Dynamika nieliniowych rowna n ewolucyjnych w rezonansiepkokocki/Research/phd.pdf · 4 Wstep, W srod...

UNIWERSYTET MIKO LAJA KOPERNIKA W TORUNIU

Piotr Kokocki

Dynamika nieliniowych rownanewolucyjnych w rezonansie

Rozprawa doktorskaprzygotowana na Wydziale Matematyki i InformatykiUniwersytetu Miko laja Kopernika w ToruniuPromotorzy: prof. dr hab. Wojciech Kryszewski,

dr Aleksander Cwiszewski

TORUN 2011

Spis tresci

Wstep 3

Oznaczenia 9

1 Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha 11

1.1 Poj ecia ogolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Spektrum i rozk lady spektralne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 W lasnosci spektralne operatorow zwartych . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 W lasnosci spektralne operatorow o zwartych rezolwentach . . . . . . . 17

1.3 Po lgrupy operatorow liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Operatory wycinkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Operator hiperboliczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1 Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2 Rozk lady spektralne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Zagadnienia pocz

atkowe 45

2.1 Istnienie i jednoznacznosc rozwi azan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Ci ag la zaleznosc od warunkow pocz atkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 W lasnosci zwartosci i ci ag losci dla rownan pierwszego rz edu . . . . . . . . . . 52

2.4 W lasnosci zwartosci i ci ag losci dla rownan drugiego rz edu . . . . . . . . . . . 55

3 Wzory indeksowe dla rownan pierwszego rzedu w rezonansie 61

3.1 Wprowadzenie do rozdzia lu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Wzor indeksowy dla rozwi azan ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Orbity l acz ace punkty rownowagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Zasada usredniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Wzory indeksowe dla rownan drugiego rzedu w rezonansie 87


4.2 Wzor indeksowy dla orbit ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Orbity l acz ace punkty rownowagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 Modele rownan rozniczkowych 119


5.2 W lasnosc jednoznacznej kontynuacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Operator Niemyckiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1

5.3.1 W lasnosci rezonansowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.4 Rownania paraboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.1 Kryteria na istnienie rozwi azan okresowych . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5 Rownania hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5.1 Kryteria na istnienie rozwi azan okresowych . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Dodatek 1376.1 Zwartosc i zbieznosc w przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.1 Miary niezwartosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.2 Zbieznosc w przestrzeniach funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.2 Indeks Conley’a na przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.1 Po lpotoki na przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.2 Pary indeksowe i bloki izoluj ace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.3 Typy homotopii i przestrzenie ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.4 Wersja Rybakowskiego indeksu Conley’a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2.5 Nieredukowalne zbiory niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3 Stopien topologiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.3.1 Stopien Leray-Schaudera i stopien Brouwera . . . . . . . . . . . . . . 1456.3.2 Stopien dla pol kondensuj acych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Literatura 148

Skorowidz 154

2

Wstep

W naukach fizycznych przez rezonans rozumie si e sk lonnosc uk ladow do oscylacji o duzychamplitudach przy wybranych cz estotliwosciach specyficznych dla danego uk ladu, zwanychcz estotliwosciami rezonansowymi. W takich uk ladach nawet bardzo ma le oddzia lywanie ze-wn etrzne moze wygenerowac znaczne oscylacje lub odchylenia od stanow rownowagi. Zjawiskoto jest powszechnie wykorzystywane na przyk lad w odbiornikach radiowych i telewizyjnych, wobrazowaniu MRI w medycynie, w instrumentach muzycznych czy zegarkach elektronicznych.Efekty rezonansu maj a rowniez fundamentalne znaczenie w teoriach dotycz acych kszta ltowa-nia si e i ewolucji uk ladu s lonecznego jako czynnik odpowiedzialny za formowanie jego planetlub wyrzucanie drobnych cia l niebieskich poza jego granice. Dziedzin a zycia, w ktorej rezonansodgrywa duz a rol e s a wielkogabarytowe konstrukcje inzynieryjne takie jak mosty drogowe czywiadukty kolejowe czego dowodz a katastrofy takie jak zawalenie si e mostu Tacoma NarrowsBridge na skutek rezonansu wywo lanego przez silne podmuchy wiatru (patrz [21], [40]).

Tak jak ogrom zjawisk fizycznych i technicznych modeluje si e za pomoc a rownan roz-niczkowych tak rowniez zjawisko rezonansu mozna uj ac w scis le matematyczne ramy. Dlaprzyk ladu rozwazmy nieliniowe rownanie ciep la

ut(x, t) = ∆u(x, t) + λu(x, t) + f(t, x, u(x, t)) dla t ≥ 0, x ∈ Ω (1)

oraz nieliniowe rownanie falowe z silnym t lumieniem

utt(x, t) = ∆u(x, t) + c∆ut(x, t) + λu(x, t) + f(t, x, u(x, t)) dla t ≥ 0, x ∈ Ω (2)

gdzie c > 0 oraz w obydwoch powyzszych rownaniach λ jest liczb a rzeczywist a, Ω jest otwar-tym podzbiorem przestrzeni Rn (n ≥ 1), ∆ jest operatorem Laplace’a z warunkami Dirichleta,zas f : [0,+∞)× Ω× R → R jest odwzorowaniem ci ag lym. Wowczas powyzsze rownania s aw rezonansie w nieskonczonosci, jesli λ jest wartosci a w lasn a operatora −∆, zas f jest od-wzorowaniem ograniczonym.

Za lozmy, ze A : X ⊃ D(A)→ X jest operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha Xoraz niech Xα dla α ∈ (0, 1), b edzie przestrzeni a u lamkow a dan a jako Xα := D((A+ δI)α),gdzie δ > 0 jest takie, ze A + δI jest operatorem dodatnio okreslonym. Rownania (1) oraz(2) s a szczegolnym przypadkiem abstrakcyjnych rownan postaci

u(t) = −Au(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0 (3)

u(t) = −Au(t)− cAu(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0 (4)

gdzie F : [0,+∞) × Xα → X jest odwzorowaniem ci ag lym. Aby to zauwazyc wystarczyprzyj ac Au := −∆u oraz F (t, u) = f(t, ·, u(·)).

Przedmiotem niniejszej pracy jest badanie istnienia rozwi azan T -okresowych (T > 0) orazbadanie istnienia orbit l acz acych punkty stacjonarne dla powyzszych rownan w przypadkugdy s a one w rezonansie w nieskonczonosci, czyli, Ker (λI − A) 6= 0 oraz F jest odwzoro-waniem ograniczonym.

3

4 Wst ep

Wsrod metod uzywanych do badania rozwi azan okresowych (lub punktow stacjonarnych)dla rownan w rezonansie nalezy wyroznic metody oparte na redukcji Lyapunova. Stosowaneby ly mi edzy innymi przez Mawhina oraz Fucıka w pracach [44], [23] oraz Brezisa i Nirenbergaw pracy [8] w odniesieniu do rownania telegrafistow. Z kolei w przyk ladowych pracach [8],[31], [4] redukcja Lyapunova by la stosowana w przypadku rownania ciep la.

W przypadku, gdy Ω jest dziedzin a jednowymiarow a, wyniki dotycz ace istnienia orbitograniczonych dla rownania (2) b ed acego w rezonansie w nieskonczonosci zosta ly podaneprzez Mawhina i Warda w pracy [45], Orteg e i Tineo w pracy [49] oraz Ahmada w pracy [2].W pracach tych autorzy uzywali metod nad i podrozwi azan. Ponadto problem istnienia orbitograniczonych dla rownania (3) oraz rownania hiperbolicznego (4) bez t lumienia (c = 0), by lrozpatrywany przez Karpinsk a w pracach [35] oraz [34] przy za lozeniu, ze A jest operatoremsamosprz ezonym i ograniczonym.

Metody, ktorych uzyjemy w niniejszej pracy b ed a polegac na zastosowaniu niezmienni-kow homotopijnych takich jak stopien topologiczny oraz indeks Conley’a odpowiednio dooperatora Poincare oraz po lpotoku stowarzyszonego z rownaniem. Aby wyjasnic te metodyzauwazmy, ze rownanie drugiego rz edu (4) mozemy sprowadzic do nast epuj acego rownaniapierwszego rz edu

w(t) = −Aw(t) + F(t, w(t)), t > 0, (5)

gdzie operator liniowy A : E ⊃ D(A) → E okreslony w przestrzeni Banacha E := Xα ×Xdany jest wzorem

D(A) := (x, y) ∈ E | x+ cy ∈ D(A)A(x, y) := (−y,A(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A),

zas F : [0,+∞)×E→ E jest odwzorowaniem danym jako

F(t, (x, y)) := (0, F (t, x)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E.

Za lozmy, ze dla dowolnego warunku pocz atkowego x ∈ Xα istnieje (s labe) rozwi azanie u(·, x) :[0,+∞) → Xα rownania (3) take, ze u(0, x) = x i analogicznie za lozmy, ze dla dowolnego(x, y) ∈ E istnieje odwzorowanie w : [0,+∞)→ E b ed ace rozwi azaniem rownania (5) takim,ze w(0, (x, y)) = (x, y). Rozwi azania T -okresowe dla rownan (3) oraz (5) mozemy utozsamiacodpowiednio z punktami sta lymi operatorow przesuni ec wzd luz trajektorii (lub operatorowPoincare) ΦT : Xα → Xα oraz ΦT : E→ E, ktore definiujemy jako

ΦT (x) := u(T ;x) dla x ∈ Xα oraz

ΦT (x, y) := w(T ; (x, y)) dla (x, y) ∈ E.

Efektywnymi narz edziami s luz acymi do wyznaczania punktow sta lych operatora przesuni eciawzd luz trajektorii s a tak zwane zasady usredniania, wyrazaj ace stopien topologiczny operato-row Φ lub Φ za pomoc a usrednienia prawej strony rownania (3) lub (5). Wowczas nietrywial-nosc stopnia topologicznego tego usrednienia implikuje nietrywialnosc stopnia topologicznegooperatora Poincare i tym samym istnienie rozwi azania T -okresowego.

Zasada usredniania dla rownan okreslonych na rozmaitosciach skonczenie wymiarowychby la badana przez Furi oraz Pere w pracy [24]. Jej uogolnienie na przypadek rownan okreslo-nych na dowolnej przestrzeni Banacha by lo rozwazane przez Cwiszewskiego w pracy [12], gdyprawa strona rownania jest nieliniowym zaburzeniem generatora zwartej C0 po lgrupy orazw pracy [15], gdy prawa strona jest zaburzeniem operatora m-akretywnego. W pracy [14]Cwiszewski wraz z autorem rozwazali zasad e usredniania w przypadku gdy operator −A jestgeneruje C0 po lgrup e kontrakcji, zas F jest odwzorowaniem kondensuj acym wzgl edem miary

Wst ep 5

niezwartosci Hausdorffa. Rezultaty w przypadku, gdy prawa strona rownania jest konden-suj acym zaburzeniem zaleznej od czasu rodziny operatorow A(t)t≥0 zosta ly zawarte przezCwiszewskiego oraz autora w pracy [17].

Rezonansowa wersja zasady usredniania zosta la przedstawiona przez autora w pracy [37]w przypadku rownania (3) oraz przez Cwiszewskiego w pracy [13] w przypadku rownaniahiperbolicznego z t lumieniem (rownanie (4) z α = 0). W obydwu przypadkach otrzymanazasada usredniania znalaz la zastosowanie do wyprowadzenia wzorow indeksowych, wyzna-czaj acych indeks punktow sta lych operatora przesuni ecia wzd luz trajektorii, w zaleznosci ododpowiednich warunkow Landesmana-Lazera na lozonych na nieliniowosc f .

W przypadku autonomicznym, gdy odwzorowanie F jest niezalezne od czasu, z row-naniami (3) oraz (5) mozemy stowarzyszyc po lpotoki Φ : [0,+∞) × Xα → Xα oraz Φ :[0,+∞)×E→ E dane jako

Φ(t, x) := u(t;x) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα,

Φ(t, (x, y)) := w(t; (x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E.

Wowczas pe lne rozwi azania rownania (3) mozemy utozsamiac z pe lnymi rozwi azaniami po l-potoku Φ, czyli odwzorowaniami u : R→ Xα takimi, ze

Φ(s, u(t)) = u(t+ s) dla s ≥ 0, t ∈ R.

Analogicznie pe lne rozwi azania rownania (5) utozsamiamy z odwzorowaniami w : R → Etakimi, ze

Φ(s, w(t)) = w(t+ s) dla s ≥ 0, t ∈ R.

Narz edziem, ktore b edziemy uzywac do szukania zwartych pe lnych rozwi azan dla po lpoto-kow Φ oraz Φ jest indeks homoptopijny, ktorego wersja dla potokow okreslonych na lokalniezwartych przestrzeniach metrycznych zosta la wprowadzona przez Conley’a (patrz [11], [57],[59]). Nast epnie Rybakowski rozszerzy l teori e tego indeksu na dowolne przestrzenie metryczne(patrz [55], [54]), co da lo podstawy do badania dynamiki rownan rozniczkowych cz astkowych.W szczegolnosci w pracach [52], [53] by lo rozwazane zagadnienie istnienia orbit ograniczonychoraz orbit l acz acych punkty stacjonarne dla rownan (3) oraz (5), przy czym wyniki nie obej-mowa ly rownan b ed acych w rezonansie w nieskonczonosci. W pracy [51] rezultaty te zosta lyprzeniesione na przypadek nieograniczonej dziedziny Ω = Rn, ponownie przy za lozeniu brakurezonansu w nieskonczonosci.

G lowna trudnosc pojawiaj aca si e przy badaniu istnienia rozwi azan okresowych lub pe l-nych orbit ograniczonych przypadku rownan b ed acych w rezonansie w nieskonczonosci polegana tym, ze zagadnienia te mog a nie miec rozwi azan przy dowolnej nieliniowosci F . Zosta lo toszczego lowo wyjasnione w Uwagach 3.2.1, 3.5.1, 4.2.1 oraz 4.4.1.

Celem niniejszej pracy jest podanie nowych twierdzen rozstrzygaj acych istnienie rozwi a-zan T -okresowych oraz orbit ograniczonych dla rownan (3) oraz (5) b ed acych w rezonansiew nieskonczonosci, w zaleznosci od odpowiednich warunkow geometrycznych charakteryzu-j acych nieliniowosc F .

W Rozdziale 1 wprowadzimy podstawowe poj ecia i definicje dotycz ace operatorow linio-wych okreslonych na przestrzeniach Banacha. W szczegolnosci zostan a omowione C0 po lgrupy,operatory wycinkowe oraz przestrzenie u lamkowe, ktore s a przez nie wyznaczane. Najwazniej-sz a cz esci a tego rozdzia lu b edzie zbadanie w lasnosci spektralnych operatora A.

Kolejny rozdzia l poswi econy b edzie omawianiu klasycznych w lasnosci dotycz acych rozwi a-zan rownan (3) oraz (5). Wprowadzona zostanie definicja s labego rozwi azania oraz przypo-mniane zostaj a twierdzenia dotycz ace jego istnienia i regularnosci. Nast epnie przy za lozeniu,ze operator A posiada zwarte rezolwenty, zostanie zbadana ci ag la zaleznosc rozwi azan od

6 Wst ep

parametru oraz warunkow pocz atkowych. Poniewaz metody niezmiennikow homotopijnych,ktorymi b edziemy si e pos lugiwac b ed a wymaga ly pewnej zwartosci dla operatora przesuni eciawzd luz trajektorii lub stowarzyszonego po lpotoku, zak ladaj ac zwartosc rezolwent operatora Audowodnimy, ze dla dowolnego t > 0 operator Poincare Φt jest odwzorowaniem pe lnoci ag lymsk ad wywnioskujemy, ze dowolny zbior ograniczony zawarty w przestrzeni Xα jest dopusz-czalny wzgl edem po lpotoku Φ. W przypadku rownania (5) sytuacja jest inna, gdyz operatorA nie ma zwartych rezolwent. Dlatego tez twierdzenia o zwartosci dla operatora PoincareΦt sformu lujemy w terminach miar niezwartosci. Mianowicie pokazemy, ze na przestrzeni Eistnieje norma rownowazna z norm a standardow a taka, ze dla dowolnego t > 0 odwzoro-wanie Φt jest kondensuj ace wzgl edem miary niezwartosci Hausdorffa wyznaczonej przez t enorm e. Jako wniosek otrzymamy, ze dowolny zbior ograniczony w zawarty w przestrzeni Ejest dopuszczalny wzgl edem po lpotoku Φ.

