie poprzednich wy-ników.

Nastepnie rozwazmy zagadnienie z rezonansem postaci

(Pε) u(t) = −Au(t) + εF (t, u(t)), t > 0

gdzie ε ∈ [0, 1] jest dodatkowym parametrem, −A generuje zwarta C0 półgrupe oraz 0 jestwartoscia własna A, zas F jest ciagłym zaburzeniem. Zagadnienie (Pε) było przedmiotemrozwazan A. Schiaffino i K. Schmitt’a w pracy [40], gdzie rozwiazan okresowych szukanoza pomoca odpowiednich operatorów w przestrzeniach funkcji ciagłych o wartosciach w X .

5

W pracy zastosuje podejscie oparte na operatorze przesuniecia wzdłuz trajektorii, co pozwolina pominiecie stosowanych przez autorów niewygodnych załozen i uzyskanie wyników wformie wygodnej do zastosowan. Podejscie to, wydaje sie byc równiez prostsze.

Uzyskane wyniki znajduja zastosowania w badaniu równan parabolicznych z rezonansemprzy uzyciu tzw. warunków typu Landesmana–Lazera. Mianowicie, H. Brezis i L. Nirenbergw pracy [11] rozpatrywali zagadnienia paraboliczne postaci

ut = ∆u+ λku+ f(t, u) w (0, T ]× Ωu(t, x) = 0 na [0, T ]× ∂Ωu(0, x) = u(T, x) w [0, T ]× Ω,

gdzie T > 0, zas λk jest pewna wartoscia własna operatora−∆, gdzie ∆ jest operatorem La-place’a z warunkami brzegowymi Dirichleta. Jeden z głównych rezultatów ich pracy mówi,ze jesli spełniona jest wersja warunku typu Landesmana–Lazera dla równan parabolicznych,to powyzsze zagadnienie ma rozwiazanie (rozumiane w pewnym sensie). Wykorzystujacotrzymane wczesniej wyniki dotyczace metod usredniania w sytuacji rezonansu, udowod-nimy rezultat korespondujacy z twierdzeniem Brezisa–Nirenberga. Zaleta tego podejscia jestfakt, ze otrzymane metody pozwola na dokładne wyliczenia stopnia topologicznego opera-tora przesuniecia wzdłuz trajektorii, co moze miec znaczenie, na przykład przy badaniu iloscirozwiazan.

Niniejsza praca zorganizowana jest w nastepujacy sposób

• w Rozdziale 1 wprowadzimy i omówimy podstawowe pojecia i fakty zwiazane z ope-ratorami liniowymi, które bedziemy wykorzystywac w dalszej czesci pracy;

• w Rozdziale 2 naszkicujemy teorie stopnia topologicznego dla zaburzen generatorówzwartych C0 półgrup, po czym skonstruujemy ten niezmiennik topologiczny dla przy-padku zaburzen operatorów wycinkowych;

• w Rozdziale 3 bedziemy rozpatrywac zagadnienia poczatkowe, w przypadku gdy prawastrona równania jest nieliniowym zaburzeniem generatora zwartej C0 półgrupy, jak i wprzypadku, gdy prawa strona jest nieliniowym zaburzeniem operatora wycinkowego,zas same zaburzenie jest okreslone na przestrzeni ułamkowej wyznaczonej przez ope-rator wycinkowy. Nastepnie podamy twierdzenia mówiace o ciagłej zaleznosci słabychrozwiazan w zaleznosci od parametru i warunku poczatkowego, jak równiez udowod-nimy zwartosc operatorów przesuniecia wzdłuz trajektorii;

• w Rozdziale 4 podamy ogólna wersje wzoru typu Krasnosielskiego dla zaburzen gene-ratorów zwartych C0 półgrup, po czym udowodnimy wersje tego wzoru dla zaburzenoperatorów wycinkowych;

• w Rozdziale 5 zajmiemy sie zasada usredniania dla nieautonomicznych zaburzen ope-ratorów wycinkowych, w dowodzie której uzyjemy udowodnionego w poprzednimrozdziale wzoru Krasnosielskiego. Ponadto bedziemy rozwazac metody usrednianiawzgledem jadra operatora liniowego, które posłuza nam do szukania rozwiazan okre-sowych zagadnien z rezonansem.

6

Zdaniem autora do najwazniejszych wyników tej pracy naleza

• konstrukcja stopnia topologicznego dla zaburzen operatorów wycinkowych, czyli Twier-dzenie 2.8,

• wersja wzoru indeksowego Krasnosielskiego dla zaburzen operatorów wycinkowych,czyli Twierdzenie 4.3 i Twierdzenie 4.4,

• zasada usredniania dla nieautonomicznych zaburzen operatorów wycinkowych, czyliTwierdzenie 5.3,

• zasada usredniania wzgledem jadra operatora liniowego wraz ze wzorem indeksowym,czyli Twierdzenie 5.8,

• twierdzenia dotyczace zagadnien okresowych z rezonansem wraz ze wzorem indekso-wymi, czyli Twierdzenie 5.13 i Twierdzenie 5.15.

W tym miejscu autor składa podziekowania Panu dr Aleksandrowi Cwiszewskiemu zaliczne dyskusje, okazana zyczliwosc oraz za cenne porady dotyczace zagadnien poruszanychw tej pracy.

7

Oznaczenia

Przez C i R bedziemy oznaczac odpowiednio ciała liczb zespolonych i rzeczywistych.Jesli z ∈ C, to przez re z oznaczamy czesc rzeczywista liczby zespolonej z, zas przez im zjej czesc urojona. Moduł liczby zespolonej z bedziemy oznaczac jako

|z| :=√

( re z)2 + ( im z)2.

Argumentem liczby zespolonej z, z 6= 0 nazywamy zbiór

arg (z) := ϕ ∈ R | |z|(cosϕ+ i sinϕ) = z,

podczas gdy argumentem głównym jest funkcja Arg : C \ 0 → (−π, π] dana jako

Arg (z) := arg (z) ∩ (−π, π].

Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Jesli dane sa zbiór A ⊂ X , punkt x ∈ X orazliczba r > 0, to

B(x, r) := y ∈ X | d(x, y) < r, D(x, r) := y ∈ X | d(x, y) ≤ r,

Oε(A) := y ∈ X | istnieje x ∈ A takie, ze d(x, y) ≤ ε,

dist(x,A) := infy∈A

d(x, y).

Ponadto przez clA (clX A) lub A bedziemy oznaczac domkniecie zbioru A wzgledem prze-strzeniX , zas przez ∂A (∂XA) bedziemy rozumiec brzeg zbioruAwzgledem tej przestrzeni.Jesli (X, d1), (Y, d2) sa przestrzeniami metrycznymi takimi, ze X jest zwarta, to przezC(X, Y ) bedziemy rozumiec przestrzen metryczna funkcji ciagłych dana jako zbiór

C(X, Y ) := u : X → Y | u jest funkcja ciagła

wraz z metryka jednostajna

d∞(u, v) := supx∈X

d2(u(x), v(x)).

Niech teraz (X, ‖ · ‖) bedzie przestrzenia unormowana nad ciałem K, gdzie K = C lubK = R. Jesli dane sa zbiory A,B ⊂ X oraz skalar λ ∈ K, to

A+B := x+ y | x ∈ A, y ∈ B, λA := λ x | x ∈ A.

Jesli M , N sa dwiema podprzestrzeniami liniowymi przestrzeniX takimi, ze M ∩N = 0,to przez M ⊕ N oznaczamy sume prosta przestrzeni M i N . Jesli dodatkowo U ⊂ M orazV ⊂ N sa podzbiorami tych przestrzeni, to przyjmujemy U ⊕ V := U + V . Uwypukleniemdomknietym zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór

convA :=⋂B ⊂ X | B jest zbiorem domknietym wypukłym oraz A ⊂ B.

8

Niech A : X ⊃ D(A)→ X bedzie operatorem liniowym. Wówczas przyjmujemy, ze

KerA := x ∈ X | Ax = 0, Im A := Ax | x ∈ D(A).

Ponadto przez przestrzen operatorów ograniczonych rozumiemy zbiór

L(X) := B : X → X | B jest ciagłym operatorem liniowym

wraz z norma‖B‖ := sup

‖x‖≤1

‖Bx‖.

Załózmy teraz, ze na przestrzeniX mamy dodatkowo okreslony iloczyn skalarny (·, ·), którywyznacza wyjsciowa norme ‖ · ‖. Jesli N ⊂ X jest podprzestrzenia X , to mozemy okreslicdopełnienie ortogonalne przestrzeni N jako

N⊥ := x ∈ X | (x, y) = 0, y ∈ N.

9

1 Operatory liniowe

W tym rozdziale opiszemy najwazniejsze elementy teorii operatorów. Zaczniemy od po-dania podstawowych definicji, a nastepnie omówimy własnosci spektralne zwartych ope-ratorów liniowych, które nastepnie przeniesiemy na przypadek dowolnych, niekoniecznieograniczonych, operatorów liniowych o zwartych rezolwentach.Wazna klasa operatorów, na której beda opierac sie nasze rozwazania beda stanowic gene-ratory C0 półgrup wsród, których wyrózniamy operatory wycinkowe wyznaczajace skaleprzestrzeni ułamkowych.Na koniec omówimy przykłady operatorów liniowych jakimi beda dla nas symetryczne ope-ratory eliptyczne drugiego rzedu.

1.1 Ogólne własnosci operatorów liniowych

Niech X bedzie przestrzenia Banacha z norma ‖ · ‖ nad ciałem K = C lub R orazniech A : X ⊃ D(A) → X bedzie operatorem liniowym, byc moze nieograniczonym, naprzestrzeni X . Wykresem operatora A bedziemy nazywac podprzestrzen liniowa przestrzeniX ×X dana jako

Γ(A) = (x, y) ∈ X ×X | x ∈ D(A), y = Ax.

Powiemy, ze operatorA jest domkniety, jesli Γ(A) ⊂ X×X jest domknieta podprzestrzenia.Na przestrzeni liniowej D(A) zdefiniujmy norme wykresowa ‖ · ‖D(A) wzorem

‖x‖D(A) := ‖x‖+ ‖Ax‖ dla x ∈ D(A).

Nietrudno zauwazyc, ze D(A) z norma ‖ · ‖D(A) jest przestrzenia Banacha wtedy i tylkowtedy, gdy operator A jest domkniety. Dodatkowo, jesli operator A jest domkniety i jestbijekcja, działajaca z D(A) do X , to norma ‖ · ‖1 dana wzorem

‖x‖1 := ‖Ax‖ dla x ∈ D(A)

jest równowazna z ‖ · ‖D(A). Rzeczywiscie, z twierdzenia Banacha o domknietym wykresiemamy, ze A−1 : X → X jest operatorem ciagłym, czyli ‖A−1x‖ ≤ ‖A−1‖‖x‖ dla x ∈ X .Dlatego, dla x ∈ D(A)

‖x‖1 ≤ ‖x‖D(A) = ‖x‖+ ‖Ax‖ ≤ ‖A−1‖‖Ax‖+ ‖Ax‖ = (‖A−1‖+ 1)‖x‖1,

co dowodzi równowaznosci powyzszych norm.

Niech H bedzie teraz przestrzenia Hilberta z iloczynem skalarnym (·, ·) : H ×H → K,zas A : D(A) → H operatorem liniowym takim, ze D(A) ⊂ H jest gesta podprzestrzenia.Przez operator hilbertowsko sprzezony lub po prostu sprzezony z operatorem A bedziemyrozumiec operator liniowy A∗ : H ⊃ D(A∗)→ H taki, ze

D(A∗) := x ∈ H | istnieje y ∈ H takie, ze (Az, x) = (z, y) dla z ∈ D(A),A∗x := y, gdzie y jest jak w definicji D(A∗).

10

Wobec załozenia D(A) = H , operator sprzezony A∗ jest poprawnie okreslony.

Powiemy, ze operator A jest samosprzezony (odpowiednio symetryczny), jesli A = A∗

(odpowiednio A ⊂ A∗), przy czym inkluzje rozumiane sa w sensie wykresów.

Nietrudno zauwazyc, ze jesli D(A) = H oraz A : D(A) → H jest ograniczony, tosymetrycznosc operatora A automatycznie implikuje jego samosprzezonosc. Ponadto jesliA : D(A) → H jest gesto okreslonym, niekoniecznie domknietym operatorem liniowymna przestrzeni Hilberta H , to A∗ jest juz operatorem domknietym. Wynika stad, ze operatorsamosprzezony jest zawsze domkniety.

Lemat 1.1 Jesli operator liniowy A : H ⊃ D(A) → H , gdzie H przestrzenia Hilberta H ,jest gesto okreslony, symetryczny oraz Im (λI − A) = X dla pewnej liczby λ ∈ R, to jestsamosprzezony.

Dowód. Zgodnie z definicja operatora sprzezonego mamy, ze

(λv − Av, u) = (v, λu− A∗u) dla v ∈ D(A), u ∈ D(A∗). (1.1)

Wynika stad, ze λI − A∗ jest róznowartosciowy. Istotnie, jesli λw − A∗w = 0 dla pewnegow ∈ D(A∗), to korzystajac z (1.1) mamy, ze (λv − Av,w) = 0 dla v ∈ D(A). Zgodnie zzałozeniem mozemy wybrac v0 ∈ D(A) takie, ze λv0 − Av0 = w. Stad (w,w) = (λv0 −Av0, w) = 0 i w konsekwencji w = 0. Niech teraz u ∈ D(A∗). Istnieje u0 ∈ D(A) taki,ze λu0 − Au0 = λu − A∗u. Skoro A ⊂ A∗, mamy wtedy λu0 − A∗u0 = λu − A∗u, cow zwiazku z róznowartosciowoscia operatora λI − A∗ implikuje, ze u0 = u i Au0 = A∗u.Dlatego (u,A∗u) ∈ A i w konsekwencji A = A∗.

Niech teraz X bedzie przestrzenia Banacha nad ciałem K = C i niech, tak jak poprzed-nio, A : D(A) → X bedzie operatorem liniowym. Zbiorem rezolwenty operatora A nazy-wamy zbiór

%(A) := λ ∈ C | λI − A : D(A)→ X jest bijekcja oraz (λI − A)−1 ∈ L(X).

Dla λ ∈ %(A) bedziemy oznaczac

R(λ : A) := (λI − A)−1 : X → X.

Nietrudno sprawdzic, ze zachodzi nastepujaca tozsamosc rezolwenty

(λI − A)−1 − (µI − A)−1 = (µ− λ)(λI − A)−1(µI − A)−1 dla λ, µ ∈ %(A).

Przez spektrum (widmo) operatora A, bedziemy rozumiec dopełnienie zbioru rezolwenty wpłaszczyznie zespolonej

σ(A) := C \ %(A).

W spektrum σ(A) operatora A mozemy wyróznic trzy wzajemnie rozłaczne zbiory: spek-trum punktowe σp(A), spektrum ciagłe σc(A) i spektrum residualne σr(A) zdefiniowaneodpowiednio jako

σp(A) := λ ∈ σ(A) | λx− Ax = 0 dla pewnego x 6= 0σc(A) := λ ∈ σ(A) | Ker(I − A) = 0, Im (I − A) ⊂ X jest gesty, Im (I − A) 6= Xσr(A) := λ ∈ σ(A) | Ker(I − A) = 0, Im (I − A) ⊂ X nie jest gesty .

11

W przypadku gdy operator A jest domkniety, mozna sprawdzic, ze

σ(A) = σp(A) ∪ σc(A) ∪ σr(A).

Niech X bedzie przestrzenia Banacha nad ciałem K = R oraz niech A : D(A)→ X bedzieoperatorem liniowym. W tym przypadku równiez mozliwe jest rozpatrywanie zespolonegospektrum i zbioru rezolwenty operatora A. Przedstawiona ponizej metode mozna znalezcmiedzy innymi w [3] lub [20].Dla rzeczywistej przestrzeni BanachaX zdefiniujmy przestrzen liniowaXC nad ciałem liczbzespolonych C w nastepujacy sposób. Przyjmujemy, ze XC := X × X wraz z działaniami+ : XC ×XC → C oraz · : C×XC → C danymi jako

(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2) dla (x1, y1), (x2, y2) ∈ XC,

(α + βi) · (x, y) := (αx− βy, αy + βx) dla α + βi ∈ C, (x, y) ∈ XC.

PrzestrzenXC bedziemy nazywac kompleksyfikacja rzeczywistej przestrzeni liniowejX . Do-wolny element (x, y) ∈ XC bedziemy formalnie oznaczac przez x + yi. Zauwazmy, ze Xjest w naturalny sposób podprzestrzenia liniowa przestrzeni XC, w tym sensie ze, istniejaodwzorowania i, j, gdzie j : R→ C jest monomorfizmem ciał, zas i : X → XC jest odwzo-rowaniem róznowartosciowym takie, ze

i(x+ y) = i(x) + i(y) dla x, y ∈ X,i(λ · x) = j(λ) · j(x) dla λ ∈ R, x ∈ X.

W naszym przypadku odwzorowania i oraz j sa dane jako i(x) := x (= x + 0i) orazj(λ) := λ (= λ+ 0i).Na przestrzeni XC okreslamy norme

‖x+ yi‖C := supθ∈[−π,π]

‖ sin θx+ cos θy‖. (1.2)

W przypadku gdy H jest rzeczywista przestrzenia Hilberta wraz z iloczynem skalarnym( · , · ) : H × H → R, norme kompleksyfikacji mozna zdefiniowac w bardziej naturalnysposób. W tym celu kładziemy

‖x+ yi‖C :=√‖x‖2 + ‖y‖2 dla x+ yi ∈ HC. (1.3)

Nietrudno sprawdzic, ze (1.3) zadaje norme na HC, która pochodzi od iloczynu skalarnego( · , · )C : HC ×HC → C danego wzorem

(x1 + y1i, x2 + y2i)C := (x1, x2) + (y1, y2)− (x1, y2)i+ (y1, x2)i,

dla (x1, y1), (x2, y2) ∈ HC i ponadto normy zadane przez wzory (1.2) i (1.3) sa równowazne.Niemniej jednak nalezy pamietac, ze w przypadku dowolnej przestrzeni Banacha, wzór (1.3)nie zadaje normy poniewaz nie jest spełniony warunek jednorodnosci. Warto równiez odno-towac, ze jesliX z norma ‖·‖ jest przestrzenia Banacha, to jej kompleksyfikacjaXC z norma‖ · ‖C równiez okazuje sie byc przestrzenia Banacha.

12

Jesli X jest przestrzenia liniowa nad ciałem K = R oraz F ⊂ X jest jej skonczeniewymiarowa podprzestrzenia, to w naturalny sposób FC jest podprzestrzenia XC. Ponadtojesli zbiór e1, e2, . . . , ek, gdzie k = dimF jest baza przestrzeni F , to zbiór

e1 + e1i, e2 + e2i, . . . , ek + eki

jest baza przestrzeni FC. Wynika stad, ze

dimR F = dimC FC. (1.4)

Niech teraz A : D(A) → X bedzie operatorem liniowym. Definiujemy operator liniowyAC : XC ⊃ D(AC)→ XC jako

D(AC) := x+ yi ∈ XC | x, y ∈ D(A)AC(x+ yi) := Ax+ Ayi.

Nietrudno sprawdzic, ze odwzorowanieAC jest operatorem liniowym naXC, który bedziemynazywac kompleksyfikacja operatora A. Jesli załozymy, ze B : X → X jest operatoremograniczonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X , to BC jest równiez operatorem ogra-niczonym na przestrzeni XC oraz ‖BC‖C = ‖B‖, gdzie

‖BC‖C = sup‖z‖C≤1

‖Bz‖C.

Podobnie, jesli B : X → X jest zwartym operatorem, to zwarty jest równiez operator BC.Jesli A : H ⊃ D(A) → H jest operatorem samosprzezonym okreslonym na rzeczywistejprzestrzeni Hilberta H , to jego kompleksyfikacja AC jest równiez operatorem samosprzezo-nym.

W dalszym ciagu zakładamy, ze A : D(A) → X jest operatorem liniowym okreslonymprzestrzeni Banacha X nad ciałem K = R. Przez zespolony zbiór rezolwenty operatoraA : D(A)→ X okreslonego na rzeczywistej przestrzeni Banacha X bedziemy rozumiec

%(A) := %(AC).

Podobnie przez spektrum zespolone operatora A rozumiemy

σ(A) := σ(AC),

zas przez zespolone spektrum punktowe operatora A rozumiemy

σp(A) := σp(AC).

Przez rzeczywisty zbiór rezolwenty operatora A bedziemy rozumiec

%R(A) := λ ∈ R | λI − A : D(A)→ X jest bijekcja oraz (λI − A)−1 ∈ L(X).

Dopełnieniem tego zbioru na osi rzeczywistej jest rzeczywiste spektrum operatora A okre-slone jako

σR(A) := R \ %R(A).

13

Ponadto rzeczywistym spektrum punktowym nazywamy zbiór

σp,R(A) := λ ∈ R | λx− Ax 6= 0 dla pewnego x ∈ X.

Jak nietrudno sie przekonac, dla operatora liniowego A : D(A) → X okreslonego na rze-czywistej przestrzeni Banacha X jego rzeczywiste i zespolone zbiory rezolwenty sa ze sobapowiazane. Jesli λ ∈ %R(A), to równiez λ ∈ %(A) = %(AC) oraz

R(λ : AC) = R(λ : A)C. (1.5)

Niech teraz X bedzie przestrzenia Banacha nad ciałem K = C lub R. Izomorfizmem prze-strzeni X bedziemy nazywac dowolne odwzorowanie B : X → X , które jest liniowe, ciagłei odwracalne. Symbolem G(X) bedziemy oznaczac zbiór wszystkich izomorfizmów prze-strzeni X . Jesli B ∈ G(X), to B−1 ∈ L(X), co jest konsekwencja twierdzenia Banacha oodwzorowaniu odwrotnym.

Przydatny bedzie nastepujacy

Lemat 1.2 [23] Niech przestrzen X bedzie taka jak powyzej. Wówczas(a) zbiór G(X) jest otwarty w L(X),(b) jesli B ∈ L(X) jest operatorem ograniczonym takim, ze ‖B‖ < 1, to operator I − B

jest odwracalny,(c) odwzorowanie B 7→ B−1 okreslone na G(X) o wartosciach w przestrzeni L(X) jest

ciagłe.

Niech λ0 ∈ %(A). Zauwazmy, ze wtedy

λI − A = (I − (λ0 − λ)R(λ0 : A))(λ0I − A) (1.6)

dla dowolnego λ ∈ K. Z punktu (b) Lematu 1.2 wynika, ze jesli λ ∈ K jest takie, ze

|λ− λ0| < ε0 := ‖R(λ0 : A)‖−1,

to operator I−(λ0−λ)R(λ0 : A) jest odwracalny. Z równosci (1.6) mamy, ze jesli |λ−λ0| <ε0, to λ ∈ %(A) oraz

R(λ : A) = R(λ0 : A)(I − (λ0 − λ)R(λ0 : A))−1. (1.7)

Wynika stad, ze %(A) ⊂ K jest zbiorem otwartym, a ponadto z punktu (c) Lematu 1.2 irównosci (1.7) wnosimy, ze odwzorowanie λ 7→ R(λ : A) okreslone na B(λ0, ε0) ⊂ K owartosciach w L(X) jest ciagłe.

Podsumowujac mamy nastepujace

Stwierdzenie 1.3 JesliA : D(A)→ X jest operatorem liniowym okreslonym na przestrzeniBanacha X nad ciałem K = C lub R, to

(a) zbiór rezolwenty %(A) jest otwarty w K,(b) odwzorowanie λ 7→ R(λ : A) okreslone na %(A) o wartosciach w L(X) jest ciagłe.

Uwaga 1.4 Mozna sprawdzic, ze odwzorowanie λ 7→ R(λ : A) okreslone na %(A) o warto-sciach w L(X) jest równiez analityczne.

14

1.2 Własnosci spektralne operatorów liniowych zwartych

W biezacych rozwazaniach bedziemy zakładac, ze X jest przestrzenia Banacha nad cia-łem K = C lub R.

Powiemy, ze operator liniowy T : X → X okreslony na przestrzeni X jest zwarty, jesliobraz domknietej kuli jednostkowej T (B(0, 1)) jest zbiorem relatywnie zwartym. Nietrudnozauwazyc, ze jesli operator liniowy T jest zwarty, to jest równiez ograniczony.

Naszym celem bedzie charakteryzacja spektrum operatora zwartego oraz opis jego prze-strzeni własnych, której dostarcza teoria Riesza-Schaudera. Zaczniemy od sformułowaniatwierdzenia o postaci widma operatora zwartego, którego dowód mozna znalezc w [13], [31]lub [12].

Twierdzenie 1.5 Załózmy, ze dimX =∞ i T : X → X jest operatorem zwartym. Wtedy(a) 0 ∈ σ(T ),(b) σ(T )− 0 = σp(T )− 0,(c) zbiór σ(T )−0 jest skonczony albo σ(T )−0 składa sie z wyrazów pewnego ciagu

zbieznego do 0.

Przejdziemy teraz do charakteryzacji przestrzeni własnych operatorów zwartych. Nietrudnozauwazyc, ze dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 zachodza nastepujace inkluzje

Ker(I − T )n ⊂ Ker(I − T )n+1 oraz Im (I − T )n+1 ⊂ Im (I − T )n.

Dla dowolnego λ ∈ K przezN(T )λ, R(T )λ ⊂ X bedziemy rozumiec przestrzenie okreslonejako

N(T )λ :=∞⋃n=1

Ker(λI − T )n, R(T )λ :=∞⋂n=1

Im (λI − T )n.

Dowód ponizszego Twierdzenia mozna znalezc w [31] lub [12]

Twierdzenie 1.6 Niech T : X → X bedzie operatorem liniowym zwartym oraz niech λ ∈ Kbedzie taka, ze λ 6= 0. Wtedy

(a) dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 przestrzen Im (λI − T )n jest domknieta,(b) Ker(λI − T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λI − T ) = X ,(c) dimN(T )λ <∞,(d) przestrzen X rozkłada sie na sume prosta X = N(T )λ ⊕R(T )λ.

Niech λ ∈ σp(T ) bedzie elementem spektrum punktowego operatora zwartego T : X → Xokreslonego na zespolonej przestrzeni Banacha X . Przez krotnosc geometryczna wartosciwłasnej λ bedziemy rozumiec

n(T )geoλ := dimC Ker(λI − T ),

natomiast przez jej krotnosc algebraiczna bedziemy rozumiec

n(T )algλ := dimCN(T )λ.

15

Na mocy punktu (c) Twierdzenia 1.6 mamy, ze dimN(T )λ < ∞, co pokazuje, ze zarównokrotnosc geometryczna jak i algebraiczna sa liczbami skonczonymi.Jesli z kolei λ ∈ σp(T ) jest wartoscia własna operatora zwartego T : X → X okreslonegona rzeczywistej przestrzeni Banacha X , to przez krotnosc geometryczna wartosci własnej λbedziemy rozumiec

n(T )geoλ := n(TC)geoλ ,

natomiast przez jej krotnosc algebraiczna bedziemy rozumiec

n(T )algλ := n(TC)algλ .

Jak wczesniej odnotowalismy, TC : XC → XC jest operatorem zwartym, jesli T : X → Xjest zwarty, a zatem powyzsze definicje maja sens.

Wniosek 1.7 Jesli T : X → X jest zwartym operatorem liniowym okreslonym na rzeczywi-stej przestrzeni Banacha X , zas λ ∈ σp,R(A), to

n(T )geoλ = dimR Ker(λI − T ), (1.8)

n(T )algλ = dimRN(T )λ. (1.9)

Dowód. Skoro λ jest liczba rzeczywista, dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 mamy(λI − TC)n = ((λI − T )n)C. Dlatego

Ker(λI − TC)n = Ker((λI − T )n)C = (Ker(λI − T )n)C. (1.10)

Zatem z (1.4), dla dowolnego n ≥ 1

dimC Ker(λI − TC)n = dimR Ker(λI − T )n.

Kładac w powyzszej równosci n := 1 otrzymujemy (1.8). Ponadto zgodnie z punktem (c)Twierdzenia 1.6 istnieja n0, n1 ≥ 1 takie, ze

N(TC)λ = Ker(λI − TC)n0 oraz N(T )λ = Ker(λI − T )n1 .

Sprawdzimy teraz, ze

Ker(λI − TC)n0 = (Ker(λI − T )n1)C. (1.11)

Jesli z ∈ (Ker(λI − T )n1)C, to zgodnie z (1.10) mamy, ze z ∈ Ker(λI − TC)n1 ⊂ N(AC)λ.Jesli z := x+ iy ∈ Ker(λI−TC)n0 , to z ∈ (Ker(λI−T )n0)C, co w konsekwencji implikuje,ze x, y ∈ Ker(λI − T )n0 ⊂ N(T )λ. Dlatego z ∈ (Ker(λI − T )n1)C, co dowodzi powyzszejrównosci. Zatem, na podstawie (1.11) mamy, ze

n(T )algλ = dimC Ker(λI − TC)n0 = dimR Ker(λI − T )n1 = dimRN(T )λ,

skad otrzymujemy (1.9).

16

1.3 Własnosci spektralne operatorów liniowych o zwartych rezolwen-tach

W dalszym ciagu bedziemy zakładac, ze X jest przestrzenia Banacha nad ciałem K = Club R z norma ‖ · ‖.

Niech A : D(A) → X bedzie operatorem liniowym na przestrzeni X . Powiemy, ze Ama zwarte rezolwenty, jesli %(A) 6= ∅ i dla kazdego λ ∈ %(A) operator liniowy R(λ : A) jestzwarty.Jako uwage mozemy odnotowac fakt, ze jesli operator R(λ : A) jest zwarty dla pewnegoλ ∈ %(A), to jest on zwarty dla dowolnego elementu ze zbioru rezolwenty. Jest to prostakonsekwencja tozsamosci rezolwenty.

Dla kazdego naturalnego n ≥ 1 przez n–ta potege operatora A bedziemy rozumiec ope-rator liniowy An : D(An)→ X okreslony indukcyjnie dla dowolnego n ≥ 2 jako

D(An) := x ∈ D(An−1) | An−1x ∈ D(A),Anx := AAn−1x, x ∈ D(An).

Uwaga 1.8 Załózmy, ze dane jest λ ∈ %(A) oraz n ≥ 1. Wtedy, nietrudno sprawdzic, ze

(λI − A)D(An+1) = D(An),

co mozna zapisac jako R(λ : A)D(An) = D(An+1).

Podobnie jak poprzednio, dla dowolnego λ ∈ K przez N(A)λ, R(A)λ ⊂ X bedziemy rozu-miec przestrzenie okreslone jako

N(A)λ :=∞⋃n=1

Ker(λI − A)n, R(A)λ :=∞⋂n=1

Im (λI − A)n.

Odnotujmy teraz nastepujace kluczowe zaleznosci

Lemat 1.9 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem liniowym. Ponadto niech ρ ∈ %(A)oraz niech λ 6= ρ. Wówczas

(a) Ker(λI − A)n = Ker((I − (ρ− λ)(ρI − A)−1)n),(b) Im (λI − A)n = Im ((I − (ρ− λ)(ρI − A)−1)n),

dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1.

Dowód. Zaczniemy od wykazania, ze(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n(ρI − A)nx = (λI − A)nx oraz (1.12)

(ρI − A)n(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)nx = (λI − A)nx dla x ∈ D(An). (1.13)

Aby to zrobic, zauwazmy najpierw, ze(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)nx =

n∑k=0

(n

k

)(−1)k(ρ− λ)k(ρI − A)−kx (1.14)

17

dla x ∈ X . Jesli teraz x ∈ D(An), to z równosci (1.14) i Uwagi 1.8 otrzymujemy, ze(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)nx ∈ D(An)

oraz

(ρI − A)n(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)nx = (ρI − A)n

n∑k=0

(n

k

)(−1)k(ρ− λ)k(ρI − A)−kx

=n∑k=0

(n

k

)(−1)k(ρ− λ)k(ρI − A)n−kx

= ((ρI − A)− (ρ− λ)I)nx = (λI − A)nx,

co konczy dowód równosci (1.13). Powołujac sie teraz na (1.14), otrzymujemy

(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n(ρI − A)nx =

n∑k=0

(n

k

)(−1)k(ρ− λ)k(ρI − A)−k(ρI − A)nx

=n∑k=0

(n

k

)(−1)k(ρ− λ)k(ρI − A)n−kx

= ((ρI − A)− (ρ− λ)I)nx = (λI − A)nx,

co z kolei konczy dowód równosci (1.12).Korzystajac z równosci (1.13) oraz z faktu, ze odwzorowanie (ρI − A)n : D(An)→ X jestróznowartosciowe, dla dowolnego n ≥ 1, otrzymujemy

Ker(λI − A)n = Ker(ρI − A)n(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n= Ker

(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n,

co dowodzi punktu (a) naszego lematu.Aby dowiesc punktu (b) zauwazmy, ze na mocy Uwagi 1.8

Im (ρI − A)n = (ρI − A)nD(An) = (ρI − A)n−1D(An−1) = . . . = (ρI − A)D(A) = X,

co w połaczeniu z równoscia (1.12) implikuje, ze

Im(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n=(I − (ρ− λ)(ρI − A)−1

)n(ρI − A)nD(An)

= (λI − A)nD(An) = Im (λI − A)n.

Opierajac sie na Twierdzeniu 1.6 i Lemacie 1.9 mozemy wywnioskowac nastepujace

Twierdzenie 1.10 Niech A : D(A)→ X bedzie operatorem liniowym o zwartych rezolwen-tach. Wtedy

(a) Im (λI − A)n jest domknieta podprzestrzenia przestrzeni X ,(b) Ker(λI − A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λI − A) = X ,(c) dimN(A)λ <∞,

18

(d) przestrzen X rozkłada sie na sume prosta X = N(A)λ ⊕R(A)λ.

Ponizszy wniosek opisuje postac spektrum operatora majacego zwarte rezolwenty

Wniosek 1.11 Jesli operator liniowy A : D(A) → X ma zwarte rezolwenty, to σ(A) =σp(A). Ponadto zbiór σp(A) jest skonczony lub składa sie z wyrazów ciagu (λn) takiego, ze|λn| → +∞ przy n→ +∞.

Dowód. Niech µ ∈ σ(A). Udowodnimy, ze Ker(µI − A) 6= 0. Gdyby Ker(µI − A) = 0,to na mocy punktu (b) Twierdzenia 1.10 mielibysmy, ze Im (µI − A) = X . Wobec tego,ze operator A jest domkniety, oznaczałoby to, ze µ ∈ %(A), co jest sprzecznoscia. Dlategoσ(A) ⊂ σp(A), czyli σ(A) = σp(A).Niech ρ ∈ %(A). Sprawdzimy, ze

σp(A) = ρ− µ−1 | µ ∈ σp((ρI − A)−1). (1.15)

Rzeczywiscie, kładac λ := ρ − µ−1, z punktu (a) Lematu 1.9 otrzymujemy, ze jesli µ ∈σp((ρI − A)−1), to µ 6= 0 oraz Ker((ρ − µ−1)I − A) = Ker(µI − (ρI − A)−1), czyliρ− µ−1 ∈ σp(A). Podobnie, jesli wezmiemy µ ∈ σp(A), to korzystajac ponownie z punktu(a) Lematu 1.9, dla λ := µ mamy, ze (ρ − µ)−1 ∈ σp((ρI − A)−1), a skoro µ = ρ −((ρ− µ)−1)

−1= ρ− λ−1, mamy w konsekwencji µ ∈ ρ− λ−1 | λ ∈ σp((ρI − A)−1). W

ten sposób otrzymalismy równosc (1.15).Z punktu (c) Twierdzenia 1.5 i równosci (1.15) otrzymujemy, ze σp(A) jest skonczony lubjest ciagiem, którego normy sa rozbiezne do nieskonczonosci.

NiechA : D(A)→ X bedzie operatorem okreslonym na zespolonej przestrzeni BanachaX , który ma zwarte rezolwenty. Wówczas krotnosc geometryczna i algebraiczna zespolonejwartosci własnej λ operatora A definiujemy odpowiednio jako

n(A)geoλ := dimC Ker(λI − A)

orazn(A)algλ := dimCN(A)λ.

Punkt (c) Twierdzenia 1.10 zapewnia nam, ze zarówno krotnosc geometryczna jak i algebra-iczna zespolonej wartosci własnej λ jest liczba skonczona.Podobnie jesli operator liniowy A : D(A) → X ma zwarte rezolwenty i jest okreslony narzeczywistej przestrzeni Banacha X , to krotnosc geometryczna i algebraiczna jego wartosciwłasnej λ ∈ σp(A) okreslamy jako

n(A)geoλ := n(AC)geoλ (1.16)

orazn(A)algλ := n(AC)algλ . (1.17)

Nietrudno zauwazyc, ze operator AC równiez ma zwarte rezolwenty, co uzasadnia popraw-nosc powyzszych definicji.

19

Stwierdzenie 1.12 Jesli operator liniowy A : D(A) → X okreslony na rzeczywistej prze-strzeni Banacha X ma zwarte rezolwenty, zas λ ∈ σp,R(A), to

n(A)geoλ = dimR Ker(λI − A), (1.18)

n(A)algλ = dimRN(A)λ. (1.19)

Dowód. Niech n ≥ 1 bedzie liczba całkowita. Korzystajac z tego, ze λ jest liczba rzeczywi-sta otrzymujemy, ze (λI − AC)n = ((λI − A)n)C, co oznacza, ze

Ker(λI − AC)n = Ker((λI − A)n)C = (Ker(λI − A)n)C. (1.20)

To z kolei implikuje, ze dla dowolnego n ≥ 1 mamy

dimC Ker(λI − AC)n = dimR Ker(λI − A)n. (1.21)

Gdy n = 1, to z równosci (1.21) otrzymujemy (1.18). Aby sprawdzic równosc (1.19) za-uwazmy, ze zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 1.10 istnieja liczby n0, n1 ≥ 1 takie, ze

N(AC)λ = Ker(λI − AC)n0 oraz N(A)λ = Ker(λI − A)n1 .