Rozdzia l 3 jest poswi econy omowieniu otrzymanych wynikow dotycz acych rownania (3).Najpierw wprowadzam warunki geometryczne dla rownan pierwszego rz edu charakteryzuj aceodwzorowanie F , a nast epnie dowodz e nast epuj acych dwa twierdzenia:

• wzor indeksowego dla orbit ograniczonych wykorzystuj acy te warunki geometrycznedo wyznaczenia indeksu homotopijnego po lpotoku Φ na dostatecznie duzej kuli oraz

• wzor indeksowego dla rozwi azan okresowych wykorzystuj acy wprowadzone warunkido wyrazenia stopnia Leray-Schaudera operatora I − ΦT , (T > 0) wzgl edem kuli odostatecznie duzym promieniu.

Otrzymane wzory indeksowe stosuj e do otrzymania kryteriow stwierdzaj acych istnienie roz-wi azan T -okresowych oraz istnienie orbit l acz acych punktu stacjonarne dla rownania (3).

W Rozdziale 4 przedstawimy wyniki dotycz ace rownania (5). Podobnie jak w poprzednimrozdziale wprowadzam warunki geometryczne dla rownan drugiego rz edu charakteryzuj aceodwzorowanie F oraz dowodz e nast epuj ace dwa twierdzenia:

• wzor indeksowy dla orbit ograniczonych, ktory wykorzystuje wprowadzone warunki dowyznaczenia indeksu homotopijnego po lpotoku Φ na dostatecznie duzej kuli oraz

• wzor indeksowych dla rozwi azan okresowych wykorzystuj acy te warunki do wyznacze-nia stopnia topologicznego pola kondensuj acego I − ΦT , (T > 0) wzgl edem kuli odostatecznie duzym promieniu.

Podobnie jak w poprzednim rozdziale otrzymane wzory indeksowe uzyjemy do udowodnieniakryteriow rozstrzygaj acych istnienia rozwi azan T -okresowych oraz orbit l acz acych punktystacjonarne dla rownania (5).

Rozdzia l 5 jest poswi econy zastosowaniom wynikow otrzymanych w Rozdzia lach 3 oraz 4do badania istnienia rozwi azan okresowych oraz orbit l acz acych punkty stacjonarne. Intere-sowac nas b edzie sytuacja, w ktorej operator A jest symetrycznym operatorem rozniczkowymdrugiego rz edu na przestrzeni X := Lp(Ω), gdzie Ω ⊂ Rn jest zbiorem ograniczonym, zasF jest operatorem Niemyckiego pochodz acym od odwzorowania f : [0,+∞) × Ω × R → R.Udowodnimy, ze jesli odwzorowanie f spe lnia warunki Landesmana-Lazera lub warunki z sil-nym rezonansem, to operator Niemyckiego F spe lnia sformu lowane w Rozdzia lach 3 oraz 4warunki geometryczne dla rownan pierwszego i drugiego rz edu. Na zakonczenie udowodnimykryteria stwierdzaj ace istnienie rozwi azan okresowych i orbit l acz acych punkty stacjonarnedla parabolicznych oraz hiperbolicznych rownan rozniczkowych cz astkowych w rezonansie.

Rozdzia l 6 stanowi dodatek, w ktorym zosta ly omowione narz edzia istotne dla naszychrozwazaniach. Zawarte s a w nim miedzy innymi fakty dotycz ace miar niezwartosci oraz zbiez-nosci w przestrzeniach metrycznych, jak rowniez zarys teorii i w lasnosci niezmiennikow ho-motopijnych takich jak stopien topologiczny oraz wersja Rybakowskiego indeksu Conley’a.

Wst ep 7

Zdaniem autora do najistotniejszych wynikow pracy nalez a:

1. wyniki dotycz ace rownan pierwszego rz edu w rezonansie:

• wprowadzenie warunkow geometrycznych (G1) − (G4) (patrz strony 63 oraz 78) cha-rakteryzuj acych nieliniowe zaburzenie w rownaniach w rezonansie

• Twierdzenie 3.2.2 – wzor indeksowy dla orbit ograniczonych,

• Twierdzenie 3.5.2 – wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych,

• Twierdzenia 3.3.1, 5.4.8, 5.4.9 – kryteria na istnienie orbit ograniczonych,

2. wyniki dotycz ace rownan drugiego rz edu w rezonansie:

• wprowadzenie warunkow geometrycznych (G5)− (G8) (patrz strony 90 oraz 105) cha-rakteryzuj acych nieliniowe zaburzenie w rownaniach w rezonansie

• Twierdzenie 4.2.2 – wzor indeksowy dla orbit ograniczonych,

• Twierdzenie 4.4.2 – wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych,

• Twierdzenia 4.3.2, 5.5.10, 5.5.11 – kryteria na istnienie orbit ograniczonych,

• Twierdzenia 5.5.5, 5.5.7 – kryteria na istnienie rozwi azan T -okresowych.

W tym miejscu chcia lbym podzi ekowac dr Aleksandrowi Cwiszewskiemu za zaintereso-wanie mnie tematyk a niezmiennikow homotopijnych, a takze za cenne dyskusje naukoweprowadzone podczas studiow doktoranckich i magisterskich.

Chcia lbym rowniez podzi ekowac prof. dr hab. Wojciechowi Kryszewskiemu za dyskusje icenne uwagi dotycz ace przedstawionych w pracy zagadnien.

Wielka Nieszawka–Torun, luty 2012 Piotr Kokocki

Oznaczenia

Przestrzenie liniowe

N zbior liczb naturalnychZ zbior liczb ca lkowitychQ cia lo liczb wymiernychR cia lo liczb rzeczywistychC cia lo liczb zespolonychbxc cz esc ca lkowita liczby rzeczywistej xRe z cz esc rzeczywista liczby zespolonej zIm z cz esc urojona liczby zespolonej z|z| modu l liczby zespolonej z, czyli, |z|2 := (Re z)2 + (Im z)2

B(x, r) kula w przestrzeni unormowanej X z norm a ‖ · ‖ dana jako zbior

y ∈ X | ‖x− y‖ < r gdzie x ∈ X, r ≥ 0.

U ⊕ V suma algebraiczna zbiorow U ⊂ E1 oraz V ⊂ E2 zawartych w podprzestrze-niach liniowych E1, E2 ⊂ E przestrzeni liniowej E takich, ze E1 ∩ E2 = 0

Operatory liniowe

L(X,Y ) przestrzen liniowa ci ag lych operatorow liniowych okreslonych na przestrzeniBanacha X o wartosciach w przestrzeni Banacha Y

K(X,Y ) przestrzen liniowa zwartych operatorow liniowych okreslonych na przestrzeniBanacha X o wartosciach w przestrzeni Banacha Y

D(A) dziedzina operatora liniowego A : X → X okreslonego w przestrzeni XGr(A) wykres operatora liniowego A : X ⊃ D(A)→ X na przestrzenie X dany jako

zbior(x, y) ∈ X ×X | x ∈ D(A) oraz Ax = y

KerA j adro operatora liniowego AImA obraz operatora liniowego A%(A) zbior rezolwenty operatora Aσ(A) spektrum operatora Aσp(A) spektrum punktowe operatora A

Przestrzenie funkcyjne

|α| = α1 + α2 + . . .+ αn dla multi-indeksu α ∈ Nnξα = ξα1

1 · . . . · ξαnn , gdzie ξ ∈ Rn, α ∈ NnDα = ∂α1

∂xα11

· · · ∂αn∂xαnn

dla dowolnego multi-indeksu α ∈ Nn

∂iu = uxi = ∂u∂xi

9

10 Oznaczenia

∇u = (ux1 , ux2 , . . . , uxn)t

∆u =∑n

i=1 uxixiut = ∂tu = ∂u

∂t = dudt

utt = ∂ttu = ∂2u∂t2

= d2udt2

dla p.w. dla prawie wszystkichLp(Ω) przestrzen Banacha funkcji mierzalnych u : Ω → R takich, ze ‖u‖Lp < ∞,

gdzie

‖u‖Lp =

(∫

Ω|u(x)|p dx

)1/p

jesli p <∞

ess supx∈Ω

|u(x)| jesli p =∞.

Jesli p = 2 to przez 〈 · , · 〉L2 oznaczamy standardowy iloczyn kartezjanski naL2(Ω), czyli,

〈u, v〉L2 :=

∫Ωu(x)v(x) dx dla u, v ∈ L2(Ω)

Wm,p(Ω) (m ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞) przestrzen Banacha funkcji mierzalnych u : Ω → Rtakich, ze Dαu ∈ Lp(Ω) w sensie dystrybucji, dla dowolnego multi-indeksu αod d lugosci |α| ≤ m. Na przestrzeni Wm,p(Ω) zadana jest norma

‖u‖Wm,p :=∑|α|≤m

‖Dαu‖Lp

Ck(Ω) dla liczny ca lkowitej 0 ≤ k ≤ ∞, przestrzen funkcji u : Ω → R dla ktorychci ag le s a pochodne Dαu, gdzie |α| ≤ k

Ck(Ω) dla liczny ca lkowitej 0 ≤ k ≤ ∞, przestrzen funkcji u : Ω→ R dla ktorych po-chodne Dαu, dla |α| ≤ k, s a jednostajnie ci ag le na ograniczonych podzbiorachdziedziny Ω. Na przestrzeni tej zadana jest norma

‖u‖Ck :=∑|α|≤k

‖Dαu‖∞

C∞0 (Ω) zbior funkcji g ladkich u : Ω→ R o zwartym nosniku zawartym w Ω

Topologia i niezmienniki homotopijne

intA wn etrze zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X

A, clA domkni ecie zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X

∂A brzeg zbioru A zawartego w przestrzeni topologicznej X, czyli, ∂A = A \ intAidX odwzorowanie identycznosciowe na przestrzeni topologicznej Xf ∼ g odwzorowania homotopijne[(X,x0)] typ homotopii przestrzeni topologicznej z wyroznionym punktem (X,x0)degLS stopien topologiczny Leray–SchauderadegC stopien topologiczny dla pol kondensuj acychdegB stopien topologiczny Brouwerah(K,ϕ) indeks Conley’a zbioru niezmienniczego K wzgl edem po lpotoku ϕS(X,ϕ) := S(X) klasa izolowanych zbiorow niezmienniczych wzgl edem po lpotoku ϕ,

zawartych w przestrzeni metrycznej X, dla ktorych istnieje otoczenie izoluj acedopuszczalne wzgl edem ϕ.

Rozdzia l 1

Operatory liniowe na przestrzeniachBanacha

W tym rozdziale zajmiemy si e operatorami liniowymi okreslonymi na przestrzeni Banacha. Za-

czniemy od przypomnienia podstawowych poj ec i wprowadzenia potrzebnej notacji po czym bazuj ac

na [27] oraz [9], przedstawimy fakty dotycz ace teorii Riesza-Schaudera dla operatorow zwartych. Na-

st epnie przejdziemy do sformu lowania twierdzen spektralnych dotycz acych operatorow o zwartych

rezolwentach. W dalszej cz esci omowione zostan a C0 po lgrupy ograniczonych operatorow liniowych,

operatory wycinkowe oraz przestrzenie u lamkowe, ktore s a przez nie wyznaczone. B edziemy tutaj wy-

korzystywac fakty zawarte w [3], [10], [7], [50], [30], [32]. Na zakonczenie, przejdziemy do g lownej cz esci

rozdzia lu, ktora poswi econa jest zbadaniu w lasnosci spektralne operatora hiperbolicznego.

1.1 Pojecia ogolne

Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym okreslonym na rzeczywistejlub zespolonej przestrzeni X, na ktorej mamy zadan a norm e ‖ · ‖. Powiemy, ze operator Ajest g esto okreslony, jesli jego dziedzina D(A) jest g estym podzbiorem X, czyli D(A) = X.Wykresem operatora A nazywamy podzbior Gr (A) iloczynu kartezjanskiego X×X dany jako

Gr (A) := (x, y) ∈ X ×X | y = Ax, x ∈ D(A).

B edziemy mowic, ze operator A jest domkni ety, jesli jego wykres Gr (A) jest domkni etympodzbiorem przestrzeni X ×X, wyposazonej w norm e produktow a. Zauwazmy, ze dziedzin eD(A) operatora A mozemy w naturalny sposob traktowac jako przestrzen unormowan a znorm a wykresow a ‖ · ‖D(A) zadan a wzorem

‖x‖D(A) := ‖x‖+ ‖Ax‖ dla x ∈ D(A).

Wowczas nietrudno dowiesc, ze prawdziwe jest nast epuj ace

Stwierdzenie 1.1.1. Operator liniowy A : X ⊃ D(A) → X okreslony na przestrzeni Bana-cha X jest domkni ety wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzen liniowa D(A) wyposazona w norm ewykresow a ‖ · ‖D(A) jest przestrzeni a Banacha.

11

12 Rozdzia l 1. Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha

J adrem operatora A b edziemy nazywac zbior KerA := x ∈ D(A) | Ax = 0, zas jegoobrazem zbior dany jako ImA := Ax | x ∈ D(A). Jesli operator A jest roznowartosciowy,to przez operator odwrotny rozumiemy operator liniowy A−1 : D(A−1)→ X dany jako

D(A−1) := ImA,

A−1x := y gdzie Ay = x dla x ∈ D(A−1).

Niech B : X ⊃ D(B)→ X b edzie kolejnym operatorem liniowym w przestrzeni X. Z lozeniemoperatora A z operatorem B jest operator liniowy AB : X ⊃ D(AB)→ X zdefiniowany jako

D(AB) := x ∈ D(B) | Bx ∈ D(A),ABx := A(Bx) dla x ∈ D(AB).

Niech Y ⊂ X b edzie podprzestrzeni a liniow a przestrzeni X. Cz esci a operatora A w przestrzeniY nazywamy operator liniowy AY : Y ⊃ D(AY )→ Y dany wzorem

D(AY ) := x ∈ D(A) | Ax ∈ Y (1.1)

AY x := Ax dla x ∈ D(AY ) (1.2)

Niech A : X ⊃ D(A) → X oraz B : Y ⊃ D(B) → Y b ed a operatorami liniowymi zada-nymi odpowiednio na przestrzeniach X oraz Y . Powiemy, ze operatory A oraz B s a ze sob asprz ezone, jesli istnieje homeomorfizm liniowy U : X → Y taki, ze

D(A) = x ∈ X | Ux ∈ D(B) oraz UAx = BUx dla x ∈ D(A).

Szczegolnym przypadkiem operatorow liniowych s a operatory ograniczone. Operator A : X →Y , gdzie X, Y s a przestrzeniami Banacha odpowiednio z normami ‖ · ‖X oraz ‖ · ‖Y b edziemynazywac ograniczonym, jesli jego norma jest skonczona

‖A‖ := sup‖Ax‖Y | x ∈ D(A), ‖x‖X ≤ 1 < +∞.

Jesli ‖A‖ = +∞ to operator A b edziemy nazywac nieograniczonym. Ponadto powiemy, zeoperator T : X → Y jest zwarty, jesli, dla dowolnego zbioru ograniczonego V ⊂ X, zbior T (V )jest relatywnie zwarty w Y . Symbolami L(X,Y ) oraz K(X,Y ) b edziemy oznaczac odpowied-nio zbior ograniczonych i zbior zwartych operatorow liniowych okreslonych na przestrzeniX o wartosciach w przestrzeni Y . W dalszym ci agu dla wygody zapisu b edziemy przyjmo-wac L(X) := L(X,X) oraz K(X) := K(X,X). Zauwazmy, ze kazdy operator zwarty jestograniczony, czyli K(X,Y ) ⊂ L(X,Y ).

Niech A : H ⊃ D(A) → H b edzie operatorem liniowym okreslonym na rzeczywistej lubzespolonej przestrzeni Hilberta H z iloczynem skalarnym 〈·, ·〉. Operatorem (hilbertowsko)sprz ezonym z operatorem A b edziemy nazywac b edziemy operator A∗ : H ⊃ D(A∗) → Hdany w nast epuj acy sposob

D(A∗) := y ∈ H | istnieje z ∈ H takie, ze 〈Ax, y〉 = 〈x, z〉 dla x ∈ D(A),A∗y := z dla y ∈ D(A∗), gdzie 〈Ax, y〉 = 〈x, z〉 dla x ∈ D(A).

Powiemy, ze operator A jest symetryczny, jesli A ⊂ A∗. Nie trudno sprawdzic, ze operator Ajest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy

〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 dla x, y ∈ D(A).

Operator A b edziemy nazywac samosprz ezonym, jesli A = A∗. Dobrze znany jest fakt, zeoperator samosprz ezony jest domkni ety. Ponadto latwo sprawdzic, ze ma miejsce nast epuj ace

1.2. Spektrum zespolone 13

Stwierdzenie 1.1.2. Jesli operator A : H ⊃ D(A)→ H jest symetryczny oraz istnieje liczbarzeczywista λ taka, ze Im (λI −A) = H, to A jest operatorem samosprz ezonym.

Niech teraz X b edzie przestrzeni a liniow a nad cia lem liczb rzeczywistych. Kompleksyfika-cj a przestrzeni X nazywamy przestrzen liniow a XC := X ×X nad cia lem liczb zespolonychC, na ktorej dzia lania dodawania i mnozenia przez skalar okreslone s a w nast epuj acy sposob

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) dla (x1, y1), (x2, y2) ∈ XC,

λ · (x, y) = (λ1x− λ2y, λ1y + λ2x) dla λ = (λ1 + λ2i) ∈ C, (x, y) ∈ XC.

Przyjmuj ac oznaczenie x+ iy := (x, y) dla (x, y) ∈ XC, powyzsze dzia lania przyjm a nast epu-j ac a naturaln a postac

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) dla x1 + iy1, x2 + iy2 ∈ XC,

λ · (x+ iy) = (λ1x− λ2y) + i(λ1y + λ2x) dla λ = (λ1 + λ2i) ∈ C, x+ iy ∈ XC.

Jesli X jest przestrzeni a unormowan a z norm a ‖ · ‖, to funkcja ‖ · ‖C : XC → R dana wzorem

‖z‖C := supθ∈[0,2π]

‖(sin θ)x+ (cos θ)y‖ dla z = x+ iy ∈ XC (1.3)

okresla norm e na przestrzeni zespolonej XC. Ponadto, jesli (X, ‖·‖) jest przestrzeni a Banacha,to przestrzen zespolona XC wraz z norm a (1.3) jest rowniez przestrzeni a Banacha. Jesli Hjest rzeczywist a przestrzeni a Hilberta wraz z iloczynem skalarnym 〈 · , · 〉, to funkcja 〈 · , · 〉C :HC ×HC → C dana wzorem

〈z1, z2〉C := 〈x1, x2〉+ 〈y1, y2〉+ i〈y1, x2〉 − i〈x1, y2〉 dla z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈ HC

jest iloczynem skalarnym na HC. Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny√〈z, z〉C =

√〈x, x〉+ 〈y, y〉 dla z = x+ iy ∈ D(AC)

jest rownowazna z norm a zadan a wzorem (1.3).Niech teraz A : X ⊃ D(A)→ X b edzie operatorem liniowym na rzeczywistej przestrzeni

X. Kompleksyfikacj a operatora A nazywamy operator liniowy AC : XC ⊃ D(AC)→ XC danywzorem

D(AC) := x+ iy ∈ XC | x, y ∈ D(A),ACz := Ax+ iAy dla z = x+ iy ∈ D(AC).

Jesli A : H ⊃ D(A) → H jest operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta H, to (A∗)C =(AC)∗. W szczegolnosci wynika st ad, ze jesli operator A jest symetryczny, to rowniez ope-rator AC jest symetryczny oraz jesli operator A jest samosprz ezony, to operator AC tez jestsamosprz ezony.

1.2 Spektrum i rozk lady spektralne

Niech A : X ⊃ D(A)→ X b edzie operatorem liniowym okreslonym na przestrzeni liniowejX nad cia lem K, przy czym b edziemy przyjmowac, ze K = R lub K = C. Za lozmy, ze naprzestrzeni tej zadana jest norma ‖ · ‖. Zbiorem rezolwenty operatora A nazywamy zbior

%(A,K) := λ ∈ K | Ker (λI −A) = 0, Im (λI −A) = X oraz (λI −A)−1 ∈ L(X).


Jesli λ ∈ %(A,K) to ograniczony operator liniowy (λI−A)−1 nazywamy rezolwent a operatoraA. Dobrze znanym faktem jest tzw. tozsamosc rezolwenty czyli, ze dla dowolnych λ, µ ∈%(A,K) prawdziwa jest nast epuj aca rownosc

(λI −A)−1 − (µI −A)−1 = (µ− λ)(λI −A)−1(µI −A)−1. (2.4)

Powiemy, ze operator A ma zwarte rezolwenty, jesli %(A,K) 6= ∅ oraz dla dowolnego λ ∈%(A,K) operator (λI − A)−1 : X → X jest zwarty. Na podstawie rownosci (2.4) operator Ama zwarte rezolwenty, o ile %(A,K) 6= ∅ oraz dla pewnego λ ∈ %(A,K) operator (λI −A)−1 :X → X jest zwarty.

Lemat 1.2.1. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym okreslonym na prze-strzeni Banacha X takim, ze %(A,K) 6= ∅. Wowczas operator A ma zwarte rezolwenty wtedyi tylko wtedy, gdy w lozenie (D(A), ‖ · ‖D(A)) → (X, ‖ · ‖) jest zwarte.

Dowod. Za lozmy, ze operator A ma zwarte rezolwenty oraz niech (xn)n≥1 b edzie ci agiemw D(A), ograniczonym w normie ‖ · ‖D(A). Niech λ ∈ %(A,K). Wtedy ci ag (yn)n≥1 dany jakoyn := λxn −Axn (n ≥ 1) jest ograniczony w X, a to na mocy zwartosci rezolwent operatoraA implikuje, ze ci ag (xn)n≥1 jest relatywnie zwarty w X gdyz xn = (λI −A)−1yn dla n ≥ 1.Za lozmy teraz, ze w lozenie D(A) → X jest zwarte. Aby pokazac implikacj e przeciwn a, czyli,ze operator A ma zwarte rezolwenty, wezmy λ ∈ %(A,K) oraz ci ag (yn)n≥1, ktory jest ogra-niczony w X. Wtedy, nietrudno sprawdzic, ze ci ag (xn)n≥1 dany jako xn = (λI −A)−1yn dlan ≥ 1 jest ograniczony w normie ‖ · ‖D(A), a zatem jest relatywnie zwarty w X.

Lemat 1.2.2. Niech A : X ⊃ D(A)→ X b edzie operatorem liniowym na przestrzeni BanachaX, na ktorej mamy zadany rozk lad na sum e prost a X = X−⊕X0⊕X+ przestrzeni domkni etycho tej w lasnosci, ze X0, X− ⊂ D(A), A(X0) ⊂ X0, A(X−) ⊂ X− oraz A(D(A) ∩X+) ⊂ X+.Niech dla dowolnego i = 0,−,+ operator Ai : Xi ⊃ D(Ai) → Xi b edzie cz esci a operatora Aw przestrzeni Xi. Wowczas prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(a) Dla dowolnego i = 0,−,+ mamy inkluzj e %(A,K) ⊂ %(Ai,K) i ponadto, jesli ρ ∈%(A,K) to

(ρI −Ai)−1x = (ρI −A)−1x dla x ∈ Xi. (2.5)

(b) Jesli A ma zwarte rezolwenty, to dla dowolnego i = 0,−,+ operator Ai ma rowniezzwarte rezolwenty.

Dowod. (a) Niech ρ ∈ %(A) oraz niech i ∈ 0,−,+. Aby sprawdzic, ze ρ ∈ %(Ai) zauwazmy,ze Ker (ρI −Ai) ⊂ Ker (ρI −A) = 0, a zatem operator ρI −Ai jest roznowartosciowy. Abysprawdzic, ze jest surjekcj a wezmy y ∈ Xi. Wtedy istnieje x ∈ D(A) takie, ze ρx − Ax = y.Zauwazmy, ze x = x− + x+ + x0, gdzie x0 ∈ X0, x− ∈ X− oraz x+ ∈ X+. Skoro x ∈ D(A)to zgodnie z za lozeniami x0, x−, x+ ∈ D(A) oraz ρxj − Axj ∈ Xj dla j = 0,−,+. Poniewazy ∈ Xi mamy w szczegolnosci, ze ρxi − Axi = y oraz ρxj − Axj = 0 dla j 6= i. Oznaczato, ze xj = 0 dla j 6= i, a st ad x = xi i dlatego ρxi − Axi = y. Wtedy xi ∈ D(Ai) orazρxi − Aixi = y, co pokazuje, ze Im (ρI − Ai) = Xi oraz (ρI − Ai)−1y = (ρI − A)−1y dlay ∈ Xi. W konsekwencji pokazalismy punkt (a).

(b) Niech i ∈ 0,−,+ b edzie ustalone. Jesli operator A ma zwarte rezolwenty, to na podsta-wie punktu (a) mamy, ze %(Ai) 6= ∅, a poniewaz spe lniona jest rownosc (2.5) mamy rowniez,ze dla dowolnego ρ ∈ %(Ai) operator (ρI −Ai)−1 jest zwarty, co uzasadnia punkt (b).


Uwaga 1.2.3. Jesli operator A : X ⊃ D(A) → X okreslony na rzeczywistej przestrzeniBanacha X ma zwarte rezolwenty, to operator AC : XC ⊃ D(AC) → XC tez ma zwarterezolwenty.Aby to sprawdzic wezmy ρ ∈ %(A,R). Wtedy nietrudno sprawdzic, ze operator ρI − AC :XC ⊃ D(AC)→ XC jest bijekcj a oraz

(ρI −AC)−1(x+ iy) = (ρI −A)−1x+ i(ρI −A)−1y dla x+ iy ∈ XC. (2.6)

Ponadto zauwazmy, ze zachodzi nast epuj aca nierownosc

1/2(‖x‖+ ‖y‖) ≤ ‖x+ iy‖C ≤ ‖x‖+ ‖y‖ dla x+ iy ∈ XC. (2.7)

Wtedy dla dowolnego x+ iy ∈ XC mamy

‖(ρI −AC)−1(x+ iy)‖C ≤ ‖(ρI −A)−1x‖+ ‖(ρI −A)−1y‖≤ ‖(ρI −A)−1‖(‖x‖+ ‖y‖)≤ 2‖(ρI −A)−1‖‖x+ iy‖C,

co dowodzi, ze operator (ρI−AC)−1 jest ograniczony i dlatego ρ ∈ %(AC). Niech teraz (zn)n≥1

b edzie ci agiem w XC ograniczonym w normie ‖ · ‖C. Jesli zn = xn + iyn dla n ≥ 1, to napodstawie nierownosci (2.7) ci agi (xn)n≥1 oraz (yn)n≥1 s a ograniczone w przestrzeni X. Niechci agi (an)n≥1, (bn)n≥1 w X oraz ci ag (cn)n≥1 w XC b ed a dane jako

an := (ρI −A)−1xn, bn := (ρI −A)−1yn, cn := (ρI −AC)−1zn dla n ≥ 1.

Wtedy na podstawie (2.6) mamy cn = an + ibn dla n ≥ 1. Z faktu, ze operator A ma zwarterezolwenty istniej a podci agi (ank)k≥1 oraz (bnk)k≥1, ktore s a zbiezne w X. Na podstawieprawej nierownosci (2.7) mamy, ze ci ag (cnk)k≥1 jest zbiezny w XC, co dowodzi zwartoscioperatora (ρI −AC)−1.

Spektrum operatora liniowego A : X ⊃ D(A)→ X okreslonego na przestrzeni liniowej X nadcia lem K definiujemy jako

σ(A,K) := λ ∈ K | λ 6∈ %(A,K).

Z kolei spektrum punktowym operatora A nazywamy zbior

σp(A,K) := λ ∈ K | Ker (λI −A) 6= 0.

Uwaga 1.2.4. Niech X oraz Y b ed a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K. Za lozmy, zeoperatory liniowe A : X ⊃ D(A) → X oraz B : Y ⊃ D(B) → Y s a sprz ezone, czyli, istniejehomeomorfizm K-liniowy U : X → Y taki, ze UA = BU .

(a) Wtedy σp(A,K) = σp(B,K) oraz dla dowolnego λ ∈ σp(A,K) mamy nast epuj aca rownosc

Ker (λI −B) = UKer (λI −A) = Ux | x ∈ Ker (λI −A).

(b) Ponadto σ(A,K) = σ(B,K) oraz ρ(A,K) = ρ(B,K).

Dla operatora liniowego A : X ⊃ D(A) → X okreslonego na rzeczywistej przestrzeniBanacha X, mozemy zdefiniowac jego spektrum zespolone, zespolone spektrum punktowe orazzespolony zbior rezolwenty odpowiednio jako

σ(A) := σ(AC,C), σp(A) := σp(AC,C) oraz %(A) := %(AC,C).


Uwaga 1.2.5. (a) Nie trudno zauwazyc, ze maj a miejsce nast epuj ace rownosci %(A) ∩ R =%(A,R), σ(A) ∩ R = σ(A,R) oraz σp(A) ∩ R = σp(A,R).

(b) Mozna sprawdzic, ze jesli operator A : H ⊃ D(A) → H jest symetrycznym operatoremliniowym na przestrzeni Hilberta H, to jego zespolone spektrum punktowe σp(A) sk lada si ez liczb rzeczywistych.

Uwaga 1.2.6. Za lozmy, ze operatory liniowe A : X ⊃ D(A)→ X oraz B : Y ⊃ D(B)→ Y ,okreslone na rzeczywistych przestrzeniach X oraz Y s a sprz ezone, czyli, istnieje homeomor-fizm liniowy U : X → Y taki, ze UA = BU .

(a) Wtedy σp(A) = σp(B) oraz dla dowolnego λ ∈ σp(A) mamy nast epuj aca rownosc

Ker (λI −B) = UKer (λI −A) = Ux | x ∈ Ker (λI −A).(b) Ponadto σ(A) = σ(B) oraz ρ(A) = ρ(B).

1.2.1 W lasnosci spektralne operatorow zwartych

W dalszym ci agu zak ladamy, ze T : X → X jest operatorem zwartym okreslonym naprzestrzeni Banacha X nad cia lem K, (K = R lub K = C) takiej, ze dimX =∞. Przejdziemyteraz do charakteryzacji widma operatora T .

Twierdzenie 1.2.7. (patrz [9]) Prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) 0 ∈ σ(T,K),

(ii) σ(T,K) \ 0 = σp(T,K) \ 0,(iii) zbior σ(T,K)\0 jest skonczony albo sk lada si e z wyrazow pewnego ci agu zbiegaj acego

do zera.