Sprawdzimy, zeKer(λI − AC)n0 = (Ker(λI − A)n1)C. (1.22)

Rzeczywiscie, jesli z ∈ (Ker(λI − A)n1)C, to zgodnie z (1.20) mamy, ze z ∈ Ker(λI −AC)n1 , a zatem z ∈ N(AC)λ. Jesli zas z := x + iy ∈ Ker(λI − AC)n0 , to z ∈ (Ker(λI −A)n0)C i w konsekwencji x, y ∈ Ker(λI −A)n0 ⊂ N(A)λ. Dlatego z ∈ (Ker(λI −A)n1)C.Łaczac (1.21) z (1.22) mamy, ze

n(A)algλ = dimC Ker(λI − AC)n0 = dimR Ker(λI − A)n1 = dimRN(A)λ,

co dowodzi równosci (1.19).

Stwierdzenie 1.13 Jesli liniowy operator A : H ⊃ D(A) → H okreslony na rzeczywistejprzestrzeni Hilberta H jest symetryczny, to

(a) σp(A) ⊂ R ⊂ C;(b) Ker(λI − A)n = Ker(λI − A)n+1 dla λ ∈ σp,R(A) oraz n ≥ 1.

Dowód. (a) Niech λ ∈ C bedzie takie, ze λz − ACz = 0 dla pewnego z ∈ HC, z 6= 0.Wtedy, jak łatwo dostrzec, operator AC jest równiez symetryczny oraz

λ‖z‖2C = (ACz, z)C = (z, ACz)C = (ACz, z)C = λ‖z‖2

C.

Stad λ = λ i w konsekwencji im λ = 0.(b) Sprawdzimy najpierw, ze

Ker(λI − A) = Ker(λI − A)2. (1.23)

Wiemy, ze Ker(λI − A) ⊂ Ker(λI − A)2. Zatem niech x ∈ D(A2) bedzie takie, ze (λI −A)2x = 0. Operator A jest symetryczny wiec

(λy − Ay, x) = (y, λx− Ax) dla x, y ∈ D(A). (1.24)

20

Dokonujac w (1.24) podstawienia y = λx− Ax ∈ D(A) otrzymujemy, ze

0 = ((λI − A)2x, x) = (λx− Ax, λx− Ax) = ‖λx− Ax‖2, (1.25)

skad mamy, ze x ∈ Ker(λI − A). Niech teraz x ∈ Ker(λI − A)n+1, gdzie n ≥ 2. Wtedy(λI−A)n−1x ∈ Ker(λI−A)2, a stad zgodnie z (1.23) mamy, ze (λI−A)n−1x ∈ Ker(λI−A). Dlatego x ∈ Ker(λI−A)n, co implikuje, ze Ker(λI−A)n+1 ⊂ Ker(λI−A)n i konczydowód naszego stwierdzenia.

Z powyzszego stwierdzenia wynika, ze w przypadku operatora symetrycznego o zwar-tych rezolwentach krotnosc geometryczna i algebraiczna dowolnej wartosci własnej jest takasama.

1.4 Generatory C0 półgrup

Niech X bedzie przestrzenia Banacha nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonychz norma ‖ · ‖. Przez C0 półgrupe ograniczonych operatorów liniowych bedziemy rozumiecrodzine S(t) : X → Xt≥0

1 ograniczonych operatorów liniowych taka, ze

S(0) = I, S(t+ s) = S(t)S(s) dla t, s ≥ 0

orazlimt→0+

S(t)x = x dla x ∈ X.

Dla ustalonej C0 półgrupy S(t)t≥0 definiujemy operator A : X ⊃ D(A)→ X , gdzie

D(A) :=

x ∈ X | lim

t→0+

S(t)x− xt

istnieje

oraz

Ax := limt→0+

S(t)x− xt

dla x ∈ D(A).

Tak okreslony operatorA nazywamy generatorem C0 półgrupy S(t)t≥0. Bedziemy mówicrówniez, ze S(t)t≥0 jest półgrupa generowana przez operator A. Mozna udowodnic (patrz[38], Corollary 1.2.5), ze jesli operator liniowy A jest generatorem pewnej C0 półgrupy, tojest on domkniety i gesto okreslony.

Ponizsze twierdzenie stanowi zestawienie pomocnych faktów dotyczacych relacji miedzypółgrupami a ich generatorami.

Twierdzenie 1.14 [38, Theorem 1.2.4] Niech S(t)t≥0 bedzie C0 półgrupa generowanaprzez operator A. Wtedy

(a) istnieja stałe ω ∈ R oraz M ≥ 1 takie, ze

‖S(t)‖ ≤Meωt dla t ≥ 0, (1.26)

1Dla uproszczenia, czesto bedziemy pisac w skrócie S(t)t≥0 lub S

21

(b) jesli x ∈ X , to∫ t

0S(s)x ds ∈ D(A) dla t > 0 oraz

A

(∫ t

0

S(s)x ds

)= S(t)x− x,

(c) jesli x ∈ D(A), to S(t)x ∈ D(A) dla t ≥ 0 oraz

d

dtS(t)x = AS(t)x = S(t)Ax,

(d) jesli x ∈ D(A) oraz t > s ≥ 0, to

S(t)x− S(s)x =

∫ t

s

S(τ)Axdτ =

∫ t

s

AS(τ)x dτ.

Jesli oszacowanie w punkcie (a) powyzszego twierdzenia przyjmuje postac

‖S(t)‖ ≤ 1 dla t ≥ 0,

to bedziemy mówic, ze S(t)t≥0 jest półgrupa kontrakcji.

Warto wspomniec, ze w przypadku C0 półgrupy S(t)t≥0 spełniajacej oszacowanie(1.26), istnieje mozliwosc wprowadzenia na przestrzeni X normy równowaznej z ‖ · ‖ wtaki sposób, aby stała M z oszacowania półgrupy w nowej normie równa jeden. W tym celuna przestrzeni X , definiujemy funkcje | · | : X → [0,+∞) wzorem

|x| := supt≥0‖e−ωtS(t)x‖ dla x ∈ X. (1.27)

Nietrudno zauwazyc, ze | · | jest poprawnie zdefiniowana norma na przestrzeni X , któradodatkowo jest równowazna z wyjsciowa norma ‖ · ‖, co wynika to z nastepujacego oszaco-wania

‖x‖ ≤ |x| ≤M‖x‖ dla x ∈ X.

Ponadto nietrudno zauwazyc, ze dla dowolnego t ≥ 0 półgrupa S(t)t≥0 spełnia nierów-nosc

|S(t)x| ≤ eωt|x| dla x ∈ X. (1.28)

Rzeczywiscie, jesli t0 ≥ 0, to

|S(t0)x| = supt≥0‖e−ωtS(t)S(t0)x‖ = eωt0 sup

t≥0‖e−ω(t+t0)S(t+ t0)x‖

= eωt0 supt≥t0‖e−ωtS(t)x‖ ≤ eωt0|x|.

W dalszych rozwazaniach przez SA(t)t≥0 bedziemy oznaczac C0 półgrupe generowanaprzez operator −A. Ponadto dla dowolnych stałych M ≥ 1 oraz ω ∈ R przyjmujemy

K(M,ω) := A : D(A)→ X | − A generuje C0 półgrupe taka, ze

‖SA(t)‖ ≤Meωt dla t ≥ 0.

22

Uwaga 1.15 Niech operator liniowy A : D(A) → X bedzie taki, ze −A generuje C0 pół-grupe SA(t)t≥0. Wówczas(a) dla dowolnych liczb rzeczywistych b oraz a > 0 mamy, ze S−bI+aA(t) = ebtSA(at) dlat ≥ 0.Istotnie, zauwazmy, ze rodzina operatorów ebtSA(at)t≥0 jest C0 półgrupa. Niech A :

D(A)→ X bedzie jej generatorem. Nietrudno sprawdzic, ze

ebtSA(at)x− xt

= aebtSA(at)x− x

at+ebt − 1

tx dla t ≥ 0.

Zatem, jesli x ∈ D(A), to x ∈ D(A) oraz−Ax = −aAx+bx, czyli A ⊂ aA−bI . Podobnienietrudno sprawdzic, ze jesli x ∈ D(A), to x ∈ D(A) oraz −Ax = −aAx + bx, a zatemmamy tez, ze aA− bI ⊂ A i w konsekwencji aA− bI = A.(b) Operator −AC jest generatorem C0 półgrupy SAC(t)t≥0 oraz

SAC(t) = SA(t)C dla t ≥ 0.

Aby to sprawdzic, zauwazmy najpierw, ze rodzina operatorów

SA(t)C : XC → XCt≥0

jest C0 półgrupa na XC. Niech −A : D(A) → XC bedzie jej generatorem. Trzeba dowiesc,ze A = AC. W tym celu zauwazmy, ze

SA(t)Cz − zt

=SA(t)x− x

t+SA(t)y − y

ti, (1.29)

dla z ∈ XC, z = x+ yi. Niech z ∈ D(A). Wtedy

− Az = limt→0+

SA(t)Cz − zt

, (1.30)

co wobec równosci (1.29) oznacza, ze istnieja granice

limt→0+

SA(t)x− xt

oraz limt→0+

SA(t)y − yt

. (1.31)

Stad mamy, ze x, y ∈ D(A) oraz −Az = −Ax − Ayi = −ACz i dlatego A ⊂ AC. Niechteraz z ∈ D(AC). Wtedy istnieja x, y ∈ D(A) takie, ze z = x + yi. Zatem istnieja granice(1.31), co w połaczeniu z równoscia (1.29) implikuje, ze

limt→0+

SA(t)Cz − zt

= limt→0+

SA(t)x− xt

+ limt→0+

SA(t)y − yt

i = −Ax− Ayi.

Dlatego z ∈ D(A) oraz −Az = −Ax − Ayi = −ACz. Otrzymana równosc dowodzi, zeAC ⊂ A i w konsekwencji A = AC.

Ponizej podajemy Twierdzenie, które pełni zasadnicza role w charakteryzacji C0 półgrupi ich generatorów.

23

Twierdzenie 1.16 [38, Theorem 1.5.3](Hille-Yosida) Operator liniowy A jest generatoremC0 półgrupy S(t)t≥0 spełniajacej oszacowanie ‖S(t)‖ ≤Meωt wtedy i tylko wtedy, gdy

(i) A jest domkniety oraz D(A) jest zbiorem gestym w przestrzeni X ,(ii) zbiór rezolwenty %(A) operatora A zawiera (ω,+∞) oraz

‖R(λ : A)n‖ ≤M/(λ− ω)n dla λ > ω, n ≥ 1.

Wprowadzmy teraz nastepujace definicje. Powiemy, ze– półgrupa S(t)t≥0 jest równociagła, jesli dla dowolnego t0 > 0 i dowolnego ograni-

czonego zbioru B ⊂ X rodzina funkcji S(·)xx∈B jest równociagła w punkcie t0;– półgrupa S(t)t≥0 jest zwarta, jesli dla dowolnego t > 0 operator S(t) jest zwarty;– rodzina półgrup Sλλ∈[0,1] jest zwarta, jesli dla dowolnego zbioru ograniczonego V ⊂X i dowolnego t > 0 zbiór ⋃

λ∈Λ

Sλ(t)(V )

jest relatywnie zwarty w X .

W celu scharakteryzowania półgrup zwartych, bardzo wygodnie jest posługiwac sie naste-pujacym Twierdzeniem Brezisa-Pazy’ego

Twierdzenie 1.17 [38, Theorem 2.3.2] Niech S(t)t≥0 bedzie C0 półgrupa generowanaprzez operator A. Wówczas S(t)t≥0 jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest równociagłaoraz operator A ma zwarte rezolwenty.

Wprowadzmy teraz pojecie zbieznosci wykresowej

Definicja 1.18 Niech (An) ⊂ K(M,ω) bedzie ciagiem operatorów. Powiemy, ze ciag (An)zbiega wzgledem wykresu do A0 ∈ K(M,ω), co oznaczamy jako

AnG−→ A0 przy n→∞,

jesli dla kazdego λ > ω oraz dowolnego x ∈ X mamy

(λI + An)−1x→ (λI + A0)−1x przy n→∞.

Uwaga 1.19 Z Twierdzenia Hille’a - Yosidy wiemy, ze jesli −A jest generatorem C0 pół-grupy spełniajacej dla pewnych stałych ω oraz M ≥ 1 oszacowanie ‖SA(t)‖ ≤ Meωt, to(ω,+∞) ⊂ %(−A).

Definicja 1.20 Powiemy, ze rodzina operatorów A(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,ω) jest G–ciagła,

jesli A(λn)G→ A(λ0), przy n → +∞, dla dowolnego ciagu (λn) ⊂ [0, 1] takiego, ze λn →

λ0, przy n→ +∞.

Wazna konsekwencja zbieznosci wykresowej operatorów jest nastepujace twierdzenie

Twierdzenie 1.21 [30, Proposition III.3.18] Jesli AnG→ A0 oraz xn → x0, to SAn(t)xn →

SA0(t)x0 dla dowolnego t ≥ 0, jednostajnie ze wzgledu na t ze zwartych podzbiorów prze-działu [0,+∞).

24

Na koniec odnotujmy jeszcze nastepujaca wersje twierdzenia spektralnego dla C0 pół-grup

Twierdzenie 1.22 [29, Theorem 16.7.2] Niech SA(t)t≥0 bedzie C0 półgrupa na zespolo-nej przestrzeni Banacha X , generowana przez operator −A. Wtedy

e−tσp(A) ⊂ σp(SA(t)) ⊂ e−tσp(A) ∪ 0 dla t > 0.

Ponadto, jesli λ ∈ σp(A), to

Ker(e−λtI − SA(t)) = span

(⋃k∈Z

Ker(λk,tI − A)

), (1.32)

gdzie λk,t = λ+ (2kπ/t)i dla k ∈ Z.

Uwaga 1.23 Jesli A : H ⊃ D(A) → H jest gesto okreslonym, samosprzezonym operato-rem liniowym na rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni Hilberta H takim, ze −A generujeC0 półgrupe SA(t)t≥0, to zgodnie z [38, Corollary 1.10.6] operator SA(t) jest równiezsamosprzezony dla dowolnego t ≥ 0.

Uwaga 1.24 Niech X bedzie rzeczywista przestrzenia Banacha oraz niech A : D(A) → Xbedzie operatorem samosprzezonym o zwartych rezolwentach takim, ze−A generuje zwartaC0 półgrupe SA(t)t≥0 taka, ze

‖SA(t)‖ ≤Meωt dla t ≥ 0

dla pewnych stałychM > 0, ω ∈ R. Wówczas na mocy Wniosku 1.11, punktu (a) Stwierdze-nia 1.13 i Twierdzenia 1.16 mamy, ze spektrum operatora A tworzy ciag (λk) jego wartosciwłasnych taki, ze

−ω < λ1 < λ2 < . . . < λk < . . . .

Zauwazmy, ze przy ustalonym t > 0

e−λ1t > e−λ2t > . . . > e−λkt > . . .

jest ciagiem niezerowych wartosci własnych operatora SA(t) oraz

Ker(λkI − A) = Ker(e−λktI − SA(t)) dla k ≥ 1. (1.33)

Istotnie, z Twierdzenia 1.22, mamy

e−tσp(AC) ⊂ σp(SAC(t)) ⊂ e−tσp(AC) ∪ 0 dla t > 0. (1.34)

Skoro z punktu (b) Uwagi 1.15 mamy, ze σp(SA(t)) = σp((SA(t))C) = σp(SAC(t)) dla t > 0oraz e−tσp(A) = e−tσp(AC), na mocy (1.34) otrzymujemy

e−tσp(A) ⊂ σp(SA(t)) ⊂ e−tσp(A) ∪ 0 dla t > 0,

a stad mamy, ze (e−λkt) jest ciagiem niezerowych wartosci własnych operatora SA(t) dladowolnego t > 0.Z kolei, z Twierdzenia 1.22 i punktu (b) Uwagi 1.15, dla dowolnego całkowitego k ≥ 1 it > 0, mamy

Ker(e−λktI − SA(t))C = Ker(e−λktI − SAC(t)) = Ker(λkI − AC) = Ker(λkI − A)C,

skad wynika (1.33).

25

1.5 Operatory wycinkowe

Definicja 1.25 Niech A : D(A) → X bedzie gesto okreslonym i domknietym operatoremliniowym na przestrzeni Banacha X . Powiemy, ze operator A jest wycinkowy, jesli istniejastałe M > 0, a ∈ R oraz 0 < δ < π

2takie, ze spełnione sa nastepujace warunki

(a) zbiór rezolwenty %(A) operatora A zawiera Σa,δ, gdzie

Σa,δ = λ ∈ C \ a | δ < | Arg(λ− a)| ≤ π ∪ a,

(b) ‖R(λ : A)‖ ≤M/|λ− a| dla λ ∈ Σa,δ, λ 6= a.

Jesli X jest przestrzenia liniowa nad ciałem R, to przez punkt (b) rozumiemy

‖R(λ : AC)‖C ≤M/|λ− a| dla λ ∈ Σa,δ, λ 6= a.

Uwaga 1.26 Jesli A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0 2,to istnieja liczby a0 > 0, 0 < δ0 <

π2

oraz M0 > 0 takie, ze operator A spełnia punkty (a) i(b) Definicji 1.25 ze stałymi a := a0, δ := δ0 i M := M0.Istotnie, zgodnie z załozeniem istnieja liczby a ∈ R, 0 < δ < π

2oraz M > 0 takie, ze

spełnione sa warunki (a) i (b) Definicji 1.25. Jesli a > 0, to nasz lemat jest udowodniony.Jesli a ≤ 0, to zgodnie z załozeniami istnieje stała c > 0 taka, ze

σ(A) ⊂ λ | re λ > c.

Wobec tego, ze Σa,δ ⊂ %(A), gdzie δ ∈ (0, π/2), otrzymujemy, ze istnieja liczby c > a0 > 0oraz δ0 ∈ (δ, π/2) takie, ze

Σa0,δ0 ⊂ cl Σa0,δ0 ⊂ %(A).

Pokazemy, ze istnieje stała M0 > 0 taka, ze

‖R(λ : A)‖ ≤M0/|λ− a0| dla λ ∈ Σa0,δ0 , λ 6= a0. (1.35)

Skoro a0 > 0 ≥ a oraz δ0 ∈ (δ, π/2), mamy wiec, ze zbiór Σa0,δ0 \ Σa,δ jest ograniczony.Dla ustalenia uwagi załózmy, ze jest zawarty w kuli domknietej D(0, R) ⊂ C o promieniuR > 0. Niech R0 = max(R, |a|+ 1). Na mocy punktu (b) Stwierdzenia 1.3 odwzorowanie

λ 7→ (λI − A)−1,

okreslone na zbiorze %(A) o wartosciach wL(X), jest ciagłe, wiec powołujac sie na zwartosczbioru D(0, R0) ∩ cl Σa0,δ0 ⊂ %(A) mozemy wybrac liczbe M1 > 0 taka, ze

‖(λI − A)−1‖ ≤M1 dla λ ∈ D(0, R0) ∩ Σa0,δ0 . (1.36)

Stad wynika, ze‖(λI − A)−1‖ ≤M1 ≤ 2R0M1|λ− a0|−1 (1.37)

dla λ ∈ %(A) ∩B(0, R0). Ponadto, jesli |λ| ≥ R0, to

|λ− a0||λ− a|

≤ |λ− a|+ |a− a0||λ− a|

= 1 +|a0 − a||λ− a|

≤ 1 + |a0 − a| := K,

2 re σ(A) = inf re λ | λ ∈ σ(A)

26

przy czym ostatnia nierównosc jest konsekwencja tego, ze |λ| ≥ R0 ≥ |a| + 1. Zatem jesliλ ∈ Σa0,δ0 \ D(0, R0), to λ ∈ Σa,δ oraz

‖(λI − A)−1‖ ≤M |λ− a|−1 ≤ KM |λ− a0|−1. (1.38)

Przyjmujac M0 = max(KM, 2R0M1), dowodzimy poprawnosci uwagi.

Stwierdzenie 1.27 NiechH bedzie rzeczywista przestrzenia Hilberta oraz niechA : D(A)→H bedzie gesto okreslonym i samosprzezonym operatorem liniowym. Załózmy ponadto, zeoperator A jest ograniczony z dołu, czyli istnieje liczba m ∈ R taka, ze

(Ax, x) ≥ m‖x‖2 dla x ∈ D(A). (1.39)

Wtedy(a) operator A jest wycinkowy,(b) re σ(A) ≥ m.

Dowód. Punkt (a) powyzszego lematu stanowi tresc Stwierdzenia 1.3.3 z [14], gdzie jestzamieszczony wraz z dowodem. Pokazemy wiec, ze re σ(A) ≥ m. Aby to zrobic, spraw-dzimy, ze λ ∈ %(A), jesli tylko re λ < m. W tym celu zauwazmy, ze dla dowolnego λ ∈ Coraz z ∈ HC, z = x+ yi mamy

re (ACz − λz, z)C = re (Ax+ Ayi, x+ yi)C − re (λ(z, z)C)

= (Ax, x) + (Ay, y)− re (λ(z, z)C)

≥ m(‖x‖2 + ‖y‖2)− re λ‖z‖2C

= (m− re λ)‖z‖2C.

Korzystajac z nierównosci Schwarza, wnioskujemy, ze

‖λz − ACz‖C ≥ (m− re λ)‖z‖C dla z ∈ HC, λ ∈ C. (1.40)

Niech λ ∈ C bedzie taka, ze re λ < m. Wtedy Ker(λI − AC) = 0. Rzeczywiscie, jesliλz − ACz = 0 dla pewnego z ∈ HC, to korzystajac z (1.40) otrzymujemy, ze z = 0.Udowodnimy teraz, ze Im (λI−AC) jest podprzestrzenia domknieta przestrzeni HC. Niech(zn) ⊂ D(AC) bedzie taki, ze λzn − ACzn → y0, gdy n → ∞. Wtedy ciag (yn), gdzieyn = λzn − ACzn dla n ≥ 1 spełnia warunek Cauchy’ego. Korzystajac z (1.40) mamyrówniez, ze ciag (xn) ⊂ HC spełnia warunek Cauchy’ego. Zatem istnieje x0 ∈ HC takie,ze xn → x0, gdy n → ∞. Operator A jest samosprzezony, a wiec i domkniety. Dlategox0 ∈ D(AC) oraz λx0 − ACx0 = y0 i w konsekwencji y0 ∈ Im (λI − AC). Konczy todowód domknietosci obrazu operatora λI − AC. Niech teraz y ∈ Im (λI − AC)⊥. Wtedy(λz − ACz, y) = 0, dla z ∈ D(AC), czyli w szczególnosci

(ACz, y) = (z, λy) dla z ∈ D(AC).

Oznacza to, ze y ∈ D(A∗C) oraz A∗Cy = λy. W konsekwencji y ∈ Ker(λI − AC) ponie-waz z załozen mamy, ze A = A∗, a wiec AC = A∗C. Korzystajac po raz kolejny z (1.40),otrzymujemy, ze y = 0. Wnioskujemy dalej, ze Im (λI − AC)⊥ = 0, co implikuje, zeIm (λI − AC) = HC poniewaz jak wczesniej udowodnilismy Im (λI − AC) jest podprze-strzenia domknieta. Wobec tego, ze AC jest domkniety mamy, ze λ ∈ %(A).

27

Twierdzenie 1.28 Jesli A : D(A)→ X jest operatorem wycinkowym, to −A jest generato-rem równociagłej C0 półgrupy SA(t)t≥0 takiej, ze

‖SA(t)‖ ≤M ′e−at dla t ≥ 0 (1.41)

dla pewnej stałej M ′ ≥ 1, gdzie stała a jest taka, jak w Definicji 1.25.

Uwaga 1.29 Fakt, ze w powyzszym twierdzeniu −A jest generatorem C0 półgrupy speł-niajacej oszacowanie (1.41), jest udowodniony w [38] (Theorem 1.7.7). Aby uzasadnic, zepółgrupa SA(t)t≥0 jest równociagła, powołujemy sie na oszacowanie (1.41) i Theorem2.5.2 (d) z [38], które mówi, ze jesli operator A spełnia warunki (a), (b) z Definicji 1.25oraz ‖SA(t)‖ ≤M ′e−at dla t ≥ 0, to półgrupa SA(t)t≥0 jest rózniczkowalna. Z kolei jesliSA(t)t≥0 jest rózniczkowalna, to jest równociagła, co jest trescia Lematu 2.4.2 z [38].

Wniosek 1.30 Jesli A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0,to −A jest generatorem równociagłej C0 półgrupy SA(t)t≥0 takiej, ze

‖SA(t)‖ ≤M ′e−ωt, (1.42)

dla pewnych stałych M ′ ≥ 1 oraz ω > 0.

Dowód. Zgodnie z Uwaga 1.26 istnieja stałe a0 > 0, δ0 ∈ (δ, π/2) oraz M0 > 0 takie,ze punkty (a) i (b) Definicji 1.25 spełnione sa ze stałymi a := a0, δ := δ0 i M := M0. ZTwierdzenia 1.28 otrzymujemy, ze istnieje stała M ′ ≥ 1 taka, ze

‖SA(t)‖ ≤M ′e−a0t dla t ≥ 0.

Kładac ω := a0 otrzymujemy teze.

Definicja 1.31 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem wycinkowym na rzeczywistejprzestrzeni BanachaX takim, ze re σ(A) > 0. Dla dowolnej liczby α > 0 potega ułamkowaoperatora A rzedu −α bedziemy nazywac operator A−α dany wzorem

A−α :=1

Γ(α)

∫ ∞0

tα−1SA(t) dt. (1.43)

Przypominamy, ze w powyzszej definicji odwzorowanie Γ: (0,+∞) → R jest funkcja Eu-lera dana wzorem

Γ(x) :=

∫ ∞0

tx−1e−t dt dla x > 0.

Zgodnie z Wnioskiem 1.30, półgrupa SA(t)t≥0 jest równociagła, skad wynika, ze odwzo-rowanie

t 7→ tα−1SA(t) ∈ L(X),

okreslone na (0,+∞), jest ciagłe. W zwiazku z nierównoscia (1.42) dowodzi to, ze całkaniewłasciwa z powyzszej definicji jest zbiezna w topologii jednostajnej operatorów, a zatemA−α jest elementem przestrzeni L(X).Na mocy Lemma 2.6.6 z [38], okreslony w ten sposób operator A−α jest róznowartosciowy,

28

dla dowolnej liczby α > 0. Daje nam to mozliwosc zdefiniowania dodatnich poteg ułam-kowych operatora A w nastepujacy sposób. Jesli α > 0, to definiujemy operator liniowyAα : D(Aα)→ X jako

D(Aα) := Im (A−α)

Aαx := (A−α)−1x dla x ∈ D(Aα)

Jesli α = 0, to kładziemy Aα = A0 := I .

Definicja 1.32 Dla operatora wycinkowegoA oraz dowolnej liczby α ≥ 0 definiujemy prze-strzen unormowana (Xα, ‖ · ‖α), gdzie

Xα := D(Aα) oraz ‖u‖α := ‖Aαu‖ dla x ∈ Xα.

Nietrudno zauwazyc, ze dla dowolnej liczby α ≥ 0 operator Aα, jako odwrotnosc opera-tora domknietego, jest równiez domkniety, co implikuje, ze przestrzen Xα jest przestrzeniaBanacha. Rodzine (Xα, ‖ · ‖α)α≥0 nazywamy skala przestrzeni ułamkowych wyznaczonychprzez operator A.

Ponizsze twierdzenie stanowi zestawienie najwazniejszych własnosci operatorów wycin-kowych i ich poteg ułamkowych (dla dowodu patrz [38, Theorem 2.6.8] oraz [38, Theorem2.6.13]).

Twierdzenie 1.33 Niech A bedzie operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0. Wów-czas

(a) jesli α ≥ 0, to SA(t)X ⊂ Xα dla kazdego t > 0;(b) jesli x ∈ D(Aα), to SA(t)Aαx = AαSA(t)x dla t ≥ 0;(c) istnieja liczby c > 0, Mα > 0 takie, ze dla t > 0

AαSA(t) ∈ L(X) oraz ‖AαSA(t)‖ ≤Mαt−αe−ct;

(d) jesli α, β ∈ R, to dla dowolnego x ∈ D(Aγ), gdzie γ = max(α, β, α + β), mamy

Aα+βx = AαAβx.

Uwaga 1.34 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) >0. Wtedy rodzina SA(t)|Xα : Xα → Xαt≥0 jest C0 półgrupa na przestrzeni Xα.Istotnie, na mocy punktu (a) Twierdzenia 1.33 mamy, ze SA(t)Xα ⊂ Xα dla dowolnegot ≥ 0. Zatem operator SA(t)|Xα jest poprawnie okreslony dla kazdego t ≥ 0 oraz

SA(0)|Xα = IXα , SA(t+ s)|Xα = SA(t)|XαSA(s)|Xα dla t, s ≥ 0.

Korzystajac z punktu (b) tego samego twierdzenia, dla dowolnego t ≥ 0 oraz x ∈ Xα mamy,ze

‖SA(t)x‖α = ‖AαSA(t)x‖ = ‖SA(t)Aαx‖ ≤ ‖SA(t)‖‖Aαx‖ = ‖SA(t)‖‖x‖α,

a zatem dla dowolnego t ≥ 0 operator SA(t)|Xα jest ograniczony. Korzystajac ponownie zpunktu (b) Twierdzenia 1.33, dla dowolnego x ∈ Xα mamy, ze

limt→0+‖SA(t)|Xαx− x‖α = lim

t→0+‖AαSA(t)x− Aαx‖ = lim

t→0+‖SA(t)Aαx− Aαx‖ = 0,

co dowodzi, ze rodzina SA(t)|Xαt≥0 jest C0 półgrupa na Xα.

29

1.6 Operatory eliptyczne rzedu drugiego

Załózmy, ze Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwartym i ograniczonym z gładkim brzegiem ∂Ω,czyli dla dowolnego punktu x0 ∈ ∂Ω istnieje r > 0 takie, ze zbiór Ω ∩ B(x0, r) jest nadwy-kresem pewnej funkcji klasy C∞ (dla dokładnej definicji patrz [13]). Bedziemy zajmowacsie operatorami rózniczkowymi rzedu drugiego w postaci dywergencyjnej

Au := −div(A(x)∇u) = −∑

1≤i,j≤n

Di(ai,j(x)Dju),

gdzie dla kazdego x ∈ Ω macierz A(x) = (ai,j(x))i,j=1,...,n ma współczynniki ai,j ∈ C1(Ω),dla 1 ≤ i, j ≤ n, zas Di, dla 0 ≤ i ≤ n jest operatorem i–tej pochodnej czastkowej.Powiemy, ze operator A jest silnie eliptyczny jesli istnieje stała c > 0 taka, ze∑

1≤i,j≤n

ai,j(x)ξiξj ≥ c|ξ|2, (1.44)

dla dowolnych x ∈ Ω oraz ξ ∈ Rn. Innymi słowy oznacza to, ze dla kazdego x ∈ Ω macierzA(x) jest dodatnio okreslona.

Z operatorem A bedziemy stowarzyszac formy dwuliniowe bD i bN dane jako

bD : H10 (Ω)×H1

0 (Ω)→ R

bD(u, v) :=∑

1≤i,j≤n

∫Ω

ai,j(x)uxivxj dx

oraz

bN : H1(Ω)×H1(Ω)→ R

bN(u, v) :=∑

1≤i,j≤n

∫Ω

ai,j(x)uxivxj dx.

Uwaga 1.35 (a) Dla dowolnej funkcji u ∈ H1(Ω)

bN(u, u) ≥ c

∫Ω

|∇u|2dx.

Istotnie, korzystajac z warunku eliptycznosci, dla u ∈ H1(Ω) otrzymujemy

bN(u, u) =∑

1≤i,j≤n

∫Ω

ai,j(x)uxiuxj dx ≥ cn∑i=1

∫Ω

u2xidx = c

∫Ω

|∇u|2 dx.

(b) Dla dowolnych funkcji u, v ∈ H1(Ω)

|bN(u, v)| ≤ n2K

(∫Ω

|∇u|2 dx) 1

2(∫

Ω

|∇v|2 dx) 1

2

.

30

Rzeczywiscie, niech K > 0 bedzie takie, ze |ai,j(x)| ≤ K dla 1 ≤ i, j ≤ n, x ∈ Ω. Wtedydla dowolnych u, v ∈ H1(Ω) mamy

|bN(u, v)| ≤∑

1≤i,j≤n

∫Ω

|ai,j(x)||uxivxj | dx ≤∑

1≤i,j≤n

∫Ω

K|uxivxj | dx

≤ n2K

(∫Ω

|∇u|2 dx) 1

2(∫

Ω

|∇v|2 dx) 1

2

,

co konczy dowód punktu (b).

Niech operatory liniowe AD : D(AD)→ L2(Ω) i AN : D(AN)→ L2(Ω) beda dane jako

D(AD) := u ∈ H10 (Ω) | istnieje f ∈ L2(Ω) takie, ze bD(u, v) = (f, v) dla v ∈ H1

0 (Ω)ADu := f, gdzie f jest jak w definicji D(AD) (1.45)

oraz

D(AN) := u ∈ H1(Ω) | istnieje f ∈ L2(Ω) takie, ze bN(u, v) = (f, v) dla v ∈ H1(Ω)ANu := f, gdzie f jest jak w definicji D(AN). (1.46)

Włozenia przestrzeni H10 (Ω) oraz H1(Ω) w przestrzen L2(Ω) sa geste, wiec operatory li-

niowe AD i AN sa poprawnie okreslone.

Twierdzenie 1.36 Niech A bedzie operatorem eliptycznym rzedu drugiego takim, ze ai,j =aj,i dla 1 ≤ i, j ≤ n. Wówczas

(a) operator AD jest samosprzezony;(b) istnieje stała c0 > 0 taka, ze (ADu, u) ≥ c0‖u‖2

L2(Ω) dla u ∈ D(AD);(c) operator AD ma zwarte rezolwenty;(d) operator AD jest wycinkowy, re σ(AD) > 0 oraz C0 półgrupa generowana przez

operator −AD jest zwarta.

Dowód. Korzystajac z załozenia, ze ai,j = aj,i dla 1 ≤ i, j ≤ n, wnosimy, ze

(ADu, v) = bD(u, v) = bD(v, u) = (u,ADv)

dla u, v ∈ D(AD), skad wynika, ze operator AD jest symetryczny. Korzystajac z Uwagi 1.35i faktu, ze bD = bN|H1

0 (Ω)×H10 (Ω)

, dla u, v ∈ H10 (Ω), otrzymujemy, ze

bD(u, u) ≥ c

∫Ω

|∇u|2dx = c‖u‖2H1

0 (Ω) (1.47)

oraz

|bD(u, v)| ≤ n2K

(∫Ω

|∇u|2dx) 1

2(∫

Ω

|∇v|2dx) 1

2

= n2K‖u‖H10 (Ω)‖v‖H1

0 (Ω).

Z powyzszych oszacowan wynika, ze bD jest symetrycznym odwzorowaniem dwuliniowymtakim, ze

c‖u‖2H1

0 (Ω) ≤ |bD(u, u)| ≤ n2K‖u‖2

H10 (Ω), (1.48)

31

dla u ∈ H10 (Ω). Zatem, forma dwuliniowa bD okresla na przestrzeniH1

0 (Ω) iloczyn skalarny,który wyznacza norme równowazna z norma ‖ · ‖H1

0 (Ω).Niech teraz f ∈ L2(Ω) bedzie ustalona funkcja. Wówczas, z Twierdzenia Riesza o reprezen-tacji funkcjonałów, istnieje u ∈ H1

0 (Ω) takie, ze

bD(u, v) = (f, v) dla v ∈ H10 (Ω),

skad mamy, ze u ∈ D(AD) oraz ADu = f . W konsekwencji

Im AD = L2(Ω), (1.49)

co na mocy Lematu 1.1 dowodzi, ze AD jest samosprzezony. Korzystajac z (1.47) mozemynapisac, ze

(ADu, u) = bD(u, u) ≥ c‖u‖2H1

0 (Ω) dla u ∈ D(AD), (1.50)

co w zwiazku z nierównoscia Poincaré’go (patrz Twierdzenie 6.6) implikuje, ze

(ADu, u) ≥ cd‖u‖2L2(Ω) dla u ∈ D(AD) (1.51)

i tym samym dowodzi to punktu (b).Aby pokazac, ze operator AD ma zwarte rezolwenty sprawdzimy najpierw, ze %(AD) 6= ∅.Nawiazujac do oszacowania (1.51) widzimy, ze

‖ADu‖L2(Ω) ≥ cd‖u‖L2(Ω) dla u ∈ D(AD). (1.52)

Mamy stad, ze operator AD jest róznowartosciowy, co wspólnie z (1.49) oznacza, ze jestrówniez bijekcja. Ponadto nierównosc (1.52) implikuje, ze (AD)−1 ∈ L(X), skad otrzymu-jemy, ze 0 ∈ %(AD). Sprawdzimy teraz, ze operator (AD)−1 : L2(Ω) → L2(Ω) jest zwarty.Niech zbiór B ⊂ L2(Ω) bedzie ograniczony. Na mocy nierównosci Poincaré’go i (1.50)mozemy napisac, ze

1

c√d‖ADu‖L2(Ω) ≥ ‖u‖H1

0 (Ω). (1.53)

Z powyzszej nierównosci wynika, ze zbiór (AD)−1B jest ograniczony w normie przestrzeniH1

0 (Ω), a zatem na mocy nierównosci Rellicha-Kondraszowa (patrz Twierdzenie 6.11) otrzy-mujemy, ze zbiór (AD)−1B jest relatywnie zwarty w L2(Ω), co konczy dowód punku (c).Sprawdzimy teraz punkt (d). Z punktów (a), (b) i punktu (a) Stwierdzenia 1.27 wynika, zeAD jest operatorem wycinkowym takim, ze re σ(AD) > 0. Zwartosc półgrupy SAD(t)t≥0

jest konsekwencja udowodnionego wczesniej punktu (c) oraz Twierdzenia 1.17, gdyz AD

bedac operatorem wycinkowym generuje półgrupe równociagła i w ten sposób konczymydowód twierdzenia.

Uwaga 1.37 Korzystajac z załozonej gładkosci brzegu ∂Ω i Twierdzenia 4 z rozdziału 6.3.2z [13] wnosimy, ze jesli operator liniowy AD jest taki jak powyzej, to

D(AD) = H2(Ω) ∩H10 (Ω).

Na mocy powyzszego punktu (d) powyzszego twierdzenia mozliwe jest rozwazanie potegułamkowych operatora AD. Ponizsze twierdzenie mówi nam jakie sa relacje miedzy prze-strzeniami Sobolewa, a przestrzeniami ułamkowymi wyznaczonymi przez operator AD.