Przejdziemy teraz do opisu przestrzeni w lasnych operatorow zwartych. Nietrudno zauwa-zyc, ze dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1 zachodz a nast epuj ace inkluzje

Ker (I − T )n ⊂ Ker (I − T )n+1 oraz Im (I − T )n+1 ⊂ Im (I − T )n.

Dla dowolnego λ ∈ K przez j adro uogolnione Nλ(T ) oraz obraz uogolniony Rλ(T ) operatoraλI − T b edziemy rozumiec przestrzenie okreslone jako

Nλ(T ) :=

∞⋃n=1

Ker (λI − T )n, Rλ(T ) :=

∞⋂n=1

Im (λI − T )n.

Nast epuj ace twierdzenie charakteryzuje j adra i obrazy uogolnione.

Twierdzenie 1.2.8. (patrz [27], [9]) Niech λ ∈ K b edzie takie, ze λ 6= 0. Wowczas prawdziwes a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Ker (λI − T ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λI − T ) = X.(ii) Dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1 przestrzen Im (λI−T )n jest domkni eta w X oraz

dimNλ(T ) <∞.

(iii) Istnieje liczba ca lkowita ρ ≥ 1 taka, ze Im (λI − T )n 6= Im (λI − T )n+1 dla n < ρ orazIm (λI − T )n = Im (λI − T )n+1 dla n ≥ ρ.

(iv) Istnieje liczba ca lkowita ν ≥ 1 taka, ze Ker (λI − T )n 6= Ker (λI − T )n+1 dla n < νoraz Ker (λI − T )n = Ker (λI − T )n+1 dla n ≥ ν.

(v) Jesli ρ oraz ν s a liczbami odpowiednio z punktow (iii) oraz (iv), to ρ = ν oraz X =Ker (λI − T )ρ ⊕ Im (λI − T )ρ. W szczegolnosci przestrzen X rozk lada si e na sum eprost a X = Nλ(T )⊕Rλ(T ).


Kolejne twierdzenie mowi nam o rozk ladzie spektralnym operatora zwartego.

Twierdzenie 1.2.9. (patrz [9]) Niech T : X → X b edzie operatorem liniowym zwartym okre-slonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X oraz niech (λi)i≥1 b edzie ci agiem rzeczywistychwartosci w lasnych operatora T . Wtedy dla dowolnego k ≥ 1, istnieje rozk lad przestrzeni Xna sum e prost a podprzestrzeni domkni etych X = X1 ⊕X2 takich, ze

X1 =k⊕l=1

Nλl(T ) oraz X2 =k⋂l=1

Rλl(T ).

Ponadto maj a miejsce nast epuj ace stwierdzenia.

(i) T (X1) ⊂ X1 oraz T (X2) ⊂ X2,

(ii) σp(T|X1,R) = λ1, λ2, . . . , λk oraz σp(T|X2

,R) = λi | i ≥ k + 1.

1.2.2 W lasnosci spektralne operatorow o zwartych rezolwentach

Niech teraz A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym o zwartych rezolwentachokreslonym na przestrzeni Banacha X nad cia lem K (K = C lub K = R). Przechodzimy dopodania twierdzen o postaci spektrum i rozk ladow spektralnych dla operatorow o zwartychrezolwentach.

Jesli λ ∈ K to j adrem uogolnionym operatora λI − A nazywamy podprzestrzen Nλ(A)dan a jako

Nλ(A) :=∞⋃i=1

Ker (λI −A)i.

Nast epnie definiujemy obraz uogolniony operatora λI −A jako podprzestrzen

Rλ(A) :=

∞⋂i=1

Im (λI −A)i.

Nast epuj acy lemat przedstawia relacje mi edzy j adrami i obrazami uogolnionymi operatoraliniowego i jego rezolwenty.

Lemat 1.2.10. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym na przestrzeniunormowanej X oraz niech ρ ∈ %(A). Jesli λ 6= ρ to, dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1,

(i) Ker (λI −A)n = Ker ((I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n),

(ii) Im (λI −A)n = Im ((I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n).

Dowod. Zauwazmy na pocz atek, ze dla dowolnego x ∈ D(A) prawdziwe s a nast epuj acerownosci

(ρI −A)(I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)x = (λI −A)x oraz

(I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)(ρI −A)x = (λI −A)x.

Wynika z nich odpowiednio, ze

Ker (λI −A) = Ker (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1) oraz (2.8)

Im (λI −A) = Im (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1). (2.9)


Aby dowiesc punktu (i) b edziemy rozumowac przez indukcj e. Za lozmy, ze rownosc z tegopunktu ma miejsce dla pewnego n ≥ 1. Pokazemy, ze

Ker (λI −A)n+1 = Ker ((I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n+1). (2.10)

Wykorzystuj ac za lozenie indukcyjne mamy rownowaznie

x ∈ Ker (λI −A)n+1

(λI −A)x ∈ Ker (λI −A)n

(λI −A)x ∈ Ker (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n

(I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n(λI −A)x = 0.

Dalej na podstawie komutatywnosci otrzymujemy, ze ostatnia rownosc jest rownowazna ztym, ze x ∈ D(A) oraz (λI − A)(I − (ρ − λ)(ρI − A)−1)nx = 0. To zas na podstawie (2.8)jest rownowazne z tym, ze (I − (ρ−λ)(ρI −A)−1)n+1x = 0 i w ten sposob dowodzimy (2.10)i punktu (i). Aby dowiesc punktu (ii) za lozmy, ze rownosc w nim przedstawiona ma miejscedla pewnego n ≥ 1. Pokazemy, ze

Im (λI −A)n+1 = Im ((I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n+1). (2.11)

W tym celu wezmy najpierw x ∈ Im (λI −A)n+1. Wowczas istnieje y ∈ D(A)∩ Im (λI −A)n

takie, ze (λI − A)y = x. Zatem na podstawie za lozenia indukcyjnego istnieje z ∈ X takie,ze (I − (ρ − λ)(ρI − A)−1)nz = y. Poniewaz y ∈ D(A), nietrudno sprawdzic, ze rowniezz ∈ D(A). Zatem, korzystaj ac z komutatywnosci otrzymujemy

x = (λI −A)y = (λI −A)(I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)nz = (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n(λI −A)z.

Z rownosci (2.9) istnieje z0 ∈ X takie, ze (λI − A)z = (I − (ρ − λ)(ρI − A)−1)z0, co wkonsekwencji oznacza, ze x = (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n+1z0. Pokazalismy zatem inkluzje

Im (λI −A)n+1 ⊂ Im ((I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n+1).

Aby dowiesc inkluzji przeciwnej wezmy x ∈ Im (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)n+1. Wowczas istniejey ∈ Im (I−(ρ−λ)(ρI−A)−1)n takie, ze (I−(ρ−λ)(ρI−A)−1)y = x. Na podstawie za lozeniaindukcyjnego y ∈ Im (λI−A)n, a zatem istnieje z ∈ D(An) takie, ze y = (λI−A)nz i dlatego

x = (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)y = (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)(λI −A)nz.

Korzystaj ac z komutatywnosci mamy x = (λI − A)n(I − (ρ − λ)(ρI − A)−1)z, co na mocy(2.9) oznacza, ze istnieje z0 ∈ D(A) takie, ze (λI −A)z0 = (I − (ρ− λ)(ρI −A)−1)z. Zatemz0 ∈ D(An+1) oraz x = (λI −A)n+1z0, co konczy dowod rownosci (2.11) oraz punktu (ii).

Nast epuj ace twierdzenie jest wnioskiem z Twierdzenia 1.2.8 oraz Lematu 1.2.10.

Twierdzenie 1.2.11. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym o zwartychrezolwentach oraz niech λ ∈ K. Wowczas prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Ker (λI −A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Im (λI −A) = X.(ii) Dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1 przestrzen Im (λI − A)n jest domkni eta oraz

dimNλ(A) <∞.

(iii) Istnieje liczba ca lkowita ρ ≥ 1 taka, ze Im (λI −A)n 6= Im (λI −A)n+1 dla n < ρ orazIm (λI −A)n = Im (λI −A)n+1 dla n ≥ ρ.


(iv) Istnieje liczba ca lkowita ν ≥ 1 taka, ze Ker (λI − A)n 6= Ker (λI − A)n+1 dla n < νoraz Ker (λI −A)n = Ker (λI −A)n+1 dla n ≥ ν.

(v) Jesli ρ oraz ν s a liczbami odpowiednio z punktow (iii) oraz (iv), to ρ = ν oraz X =Ker (λI − A)ρ ⊕ Im (λI − A)ρ. W szczegolnosci przestrzen X rozk lada si e na sum eprost a X = Nλ(A)⊕Rλ(A).

Jesli operator A ma zwarte rezolwenty, na podstawie punktu (ii) Twierdzenia 1.2.11wiadomo, ze dimNλ(A) < +∞ dla dowolnego λ ∈ K i dlatego mozemy zdefiniowac krotnoscgeometryczn a ngeo(λ) oraz krotnosc algebraiczn a nalg(λ) wartosci w lasnej λ odpowiednio jako

ngeo(λ) := dim Ker (λI −A) oraz nalg(λ) = dimNλ(A).

Nast epuj ace twierdzenie mowi nam o postaci widma operatora o zwartych rezolwentach.

Twierdzenie 1.2.12. Jesli operator liniowy A : X ⊃ D(A) → X ma zwarte rezolwenty, toσ(A,K) = σp(A,K) oraz dla dowolnego ρ ∈ %(A,K) mamy

σp(A,K) = ρ− µ−1 | µ ∈ σp((ρI −A)−1). (2.12)

Ponadto zbior σp(A,K) jest skonczony lub sk lada si e z wyrazow ci agu (λn) w K takiego, ze|λn| → +∞ przy n→ +∞.

Dowod. Niech µ ∈ σ(A,K). Wtedy Ker (µI − A) 6= 0, bo w przeciwnym wypadku, namocy punktu (i) Twierdzenia 1.2.11 mielibysmy, ze Im (µI−A) = X. Wobec tego, ze operatorA jest domkni ety, twierdzenie o domkni etym wykresie implikowa loby, ze µ ∈ %(A,K), co jestsprzecznosci a. Dlatego σ(A,K) ⊂ σp(A,K), czyli σ(A,K) = σp(A,K). Sprawdzimy terazrownosc (2.12). W tym celu wezmy ρ ∈ %(A,K) i zauwazmy, ze 0 6∈ σp((ρI − A)−1). Zatemjesli λ := ρ− µ−1 gdzie µ ∈ σp((ρI −A)−1), to z punktu (i) Lematu 1.2.10 otrzymujemy, ze

Ker (λI −A) = Ker ((ρ− µ−1)I −A) = Ker (µI − (ρI −A)−1) 6= 0,

czyli λ ∈ σp(A,K). Podobnie, jesli wezmiemy λ ∈ σp(A,K), to korzystaj ac ponownie z punktu(i) Lematu 1.2.10 mamy, ze (ρ− λ)−1 ∈ σp((ρI −A)−1). Zatem k lad ac µ := (ρ− λ)−1 mamyw konsekwencji, ze λ ∈ ρ− µ−1 | µ ∈ σp((ρI − A)−1) i w ten sposob dowodzimy rownosci(2.12). Z punktu (iii) Twierdzenia 1.2.7 otrzymujemy, ze σp((ρI − A)−1) jest zbiorem skon-czonym lub σp((ρI−A)−1) = µk | k ≥ 1, gdzie (µk) w K jest ci agiem takim, ze µk → 0 gdyk → +∞. Zatem na podstawie rownosci (2.12) mamy, ze σp(A,K) jest zbiorem skonczonymlub σp(A,K) = λk | k ≥ 1, gdzie λk := ρ − µ−1

k dla k ≥ 1. Poniewaz (µk)k≥1 jest ci agiemzbieznym do zera mamy, ze |λk| → +∞ gdy n→ +∞, co konczy dowod twierdzenia.

Kolejne twierdzenie mowi o rozk ladzie spektralnym operatora zwartych rezolwentach.

Twierdzenie 1.2.13. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem liniowym o zwartychrezolwentach okreslonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha X oraz niech (λi)i≥1 b edzieci agiem rzeczywistych wartosci w lasnych operatora A. Wtedy dla dowolnego k ≥ 1, istniejerozk lad przestrzeni X na sum e prost a podprzestrzeni domkni etych X = X1 ⊕X2 takich, ze

X1 =

k⊕l=1

Nλl(A), oraz X2 =

k⋂l=1

Rλl(A).

Ponadto maj a miejsce nast epuj ace stwierdzenia:

(i) zachodz a inkluzje X1 ⊂ D(A), A(X1) ⊂ X1 oraz A(X2 ∩D(A)) ⊂ X2,


(ii) jesli A1 oraz A2 s a cz esciami operatora A odpowiednio w przestrzeniach X1 oraz X2, to

σ(A1,R) = λ1, λ2, . . . , λk oraz σ(A2,R) = λi | i ≥ k + 1.

Dowod. Niech ρ ∈ %(A,R). Na podstawie Twierdzenia 1.2.12 mamy, ze λi = ρ − µ−1i dla

i ≥ 1, gdzie σp((ρI−A)−1,R) = µi | i ≥ 1. Na podstawie Twierdzenia 1.2.9 istnieje rozk ladprzestrzeni X na sum e prost a podprzestrzeni domkni etych X = X1 ⊕X2 takich, ze

X1 =

k⊕l=1

Nµl((ρI −A)−1) oraz X2 =

k⋂l=1

Rµl((ρI −A)−1).

Ponadto (ρI −A)−1(X1) ⊂ X1, (ρI −A)−1(X2) ⊂ X2 oraz

σp((ρI −A)−1|X1,R) = µ1, µ2, . . . , µk, σp((ρI −A)−1

|X2,R) = µi | i ≥ k + 1. (2.13)

Na podstawie Lematu 1.2.10 wnosimy, ze

Nλi(A) = Nµi((ρI −A)−1) oraz Rλi(A) = Rµi((ρI −A)−1) dla i ≥ 1,

sk ad otrzymujemy, ze X = X1 ⊕X2 gdzie

X1 =

k⊕l=1

Nλl(A) oraz X2 =

k⋂l=1

Rλl(A).

Nietrudno sprawdzic, ze w tej sytuacji

X1 ⊂ D(A), A(X1) ⊂ X1 oraz A(D(A) ∩X2) ⊂ X2.

Powo luj ac si e na punkt (a) Lematu 1.2.2 otrzymujemy, ze

ρ ∈ %(Ai,R) oraz (ρI −Ai)−1 = (ρI −A)−1|Xi dla i = 1, 2. (2.14)

Ponadto na podstawie punktu (b) tego lematu wnosimy, ze operatory A1 oraz A2 maj a zwarterezolwenty. Zatem na mocy Twierdzenia 1.2.12

σ(Ai,R) = σp(Ai,R) = ρ− µ−1 | µ ∈ σp((ρI −Ai)−1,R) dla i = 1, 2,

co po po l aczeniu z (2.13) oraz (2.14) daje

σ(A1,R) = ρ− µ−1i | 1 ≤ i ≤ k = λi | 1 ≤ i ≤ k oraz

σ(A2,R) = ρ− µ−1i | i ≥ k + 1 = λi | i ≥ k + 1,

co konczy dowod twierdzenia.

1.3 Po lgrupy operatorow liniowych

Definicja 1.3.1. Rodzin e S(t)t≥0, ograniczonych operatorow liniowych na przestrzeni Ba-nacha X b edziemy nazywac C0 po lgrup a, jesli

S(0)x = x oraz S(t+ s)x = S(t)S(s)x dla t, s ≥ 0, x ∈ X

oraz spe lniony jest warunek ci ag losci

limt→0+

S(t)x = x dla x ∈ X.

1.3. Po lgrupy operatorow liniowych 21

Stwierdzenie 1.3.2. (patrz [50], [32]) Jesli rodzina S(t)t≥0 jest C0 po lgrup a, to istniej asta le M ≥ 1 oraz ω ∈ R takie, ze

‖S(t)‖ ≤Meωt dla t ≥ 0.

Przyk lad 1.3.3. Niech X b edzie przestrzeni a Banacha oraz niech A : X → X b edzie ograni-czonym operatorem liniowym okreslonym na X. Dobrze znanym faktem jest, ze nast epuj acyszereg

exp(tA) :=∞∑i=1

(tA)i/i!,

jest zbiezny dla dowolnego t ∈ R w jednostajnej topologii operatorow. Wowczas dla dowol-nego t ∈ R jego granica exp(tA) jest elementem przestrzeni L(X) oraz rodzina operatorowograniczonych exp(tA)t≥0 jest C0 po lgrup a na X generowana przez operator A i ponadtospe lniona jest nast epuj aca rownosc

exp(tA) exp(sA) = exp((t+ s)A) dla t, s ∈ R.

Jesli dla dowolnego t > 0 operator S(t) : X → X jest zwarty, to b edziemy mowic, ze C0

po lgrupa jest zwarta. Jesli dla dowolnego zbioru ograniczonego V ⊂ X rodzina funkcji

(0,+∞) 3 t→ S(t)x | x ∈ V jest rownoci ag la w kazdym punkcie zbioru (0,+∞), to rodzin e operatorow S(t)t≥0 b edziemynazywac rownoci ag l a C0 po lgrup a. Dobrze znany jest fakt, ze jesli C0 po lgrupa jest zwarta,to jest rownoci ag la.

Generatorem C0 po lgrupy nazywamy operator liniowy A : X ⊃ D(A)→ X dany wzorem

D(A) :=

x ∈ X | istnieje granica lim

t→0+

S(t)x− xt

,

Ax := limt→0+

S(t)x− xt

dla x ∈ D(A).

Ponizsze twierdzenie Hille–Yosidy podaje warunki konieczne i wystarczaj ace na to aby ope-rator liniowy by l generatorem C0 po lgrupy.

Twierdzenie 1.3.4. (patrz [50, Theorem 1.5.2]) Operator liniowy A : X ⊃ D(A) → X jestgeneratorem C0 po lgrupy S(t)t≥0, spe lniaj acej oszacowanie ‖S(t)‖ ≤ Meωt (M ≥ 1) dlat ≥ 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

(i) A jest domkni ety oraz D(A) jest g estym podzbiorem przestrzeni X,

(ii) zbior rezolwenty %(A) operatora A zawiera przedzia l (ω,+∞) oraz

‖(λI −A)−n‖ ≤M/(λ− ω)n dla λ > ω, n = 1, 2, . . . .

W dalszym ci agu przez SA(t)t≥0 b edziemy oznaczac C0 po lgrup e generowan a przezoperator −A. Nast epuj ace twierdzenie jest wersj a wzoru Eulera przeniesion a na przypadekgeneratorow C0 po lgrup.

Twierdzenie 1.3.5. (patrz [50, Theorem 1.8.3]) Niech A : X ⊃ D(A) → X operatoremliniowym na przestrzeni Banacha X oraz niech SA(t)t≥0 b edzie C0 po lgrup a generowan aprzez operator −A. Wtedy dla dowolnego t ≥ 0 mamy nast epuj acy wzor

SA(t)x = limn→+∞

(I +

t

nA

)−nx dla x ∈ X.


Lemat 1.3.6. Niech A : X ⊃ D(A)→ X b edzie operatorem liniowym na przestrzeni BanachaX, na ktorej mamy zadany rozk lad na sum e prost a przestrzeni domkni etych X = X−⊕X0⊕X+

taki, ze X0, X− ⊂ D(A), A(X0) ⊂ X0, A(X−) ⊂ X− oraz A(D(A) ∩ X+) ⊂ X+. Niechoperator Ai : Xi ⊃ D(Ai) → Xi b edzie cz esci a operatora A w przestrzeni Xi dla i = 0,−,+.Jesli −A jest generatorem C0 po lgrupy SA(t)t≥0, to

SA(t)Xi ⊂ Xi dla t ≥ 0, i = 0,−,+

oraz dla dowolnego dla dowolnego i ∈ 0,−,+ operator −Ai generuje C0 po lgrup e SAi(t)t≥0

na Xi tak a, zeSA(t)x = SAi(t)x dla t ≥ 0, x ∈ Xi.

Dowod. Pokazemy najpierw, ze jesli λ ∈ %(A) jest liczb a rzeczywist a oraz i ∈ 0,−,+jest ustalone, to (λI − A)−1Xi ⊂ Xi. W tym celu wezmy y ∈ Xi oraz niech xj ∈ Xj , dlaj = 0,−,+, b ed a takie, ze x0 + x− + x+ = x := (λI −A)−1y. Skoro x, x−, x0 ∈ D(A) mamyrowniez, ze x+ ∈ D(A) oraz

(λI −A)x0 + (λI −A)x− + (λI −A)x+ = y.

Ponadto na podstawie za lozenia λxj − Axj ∈ Xj dla j = 0,−,+, a poniewaz y ∈ Xi, mamyw konsekwencji, ze λxi − Axi = y oraz λxj − Axj = 0 dla j 6= i. W szczegolnosci implikujeto, ze xj = 0 dla j 6= i, gdyz λ ∈ %(A). Dlatego (λI −A)−1y = xi ∈ Xi, czyli (λI −A)−1Xi ⊂Xi dla i = 0,−,+. Korzystaj ac teraz z domkni etosci przestrzeni Xi i Twierdzenia 1.3.5otrzymujemy, ze SA(t)Xi ⊂ Xi. Niech teraz rodzina Ti(t)t≥0 b edzie C0 po lgrup a operatorowograniczonych na przestrzeni Banacha Xi dan a jako

Ti(t)x = SA(t)x dla t ≥ 0, x ∈ Xi

oraz niech Bi : D(Bi)→ Xi b edzie jej generatorem. Dla x ∈ D(Bi) mamy

Bix = limt→0+

Ti(t)x− xt

.

Oznacza to, ze x ∈ D(A) oraz −Ax = Bix. Zatem D(Bi) ⊂ D(A) ∩ Xi. Niech teraz x ∈D(A) ∩Xi. Wtedy

−Ax = limt→0+

SA(t)x− xt

= limt→0+

Ti(t)x− xt

,

co implikuje, ze x ∈ D(Bi) oraz Bix = −Ax. W konsekwencji −Ai = Bi oraz SA(t)x =SAi(t)x dla t ≥ 0 oraz x ∈ Xi, co konczy dowod.

Na zakonczenie przytoczymy nast epuj ace twierdzenie spektralne dla C0 po lgrup.

Twierdzenie 1.3.7. (patrz [32, Theorem 16.7.2]) Niech SA(t)t≥0 b edzie C0 po lgrup a nazespolonej przestrzeni Banacha X, generowan a przez operator −A. Wtedy

e−tσp(A) ⊂ σp(SA(t)) ⊂ e−tσp(A) ∪ 0 dla t > 0.

Ponadto, jesli λ ∈ C jest dowolne, to

Ker (e−λtI − SA(t)) = span

(⋃k∈Z

Ker (λk,tI −A)

), (3.15)

gdzie λk,t = λ+ (2kπ/t)i dla k ∈ Z.

1.4. Operatory wycinkowe 23

1.4 Operatory wycinkowe

Definicja 1.4.1. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie domkni etym g esto okreslonym operato-rem w przestrzeni Banacha X. Operator A b edziemy nazywac operatorem wycinkowym, jesliistniej a sta le M0 > 0, a ∈ R oraz sta la 0 < ϕ < π

2 taka, ze:

(a) zbior rezolwenty %(A) operatora A zawiera wycinek Σa,ϕ dany jako

Σa, ϕ = λ ∈ C | λ 6= a, ϕ < | Arg(λ− a)| ≤ π,

(b) ‖(λI −A)−1‖L(X) ≤M0/|λ− a| dla λ ∈ Σa,ϕ.

aσ(A)

−ϕ

ϕ

O

Σa,ϕ

Rysunek 1.1: Spektrum operatora wycinkowego A

Kolejne dwa stwierdzenia s a pomocne przy konstruowaniu przyk ladow operatorow wycin-kowych.

Stwierdzenie 1.4.2. (patrz [10, Proposition 1.3.2]) Niech A : X ⊃ D(A) → X b edziedodatnio okreslonym operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X. Jesli B : X →X jest operatorem ograniczonym, to operator A + B z dziedzin a D(A + B) := D(A) jestoperatorem wycinkowym na X.

Stwierdzenie 1.4.3. (patrz [10, Proposition 1.3.3]) Niech A : X ⊃ D(A) → H b edzieoperatorem samosprz ezonym na rzeczywistej przestrzeni Hilberta H z iloczynem skalarnym〈·, ·〉 i norm a ‖ · ‖ takim, ze spe lniona jest nierownosc

〈Ax, x〉 ≥ m‖x‖2 dla x ∈ D(A), (4.16)

gdzie m ∈ R jest pewna sta l a. Wowczas A jest operatorem wycinkowym.

W powyzszym stwierdzeniu A jest operatorem samosprz ezonym i dlatego jego spek-trum miesci sie na osi liczb rzeczywistych. Dodatkowo spe lniona jest nierownosc (4.16),ktora implikuje, ze zawiera si e ono w po lp laszczyznie z ∈ C | Re z ≥ m i tym samymσ(A) ⊂ z ∈ C | Re z ≥ m, Im z = 0 (patrz Rysunek 1.2). Rozwazania te prowadz a nas donast epuj acej definicji.

Definicja 1.4.4. Powiemy, ze operator wycinkowy A jest dodatnio okreslony, jesli Reσ(A) >0, czyli Re z > 0 dla dowolnego z ∈ σ(A).


m−1σ(A)

−π4

π4

mO

Σm−1,π4

Rysunek 1.2: Spektrum operatora samosprz ezonego A

Stwierdzenie 1.4.5. (patrz [50], [30]) Za lozmy, ze A : X ⊃ D(A) → X jest operatoremwycinkowym na przestrzeni Banacha X. Wowczas:

(a) operator −A jest generatorem rownoci ag lej C0 po lgrupy SA(t)t≥0,

(b) jesli dodatkowo operator A : X ⊃ D(A)→ X jest dodatnio okreslony, to istniej a sta leM ≥ 1 oraz δ > 0 takie, ze po lgrupa ta spe lnia oszacowanie

‖SA(t)‖ ≤Me−δt dla t ≥ 0.

Jesli A : X ⊃ D(A) → X jest dodatnio okreslonym operatorem wycinkowym na prze-strzeni Banacha X oraz α > 0, to definiujemy pot eg e u lamkow a operatora A rz edu −α jako

A−α :=1

Γ(α)

∫ ∞0

tα−1SA(t) dt, (4.17)

gdzie Γ: (0,+∞)→ R jest funkcj a Eulera dan a wzorem

Γ(x) :=

∫ ∞0

tx−1e−t dt dla x > 0.

Na podstawie punktu (b) Stwierdzenia 1.4.5, ca lka niew lasciwa okreslona we wzorze (4.17)jest, zbiezna w topologii jednostajnej operatorow. Aby to sprawdzic, wystarczy zauwazyc, ze

‖tα−1SA(t)‖ ≤ ϕ(t) dla t ∈ (0,+∞),

gdzie funkcja ϕ : (0,+∞)→ R dana wzorem

ϕ(t) :=

Mtα−1 dla t ∈ (0, 1],

Me−δt dla t ∈ [1,+∞)

posiada ca lk e niew lasciw a na przedziale (0,+∞]. Implikuje to, ze A−α jest elementem prze-strzeni L(X). Wiadomo rowniez (patrz Lemat 2.6.6 w [50]), ze operator A−α jest rozno-wartosciowy i dlatego, dla dowolnego α > 0, mozemy zdefiniowac jego operator odwrotnyAα : D(Aα)→ X dany wzorem

D(Aα) = Im (A−α) oraz Aαx := (A−α)−1x dla x ∈ D(Aα).


Ponadto k ladziemy

D(Aα) = X oraz Aα := I gdy α = 0.

Zatem mozemy zdefiniowac rodzin e przestrzeni unormowanych (Xα, ‖ · ‖α)α≥0, gdzie

Xα := D(Aα) oraz ‖x‖α := ‖Aαx‖ dla x ∈ Xα.

Mozna sprawdzic, ze norma ‖ · ‖α na przestrzeni Xα jest rownowazna z norm a wykresow aoperatora Aα dan a wzorem

‖x‖D(Aα) := ‖Aαx‖+ ‖x‖ dla x ∈ D(Aα),

czyli istniej a sta le c1, c2 > 0 takie, ze

c2‖x‖α ≤ ‖Aαx‖+ ‖x‖ ≤ c1‖x‖α dla x ∈ Xα. (4.18)

Poniewaz operator Aα jest domkni ety, Stwierdzenie 1.1.1 mowi, ze para (Xα, ‖ · ‖D(Aα)) jestprzestrzeni a Banacha, co na podstawie nierownosci (4.18) implikuje, ze dla dowolnego α ≥ 0przestrzen (Xα, ‖ · ‖α) jest rowniez przestrzeni a Banacha.

Ponizsze twierdzenie zawiera podstawowe fakty dotycz ace operatorow wycinkowych i wy-znaczanych przez nie przestrzeni u lamkowych.

Twierdzenie 1.4.6. (patrz [50]) Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie dodatnio okreslonymoperatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X.

(a) Jesli α ≥ 0, to SA(t)X ⊂ Xα dla kazdego t > 0.

(b) Jesli α ≥ 0 oraz x ∈ D(Aα), to

SA(t)Aαx = AαSA(t)x dla t ≥ 0.

(c) Jesli α ≥ 0 to istniej a liczby c > 0, Mα > 0 takie, ze dla t > 0

AαSA(t) ∈ L(X) oraz ‖AαSA(t)‖ ≤Mαt−αe−ct.

(d) Jesli α, β ∈ R, to dla dowolnego x ∈ D(Aγ), gdzie γ = max(α, β, α+ β), mamy

Aα+βx = AαAβx.

Kolejne stwierdzenie charakteryzuje w lozenia mi edzy przestrzeniami u lamkowymi.

Stwierdzenie 1.4.7. (patrz [30, Theorem 1.4.8]) Niech A : X ⊃ D(A)→ X b edzie dodatniookreslonym operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X o zwartych rezolwentach. Jesli1 ≥ α > β ≥ 0, to w lozenie Xα ⊂ Xβ jest ci ag le i zwarte.

Uwaga 1.4.8. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem wycinkowym na przestrzeniBanacha X takim, ze Reσ(A) > 0.

(a) Rodzina SA(t)|Xα : Xα → Xαt≥0 jest poprawnie zdefiniowan a C0 po lgrup a na prze-strzeni Xα. Rzeczywiscie, punkt (a) z Twierdzenia 1.4.6 implikuje, ze SA(t)Xα jest pod-zbiorem przestrzeni Xα dla t ≥ 0, czyli rodzina SA(t)|Xαt≥0 jest poprawnie zdefiniowan apo lgrup a. Ponadto z punktu (b) Twierdzenia 1.4.6 wynika, ze dla dowolnego t ≥ 0 oraz x ∈ Xα

‖SA(t)x‖α = ‖AαSA(t)x‖ = ‖SA(t)Aαx‖ ≤ ‖SA(t)‖‖Aαx‖ = ‖SA(t)‖‖x‖α,


a st ad operator SA(t)|Xα jest ograniczony dla dowolnego t ≥ 0 jako odwzorowanie z Xα doXα. Ponadto dla x ∈ Xα

limt→0+

‖SA(t)|Xαx− x‖α = limt→0+

‖AαSA(t)x−Aαx‖ = limt→0+

‖SA(t)Aαx−Aαx‖ = 0,

co dowodzi, ze rodzina SA(t)|Xαt≥0 jest C0 po lgrup a na Xα.