32

Twierdzenie 1.38 [38, Theorem 8.4.3] Niech Ω ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym i ogra-niczonym z gładkim brzegiem ∂Ω oraz niech operator AD bedzie taki jak powyzej. Jesli0 ≤ α ≤ 1, to

Xα ⊂ W k,q(Ω) dla k − n

q≤ 2α− n

p, q ≥ p (1.54)

i ponadto, powyzsze włozenie jest ciagłe.

Twierdzenie 1.39 Niech A bedzie operatorem eliptycznym rzedu drugiego takim, ze ai,j =aj,i dla 1 ≤ i, j ≤ n. Wówczas

(a) operator AN jest samosprzezony;(b) operator AN ma zwarte rezolwenty;(c) −AN jest generatorem zwartej C0 półgrupy.

Dowód. Podobnie jak poprzednio, sprawdzimy najpierw, zeAN jest operatorem samosprze-zonym. Wobec tego, ze ai,j = aj,i dla 1 ≤ i, j ≤ n, dla dowolnych u, v ∈ D(A) mamy

(ANu, v) = bN(u, v) = bN(v, u) = (u,ANv) (1.55)

co oznacza, ze operator A jest symetryczny. Dla λ > 0, zdefiniujmy forme dwuliniowa bNλjako

bNλ : H1(Ω)×H1(Ω)→ R

bNλ (u, v) := λ(u, v) + bN(u, v).

Na mocy punktu (a) Uwagi 1.35 wnosimy, ze

bNλ (u, u) ≥ λ(u, u) + cn∑i=1

∫Ω

u2xidx ≥ min(λ, c)‖u‖2

H1(Ω) (1.56)

dla u ∈ H1(Ω). Korzystajac z punktu (b) Uwagi 1.35, dla dowolnych u, v ∈ H1(Ω), otrzy-mujemy

|bNλ (u, v)| ≤ λ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) + n2K

(∫Ω

|∇u|2dx) 1

2(∫

Ω

|∇v|2dx) 1

2

≤ 2 max(λ, n2K)‖u‖H1(Ω)‖v‖H1(Ω),

co razem z (1.56) implikuje, ze dla dowolnego u ∈ H1(Ω)

2 max(λ, n2K)‖u‖2H1(Ω) ≥ bNλ (u, u) ≥ min(c, λ)‖u‖2

H1(Ω). (1.57)

Ponadto

‖λu− ANu‖L2(Ω)‖u‖2H1(Ω) ≥ (λu− ANu, u) = bNλ (u, u) ≥ min(c, λ)‖u‖2

H1(Ω),

skad otrzymujemy, ze

‖λu− ANu‖L2(Ω) ≥ min(c, λ)‖u‖H1(Ω). (1.58)

33

Stad mamy, ze operator λI − AN jest róznowartosciowy. Niech f ∈ L2(Ω) bedzie pewnafunkcja. Z nierównosci (1.57) forma bNλ jest iloczynem skalarnym na przestrzeni H1(Ω),który wyznacza norme równowazna z norma wyjsciowa na tej przestrzeni. Zatem z Twier-dzenia Riesza istnieje u ∈ H1(Ω) takie, ze

bNλ (u, v) = (f, v) dla v ∈ H1(Ω). (1.59)

Stad wynika, ze u ∈ D(AN) oraz λu−ANu = f i w konsekwencji Im (λI−AN) = L2(Ω).Na mocy (1.58) otrzymujemy, ze λI −AN jest róznowartosciowy, a zatem odwracalny oraz

min(c, λ)‖u‖L2(Ω) ≤ ‖λu− ANu‖L2(Ω). (1.60)

Dlatego dla dowolnej funkcji f ∈ L2(Ω), otrzymujemy, ze

‖(λI − AN)−1f‖L2(Ω) ≤ 1/min(c, λ)‖f‖L2(Ω).

Podsumowujac, mamy wiec, ze (0,+∞) ⊂ %(A). W szczególnosci, korzystajac z Lematu1.1 i udowodnionej wczesniej symetrycznosci wnosimy, ze operatorAN jest samosprzezony.Na mocy punktu (a) Uwagi 1.35 mamy, ze

(ANu, u) ≥ c

∫Ω

|∇u|2 dx ≥ 0 dla u ∈ D(AN). (1.61)

Dlatego na mocy Stwierdzenia 1.27 operatorAN jest wycinkowy, co zgodnie z Twierdzeniem1.28 oznacza, ze AN generuje równociagła półgrupe. Jesli teraz B ⊂ L2(Ω) jest zbioremograniczonym, to na mocy nierównosci (1.58) mamy, ze zbiór (λI − AN)−1B jest ogra-niczony w H1(Ω). Dlatego korzystajac z Twierdzenia Rellicha–Kondraszowa (patrz Twier-dzenie 6.11) mamy, ze AN ma zwarte rezolwenty, gdyz jak wykazalismy %(A) 6= ∅. Wkonsekwencji z Twierdzenia 1.17 wnosimy, ze półgrupa generowana przez operator AN jestzwarta.

Przykładem operatora eliptycznego drugiego rzedu jest −∆N , gdzie ∆N jest operatoremLaplace’a z warunkami brzegowymi Neumanna danym jako

D(∆N) :=

u ∈ H1(Ω) | istnieje f ∈ L2(Ω) takie, ze

−∫

Ω

∇u∇h dx =

∫Ω

fh dx dla h ∈ H1(Ω)

∆Nu := f, gdzie f jest jak w definicji D(∆N).

Wniosek 1.40 Operator ∆N generuje zwarta C0 półgrupe na przestrzeni L2(Ω). Ponadtojesli Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, ograniczonym i spójnym, to

Ker ∆N = u ∈ H1(Ω) | u jest stała na Ω. (1.62)

Dowód. Z punktu (c) Twierdzenia 1.39 wiemy, ze ∆N generuje zwarta C0 półgrupe.Załózmy teraz, ze u ∈ Ker ∆N . Wtedy zgodnie z (1.61) mamy, ze∫

Ω

|∇u|2 dx = 0,

co wobec spójnosci zbioru Ω implikuje, ze u jest funkcja stała. Oczywiscie funkcje stałenaleza do jadra operatora ∆N , a stad juz mamy (1.62).

34

2 Stopien topologiczny

W tym rozdziale opiszemy własnosci stopnia topologicznego dla dwóch klas odwzoro-wan. Na poczatku naszkicujemy teorie stopnia topologicznego dla zaburzen generatorówzwartych C0 półgrup (patrz [16]). Nastepnie skonstruujemy stopien topologiczny dla klasyodwzorowan, którymi sa nieliniowe zaburzenia dodatnio okreslonych operatorów wycinko-wych. Przypadek ten rózni sie od poprzednich poniewaz dziedzina zaburzenia bedzie prze-strzen ułamkowa wyznaczona przez operator wycinkowy.

2.1 Stopien topologiczny dla zaburzen generatorów zwartych C0 pół-grup

Teoria stopnia topologicznego dla pełnociagłych zaburzen identycznosci moze zostacuogólniona na przypadek odwzorowan postaci −A + F , gdzie A : D(A) → X jest ge-sto okreslonym operatorem liniowym takim, ze −A generuje zwarta C0 półgrupe, zas F :X → X jest odwzorowaniem ciagłym. W tym przypadku za odwzorowanie dopuszczalneuznajemy odwzorowanie postaci −A + F : U ∩ D(A) → X , gdzie U ⊂ X jest otwarty iograniczony oraz• operator −A jest generatorem zwartej C0 półgrupy SA(t)t≥0,• odwzorowanie F : X → X jest ograniczone tzn. obrazami zbiorów ograniczonych sa

zbiory ograniczone,• 0 /∈ (−A+ F )(∂U ∩D(A)).

Przez homotopie w klasie odwzorowan dopuszczalnych rozumiemy odwzorowanie (λ, x) 7→A(λ)x+ F (λ, x), okreslone na [0, 1]×U ∩D(A), gdzie A(λ) : D(A(λ))→ Xλ∈[0,1] jestrodzina operatorów liniowych, zas F : [0, 1]×X → X jest funkcja ciagła oraz• istnieja stałe ω i M > 0 takie, ze A(λ) ∈ K(M,ω) dla λ ∈ [0, 1],• −A(λ)x+ F (λ, x) 6= 0 dla λ ∈ [0, 1], x ∈ ∂U ∩D(A(λ)),• rodzina A(λ)λ∈[0,1] jest G–ciagła (patrz Definicja 1.20),• rodzina półgrup SA(λ)λ∈[0,1] jest zwarta,• odwzorowanie F : [0, 1] × X → X jest ograniczone tzn. obrazami zbiorów ograni-

czonych w [0, 1]×X sa zbiory ograniczone w X .

Uwaga 2.1 Jesli−A+F : U∩D(A)→ X jest odwzorowaniem dopuszczalnym, to zgodniez załozeniem operator −A jest generatorem zwartej C0 półgrupy SA(t)t≥0, co zgodnie zTwierdzeniem 1.17 oznacza, ze operator −A ma zwarte rezolwenty.

Dla odwzorowana dopuszczalnego −A+ F : U ∩D(A)→ X mozemy zdefiniowac

deg(−A+ F,U) := degLS(I − (µI + A)−1(µI + F ), U) dla µ > ω, (2.1)

gdzie przez degLS oznaczamy stopien Lerey’a-Schaudera (patrz Dodatek), zas ω ∈ R jesttakie, ze ‖SA(t)‖ ≤ Meωt dla pewnej stałej M ≥ 1 i t ≥ 0. Istotnie, jesli −Ax+ F (x) 6= 0

35

dla x ∈ ∂U ∩ D(A), to równiez (µI + A)−1(µI + F )(x) 6= x dla dowolnego µ ∈ %(−A).Dlatego wobec Uwagi 1.19 i Uwagi 2.1 wzór (2.1) ma sens. Ponadto korzystajac z własnoscirezolwenty, mozna udowodnic, ze powyzsza definicja nie zalezy od wyboru µ ∈ (ω,+∞).

Przyporzadkowanie zdefiniowane wzorem (2.1) posiada nastepujace własnosci• (istnienie) jesli deg(−A+F,U) 6= 0, to istnieje x ∈ U∩D(A) takie, ze−Ax+F (x) =

0;• (addytywnosc) jesli U1, U2 ⊂ U sa rozłacznymi zbiorami otwartymi takimi, ze x ∈U | − Ax+ F (x) = 0 ⊂ U1 ∪ U2, to

deg(−A+ F,U) = deg(−A+ F,U1) + deg(−A+ F,U2);

• (homotopijna niezmienniczosc) jesli odwzorowanie (λ, x) 7→ A(λ)x + F (λ, x) okre-slone na [0, 1]× (U ∩D(A(λ))) jest homotopia dopuszczalna, to

deg(−A(0) + F (0, ·), U) = deg(−A(1) + F (1, ·), U).

2.2 Stopien topologiczny dla zaburzen operatorów wycinkowych

W tej czesci pracy podamy dokładna konstrukcje stopnia topologicznego dla odwzoro-wan bedacych zaburzeniami operatorów wycinkowych.

Niech α ∈ (0, 1). Przez klase odwzorowan dopuszczalnych bedziemy rozumiec zbiórA(α,X) złozony z odwzorowan postaci −A+ F : U ∩D(A)→ X , dla których• operator A jest wycinkowy, re σ(A) > 0 oraz ma zwarte rezolwenty,• odwzorowanie F : Xα → X jest ciagłe i ograniczone (przekształca zbiory ograni-

czone w Xα w zbiory ograniczone w X),• U ⊂ Xα jest otwarty, ograniczony oraz −Ax+ F (x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ∩D(A).

Uwaga 2.2 JesliA jest operatorem wycinkowym o zwartych rezolwentach takim, ze re σ(A) >0, to na mocy Wniosku 1.30 wnosimy, ze −A jest generatorem równociagłej półgrupySA(t)t≥0, dla której istnieja stałe M,ω > 0 takie, ze

‖SA(t)‖ ≤Me−ωt dla t ≥ 0.

Ponadto z Twierdzenia 1.17 otrzymujemy, ze SA(t)t≥0 jest zwarta półgrupa.

Niech ω > 0 oraz niech A(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,−ω) bedzie rodzina operatorów wy-cinkowych. Dla λ ∈ [0, 1] oraz α ∈ (0, 1), symbolem Xα

λ bedziemy oznaczac przestrzenułamkowa rzedu α wyznaczona przez operator A(λ). Ponadto, dla kazdego α ∈ (0, 1) zrodzina ta mozemy stowarzyszyc przestrzen metryczna (X α, d), która definiujemy jako

X α :=

(λ, x) ∈ [0, 1]×X∣∣ x ∈ Xα

λ

d ((λ, x), (µ, y)) := |λ− µ|+ ‖A(λ)αx− A(µ)αy‖ dla (λ, x), (µ, y) ∈ X α.

Niech W ⊂ X α bedzie otwartym podzbiorem, zas F : W → X niech bedzie funkcja ciagła.Jesli λ ∈ [0, 1], to mozemy zdefiniowac zbiór

Wλ := x ∈ Xαλ | (λ, x) ∈ W,

36

który bedziemy nazywac cieciem zbioru W na poziomie λ. Jak nietrudno zauwazyc, Wλ jestotwarty w normie przestrzeni Xα

λ oraz jego domkniecie Wλ w Xαλ , spełnia inkluzje λ ×

Wλ ⊂ W . Dlatego, tez uzasadnione jest rozpatrywanie ciagłego odwzorowaniaF (λ, ·) : Wλ →X . Zauwazmy, ze dla dowolnego α ∈ (0, 1), odwzorowanie Aα : X α → [0, 1] × X danewzorem

Aα(λ, x) := (λ,A(λ)αx)

jest homeomorfizmem i dlatego, jesli W ⊂ X α jest zbiorem otwartym, to zbiór

Aα(W ) = (λ,A(λ)αx) | (λ, x) ∈ W ⊂ [0, 1]×X

jest równiez zbiorem otwartym w przestrzeni [0, 1]×X .Powiemy, ze odwzorowania−A0+F0 : U0∩D(A0)→ X oraz−A1+F1 : U1∩D(A1)→ X ,nalezace do klasyA(α,X), sa homotopijne w sposób dopuszczalny, jesli istnieje taka rodzinaoperatorów wycinkowych A(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,−ω), gdzie ω > 0, odwzorowanie ciagłeF : X α → X okreslone na przestrzeni X α wyznaczonej przez rodzine A(λ)λ∈[0,1] orazotwarty i ograniczony zbiór W ⊂ X α, ze(H1) Ai = A(i), Fi = F (i, ·) oraz Ui = Wi = x ∈ Xα | (i, x) ∈ W, dla i = 0, 1,(H2) −A(λ)x+ F (λ, x) 6= 0 dla (λ, x) ∈ ∂W ∩ (λ, x) ∈ [0, 1]×X | x ∈ D(A(λ)),(H3) rodzina półgrup SA(λ)λ∈[0,1] jest zwarta,(H4) rodzina A(λ)λ∈[0,1] jest G–ciagła,(H5) odwzorowanie F : X α → X przeprowadza zbiory ograniczone w przestrzeni X α w

zbiory ograniczone w X .Zanim przejdziemy do dalszych rozwazan przedyskutujmy kilka technicznych lematów.

Lemat 2.3 Załózmy, ze A(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,−ω), gdzie ω > 0 jest rodzina operatorówliniowych oraz niech V ⊂ X bedzie zbiorem ograniczonym. Jesli α ∈ (0, 1), to

(a) dla kazdego ε > 0 istnieje t1 > 0 takie, ze∥∥∥∥∫ ∞t

tα−1SA(λ)(t)x dt

∥∥∥∥ ≤ ε dla t ≥ t1, λ ∈ [0, 1], x ∈ V, (2.2)

(b) dla kazdego ε > 0 istnieje t0 > 0 takie, ze∥∥∥∥∫ t

0


∥∥∥∥ ≤ ε dla t ∈ (0, t0), λ ∈ [0, 1], x ∈ V, (2.3)

(c) jesli dodatkowo rodzina półgrup SA(λ)λ∈[0,1] jest zwarta, zas rodzina operatorówA(λ)λ∈[0,1] jest G–ciagła, to dla dowolnych b > a > 0, θ ∈ (0, 1) zbiór

V0 := tθ−1SA(λ)(t)x | λ ∈ [0, 1], t ∈ [a, b], x ∈ V jest relatywnie zwarty.

Dowód. (a) Niech R > 0 bedzie takie, ze V ⊂ B(0, R). Z załozenia ‖SA(λ)(t)‖ ≤ Me−ωt

dla λ ∈ [0, 1], t ≥ 0. Skoro α ∈ (0, 1), dla dowolnych t > 1, λ ∈ [0, 1] oraz x ∈ V mamy∥∥∥∥∫ ∞t


∥∥∥∥ ≤ ∫ ∞t

‖tα−1SA(λ)(t)x‖ dt ≤∫ ∞t

Mtα−1e−ωt‖x‖ dt

≤∫ ∞t

MRe−ωt dt = (MR/ω)e−ωt. (2.4)

37

Kładac t1 := max(1,− ln( εωRM

)/ω), dla dowolnych t ≥ t1, λ ∈ [0, 1], x ∈ V mamy∥∥∥∥∫ ∞t


∥∥∥∥ ≤ (MR/ω)e−ωt ≤ (MR/ω)e−ωt1 ≤ ε,

co konczy dowód punktu (a).(b) Ponownie, niech R > 0 bedzie takie, ze V ⊂ B(0, R). Wówczas dla dowolnych t > 0,λ ∈ [0, 1], x ∈ V∥∥∥∥∫ t

0


∥∥∥∥ ≤ ∫ t

0

‖tα−1SA(λ)(t)x‖ dt ≤∫ t

0

Mtα−1e−ωt‖x‖ dt

≤∫ t

0

MRtα−1 dt =MR

αtα. (2.5)

Kładac t0 = (εα/MR)1α , dla dowolnych t ∈ (0, t0), λ ∈ [0, 1], x ∈ V , otrzymujemy∥∥∥∥∫ t

0


∥∥∥∥ ≤ MR

αtα ≤ MR

αtα0 ≤ ε,

co konczy dowód punktu (b).(c) Dla dowolnego ε ∈ (0, a) oznaczmy

C(ε) := SA(λ)(ε)x | λ ∈ [0, 1], x ∈ V .

Zauwazmy, ze zgodnie z załozeniem lematu, zbiór C(ε) jest relatywnie zwarty oraz

V0 = tθ−1SA(λ)(t− ε)SA(λ)(ε)x | λ ∈ [0, 1], t ∈ [a, b], x ∈ V ⊂ tθ−1SA(λ)(t− ε)y | λ ∈ [0, 1], t ∈ [a, b], y ∈ C(ε) =: V1. (2.6)

Zgodnie z Twierdzeniem 1.21, funkcja (λ, t, x) 7→ tθ−1SA(λ)(t)x ∈ X jest ciagła na zbiorze[0, 1]× [a− ε,+∞)×X . Stad zbiór V1 jest relatywnie zwarty jako obraz zbioru relatywniezwartego [0, 1]× [a− ε, b− ε]× C(ε). Korzystajac z inkluzji (2.6) mamy, ze równiez zbiórV0 jest relatywnie zwarty, co konczy dowód punktu (c).

Lemat 2.4 Niech A(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,−ω), gdzie ω > 0 bedzie G–ciagła rodzina ope-ratorów wycinkowych, dla których rodzina SA(λ)λ∈[0,1] jest zwarta. Wtedy, dla dowolnegoθ ∈ (0, 1), odwzorowanie ψ : [0, 1]×X → X dane wzorem ψ(λ, x) := A(λ)−θx jest pełno-ciagłe.

Uwaga 2.5 Zauwazmy, ze z definicji całki wynika, ze jesli Y jest przestrzenia Banacha, zasu ∈ C([a, b], Y ) funkcja ciagła, to∫ b

a

u(s) ds ∈ (b− a) conv u([a, b]).

38

Dowód Lematu 2.4. Udowodnimy najpierw, ze odwzorowanie ψ jest ciagłe. Niech ciagi(xn) ⊂ X oraz (λn) ⊂ [0, 1] beda takie, ze xn → x0 i λn → λ0. Z definicji potegi ułamkowejmamy

A(λ)−θx =1

Γ(θ)

∫ ∞0

tθ−1SA(λ)(t)x dt dla λ ∈ [0, 1], x ∈ X. (2.7)

Niech ε > 0. Z Lematu 2.3 (a) i (b) otrzymujemy, ze istnieja liczby rzeczywiste t1 > t0 > 0takie, ze ∥∥∥∥ 1

Γ(θ)

∫ ∞t1

tθ−1SA(λn)(t)xn dt

∥∥∥∥ ≤ ε/5 oraz (2.8)∥∥∥∥ 1

Γ(θ)

∫ t0

0


∥∥∥∥ ≤ ε/5 dla n ≥ 0. (2.9)

Na mocy Twierdzenia 1.21 mozemy wybrac liczbe całkowita n0 ≥ 1 taka, ze∥∥∥∥∫ t1

t0

tθ−1SA(λn)(t)xn −∫ t1

t0

tθ−1SA(λ0)(t)x0

∥∥∥∥ dt ≤ Γ(θ)ε/5 dla n ≥ n0. (2.10)

Istotnie, istnieje liczba naturalna n0 taka, ze

‖SA(λn)(t)xn − SA(λ0)(t)x0‖ ≤εθΓ(θ)

5(tθ1 − tθ0)dla n ≥ n0, t ∈ [t1, t0]

i w konsekwencji∥∥∥∥∫ t1

t0

tθ−1SA(λn)(t)xn dt−∫ t1

t0

tθ−1SA(λ0)(t)x0 dt

∥∥∥∥≤∫ t1

t0

tθ−1‖SA(λn)(t)xn − SA(λ0)(t)x0‖ dt

≤ εθΓ(θ)

5(tθ1 − tθ0)

∫ t1

t0

tθ−1 dt = Γ(θ)ε/5 dla n ≥ n0.

Wykorzystujac (2.8), (2.9), (2.10), dla n ≥ n0 mozemy napisac

Γ(θ)‖A(λn)−θxn − A(λ0)−θx0‖

≤∥∥∥∥∫ ∞

0

tθ−1SA(λn)(t)xn dt−∫ ∞

0


∥∥∥∥≤∥∥∥∥∫ t0

0


0


∥∥∥∥+

∥∥∥∥∫ t1

t0


t0


∥∥∥∥+

∥∥∥∥∫ ∞t1

tθ−1SA(λn)(t)xn dt−∫ ∞t1


∥∥∥∥≤∥∥∥∥∫ t0

0


∥∥∥∥+

∥∥∥∥∫ t0

0


∥∥∥∥+

∥∥∥∥∫ ∞t1


∥∥∥∥+

∥∥∥∥∫ ∞t1


∥∥∥∥+ ε/5

≤ Γ(θ)(ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5) = Γ(θ)ε,

39

co konczy dowód ciagłosci odwzorowania ψ.Aby udowodnic jego pełnociagłosc, wezmy zbiór ograniczony Ω ⊂ X . Trzeba pokazac, zezbiór A(λ)−θx | (λ, x) ∈ [0, 1] × Ω jest relatywnie zwarty. To z kolei jest równowaznetemu, ze dla dowolnych ciagów (λn) ⊂ [0, 1], (xn) ⊂ Ω zbiór A(λn)−θxn | n ≥ 1 jestrelatywnie zwarty. Ustalmy liczbe ε > 0. Powołujac sie ponownie na Lemat 2.3 (a) i (b),wnosimy, ze istnieja liczby t1 > t0 > 0 takie, ze

V1 :=

∫ ∞t1

tθ−1SA(λn)(t)xn dt∣∣∣ n ≥ 1

⊂ B(0, ε/2) oraz (2.11)

V2 :=

∫ t0

0


⊂ B(0, ε/2). (2.12)

Na mocy Uwagi 2.5 otrzymujemy

Vε : =

∫ t1

t0


⊂⋃n≥1

(t1 − t0)conv tθ−1SA(λn)(t)xn | t ∈ [t0, t1]

⊂ (t1 − t0)conv tθ−1SA(λn)(t)xn | t ∈ [t0, t1], n ≥ 1⊂ (t1 − t0)conv tθ−1SA(λ)(t)x | t ∈ [t0, t1], λ ∈ [0, 1], x ∈ Ω =: V3.

Wobec zwartosci rodziny SA(λ)λ∈[0,1] i Lematu 2.3 (c) zbiór

V4 := tθ−1SA(λ)(t)x | t ∈ [t0, t1], λ ∈ [0, 1], x ∈ Ω

jest relatywnie zwarty, co wraz z Twierdzeniem 6.8 implikuje, ze zbiór

V3 = (t1 − t0) conv V4 (2.13)

jest zwarty. Wynika stad, ze zbiór Vε jest relatywnie zwarty, gdyz Vε ⊂ V3. Łaczac ze soba(2.7), (2.11), (2.12) mamy, ze

A(λn)−θxn | n ≥ 1 ⊂ V1 + V2 + Vε ⊂ Oε(Vε).

Wobec dowolnosci ε > 0 i Twierdzenia 6.7 otrzymujemy, ze zbiór

A(λn)−θxn | n ≥ 1

jest relatywnie zwarty, co konczy dowód pełnociagłosci odwzorowania ψ.

Wniosek 2.6 Jesli operator A jest wycinkowy, ma zwarte rezolwenty, re σ(A) > 0 oraz1 ≥ α > β ≥ 0, to inkluzja Xα ⊂ Xβ jest ciagła i zwarta.

Dowód. Zauwazmy, ze na mocy punktu (d) Twierdzenia 1.33 mamy

Aβx = Aβ−αAαx dla x ∈ Xα. (2.14)

Na mocy załozenia, Aβ−α ∈ L(X), wiec

‖x‖β = ‖Aβx‖ = ‖Aβ−αAαx‖ ≤ ‖Aβ−α‖‖Aαx‖ = ‖Aβ−α‖‖x‖α dla x ∈ Xα,

40

co dowodzi ciagłosci inkluzji. Na mocy Wniosku 1.30 operator −A generuje równociagłapółgrupe spełniajaca oszacowanie

‖SA(t)‖ ≤Me−ωt dla t ≥ 0,

gdzie M,ω > 0. Wobec faktu, ze operator A ma zwarte rezolwenty i Twierdzenia 1.17półgrupa generowana przez operator −A jest zwarta. Na mocy Lematu 2.4 operator Aβ−α

jest zwarty, gdyz β − α ∈ (0, 1), co wobec (2.14) dowodzi zwartosci włozenia.

Lemat 2.7 Niech −A + F : U ∩D(A) → X bedzie odwzorowaniem dopuszczalnym. Jesliα ∈ (0, 1) oraz (−ω,+∞) ⊂ %(−A), to dla dowolnych b > a > −ω, odwzorowanieφ : [a, b]× U → Xα dane wzorem

φ(λ, x) := x− iα(λI + A)−1(λI + F )(x), (2.15)

gdzie iα : X1 → Xα jest włozeniem, jest dopuszczalna homotopia w teorii stopnia Leray’a-Schaudera.

Dowód. Niech odwzorowania φ1 : [a, b] × X → X1 i φ2 : [a, b] × Xα → [a, b] × X bedadane wzorami

φ1(λ, x) := (λI + A)−1x dla (λ, x) ∈ [a, b]×X,φ2(λ, x) := (λ, λx+ F (x)) dla (λ, x) ∈ [a, b]×Xα.

Zauwazmy, ze wtedy φ = I − (iα φ1 φ2)|[a,b]×U . Udowodnimy, ze φ1 jest ciagłe orazprzekształca zbiory ograniczone w swojej dziedzinie w zbiory ograniczone w X1. W tymcelu niech (λn) ⊂ [a, b] oraz (xn) ⊂ X beda ciagami takimi, ze λn → λ0 oraz xn → x0, gdyn→ +∞. Wystarczy udowodnic, ze

‖Aφ1(λn, xn)− Aφ1(λ0, x0)‖ → 0 gdy n→ +∞.

Skoro [a, b] ⊂ %(−A), mamy wiec

A(λI + A)−1x = x− λ(λI + A)−1x dla λ ∈ [a, b], x ∈ X. (2.16)

Dlatego

‖Aφ1(λn, xn)− Aφ1(λ0, x0)‖ = ‖A(λnI + A)−1xn − A(λ0I + A)−1x0‖ (2.17)≤ ‖λn(λnI + A)−1xn − λ0(λ0I + A)−1xn‖

+ ‖λ0(λ0I + A)−1xn − λ0(λ0I + A)−1x0‖+ ‖xn − x0‖.

Korzystajac z ciagłosci odwzorowania λ 7→ (λI + A)−1 ∈ L(X) okreslonego na %(−A) iprzechodzac w (2.17) do granicy przy n→ +∞, otrzymujemy, ze

Aφ1(λn, xn)→ Aφ1(λ0, x0) przy n→ +∞.

Korzystajac teraz z (2.16) i z ciagłosci rezolwenty wnosimy, ze φ1 przekształca zbiory ogra-niczone w zbiory ograniczone.

41

Ponadto, nietrudno zauwazyc, ze odwzorowanie φ2 jest równiez ciagłe i ograniczone. Namocy Wniosku 2.6 włozenie iα jest zwarte, wiec w szczególnosci odwzorowanie φ = iα φ1 φ2 jest pełnociagłe. Ponadto iα(λI +A)−1(λI + F )(x) 6= x dla dowolnego λ ∈ %(−A)i x ∈ ∂U , gdyz 0 /∈ (−A+ F )(∂U ∩D(A)). Dlatego odwzorowanie φ dane wzorem (2.15)jest dopuszczalna homotopia w teorii stopnia Leray’a-Schaudera.

Niech −A + F : D(A) ∩ U → X bedzie odwzorowaniem z klasy A(α,X) oraz niechλ ∈ (−ω,+∞) ⊂ %(−A) bedzie ustalone. Zdefiniujmy

degα(−A+ F,U) := degLS(I − iα(λI + A)−1(λI + F ), U). (2.18)

Na mocy Lematu 2.7 otrzymujemy, ze powyzsza definicja jest poprawna i nie zalezy odwyboru λ > −ω.

Udowodnimy teraz nastepujace

Twierdzenie 2.8 Przyporzadkowanie degα, gdzie α ∈ (0, 1), okreslone wzorem (2.18) po-siada nastepujace własnosci(D1) (istnienie) jesli degα(−A + F,U) 6= 0 dla dopuszczalnego odwzorowania −A + F :

U ∩D(A)→ X , to istnieje x ∈ U taki, ze −Ax+ F (x) = 0;(D2) (addytywnosc) niech −A + F : U ∩ D(A) → X bedzie odwzorowaniem dopusz-

czalnym i niech U1, U2 ⊂ U beda rozłacznymi zbiorami otwartymi takimi, ze x ∈U ∩D(A) | − Ax+ F (x) = 0 ⊂ U1 ∪ U2. Wtedy

degα(−A+ F,U) = degα(−A+ F,U1) + degα(−A+ F,U2);

(D3) (homotopijna niezmienniczosc) jesli dwa odwzorowania dopuszczalne −A0 + F0 :U0 ∩D(A0) → X , −A1 + F1 : U1 ∩D(A1) → X sa homotopijne w sposób dopusz-czalny, to

degα(−A1 + F1, U1) = degα(−A2 + F2, U2);

(D3′) załózmy, ze A : D(A)→ X jest operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0 orazC0 półgrupa generowana przez −A jest zwarta. Niech F : [0, 1] × Xα → X , gdzieα ∈ (0, 1) bedzie odwzorowaniem ciagłym, które przekształca zbiory ograniczone wzbiory ograniczone. Jesli U ⊂ Xα jest zbiorem otwartym i ograniczonym takim, ze−Ax+ F (λ, x) 6= 0 dla λ ∈ [0, 1] oraz x ∈ ∂U ∩D(A), to

degα(−A+ F (0, · ), U) = degα(−A+ F (1, · ), U); (2.19)

(D4) (normalizacja) niech A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym o zwartych re-zolwentach takim, ze re σ(A) > 0. Jesli x0 ∈ A(U ∩ D(A)), to odwzorowanie−A+ x0 : U ∩D(A)→ X jest dopuszczalne oraz degα(−A+ x0, U) = 1.

Dowód. Jak zauwazylismy wczesniej, na mocy Lematu 2.7 prawa strona równosci (2.18) niezalezy od wyboru λ > −ω, gdzie ω > 0 jest takie, ze A ∈ K(M,−ω). Stad w szczególnosci

degα(−A+ F,U) = degLS(I − iαA−1F,U). (2.20)

42

(Istnienie) Niech degα(−A + F,U) 6= 0 oraz niech ω > 0 jest taka, ze A ∈ K(M,−ω).Wtedy degLS(I− iα(µI+A)−1(µI+F ), U) 6= 0, gdzie µ > −ω. Stad, z własnosci istnieniadla stopnia Leray’a-Schaudera mamy, ze (µI +A)−1(µI +F )x = x dla pewnego x ∈ U . Tozas implikuje, ze −Ax+ F (x) = 0.

(Addytywnosc) Niech µ > −ω. Nietrudno zauwazyc, ze x ∈ U | x − iα(µI + A)−1(µI +F )(x) = 0 = x ∈ U | − Ax + F (x) = 0 ⊂ U1 ∪ U2. Wykorzystujac własnoscaddytywnosci stopnia Leray’a-Schaudera otrzymujemy

degα(−A+ F,U) = degLS(I − iα(µI + A)−1(µI + F ), U)

= degLS(I − iα(µI + A)−1(µI + F )|U1 , U1)

+ degLS(I − iα(µI + A)−1(µI + F )|U2 , U2)

= degα(−A+ F,U1) + degα(−A+ F,U2),

czego nalezało dowiesc.

(Homotopijna niezmienniczosc) Załózmy, ze −A0 + F0 : D(A0) → X oraz −A1 + F1 :D(A1) → X sa odwzorowaniami z klasy A(α,X), które sa homotopijne w sposób do-puszczalny. Niech A(λ)λ∈[0,1] bedzie rodzina operatorów wycinkowych, F : X α → Xodwzorowaniem ciagłym, zas W ⊂ X α zbiorem otwartym i ograniczonym takim, ze speł-nione sa warunki (H1) – (H5). Zauwazmy, ze dla dowolnego λ ∈ [0, 1] odwzorowanieA(λ)α : Xα

λ → X jest liniowym izomorfizmem. Z punktu (d) Twierdzenia 1.33 dla do-wolnego λ ∈ [0, 1] mamy, ze A(λ)−1 = A(λ)−αA(λ)α−1, co w konsekwencji implikuje,ze

A(λ)αA(λ)−1x = A(λ)α−1x dla x ∈ X. (2.21)

Dlatego zgodnie z (2.7) i Twierdzeniem 6.1, dla dowolnego λ ∈ [0, 1] otrzymujemy

degα(−A(λ) + F (λ, · ),Wλ) = degLS(I − iαA(λ)−1F (λ, · ),Wλ)

= degLS(I − A(λ)αA(λ)−1F (λ,A(λ)−α · ), A(λ)αWλ)

= degLS(I − A(λ)α−1F (λ,A(λ)−α · ), A(λ)αWλ),

co w konsekwencji oznacza, ze

degα(−A(i) + F (i, · ),Wi) = degLS(I − A(i)α−1F (i, A(i)−α · ), A(i)αWi) (2.22)

dla i = 0, 1. Oznaczmy WX := Aα(W ) i rozwazmy odwzorowanie φ : WX → X danewzorem

φ(λ, x) := A(λ)α−1F (λ,A(λ)−αx).

Na mocy Lematu 2.4 z θ := 1 − α otrzymujemy, ze φ jest odwzorowaniem pełnociagłym,gdyz F : X α → X jest ograniczone. Ponadto φ(λ, x) 6= x dla (λ, x) ∈ ∂WX . Rzeczy-wiscie, jesli istniałaby para (λ, x) ∈ ∂WX taka, ze φ(λ, x) = x, to zachodziłaby równoscA(λ)α−1F (λ,A(λ)−αx) = x. Stad, zgodnie z (2.21) mozemy napisac, ze y = A(λ)−αx ∈D(A(λ)) oraz

F (λ,A(λ)−αx) = A(λ)y,

co oznacza, ze− A(λ)y + F (λ, y) = 0. (2.23)

43

Wtedy Aα(λ, y) = (λ, x) ∈ ∂WX , co implikuje, ze (λ, y) ∈ ∂W , gdyz Aα jest homeomor-fizmem. To zas przeczy dopuszczalnosci homotopii. Stad na mocy homotopijnej niezmien-niczosci stopnia Leray’a-Schaudera (patrz Dodatek), mamy

degLS(I − φ(0, ·), (WX)0) = degLS(I − φ(1, ·), (WX)1). (2.24)

Nietrudno sprawdzic, ze

(WX)i = A(i)αWi dla i = 0, 1,

co wobec (2.22) oraz (2.24) implikuje, ze

degα(−A(0) + F (0, ·),W0) = degLS(I − A(0)α−1F (0, A(0)−α · ), A(0)αW0)

= degLS(I − φ(0, · ), (WX)0)

= degLS(I − φ(1, · ), (WX)1)

= degLS(I − A(1)α−1F (1, A(1)−α · ), A(1)αW1)

= degα(−A(1) + F (1, · ),W1),

i tym samym konczy dowód homotopijnej niezmienniczosci.Wnioskiem jest własnosc (D3′). Istotnie, niech A(λ)λ∈[0,1] bedzie rodzina operatorów za-dana jako A(λ) := A dla λ ∈ [0, 1]. Z Uwagi 2.2 istnieja stałe M ≥ 1, ω > 0 takich, zeA(λ)λ∈[0,1] ⊂ K(M,−ω). Nietrudno zauwazyc, ze w tym przypadku X α = [0, 1] × Xα

oraz d((λ, x), (µ, y)) = |λ − µ| + ‖x − y‖α. Zgodnie z załozeniem odwzorowanie F :X α → X jest ciagłe oraz przekształca zbiory ograniczone w przestrzeni X α w zbioru ogra-niczone w przestrzeni X . Ponadto zbiór W := [0, 1]×U jest otwarty w przestrzeni X α orazW0 = W1 = U . Dlatego korzystajac z (D3), otrzymujemy (2.19).

(Normalizacja) Załózmy, ze x0 ∈ A(U ∩D(A)). Wtedy A−1x0 ∈ U , co wraz z własnoscianormalizacji stopnia Leray’a-Schaudera implikuje, ze degLS(I − iαA−1x0, U) = 1. Dlatego

degα(−A+ x0, U) = degLS(I − iαA−1x0, U) = 1,

co konczy dowód twierdzenia.