(b) Jesli SA(t)t≥0 jest zwart a po lgrup a, to po lgrupa SA(t)|Xαt≥0 jest rowniez zwarta.Aby to sprawdzic wezmy t > 0 oraz ci ag (xn)n≥1, ktory jest ograniczony w Xα. Wystarczysprawdzic, ze zbior SA(t)xn | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w Xα, co jest rownowazne zpokazaniem, ze zbior

AαSA(t)xn | n ≥ 1 = SA(t)Aαxn | n ≥ 1

jest relatywnie zwarty w X. To zas jest konsekwencj a ograniczonosci ci agu (Aαxn)n≥1 wprzestrzeni X oraz zwartosci po lgrupy SA(t)t≥0.

(c) Jesli przestrzen Banacha X jest osrodkowa, to dla dowolnego α ≥ 0 przestrzen Xα jestrowniez osrodkowa. Aby to sprawdzic, wystarczy zauwazyc, ze jesli xn | n ≥ 1 jest g estym iprzeliczalnym podzbiorem przestrzeniX, toO := A−αxn | n ≥ 1 jest g estym i przeliczalnympodzbiorem przestrzeni Xα. Rzeczywiscie, niech y0 ∈ Xα b edzie ustalone. Wtedy istnieje ci ag(xnk)k≥1 taki, ze xnk → Aαy0, gdy k → +∞. Wtedy ci ag (yk)k≥1, gdzie yk := A−αxnk (k ≥ 1)jest taki, ze yk → y0 w przestrzeni Xα gdy k → +∞, co dowodzi, ze zbior O jest osrodkiemprzestrzeni Xα.

Uwaga 1.4.9. Jesli A : X ⊃ D(A) → X jest operatorem wycinkowym na przestrzeniBanacha X, niekoniecznie dodatnio okreslonym, to z definicji operatora wycinkowego wynika,ze zawsze znajdziemy liczb e δ ∈ R tak a, ze operator przesuni ety Aδ := A+ δI jest dodatniookreslony. Dlatego w przypadku operatora A mozemy rozwazac przestrzen u lamkow a dan ajako Xδ,α := D((A+ δI)α) z norm a

‖x‖δ,α = ‖(A+ δI)αx‖ dla x ∈ Xα.

Nast epuj acy lemat mowi nam, ze przestrzen u lamkowa Xδ,α nie zalezy od wyboru δ orazrozne wybory tego parametru daj a rownowazne normy ‖ · ‖δ,α.

Lemat 1.4.10. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem wycinkowym. Jesli α ∈ (0, 1)oraz δ1, δ2 s a liczbami rzeczywistymi takimi, ze operatory A + δ1I oraz A + δ2I s a dodatniookreslone, to D((A+ δ1I)α) = D((A+ δ2I)α) oraz istniej a sta le c1, c2 > 0 takie, ze

c1‖(A+ δ1I)αx‖ ≤ ‖(A+ δ2I)αx‖ ≤ c2‖(A+ δ1I)αx‖ dla x ∈ D((A+ δ1I)α).

W uzasadnieniu powyzszego lematu wykorzystamy nast epuj acego stwierdzenie.

Stwierdzenie 1.4.11. (patrz [30, Twierdzenie 1.4.6]) Za lozmy, ze B1 : X ⊃ D(B1) → X,B2 : D(B2)→ X s a dodatnio okreslonymi operatorami wycinkowymi na przestrzeni BanachaX takimi, ze dla pewnego α ∈ (0, 1) operator (B1 − B2)B−α1 jest ograniczony na X. Wtedy

dla dowolnego β ∈ [0, 1] operatory Bβ1B−β2 oraz Bβ

2B−β1 s a ograniczone w X.

Dowod Lematu 1.4.10. Zaczynamy od pokazania, ze D(A + δ1I)α ⊂ D(A + δ2I)α. Napodstawie Stwierdzenia 1.4.7 dziedzina D(A) jest g estym podzbiorem przestrzeni D((A +δ1I)α), a zatem dla dowolnego x0 ∈ D(A+ δ1I)α istnieje ci ag (xn)n≥1 w D(A) taki, ze

yn := (A+ δ1I)αxn → (A+ δ1I)αx0 =: y0 gdy n→ +∞.


Bior ac B1 := A+ δ1I oraz B2 := A+ δ2I widzimy, ze (B1 −B2)B−α1 = (δ1 − δ2)(A+ δ1I)−α

jest ograniczony operatorem na X, a zatem na podstawie Stwierdzenia 1.4.11 istnieje M > 0takie, ze

‖(A+ δ2I)α(A+ δ1I)−αyn‖ = ‖Bα2B−α1 yn‖ ≤M‖yn‖ dla n ≥ 1 oraz

‖(A+ δ2I)α(A+ δ1I)−α(yn − ym)‖ ≤M‖yn − ym‖ dla n,m ≥ 1.(4.19)

Poniewaz ci ag (yn)n≥1 jest zbiezny w X, powyzsze oszacowania pokazuj a, ze ci ag zn :=(A+ δ2I)α(A+ δ1I)−αyn dla n ≥ 1, spe lnia w X warunek Cauchy’ego, a zatem zn → z0 w Xgdy n → +∞. Poniewaz xn → x0 w X gdy n → +∞, z domkni etosci operatora (A + δ2I)α

mamy, ze x0 ∈ D((A+ δ2I)α) oraz (A+ δ2I)αx0 = z0. Ponadto z nierownosci (4.19) mamy

‖(A+ δ2I)αx0‖ ≤M‖(A+ δ1I)αx0‖.

W analogiczny sposob pokazujemy, ze D((A+ δ2I)α) ⊂ D((A+ δ1I)α) oraz

‖(A+ δ1I)αx0‖ ≤M‖(A+ δ2I)αx0‖ dla x0 ∈ D((A+ δ2I)α)

i w ten sposob konczymy dowod lematu.

Nast epuj acy lemat charakteryzuje zachowanie si e operatorow wycinkowych na przestrzeniliniowej z zadanym rozk ladem na sum e prost a.

Lemat 1.4.12. Za lozmy, ze dany jest operator wycinkowy A : X ⊃ D(A)→ X na przestrzeniBanacha X, na ktorej mamy zadany rozk lad na sum e prost a przestrzeni domkni etych X =X−⊕X0⊕X+ o tej w lasnosci, ze przestrzenie X0 oraz X− s a skonczenie wymiarowe i ponadtoX0, X− ⊂ D(A), A(X0) ⊂ X0, A(X−) ⊂ X− oraz A(D(A) ∩X+) ⊂ X+. Niech δ > 0 b edzietakie, ze Re z > 0 dla z ∈ σ(A + δI) oraz niech Aαδ := (A + δI)α dla α ∈ (0, 1). Ponadtoza lozmy, ze operator Ai : Xi ⊃ D(Ai) → Xi jest cz esci a operatora A w przestrzeni Xi dlai = 0,−,+. Wowczas

(a) dla dowolnego i ∈ 0,−,+ operatory Ai s a rowniez wycinkowe oraz Reσ(Ai+δI) > 0,

(b) dla dowolnego i ∈ 0,−,+ mamy D((Ai + δI)α) ⊂ D((A+ δI)α) oraz

(Ai + δI)αx = (A+ δI)αx dla x ∈ D((Ai + δI)α).

(c) jesli λ ∈ σ(A) oraz operatory A+ oraz A− s a takie, ze Reµ < 0 dla µ ∈ σ(A− − λI)oraz Reµ > 0 dla µ ∈ σ(A+ − λI), to istniej a dodatnie sta le cα oraz Cα takie, ze

‖Aαδ SA(t)x‖ ≤ Cαt−α e−(λ+cα)t‖x‖ dla t > 0, x ∈ X+, (4.20)

‖SA(t)x‖ ≤ Cαe−(λ+cα)t‖x‖ dla t ≥ 0, x ∈ X+ (4.21)

‖SA(t)x‖ ≤ Cαe−(λ−cα)t‖x‖ dla t ≤ 0, x ∈ X−, (4.22)

gdzie SA(t)x := exp(−tA−)x dla t ∈ R oraz x ∈ X− jest naturalnym rozszerzeniempo lgrupy SA(t)t≥0 na przestrzeni X−.

Dowod. (a) Jesli i ∈ 0,−,+ jest ustalone, to podstawie Lematu 1.2.2 mamy %(A) ⊂ %(Ai)oraz

(λI −Ai)−1x = (λI −A)−1x dla x ∈ Xi.

Zatem jesli Σa, ϕ ⊂ %(A) to Σa, ϕ ⊂ %(Ai) i ponadto dla dowolnego λ ∈ Σa, ϕ

‖(λI −Ai)−1x‖ ≤ ‖(λI −A)−1x‖ ≤M/|λ− a|‖x‖ dla x ∈ Xi,


przy czy ostatnia nierownosc wynika z faktu, ze operator A jest wycinkowy. Dowodzi to, zeoperator Ai rowniez jest wycinkowy oraz Reσ(Ai + δI) > 0, co konczy dowod punktu (a).

(b) Niech i ∈ 0,−,+ b edzie ustalone. Na podstawie Lematu 1.3.6 mamy, ze

SAi(t)x = SA(t)x dla t ≥ 0, x ∈ Xi, (4.23)

co w po l aczeniu ze wzorem (4.17) oznacza, ze

(Ai + δI)−αx = (A+ δI)−αx dla x ∈ Xi. (4.24)

W konsekwencji D((Ai + δI)α) ⊂ D((A+ δI)α) oraz

(Ai + δI)αy = (A+ δI)αy dla y ∈ D((Ai + δI)α),

co konczy dowod punktu (b).

(c) Poniewaz Reσ(A+ − λI) > 0, punkt (c) Twierdzenia 1.4.6 implikuje, ze

‖(A+ − λI)αSA+−λI(t)x‖ ≤Mαt−αe−ct‖x‖ dla t > 0, x ∈ X+, (4.25)

gdzie Mα, c > 0 s a pewnymi sta lymi. Poniewaz Reσ(A+ + δI) > 0, na podstawie Lematu1.4.10 mamy, ze D((A+ + δI)α) = D((A+ − λI)α) oraz istnieje sta la C > 0 taka, ze

‖(A+ + δI)αx‖ ≤ C‖(A+ − λI)αx‖ dla x ∈ D((A+ + δI)α). (4.26)

Ponadto punkt (a) z Twierdzenia 1.4.6 implikuje, ze SA+−λI(t)X+ ⊂ D(A+) dla t > 0, cowraz z (4.26) daje

‖(A+ + δI)αSA+−λI(t)x‖ ≤ C‖(A+ − λI)αSA+−λI(t)x‖ dla t > 0, x ∈ X+. (4.27)

L acz ac ze sob a (4.23), (4.24), (4.27) oraz (4.25) wnosimy, ze dla x ∈ X+

‖eλtAαδ SA(t)x‖ = ‖Aαδ SA−λI(t)x‖ = ‖Aαδ SA+−λI(t)x‖ = ‖(A+ + δI)αSA+−λI(t)x‖≤ C‖(A+ − λI)αSA+−λI(t)x‖ ≤ CMαt

−αe−ct‖x‖,

co w konsekwencji daje (4.20), jesli tylko przyjmiemy Cα := CMα oraz cα := c.

Skoro σ(A+) ⊂ z ∈ C | Re z > 0 na podstawie punktu (b) Stwierdzenia 1.4.5, mozemyistniej a sta le M, c > 0 takie, ze

‖SA+(t)x‖ ≤Me−δt‖x‖ dla x ∈ X+, t ≥ 0,

co w po l aczeniu z (4.23) daje nierownosc (4.21). Aby sprawdzic nierownosc (4.22) zauwazmy,ze zgodnie z za lozeniem λI−A− jest dodatnio okreslonym operatorem wycinkowym, a zatemna podstawie punktu (b) ze Stwierdzenia 1.4.5, istniej a sta le M, c > 0 takie, ze

‖SλI−A−(t)‖ ≤Me−ct dla t ≥ 0.

Zatem widzimy, ze dla dowolnych x ∈ X− oraz t ≤ 0

eλt‖SA−(t)x‖ = eλt‖ exp(−tA−)x‖ = ‖ exp(t(λI −A−))x‖ = ‖SλI−A−(−t)x‖ ≤Mect‖x‖.

Dlatego bior ac Cα := M oraz cα := c otrzymujemy nierownosc (4.22).

1.5. Rozk lady spektralne 29

1.5 Operator hiperboliczny

1.5.1 Spektrum

Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem wycinkowym na rzeczywistej przestrzeniBanacha X. Zgodnie z Uwag a 1.4.9 istnieje sta la δ > 0 taka, ze operator Aδ := A + δI jestdodatnio okreslony i wyznacza przestrzen Xα := D(Aαδ ) (α ∈ (0, 1)) z norm a

‖x‖α = ‖Aαδ x‖ dla x ∈ Xα.

Za lozmy, ze Y ⊂ X jest przestrzeni a Banacha z norm a ‖ · ‖Y tak a, ze D(A) ⊂ Y oraz

‖x‖ ≤ C‖x‖Y dla x ∈ Y, (5.28)

gdzie C > 0 jest pewn a sta l a. Niech A : Y ×X ⊃ D(A)→ Y ×X b edzie operatorem liniowymdanym wzorem

D(A) := (x, y) ∈ Y ×X | x+ cy ∈ D(A),A(x, y) := (−y,A(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A),

(5.29)

gdzie λ jest liczb a rzeczywist a, zas c > 0.

Uwaga 1.5.1. (a) Kompleksyfikacja AC : (Y ×X)C ⊃ D(AC)→ (Y ×X)C operatora A mozebyc utozsamiana z dok ladnosci a do sprz ezenia z operatorem B : YC×Xα

C ⊃ D(B)→ YC×XαC

danym wzorem

D(B) := (x, y) ∈ YC ×XC | x+ cy ∈ D(AC),B(x, y) := (−y,AC(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(B).

Aby to sprawdzic wystarczy wzi ac homeomorfizm C-liniowy U : (Y ×X)C → YC ×XC danywzorem

U((x1, y1) + i(x2, y2)) := (x1 + ix2, y1 + iy2) dla (x1, y1) + i(x2, y2) ∈ (Y ×X)C.

Wtedy nietrudno dostrzec, ze UAC = BU . Dlatego w dalszym ci agu rozumowania, mowi aco kompleksyfikacji operatora A, b edziemy miec na mysli operator B.

(b) Sprawdzimy, ze operator A jest domkni ety. W tym celu wezmy ci ag (xn, yn), n ≥ 1 taki,ze (xn, yn) → (x0, y0) oraz A(xn, yn) = (−yn, A(xn + cyn) − λxn) → (a0, b0) w Y × X gdyn → +∞. Zatem xn → x0 oraz −yn → a0 w Y gdy n → +∞, co wobec nierownosci (5.28)oznacza, ze xn → x0 oraz −yn → a0 w X gdy n→ +∞. Dlatego −y0 = a0 oraz

xn + cyn → x0 + cy0, A(xn + cyn)→ λx0 + b0 w X, gdy n→ +∞.

Poniewaz operator A jest domkni ety, x0 + cy0 ∈ D(A) oraz A(x0 + cy0) = λx0 + b0. Wynikast ad, ze (x0, y0) ∈ D(A) oraz A(x0, y0) = (−y0, A(x0 + cy0) − λx0) = (a0, b0), co dowodzidomkni etosci operatora A.

Twierdzenie 1.5.2. Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie domkni etym operatorem liniowymna rzeczywistej przestrzeni liniowej X, ktorego spektrum σ(A) stanowi ci ag rzeczywistychwartosci w lasnych (λi)i≥1 takich, ze

λ1 < λ2 < . . . < λi < λi+1 < . . . .