3 Zagadnienia rózniczkowe z warunkiem poczatkowym

W tym rozdziale bedziemy rozwazac rodzine zagadnien poczatkowych postaci

(Pλ)

u(t) = −Au(t) + F (λ, t, u(t)) na [t0,+∞)u(t0) = x,

gdzie parametr λ nalezy do pewnej przestrzeni metrycznej Λ. Naszym celem bedzie sfor-mułowanie definicji słabego rozwiazania zagadnienia (Pλ), a nastepnie podanie warunkówwystarczajacych na jego istnienie i jednoznacznosc. Ponadto pokazemy ciagła zaleznoscrozwiazan od parametru λ oraz warunków poczatkowych.

Bedziemy rozrózniac dwa przypadki. Pierwszy z nich obejmuje te sposród zagadnienpoczatkowych (Pλ), dla których operator −A jest generatorem zwartej C0 półgrupy. Drugiprzypadek dotyczy sytuacji, gdy A jest dodatnio okreslonym operatorem wycinkowym, zasprzestrzen stanu to odpowiednia przestrzen ułamkowa wyznaczona przez ten operator.

44

3.1 Istnienie i jednoznacznosc rozwiazan

3.1.1 Nieliniowe zaburzenia generatorów zwartych C0 półgrup

Rozwazmy nieautonomiczne zagadnienie poczatkowe postaci

(PA,F )

u(t) = −Au(t) + F (t, u(t)) na [t0,+∞)u(t0) = x ∈ X,

gdzie gesto okreslony operator liniowy A : D(A) → X na przestrzeni Banacha X jest taki,ze −A generuje zwarta C0 półgrupe SA(t)t≥0, zas F : [t0,+∞)×X → X jest odwzoro-waniem ciagłym spełniajacym nastepujace warunki

(F1)t (lokalny warunek Lipschitza) dla dowolnego x0 ∈ X istnieje otwarte otoczenie V ⊂ Xpunktu x0 i stała L > 0 taka, ze jesli x, y ∈ V , to

‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L‖x− y‖ dla t ∈ [t0,+∞),

(F2)t (warunek subliniowego wzrostu) istnieje funkcja ciagła c : [t0,+∞)→ [0,+∞) taka,ze

‖F (t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖) dla t ∈ [t0,+∞), x ∈ X.

Definicja 3.1 Przez słabe rozwiazanie zagadnienia (PA,F ) zaczynajace sie w punkcie x ∈X , bedziemy rozumiec odwzorowanie u : [t0, t1) → X , t1 > t0 > 0 takie, ze dla kazdegot ∈ [t0, t1) spełnione jest nastepujace równanie całkowe

u(t) = SA(t− t0)x+

∫ t

t0

SA(t− s)F (s, u(s)) ds.

Uwaga 3.2 Jesli odwzorowanie u : [t0, t1) → X jest słabym rozwiazaniem zagadnienia(PA,F ), to dla dowolnych t, s ∈ [t0, t1) takich, ze t > s mamy

u(t) = SA(t− s)u(s) +

∫ t

s

SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ. (3.1)

Rzeczywiscie, mozemy napisac

u(t) = SA(t− t0)u(t0) +

∫ t

t0

SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ

= SA(t− s)SA(s− t0)u(t0) + SA(t− s)(∫ s

t0

SA(s− τ)F (τ, u(τ)) dτ

)+

∫ t

s

SA(t− s)F (τ, u(τ)) dτ

= SA(t− s)u(s) +

∫ t

s

SA(t− s)F (τ, u(τ)) dτ.

45

Twierdzenie 3.3 Niech −A bedzie generatorem zwartej C0 półgrupy SA(t)t≥0 na prze-strzeni X , zas F : [t0,+∞)×X → X niech bedzie odwzorowaniem ciagłym. Wówczas

(a) jesli F przekształca zbiory ograniczone w przestrzeni [t0,+∞) × X w zbiory ogra-niczone w przestrzeni X , to dla dowolnego x0 ∈ X istnieje tmax ∈ (t0,+∞] orazfunkcja u : [t0, tmax) → X bedaca słabym rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego(PA,F ) takim, ze jesli tmax < +∞, to

limttmax

‖u(t)‖ = +∞;

(b) jesli odwzorowanieF spełnia warunek (F1)t, zas u1 : [t0, t1)→ X oraz u2 : [t0, t2)→X sa słabymi rozwiazaniami zagadnienia (PA,F ) z tym samym punktem poczatkowym,to u1(t) = u2(t) dla t ∈ [t0,min(t1, t2));

(c) jesli F spełnia warunki (F1)t, (F2)t, to dla dowolnego x0 ∈ X istnieje dokładniejedno słabe rozwiazanie u : [t0,+∞)→ X , zagadnienia (PA,F ) takie, ze u(t0) = x0.

Dowód. Punkt (a) powyzszego twierdzenia wraz z dowodem mozna znalezc w ksiazce [38](Theorem 6.2.2). Sprawdzimy teraz punkt (b). W tym celu oznaczmy

B := t ∈ [t0,min(t1, t2)) | u1(s) = u2(s) dla s ∈ [t0, t].

Oczywiscie u1(t0) = u2(t0), wiec zbiór B jest niepusty. Niech t′ = supB. Rozumujacprzez sprzecznosc pokazemy, ze t′ = min(t1, t2). Gdyby to nie była prawda wówczas t′ <min(t1, t2). Z ciagłosci funkcji u1, u2 mamy równiez, ze t′ ∈ B. Wybierzmy otoczenie Vpunktu u1(t′) = u2(t′) oraz stała L > 0 taka, ze

‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L‖x− y‖ dla t ∈ [t0,+∞), x, y ∈ V.

Korzystajac ponownie z ciagłosci funkcji u1 i u2, wybierzmy δ > 0 takie, ze δ ∈ (0,min(t1, t2)−t′) oraz

u1([t′, t′ + δ)) ⊂ V oraz u2([t′, t′ + δ)) ⊂ V.

Zauwazmy, ze jesli t ∈ [t′,min(t1, t2)), to zgodnie z Uwaga 3.2 mamy, ze

u1(t) = SA(t− t′)u1(t′) +

∫ t

t′SA(t− s)F (s, u1(s)) ds (3.2)

oraz

u2(t) = SA(t− t′)u2(t′) +

∫ t

t′SA(t− s)F (s, u2(s)) ds. (3.3)

Z punktu (a) Twierdzenia 1.14 istnieja stałe ω ∈ R oraz M ≥ 1, ze


Odejmujac stronami równosci (3.2) i (3.3), a nastepnie korzystajac z faktu, ze u1(t′) =u2(t′), dla t ∈ [t′, t′ + δ), otrzymujemy

‖u1(t)− u2(t)‖ ≤∫ t

t′‖SA(t− s)(F (s, u1(s))− F (s, u2(s)))‖ ds

≤∫ t

t′Me|ω|min(t1,t2)‖F (s, u1(s))− F (s, u2(s))‖ ds

≤∫ t

t′LMe|ω|min(t1,t2)‖u1(s)− u2(s)‖ ds.

46

Zatem z nierównosci Gronwalla (patrz Lemat 6.15) otrzymujemy, ze

‖u1(t)− u2(t)‖ = 0 dla t ∈ [t′, t′ + δ),

co przeczy definicji liczby t′. Zatem t′ = min(t1, t2), co konczy dowód punktu (b).(c) Na mocy punktu (a) tego twierdzenia istnieje funkcja u : [t0, tmax) → X bedaca słabymrozwiazaniem zagadnienia (PA,F ) taka, ze tmax = +∞ lub tmax < +∞ oraz

limttmax

‖u(t)‖ = +∞.

Dla dowolnego t ∈ [t0, tmax)

‖u(t)‖ ≤Meω(t−t0)‖x‖+

∫ t

t0

Meω(t−s)‖F (s, u(s))‖ ds

≤Me|ω|(t−t0)‖x‖+

∫ t

t0

Me|ω|(t−s)c(s)(1 + ‖u(s)‖) ds

≤Me|ω|(tmax−t0)‖x‖+

∫ t

t0

KMe|ω|(tmax−t0)(1 + ‖u(s)‖) ds,

gdzie K := sups∈[t0,tmax] c(s). Dlatego oznaczajac

C1 := Me|ω|(tmax−t0)‖x‖+ (tmax − t0)KMe|ω|(tmax−t0),

C2 := KMe|ω|(tmax−t0),

mozemy napisac, ze

‖u(t)‖ ≤ C1 +

∫ t

t0

C2‖u(s)‖ ds dla t ∈ [t0, tmax).

Na mocy nierównosci Gronwall’a

‖u(t)‖ ≤ C1e∫ tt0C2 = C1e

(tmax−t0)C2 dla t ∈ [t0, tmax),

skad otrzymujemy, ze tmax = +∞. Z udowodnionego wczesniej punktu (b) otrzymujemy,ze u jest jedynym rozwiazaniem naszego zagadnienia, co konczy dowód punktu (c).

3.1.2 Nieliniowe zaburzenia operatorów wycinkowych

Załózmy, ze A : D(A) → X jest gesto okreslonym operatorem wycinkowym na prze-strzeni Banacha X . Bedziemy rozwazac problem istnienia i jednoznacznosci dla nastepuja-cego zagadnienia rózniczkowego

(PαA,F )

u(t) = −Au(t) + F (t, u(t)) na [t0,+∞)u(t0) = x0 ∈ W,

gdzie W ⊂ Xα, α ∈ (0, 1), jest pewnym zbiorem otwartym, zas F : [0,+∞)×W → X jestodwzorowaniem ciagłym spełniajacym nastepujacy warunek

47

(F1)αt dla dowolnych t′ ∈ [t0,+∞), x′ ∈ W istnieje otoczenie V ⊂ [t0,+∞) ×W punktu(t′, x′) oraz stałe L > 0 i 0 < θ ≤ 1 takie, ze dla dowolnych (t, x), (s, y) ∈ V

‖F (t, x)− F (s, y)‖ ≤ L(|t− s|θ + ‖x− y‖α).

W wielu miejscach bedziemy zakładac, ze W = Xα. Wtedy od odwzorowania F bedziemywymagac równiez warunku subliniowego wzrostu

(F2)αt istnieje funkcja ciagła c : [t0,+∞)→ [0,+∞) taka, ze

‖F (t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα, t ∈ [t0,+∞).

Ustalmy najpierw czym jest słabe rozwiazanie powyzszego zagadnienia

Definicja 3.4 Dla dowolnego x0 ∈ W , przez słabe rozwiazanie zagadnienia (PαA,F ) be-

dziemy rozumiec odwzorowanie ciagłe u : [t0, t1)→ W takie, ze

u(t) = SA(t− t0)x0 +

∫ t

t0

SA(t− s)F (s, u(s)) ds (3.4)

dla t ∈ [t0, t1).

Podobnie jak poprzednio odnotujmy nastepujaca uwage, której uzasadnienie jest takiesame jak Uwagi 3.2.

Uwaga 3.5 Jesli odwzorowanie u : [t0, t1) → X , gdzie t1 > t0 > 0 jest słabym rozwiaza-niem zagadnienia (Pα

A,F ), to

u(t) = SA(t− s)u(s) +

∫ t

s

SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ,

dla dowolnych t, s ∈ [t0, t1) takich, ze t > s.

Naszym celem bedzie podanie ogólnego twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci roz-wiazan dla zagadnienia (Pα

A,F ).

Twierdzenie 3.6 Załózmy, ze A jest operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0 orazniech F : [t0,+∞)×W → X , gdzie W ⊂ Xα, α ∈ (0, 1), jest otwarty, bedzie odwzorowa-niem ciagłym.

(a) Jesli odwzorowanie F : [t0,+∞) × Xα → X jest takie, ze zbiór F ([a, b] × V ) jestograniczony w X , gdy V ⊂ W jest ograniczony w Xα i t0 ≤ a < b < +∞, to dlakazdego x0 ∈ W , zagadnienie (Pα

A,F ) ma słabe rozwiazanie u : [t0, t1) → W , gdziet1 > t0.

(b) Jesli odwzorowanie F spełnia warunek (F1)αt oraz załozenie punku (a) tego twier-dzenia, to dla dowolnego x0 ∈ W istnieje słabe rozwiazanie u : [t0, tmax) → Wzagadnienia (Pα

A,F ) takie, ze albo tmax = +∞ albo tmax < +∞ i

lim supttmax

‖u(t)‖α = +∞

albo istnieje y ∈ ∂W takie, ze limttmax u(t) = y.

48

(c) Jesli odwzorowanie F spełnia warunek (F1)αt , to dla dowolnych odwzorowan u1 :[t0, t1) → W , u2 : [t0, t2) → W , które sa słabymi rozwiazaniami zagadnienia (Pα

A,F )takimi, ze u1(t0) = u2(t0) mamy, ze u1(t) = u2(t) dla t ∈ [t0,min(t1, t2)).

(d) Jesli W = Xα oraz F : [t0,+∞) × Xα → X spełnia warunki (F1)αt i (F2)αt , todla dowolnego x0 ∈ Xα zagadnienie (Pα

A,F ) ma dokładnie jedno słabe rozwiazanieu : [t0,+∞)→ Xα.

Lemat 3.7 Niech g : [a,+∞) → X bedzie funkcja ciagła oraz niech t > a > 0 beda usta-lone. Wówczas

(i) istnieje całka niewłasciwa odwzorowania [0, t) 3 s 7→ AαSA(t − s)g(s) ∈ X okre-slona jako granica∫ t

a

AαSA(t− s)g(s) ds := limh→0+

∫ t−h

a

AαSA(t− s)g(s) ds;

(ii) jesli t ≥ a, to∫ taSA(t− s)g(s) ds ∈ D(Aα) oraz

Aα(∫ t

a

SA(t− s)g(s) ds

)=

∫ t

a

AαSA(t− s)g(s) ds.

Dowód. (i) Niech s ∈ [0, t) oraz niech h ∈ (0, t− s). Wtedy z punktu (c) Twierdzenia 1.33otrzymujemy, ze AαSA(h) ∈ L(X), co wobec ciagłosci półgrupy i równosci

AαSA(t− s)g(s) = AαSA(h)SA(t− h− s)g(s),

oznacza, ze odwzorowanie [0, t) 3 s 7→ AαSA(t−s)g(s) ∈ X jest ciagłe na [0, t). Wystarczyzatem sprawdzic, ze ∫ t

a

‖AαSA(t− s)g(s)‖ ds < +∞.

Na mocy Wniosku 1.30 i punktu (c) Twierdzenia 1.33 istnieja stałe M,Mα > 0 takie, ze

‖SA(t)‖ ≤M oraz ‖AαSA(t)‖ ≤Mαt−α dla t > 0. (3.5)

Dlatego ∫ t

a

‖AαSA(t− s)g(s)‖ ds ≤∫ t

a

‖AαSA(t− s)‖‖g(s)‖ ds

≤∫ t

a

Mα(t− s)−α‖g(s)‖ ds

≤ Mαg0

1− α(t− a)1−α,

gdzie g0 := sups∈[a,t] g(s). Aby udowodnic punkt (ii), dla dowolnego h ∈ [a, t] oznaczmy

f(h) :=

∫ t−h

a

SA(t− s)g(s) ds.

49

Wtedy

f(h) = SA(h)

(∫ t−h

a

SA(t− h− s)g(s) ds

)dla h ∈ (a, t],

co wobec punktu (a) Twierdzenia 1.33 implikuje, ze f(h) ∈ D(Aα) dla h ∈ (a, t]. Z punktu(c) tego samego twierdzenia mamy, ze AαSA(h) ∈ L(X) dla h > 0 i dlatego, dla h ∈ (a, t],otrzymujemy

Aαf(h) = AαSA(h)

(∫ t−h

a

SA(t− h− s)g(s) ds

)(3.6)

=

∫ t−h

a

AαSA(h)SA(t− h− s)g(s) ds

=

∫ t−h

a

AαSA(t− s)g(s) ds.

Korzystajac teraz z punktu (a) i z tego, ze operator Aα jest domkniety, po przejsciu w (3.6)do granicy, przy h→ 0 mamy, ze f(0) ∈ D(Aα) oraz

Aαf(0) =

∫ t

a

AαSA(t− s)g(s) ds,

co konczy dowód lematu.

Dowód Twierdzenia 3.6. Punkt (a) twierdzenia jest modyfikacja Theorem 6.3.1 z [38], wktórym teza naszego twierdzenia jest otrzymana przy załozeniach, ze 0 ∈ %(A),półgrupaSA(t)t≥0 jest analityczna oraz ‖SA(t)‖ ≤ M dla t ≥ 0. Dlatego jesli re σ(A) > 0,to 0 ∈ %(A). Ponadto operator A jest wycinkowy, co na mocy Wniosku 1.30 implikuje‖SA(t)‖ ≤ M dla t ≥ 0. Dlatego, zgodnie z Theorem 2.5.2 z [38] wnosimy, ze −A jestgeneratorem półgrupy analitycznej, co dowodzi zasadnosci punktu (a).(b) Rozwazmy zbiór

S(t0, x0) := u : [t0, tu)→ W | u jest słabym rozwiazaniem (PαA,F ).

Na mocy punktu (a) powyzszy zbiór jest niepusty. Wprowadzmy na nim relacje ≥ dana wnastepujacy sposób u1 ≥ u2 wtedy i tylko wtedy, gdy tu1 ≥ tu2 oraz u1(t) = u2(t) dla t ∈[t0, tu2). Nietrudno sprawdzic, ze (S(t0, x0),≥) jest zbiorem czesciowo uporzadkowanym.Ponadto, jesli zbiór

L := uλ : [t0, tuλ)→ Wλ∈Λ ⊂ S(t0, x0)

jest łancuchem, to u0 : [t0, tu0)→ W , gdzie tu0 := supλ∈Λ tuλ , dane wzorem

u0(t) := uλ(t) gdy tuλ > t,

jest poprawnie okreslone oraz jest słabym rozwiazaniem zagadnienia (PαA,F ), a zatem u0 ∈

S(t0, x0). Z definicji u0 mamy u0 ≥ u dla dowolnego u ∈ L, co oznacza, ze u0 jest ogra-niczeniem górnym łancucha L. Z Lematu Kuratowskiego-Zorna otrzymujemy, ze w zbiorzeS(t0, x0) istnieje element maksymalny u : [t0, tmax)→ W .Załózmy, ze tmax < +∞ oraz nieprawda jest, ze lim supttmax

‖u(t)‖α = +∞. Wtedy ist-nieje K0 > 0 takie, ze ‖u(t)‖α ≤ K0 dla t ∈ [t0, tmax). Zgodnie z (F1)αt istnieje stała

50

K1 > 0 taka, ze ‖F (t, u(t))‖α ≤ K1 dla t ∈ [t0, tmax). Udowodnimy teraz, ze dla dowol-nego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, ze jesli t1, t2 ∈ [t0, tmax) sa takie, ze |t1 − tmax| < δ oraz|t2−tmax| < δ, to ‖u(t1)−u(t2)‖α ≤ ε. Niech h ∈ [t0, tmax). Z definicji słabego rozwiazaniai Lematu 3.7, dla t1, t2 ∈ (h, tmax) otrzymujemy

Aαu(t1)− Aαu(t2) = SA(t1 − t0)Aαx0 − SA(t2 − t0)Aαx0 (3.7)

− (SA(t1 − h)− SA(t2 − h))

(∫ h

t0

AαS(h− s)F (s, u(s)) ds

)+ Aα

(∫ t1

h

S(t1 − s)F (s, u(s)) ds

)− Aα

(∫ t2

h

S(t2 − s)F (s, u(s)) ds

).

Powołujac sie na punkt (c) Twierdzenia 1.33 i na Lemat 3.7, dla t, t′ ∈ [t0, tmax), t′ > tmozemy napisac∥∥∥∥∥

∫ t′

t

S(t′ − s)F (s, u(s)) ds

∥∥∥∥∥α

≤∫ t′

t

‖AαS(t′ − s)F (s, u(s))‖ ds

≤∫ t′

t

Mα(t′ − s)−α‖F (s, u(s))‖ ds

≤∫ t′

t

K1Mα(t′ − s)−α ds =K1Mα

(1− α)(t′ − t)1−α.

Stad jesli t, t′ ∈ [t0, tmax), t′ > t oraz |t′ − t| < δ1 := (ε(1− α)/(4MMα))1/(1−α), to∥∥∥∥∥∫ t′

t

S(t′ − s)F (s, u(s)) ds

∥∥∥∥∥α

≤ ε/4. (3.8)

Niech w równosci (3.7), h ∈ (t0, tmax) bedzie takie, ze tmax − h < δ1. Połózmy

y(h) :=

∫ h

t0

AαS(h− s)F (s, u(s)) ds.

Posługujac sie ciagłoscia C0 półgrupy, wybierzmy δ ∈ (0, tmax − h) takie, ze jesli |t1 −tmax| < δ oraz |t2 − tmax| < δ, to

‖SA(t1)Aαx0 − SA(t2)Aαx0‖ ≤ ε/4, (3.9)‖SA(t1 − h)y(h)− SA(t2 − h)y(h)‖ ≤ ε/4. (3.10)

Dlatego powołujac sie na (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) mamy, ze jesli |t1 − tmax| < δ oraz|t2 − tmax| < δ, to

‖u(t1)− u(t2)‖α ≤ ‖SA(t1 − t0)Aαx0 − SA(t2 − t0)Aαx0‖+ ‖SA(t1 − h)y(h)− SA(t2 − h)y(h)‖+ ε/4 + ε/4 ≤ ε.

51

Wobec tego, ze Xα jest przestrzenia Banacha, otrzymujemy, ze istnieje z0 ∈ W ⊂ Xα takie,ze u(t) → z0, gdy t → tmax. Sprawdzimy, ze z0 ∈ ∂W . Gdyby to nie była prawda, toz0 ∈ W , odwzorowanie u(t) : [t0, tmax]→ Xα dane jako

u(t) :=

u(t) dla t ∈ [t0, tmax)z0 dla t = tmax

jest ciagłe, u([t0, tmax]) ⊂ W oraz

u(t) = SA(t− t0)x0 +

∫ t

t0

SA(t− s)F (s, u(s)) ds dla t ∈ [t0, tmax].

Korzystajac teraz z punktu (a) naszego twierdzenia otrzymujemy, ze istnieje ρ > 0 orazw : [tmax, tmax + ρ) → W bedace słabym rozwiazaniem naszego zagadnienia takie, zew(tmax) = z0. Dlatego funkcja w : [t0, tmax + ρ)→ W dana wzorem

w(t) :=

u(t) dla t ∈ [t0, tmax]w(t) dla t ∈ [tmax, tmax + ρ),

jest słabym rozwiazaniem zagadnienia (PαA,F ) zaczynajacym sie w x0. Jednoczesnie w(t) =

u(t) dla t ∈ [t0, tmax), a zatem w ≥ u. W zwiazku z tym, ze u jest elementem maksymalnymw zbiorze (S(t0, x0),≥) mamy w szczególnosci tmax + ρ = tmax, co jest sprzecznoscia gdyzρ > 0. Otrzymana sprzecznosc konczy dowód punktu (b).(c) Oznaczmy

B := t ∈ [t0,min(t1, t2)) | u1(s) = u2(s) dla s ∈ [t0, t]

oraz niech t := supB. Pokazemy, ze t = min(t1, t2). Jesli mielibysmy, ze t < min(t1, t2),to z ciagłosci funkcji u1 i u2 mamy równiez, ze t ∈ B. Na podstawie Uwagi 3.5 mamy, ze

u1(t) = SA(t− t)u1(t) +

∫ t

t

SA(t− s)F (s, u1(s)) ds (3.11)

oraz

u2(t) = SA(t− t)u2(t) +

∫ t

t

SA(t− s)F (s, u2(s)) ds, (3.12)

dla t ∈ [t,min(t1, t2)). Korzystajac z załozenia (F2)αt , mozemy wybrac 0 < δ, otoczenie Vpunktu u1(t) = u2(t) i stała L > 0 takie ze

‖F (s, x)−F (s, y)‖ ≤ L‖x−y‖α dla x, y ∈ V, s ∈ (t−δ, t+δ)∩[t0,+∞). (3.13)

W razie koniecznosci zmniejszajac δ > 0, mozemy załozyc, ze δ ∈ (0,min(t1, t2)− t) i

u1([t, t+ δ)) ⊂ V oraz u2([t, t+ δ)) ⊂ V. (3.14)

Odejmujac stronami równosci (3.11) i (3.12), a nastepnie korzystajac z (3.13), (3.14) oraz(3.5), dla t ∈ [t, t+ δ) mamy

‖u1(t)− u2(t)‖α ≤∫ t

t

‖AαSA(t− s)(F (s, u1(s))− F (s, u2(s))‖ ds

≤∫ t

t

Mα(t− s)−α‖F (s, u1(s))− F (s, u2(s))‖ ds

≤∫ t

t

LMα(t− s)−α‖u1(s)− u2(s)‖α ds.

52

Korzystajac z nierównosci Volterry (patrz Lemat 6.16) wnosimy, ze

‖u1(t)− u2(t)‖α = 0 dla t ∈ [t, t+ δ).

Zatem u1(t) = u2(t) dla t ∈ [0, t+ δ), co przeczy temu, ze t = supB. Mamy stad, ze t = t0i tym samym konczymy dowód punktu (c) Twierdzenia.(d) Nietrudno zauwazyc, ze warunek (F2)αt implikuje, ze zbiór F ([a, b]×V ) jest ograniczonyw X , jesli tylko V ⊂ W jest ograniczony w Xα oraz t0 ≤ a < b < +∞. Zatem zgodniez punktem (b) naszego twierdzenia istnieje funkcja u : [t0, tmax) → Xα bedaca słabymrozwiazaniem zagadnienia (Pα

A,F ). Przypuscmy, ze tmax < +∞. Wtedy

lim supttmax

‖u(t)‖α = +∞ (3.15)

poniewaz ∂Xα = ∅. Dla dowolnego t ∈ [t0, tmax)

Aαu(t) = SA(t)Aαx+

∫ t

t0

AαSA(t− s)F (s, u(s)) ds,

co pociaga za soba

‖u(t)‖α ≤M‖x‖α +

∫ t

t0

Mα

(t− s)α‖F (λ, s, u(s))‖ ds

≤M‖x‖α +

∫ t

t0

Mα

(t− s)αc(s)(1 + ‖u(s)‖α) ds

≤M‖x‖α +KMα

1− α(tmax − t0)1−α +

∫ t

t0

KMα

(t− s)α‖u(s)‖α ds,

gdzie K := sups∈[t0,tmax] c(s). Na mocy Lematu 6.16 istnieje stała C > 0 taka, ze ‖u(t)‖α ≤C dla t ∈ [t0, tmax), a stad

lim supttmax

‖u(t)‖α ≤ C < +∞,

co przeczy (3.15). Dlatego tmax =∞. Ponadto na mocy punktu (c) otrzymujemy, ze dowolneinne słabe rozwiazanie naszego zagadnienia pokrywa sie z rozwiazaniem u na przedzialeswojego istnienia, co konczy dowód punktu (d).

Wykorzystujac powyzsze twierdzenie, na przykładzie zagadnienia autonomicznego osza-cujemy „czas zycia” rozwiazan startujacych z pewnego zbioru ograniczonego.

Lemat 3.8 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem wycinkowym takim, ze re σ(A) > 0,zas F : Xα → X niech bedzie odwzorowaniem ciagłym, które spełnia warunek (F1)αt orazprzekształca zbiory ograniczone w Xα w zbiory ograniczone w X . Wówczas dla kazdegozbioru ograniczonego U ⊂ Xα istnieje zbiór ograniczony V ⊂ X , U ⊂ V oraz liczbat0 > 0 taka, ze dla dowolnego x ∈ U istnieje odwzorowanie u : [0, t0)→ Xα bedace słabymrozwiazaniem zagadnienia (Pα

A,F ) takie, ze u(t) ∈ V dla t ∈ [0, t0).

Dowód. Podobnie jak poprzednio, w dowodzie tego lematu liczby M,Mα > 0 sa takie, ze

‖SA(t)‖ ≤M, ‖ASA(t)‖ ≤Mα/tα dla t > 0.

53

Niech R > 0 bedzie takie, ze U ⊂ B(0, R), R′ > MR oraz b := sup‖F (x)‖ | x ∈B(0, R′ + 1). Niech F0 : B(0, R′ + 1)→ X bedzie odwzorowaniem zadanym jako

F0(x) = F (x) dla x ∈ B(0, R′ + 1).

Rozpatrzmy zagadnienie rózniczkowe

(PαA,F0

)

u(t) = −Au(t) + F0(u(t)), t > 0u(0) = x ∈ B(0, R).

Na mocy punktu (b) Twierdzenia 3.6, dla dowolnego x ∈ B(0, R), istnieje odwzorowanie u :[0, tmax)→ B(0, R′+1), które jest słabym rozwiazaniem zagadnienia (Pα

A,F0) zaczynajacym

sie w x oraz jesli tmax < +∞, to istnieje y ∈ ∂B(0, R′ + 1) takie, ze

limttmax

u(t) = y. (3.16)

Zatem, jesli odwzorowanie u jest słabym rozwiazaniem, to dla t ∈ [0, tmax)

‖u(t)‖α ≤ ‖SA(t)Aαx‖+

∫ t

0

‖AαSA(t− s)F0(u(s))‖ ds

≤M‖x‖α +

∫ t

0

Mα(t− s)−α‖F0(u(s))‖ ds

≤MR +bMαt

1−α

1− α.

Połózmy

t0 :=

(1− α2bMα

)1/(1−α)

.

Sprawdzimy teraz, ze tmax > t0. Jesli tmax ≤ t0, to dla t ∈ [0, tmax)

‖u(t)‖α ≤MR +bMαt

1−α

1− α≤MR +

bMαt01−α

1− α< R′ + 1/2,

co przeczy (3.16). Tym samym udowodnilismy, ze dowolne rozwiazanie zagadnienia (PαA,F0

)zaczynajace sie w zbiorze U jest okreslone na przedziale [0, t0) oraz przyjmuje wartosci wkuli B(0, R′ + 1), wiec wystarczy przyjac V := B(0, R′ + 1).

3.2 Własnosci operatora przesuniecia wzdłuz trajektorii

3.2.1 Zaburzenia nieliniowe generatorów zwartych C0 półgrup

Bedziemy rozwazac zagadnienia

(PA,F,λ) u(t) = −Au(t) + F (λ, t, u(t)), t > 0

gdzie λ jest parametrem z pewnej przestrzeni metrycznej Λ. Zakładamy, ze operator liniowyA : D(A)→ X jest taki, ze −A generuje zwarta C0 półgrupe SA(t)t≥0 na przestrzeni Ba-nacha X . Ponadto F : Λ × [0,+∞) ×X → X jest odwzorowaniem ciagłym, które spełnialokalny warunek Lipschitza i warunek subliniowego wzrostu, czyli

54

(F1)λ dla kazdego λ ∈ Λ i dla dowolnego x0 ∈ X istnieje otoczenie V ⊂ X punktu x0 istała L > 0 takie, ze jesli x, y ∈ V , to

‖F (λ, t, x)− F (λ, t, y)‖ ≤ L‖x− y‖ dla t ∈ [0,+∞),

(F2)λ istnieje funkcja ciagła c : [0,+∞)→ [0,+∞) taka, ze

‖F (λ, t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖) dla λ ∈ Λ, t ∈ [0,+∞), x ∈ X.

Wobec powyzszych załozen i punktu (c) Twierdzenia 3.3, dla kazdego λ ∈ Λ i x ∈ X , ist-nieje słabe rozwiazanie u(· ;λ, x) : [0,+∞)→ X zagadnienia (PA,F,λ) takie, ze u(0 ;λ, x) =x. Dla dowolnego t ≥ 0, niech Φt : Λ×X → X bedzie odwzorowaniem zadanym wzorem

Φt(λ, x) := u(t ;λ, x).

Odwzorowanie Φt nazywamy operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii stowarzyszonym zzagadnieniem (PA,F,λ).

Twierdzenie 3.9 Załózmy, ze operator liniowy A : D(A) → X jest taki, ze −A generujezwarta C0 półgrupe, zas odwzorowanie ciagłe F : Λ× [0,+∞)×X → X spełnia załozenia(F1)λ, (F2)λ. Wtedy odwzorowanie Φt : Λ×X → X jest pełnociagłe, dla t > 0.

W dowodzie powyzszego twierdzenia wykorzystamy nastepujacy lemat

Lemat 3.10 Niech Ω ⊂ X bedzie zbiorem ograniczonym oraz niech u(· : λ, x) bedzie takiejak powyzej. Wtedy

(a) dla dowolnego t0 > 0 zbiór u(t ;λ, x) | t ∈ [0, t0], λ ∈ Λ, x ∈ Ω jest ograniczony;(b) jesli t0 > 0 jest ustalone, to dla kazdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, ze jesli t, t′ ∈ [0, t0]

sa takie, ze t < t′ oraz |t′ − t| < δ, to∥∥∥∥∥∫ t′

t

SA(t′ − s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds

∥∥∥∥∥ ≤ ε dla λ ∈ Λ, x ∈ Ω;

(c) dla kazdego t0 > 0 zbiór∫ t0

0

SA(t0 − s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds∣∣∣ λ ∈ Λ, x ∈ Ω

jest ograniczony.

Dowód. Z punktu (a) Twierdzenia 1.14 istnieja stałe ω ∈ R oraz M ≥ 1 takie, ze


55

(a) Niech R > 0 bedzie takie, ze Ω ⊂ B(0, R). Wtedy zgodnie z definicja słabego rozwia-zania i z warunkiem (F2)λ, dla dowolnego t ∈ [0, t0] mamy

‖u(t ;λ, x)‖ ≤ ‖SA(t)x‖+

∫ t

0

‖SA(t− s)F (λ, s, u(s;λ, x))‖ ds

≤Meωt‖x‖+

∫ t

0

Meω(t−s)c(s)(1 + ‖u(s;λ, x)‖) ds

≤Me|ω|t‖x‖+

∫ t

0

Me|ω|(t−s)c(s)(1 + ‖u(s;λ, x)‖) ds

≤ RMe|ω|t0 +KM

|ω|(e|ω|t0 − 1) +

∫ t

0

KMe|ω|t0‖u(s;λ, x)‖ ds,

gdzie K := sups∈[0,t0] c(s). Uzywajac nierównosci Gronwalla (patrz Lemat 6.15) otrzymu-jemy, ze

‖u(t ;λ, x)‖ ≤ C0et0C1 dla t ∈ [0, t0], λ ∈ Λ x ∈ Ω, (3.17)

gdzie C0 := RMe|ω|t0 +KM(e|ω|t0 − 1)/|ω| oraz C1 := KMe|ω|t0 .(b) Z udowodnionego przed chwila punktu (a) otrzymujemy, ze istnieje stała C > 0 taka, ze‖u(t ;λ, x)‖ ≤ C dla t ∈ [0, t0], λ ∈ Λ oraz x ∈ Ω. Dlatego jesli t, t′ ∈ [0, t0] sa takie, zet′ > t, to∥∥∥∥∥

∫ t′

t

SA(t′ − s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds

∥∥∥∥∥ ≤∫ t′

t

Meω(t′−s)‖F (λ, s, u(s;λ, x))‖ ds

≤∫ t′

t

Me|ω|(t′−s)c(s)(1 + ‖u(s;λ, x)‖) ds

≤∫ t′

t

KMe|ω|t0(1 + C) ds

= (t′ − t)MKe|ω|t0(1 + C).

Kładac δ := ε/(MKe|ω|t0(1 + C)) otrzymujemy teze punktu (b).

(c) Uzywajac poprzednich oznaczen, dla λ ∈ Λ oraz x ∈ Ω, mamy∥∥∥∥∫ t0

0

SA(t0 − s)F (λ, s, u(s ;λ, x)) ds

∥∥∥∥ ≤ ∫ t0

0

Meω(t0−s)c(s)(1 + ‖u(s ;λ, x)‖) ds

≤∫ t0

0

MKe|ω|t0(1 + ‖u(s ;λ, x))‖) ds

≤ t0MKe|ω|t0(1 + C).

Dowód Twierdzenia 3.9. Niech Ω ⊂ X bedzie ograniczony oraz niech t ∈ (0,+∞).Udowodnimy, najpierw ze zbiór Φt(Λ × Ω) jest relatywnie zwarty. Niech ε > 0. Dla 0 <

56

t0 < t, λ ∈ Λ oraz x ∈ Ω mamy

u(t;λ, x) = SA(t)x+ SA(t− t0)

(∫ t0

0

SA(t0 − s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds

)(3.18)

+

∫ t

t0

SA(t− s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds,

co z kolei implikuje, ze

u(t;λ, x) | λ ∈ Λ, x ∈ Ω ⊂ SA(t)Ω + SA(t− t0)Dt0 (3.19)

+

∫ t

t0


,

gdzie

Dt0 :=

∫ t0

0


.

Na mocy punktu (b) Lematu 3.10, istnieje t0 ∈ (0, t) takie, ze∥∥∥∥∫ t

t0

SA(t− s)F (λ, s, u(s;λ, x)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε dla λ ∈ Λ, x ∈ Ω. (3.20)

Na mocy punktu (c) tego samego lematu otrzymujemy, ze zbiórDt0 jest ograniczony. Łaczac(3.19) i (3.20) wnosimy, ze

Φt(Λ× Ω) = u(t;λ, x) | λ ∈ Λ, x ∈ Ω ⊂ Vε +B(0, ε) = Oε(Vε), (3.21)

gdzieVε := SA(t)Ω + SA(t− t0)Dt0 .