Za lozmy, ze A : Y ×X ⊃ D(A)→ Y ×X jest operatorem liniowym danym wzorem (5.29).

(i) Jesli µ ∈ C\1/c, to (x, y) ∈ Ker (µI−AC) wtedy i tylko wtedy, gdy (x, y) = (w,−µw)dla pewnego

w ∈ Ker

(λ− µ2

1− cµ I −AC

).

(ii) Zbior σ(A) \ 1/c sk lada si e z wartosci w lasnych operatora AC.

Dowod. Zaczynamy od dowodu punktu (i). Zak ladamy, ze µ ∈ C \ 1/c oraz µ(x, y) =AC(x, y) dla pewnego (x, y) 6= 0. Oznacza to, ze x+ cy ∈ D(AC) oraz

µx = −y, µy = AC(x+ cy)− λx. (5.30)

Zatem x 6= 0, (1− cµ)x in D(AC) oraz (λ− µ2)x = AC((1− cµ)x), co oznacza, ze

λ− µ2

1− cµx = ACx orazλ− µ2

1− cµ = λl dla pewnego l ≥ 1.

Wtedy x ∈ Ker (λlI − AC) oraz (x, y) = (x,−µx). Z drugiej strony, jesli (x, y) = (w,−µw)dla pewnego

w ∈ Ker

(λ− µ2

1− cµ I −AC

),

to x+ cy ∈ D(AC) oraz

µy −AC(x+ cy) + λx = (λ− µ2)w −AC((1− cµ)w) = (λ− µ2)w − (1− cµ)ACw = 0.

W konsekwencji µ(x, y) = AC(x, y), co konczy dowod punktu (i).Aby uzasadnic punkt (ii) wezmy µ ∈ σ(A) \ 1/c takie, ze Ker (µI − AC) = 0.

Jesli pokazalibysmy, ze dla dowolnego (f, g) ∈ YC × XC istnieje (x, y) ∈ D(AC) takie, zeµ(x, y) − AC(x, y) = (f, g), to dowiedlibysmy istnienie operatora odwrotnego (µI − AC)−1.Na podstawie punktu (b) Uwagi 1.5.1 operator AC jest domkni ety, a zatem operator odwrotny(µI − AC)−1 by lby rowniez domkni ety. Poniewaz Y jest przestrzeni a Banacha, Y × X jestrowniez przestrzeni a Banacha, a zatem z twierdzenia o domkni etym wykresie otrzymalibysmywtedy, ze (µI − AC)−1 jest operatorem ograniczonym na Y × X. Dlatego µ ∈ %(A), coprzeczy loby za lozeniu i dowodzi loby, ze Ker (µI−AC) 6= 0. Wezmy zatem (f, g) ∈ YC×XCi rozwazmy rownania

µx = −y + f, µy = AC(x+ cy)− λx+ g. (5.31)

Mnoz ac pierwsze z tych rownan przez cλ− µ, zas drugie przez 1− µc otrzymujemy

(cλ− µ)µx = −(cλ− µ)y + (cλ− µ)f

(1− µc)µy = (1− µc)AC(x+ cy)− (1− µc)λx+ (1− µc)g,

co po dodaniu stronami implikuje

(λ− µ2)(x+ cy) = (1− µc)AC(x+ cy) + (1− µc)h,

gdzie h = (cλ− µ)/(1− cµ)f + g, i tym samym

λ− µ2

1− cµ (x+ cy) = AC(x+ cy) + h.


Zauwazmy, ze (λ−µ2)/(1−cµ) nalezy do zbioru rezolwenty operatora AC, gdyz w przeciwnymwypadku, zgodnie z za lozeniem, istnia loby w 6= 0 takie, ze

w ∈ Ker

(λ− µ2

1− cµ I −AC

).

Poniewaz µ 6= 1/c, z udowodnionego juz punktu (i) wynika, ze

(w,−µw) ∈ Ker (µI − AC),

a to przeczy za lozeniu, gdyz (w,−µw) 6= 0. Zatem

x+ cy = b :=

(λ− µ2

1− µc I −AC

)−1

h,

co pozwala zdefiniowac szukan a par e (x, y) jako

x :=1

1− µc(b− cf) oraz y :=1

1− µc(f − µb).

Skoro b ∈ D(AC) ⊂ YC oraz f ∈ YC, to mamy tez (b−cf) ∈ YC i tym samym x ∈ YC. Ponadtox + cy = b ∈ D(AC), a zatem (x, y) ∈ D(AC). Pozostaje sprawdzic, ze spe lnione rownania(5.31). Aby sprawdzic pierwsze z nich zauwazmy, ze

µx =µ

1− µc(b− cf) = − 1

1− µc(f − µb) + f = −y + f.

Aby zweryfikowac drugie rownanie zapiszmy ci ag rownowaznych ze sob a rownosci

µy = AC(x+ cy)− λx+ g

µ

1− µc(f − µb) = ACb−λ

1− µc(b− cf) + g

λ− µ2

1− µc b−ACb =cλ− µ1− µc f + g

h =cλ− µ1− µc f + g.

Poniewaz ostatnia rownosc jest prawdziwa dowod punktu (ii) zosta l zakonczony.

1.5.2 Rozk lady spektralne

Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem wycinkowym na rzeczywistej przestrzeniBanacha X takim, ze spe lnione s a nast epuj ace za lozenia:

(A1) operator A ma zwarte rezolwenty,

(A2) istnieje przestrzen Hilberta H z iloczynem skalarnym 〈 · , · 〉H oraz norm a ‖ · ‖H orazci ag le liniowe odwzorowanie roznowartosciowe (w lozenie) i : X → H,

(A3) istnieje samosprz ezony operator liniowy A : H ⊃ D(A)→ H taki, ze Gr (A) ⊂ Gr (A),

przy czym zawieranie si e wykresow rozumiemy sensie inkluzji X ×X i×i−−→ H ×H.


Uwaga 1.5.3. Spektrum σ(A) sk lada si e z ci agu (byc moze skonczonego) rzeczywistychwartosci w lasnych. Istotnie, operator A ma zwarte rezolwenty, a zatem na podstawie Uwagi1.2.3 operator AC tez ma zwarte rezolwenty. Dlatego na mocy Twierdzenia 1.2.12

σ(A) = σ(AC,C) = σp(AC,C) = λi | i ≥ 1,

gdzie (λi) jest skonczony lub |λi| → +∞ gdy n → +∞. Ponadto, jesli λ ∈ C jest wartosci aw lasn a operatora AC, to jest rowniez wartosci a w lasn a symetrycznego operatora AC i tymsamym jest liczb a rzeczywist a.

Wobec powyzszej uwagi spektrum σ(A) operatora A mozemy przedstawic w postaci ro-sn acego ci agu liczb rzeczywistych

λ1 < λ2 < . . . < λi < λi+1 < . . . dla i ≥ 1,

ktory jest skonczony lub λi → +∞ gdy i→ +∞.Naszym pierwszym krokiem b edzie dowod ponizszego twierdzenia mowi acego o rozk ladzie

spektralnym operatora A.

Twierdzenie 1.5.4. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1 jest wartosci a w lasn a operatora A orazX0 := Ker (λI − A), to istniej a domkni ete podprzestrzenie X+, X− przestrzeni X takie, zeX = X+ ⊕X− ⊕X0 oraz spe lnione s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) X− ⊂ D(A), A(X−) ⊂ X−, A(X+ ∩ D(A)) ⊂ X+ i ponadto X− jest przestrzeni askonczenie wymiarow a tak a, ze

X− = 0 jesli k = 1 oraz X− =k−1⊕i=1

Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2. (5.32)

St ad dimX− = 0 jesli k = 1 oraz dimX− =∑k−1

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2.

(ii) Jesli A+ : X+ ⊃ D(A+)→ X+ oraz A− : X− ⊃ D(A−)→ X− s a cz esciami operatoraA odpowiednio w przestrzeni X+ oraz X−, to

σ(A+) = λi | i ≥ k + 1, σ(A−) =

∅ jesli k = 1,

λi | i = 1, . . . , k − 1 jesli k ≥ 2.

(iii) Przestrzenie X0, X− oraz X+ s a wzajemnie ortogonalne ze wzgl edu na iloczyn skalarny〈 · , · 〉H , czyli,

〈i(ul), i(um)〉H = 0

dla ul ∈ Xl oraz um ∈ Xm gdzie l,m ∈ 0,−,+, l 6= m.

W dowodzie wykorzystamy nast epuj acy techniczny lemat.

Lemat 1.5.5. Niech B : V → V b edzie operatorem liniowym na skonczenie wymiarowejrzeczywistej przestrzeni liniowej V takiej, ze V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . . ⊕ Vl (l ≥ 1) oraz Bx = νixdla x ∈ Vi, gdzie νi ∈ R (1 ≤ i ≤ l). Wowczas

(a) σ(B,R) = σ(B) = νi | 1 ≤ i ≤ l,(b) Dla dowolnego 1 ≤ i ≤ l mamy, ze Nνi(B) = Ker (νiI −B).

Dowod. (a) Wystarczy dowiesc, ze σ(B) ⊂ νi | 1 ≤ i ≤ l. Inkluzja przeciwna jestoczywista. W tym celu niech ν ∈ C b edzie takie, ze νz = BCz dla pewnego z := x+ iy ∈ VC,


z 6= 0. Wtedy VC = V1 × V1 ⊕ V2 × V2 ⊕ . . . ⊕ Vl × Vl oraz BCz = νiz dla z ∈ Vi × Vi(1 ≤ i ≤ l). Zatem z = z1 + z2 + . . .+ zl gdzie zi ∈ Vi × Vi (1 ≤ i ≤ l) i dlatego νz = BCz =ν1z1 + ν2z2 + . . . + νlzl. Poniewaz z 6= 0, istnieje 1 ≤ i ≤ l takie, ze zi 6= 0 i tym samymν = νi, co dowodzi z adanej inkluzji.

(b) Wystarczy dowiesc, ze Nνi(B) ⊂ Ker (νiI − B). Wezmy x ∈ Nνi(B) \ 0. Wtedyistnieje i0 ≥ 1 takie, ze (νiI − B)i0x = 0 oraz elementy xi ∈ Vi (1 ≤ i ≤ l) takie, zex = x1 + x2 + . . .+ xl. St ad

0 = (νiI −B)i0x = (νiI −B)i0x1 + (νiI −B)i0x2 + . . .+ (νiI −B)i0xl

= (νi − ν1)i0x1 + (νi − ν2)i0x2 + . . .+ (νi − νl)i0xl.

Skoro x 6= 0 mamy rowniez, ze ktorys z elementow x1, x2, . . . , xn tez musi byc niezerowy.Niech xj 6= 0 dla pewnego 1 ≤ j ≤ l. Wtedy (νi − νj)i0xj = 0 a zatem νi = νj . Oznacza to,ze x ∈ Ker (νiI −B), co konczy dowod z adanej inkluzji i lematu.

Lemat 1.5.6. Maj a miejsce nast epuj ace stwierdzenia.

(a) Dla dowolnego l ≥ 1 zachodzi nast epuj aca rownosc

Ker (λlI −A) = Nλl(A). (5.33)

(b) Jesli Y ⊂ X jest podprzestrzeni a przestrzeni X oraz AY jest cz esci a operatora A wprzestrzeni Y , to σp(AY ) = σp(AY ,R).

Dowod. (a) Skoro operator A ma zwarte rezolwenty istnieje i0 ≥ 1 takie, ze Nλl(A) =Ker (λlI −A)i0 . Jesli wybierzemy x ∈ Ker (λlI −A)i0 to, na podstawie za lozenia (A3), mamyrowniez (λlI − A)i0i(x) = 0 i dlatego (λlI − A)i(x) = 0, gdyz operator A jest symetryczny.W konsekwencji x ∈ Ker (λlI −A), co dowodzi rownosci (5.33).

(b) Jesli λ ∈ σp(AY ), to λ jest wartosci a w lasn a operatora (AY )C, co z kolei oznacza, zejest wartosci a w lasn a operatora AC. Dlatego jest liczb a rzeczywist a, co zosta lo pokazane wUwadze 1.5.3. Wtedy z rownosci σp(AY ) ∩ R = σp(AY ,R) (patrz Uwaga 1.2.5) wynika, zeλ ∈ σp(AY ,R) i tym samym σp(AY ) ⊂ σp(AY ,R). Inkluzja przeciwna jest natychmiastowa.

Dowod Twierdzenia 1.5.4. Korzystaj ac z Twierdzenia 1.2.13 otrzymujemy rozk lad prze-strzeni X na sum e prost a przestrzeni domkni etych X = X− ⊕Nλk(A)⊕X+, gdzie

X− = 0 jesli k = 1 oraz X− =

k−1⊕i=1

Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2 i ponadto X+ =

k⋂i=1

Rλi(A).

Ponadto maj a miejsce inkluzje X− ⊂ D(A), A(X−) ⊂ X−, A(X+ ∩D(A)) ⊂ X+ oraz

σ(A+,R) = λi | i ≥ k + 1. (5.34)

Na podstawie punktu (a) Lematu 1.5.6 mamy, ze

Ker (λlI −A) = Nλl(A) dla l ≥ 1. (5.35)

Zatem przestrzen X− jest skonczenie wymiarowa oraz dimX− = 0 jesli λ = λ1 i ponadto

dimX− =

k−1∑i=1

dimNλi(A) =

k−1∑i=1

dim Ker (λiI −A),


jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 2. W ten sposob udowodnilismy punkt (i).Aby uzasadnic punkt (ii) zauwazmy, ze na podstawie punktu (b) Lematu 1.2.2 operator

A+ ma zwarte rezolwenty, a zatem na mocy Uwagi 1.2.3 operator (A+)C rowniez ma zwarterezolwenty i dlatego σ(A+) = σp(A+). Na podstawie punktu (a) Lematu 1.5.6 wnosimy, zeσp(A+) = σp(A+,R), co w po l aczeniu z (5.34) daje σ(A+) = λi | i ≥ k + 1.

Jesli k = 1 to X− = 0 a zatem σ(A−) = ∅. W przypadku gdy k ≥ 2, korzystamy zinkluzji A(X−) ⊂ X−, rownosci (5.35) oraz Lematu 1.5.5 i otrzymujemy, ze σ(A−) = λi | i =1, . . . , k − 1 i w ten sposob konczymy dowod punktu (ii).

Przechodzimy teraz do sprawdzenia punktu (iii). Wezmy teraz dowolne 1 ≤ l ≤ k orazelementy x ∈ Nλl(A), y ∈ X+. Wtedy y ∈ Rλl(A) i na podstawie (5.35) oraz definicji prze-

strzeni Rλl(A) mamy, ze i(x) ∈ Ker (λlI − A) oraz i(y) ∈ Im (λlI − A). Poniewaz operator

A jest symetryczny, daje to nam 〈i(x), i(y)〉H = 0. Zatem dla dowolnego 1 ≤ l ≤ k prze-strzenie i(Nλl(A)) oraz i(X+) s a ortogonalne, co implikuje, ze przestrzenie i(X+), i(X−) orazi(X0), i(X+) s a parami przestrzeni ortogonalne. Niech teraz x ∈ Nλk(A) oraz y ∈ Nλl(A),

gdzie 1 ≤ l ≤ k − 1. Korzystaj ac ponownie z (5.35) wnosimy, ze i(x) ∈ Ker (λkI − A) orazi(y) ∈ Ker (λlI−A), co wraz z symetrycznosci a operatora A daje nam 〈i(x), i(y)〉H = 0. Zatemprzestrzenie i(X−) oraz i(X0) s a rowniez ortogonalne i dowod punktu (iii) jest zakonczony.