Na mocy zwartosci SA(t)t≥0 oraz faktu, ze zbiory Ω i Dt0 sa ograniczone, Vε jest zbioremzwartym. Dlatego z Twierdzenia 6.7 i równosci (3.21) otrzymujemy, ze zbiór Φt(Λ×Ω) jestrelatywnie zwarty, gdyz ε > 0 jest dowolnie małe.Udowodnimy teraz ciagłosc odwzorowania Φt dla t ∈ (0,+∞). Niech (λn) ⊂ Λ i (xn) ⊂ Xbeda ciagami takimi, ze λn → λ0 ∈ Λ oraz xn → x0 ∈ X . Dla kazdego n ≥ 1 przyjmujemyun := u(·;λn, xn). Udowodnimy najpierw równociagłosc ciagu (un). Zaczniemy od dowoduprawostronnej równociagłosci (un) w kazdym punkcie przedziału [0,+∞). Ustalmy t ∈[0,+∞) i niech ε > 0. Jesli h > 0 wtedy mamy, ze

‖un(t+ h)− un(t)‖ ≤ ‖SA(h)un(t)− un(t)‖ (3.22)

+

∥∥∥∥∫ t+h

t

SA(t+ h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ .Zauwazmy, ze dla kazdego t ∈ [0,+∞) zbiór un(t) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty. Dlat = 0 wynika to ze zwartosci (xn), zas dla t ∈ (0,+∞) jest to konsekwencja udowodnio-nej wczesniej relatywnej zwartosci zbioru Φt(Λ × xn | n ≥ 1). Korzystajac z ciagłoscipółgrupy wnosimy, ze istnieje δ0 > 0 taka, ze

‖SA(t+ h)un(t)− SA(t)un(t)‖ ≤ ε/2 dla h ∈ (0, δ0), n ≥ 1. (3.23)

57

Ponadto z Lematu 3.10 (b) istnieje δ ∈ (0, δ0) takie, ze dla h ∈ (0, δ) i n ≥ 1∥∥∥∥∫ t+h

t


∥∥∥∥ ≤ ε/2. (3.24)

Ostatecznie, łaczac ze soba (3.22), (3.23) i (3.24) i zakładajac, ze h ∈ (0, δ) otrzymujemy,ze

‖un(t+ h)− un(t)‖ ≤ ‖SA(h)un(t)− un(t)‖

+

∥∥∥∥∫ t+h

t


∥∥∥∥ ≤ ε/2 + ε/2 = ε

dla kazdego n ≥ 1. Dowodzi to prawostronnej równociagłosc ciagu (un) w dowolnym punk-cie t ∈ [0,+∞).Dla dowodu lewostronnej równociagłosci ustalmy najpierw t ∈ (0,+∞) oraz ε > 0. Jesliliczby h, δ sa takie, ze 0 < h ≤ δ < t, to mozemy napisac

‖un(t)− un(t− h)‖ ≤ ‖un(t)− SA(δ)un(t− δ)‖+ ‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖+ ‖SA(δ − h)un(t− δ)− un(t− h)‖, (3.25)

co w połaczeniu z Uwaga 3.2 implikuje, ze dla dowolnego n ≥ 1

‖un(t)− un(t− h)‖ ≤∥∥∥∥∫ t

t−δSA(t− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥+ ‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖

+

∥∥∥∥∫ t−h

t−δSA(t− h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ . (3.26)

Na mocy punktu (b) Lematu 3.10 istnieje δ ∈ (0, t) taka, ze jesli t1, t2 ∈ [0, t] sa takie, zet2 > t1 oraz |t1 − t2| < δ, to∥∥∥∥∫ t2

t1

SA(t2 − s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (3.27)

Ponownie korzystajac z faktu, ze dla kazdego t ∈ [0,+∞) zbiór un(t) | n ≥ 1 jestrelatywnie zwarty, mozemy wybrac δ1 ∈ (0, δ) takie, ze dla h ∈ (0, δ1) i n ≥ 1 mamy

‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖ ≤ ε/3. (3.28)

Korzystajac z (3.26), (3.27), (3.28), dla h ∈ (0, δ1) mamy

‖un(t)− un(t− h)‖ ≤∥∥∥∥∫ t

t−δSA(t− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥+ ‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖

+

∥∥∥∥∫ t−h

t−δSA(t− h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,

58

co konczy dowód lewostronnej równociagłosci ciagu funkcji (un) w dowolnym punkciet ∈ (0,+∞).Wybierzmy t ∈ (0,+∞), a nastepnie dla kazdego n ≥ 1 oznaczmy wn := un|[0,t]. Udo-wodnimy, ze wn → w0 w przestrzeni C([0, t], X), gdzie w0 = u(· ;λ0, x0)|[0,t0]. W tymcelu pokazemy, ze kazdy podciag ciagu (wn) zawiera podciag zbiezny do w0. Niech (wnk)bedzie dowolnym podciagiem ciagu (wn). Wobec udowodnionej równociagłosci (wn) w do-wolnym punkcie przedziału [0, t] i wobec faktu, ze zbiór wn(s) | n ≥ 1 = un(s) | n ≥ 1jest relatywnie zwarty dla dowolnego s ∈ [0, t], wnosimy, ze ciag (wnk) spełnia załozeniaTwierdzenia Ascoliego-Arzeli. Otrzymujemy stad, ze istnieje podciag (wnkl ) ciagu (wnk),który jest zbiezny w przestrzeni C([0, t], X) do pewnej funkcji w0. Niech dla kazdego l ≥ 1odwzorowanie φl : [0, t]→ X bedzie dana wzorem

φl(s) := SA(t− s)F (λnkl , s, wnkl (s)).

Wobec ciagłosci półgrupy SA(t)t≥0, ciagłosci odwzorowania F , jednostajnej zbieznosciciagu wnkl → w0 oraz Uwagi 6.14 wnosimy, ze φl → φ0 w C([0, t], X), gdzie φ0 : [0, t] →X dane jest wzorem

φ0(s) = SA(t− s)F (λ0, s, w0(s)).

Zgodnie z definicja słabego rozwiazania mamy, ze

wnkl (t′) = SA(t′)xnkl +

∫ t′

0

SA(t′ − s)F (λnkl , s, wnkl (s)) ds

= SA(t′)x0 +

∫ t′

0

φl(s) ds,

dla dowolnego t′ ∈ [0, t]. Dlatego przechodzac w powyzszym wzorze do granicy przy l→∞otrzymujemy, ze dla dowolnego t′ ∈ [0, t]

w0(t′) = SA(t′)x0 +

∫ t′

0

φ0(s) ds

= SA(t′)x0 +

∫ t′

0

SA(t′ − s)F (λ0, s, w0(s)) ds.

Wobec Twierdzenia 3.3 (b) oznacza to, ze w0(t) = u(t ;λ0, x0) dla t′ ∈ [0, t], skad wnio-skujemy, ze (wnkl ) jest podciagiem ciagu (wnk) takim ze wnkl → w0 = u(· ;λ0, x0). Za-tem sprawdzilismy, ze wn → w0 w C([0, t], X). W szczególnosci mamy, ze Φt(λn, xn) →Φt(λn, xn) przy n→∞, skad otrzymujemy teze naszego Twierdzenia.

Uwaga 3.11 Z powyzszego dowodu wynika, ze jesli ciagi (λn) ⊂ Λ oraz (xn) ⊂ X sa takie,ze λn → λ0 oraz xn → x0, gdy n→ +∞, to dla dowolnego t ≥ 0

u(t;λn, xn)→ u(t;λ0, x0) gdy n→ +∞,

przy czym powyzsza zbieznosc jest jednostajna dla t nalezacych do zwartych podzbiorówprzedziału [0,+∞).

59

3.2.2 Zaburzenia nieliniowych operatorów wycinkowych

Zajmiemy sie teraz własnosciami operatora przesuniecia wzdłuz trajektorii zagadnieniapostaci

(PαA,F,λ) u(t) = −Au(t) + F (λ, t, u(t)), t > 0

gdzie tak jak poprzednio λ ∈ Λ jest parametrem z pewnej przestrzeni metrycznej Λ. Za-kładamy, ze w powyzszym równaniu A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym ta-kim, ze −A jest generatorem zwartej C0 półgrupy oraz re σ(A) > 0, a odwzorowanieF : Λ× [0,+∞)×Xα → X , α ∈ (0, 1) spełnia nastepujace warunki:

(F1)αλ dla dowolnego λ ∈ Λ i (t0, x0) ∈ [0,+∞)×Xα istnieje otoczenie V ⊂ [0,+∞)×Xα

punktu (t0, x0) oraz stałe L > 0 i 0 < θ ≤ 1 takie, ze dla dowolnych punktów(t, x), (s, y) ∈ V

‖F (λ, t, x)− F (λ, s, y)‖ ≤ L(|t− s|θ + ‖x− y‖α),

(F2)αλ istnieje funkcja ciagła c : [0,+∞)→ [0,+∞) taka, ze

‖F (λ, t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα, t ∈ [0,+∞), λ ∈ Λ.

Zgodnie z powyzszymi załozeniami, na mocy punktu (d) Twierdzenia 3.6 dla kazdego λ ∈Λ oraz x ∈ Xα, zagadnienie (Pα

A,F ) ma słabe rozwiazanie u(·;λ, x) : [0,+∞) → Xα

spełniajace warunek u(0;λ, x) = x. Tak jak poprzednio, dla dowolnego t ≥ 0 definiujemyoperator przesuniecia wzdłuz trajektorii Φt : Λ×Xα → Xα wzorem

Φt(λ, x) := u(t;λ, x).

Twierdzenie 3.12 Niech A : D(A) → X i F : Λ × [0,+∞) × Xα → X beda takie jakwyzej. Wówczas, odwzorowanie Φt jest pełnociagłe, dla dowolnego t ∈ (0,+∞).

Zanim przejdziemy do dowodu powyzszego twierdzenia odnotujmy dwa techniczne le-maty

Lemat 3.13 Niech (λn) ⊂ Λ bedzie dowolnym ciagiem oraz niech (xn) ⊂ Xα bedzie cia-giem ograniczonym. Wówczas dla dowolnego t0 > 0

(a) ciag rozwiazan u(· ;λn, xn) jest ograniczony w normie przestrzeni C([0, t0], Xα);(b) ciag funkcji ciagłych (vn) ⊂ C([0, t0], X), danych dla kazdego n ≥ 1, wzorem

vn(s) := F (λn, s, u(s ;λn, xn)) dla s ∈ [0, t0],

jest ograniczony w normie przestrzeni C([0, t0], X).

Dowód. Na mocy Wniosku 1.30 i punktu (c) Twierdzenia 1.33 istnieja stałe M,Mα > 0takie, ze

‖SA(t)‖ ≤M oraz ‖AαSA(t)‖ ≤Mαt−α dla t > 0.

60

Wybierzmy R > 0 takie, ze (xn) ⊂ B(0, R). Korzystajac załozenia (F1)αλ , dla dowolnegon ≥ 1, otrzymujemy

‖u(t ;λn, xn)‖α ≤M‖xn‖α +

∫ t

0

Mα

(t− s)α‖F (λn, s, u(s ;λn, xn))‖ ds

≤MR +

∫ t

0

Mα

(t− s)αc(s)(1 + ‖u(s ;λn, xn)‖α) ds

≤MR +KMα

1− αt1−α0 +

∫ t

0

KMα

(t− s)α‖u(s ;λn, xn)‖α ds

gdzie K := sups∈[0,t0] c(s). Dlatego na mocy Lematu 6.16 otrzymujemy, ze istnieje stałaC > 0 taka, ze ‖u(t ;xn, λn)‖α ≤ C dla t ∈ [0, t0] oraz n ≥ 1, co konczy dowód punktu (a).Aby sprawdzic punkt (b) zauwazmy, ze dla dowolnego s ∈ [0, t0] oraz n ≥ 1 mamy

‖vn(s)‖ = ‖F (λn, s, u(s ;λn, xn))‖ ≤ c(s)(1 + ‖u(s ;λn, xn)‖α) ≤ K(1 + C).

Lemat 3.14 Niech (vn) ⊂ C([0, t0], X) gdzie t0 > 0, bedzie ciagiem ograniczonym. Wów-czas

(a) dla kazdego t ∈ [0, t0] zbiór∫ t

0

AαSA(t− s)vn(s) ds∣∣∣ n ≥ 1

jest ograniczony w X;

(b) dla kazdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, ze jesli t, t′ ∈ [0, t0] sa liczbami rzeczywistymitakimi, ze t′ > t oraz |t′ − t| < δ, to∥∥∥∥∥

∫ t′

t

AαSA(t′ − s)vn(s) ds

∥∥∥∥∥ ≤ ε

dla n ≥ 1.

Dowód. Niech K > 0 bedzie takie, ze ‖vn(s)‖ ≤ K dla s ∈ [0, t0] oraz n ≥ 1. Wtedy dlan ≥ 1 mamy∥∥∥∥∫ t

0

AαSA(t− s)vn(s) ds

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

0

‖AαSA(t− s)vn(s)‖ ds ≤∫ t

0

Mα

(t− s)α‖vn(s)‖ ds

≤∫ t

0

KMα

(t− s)α≤ KMα

1− αt0

1−α.

Aby sprawdzic (b) wybierzmy liczby rzeczywiste t′, t ∈ [0, t0] takie, ze t′ > t. Wtedy dladowolnego n ≥ 1 otrzymujemy∥∥∥∥∥

∫ t′

t

AαSA(t′ − s)vn(s) ds

∥∥∥∥∥ ≤∫ t′

t

Mα

(t′ − s)α‖vn(s)‖ ds

≤∫ t′

t

KMα

(t′ − s)α=KMα

1− α(t′ − t)1−α.

61

Z powyzszych oszacowan wnioskujemy, ze jesli δ :=(ε(1−α)KMα

)1/(1−α)

, to dla dowolnycht, t′ ∈ [0, t0] takich, ze t′ > t oraz |t′ − t| < δ, teza punktu (b) jest spełniona dla kazdegon ≥ 1.

Dowód Twierdzenia 3.12. Pokazemy najpierw, ze zbiór Φt(Λ× Ω) jest relatywnie zwarty,jesli tylko t > 0 i zbiór Ω ⊂ Xα jest ograniczony. Sprowadza sie to do pokazania, ze zbiórAαΦt(Λ×Ω) jest relatywnie zwarty w topologii przestrzeni X . To z kolei sprowadza sie dopokazania, ze zbiór Aαu(t ;λn, xn)n≥1 jest relatywnie zwarty w topologii przestrzeni Xdla dowolnych ciagów (λn) ⊂ Λ oraz (xn) ⊂ Ω. Z z punktu (b) Lematu 3.13 ciag (vn), danywzorem

vn(s) := F (λn, s, u(s ;λn, xn)) dla s ∈ [0, t],

jest ograniczony w przestrzeni C([0, t], X). Niech ε > 0 bedzie dowolne. Na mocy punktu(b) Lematu 3.14 istnieje t0 ∈ (0, t) takie, ze∥∥∥∥∫ t

t0

AαSA(t− s)vn(s) ds

∥∥∥∥ ≤ ε dla n ≥ 1. (3.29)

Na mocy punktu (a) tego samego lematu otrzymujemy, ze zbiór

Dt0 :=

∫ t0

0

AαSA(t0 − s)vn(s) ds∣∣∣ n ≥ 1

jest ograniczony. Ponadto dla n ≥ 1 mamy

Aαu(t ;λn, xn) = SA(t)Aαxn + SA(t− t0)

(∫ t0

0

AαSA(t0 − s)vn(s) ds

)(3.30)

+

∫ t

t0

SA(t− s)vn(s) ds,

co implikuje inkluzje

V := Aαu(t ;λn, xn) | n ≥ 1 ⊂ SA(t) (Aαxnn≥1) + SA(t− t0)Dt0 (3.31)

+

∫ t

t0

AαSA(t0 − s)vn(s) ds∣∣∣ n ≥ 1

⊂ Vε +B(0, ε) = Oε(Vε),

gdzieVε := SA(t) (Aαxnn≥1) + SA(t− t0)Dt0 .

Korzystajac z faktu ze SA(t)t≥0 jest półgrupa zwarta oraz zbiory Aαxnn≥1 i Dt0 saograniczone otrzymujemy, ze Vε ⊂ X jest zbiorem relatywnie zwartym. Zatem na mocyTwierdzenia 6.7 zbiór V jest relatywnie zwarty.Udowodnimy teraz ciagłosc odwzorowania Φt. Niech (λn) ⊂ Λ i (xn) ⊂ Xα beda ciagamitakimi, ze λn → λ0 i xn → x0, gdy n→∞. Sprawdzimy najpierw, ze

u(· : λn, xn)|[0,t] | n ≥ 1

62

jest relatywnie zwartym podzbiorem C([0, t], Xα). Aby tego dokonac zauwazmy najpierw,ze dla kazdego t′ ∈ [0, t] zbiór u(t′ ;λn, xn) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty. Gdy t′ = 0jest to natychmiastowe, zas dla t′ ∈ (0, t] wynika to z udowodnionej wczesniej relatywnejzwartosci zbioru Φt′(Λ×Ω) w przestrzeniXα. Dlatego, wystarczy pokazac, ze zbiór odwzo-rowan u(· ;λn, xn) | n ≥ 1 jest równociagły w dowolnym punkcie z przedziału [0,+∞).Dla kazdego n ≥ 1 bedziemy przyjmowac un := u(· ;λn, xn). Powołujac sie na Lemat 3.7,dla dowolnego h ≥ 0 i n ≥ 1 otrzymujemy

‖un(t+ h)− un(t)‖α ≤ ‖SA(h)un(t)− un(t)‖α

+

∥∥∥∥∫ t+h

t

AαSA(t+ h− s)F (λn, s, un) ds

∥∥∥∥ . (3.32)

Ponadto, jak zauwazylismy wczesniej, dla kazdego s ∈ [0, t] zbiór un(s) | n ≥ 1 =u(s;λn, xn) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty, a zatem na mocy Uwagi 1.34 istnieje δ ∈ (0, t)takie, ze

‖SA(h)un(t)− un(t)‖α ≤ ε/2 dla 0 < h < δ, n ≥ 1. (3.33)

Na podstawie punktu (b) Lematu 3.14 istnieje δ1 ∈ (0, δ) takie, ze∥∥∥∥∫ t+h

t

AαSA(t+ h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε/2 (3.34)

dla 0 < h < δ1 oraz n ≥ 1. Dlatego łaczac (3.32), (3.33) i (3.34), otrzymujemy, ze

‖un(t+ h)− un(t)‖α ≤ ε/2 + ε/2 = ε dla 0 < h < δ1, n ≥ 1.

Udowodnilismy w ten sposób prawostronna równociagłosc rodziny unn≥1 w dowolnympunkcie z przedziału [0,+∞). Zajmiemy sie teraz dowodem lewostronnej równociagłoscitej rodziny. Załózmy, ze t ∈ (0,+∞) oraz niech ε > 0. Jesli 0 < h < δ < t, to

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤ ‖un(t)− SA(δ)un(t− δ)‖α+ ‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖α+ ‖SA(δ − h)un(t− δ)− un(t− h)‖α.

Na podstawie Uwagi 3.5 dla kazdego n ≥ 1 mozemy dalej napisac

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤∥∥∥∥∫ t

t−δAαSA(t− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ (3.35)

+ ‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖α

+

∥∥∥∥∫ t−h

t−δAαSA(t− h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ .Na podstawie punktu (b) Lematu 3.14 istnieje δ ∈ (0, t) takie, ze jesli liczby rzeczywistet1, t2 ∈ [0, t] spełniaja t1 < t2 oraz |t1 − t2| < δ, to∥∥∥∥∫ t1

t2

AαSA(t1 − s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (3.36)

63

Na mocy relatywnej zwartosc zbioru un(t − δ) | n ≥ 1 i Uwagi 1.34 mozemy wybracδ1 ∈ (0, δ) takie, ze dla h ∈ (0, δ1)

‖SA(δ)un(t− δ)− SA(δ − h)un(t− δ)‖α ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (3.37)

Zgodnie z wyborem liczby δ1 i nierównoscia (3.36), dla dowolnego h ∈ (0, δ1) mamy∥∥∥∥∫ t

t−δAαSA(t− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε/3 oraz (3.38)∥∥∥∥∫ t−h

t−δAαSA(t+ h− s)F (λn, s, un(s)) ds

∥∥∥∥ ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (3.39)

Łaczac ze soba (3.35), (3.37), (3.38) i (3.39) otrzymujemy, ze dla h ∈ (0, δ1)

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,

co ostatecznie dowodzi równociagłosci rodziny unn≥1 w dowolnym punkcie przedziału[0,+∞). Aby pokazac, ze

Φt(λn, xn)→ Φt(λ0, x0) przy n→ +∞,

udowodnimy, ze

u(t;λn, xn)→ u(t;λ0, x0) przy n→ +∞ w Xα (3.40)

jednostajnie na przedziale [0, t]. W tym celu dla dowolnego n ≥ 1 oznaczmy wn := un|[0,t].Udowodnimy, ze dowolny podciag ciagu (wn) zawiera podciag zbiezny do w0, gdzie w0 =u(·;λ0, x0)|[0,t]. Niech (wnk) bedzie pewnym podciagiem ciagu (wn). Na mocy Twierdze-nia Ascoliego–Arzeli, z ciagu (wnk) mozemy wybrac podciag (wnkl ), który jest jednostajniezbiezny do pewnego w0 ∈ C([0, t], Xα). Nastepnie dla kazdego l ≥ 1 zdefiniujmy odwzo-rowanie ψl : [0, t]→ X wzorem

ψl(s) = SA(t− s)F (λnkl , s, wnkl (s)) dla s ∈ [0, t].

Korzystajac z Uwagi 6.14, ciagłosci półgrupy i ciagłosci odwzorowania F : Λ× [0,+∞)×Xα → X wnosimy, ze ciag (ψl) zbiega w przestrzeni C([0, t], X) do ψ0 : [0, t]→ X danegowzorem ψ0(s) := SA(t − s)F (λ0, s, w0(s)) dla s ∈ [0, t]. Dlatego przechodzac do granicyprzy l→ +∞ we wzorze

wnkl (t′) = SA(t′)xnkl +

∫ t′

0

SA(t′ − s)F (λnkl , s, wnkl (s)) ds

= SA(t′)xnkl +

∫ t′

0

ψl(s) ds dla t′ ∈ [0, t],

otrzymujemy, ze

w0(t′) = SA(t′)x0 +

∫ t′

0

ψ0(s) ds

= SA(t′)x0 +

∫ t′

0

SA(t′ − s)F (λ0, s, w0(s)) ds dla t′ ∈ [0, t].

Zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 3.6 oznacza to, ze w0 = u(· ;λ0, x0)|[0,t] dla t′ ∈ [0, t].Stad otrzymujemy juz zbieznosc (3.40), która konczy dowód twierdzenia.

64

Uwaga 3.15 Zauwazmy, ze z powyzszego dowodu wynika, ze jesli (λn) ⊂ Λ, (xn) ⊂ Xα

sa takimi ciagami, ze λn → λ0 oraz xn → x0, to

u(t;λn, xn)→ u(t;λ0, x0) przy n→ +∞ w Xα,

przy czym powyzsza zbieznosc jest jednostajna dla t ze zwartych podzbiorów [0,+∞).

4 Wzór indeksowy typu Krasnosielskiego

Zajmiemy sie teraz wzorem indeksowym typu Krasnosielskiego. Powołujac sie na wy-niki pracy [16], sformułujemy ten wzór dla zagadnien rózniczkowych, których prawa stronajest nieliniowym zaburzeniem operatora generujacego zwarta C0 półgrupe. Nastepnie, wy-korzystujac przytoczone rezultaty, udowodnimy go dla nieliniowych zaburzen operatorówwycinkowych.

4.1 Wzór indeksowy dla zaburzen generatorów zwartych C0 półgrup

Rozwazmy nastepujace zagadnienie autonomiczne

(PA,G) u(t) = −Au(t) +G(u(t)), t > 0

gdzie A : X ⊃ D(A) → X jest gesto okreslonym operatorem liniowym takim, ze −A jestgeneratorem zwartej C0 półgrupy SA(t)t≥0 na przestrzeni Banacha X , zas G : X → Xjest ciagłym odwzorowaniem takim, ze spełnione sa ponizsze warunki(G1) dla dowolnego x0 ∈ X istnieje otoczenie V ⊂ X punktu x0 i stała L > 0 taka, ze dla

dowolnych x, y ∈ V‖G(x)−G(y)‖ ≤ L‖x− y‖,

(G2) istnieje stała c > 0 taka, ze

‖G(x)‖ ≤ c(1 + ‖x‖) dla x ∈ X.

Wobec powyzszych załozen i punktu (c) Twierdzenia 3.3, dla dowolnego x ∈ X równanie(PA,G) posiada słabe rozwiazanie u( · ;x) : [0,+∞) → X takie, ze u(0;x) = x. Ponadtoniech odwzorowanie Θt : X → X bedzie operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii dlatego zagadnienia. Zgodnie z Twierdzeniem 3.9 operator Θt jest odwzorowaniem pełnocia-głym, jesli t > 0.

Twierdzenie 4.1 Niech −A bedzie generatorem zwartej C0 półgrupy SA(t)t≥0 spełniaja-cej oszacowanie

‖SA(t)‖ ≤ eωt dla t ≥ 0,

gdzie ω ∈ R i ponadto niech beda spełnione warunki (G1), (G2). Jesli U ⊂ X jest otwartymi ograniczonym zbiorem takim, ze −Ax + G(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ∩ D(A), to istnieje t > 0takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Θt(x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

deg(I −Θt, U) = deg(−A+G,U).

65

Twierdzenie 4.1 jest trescia Uwagi 4.8 z pracy [16], która z kolei jest szczególnym przy-padkiem Twierdzenia 4.5 z tej pracy. Wprowadzajac na przestrzeni X norme równowazna znorma wyjsciowa ‖ · ‖ mozemy wykazac jego nieco ogólniejsza wersje

Twierdzenie 4.2 Niech operator liniowy A : D(A) → X bedzie taki, ze −A jest gene-ratorem zwartej C0 półgrupy, zas G : X → X niech bedzie funkcja ciagła spełniajacawarunki (G1), (G2). Jesli U ⊂ X jest otwartym i ograniczonym podzbiorem takim, ze−Ax + G(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ∩ D(A), to istnieje t > 0 takie, ze jesli t ∈ (0, t], toΘt(x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

deg(I −Θt, U) = deg(−A+G,U).

Dowód. Rozwazmy przestrzen Banacha X z norma | · | zadana wzorem (1.27). Nietrudnosprawdzic, ze operator liniowy −A jest generatorem zwartej C0 półgrupy spełniajacej osza-cowanie

|SA(t)| ≤ eωt,

zas odwzorowanie F spełnia załozenia (G1), (G2). Dlatego stosujac Twierdzenie 4.1 otrzy-mujemy, ze istnieje t takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Θt(x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degLS(I −Θt, U) = deg(−A+G,U), (4.1)

gdzie w równaniu (4.1), stopien Lerey’a–Schaudera degLS oraz stopien dla zaburzenia zwar-tej C0 półgrupy deg sa liczone wzgledem przestrzeni X z norma | · |. Wykorzystujac równo-waznosci normy | · | z wyjsciowa norma na X i topologiczna niezmienniczosci stopnia (patrzLemat 6.1) otrzymujemy teze twierdzenia.

4.2 Wzór indeksowy dla zaburzen operatorów wycinkowych

Bedziemy teraz rozwazac nastepujace zagadnienie

(PαA,F ), u(t) = −Au(t) + F (u(t)), t > 0

gdzie A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X takim, ze−A jest generatorem zwartej C0 półgrupy oraz re σ(A) > 0, zas F : Xα → X , α ∈ (0, 1),jest odwzorowaniem ciagłym takim, ze spełnione sa ponizsze warunki

(F1)α dla dowolnego x0 ∈ Xα istnieje otoczenie V ⊂ Xα punktu x0 i stała L > 0, takie, zedla x, y ∈ V

‖F (x)− F (y)‖ ≤ L‖x− y‖α,(F2)α istnieje stała c > 0 taka, ze

‖F (x)‖ ≤ c(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα.

Na mocy punktu (d) Twierdzenia 3.6 przy powyzszych załozeniach zagadnienie (PαA,F ) ma

dla dowolnego x ∈ Xα słabe rozwiazanie u(· ;x) : [0,+∞) → Xα, takie, ze u(0 ;x) =x. Ponadto, niech odwzorowanie Φt : Xα → Xα bedzie operatorem przesuniecia wzdłuztrajektorii dla powyzszego zagadnienia. Zgodnie z Twierdzeniem 3.12 odwzorowanie Φt :Xα → Xα jest pełnociagłe dla dowolnego t > 0.

66

Twierdzenie 4.3 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem wycinkowym takim, ze −A jestgeneratorem zwartej C0 półgrupy oraz re σ(A) > 0. Ponadto niech F : Xα → X , gdzieα ∈ (0, 1) bedzie odwzorowaniem ciagłym takim, ze spełnione załozenia (F1)α, (F2)α. JesliU ⊂ Xα jest otwartym i ograniczonym zbiorem takim, ze 0 /∈ (−A + F )(∂U ∩ D(A)), toistnieje t > 0 takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Φt(x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degLS(I − Φt, U) = degα(−A+ F,U).

Dowód. Istnieje ε0 > 0 takie, ze

− Ax+ S(λε)F (x) 6= 0 (4.2)

dla ε ∈ (0, ε0], λ ⊂ [0, 1] oraz x ∈ ∂U ∩D(A). Rzeczywiscie, gdyby istniał ciag εn → 0+

oraz ciagi (λn) ∈ [0, 1], (xn) ⊂ ∂U ∩D(A) takie, ze

− Axn + S(λnεn)F (xn) = 0 dla n ≥ 1, (4.3)

to na mocy (F2)α otrzymujemy

‖xn‖1 = ‖Axn‖ = ‖S(λnεn)F (xn)‖ ≤ cM(1 + ‖xn‖α),

gdzie stała M ≥ 1 jest taka, ze ‖SA(t)‖ ≤ M . Wobec ograniczonosci zbioru U ⊂ Xα (wnormie przestrzeni Xα) wnosimy, ze ciag (xn) jest ograniczony w X1. Dlatego, ze zwartosciwłozenia X1 ⊂ Xα (patrz Wniosek 2.6) otrzymujemy, ze istnieje x0 ∈ ∂U taki, ze xn → x0

w Xα. Przepisujac równanie (4.3) w postaci

xn − A−1S(λnεn)F (xn) = 0 dla n ≥ 1,

a nastepnie przechodzac do granicy przy n → ∞ otrzymujemy, ze x0 − A−1F (x0) = 0, coprzeczy załozeniu. W konsekwencji, korzystajac z własnosci (D3′) (patrz Twierdzenie 2.8),dla ε ∈ (0, ε0] otrzymujemy, ze

degα(−A+ S(ε)F,U) = degα(−A+ F,U). (4.4)

Rozwazmy teraz parametryzowana przez λ ∈ [0, 1] rodzine zagadnien poczatkowych

(PαA,F,λ)

u(t) = −Au(t) + S(λ)F (u(t)), t > 0u(0) = x ∈ Xα.

Odwzorowanie (λ, x) 7→ S(λ)F (x) okreslone na [0, 1]×Xα spełnia odpowiednio załozenia(F1)αλ i (F3)αλ i dlatego na mocy Twierdzenia 3.12 odwzorowanie Ψt : [0, 1] × U → Xα,bedace operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia poczatkowego (Pα

A,F,λ)jest poprawnie zdefiniowane i pełnociagłe dla kazdego t ∈ (0,+∞). Dla ε ∈ [0, 1] zadajmyfunkcje Ψε

t : [0, 1] × U → Xα wzorem Ψεt(λ, x) := Ψt(λε, x). Twierdzimy, ze istnieje

ε1 ∈ (0, ε0] oraz t0 > 0 takie, ze Ψεt(λ, x) 6= x dla kazdego ε ∈ (0, ε1], t ∈ (0, t0], λ ∈ [0, 1]

i x ∈ ∂U . Załózmy przez sprzecznosc, ze jest to nieprawda. Wtedy mozemy wybrac ciagiεn → 0+, tn → 0+, λn → λ0 oraz (xn) ⊂ ∂U takie, ze

Ψεntn (λn, xn) = xn dla n ≥ 1. (4.5)

67

Niech t0 ∈ (0,+∞) bedzie dowolna liczba i niech (kn) bedzie ciagiem liczb całkowitychdanym jako

kn := [t0/tn] + 1 dla n ≥ 1.

Nietrudno zauwazyc, ze wtedy kntn ≥ t0 dla n ≥ 1 oraz kntn → t0 przy n → ∞. Połózmyrn := kntn − t0. Wtedy, korzystajac z Uwagi 3.5 i (4.5) otrzymujemy, ze

xn = Ψkntn(εnλn, xn) = Ψt0(εnλn,Ψrn(εnλn, xn)) dla n ≥ 1. (4.6)

Na mocy punktu (a) Lematu 3.13 zbiór Ψrn(εnλn, xn)n≥1 ⊂ Xα jest ograniczony, co wrazze zwartoscia odwzorowania Ψt0 implikuje, ze ciag (xn) jest relatywnie zwarty. Dlategoistnieje podciag (xnl) ciagu (xn) taki, ze xnl → x0 ∈ ∂U przy l→∞. Biorac teraz dowolnaliczbe t ∈ (0,+∞) mozemy wybrac nowy ciag (kl) liczb całkowitych takich, ze kltnl > toraz kltnl → t przy l→∞. Wtedy dla kazdego l ≥ 1 mozemy ponownie napisac, ze

Ψkltnl(εnlλnl , xnl) = xnl dla l ≥ 1. (4.7)

Korzystajac z Uwagi 3.15 i przechodzac w (4.7) do granicy przy l → ∞, otrzymujemy, zex0 = Ψt(0, x0) dla dowolnego t ∈ (0,+∞). Implikuje to, ze

x0 = SA(t)x0 +

∫ t

0

SA(t− s)F (x0) ds dla t ∈ (0,+∞),

czylix0 − SA(t)x0

t=

1

t

∫ t

0

SA(t− s)F (x0) ds dla t ∈ (0,+∞). (4.8)

Przechodzac w równaniu (4.8) do granicy przy t → 0+ wnosimy, ze x0 ∈ ∂U ∩D(A) oraz−Ax0 +F (x0) = 0, co przeczy załozeniu. Korzystajac teraz z homotopijnej niezmienniczo-sci stopnia otrzymujemy

degLS(I − Φt, U) = degLS(I −Ψεt(0, ·), U) = degLS(I −Ψε

t(1, ·), U), (4.9)

dla dowolnych ε ∈ (0, ε1] i t ∈ (0, t0]. Ustalmy teraz ε ∈ (0, ε1] a nastepnie oznaczmyuε(t;x) := Ψε

t(1, x) dla t ∈ [0,+∞) oraz x ∈ Xα. Wówczas

uε(t;x) = SA(t)x+

∫ t

0

SA(t− s)S(ε)F (uε(s;x)) ds dla t ∈ [0,+∞)

i w konsekwencji na mocy Lematu 3.7 i punktów (a) i (b) Twierdzenia 1.33, dla dowolnegot ∈ [0,+∞), otrzymujemy

Aαuε(t;x) = SA(t)Aαx+

∫ t

0

SA(t− s)AαS(ε)F (A−αAαuε(s;x)) ds. (4.10)

Rozwazmy teraz kolejne zagadnienie poczatkowe

(PA,G)

u(t) = −Au(t) +G(u(t)), t > 0u(0) = x ∈ X,

68

gdzie G : X → X jest odwzorowaniem danym wzorem

G(x) = AαS(ε)F (A−αx).

Tak zadana funkcja G jest ciagła i spełnia załozenia (G1), (G2), czyli jest lokalnie lipschit-zowska i ma subliniowy wzrost. Rzeczywiscie, niech x0 ∈ X bedzie ustalonym punktem.Wówczas dla punktu A−αx0 istnieje jego otoczenie V ⊂ Xα oraz stała L > 0 takie, ze

‖F (x)− F (y)‖ ≤ L‖x− y‖α dla x, y ∈ V. (4.11)

Zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 1.33 mamy, ze AαS(ε) ∈ L(X) oraz

‖AαS(ε)‖ ≤Mαε−α

dla pewnej stałej Mα > 0. Zbiór AαV jest otoczeniem punktu x0. Ponadto dla dowolnychx, y ∈ AαV

‖G(x)−G(y)‖ = ‖AαS(ε)F (A−αx)− AαS(ε)F (A−αy)‖≤Mαε

−α‖F (A−αx)− F (A−αy)‖≤ LMαε

−α‖A−αx− A−αy‖α= LMαε

−α‖x− y‖,

co dowodzi ze G, jest lokalnie lipschitzowska. Podobnie wykorzystujac teraz załozenie(F2)α, dla dowolnego x ∈ X , otrzymujemy

‖G(x)‖ = ‖AαS(ε)F (A−αx)‖ ≤Mαε−α‖F (A−αx)‖

≤ cMαε−α(1 + ‖A−αx‖α) = cMαε

−α(1 + ‖x‖),

co dowodzi, ze funkcja G ma subliniowy wzrost. Oznaczymy przez Θt : X → X operatorprzesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia (PA,G), który na mocy Twierdzenia 3.9 jestdobrze zdefiniowany i pełnociagły przy dowolnym t ∈ (0,+∞). Wtedy z równosci (4.10) ijednoznacznosci rozwiazan dla równania (PA,G) (patrz Twierdzenie 3.3 (b)) wnosimy, ze

AαΨεt(1, A

−αx) = Θt(x) dla x ∈ X, t ∈ [0,+∞). (4.12)

Zauwazmy teraz, ze−Ax+G(x) 6= 0 dla x ∈ ∂(AαU)∩D(A). Rzeczywiscie, gdyby istniałx0 ∈ ∂(AαU) ∩D(A) taki, ze −Ax0 +G(x0) = 0, to oczywiscie

− Ax0 + AαS(ε)F (A−αx0) = 0. (4.13)

Zgodnie z Twierdzeniem 1.33 (d) mamy, ze AαA−1x = Aα−1x = A−1Aαx dla x ∈ D(A).Stad i z równosci (4.13) mamy, ze y0 = A−αx0 ∈ ∂U ∩D(A) oraz

− Ay0 + S(ε)F (y0) = 0, (4.14)

co daje sprzecznosc z (4.2). Zatem spełnione sa załozenia Twierdzenia 4.2 i dlatego istniejet ∈ (0, t0] takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Θt(x) 6= x dla x ∈ ∂(AαU) oraz

degLS(I −Θt, AαU) = deg(−A+G,AαU). (4.15)

69

Korzystajac z (4.12) oraz z Lematu 6.1 otrzymujemy, ze jesli t ∈ (0, t], to Ψεt(1, x) 6= x dla

x ∈ ∂U orazdegLS(I −Ψε

t(1, ·), U) = degLS(I −Θt, AαU). (4.16)

Łaczac (4.9), (4.16) oraz (4.15), dla kazdego t ∈ (0, t], otrzymujemy

degLS(I −Φt, U) = deg(−A+G,AαU) = degLS(I −Aα−1S(ε)F (A−α · ), AαU). (4.17)

Biorac pod uwage Lemat 6.1, równosc (4.4) i pamietajac, ze ε ∈ (0, ε1], mamy

degLS(I − Aα−1S(ε)F (A−α · ), AαU) = degα(I − A−1S(ε)F,U)

= degα(−A+ S(ε)F,U) = degα(−A+ F,U),

co razem (4.17) implikuje, ze

degLS(I − Φt, U) = degα(−A+ F,U)

dla t ∈ (0, t].

Subliniowy wzrost jest raczej restrykcyjnym załozeniem, które postaramy sie teraz istot-nie osłabic. Bedziemy zakładac, ze oprócz warunku (F1)α odwzorowanie F spełnia warunek

(F3)α F jest odwzorowaniem ograniczonym tzn. zbiór F (W ) jest ograniczony w X , jeslitylko W ⊂ Xα jest ograniczony w Xα.

Zgodnie z Lematem 3.8 dla dowolnego zbioru ograniczonego U ⊂ Xα istnieje zbiór V ⊂Xα oraz t0 > 0 takie, ze U ⊂ V oraz dla dowolnego x ∈ U istnieje słabe rozwiazanieu(·;x) : [0, tu) → V zagadnienia (Pα

A,F ) zaczynajace sie w x i takie, ze tu ≥ t0. Dlatego,na mocy punktu (c) Twierdzenia 3.6, dla dowolnego t ∈ [0, t0), mozemy poprawnie okreslicodwzorowanie Φt : U → Xα wzorem

Φt(x) = u(t;x) dla x ∈ U.

Twierdzenie 4.4 Niech A : D(A) → X bedzie operatorem wycinkowym takim, ze −A jestgeneratorem zwartej C0 półgrupy oraz re σ(A) > 0. Ponadto niech F : Xα → X bedzieodwzorowaniem ciagłym spełniajacym warunki (F1)α i (F3)α. Jesli U ⊂ Xα jest zbioremotwartym i ograniczonym takim, ze 0 /∈ (−A+ F )(∂U ∩D(A)), to

(a) dla dowolnego t ∈ (0, t0] odwzorowanie Φt : U → Xα jest pełnociagłe,(b) istnieje t ∈ (0, t0] takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Φt(x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degLS(I − Φt, U) = degα(−A+ F,U).

W dowodzie tego twierdzenia uzyjemy ponizszego lematu

Lemat 4.5 Niech dane beda przestrzenie unormowane X , Y z normami odpowiednio ‖ · ‖Xoraz ‖ · ‖Y . Wówczas

(a) dla dowolnych domknietych zbiorów A,B ⊂ Y istnieje lokalnie lipschitzowska funk-cja ϕ : Y → [0, 1] taka, ze ϕ|A ≡ 0 oraz ϕ|B ≡ 1,

70

(b) jesli lokalnie lipschitzowskie odwzorowanie f : Y → X przekształca zbiory ograni-czone w Y w zbiory ograniczone w X , to dla kazdego otwartego ograniczonego zbioruV ⊂ Y istnieje lokalnie lipschitzowskie odwzorowanie f : Y → X takie, ze zbiórf(Y ) jest ograniczony w X oraz f|V ≡ f|V .

Dowód. (a) Definiujemy funkcje ϕ : Y → [0, 1] wzorem

ϕ(x) :=dist(x,A)

dist(x,A) + dist(x,B)dla x ∈ Y.

Sprawdzimy, ze ϕ jest lokalnie lipschitzowskie w ustalonym punkcie y0 ∈ Y . Korzystajac zfaktu, ze dist(y0, A) + dist(y0, B) > 0, wybierzmy otoczenie W ⊂ Y punktu y0 oraz stałam > 0 taka, ze m < dist(x,A) + dist(x,B) dla x ∈ W . Nietrudno zauwazyc, ze

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≤∣∣∣∣ dist(x,B)(dist(x,A)− dist(y, A))

(dist(x,A) + dist(x,B))(dist(y, A) + dist(y,B))

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ dist(x,A)(dist(x,B)− dist(y,B))

(dist(x,A) + dist(x,B))(dist(y, A) + dist(y,B))

∣∣∣∣ .Dlatego

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ dist(x,B)‖x− y‖Y + dist(x,A)‖x− y‖Y(dist(x,A) + dist(x,B))(dist(y, A) + dist(y,B))

=‖x− y‖Y

dist(y, A) + dist(y,B)≤ 1/m‖x− y‖Y

dla x, y ∈ W , co dowodzi punktu (a). Aby dowiesc punktu (b), wybierzmy zbiór otwartyograniczony V ′ ⊂ X taki, ze V ⊂ V ′ a nastepnie skorzystajmy z punktu (a) naszego lematu iwybierzmy lokalnie lipschitzowska funkcje ϕ : Y → [0, 1] taka, ze ϕ|V ≡ 1 oraz ϕ|Y \V ′ ≡ 0.Nastepnie połózmy

f(y) := ϕ(y) · f(y) dla y ∈ Y.

Wtedy nietrudno zauwazyc, ze f|V = f|V . Dodatkowo, tak okreslone odwzorowanie jestlokalnie lipschitzowskie. Rzeczywiscie, wybierzmy y0 ∈ Y , a nastepnie korzystajac z zało-zenia lematu, wezmy otoczenie W ⊂ Y punktu y0, liczbe δ > 0 oraz stałe L > 0 takie, zedla x, y ∈ W

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ L‖x− y‖Y (4.18)‖f(x)− f(y)‖X ≤ L‖x− y‖Y

‖f(y)‖X ≤ L.

Wykorzystujac nierównosci (4.18), dla x, y ∈ W mozemy dalej napisac

‖f(x)− f(y)‖X ≤ ‖ϕ(x)f(x)− ϕ(y)f(y)‖X≤ ϕ(x)‖f(x)− f(y)‖X + |ϕ(x)− ϕ(y)|‖f(y)‖X≤ ‖f(x)− f(y)‖X + L|ϕ(x)− ϕ(y)|≤ L‖x− y‖Y + L2‖x− y‖Y= (L+ L2)‖x− y‖Y ,

71

co dowodzi, ze f jest funkcja lokalnie lipschitzowska. Aby sprawdzic ograniczonosc zbioruf(Y ), zauwazmy, ze

f(Y ) = f(V ′) ∪ f(Y \ V ′)⊂ B(0, R) ∪ 0 = B(0, R),

gdzie R > 0 jest takie, ze f(V ′) ⊂ B(0, R).

Dowód Twierdzenia 4.4. Z punktu (b) Lematu 4.5 otrzymujemy, ze istnieje ograniczoneodwzorowanie F : Xα → X , które jest lokalnie lipschitzowskie i pokrywa sie z F na zbiorzeV . Korzystajac z Twierdzenia 3.12 operator przesuniecia wzdłuz trajektorii Φt : Xα → Xα,stowarzyszony z zagadnieniem

(PαA,F

) u(t) = −Au(t) + F (u(t)), t > 0

jest odwzorowaniem pełnociagłym dla kazdego t ∈ (0,+∞). Ponadto jesli odwzorowanieu( · ;x) : [0, t0] → Xα jest słabym rozwiazaniem zagadnienia (Pα

A,F ) takim, ze u(0 ; x) =

x ∈ U , to u(· ;x) jest słabym rozwiazaniem zagadnienia (PαA,F

) poniewaz jak wiadomou(t) ∈ V dla t ∈ [0, t0). Stad na mocy punktu (c) Twierdzenia 3.6

Φt(x) = Φt(x) dla t ∈ [0, t0), x ∈ U, (4.19)

co konczy dowód punktu (a) poniewaz jak wspomnielismy Φt jest pełnociagłe dla t ∈(0,+∞).(b) Skoro F (x) = F (x) dla x ∈ V oraz U ⊂ V , to 0 /∈ (−A + F )(∂U ∩ D(A)). Dlategostosujac Twierdzenie 4.3 mozemy wybrac t ∈ (0, t0] takie, ze jesli t ∈ (0, t], to Φt(x) 6= xdla x ∈ ∂U oraz

deg(I − Φt, U) = deg(−A+ F , U). (4.20)

Korzystajac z (4.19) i (4.20) otrzymujemy, ze

deg(I − Φt, U) = deg(I − Φt, U) = deg(−A+ F , U) = deg(−A+ F,U)

dla t ∈ (0, t], co konczy dowód punktu (b).

5 Zagadnienia okresowe

Bedziemy sie zajmowac zagadnieniami okresowymi postaciu(t) = −Au(t) + F (t, u(t)), t > 0u(t) = u(t+ T ) t ≥ 0

gdzie A : D(A)→ X jest operatorem liniowym, zas F jego zaburzeniem, które jest zalezneod czasu. Rozwazania rozpoczniemy od metod usredniania dla nieautonomicznych zaburzenoperatorów wycinkowych. Wykorzystamy wyprowadzony wczesniej wzór indeksowy typuKrasnosielskiego, po czym pokazemy zastosowanie otrzymanych metod w teorii kobifurka-cji. W dalszej kolejnosci omówimy metody usredniania wzgledem jadra operatora A przyogólnym załozeniu, ze A jest generatorem C0 półgrupy. Na koncu, opierajac sie na załoze-niach typu Landesmana–Lazera, podamy zastosowania tych metod do szukania rozwiazanokresowych dla zagadnien z rezonansem.

72

5.1 Metody usredniania dla zaburzen operatorów wycinkowych

Niech dana bedzie rodzina zagadnien okresowych

(PαT,λ)

u(t) = −λAu(t) + λF (t, u(t)), t > 0u(t) = u(t+ T ) t ≥ 0

gdzie T > 0 jest pewna liczba, zas λ jest parametrem z przedziału [0, 1]. Ponadto zakładamy,ze A : D(A)→ X jest operatorem wycinkowym takim, ze−A generuje zwarta C0 półgrupeoraz re σ(A) > 0, zas F : [0,+∞) × Xα → X , gdzie α ∈ (0, 1), jest odwzorowaniemciagłym spełniajacym warunki (F1)αt i (F2)αt . Oprócz tego zakładamy, ze

(F3)αt F (t+ T, x) = F (t, x), dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

Nietrudno zauwazyc, ze dla dowolnego λ ∈ (0, 1], operator λA jest równiez wycinkowy oraz

re σ(λA) = λ re σ(A) > 0.

Dlatego na mocy punktu (d) Twierdzenia 3.6 dla dowolnego λ ∈ (0, 1] i x ∈ Xα istniejedokładnie jedno słabe rozwiazanie u(·;λ, x) : [0,+∞) → Xα zagadnienia poczatkowego(Pα

T,λ) takie, ze u(0;λ, x) = x. Oprócz tego dla dowolnego λ ∈ [0, 1] i t ∈ [0,+∞) okre-slamy odwzorowanie Φλ

t : Xα → Xα jako

Φλt (x) := u(t;λ, x).

Z Twierdzenia 3.12 otrzymujemy, ze dla dowolnego λ ∈ (0, 1] odwzorowanie ΦλT jest pełno-

ciagłe.

Definicja 5.1 Punktem kobifurkacji dla zagadnienia (PαT,λ) bedziemy nazywac punkt x0 ∈

Xα, dla którego istnieja ciagi (λn) ⊂ (0, 1], (xn) ⊂ Xα takie, ze λn → 0+, xn → x0 przyn→ +∞ oraz

ΦλnT (xn) = xn dla n ≥ 1.

Rozwazania zaczniemy od podania warunku koniecznego dla istnienia punktów kobifurkacji

Twierdzenie 5.2 Załózmy, ze operator A : D(A) → X i odwzorowanie F sa takie jakpowyzej. Jesli punkt x0 ∈ Xα jest punktem kobifurkacji, to x0 ∈ D(A) oraz−Ax0+F (x0) =0, gdzie

F (x) :=1

T

∫ T

0

F (s, x) ds dla x ∈ Xα. (5.1)

Odwzorowanie F : Xα → X zdefiniowane wzorem (5.1) bedziemy nazywac usrednie-niem odwzorowania F .

Dowód. Na mocy punktu (c) Twierdzenia 1.33 i Wniosku 1.30 wnosimy, ze istnieja stałeM,Mα > 0 takie, ze

‖SA(t)‖ ≤M, ‖ASA(t)‖ ≤Mα/tα dla t > 0. (5.2)

73

Dla n ≥ 1 przyjmujemy un := u(· ;λn, xn). Pokazemy, ze

‖un(t)− x0‖α → 0 przy n→ +∞

jednostajnie na [0, T ]. Z definicji słabego rozwiazania, dla dowolnego n ≥ 1 oraz t ∈ [0, T ],

un(t) = SA(λnt)xn + λn

∫ t

0

SA(λn(t− s))F (s, un(s)) ds.

Niech R > 0 bedzie takie, ze (xn) ⊂ B(0, R). Wtedy dla dowolnego n ≥ 1 oraz t ∈ [0, T ]mamy, ze

‖un(t)‖α ≤ ‖SA(λnt)Aαxn‖+ λn

∫ t

0

‖AαSA(λn(t− s))‖‖F (λn, s, un(s))‖ ds

≤M‖xn‖α + λ1−αn

∫ t

0

Mα

(t− s)α‖F (λn, s, un(s))‖ ds

≤MR +

∫ t

0

Mα

(t− s)αc(s)(1 + ‖un(s)‖α) ds

≤MR +KMα

1− αT 1−α +

∫ t

0

KMα

(t− s)α‖un(s)‖α ds

gdzie K := sups∈[0,T ] c(s). Korzystajac z Lematu 6.16 otrzymujemy, ze istnieje stała C > 0taka, ze

‖un(t)‖α ≤ C dla t ∈ [0, T ], n ≥ 1.

W zwiazku z załozeniem (F2)αt , dla t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1, mozemy napisac

‖un(t)− SA(λnt)xn‖α ≤ λn

∫ t

0

‖AαSA(λn(t− s))‖‖F (s, un(s))‖ ds (5.3)

≤ λ1−αn

∫ t

0

Mα(t− s)−α‖F (s, un(s))‖ ds

≤ λ1−αn

∫ t

0

K(1 + C)Mα(t− s)−α ds

≤ λ1−αn K(1 + C)MαT

1−α/(1− α).

Niech teraz ε > 0. Korzystajac z faktu, ze ‖Aαxn −Aαx0‖ → 0 przy n→ +∞, wybierzmyn0 ≥ 1 takie, ze dla n ≥ n0

‖xn − x0‖α ≤ ε/3 (5.4)‖SA(t)Aαxn − Aαxn‖ ≤ ε/3

λ1−αn K(1 + C)MαT

1−α/(1− α) ≤ ε/3.

Wtedy, korzystajac z (5.3) i (5.4), dla t ∈ [0, T ] oraz n ≥ n0, otrzymujemy, ze

‖un(t)− x0‖α ≤ ‖un(t)− SA(λnt)xn‖α + ‖SA(λnt)xn − xn‖α + ‖xn − x0‖α≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,

74

a zatem (un) zbiega w C([0, T ], Xα) do odwzorowania stałego równego x0. Zgodnie z tym,ze Φλn

T (xn) = xn, dla n ≥ 1 mozemy napisac

xn = un(T ) = SA(λnT )xn + λn

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (s, un(s)) ds,

co wraz z punktem (b) Twierdzenia 1.14 oznacza, ze dla n ≥ 1

A

(1

λnT

∫ λnT

0

SA(s)xn ds

)=xn − SA(λnT )xn

λnT(5.5)

=1

T

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (s, un(s)) ds.

Na mocy Uwagi 6.14, ciagłosci półgrupy i odwzorowania F , ciag (ηn) ⊂ C([0, T ], X) danyjako

ηn(s) := SA(λn(T − s))F (s, un(s)) dla n ≥ 1, t ∈ [0, T ]

zbiega jednostajnie na przedziale [0, T ] do funkcji η0 ∈ C([0, T ], X) danej wzorem η0(s) :=F (s, x0) dla t ∈ [0, T ]. Wynika stad, ze

1

T

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (s, un(s)) ds→ F (x0) gdy n→ +∞. (5.6)

Nietrudno zauwazyc, ze

1

λnT

∫ λnT

0

SA(s)xn ds→ x0 gdy n→ +∞. (5.7)

Majac teraz na uwadze (5.5), (5.6), (5.7) i domknietosc operatora A, otrzymujemy, ze x0 ∈D(A) oraz

−Ax0 + F (x0) = 0,


Podamy teraz zasade usredniania dla zagadnien okresowych, która dostarcza warunkówwystarczajacych dla istnienia punktów kobifurkacji

Twierdzenie 5.3 Załózmy, ze A : D(A) → X jest operatorem wycinkowym takim, ze −Ageneruje zwarta C0 półgrupe oraz re σ(A) > 0. Ponadto niech F : [0,+∞) × Xα → X ,gdzie α ∈ (0, 1), bedzie odwzorowaniem ciagłym takim, ze spełnione sa warunki (F1)αt ,(F2)αt oraz (F3)αt . Jesli U ⊂ Xα jest zbiorem otwartym i ograniczonym takim, ze 0 /∈(−A + F )(∂U ∩ D(A)), to istnieje λ0 > 0 takie, ze jesli λ ∈ (0, λ0], to Φλ

T (x) 6= x dlax ∈ ∂U oraz

degLS(I − ΦλT , U) = degα(−A+ F , U).

Zanim przejdziemy do dowodu powyzszego twierdzenia, udowodnimy nastepujacy lemat

Lemat 5.4 Niech t > 0 bedzie pewna liczba oraz niech A : D(A) → X bedzie takie jakpowyzej. Złózmy, ze mamy dane ciagi (tn) ⊂ [t, 2t], (xn) ⊂ Xα oraz (wn) ⊂ C([0, 2t], X)

75

takie, ze tn → t, zas (xn) i (wn) sa ograniczone odpowiednio w Xα i C([0, 2t], X). Jesli dlakazdego n ≥ 1 zdefiniujemy odwzorowanie un : [0, 2t]→ Xα wzorem

un(t) := SA(t)xn +

∫ t

0

SA(t− s)wn(s) ds,

to zbiór un(tn)n≥1 jest relatywnie zwarty w topologii przestrzeni Xα.

Dowód. Trzeba pokazac, ze zbiór Aαun(tn) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w przestrzeniX . Niech ε > 0 bedzie dowolne. Na mocy punktu (b) Lematu 3.14 istnieja t0 ∈ (0, t) in0 ≥ 1 takie, ze ∥∥∥∥∫ tn

t0

AαSA(tn − s)wn(s) ds

∥∥∥∥ ≤ ε dla n ≥ n0. (5.8)

Z definicji słabego rozwiazania i Lematu 3.7, dla n ≥ 1 mamy

Aαun(tn) = SA(tn)Aαxn + SA(t− t0)

(∫ t0

0

AαSA(tn − t+ t0 − s)wn(s) ds

)(5.9)

+

∫ tn

t0

SA(tn − s)wn(s) ds,

co z kolei implikuje, ze

V := Aαun(tn) | n ≥ 1 ⊂ SA(t) (S(tn − t)Aαxnn≥1) + SA(t− t0)Dt0 (5.10)

+

∫ tn

t0

AαSA(tn − s)wn(s) ds∣∣∣ n ≥ 1

,

gdzie

Dt0 :=

∫ t0

0

AαSA(tn − t+ t0 − s)wn(s) ds∣∣∣ n ≥ 1

.

Jesli przyjmiemy

Vε := (SA(t) (S(tn − t)Aαxnn≥1) + SA(t− t0)Dt0) ∪ Aαuk(tk)1≤k≤n0 ,

to zgodnie z (5.8) oraz (5.10) mamy, ze

V ⊂ Vε +B(0, ε) = Oε(Vε). (5.11)

Na mocy jednostajnej ograniczonosci półgrupy i punktu (a) Lematu 3.14 otrzymujemy, zezbiory S(tn − t)Aαxnn≥1 i Dt0 sa ograniczone w X , co wraz ze zwartoscia półgrupySA(t)t≥0 implikuje, ze zbiór Vε jest relatywnie zwarty. Korzystajac z (5.11) i Twierdzenia6.7 otrzymujemy, ze zbiór V jest relatywnie zwarty w X , gdyz ε > 0 moze byc dowolne.Zatem zbiór un(tn)n≥1 jest relatywnie zwarty w Xα.

Dowód Twierdzenia 5.3. Dla kazdego λ ∈ [0, 1] rozpatrzmy zagadnienie rózniczkowe

(P λA,µ) u(t) = −λAu(t) + λF (µ, t, u(t)) na [0,+∞)

76

gdzie F : [0, 1]× [0,+∞)×Xα → X jest zadane wzorem

F (µ, t, x) = µF (t, x) + (1− µ)F (x) dla x ∈ Xα.

Odwzorowanie F spełnia załozenia (F1)αt i (F2)αt . Istotnie, wezmy (t0, x0) ∈ [0,+∞)×Xα.Wtedy istnieje δ > 0 oraz otoczenie V0 ⊂ Xα punktu x0 takie, ze dla dowolnych t, s ∈(t0 − δ, t0 + δ) ∩ [0,+∞) oraz x, y ∈ V0

‖F (t, x)− F (s, y)‖ ≤ L(|t− s|θ + ‖x− y‖α), (5.12)

gdzie L > 0, θ ∈ (0, 1) sa pewnymi stałymi. Nietrudno zauwazyc, ze w takim razie dlakazdego x0 ∈ Xα istnieje otoczenie V1 ⊂ Xα punktu x0 oraz stała L1 > 0 taka, ze

‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L1‖x− y‖α dla t ∈ [0, T ], x, y ∈ V1. (5.13)

Wykorzystujac (5.12) oraz (5.13) mamy, ze dla ustalonego µ ∈ [0, 1] oraz dowolnych (t, x), (s, y) ∈(t0 − δ, t0 + δ) ∩ [0,+∞)× V0 ∩ V1

‖F (µ, t, x)− F (µ, s, y)‖ = ‖µF (t, x)− µF (s, y) + (1− µ)F (x)− (1− µ)F (y)‖≤ µ‖F (t, x)− F (s, y)‖+ (1− µ)‖F (x)− F (y)‖

≤ L(|t− s|θ + ‖x− y‖α) +1

T

∫ T

0

‖F (τ, x)− F (τ, y)‖ dτ

≤ (L+ L1)(|t− s|θ + ‖x− y‖α),

co dowodzi, ze F spełnia warunek (F1)αt .Udowodnimy teraz, ze F spełnia (F2)αt . Z załozenia wiemy, ze

‖F (t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα, t ∈ [0,+∞),

gdzie c : [0,+∞) → R+ jest funkcja ciagła. Stad dla dowolnego t ∈ [0,+∞), µ ∈ [0, 1]oraz x ∈ Xα

‖F (µ, t, x)‖ = ‖µF (t, x) + (1− µ)F (x)‖ ≤ µ‖F (t, x)‖+ (1− µ)‖F (x)‖

≤ c(t)(1 + ‖x‖α) +1

T

∫ T

0

c(τ)(1 + ‖x‖α) dτ

= c0(t)(1 + ‖x‖α),

gdzie

c0(t) =

(c(t) +

1

T

∫ T

0

c(τ) dτ

)dla t ∈ [0,+∞),

co dowodzi, ze F ma subliniowy wzrost i tym samym spełnia załozenie (F2)αt .Zatem z punktu (d) Twierdzenia 3.6, dla dowolnego x ∈ Xα, λ ∈ [0, 1] oraz µ ∈ [0, 1]otrzymujemy istnienie słabego rozwiazania w(· ;λ, µ, x) : [0,+∞) → Xα zagadnienia(P λ

A,µ) takiego, ze w(0 ;λ, µ, x) = x. Niech ΨλT : [0, 1] × Xα → Xα bedzie operatorem

przesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia (P λA,µ), który na mocy Twierdzenia 3.12 jest

odwzorowaniem pełnociagłym. Udowodnimy, ze istnieje λ1 > 0 takie, ze ΨλT (µ, x) 6= x dla

77

λ ∈ (0, λ1], µ ∈ [0, 1] oraz x ∈ ∂U . Bedziemy rozumowac przez sprzecznosc. Załózmy, zeistnieje ciag λn → 0+ oraz ciagi (µn) ⊂ [0, 1], (xn) ⊂ ∂U takie, ze µn → µ0 przy n→ +∞oraz

ΨλnT (µn, xn) = xn dla n ≥ 1. (5.14)

Dla n ≥ 1 bedziemy przyjmowac wn := w(· ;λn, µn, xn). Sprawdzmy, ze zbiór

F (µn, s, wn(s)) | s ∈ [0, T ], n ≥ 1 (5.15)

jest ograniczony w przestrzeni X . Rzeczywiscie, niech R > 0 bedzie takie, ze (xn) ⊂B(0, R). Wtedy

‖wn(t)‖α ≤ ‖SA(λnt)Aαxn‖+ λn

∫ t

0

‖AαSA(λn(t− s))‖‖F (µn, s, wn(s))‖ ds

≤M‖xn‖α + λ1−αn

∫ t

0

Mα

(t− s)α‖F (µn, s, wn(s))‖ ds

≤MR +

∫ t

0

Mα

(t− s)αc0(s)(1 + ‖wn(s)‖α) ds

≤MR +KMα

1− αT 1−α +

∫ t

0

KMα

(t− s)α‖wn(s)‖α ds,

gdzie K := sups∈[0,T ] c0(s), zas M,Mα > 0 sa stałymi z oszacowania (5.2). Dlatego zLematu 6.16 wnosimy, ze istnieje stała C > 0 taka, ze ‖wn(t)‖α ≤ C dla t ∈ [0, T ] orazn ≥ 1. Nastepnie dla dowolnego s ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1 mamy

‖F (µn, s, wn(s))‖ ≤ c0(s)(1 + ‖wn(s)‖α) ≤ K(1 + C),

co dowodzi ograniczonosci zbioru (5.15). Z równosci (5.14) mamy, ze

xn = wn(T ) = SA(λnT )xn + λn

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (µn, s, wn(s)) ds. (5.16)

Sprawdzmy teraz, ze

wn(t) = wn(t+ T ) dla t ∈ [0,+∞). (5.17)

Rzeczywiscie, wykorzystujac Uwage 3.5 i T–okresowosc funkcji F , dla t ≥ 0 oraz n ≥ 1,mamy

wn(t+ T ) = SA(λnt)wn(T ) + λn

∫ t+T

T

SA(λn(t+ T − s))F (µn, s, wn(s)) ds

= SA(λnt)xn + λn

∫ T

0

SA(λn(t− s))F (µn, s+ T,wn(s+ T )) ds

= SA(λnt)xn + λn

∫ T

0

SA(λn(t− s))F (µn, s, wn(s+ T )) ds.

Zatem dla kazdego n ≥ 1 odwzorowanie wn( · +T ) : [0,+∞)→ Xα jest słabym rozwiaza-niem zagadnienia (P λn

A,µn) zaczynajacym sie w punkcie xn. Na mocy punktu (c) Twierdzenia

78

3.6 otrzymujemy równosc (5.17). Łaczac (5.14) i (5.17) otrzymujemy, ze dla całkowitychk, n ≥ 1

xn = wn(T ) = wn(kT ),

czyli

xn = SA(λnkT )xn + λn

∫ kT

0

SA(λn(kT − s))F (µn, s, wn(s)) ds (5.18)

dla n, k ≥ 1. Niech t ∈ (0, T/2] oraz niech (kn) bedzie ciagiem danym jako

kn := [t/(λnT )] + 1 dla n ≥ 1.

Nietrudno zauwazyc, ze jesli ciag (tn) jest dany jako tn := knλnT dla n ≥ 1, to tn ≥ t dlan ≥ 1 oraz tn → t przy n→ +∞. Na podstawie (5.18), dla n ≥ 1 mozemy napisac

xn = SA(λnknT )xn +

∫ λnknT

0

SA(λnknT − s)F (µn, s/λn, wn(s/λn)) ds

= SA(tn)xn +

∫ tn

0

SA(tn − s)F (µn, s/λn, wn(s/λn)) ds (5.19)

Z równosci (5.17) i załozenia (F3)αt wiemy, ze dla kazdego n ≥ 1 odwzorowanie s 7→F (µn, s, wn(s)) okreslone na [0,+∞) jest T–okresowe, skad mamy inkluzje

F (µn, s/λn, wn(s/λn)) | s ∈ [0, 2t], n ≥ 1⊂ F (µn, s, wn(s)) | s ∈ [0,+∞), n ≥ 1= F (µn, s, wn(s)) | s ∈ [0, T ], n ≥ 1.

Skoro zbiór F (µn, s, wn(s)) | s ∈ [0, T ], n ≥ 1 jest ograniczony w przestrzeni X , wynikastad, ze ciag (vn) dany wzorem

vn(s) = F (µn, s/λn, wn(s/λn)) s ∈ [0, 2t]

jest ograniczony w C([0, 2t], X). Na podstawie Lematu 5.4 i równosci (5.19) wnosimy, zeciag (xn) ⊂ ∂U jest relatywnie zwarty w Xα. Dlatego istnieje podciag tego ciagu, któryzbiega do pewnego x0 ∈ ∂U . Bez straty ogólnosci rozumowania mozemy przyjac, ze (xn)jest tym podciagiem. Niech t ∈ [0, T ] bedzie dowolne. Wtedy

‖wn(t)− xn‖α ≤ ‖SA(λnt)Aαxn − Aαxn‖+ λn

∫ t

0

‖AαSA(λnt− λns)F (µn, s, wn(s))‖ ds

≤ ‖SA(λnt)Aαxn − Aαxn‖+ λ1−α

n

∫ t

0

Mα(t− s)−α‖F (µn, s, wn(s))‖ ds

≤ ‖SA(λnt)Aαxn − Aαxn‖+ λ1−α

n

∫ t

0

KMα(t− s)−α ds

≤ ‖SA(λnt)Aαxn − Aαxn‖+

KMα

1− αλ1−αn T 1−α,

gdzie K := sup‖F (µn, s, wn(s))‖ | s ∈ [0, T ], n ≥ 1. Dlatego z powyzszych oszacowanotrzymujemy, ze ciag (wn) zbiega jednostajnie w przestrzeni C([0, T ], Xα) do funkcji stałej

79

równej x0. Na podstawie równosci (5.16) i punktu (b) Twierdzenia 1.14, dla n ≥ 1, mozemynapisac, ze

xn − SA(λnT )xnλnT

=1

T

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (µn, s, wn(s)) ds,

oraz

A

(∫ λnT0

SA(s)xn ds

λnT

)=

1

T

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (µn, s, wn(s)) ds. (5.20)

Dodatkowo nietrudno zauwazyc, ze∫ λnT0

SA(s)xn ds

λnT→ x0 przy n→∞. (5.21)

Na mocy faktu, ze ciag (wn) zbiega jednostajnie na odcinku [0, T ] do funkcji stałej równejx0 i Uwagi 6.14 mamy, ze ciag (φn) dany dla kazdego n ≥ 1 jako

φn(s) = SA(λn(T − s))F (µn, s, wn(s)) dla s ∈ [0, T ],

zbiega jednostajnie na odcinku [0, T ] do funkcji φ0 danej wzorem

φ0(s) = F (µ0, s, x0) dla s ∈ [0, T ].

Pozwala nam to, wnioskowac, ze

1

T

∫ T

0

SA(λn(T − s))F (µn, s, un(s)) ds→ 1

T

∫ T

0

F (µ0, s, x0) ds przy n→∞.(5.22)

Zauwazmy, ze

1

T

∫ T

0

F (µ0, s, x0) ds =1

T

∫ T

0

µ0F (s, x0) + (1− µ0)F (x0) = F (x0). (5.23)

Korzystajac z (5.20), (5.21), (5.22), (5.23) i z domknietosci operatora A wnosimy, ze x0 ∈D(A) oraz −Ax0 + F (x0) = 0, co przeczy załozeniu poniewaz x0 ∈ ∂U ∩D(A). Zatem zhomotopijnej niezmienniczosci stopnia otrzymujemy

degLS(I − ΦλT , U) = degLS(I −Ψλ

T (1, ·), U) = degLS(I −ΨλT (0, ·), U) (5.24)

dla λ ∈ (0, λ1]. Z faktu, ze ΨλT (0, ·) jest operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii dla

zagadnienia autonomicznego (P λA,0) mamy

ΨλT (0, x) = Ψ1

λT (0, x) dla x ∈ Xα. (5.25)

Na mocy Twierdzenia 4.3, otrzymujemy, ze istnieje λ0 ∈ (0, λ1] taka, ze jesli λ ∈ (0, λ0], toΨ1λT (0, x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degLS(Ψ1λT (0, ·), U) = degα(−A+ F , U). (5.26)

Łaczac (5.24), (5.25) i (5.26), dla λ ∈ (0, λ0], otrzymujemy

degLS(I − ΦλT , U) = degLS(I −Ψλ

T (0, ·), U) = degLS(I − deg(Ψ1λT (0, ·), U))

= degα(−A+ F , U),


80

Wniosek 5.5 (Istnienie punktów kobifurkacji) Załózmy, ze operator A : D(A) → X orazodwzorowanie F : [0,+∞)×Xα → X sa takie jak w załozeniach Twierdzenia 5.3. JesliU ⊂Xα jest otwartym i ograniczonym zbiorem takim, ze −Ax + F (x) 6= 0 dla x ∈ D(A) ∩ ∂Uoraz

degα(−A+ F,U) 6= 0,

to istnieje x0 ∈ U oraz ciagi (λn) ⊂ [0, 1], (xn) ⊂ U takie, ze

ΦλnT (xn) = xn dla n ≥ 1

oraz λn → 0, xn → x0 przy n→ +∞.

Dowód. Z Twierdzenia 5.3 i załozenia twierdzenia mamy, ze istnieje λ0 ∈ (0, 1) takie, zejesli λ ∈ (0, λ0], to Φλ

T (x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degLS(I − ΦλT , U) = degα(−A+ F,U) 6= 0.

Z własnosci istnienia stopnia topologicznego, otrzymujemy, ze jesli λ ∈ (0, λ0], to istniejex ∈ U takie, ze Φλ

T (x) = x. Zatem mozemy wybrac ciagi (λn) ⊂ [0, 1], (xn) ⊂ U takie, zeλn → 0 oraz

ΦλnT (xn) = xn dla n ≥ 1. (5.27)

Wobec równosci (5.27) mamy, ze ciagi (λn), (xn) oraz (µn), gdzie µn = 1 dla n ≥ 1,spełniaja równosc (5.14). Dlatego postepujac tak samo jak w dowodzie Twierdzenie 5.3,otrzymujemy relatywna zwartosc ciagu (xn) i w ten sposób konczymy dowód wniosku.

Twierdzenie 5.6 Załózmy, ze Ω ⊂ Rn, gdzie n ≥ 1, jest zbiorem otwartym i ograniczonymz gładkim brzegiem. Niech f : [0,+∞)×Rn → R bedzie odwzorowaniem ciagłym takim, ze

|f(t, x)| ≤ m,

f(t+ T, x) = f(t, x),

|f(t, x)− f(s, y)| ≤ L(|t− s|θ + |x− y|)

dla x, y ∈ Rn, t, s ≥ 0, gdzie m > 0, L > 0, θ ∈ (0, 1), T > 0 sa pewnymi stałymi. Niechai,j ∈ C1(Ω) dla 1 ≤ i, j ≤ n beda funkcjami takimi, ze∑

1≤i,j≤n

ai,j(x)ξiξj ≥ c|ξ|2 (5.28)

dla x ∈ Ω oraz ξ ∈ Rn. Jesli dla kazdego x ∈ Ω macierz A(x) = (ai,j(x))i,j=1,...,n jestsymetryczna, to zagadnienie

∂u

∂t= λdiv(A(x)∇u) + λf(t,∇u) w (0,+∞)× Ω

u(t, x) = 0 na [0,+∞)× ∂Ω,

gdzie λ ∈ [0, 1] jest parametrem, posiada punkt kobifurkacji.

81

Dowód. Niech X := L2(Ω) oraz niech A := AD bedzie operatorem liniowym zada-nym wzorami (1.45). Na mocy punktu (d) Twierdzenia 1.36 operator A jest wycinkowy,re σ(A) > 0 oraz półgrupa SA(t)t≥0 jest zwarta. Rozwazmy przestrzenie ułamkowe Xα,rzedu α ∈ [1/2, 1) wyznaczone przez operator liniowy A. Na podstawie Twierdzenia 1.38mamy, ze włozenie Xα ⊂ H1

0 (Ω) jest ciagłe, czyli istnieje stała C > 0 taka, ze

‖u‖H10 (Ω) ≤ C‖u‖α dla u ∈ Xα. (5.29)

Niech F : [0,+∞)×Xα → X bedzie odwzorowaniem danym wzorem

F (t, u)(x) := f(t,∇u(x)) dla x ∈ Ω,

gdzie u ∈ Xα. Z załozonej ograniczonosci funkcji f otrzymujemy, ze f(t,∇u) ∈ L2(Ω) dladowolnych u ∈ Xα i t ≥ 0, co oznacza, ze odwzorowanie F jest poprawnie okreslone oraz

‖F (t, u)‖ ≤ m|Ω|1/2 dla t ≥ 0, u ∈ Xα, (5.30)

gdzie |Ω| jest miara Lebesgue’a dziedziny Ω. Ponadto dla u,w ∈ Xα

‖F (t, u)− F (s, w)‖2 =

∫Ω

|f(t,∇u(x))− f(s,∇w(x))|2 dx

≤ L2

∫Ω

(|t− s|θ + |∇u(x)−∇w(x)|)2 dx

≤ 2L2|Ω||t− s|2θ + 2L2

∫Ω

|∇u(x)−∇w(x)|2 dx.

Z powyzszych oszacowan otrzymujemy

‖F (t, u)− F (s, w)‖ ≤ L√

2|Ω||t− s|θ + L√

2‖u(x)− w(x)‖H10 (Ω)

≤ L√

2|Ω||t− s|θ + CL√

2‖u(x)− w(x)‖α,

gdzie C > 0 jest stała z nierównosci (5.29). Dodatkowo, łatwo zauwazyc, ze

F (t+ T, u) = F (t, u) dla t ≥ 0, u ∈ Xα.

Niech R > m‖Aα−1‖|Ω|1/2 bedzie ustalone. Pokazemy, ze odwzorowanie

(u, λ) 7→ −Au+ λF (u)

okreslone na [0, 1]×B(0, R), jest takie, ze −Au+ λF (u) 6= 0 dla λ ∈ [0, 1], u ∈ ∂B(0, R).Załózmy, ze jest to nieprawda. Wtedy istnieje u ∈ Xα, ‖u‖ = R takie, ze−Au+λF (u) = 0.Stad u = λA−1F (u) oraz

R = ‖u‖α = λ‖AαA−1F (u)‖ ≤ ‖Aα−1F (u)‖ ≤ m‖Aα−1‖|Ω|1/2 < R,

co daje sprzecznosc. W szczególnosci −Au + F (u) 6= 0 dla u ∈ ∂B(0, R) oraz na mocywłasnosci (D3′) i własnosci normalizacji (patrz Twierdzenie 2.8) wnosimy, ze

degα(−A+ F , B(0, R)) = degα(−A,B(0, R)) = 1,

a zatem na mocy Wniosku 5.5 otrzymujemy, ze powyzsze zagadnienie posiada punkt kobi-furkacji.

82

5.2 Metody usredniania wzgledem jadra operatora liniowego

Nasze biezace rozwazania beda dotyczyły rodziny zagadnien rózniczkowych postaci

(PT,λ)

u(t) = −Au(t) + λF (t, u(t)), t > 0u(t) = u(t+ T ) t ≥ 0

gdzie T > 0, zas λ jest parametrem z przedziału [0, 1]. Przyjmujemy, ze A : D(A)→ X jestoperatorem liniowym na przestrzeni Banacha X takim, ze −A jest generatorem zwartej C0

półgrupy, zas F : [0,+∞) ×X → X jest odwzorowaniem ciagłym spełniajacym załozenia(F1)t, (F2)t. Ponadto niech beda spełnione nastepujace warunki(A1) KerA = Ker(I − SA(T )) 6= ∅,(A2) istnieje domknieta podprzestrzen liniowa M ⊂ X taka, ze X = KerA ⊕ M oraz

SA(t)M ⊂M dla t ≥ 0.

Uwaga 5.7 Niech A : D(A)→ X bedzie operatorem liniowym takim, ze −A jest generato-rem C0 półgrupy SA(t)t≥0.

(a) Z Twierdzenia 1.22 wynika, ze

KerA ⊂ Ker(I − SA(t)) dla t > 0. (5.31)

(b) Operator A spełnia warunek (A1) wtedy i tylko wtedy, gdy

(2kπ/T )i | k ∈ Z, k 6= 0 ∩ σp(A) = ∅. (5.32)

Rzeczywiscie, załózmy, ze spełniony jest warunek (A1). Gdyby istniała liczba całkowitak 6= 0 taka, ze (2kπ/T )i ∈ σp(A), to istnieje równiez z ∈ XC takie, ze z 6= 0 oraz

ACz = (2kπ/T )iz. (5.33)

Na podstawie punktu (b) Uwagi 1.15 wiemy, zeAC jest generatoremC0 półgrupy SAC(t)t≥0

takiej, ze SAC(t) = SA(t)C dla t ≥ 0, zas na mocy (5.33), wzoru (1.32) z Twierdzenia 1.22mamy, ze z ∈ Ker(I − SAC(T )), a stad

SA(T )x+ SA(T )yi = x+ yi,

gdzie z = x + yi. Dlatego SA(T )x = x oraz SA(T )y = y, co po uwzglednieniu warunku(A1) oznacza, ze Ax = 0 oraz Ay = 0. W konsekwencji ACz = 0, co przeczy (5.33)poniewaz z 6= 0 i k 6= 0.Załózmy teraz, ze spełniona jest równosc (5.32). OperatorAC jest domkniety poniewaz−ACjest generatorem C0 półgrupy, a wiec domknieta jest równiez przestrzen KerAC. Dlategozgodnie z (5.32) i wzorem (1.32), mozemy napisac, ze

Ker(I − SAC(T )) = cl KerAC = KerAC,

co w zwiazku z równoscia SAC(T ) = SA(T )C oznacza, ze Ker(I − SA(T )) = KerA.

(c) OperatorAma zwarte rezolwenty oraz warunek (A2) jest spełniony w przypadku, gdykrotnosc geometryczna i algebraiczna wartosci własnej 0 sa takie same.

83

Zwartosc rezolwent jest konsekwencja zwartosci półgrupy SA(t)t≥0 i Twierdzenia 1.17.Załózmy, ze n0 ≥ 1 jest takie, ze

n(A)algλ = KerAn0 .

Zgodnie z załozeniem dim KerA = dim KerAn0 < +∞, co implikuje, ze KerA = KerAn0 .Z punktu (b) Twierdzenia 1.10 przestrzen ImAn0 jest domknieta podprzestrzenia przestrzeniX , zas z punktu (d) tego samego twierdzenia otrzymujemy, ze

X = KerAn0 ⊕ Im An0 = KerA⊕ Im An0 .

Na mocy punktu (c) Twierdzenia 1.14 mamy równiez, ze

SA(t)( Im An0) ⊂ Im An0 .

Tak wiec, aby warunek (A2) był spełniony wystarczy przyjac M := Im An0 .

Przyjmijmy, ze N := KerA oraz niech P : X → X oraz Q : X → X beda rzutami od-powiednio na przestrzenie N i M , czyli ograniczonymi operatorami liniowymi takimi, zeP 2 = P , Q2 = Q, P + Q = I oraz Im P = N , Im Q = M . Operatory P i Q o tychwłasnosciach istnieja poniewaz przestrzenie M i N sa domkniete oraz X jest przestrzeniaBanacha.

Korzystajac ze zwartosci półgrupy SA(t)t≥0 i z załozen (F1)t, (F2)t na mocy punktu(c) Twierdzenia 3.3, dla dowolnego λ ∈ [0, 1], okreslamy odwzorowanie Φλ

t : X → X be-dace operatorem przesuniecia wzdłuz trajektorii dla zagadnienia (PT,λ). Dodatkowo na pod-stawie Twierdzenia 3.9 stwierdzamy, ze Φλ

t jest odwzorowaniem pełnociagłym, jesli tylkot > 0.

Twierdzenie 5.8 Niech g : N → N bedzie odwzorowaniem zadanym wzorem

g(x) :=

∫ T

0

PF (s, x) ds dla x ∈ N.

Ponadto niech U ⊂ N bedzie otwartym i ograniczonym zbiorem takim, ze g(x) 6= 0 dlax ∈ ∂NU . Wówczas, dla kazdego ograniczonego V ⊂ M , który jest otwarty w M i 0 ∈ V ,istnieje λ0 > 0 takie, ze jesli λ ∈ (0, λ0], to Φλ

T (x) 6= x dla x ∈ ∂(U ⊕ V ) oraz

degLS(I − ΦλT , U ⊕ V ) = (−1)µ+dimNdegB(g, U), (5.34)

gdzie µ jest liczba rzeczywistych wartosci własnych operatora SA(T ) : X → X wiekszychod 1 (liczac krotnosci algebraiczne), zas degB oznacza stopien topologiczny Brouwera.

Uwaga 5.9 Na mocy załozonej zwartosci półgrupy SA(t)t≥0 i punktu (c) Twierdzenia 1.5,rzeczywiste wartosci własne operatora SA(T ) tworza ciag skonczony lub zbiezny do 0. Za-tem istnieje tylko skonczona ilosc rzeczywistych wartosci własnych wiekszych od 1.

Uwaga 5.10 Z faktu, ze N,M sa domknietymi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Xwynika, ze zbiór U ⊕ V jest otwarty w topologii przestrzeni X jesli tylko zbiory U ⊂ N

84

i V ⊂ M sa otwarte w topologiach indukowanych odpowiednio na przestrzeniach N i M .Ponadto nietrudno sprawdzic, ze

∂X(U ⊕ V ) = ∂NU ⊕ clMV ∪ clNU ⊕ ∂MV. (5.35)

Dowód Twierdzenia 5.8. Dla uproszczenia oznaczmy W := U ⊕ V . Dla kazdego y ∈ Woraz λ ∈ [0, 1], rozwazmy zagadnienie rózniczkowe

(Pλ,s,y) u(t) = −Au(t) +G(λ, s, y, t, u(t)), t > 0

gdzie G : [0, 1]× [0, 1]×W × [0,+∞)×X → X jest odwzorowaniem danym wzorem

G(λ, s, y, t, x) := λPF (t, sx+ (1− s)Py) + sλQF (t, x).

Przyjmijmy, ze Λ := [0, 1]× [0, 1]×W jest przestrzenia parametrów. Na poczatku udowod-nimy, ze odwzorowanie G spełnia warunki (F1)λ i (F2)λ. Ustalmy wiec (λ, s, y) ∈ Λ orazniech x0 ∈ X . Wtedy istnieja stałe L0, L1 > 0 oraz otoczenia V0, V1 ⊂ X odpowiedniopunktów sx0 + (1− s)Py i x0 takie, ze

‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L0‖x− y‖ dla x, y ∈ V0, t ∈ [0,+∞)

oraz‖F (t, x)− F (t, y)‖ ≤ L1‖x− y‖ dla x, y ∈ V1, t ∈ [0,+∞).

Załózmy, ze s 6= 0. Kładac zbiór otwarty V ′ := 1s(V0 − (1 − s)Py) ∩ V1 otrzymujemy, ze

x0 ∈ V ′ oraz dla dowolnych x1, x2 ∈ V ′ mamy, ze

‖G(λ, s, y, t, x1)−G(λ, s, y, t, x2)‖≤ λ‖PF (t, sx1 + (1− s)Py)− PF (t, sx2 + (1− s)Py)‖

+ sλ‖QF (t, x1)−QF (t, x2)‖≤ λ‖P‖‖F (t, sx1 + (1− s)Py)− F (t, sx2 + (1− s)Py)‖

+ sλ‖Q‖‖F (t, x1)− F (t, x2)‖≤ λL0‖P‖‖x1 − x2‖+ sλL1‖Q‖‖x1 − x2‖= (L0‖P‖+ L1‖Q‖)‖x1 − x2‖.

W przypadku gdy s = 0 odwzorowanie G(λ, s, y, t, ·) jest stałe, wiec wobec powyzszychrozwazan otrzymujemy, ze funkcja G spełnia warunek (F1)λ.Aby udowodnic, zeG spełnia równiez warunek (F2)λ, przyjmijmy, zeR > 0 jest taka liczbarzeczywista, ze W ⊂ B(0, R). Wtedy dla dowolnych (λ, s, y) ∈ Λ, x ∈ X oraz t ∈ [0,+∞)mamy, ze

‖G(λ, s, y, t, x)‖ = ‖λPF (t, sx+ (1− s)Py) + sλQF (t, x)‖≤ λ‖P‖‖F (t, sx+ (1− s)Py)‖+ sλ‖Q‖‖F (t, x)‖≤ c(t)‖P‖(1 + ‖sx+ (1− s)Py‖) + c(t)‖Q‖(1 + ‖x‖)≤ c(t)‖P‖(1 + ‖x‖+ ‖P‖R) + c(t)‖Q‖(1 + ‖x‖)≤ c(t)(‖P‖+ ‖Q‖+ ‖P‖2R) + c(t)(‖P‖+ ‖Q‖)‖x‖,

85

czyli spełniony jest warunek (F2)λ. Dlatego na mocy punktu (c) Twierdzenia 3.3 dla dowol-nego x ∈ X istnieje słabe rozwiazanie u(· ;λ, s, y, x) : [0,+∞) → X problemu (Pλ,s,y)zaczynajace sie w punkcie x ∈ X . Niech Θt : Λ×X → X bedzie operatorem przesunieciawzdłuz trajektorii dla tego zagadnienia, czyli

Θt(λ, s, y, x) := u(t ;λ, s, y, x) dla (λ, s, y) ∈ Λ, x ∈ X, t ∈ [0,+∞).

Na mocy Twierdzenia 3.9 operator Θt jest odwzorowaniem pełnociagłym, jesli tylko t > 0.Nastepnie, dla kazdego λ ∈ [0, 1] okreslmy funkcje Mλ : [0, 1]×W → X zadana wzorem

Mλ(s, x) := ΘT (λ, s, x, x). (5.36)

Sprawdzimy najpierw, ze dla dowolnego λ > 0 odwzorowanie Mλ jest pełnociagłe. W tymcelu zauwazmy, ze

Mλ([0, 1]×W ) = ΘT (λ × [0, 1]×W ×W ) ⊂ ΘT (Λ×W ). (5.37)

Wobec udowodnionej wczesniej pełnociagłosci odwzorowania ΘT wnosimy, ze zbiórΘT (W × Λ) jest relatywne zwarty, co wobec (5.37) implikuje relatywna zwartosc zbioruMλ([0, 1]×W ) przy dowolnym λ > 0.Udowodnimy, teraz ze istnieje λ0 > 0 takie, ze jesli λ ∈ (0, λ0], to

Mλ(s, x) 6= x dla x ∈ ∂W, s ∈ [0, 1].

Załózmy, ze tak nie jest. Wtedy istnieja ciagi (λn), (sn) ⊂ [0, 1] i (xn) ⊂ ∂W takie, zeλn → 0 oraz Mλn(sn, xn) = xn dla n ≥ 1. Bez straty ogólnosci rozumowania mozemyzałozyc, ze sn → s0, gdzie s0 ∈ [0, 1]. Z równania (5.36) wynika, ze

ΘT (λn, sn, xn, xn) = xn dla n ≥ 1, (5.38)

a zatem korzystajac z ograniczonosci ciagu (xn) ⊂ ∂W i pełnociagłosci odwzorowania ΘT

wnosimy, ze ciag (xn) musi zawierac podciag zbiezny. Bez straty ogólnosci rozumowaniamozemy załozyc, ze xn → x0 przy n → +∞, gdzie x0 ∈ ∂W . Przechodzac do granicy wrównosci (5.38) i korzystajac z Twierdzenia 3.9, otrzymujemy

ΘT (0, s0, x0, x0) = x0. (5.39)

Ponadto, nietrudno zauwazyc, ze

Θt(0, s0, x0, x0) = SA(t)x0 dla t ≥ 0, (5.40)

co w połaczeniu z (5.39) oznacza, ze x0 = SA(T )x0. Dalej, z warunku (A1) wnioskujemy,ze x0 ∈ KerA, co z kolei implikuje, ze Qx0 = 0. Na mocy równosc (5.35) wnioskujemy, zex0 ∈ ∂NU . Korzystajac teraz z (5.31) i (5.40) otrzymujemy, ze

Θt(0, s0, x0, x0) = SA(t)x0 = x0 dla t ≥ 0. (5.41)

Dla dowolnego n ≥ 1 przyjmijmy un := u(· ;λn, sn, xn, xn). Korzystajac teraz z definicjisłabego rozwiazania i (5.38) wnosimy,

xn = SA(T )xn + λn

∫ T

0

SA(T − τ)PF (τ, snun(τ) + (1− sn)Pxn) dτ (5.42)

+ λnsn

∫ T

0

SA(T − τ)QF (τ, un(τ)) dτ dla n ≥ 1.

86

Wiemy, ze SA(t)N ⊂ N oraz SA(t)M ⊂ M , co wobec domknietosci przestrzeni M i Nimplikuje, ze

λn

∫ t

0

SA(t− τ)PF (τ, snun(τ) + (1− sn)Pxn) dτ ∈ N oraz

λnsn

∫ t

0

SA(t− τ)QF (τ, un(τ)) dτ ∈M dla n ≥ 1.

Łaczac to z równaniem (5.42) otrzymujemy, ze

Pxn = SA(T )Pxn + λn

∫ T

0

SA(T − τ)PF (τ, snun(τ) + (1− sn)Pxn) dτ

dla n ≥ 1, a stad∫ T

0

PF (τ, snun(τ) + (1− sn)Pxn) dτ = 0 dla n ≥ 1, (5.43)

gdyz Im P = KerA ⊂ Ker(I − SA(t)) dla t ≥ 0. Na mocy Uwagi 3.11 i równosci (5.41)ciag (un) zbiega jednostajnie na przedziale [0, T ] do funkcji stałej równej x0. Przechodzacdo granicy w (5.43) otrzymujemy, ze

g(x0) =

∫ T

0

PF (τ, x0) dτ = 0,

co jest sprzeczne z załozeniem poniewaz, jak wczesniej wykazalismy, x0 ∈ ∂NU .Zatem na mocy homotopijnej niezmienniczosci stopnia mamy, ze

degLS(I − ΦλT ,W ) = degLS(I −Mλ(1, ·),W ) = degLS(I −Mλ(0, ·),W ) (5.44)

dla λ ∈ (0, λ0]. Ponadto zauwazmy dalej, ze

Mλ(0, x) = SA(T )x+ λ

∫ T

0

SA(T − τ)PF (τ, Px) dτ

= SA(T )x+ λ

∫ T

0

PF (τ, Px) dτ.

Niech odwzorowania Mλ1 : U → N oraz Mλ

2 : V →M beda zadane wzorami

Mλ1 (x1) := x1 + λ

∫ T

0

PF (s, x1) ds,

Mλ2 (x2) := SA(T )|Mx2.

Nietrudno sprawdzic, ze wtedy Mλ(0, ·) : W → X jest topologicznie sprzezone z odwzoro-waniem Mλ : U × V → N ×M danym wzorem

Mλ(x1, x2) := (Mλ1 (x1), Mλ

2 (x2)).

87

Półgrupa SA(t)t≥0 jest zwarta, a wiec korzystajac z punktu (c) Twierdzenia 1.6 i faktu, zeKer(I − SA(T )|M) = 0 otrzymujemy, ze odwzorowanie

I − Mλ2 : M →M

jest liniowym izomorfizmem. Ponadto z załozenia mamy, ze Mλ1 (0, x) 6= x dla x ∈ ∂NU , a

zatem korzystajac z Twierdzenia 6.1 i multiplikatywnosci stopnia mamy, ze dla λ > 0

degLS(I −Mλ(0, ·),W ) = degLS(I − Mλ,W ) = degB(I − Mλ1 , U) · degLS(I − Mλ

2 , V ).(5.45)

Łaczac (5.44) i (5.45) wnioskujemy, ze

degLS(I − ΦλT ,W ) = degB(−λg, U) · degLS(I − SA(T )|M , V )

= (−1)dimNdegB(g, U) · degLS(I − SA(T )|M , V )

dla λ ∈ (0, λ0]. Ostatecznie na podstawie Twierdzenia 6.2 otrzymujemy, ze jesli λ ∈ (0, λ0],to

degLS(I − ΦλT ,W ) = (−1)µ+dimNdegB(g, U),

gdzie µ jest liczba rzeczywistych wartosci własnych operatora SA(T ) : X → X wiekszychod 1 (liczac krotnosci algebraiczne). W ten sposób konczymy dowód twierdzenia.

Twierdzenie 5.11 Niech Ω ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym, spójnym i ograniczonym. Roz-wazmy nastepujace okresowe zagadnienie rózniczkowe

(P∆,f,ε)

∂u

∂t= ∆u+ εf(t, u) w (0,+∞)× Ω

∂u

∂n(t, x) = 0 na [0,+∞)× ∂Ω

u(t, x) = u(t+ T, x) w [0,+∞)× Ω,

gdzie T > 0. Załózmy, ze f : [0,+∞) × R → R jest funkcja ciagła dla której istnieja stałeL > 0 oraz m > 0 takie, ze

|f(t, y)| ≤ m dla t ≥ 0, y ∈ R,f(t+ T, y) = f(t, y) dla t ≥ 0, y ∈ R,

|f(t, y1)− f(t, y2)| ≤ L|y1 − y2| dla t ≥ 0, y1, y2 ∈ R.

Niech g0 : R→ R bedzie funkcja dana wzorem

g0(x) :=

∫ T

0

f(t, y) dt dla y ∈ R.

Jesli liczby rzeczywiste a, b sa takie, ze a < b oraz g0(a) · g0(b) < 0, to istnieje ε0 > 0 takie,ze dla ε ∈ (0, ε0] zagadnienie (P∆,f,ε) ma słabe rozwiazanie.

Dowód. Niech X := L2(Ω) oraz niech ‖ · ‖ i (·, ·) oznaczaja odpowiednio norme i iloczynskalarny na X . Przyjmijmy, ze F : [0,+∞)×X → X jest odwzorowaniem danym wzorem

F (t, u)(x) = f(t, u(x)) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω.

88

Na mocy powyzszych załozen i Stwierdzenia 6.13 odwzorowanie F jest poprawnie okre-slone, ciagłe, ograniczone i lipschitzowskie jednostajnie ze wzgledu na czas. Zagadnienie(P∆,f,ε) mozemy abstrakcyjnie zapisac jako

(PT,ε)

u(t) = −Au(t) + εF (t, u(t)), t > 0u(t) = u(t+ T ) t ≥ 0

gdzie ε ∈ [0, 1] jest parametrem, zas operator liniowy A : D(A)→ X jest okreslony jako

D(A) :=

u ∈ H1(Ω) | istnieje f ∈ L2(Ω) takie, ze∫

Ω

∇u∇h dx =

∫Ω

fh dx dla h ∈ H1(Ω)

,

Au := f, gdzie f jest jak w definicji D(A).

Z Wniosku 1.40 wiemy, ze operator −A generuje zwarta C0 półgrupe na X oraz

KerA = u ∈ H1(Ω) | u jest stała na Ω. (5.46)

Oznaczmy N := KerA. W szczególnosci, równosc (5.46) oznacza, ze dimN = 1. Niechdla dowolnego ε ∈ [0, 1] odwzorowanie Φε

T : X → X bedzie operatorem przesuniec wzdłuztrajektorii dla zagadnienia (PT,ε). Przyjmijmy, ze P : X → X jest rzutem danym wzorem

P (u) =1

|Ω|(u, e) · e dla u ∈ X,

gdzie e ∈ H1(Ω) jest reprezentantem funkcji stałej równej 1, zas |Ω| jest miara Lebesgue’adziedziny Ω. Okreslmy zbiory U ⊂ N , V ⊂ N⊥ jako

U := s · e | s ∈ (a, b), V := u ∈ N⊥ | ‖u‖ < 1.

Ponadto niech g : N → N bedzie odwzorowaniem danym wzorem

g(u) :=

∫ T

0

PF (t, u) dt dla u ∈ N.

Wtedy

g0(y) =1

|Ω|(g(y · e), e) dla y ∈ R, (5.47)

co wobec załozenia twierdzenia oznacza, ze g(u) 6= 0 dla u ∈ ∂NU = a · e, b · e. Zgodniez Twierdzeniem 5.8 istnieje ε0 > 0 takie, ze jesli ε ∈ (0, ε0], to Φε

T (x) 6= x dla x ∈ ∂(U⊕V )oraz

degLS(I − ΦεT , U ⊕ V ) = (−1)µ+1degB(g, U), (5.48)

gdzie µ jest liczba rzeczywistych wartosci własnych operatora SA(T ) : X → X wiekszychod 1 (wliczajac krotnosci algebraiczne). Łaczac ze soba (5.47) i (5.48), na mocy topologicz-nej niezmienniczosci stopnia otrzymujemy, ze jesli ε ∈ (0, ε0], to

degLS(I − ΦεT , U ⊕ V ) = (−1)µ+1degB(g0, (a, b)) 6= 0, (5.49)

gdyz zgodnie z załozeniem g0(a) · g0(b) < 0. Nietrudno zauwazyc, ze

F (t+ T, x) = F (t, x) dla t ≥ 0, x ∈ X,

zatem dowolny punkt stały odwzorowania ΦεT , jest poczatkiem rozwiazania okresowego za-

gadnienia (PT,ε).

89

5.3 Kryteria z warunkami typu Landesmana – Lazera

Niech Ω ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Bedziemy zajmowac sie na-stepujacymi zagadnieniami okresowymi

(PDRes)

∂u

∂t= div(A(x)∇u) + λku+ f(t, x, u) w (0,+∞)× Ω

u(t, x) = 0 na [0,+∞)× ∂Ω

u(t, x) = u(t+ T, x) w [0,+∞)× Ω,

gdzie λk jest k–ta wartoscia własna operatora −div(A(x)∇u) z warunkami brzegowymiDirichleta oraz

(PNRes)

∂u

∂t= div(A(x)∇u) + λku+ f(t, x, u) w (0,+∞)× Ω

∂u

∂n(t, x) = 0 na [0,+∞)× ∂Ω

u(t, x) = u(t+ T, x) w [0,+∞)× Ω,

gdzie λk jest k–ta wartoscia własna operatora −div(A(x)∇u) z warunkami brzegowymiNeumanna. Przyjmujemy, ze dla kazdego x ∈ Ω, macierz A(x) := (ai,j(x))i,j=1,...,n, gdzieai,j ∈ C1(Ω), dla 1 ≤ i, j ≤ n, jest symetryczna i dodatnio okreslona, czyli istnieje c > 0takie, ze ∑

1≤i,j≤n

ai,j(x)ξiξj ≥ c|ξ|2 (5.50)

dla x ∈ Ω oraz ξ ∈ Rn. Ponadto przyjmujemy, ze funkcja f : [0,+∞) × Ω × R → R jestciagła i spełnia nastepujace warunki

(a) istnieje stała m > 0 taka, ze

|f(t, x, y)| ≤ m dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω, y ∈ R,

(b) istnieje stała L > 0 taka, ze dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω, y1, y2 ∈ R

|f(t, x, y1)− f(t, x, y2)| ≤ L|y1 − y2|,

(c) f(t, x) = f(t+ T, x) dla x ∈ Ω, t ∈ [0,+∞),(d) istnieja funkcje ciagłe f+, f− : [0,+∞)× Ω→ R takie, ze

f+(t, x) = limy→+∞

f(t, x, y)

f−(t, x) = limy→−∞

f(t, x, y) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω.

Przyjmijmy, ze X := L2(Ω) oraz niech ‖ · ‖, (·, ·) oznaczaja odpowiednio norma i ilo-czynem skalarnym na przestrzeni X . Ponadto załózmy, ze A := AD lub A := AN jest ope-ratorem liniowym okreslonym odpowiednio wzorem (1.45) lub (1.46). Na podstawie Twier-dzenia 1.36 i 1.39 wiemy, ze w kazdym z tych przypadków operator A jest samosprzezony,ma zwarte rezolwenty oraz −A generuje zwarta C0 półgrupe SA(t)t≥0. Niech

λ1 < λ2 < λ3 < . . . < λk < . . .

90

beda wartosciami własnym operatora A nie liczac ich krotnosci. Z punktu (a) Stwierdzenia1.13 wnosimy, ze wszystkie wartosci własne operatora A leza na osi liczb rzeczywistych,zas z punktu (b) tego twierdzenia mamy, ze krotnosci algebraiczne i geometryczne poszcze-gólnych wartosci własnych sie pokrywaja. Ponadto λk → +∞ przy k → +∞, co jestkonsekwencja Wniosku 1.11 oraz Twierdzenia 1.16, z którego wynika, ze istnieje liczbarzeczywista ω taka, ze (ω,+∞) ⊂ %(−A).

Rozwazmy nastepujace zagadnienie okresowe, które jest abstrakcyjnym sformułowa-niem zagadnien (PD

Res) i (PNRes)

(P εRes)

u(t) = −Au(t) + λku+ εF (t, u(t)), t > 0u(t) = u(t+ T ) t ≥ 0

gdzie ε jest parametrem z przedziału [0, 1],A = AD lubA = AN , zas F : [0,+∞)×X → Xjest odwzorowaniem zadanym wzorem

F (t, u)(x) := f(t, x, u(x)) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω.

Zgodnie z załozeniami (a), (b) i ze Stwierdzeniem 6.13 odwzorowanie F jest poprawnieokreslone, ograniczone, ciagłe i lipschitzowskie jednostajnie ze wzgledu na czas. Dlategozgodnie z punktem (c) Twierdzeniem 3.3, dla dowolnego ε ∈ [0, 1] i u ∈ X istnieje słaberozwiazanie w( · ; ε, u) : [0,+∞) → X problemu (P ε

Res) takie, ze w(0 ; ε, u) = u. Dladowolnego t ≥ 0 niech Φt : [0, 1] × X → X bedzie operatorem przesuniecia wzdłuztrajektorii dla zagadnienia (P ε

Res). W dalszym ciagu bedziemy przyjmowac, ze

Φt(u) := Φt(1, u) dla t ≥ 0, u ∈ X.

Przyjmijmy, ze N := Ker(λkI − A), a nastepnie zdefiniujmy funkcje g : N → N wzorem

g(u) :=

∫ T

0

PF (t, u) dt, (5.51)

gdzie P : X → X jest rzutem ortogonalnym na przestrzen N . Korzystajac ze zwartoscipółgrupy SA(t)t≥0 i z Twierdzenia 1.17 otrzymujemy, ze operatorAma zwarte rezolwenty,co na mocy Twierdzenia 1.10 implikuje, ze dimN <∞. Ponadto dla dowolnych u, z ∈ N

(g(u), z) =

∫ T

0

(PF (t, u), z) dt =

∫ T

0

(F (t, u), z) dt (5.52)

=

∫ T

0

∫Ω

f(t, x, u(x))z(x) dxdt.

Uwaga 5.12 Niech k ≥ 1 bedzie liczba całkowita. Wówczas operator λkI − A spełniazałozenia (A1) i (A2).Istotnie, operator λkI − A jest samosprzezony, a stad

2kπi | k ∈ Z, k 6= 0 ∩ σp(λkI − A) = ∅.

Na podstawie punktu (b) Uwagi 5.7 operator λkI − A spełnia załozenie (A1). Ponadto,λkI − A jest symetryczny i ma zwarte rezolwenty, zatem na mocy punktu (b) Stwierdzenia1.13 krotnosc algebraiczna i geometryczna zera sa takie same. Na podstawie punktu (c)Uwagi 5.7 wnosimy, ze operator λkI − A spełnia warunek (A2).

91

Twierdzenie 5.13 Niech f : [0,+∞) × Ω × R → R bedzie funkcja ciagła spełniajacawarunki (a), (b), (d) oraz nastepujacy warunek typu Landesmana–Lazera:∫ T

0

∫u>0

f+(t, x)u(x) dxdt+

∫ T

0

∫u<0

f−(t, x)u(x) dxdt 6= 0 (5.53)

dla dowolnej funkcji u ∈ N takiej, ze ‖u‖ = 1. Wtedy istnieje otwarty i ograniczony zbiórW ⊂ X taki, ze

(i) ΦT (u) 6= u dla u ∈ X \W ,(ii) g(u) 6= 0 dla u ∈ N \ (W ∩N) oraz

degLS(I − ΦT ,W ) = (−1)dkdegB(g,W ∩N), (5.54)

gdzie dk := dim (Ker(λ1I − A)⊕ . . .⊕Ker(λkI − A)) dla k ≥ 1.

W dowodzie Twierdzenia 5.13 wykorzystamy ponizszy lemat

Lemat 5.14 Niech f : [0,+∞) × Ω × R → R bedzie funkcja ciagła spełniajaca warunek(a) i (d) oraz niech odwzorowanie g : N → N bedzie takie jak powyzej. Załózmy ponadto, zespełniony jest warunek typu Landesmana–Lazera. Wtedy istnieje R0 > 0 takie, ze g(u) 6= 0dla u ∈ N , ‖u‖ ≥ R0.

Dowód. Przypuscmy ze teza nie zachodzi. Wówczas istnieje ciag (un) ⊂ N taki, ze g(un) =0 dla n ≥ 1 oraz ‖un‖ → +∞ gdy n → +∞. Zatem ciag (zn) ⊂ N dany, dla n ≥ 1 jakozn := un/‖un‖, jest relatywnie zwarty, gdyz przestrzen N jest skonczenie wymiarowa. Bezstraty ogólnosci rozumowania mozemy załozyc, ze istnieje z0 ∈ N takie, ze ‖z0‖ = 1 orazzn → z0 gdy n → +∞. Ponadto, na mocy Twierdzenia 6.12 mozemy dodatkowo przyjac,ze zn(x) → z0(x) gdy n → +∞ dla p.w. x ∈ Ω. Ze wzoru (5.52), dla dowolnego n ≥ 1otrzymujemy

0 = (g(un), z0) =

∫ T

0

∫Ω

f(t, x, un(x))z0(x) dxdt,

a stad, dla n ≥ 1 mozemy napisac∫ T

0

∫z0>0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dxdt (5.55)

+

∫ T

0

∫z0<0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dxdt = 0.

Zauwazmy dalej, ze przy ustalonym t ∈ [0, T ] mamy, ze f(t, x, zn(x)‖un‖) → f+(t, x)przy n → +∞ dla x ∈ z0 > 0. Korzystaja z ograniczonosci funkcji f i TwierdzeniaLebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowanej, dla dowolnego t ∈ [0, T ], otrzymujemy∫

z0>0f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dx→

∫z0>0

f+(t, x)z0(x) dx. (5.56)

Zauwazmy, ze funkcja ϕ+n : [0, T ]→ R dana dla kazdego t ∈ [0, T ] wzorem

ϕ+n (t) :=

∫z0>0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dx = (F (t, un),max(z0, 0))

92

jest ciagła, a wiec mierzalna i ponadto dla dowolnego t ∈ [0, T ] mamy, ze |ϕ+n (t)| ≤

m‖z0‖L1(Ω) < +∞, gdyz zbiór Ω jest ograniczony i L2(Ω) ⊂ L1(Ω). Dlatego, korzysta-jac z (5.56) i z Twierdzenia Lebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowanej wnosimy, ze∫ T

0

∫z0>0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dxdt→∫ T

0

∫z0>0

f+(t, x)z0(x) dxdt

przy n→ +∞. Postepujac analogicznie mamy, ze∫ T

0

∫z0<0


0

∫z0<0

f−(t, x)z0(x) dxdt

przy n→ +∞. Dlatego przechodzac w równosci (5.55) do granicy, mamy∫ T

0

∫z0>0

f+(t, x)z0(x) dxdt+

∫ T

0

∫z0<0

f−(t, x)z0(x) dxdt = 0,

co przeczy warunkowi (5.53). Otrzymana sprzecznosc konczy dowód.

Dowód Twierdzenia 5.13. Z Lematu 5.14 otrzymujemy, ze istnieje R0 > 0 taka, ze g(u) 6=0 dla u ∈ N , ‖u‖ ≥ R0. Udowodnimy teraz, ze istnieje R1 > R0 takie, ze

ΦT (ε, u) 6= u dla ε ∈ (0, 1], u ∈ X, ‖u‖ ≥ R1. (5.57)

Załózmy, ze tak nie jest. Wówczas istnieja ciagi (εn) ⊂ (0, 1] oraz (un) ⊂ X takie, ze

ΦT (εn, un) = un dla n ≥ 1 (5.58)

oraz ‖un‖ → +∞ gdy n → +∞. Dla dowolnego n ≥ 1 bedziemy przyjmowac wn :=w(·; εn, un). Wtedy

wn(t) = eλktSA(t)un + εn

∫ t

0

eλk(t−s)SA(t− s)F (s, wn(s)) ds (5.59)

dla dowolnego t ∈ [0,+∞). W równosci (5.59) przyjmijmy, t := T , a nastepnie podzielmyobustronnie przez ‖un‖. Na podstawie (5.58), dla n ≥ 1 otrzymujemy, ze

zn = eλkTSA(T )zn +εn‖un‖

∫ T

0

eλk(T−s)SA(T − s)F (s, wn(s)) ds, (5.60)

gdzie zn := un/‖un‖. Dla dowolnego n ≥ 1 oraz t ∈ [0, T ] oznaczmy

vn(t) =εn‖un‖

∫ t

0

eλk(t−s)SA(t− s)F (s, wn(s)) ds.

Wówczas dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1 mamy

‖vn(t)‖ ≤ 1

‖un‖

∫ t

0

Me(ω+λk)(t−s)‖F (s, wn(s))‖ ds ≤ m|Ω|12MeT |ω|+|λk|/‖un‖, (5.61)

93

gdzie stałe M ≥ 1 i ω ∈ R sa takie, ze ‖SA(t)‖ ≤ Meωt, zas |Ω| jest miara Lebesgue’adziedziny Ω. Zatem

vn(t)→ 0 dla t ∈ [0, T ] przy n→ +∞, (5.62)

co w szczególnosci oznacza, ze zbiór vn(T )n≥1 jest relatywnie zwarty. Zgodnie z (5.60)

znn≥1 ⊂ eλkTSA(T ) (znn≥1) + vn(T )n≥1, (5.63)

a zatem ze zwartosci półgrupy SA(t)t≥0 i relatywnej zwartosci zbioru vn(T )n≥1, wy-nika, ze zbiór znn≥1 jest relatywnie zwarty. Przechodzac do podciagu, mozemy bez stratyogólnosci rozumowania przyjac, ze istnieje z0 ∈ X takie, ze ‖z0‖ = 1 oraz zn → z0 przyn→ +∞. Przechodzac w (5.60) do granicy przy n→ +∞ i korzystajac z (5.62), otrzymu-jemy

z0 = eλkTSA(T )z0,

czyli z0 ∈ Ker(I − eλkTSA(T )). Zatem z0 ∈ Ker(λkI −A), gdyz na podstawie Uwagi 5.12operator λkI − A spełnia załozenie (A1). Stad, na mocy punktu (a) Uwagi 5.7

z0 ∈ Ker(I − eλktSA(t)) dla t > 0. (5.64)

Z równania (5.59) mamy

1

‖un‖(wn(t)− un) = eλktSA(t)zn − zn + vn(t) dla t ∈ [0, T ],

co w połaczeniu z (5.62) i (5.64) implikuje

1

‖un‖(wn(t)− un)→ 0 dla t ∈ [0, T ] przy n→ +∞. (5.65)

W równosci (5.59) przyjmijmy ponownie, t := T , a nastepnie pomnózmy obie strony ska-larnie przez z0. Wtedy

(un, z0) = (eλkTSA(T )un, z0) + εn

∫ T

0

eλk(T−s)(SA(T − s)F (s, wn(s)), z0) ds.

Zgodnie z Uwaga 1.23 operator SA(T ) jest samosprzezony, co wobec (5.64) implikuje

(un, z0) = (un, eλkTSA(T )z0) + εn

∫ T

0

eλk(T−s)(F (s, wn(s)), SA(T − s)z0) ds

= (un, z0) + εn

∫ T

0

(F (s, wn(s)), z0) ds,

a zatem ∫ T

0

(F (s, wn(s)), z0) ds = 0 dla n ≥ 1.

94

Dalej mamy

0 =

∫ T

0

∫Ω

f(s, x, wn(s)(x))z0(x) dxds (5.66)

=

∫ T

0

∫z0>0

f(s, x, wn(s)(x))z0(x) dxds

+

∫ T

0

∫z0<0

f(s, x, wn(s)(x))z0(x) dxds.

Ustalmy s ∈ [0, T ]. Twierdzimy, ze

ϕ+n (s) :=

∫z0>0

f(s, x, wn(s)(x))z0(x) dx→∫z0>0

f+(s, x)z0(x) dx (5.67)

oraz

ϕ−n (s) :=

∫z0<0

f(s, x, wn(s)(x))z0(x) dx→∫z0<0

f−(s, x)z0(x) dx (5.68)

przy n→∞. Dla ustalonego wczesniej s ∈ [0, 1] przyjmijmy

hn(s, x) := (wn(s)(x)− un(x))/‖un‖ dla x ∈ Ω, n ≥ 1.

Gdyby zbieznosc (5.67) nie była prawdziwa, wówczas istniałoby takie ε > 0 oraz ciag (nk),ze ∣∣∣∣∫

z0>0(f(s, x, (hnk(s, x) + znk(x))‖unk‖)− f+(s, x))z0(x) dx

∣∣∣∣ ≥ ε (5.69)

dla k ≥ 1. Wobec Twierdzenia 6.12 i (5.65), z ciagu (hnk(s, ·)) mozemy wybrac podciag(hnkl (s, ·)) taki, ze hnkl (s, x)→ 0 dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Dlatego

hnkl (s, x) + znkl (x)→ z0(x) > 0 przy n→ +∞ (5.70)

dla prawie wszystkich x ∈ z0 > 0, co implikuje

f(s, x, (hnkl (s, x) + znkl (x))‖unkl‖)→ f+(s, x) przy n→ +∞ (5.71)

dla prawie wszystkich x ∈ z0 > 0. Korzystajac z ograniczonosci funkcji f i z faktu, zez0 ∈ L2(Ω) ⊂ L1(Ω), po zastosowaniu Twierdzenia Lebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowa-nej otrzymujemy, ze∫

z0>0f(s, x, (hnkl (s, x) + znkl (x))‖un‖)z0(x) dx→

∫z0>0

f+(s, x)z0(x) dx (5.72)

przy n→ +∞, co przeczy (5.69). W ten sposób dowodzimy zbieznosci (5.67) i analogicznieotrzymujemy (5.68). Zauwazmy ponadto, ze dla dowolnego s ∈ [0, T ] i n ≥ 1 mamy

|ϕ+n (s)| ≤

∫z0>0

|f(s, x, (hn(s, x) + zn(x))‖un‖)z0(x)| dx (5.73)

≤ m

∫z0>0

|z0(x)| dx ≤ m‖z0‖L1(Ω).

95

Analogicznie sprawdzamy, ze dla dowolnego n ≥ 1 i s ∈ [0, T ]

|ϕ−n (s)| ≤ m‖z0‖L1(Ω). (5.74)

Dodatkowo nie trudno zauwazyc, ze

ϕ+n (s) = (F (s, wn(s)),max(z0, 0))

orazϕ−n (s) = (F (s, wn(s)),min(z0, 0))

dla s ∈ [0, 1] oraz n ≥ 1. Implikuje to, ze dla dowolnego n ≥ 1 funkcje ϕ+n oraz ϕ−n sa

ciagłe na przedziale [0, T ], a wiec w szczególnosci mierzalne. Na mocy ciagłosci funkcji ϕ+n

oraz ϕ−n , zbieznosci (5.67), (5.68), oszacowan (5.73), (5.74) oraz Twierdzenia Lebesgue’a ozbieznosci zmajoryzowanej, po przejsciu do granicy w (5.66), otrzymujemy∫ T

0

∫z0>0

f+(s, x)z0(x) dxds+

∫ T

0

∫z0>0

f+(s, x)z0(x) dxds = 0, (5.75)

co wobec faktu, ze z0 ∈ N oraz ‖z0‖ = 1, przeczy załozeniu twierdzenia i dowodzi (5.57).W zwiazku z tym dla dowolnego ε ∈ (0, 1] mamy, ze

degLS(I − ΦT (1, · ), B(0, R)) = degLS(I − ΦT (ε, · ), B(0, R)), (5.76)

jesli tylko R ≥ R1. Liczba R1 > R0, wiec g(u) 6= 0 dla u ∈ N , ‖u‖ ≥ R1. PołózmyW := B(0, R1) i rozpatrzmy zbiory U ⊂ N , V ⊂ N⊥ dane jako U := W ∩ N orazV := W ∩N⊥. Zauwazmy, ze

W = B(0, R1) ⊂ U ⊕ V (5.77)

oraz g(u) 6= 0 dla u ∈ ∂U . Dlatego, na mocy Uwagi 5.12 i Twierdzenia 5.8, istnieje ε0 > 0takie, ze jesli ε ∈ (0, ε0], to ΦT (ε, u) 6= u dla u ∈ ∂(U ⊕ V ) oraz

degLS(I − ΦT (ε, ·), U ⊕ V ) = (−1)µ+dimN degB(g, U), (5.78)

gdzie µ jest liczba wartosci własnych operatora eλkTSA(T ) wiekszych od 1 (wliczajac krot-nosci). Zgodnie z (5.77) i wyborem liczby R1 > 0 mamy

u ∈ U ⊕ V | ΦT (ε0, u) = u ⊂ B(0, R1),

co implikuje, ze

degLS(I − ΦT (ε0, ·), U ⊕ V ) = degLS(I − ΦT (ε0, ·),W ). (5.79)

Dlatego z równosci (5.78) i (5.79) otrzymujemy, ze

degLS(I − ΦT (ε0, ·),W ) = (−1)µ+dimNdegB(g, U), (5.80)

co wraz z (5.76) implikuje, ze

degLS(I − ΦT ,W ) = (−1)µ+dimNdegB(g, U). (5.81)

96

Zauwazmy, ze zgodnie z Uwaga 1.24 mamy, ze

e(λk−λ1)T > e(λk−λ2)T > . . . > e(λk−λk−1)T > 1 > e(λk−λk+1)T > . . .

sa wartosciami własnymi operatora eλkTSA(T ). Dlatego µ = 0 gdy k = 1, zas w przypadkugdy k ≥ 2 mamy

µ =k−1∑i=1

dim Ker(e(λk−λi)T I − eλkTSA(T )) =k−1∑i=1

dim Ker(e−λiT I − SA(T )), (5.82)

gdyz SA(T ) jest samosprzezony i krotnosci algebraiczne pokrywaja sie z krotnosciami geo-metrycznymi. Korzystajac teraz z (5.82) oraz ze wzoru (1.33) z Uwagi 1.24, otrzymujemy,ze dla k ≥ 2

µ =k−1∑i=1

dim Ker(λiI − A).

Dlatego µ+ dimN = dk dla dowolnego k ≥ 1, co w połaczeniu z (5.81) implikuje, ze

degLS(I − ΦT ,W ) = (−1)dkdegB(g, U)

dla k ≥ 1. Otrzymana równosc konczy dowód naszego twierdzenia.

Ponizsze twierdzenie jest pomocne przy wyliczaniu stopnia Brouwera odwzorowania g.

Twierdzenie 5.15 Niech f : [0,+∞)× Ω× R → R bedzie funkcja ciagła spełniajaca wa-runki (a) i (d).

(i) Jesli ∫ T

0

∫u>0

f+(t, x)u(x) dxdt+

∫ T

0

∫u<0

f−(t, x)u(x) dxdt > 0

dla dowolnej funkcji u ∈ N , ‖u‖ = 1, to istniejeR0 > 0 takie, ze g(u) 6= 0 dla u ∈ N ,‖u‖ ≥ R0 oraz

degB(g,B(0, R)) = 1

dla dowolnego R ≥ R0.

(ii) Jesli ∫ T

0

∫u>0

f+(t, x)u(x) dxdt+

∫ T

0

∫u<0

f−(t, x)u(x) dxdt < 0

dla dowolnej funkcji u ∈ N , ‖u‖ = 1, to istniejeR0 > 0 takie, ze g(u) 6= 0 dla u ∈ N ,‖u‖ ≥ R0 oraz

degB(g,B(0, R)) = (−1)dimN

dla dowolnego R ≥ R0.

Dowód. (i) Naszym celem bedzie udowodnienie, ze istnieje R0 > 0 takie, ze

(g(u), u) > 0 dla u ∈ N, ‖u‖ ≥ R0. (5.83)

97

Bedziemy rozumowac przez sprzecznosc, a mianowicie załózmy, ze istnieje ciag (un) ⊂ Ntaki, ze ‖un‖ → +∞ oraz (g(un), un) ≤ 0 dla n ≥ 1. Dla n ≥ 1 przyjmijmy zn :=un/‖un‖. Ciag (zn) jest ograniczony i zawiera sie w przestrzeni N takiej, ze dimN < +∞,a zatem zawiera podciag zbiezny. Bez straty ogólnosci rozumowania przyjac, ze zn → z0,gdzie z0 ∈ N , ‖z0‖ = 1. Na podstawie Twierdzenia 6.12 mozemy dodatkowo załozyc, zezn(x)→ z0(x) przy n→ +∞, dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Stad

0 ≥ (g(un), zn) = (g(un), zn − z0) + (g(un), z0) (5.84)

=

∫ T

0

∫Ω

f(t, x, un(x))z0(x) dxdt+ (g(un), zn − z0)

=

∫ T

0

∫z0>0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dxdt

+

∫ T

0

∫z0<0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dxdt+ (g(un), zn − z0).

Jesli ustalimy t ∈ [0, T ], to zgodnie z warunkiem (d)

f(t, x, zn(x)‖un‖)→ f+(t, x) dla x ∈ z0 > 0.

Dlatego z ograniczonosci funkcji f i Twierdzenia Lebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowanej,dla dowolnego t ∈ [0, T ] mamy, ze∫

z0>0f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dx→

∫z0>0

f+(t, x)z0(x) dx. (5.85)

Niech teraz funkcja ϕ+n : [0, T ]→ R bedzie dana dla kazdego t ∈ [0, T ] wzorem

ϕ+n (t) :=

∫z0>0

f(t, x, zn(x)‖un‖)z0(x) dx = (F (t, un),max(z0, 0)).

Skoro ϕ+n jest ciagła oraz |ϕ+

n (t)| ≤ m‖z0‖L1(Ω) dla dowolnego t ∈ [0, T ], korzystajac z(5.85) i z Twierdzenia Lebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowanej, otrzymujemy∫ T

0

∫z0>0


0

∫z0>0

f+(t, x) dxdt, (5.86)

gdy n→ +∞. Rozumujac analogicznie wnosimy, ze∫ T

0

∫z0<0


0

∫z0<0

f−(t, x) dxdt, (5.87)

gdy n → +∞. Nastepnie nietrudno zauwazyc, ze ciag (g(un)) jest ograniczony w X , gdyzfunkcja f jest ograniczona. Zatem

|(g(un), zn − z0)| ≤ ‖g(un)‖‖zn − z0‖ → 0 przy n→ +∞. (5.88)

Majac teraz na uwadze (5.86), (5.87) oraz (5.88), po przejsciu do granicy w (5.84) wnosimy,ze ∫ T

0

∫z0>0

f+(t, x)z0(x) dxdt+

∫ T

0

∫z0<0

f−(t, x)z0(x) dxdt ≤ 0,

98

co przeczy załozeniu twierdzenia. Dla dowolnego R > R0 zdefiniujmy odwzorowanie H :[0, 1]×B(0, R)→ N wzorem

H(s, u) = sg(u) + (1− s)u.

Wówczas H(s, x) 6= 0 dla s ∈ [0, 1] oraz x ∈ ∂B(0, R). Rzeczywiscie, gdyby H(s, u) = 0dla pewnego s ∈ [0, 1] i u ∈ N , ‖u‖ = R, to

0 = (H(s, u), u) = s(g(u), u) + (1− s)(u, u).

Dlatego jesli s = 0, to mamy 0 = ‖u‖2 = R2, czyli sprzecznosc. Z kolei gdy s ∈ (0, 1], to0 ≥ (g(u), u), co przeczyłoby (5.83). Korzystajac z homotopijnej niezmienniczosci stopniaBrouwera mamy, ze

degB(g,B(0, R)) = degB(H(1, ·), B(0, R)) = degB(H(0, ·), B(0, R))

= degB(I, B(0, R)) = 1,

co konczy dowód punktu (i).(ii) Postepujac analogicznie jak w dowodzie (i), mozemy wykazac, ze istnieje R0 > 0 takie,ze

(g(u), u) < 0 dla ‖u‖ ≥ R0. (5.89)

Wtedy dla R > R0 definiujemy homotopie H : [0, 1]×B(0, R)→ N dana wzorem

H(s, u) = sg(u)− (1− s)u,

a nastepnie stwierdzamy, ze H(s, x) 6= 0 dla s ∈ [0, 1], x ∈ ∂B(0, R). Istotnie, gdybyH(s, u) = 0 dla pewnego s ∈ [0, 1] oraz u ∈ N , ‖u‖ = R, to

0 = (H(s, u), u) = s(g(u), u)− (1− s)(u, u).

Dlatego jesli s ∈ (0, 1], to (g(u), u) ≥ 0, co przeczyłoby (5.89). Z kolei, jesli s = 0, to R2 =‖u‖2 = 0, co równiez byłoby sprzecznoscia. Dlatego wobec homotopijnej niezmienniczoscistopnia mamy, ze

degB(g,B(0, R)) = degB(−I, B(0, R)) = (−1)dimN ,

co konczy dowód punktu (ii).

Twierdzenie 5.16 Niech f : [0,+∞) × Ω × R → R bedzie funkcja ciagła spełniajacazałozenia (a), (b), (c) i (d). Jesli spełniony jest jeden z ponizszych warunków

(i)

∫ T

0

∫u>0

f+(t, x)u(x) dxdt+

∫ T

0

∫u<0

f−(t, x)u(x) dxdt > 0

dla dowolnej funkcji u ∈ N , ‖u‖ = 1 lub

(ii)

∫ T

0

∫u>0

f+(t, x)u(x) dxdt+

∫ T

0

∫u<0

f−(t, x)u(x) dxdt < 0

dla dowolnej funkcji u ∈ N , ‖u‖ = 1, to kazde z zagadnien okresowych (PDRes) i (PN

Res)posiada słabe rozwiazanie.

99

Dowód. Na mocy Twierdzenia 5.13 istnieje otwarty i ograniczony zbiór W ⊂ X taki, zeΦT (u) 6= u dla u ∈ X \W , g(u) 6= 0 dla u ∈ X \ (W ∩N) oraz

degLS(I − ΦT ,W ) = (−1)dkdegB(g,W ∩N). (5.90)

Z Twierdzenia 5.15 otrzymujemy, ze istnieje R > 0 takie, ze W ⊂ B(0, R) oraz

deg(g,B(0, R) ∩N) = 1, gdy spełniony jest warunek (i),

deg(g,B(0, R) ∩N) = (−1)dimN , gdy spełniony jest warunek (ii).

Stad, na podstawie inkluzji u ∈ B(0, R) ∩ N | g(u) = 0 ⊂ W ∩ N i równosci (5.90)mamy

degLS(I − ΦT ,W ) = (−1)dkdegB(f,W ∩N) = (−1)dk deg(g,B(0, R) ∩N) 6= 0.

Dlatego z własnosci istnienia stopnia otrzymujemy, ze istnieje punkt stały operatora ΦT ,który wyznacza rozwiazanie T–okresowe, gdyz zgodnie z warunkiem (c) mamy, ze F (t, u) =F (t+ T, u) dla t ≥ 0, u ∈ X .

6 Dodatek

6.1 Stopien topologiczny dla pełnociagłych zaburzen identycznosci

Ponizej przedstawiamy podstawowe definicje i fakty teorii stopnia Leray’a-Schaudera dlapełnociagłych zaburzen identycznosci (patrz [34]). Oprócz podstawowych własnosci stopniatopologicznego sformułujemy równiez twierdzenia, które pozwola nam na jego efektywnewyznaczanie.

Niech X bedzie przestrzenia Banacha oraz niech U ⊂ X bedzie zbiorem otwartym iograniczonym. Powiemy, ze I − F : U → X jest odwzorowaniem dopuszczalnym (w sensieteorii stopnia Leray’a-Schaudera), jesli F : U → X jest odwzorowaniem pełnociagłym oraz0 /∈ (I − F )(∂U).Przez dopuszczalna homotopie bedziemy rozumiec odwzorowanie (λ, x) 7→ x − H(λ, x)okreslone na otwartym i ograniczonym zbiorze W ⊂ X × [0, 1], gdzie odwzorowanieH : W → X jest pełnociagłe oraz H(λ, x) 6= x dla (λ, x) ∈ W .Z dowolnym odwzorowaniem dopuszczalnym I − F : U → X mozna stowarzyszyc liczbecałkowita degLS(I − F,U), w taki sposób, ze spełnione sa nastepujace warunki• (istnienie) jesli degLS(I − F,U) 6= 0, to istnieje x ∈ U takie, ze F (x) = x,• (addytywnosc) jesli I−F : U → X jest dopuszczalnym odwzorowaniem orazU1, U2 ⊂U sa otwartymi i rozłacznymi zbiorami takimi, ze x ∈ U | F (x) = x ⊂ U1 ∪ U2, to

degLS(I − F,U) = degLS(I − F|U1, U1) + degLS(I − F|U2

, U2),

• (multiplikatywnosc) jesli V ⊂ Y jest otwartym i ograniczonym zbiorem przestrzeniBanacha Y , zas G : V → Y jest odwzorowaniem ciagłym takim, ze G(x) 6= x dla

100

x ∈ ∂V , to (x, y) 6= (F (x), G(y)) dla (x, y) ∈ ∂(U × V ) oraz

degLS(I − (F,G), U × V ) = degLS(I − F,U) · degLS(I −G, V ),

• (homotopijna niezmienniczosc) jesli W ⊂ X × [0, 1] jest zbiorem otwartym i ogra-niczonym, zas odwzorowanie (λ, x) 7→ x − H(λ, x) okreslone na zbiorze W jestdopuszczalna homotopia, to dla dowolnych liczb λ1, λ2 ∈ [0, 1],

degLS(I −H(λ1, ·),Wλ1) = degLS(I −H(λ2, ·),Wλ2),

gdzie Wλ = x ∈ X | (x, λ) ∈ W,• (normalizacja) jesli x0 ∈ U , to degLS(I − x0, U) = 1.

Naturalna własnoscia stopnia Leray’a-Schaudera, która wynika wprost z konstrukcji jesttopologiczna niezmienniczosc

Twierdzenie 6.1 Niech E i F beda przestrzeniami Banacha oraz niech Q : E → F be-dzie liniowym homeomorfizmem. Załózmy, ze U ⊂ E jest otwarty, ograniczony oraz niechf : U → E bedzie odwzorowaniem pełnociagłym takim, ze f(x) 6= x dla x ∈ ∂U . Wtedyodwzorowanie g : Q(U)→ F zadane wzorem g(x) := Q(f(Q−1(x))) jest takze pełnociagłe,g(x) 6= x dla x ∈ ∂(Q(U)) oraz

degE(I − f, U) = degF (I − g,Q(U)),

gdzie degE i degF sa stopniami Leray’a-Schaudera liczonymi odpowiednio wzgledem prze-strzeni E i F .

Odwzorowania f i g takie jak w powyzszym twierdzeniu bedziemy nazywac topologiczniesprzezonymi. Kolejnym waznym faktem jest ponizsze

Twierdzenie 6.2 [12, Theorem 13.8],[23] Niech T : E → E bedzie zwartym operatoremliniowym, okreslonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha E takim, ze 0 ∈ %(T ). Wtedy dladowolnego zbioru ograniczonego U ⊂ E takiego, ze 0 ∈ U

deg(I − T, U) = (−1)µ,

gdzie µ jest liczba rzeczywistych wartosci własnych operatora T : E → E wiekszych od 1(wliczajac równiez ich krotnosci algebraiczne).

6.2 Przestrzenie funkcyjne

Stosujac metody operatorowe do równan rózniczkowych czastkowych zachodzi potrzebauzycia odpowiednich przestrzeni funkcyjnych. Ponizej wprowadzimy przestrzenie funkcjigładkich, całkowalnych i przestrzenie Sobolewa, których dokładny opis mozna znalezc w[1] lub [13].Załózmy, ze Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwartym i ograniczonym. Dla 1 ≤ p < +∞ definiujemy

Lp(Ω) := u : U → R | u jest funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a oraz

‖u‖Lp(Ω) <∞, gdzie

101

‖u‖Lp(Ω) :=

(∫Ω

|u|p dx) 1

p

;

L∞(Ω) := u : U → R | u jest funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a oraz

‖u‖L∞(Ω) <∞, gdzie

‖u‖L∞(Ω) := ess supΩ|u|;

Lploc(Ω) :=u : U → R | ‖u‖Lp(V ) <∞ dla kazdego zwartego V ⊂ Ω

.

Wielowskaznikiem α = (α1, . . . , αn) nazywamy wektor o współrzednych bedacych liczbamicałkowitymi i nieujemnymi. Ponadto przez długosc wielowskaznika α bedziemy rozumiecsume jego współrzednych

|α| := α1 + . . .+ αn.

Jesli α = (α1, . . . , αn) jest wielowskaznikiem, to dla funkcji u piszemy

Dαu(x) :=∂|α|u(x)

∂xα11 · · · ∂xαnn

.

Niech teraz 0 ≤ k ≤ +∞. Definiujemy

Ck(Ω) := u : U → R | u jest k-krotnie rózniczkowalna w sposób ciagły ;

Ck(Ω) :=u ∈ Ck(Ω) | Dαu jest jednostajnie ciagła na ograniczonych podzbiorach

U, dla wszystkich |α| ≤ k ;

C∞c (Ω) := u : U → R | u jest gładka oraz supp u jest zwarty , gdzie

supp u := clΩ x ∈ Ω | u(x) 6= 0.

Przestrzen C∞c (Ω) nazywamy przestrzenia funkcji próbnych.

Definicja 6.3 Niech u, v ∈ L1loc(Ω) oraz niech α bedzie wielowskaznikiem. Powiemy, ze v

jest słaba pochodna u rzedu α co piszemy

Dαu = v,

o ile ∫Ω

uDαφ dx = (−1)|α|∫

Ω

v φ dx

dla wszystkich funkcji próbnych φ ∈ C∞c (Ω).

Definicja 6.4 Niech k ≥ 0 bedzie liczba całkowita oraz niech 1 ≤ p ≤ ∞. Przez przestrzenSobolewa

W k,p(Ω)

rozumiemy zbiór elementów u ∈ Lp(Ω) takich, ze dla kazdego wielowskaznika α o długosci|α| ≤ k, istnieje słaba pochodna Dαu oraz nalezy do Lp(Ω).

102

Jesli p = 2, to dla dowolnego całkowitego k ≥ 0 oznaczamy

Hk(Ω) := W k,2(Ω).

Zauwazmy ponadto, ze W k,p(Ω) = Lp(Ω), jesli k = 0.

Niech k ≥ 0 bedzie liczba całkowita oraz niech 1 ≤ p ≤ ∞. Dla dowolnego u ∈W k,p(Ω) okreslamy norme wzorem

‖u‖Wk,p(Ω) :=

(∑

|α|≤k∫

Ω|Dαu|p dx

)1/p

gdy 1 ≤ p <∞,∑|α|≤k ess supΩ|Dαu| gdy p =∞.

Dobrze wiadomo, ze przestrzenW k,p(Ω) wraz z norma ‖u‖Wk,p(Ω) jest przestrzenia Banacha.Ponadto, jesli p = 2, to dla dowolnego k ≥ 0 mamy, ze Hk(Ω) jest przestrzenia Hilberta znorma pochodzaca od iloczynu skalarnego okreslonego jako

(u, v)Hk(Ω) :=∑|α|≤k

∫Ω

DαuDαv dx dla u, v ∈ Hk(Ω).

Definicja 6.5 Niech 1 ≤ p < ∞. Wówczas dla dowolnego całkowitego k ≥ 0 definiujemyprzestrzen liniowa W k,p

0 (Ω) jako domkniecie C∞c (Ω) w W k,p(Ω) wraz z norma indukowana.

Jesli p = 2, to dla dowolnego całkowitego k ≥ 0 oznaczamy

Hk0 (Ω) := W k,2

0 (Ω).

Twierdzenie 6.6 [13, Twierdzenie 5.8.1.1] Niech Ω ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym i ogra-niczonym. Wtedy istnieje stała d > 0 taka, ze∫

Ω

|∇u|2 dx ≥ d

∫Ω

u2 dx, (6.1)

dla dowolnej funkcji u ∈ H10 (Ω).

Nierównosc (6.1) nosi nazwe nierównosci Poincarégo. Wazna konsekwencja tej nierównoscijest to, ze funkcja

‖u‖H10 (Ω) :=

(∫Ω

|∇u|2 dx) 1

2

dla u ∈ H10 (Ω),

jest norma okreslona na H10 (Ω), która jest równowazna z norma indukowana z przestrzeni

H1(Ω).

103

6.3 Twierdzenia o zwartosci i zbieznosci

Ponizej podamy twierdzenia charakteryzujace zwartosc i zbieznosc w przestrzeniach me-trycznych.

Twierdzenie 6.7 Niech X bedzie przestrzenia metryczna oraz niech V ⊂ X bedzie jej pew-nym podzbiorem. Jesli dla kazdego ε > 0 istnieje relatywnie zwarty zbiór Vε ⊂ X taki, zeV ⊂ Oε(Vε), to zbiór V jest równiez relatywnie zwarty.

Twierdzenie 6.8 (Mazura) Niech X bedzie przestrzenia Banacha oraz niech V ⊂ X bedzierelatywnie zwarty. Wówczas conv V jest zbiorem zwartym.

Niech (X, d1), (Y, d2) beda danymi przestrzeniami metrycznymi oraz niech dana bedzieprzestrzen funkcji ciagłych C(X, Y ).

Definicja 6.9 Powiemy, ze zbiór funkcji F ⊂ C(X, Y ) jest równociagły, jesli dla dowol-nego ε > 0 oraz x ∈ X istnieje δ > 0 takie, ze dla kazdego y ∈ X takiego, ze d1(x, y) ≤ δoraz dla kazdej funkcji f ∈ F mamy, ze

d2(f(x), f(y)) ≤ ε.

Twierdzenie 6.10 [37](Ascoliego-Arzeli) NiechX , Y beda przestrzeniami metrycznymi orazniech X bedzie zwarta. Wówczas zbór F ⊂ C(X, Y ) jest relatywnie zwarty wtedy i tylkowtedy, gdy

(a) F jest zbiorem funkcji równociagłych,(b) dla dowolnego x ∈ X zbiór u(x) | u ∈ F ⊂ Y jest relatywnie zwarty.

Twierdzenie 6.11 [13, Twierdzenie 5.7.1](Rellicha – Kondraszowa) Załózmy, ze Ω ⊂ Rn

jest podzbiorem otwartym i ograniczonym z brzegiem ∂Ω klasy C1. Wtedy włozenie

H1(Ω) ⊂ L2(Ω) (6.2)

jest zwarte.

Ponizej odnotujemy wazne uwagi na temat zbieznosci w przestrzeniach metrycznych.

Twierdzenie 6.12 Niech 1 ≤ p < +∞ oraz niech (un) ∈ Lp(Ω) bedzie ciagiem takim, ze∫Ω

|un(x)− u0(x)|p dx→ 0 przy n→ +∞,

gdzie u0 ∈ Lp(Ω) jest pewna funkcja. Wówczas istnieje podciag (unk) ciagu (un) taki, ze

unk(x)→ u0(x) przy n→ +∞,

dla prawie wszystkich x ∈ Ω.

Stwierdzenie 6.13 Załózmy, ze Ω ⊂ Rn jest zbiorem otwatym i ograniczonym oraz, zef : [0,+∞)× Ω× R→ R jest funkcja ciagła spełniajaca nastepujace załozenia

104

(i) istnieje stała m > 0 taka, ze

|f(t, x, y)| ≤ m dla x ∈ Ω, t ∈ [0,+∞), y ∈ R;

(ii) istnieje stała L > 0 taka, ze

|f(t, x, y1)− f(t, x, y2)| ≤ L|y1 − y2|

dla x ∈ Ω, t ∈ [0,+∞), y1, y2 ∈ R.Wtedy odwzorowanie F : [0,+∞)× L2(Ω)→ L2(Ω) zadane wzorem

F (t, u)(x) = f(t, x, u(x)) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω

jest poprawnie okreslone, ograniczone, ciagłe i lipschitzowskie jednostajnie ze wzgledu naczas.

Dowód. Z załozenia funkcja f jest ograniczona, wiec nietrudno sprawdzic, ze odwzorowa-nie F jest poprawnie okreslone i ograniczone. Sprawdzimy, ze F jest ciagłe. W tym celuwezmy ciagi (tn) ⊂ [0,+∞) oraz (un) ⊂ L2(Ω) takie, ze tn → t0 oraz un → u0 przyn→ +∞. Trzeba udowodnic, ze ‖F (tn, un)− F (t0, u0)‖L2(Ω) → 0 przy n→ +∞. Gdybyto nie była prawda, to istniałoby ε0 > 0 oraz ciag (nk) liczb naturalnych takie, ze

‖F (tnk , unk)− F (t0, u0)‖L2(Ω) ≥ ε0 dla k ≥ 1. (6.3)

Korzystajac z Twierdzenia 6.12 mozemy wybrac podciag (unkl ) ciagu (unk) taki, zeunkl (x) → u0(x) dla prawie wszystkich x ∈ Ω. Wtedy, wobec ciagłosci funkcji f mamyrówniez, ze

|f(tnkl , x, unkl (x))− f(t0, x, u0(x))|2 → 0 dla p.w. x ∈ Ω

przy l→ +∞, a zatem z Twierdzenia Lebesgue’a o zbieznosci zmajoryzowanej∫Ω

|f(tnkl , x, unkl (x))− f(t0, x, u0(x))|2 dx→ 0 przy l→ +∞,

co przeczy (6.3). Ponadto zauwazmy, ze F jest odwzorowaniem lipschitzowskim. Rzeczy-wiscie, na mocy załozenia (ii) dla dowolnych u, v ∈ L2(Ω) i t ∈ [0,+∞) mamy, ze

‖F (t, u)− F (t, v)‖2L2(Ω) =

∫Ω

|f(t, x, u(x))− f(t, x, v(x))|2 dx

≤ L2

∫Ω

|u(x)− v(x)|2 dx = L2‖u− v‖2L2(Ω),

co konczy dowód stwierdzenia.

Uwaga 6.14 Niech G : [0, T ] × Y → X , gdzie X i Y sa przestrzeniami metrycznymi, be-dzie odwzorowaniem ciagłym oraz niech dany bedzie ciag (φn) ⊂ C([0, T ], Y ).(a) Nietrudno sprawdzic, ze ciag (φn) zbiega jednostajnie do odwzorowania φ0 ∈ C([0, T ], Y )wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu (tn) ⊂ [0, T ] takiego, ze tn → t0 przyn→ +∞ mamy, ze

φn(tn)→ φ0(t0) przy n→ +∞.

105

(b) Niech (ψn) ⊂ C([0, T ], X) bedzie, dla dowolnego n ≥ 1, dany wzorem ψn(t) :=G(φn(t)), dla t ∈ [0, T ]. Wtedy, (ψn) zbiega jednostajnie do ψ0, gdzie ψ0(t) := G(φ0(t)),dla t ∈ [0, T ].Istotnie, niech (tn) ⊂ [0, T ] zbiega do t0 ∈ [0, 1]. Wtedy φn(tn) zbiega do φ0(t0) przyn → +∞, a zatem korzystajac z ciagłosci G mamy, ze ψn(tn) zbiega do ψ0(t0) przyn→ +∞. Korzystajac z punktu (a) otrzymujemy punkt (b).

6.4 Nierównosci

Ponizsze dwie nierównosci maja charakter techniczny

Lemat 6.15 [26, Twierdzenie 63.4.8](nierównosc Gronwalla) Niech φ, ψ : [a, b]→ R bedaodwzorowaniami ciagłymi takimi, ze• φ(t) ≥ 0 oraz ψ(t) ≥ 0 dla kazdego t ∈ [a, b]

• istnieje stała C ≥ 0 taka, ze

φ(t) ≤ C +

∫ t

a

φ(s)ψ(s) ds.

Wtedyφ(t) ≤ Ce

∫ ta ψ(s) ds dla kazdego t ∈ [a, b].

Lemat 6.16 [14, Lemat 1.2.9](nierównosc Volterry) Załózmy, ze liczba α ∈ [0, 1), a ≥0, b > 0 i niech φ : [t0, T ) → [0,+∞) bedzie funkcja ciagła taka, ze spełniona jest nierów-nosc

φ(t) ≤ a+ b

∫ t

t0

1

(t− s)αφ(s) ds dla t ∈ (t0, T ).

Wtedysup

t∈[t0,T )

φ(t) ≤ aK(α, b, T ),

gdzie K(α, b, T ) jest pewna stała zalezna od α, b oraz T .

Literatura

[1] R. Adams, Sobolev spaces Academic Press, New York 1975.

[2] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measu-res of noncompactness and condensing operators, Birkhäuser 1992.

[3] H. Amann, Linear and Quasilinear Parabolic Problems, Birkhäuser 1995.

[4] H. Amann, Dual semigroups and second order linear elliptic boundary value problemsIsrael J. Math., 45, (1983), 225-254.

106

[5] H. Amann, E. Zehnder Nontrivial solutions for a class of nonresonance problems andapplication to nonlinear differential equations, Annali Della Scuola Normale SuperioreDi Pisa 7 (1980), 539–603.

[6] A. Ambrosetti, G. Mancini Existence and multiplicity results for nonlinear elliptic pro-blems with linear part at resonance. The case of the simple eigenvalue, Journal of Dif-ferential Equations 28 (1978), 220–245.

[7] R. Bader, W. Kryszewski, On the solutions of differential inclusions and the periodicproblem in Banach spaces, Nonlinear An. 54, (2003), 707–754.

[8] P. Biler, Warsztaty z równan rózniczkowych czastkowych, Lecture Notes in NonlinearAnalysis 4, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Torun 2003.

[9] D. Bothe, Periodic solutions of a nonlinear evolution problem from heterogeneous ca-talysis, Diff. Int. Eq. 16 (2001), 641–670.

[10] H. Brezis, Analyse fonctionnelle Théorie et applications, Masson, Paris 1983.

[11] H. Brezis, L. Nirenberg, Characterizations of the ranges of some nonlinear opera-tors and applications to boundary value problems, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 4, 5(1978), 225-326.

[12] R. Brown, A Topological Introduction to Nonlinear Analysis, Birkhäuser, Boston 1993.

[13] L.C. Evans, Równania rózniczkowe czastkowe, PWN, Warszawa 2002.

[14] J. W. Cholewa, T. Dłotko, Global Attractors in Abstract Parabolic Problems, LondonMathematical Society Lectures Note Series 278, Cambridge University Press, Cam-bridge 2000.

[15] A. Cwiszewski, Zagadnienia Rózniczkowe z ograniczeniami na stan. Stopien topolo-giczny zaburzen operatorów akretywnych, Rozprawa Doktorska, Uniwersytet MikołajaKopernika, Torun 2002.

[16] A. Cwiszewski, Topological degree methods for perturbations of operators generatingcompact C0 semigroups, Journal of Differential Equations 220 (2006), 434–477.

[17] A. Cwiszewski, Degree theory for perturbations of m-accretive operators generatingcompact semigroups with constraints, Journal of Evolution Equations 7 (2007), 1–33.

[18] A. Cwiszewski, P. Kokocki, Krasnosel’skii type formula and translation along trajec-tories method for evolution equations, Discrete and Continuous Dynamical Systems 22(2008), 605-628.

[19] A. Cwiszewski, P. Kokocki, Periodic solutions of nonlinear hyperbolic evolution sys-tems – przygotowana.

[20] D. Daners, P. K. Medina, Abstract evolution equations, periodic problems and applica-tions, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Vol. 279, Longman Scientific andTechnical, Harlow, Essex 1992.

[21] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin 1992.

[22] K. Deimling, Ordinary Differential Equations in Banach Spaces, Lecture Notes in Ma-thematics, Springer-Verlag, Berlin 1977.

107

[23] J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory, Springer, Berlin 2004.

[24] M. Furi, M. P. Pera, Global Bifurcation of Fixed Points and the Poincaré TranslationOperator on Manifolds, Annali di Matematica pura ed applicata (IV) CLXXIII (1997),pp. 313–331.

[25] L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza Matematyczna dla Fizyków, Tom 1, UniwersytetMikołaja Kopernika, Torun 1996.

[26] L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza Matematyczna dla Fizyków, Tom 2, PanstwoweWydawnictwo Naukowe, Warszawa 1985.

[27] D. Henry Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Ma-thematics, Springer-Verlag, Berlin 1981.

[28] P. Hess, Nonlinear perturbations of linear elliptic and parabolic problems at reso-nance: existence of multiple solutions, Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa5 (1978), 527–537.

[29] E. Hille, R. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups, Colloquium Publications31, American Mathematical Society, Providence, RI, 1957.

[30] S. Hu, N. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis,- Volume II: Applications,Kluwer 2000.

[31] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, Panstwowe WydawnictwoNaukowe, Warszawa 1970.

[32] M. A.Krasnosel’skii, The Operator of Translation along Trajectories of Ordinary Dif-ferential Equations, Translations of Mathematical Monographs, 19, AMS, Providence,R.I. 1968.

[33] E.M. Landesman, A.C. Lazer, Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary valueproblems at resonance, J. Math. Mech., 19 (1970), 609–623.

[34] N. Lloyd, Degree theory, Cambridge University Press, Cambridge 1978.

[35] J. Mawhin, Équations intégrales et solutions périodiques des systèmes differentiels nonlinéares, Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci. (5) 55 1969, 934–947.

[36] J. Mawhin, Metody wariacyjne dla nieliniowych problemów Dirichleta, WydawnictwaNaukowo-Techniczne, Warszawa 1994.

[37] K. Maurin Analiza. Czesc I - Elementy, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa1991.

[38] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equ-ations, Springer Verlag 1983.

[39] W. Rudin, Analiza Funkcjonalna, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa2009.

[40] A. Schiaffino, K. Schmitt, Periodic Solutions of a Class of Nonlinear Evolution Equ-ations, Ann. Mat. Pura Appl. 137 (1984), 265–272.

[41] G. R. Sell, Y. You Dynamics of Evolutionary Equations, Applied Mathematical Scien-ces 143, Springer New York 2002.

108

[42] H. Tanabe Equations of evolution, Monographs and Studies in Mathematics, Vol. 6,Pitman, London 1979.

109

ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAN´ …pkokocki/Research/dyplom.pdf · 2012. 7. 14. ·...

Documents

Transcript of ZAGADNIENIA OKRESOWE DLA NIELINIOWYCH RÓWNAN´ …pkokocki/Research/dyplom.pdf · 2012. 7. 14. ·...