Jako wniosek otrzymujemy nast epuj ace

Twierdzenie 1.5.7. Jesli λ = λk dla k ≥ 1, jest wartosci a w lasn a operatora A, to istniejerozk lad na przestrzenie domkni ete X = X+ ⊕X− ⊕X0 taki, ze

SA(t)Xi ⊂ Xi dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+,oraz spe lnione s a nast epuj ace stwierdzenia:

(i) X0 = Ker (λI −A), X− jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a tak a, ze


Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2.

St ad dimX− = 0 jesli k = 1 oraz dimX− =∑k−1

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2.

(ii) istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖Aαδ SA(t)x‖ ≤Me−(λ+c)tt−α‖x‖ dla t > 0, x ∈ X+, (5.36)

‖eλtSA(t)x‖ ≤Me−ct‖x‖ dla t ≥ 0, x ∈ X+, (5.37)

‖eλtSA(t)x‖ ≤Mect‖x‖ dla t ≤ 0, x ∈ X−, (5.38)

(iii) przestrzenie X0, X− oraz X+ s a wzajemnie ortogonalne ze wzgl edu na iloczyn skalarny〈 · , · 〉H , czyli,

〈i(ul), i(um)〉H = 0

dla ul ∈ Xl oraz um ∈ Xm gdzie l,m ∈ 0,−,+, l 6= m.

Dowod. Na podstawie Stwierdzenia 1.5.4 uzyskujemy rozk lad na sum e prost a przestrzenidomkni etych X = X0 ⊕ X− ⊕ X+ takich, ze spe lnione s a punkty (i) oraz (iii). Ponadto ztwierdzenia tego wiadomo, ze jesli A+ : X+ ⊃ D(A+)→ X+ oraz A− : X− ⊃ D(A−)→ X−s a cz esciami operatora A odpowiednio w przestrzeni X+ oraz X−, to

σ(A+) = λi | i ≥ k + 1, σ(A−) =

∅ jesli k = 1,

λi | i = 1, . . . , k − 1 jesli k ≥ 2.


Na mocy Lematu 1.3.6 spe lnione s a nast epuj ace inkluzje

SA(t)Xi ⊂ Xi dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+.

Ponadto zauwazmy, ze Reµ < 0 dla µ ∈ σ(A− − λI) oraz Reµ > 0 dla µ ∈ σ(A+ − λI) azatem punkt (c) Twierdzenia 1.4.12 implikuje istnienie sta lych c,M > 0 takich, ze spe lniones a nierownosci (5.36), (5.37) oraz (5.38).

Twierdzenie 1.5.8. Jesli λ 6∈ σ(A), to istniej a domkni ete podprzestrzenie X1, X2 przestrzeniX takie, ze X = X1 ⊕X2 i prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(a) Zachodz a inkluzje X1 ⊂ D(A), A(X1) ⊂ X1, A(X2 ∩D(A)) ⊂ X2 i ponadto X1 jestprzestrzeni a skonczenie wymiarow a tak a, ze

dimX1 =

0 jesli λ < λ1,∑k

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli λk < λ < λk+1.

(b) Jesli A1 : X1 ⊃ D(A1) → X1 oraz A2 : X2 ⊃ D(A2) → X2 s a cz esciami operatora Aodpowiednio w przestrzeni X1 oraz X2, to

σ(A1) = ∅, σ(A2) = λi | i ≥ 1 jesli λ < λ1,

σ(A1) = λi | i = 1, . . . , k, σ(A2) = λi | i ≥ k + 1 jesli λk < λ < λk+1.

Dowod. Zaczynamy od zdefiniowania rozk ladu przestrzeni X. Jesli λ < λ1 to nietrudnosprawdzic, ze szukany rozk lad otrzymujemy k lad ac X1 := 0 oraz X2 := X. Natomiast jesliλk < λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1, to na podstawie Twierdzenia 1.2.13 otrzymujemy rozk ladprzestrzeni X na sum e prost a przestrzeni domkni etych X = X1 ⊕X2, gdzie

X1 =k⊕i=1

Nλi(A) oraz X2 =k⋂i=1

Rλi(A).

Ponadto zachodz a inkluzje X1 ⊂ D(A), A(X1) ⊂ X1 oraz A(X2 ∩D(A)) ⊂ X2 oraz

σ(A1,R) = λ1, λ2, . . . , λk oraz σ(A2,R) = λi | i ≥ k + 1. (5.39)

Z punktu (a) Lematu 1.5.6 mamy, ze

Ker (λlI −A) = Nλl(A) dla l ≥ 1.

Dlatego przestrzen X− jest skonczenie wymiarowa oraz

dimX− =

k∑i=1

dimNλi(A) =

k∑i=1

dim Ker (λiI −A),

jesli λk < λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1. W ten sposob udowodnilismy punkt (i).Aby uzasadnic punkt (ii) wezmy i ∈ 1, 2. Wtedy na podstawie punktu (b) Lematu

1.2.2 operator Ai ma zwarte rezolwenty, co na mocy Uwagi 1.2.3 implikuje, ze operator (Ai)Crowniez ma zwarte rezolwenty. St ad σ(Ai) = σp(Ai). Bior ac pod uwag e punkt (b) Lematu1.5.6 wnosimy, ze σp(Ai) = σp(Ai,R), co w po l aczeniu z (5.39) konczy dowod punktu (ii).


Za lozmy teraz, ze λ = λk (k ≥ 1) jest jedn a z wartosci w lasnych operatora A. Uzyskanyw Twierdzeniu 1.5.4 rozk lad na sum e prost a przestrzeni domkni etych X = X0 ⊕ X− ⊕ X+

wyznacza ci ag le projekcje P,Q± : X → X dane dla dowolnego x ∈ X wzorem

Px = x0 oraz Q±x = x± (5.40)

gdzie x = x+ + x0 + x− dla xi ∈ Xi, i ∈ 0,−,+. Przyjmijmy rowniez Q := Q− + Q+.Poniewaz w lozenie Xα ⊂ X jest ci ag le, przestrzen Xα mozemy rowniez roz lozyc na sum eprost a przestrzeni domkni etych Xα = X0 ⊕Xα

− ⊕Xα+, gdzie

Xα− := Xα ∩X−, Xα

+ := Xα ∩X+.

W ten sposob rzuty P oraz Q± mozemy traktowac rowniez jako odwzorowania ci ag le P,Q± :Xα → Xα dane dla dowolnego x ∈ Xα wzorem (5.40).

Na przestrzeni E := Xα ×X b edziemy rowniez rozwazac operator A : E ⊃ D(A) → Edany wzorem

D(A) := (x, y) ∈ E = Xα ×X | x+ cy ∈ D(A),A(x, y) := (−y,A(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A),

(5.41)

gdzie c > 0, zas λ jest pewn a liczb a rzeczywist a. Przechodzimy do sformu lowania i dowodutwierdzenia o rozk ladzie spektralnym dla operatora A.

Twierdzenie 1.5.9. Jesli λ = λk (k ≥ 1), to istnieje rozk lad E na sum e prost a domkni etychpodprzestrzeni E := E− ⊕E0 ⊕E+, gdzie E0 = Ker (λI −A)×Ker (λI −A) taki, ze

(i) zachodz a inkluzje E− ⊂ D(A), A(E−) ⊂ E− oraz A(E+ ∩D(A)) ⊂ E+,

(ii) przestrzen E− jest skonczenie wymiarowa i ponadto

dim E− =

0 jesli λ = λ1∑k−1

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli λ = λk dla k ≥ 2,(5.42)

(iii) jesli A+ : E+ ⊃ D(A+)→ E+ oraz A− : E− ⊃ D(A−)→ E− s a cz esciami operatoraA odpowiednio w przestrzeniach E− oraz E+, to

σ(A+) ⊂ z ∈ C | Re z > 0 i ponadto σ(A−) =

∅ jesli k = 1,

µ−1 , µ−2 , . . . , µ−k−1 jesli k ≥ 2,

gdzie 0 > µ−k−1, . . . , µ−2 , µ

−1 s a rzeczywistymi wartosciami w lasnymi operatora A, ktore

b ed a zdefiniowane w Lemacie 1.5.11,

(iv) jesli P,Q−,Q+ : E → E s a rzutowaniami odpowiednio na przestrzenie E0, E− orazE+ i ponadto Q := Q− + Q−, to

P(x, y) = (Px, Py) oraz Q(x, y) = (Qx,Qy) dla (x, y) ∈ E,

gdzie P,Q : X → X s a zdefiniowane wzorem (5.40).

W dowodzie twierdzenie wykorzystamy nast epuj ace lematy.

Lemat 1.5.10. Niech V ⊂ X b edzie podprzestrzeni a tak a, ze A(D(A) ∩ V ) ⊂ V . Za lozmy,ze mamy dan a przestrzen X := (Xα ∩ V )× V . Wtedy A(D(A) ∩X) ⊂ X.


Dowod. Wezmy (x, y) ∈ D(A) ∩X. Skoro x + cy ∈ D(A) oraz x ∈ Xα mamy rowniez, zey ∈ Xα co z kolei implikuje, ze y ∈ Xα∩V . Teraz wystarczy zauwazyc, ze A(x+cy)−λx ∈ V ,gdyz x+ cy ∈ D(A) ∩ V oraz A(D(A) ∩ V ) ⊂ V . Dlatego A(x, y) ∈ X co konczy dowod.

Lemat 1.5.11. Niech λ b edzie liczb a rzeczywist a tak a, ze λk ≤ λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1oraz niech E(λi) := Ker (λiI − A) × Ker (λiI − A) dla 1 ≤ i ≤ k. Jesli µ+

i , µ−i s a liczbami

(byc moze zespolonymi) danymi jako

µ+i :=

λic+√

(λic)2 − 4(λi − λ)

2, µ−i :=

λic−√

(λic)2 − 4(λi − λ)

2dla i ≥ 1,

to prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Dla dowolnego 1 ≤ i ≤ k spe lniona jest nierownosc µ+i > 0 ≥ µ−i oraz µ−i = 0 wtedy i

tylko wtedy, gdy λ = λi = λk.

(ii) Zachodzi nast epuj aca rownosc µ ∈ σp(A) | Reµ ≤ 0 = µ−i | 1 ≤ i ≤ k.(iii) Jesli 1 ≤ i ≤ k jest dowolne, to nast epuj ace przestrzenie

E(λi)+ := (w,−µ+

i w) | w ∈ Ker (λiI−A), E(λi)− := (w,−µ−i w) | w ∈ Ker (λiI−A)

s a takie, ze E(λi)+ ⊂ Ker (µ+

i I−A), E(λi)− ⊂ Ker (µ−i I−A) oraz ma miejsce rozk lad

na sum e prost a E(λi) = E(λi)+ ⊕E(λi)

−.

Dowod. Uzasadnienie punktu (i) jest natychmiastowe. Aby uzasadnic punkt (ii) wezmyµ ∈ σp(A) takie, ze Reµ ≤ 0. Wtedy na podstawie punktu (i) Twierdzenia 1.5.2 mamy

λ− µ2

1− cµ = λi dla pewnego i ≥ 1.

Zatem spe lnione jest rownanie µ2 − cλiµ + λi − λ = 0, ktorego pierwiastkami s a liczby µ+i

oraz µ−i . Skoro λk ≤ λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1, toReµ+

i > 0 jesli i ≥ 1,

Reµ−i > 0 jesli i ≥ k + 1,

Reµ−i ≤ 0 jesli 1 ≤ i ≤ k.

Poniewaz Reµ ≤ 0 mamy, ze µ = µ−i dla pewnego 1 ≤ i ≤ k i tym samym

µ ∈ σp(A) | Reµ ≤ 0 ⊂ µi | 0 ≤ i ≤ k.

Wezmy teraz µ = µ−i dla pewnego 1 ≤ i ≤ k. Wowczas Reµ ≤ 0 oraz spe lnione jest rownanie

λ− (µ−i )2

1− cµ−i= λi.

Dlatego na podstawie punktu (i) Twierdzenia 1.5.2 otrzymujemy, ze µ−i ∈ σp(A), co daje

µ ∈ σp(A) | Reµ ≤ 0 = µi | 0 ≤ i ≤ k − 1

i tym samy konczy dowod punktu (ii).Przejdzmy teraz do punktu (iii). Jesli 1 ≤ i ≤ k jest dowolne, to na podstawie punktu (i)

mamy, ze µ+i 6= µ−i co oznacza, ze E(λi)

+∩E(λi)− = 0. Skoro dim Ker (λiI−A) < +∞ oraz


dim E(λi) = 2 dim Ker (λiI − A) = 2 dim E(λi)+ = dim E(λi)

+ + dim E(λi)− mamy wobec

tego, ze E(λi) = E(λi)+ ⊕E(λi)

−.Jesli teraz (x, y) ∈ E(λi)

± to (x, y) = (w,−µ±i w) dla pewnego w ∈ Ker (λiI −A). Wtedyx+ cy ∈ D(A) oraz

µ±i y −A(x+ cy) + λx = (λ− (µ±i )2)w −A((1− cµ±i )w)

= (λ− (µ±i )2)w − (1− cµ±i )Aw

= (λ− (µ±i )2)w − (1− cµ±i )λiw

= −((µ±i )2 − λicµ±i + λi − λ)w = 0,

przy czym ostatnia rownosc wynika z faktu, ze liczby µ±i s a pierwiastki rownania

t2 − λict+ λi − λ = 0.

Zatem µ±i (x, y) = (−y,A(x+ cy)− λx) = A(x, y) co implikuje, ze E(λi)± ⊂ Ker (µ±i I −A)

i w ten sposob konczymy dowod lematu.

Dowod Twierdzenia 1.5.9. Dla dowolnego 1 ≤ i ≤ k, niech E(λi)+ oraz E(λi)

− b ed aprzestrzeniami otrzymanymi w punkcie (iii) Lematu 1.5.11. Jesli k = 1 to definiujmy

E0 := E(λk), E− := 0, E+ := M1 ⊕M2, gdzie

M1 := 0, M2 := (Xα ∩X+)×X+ oraz

jesli k ≥ 2 to k ladziemy

E0 := E(λk), E− :=

k−1⊕i=1

E(λi)−, E+ := M1 ⊕M2, gdzie

M1 :=k−1⊕i=1

E(λi)+, M2 := (Xα ∩X+)×X+.

Wtedy E0, E−, E+ s a przestrzeniami domkni etymi takimi, ze E = E− ⊕ E0 ⊕ E+ oraznietrudno sprawdzic, ze spe lniony jest punkt (iv).

Zauwazmy, ze E0,E− ⊂ D(A), A(E0) ⊂ E0 oraz A(E−) ⊂ E−, gdyz E(λi)− s a prze-

strzeniami w lasnymi operatora A dla 1 ≤ i ≤ k. Dla dowodu punktu (i) wystarczy spraw-dzic inkluzje A(D(A) ∩ E+) ⊂ E+. Poniewaz dla dowolnego 1 ≤ i ≤ k − 1, E(λi)

+ jestprzestrzeni a w lasn a operatora A mamy A(M1) ⊂ M1. Ponadto z Lematu 1.5.10 wynika,ze A(D(A) ∩ M2) ⊂ M2, a to dowodzi z adanej inkluzji i uzasadnia punkt (i). Ponadtodim E− = 0 jesli k = 1 oraz dim E− =

∑k−1i=1 dim E(λi)

− =∑k−1

i=1 dim Ker (λiI − A) jeslik ≥ 2, co dowodzi punktu (ii). Dowod punktu (iii) przeprowadzimy w trzech krokach.

Krok 1. Rozpatrzmy operatory A+, A− oraz niech operatory A1+, A2

+ b ed a cz esciamioperatora A+ odpowiednio w przestrzeni M1 oraz M2. Pokazemy teraz, ze jesli µ spe lnianierownosc Reµ ≤ 0 oraz nie jest wartosci a w lasn a operatora (A2

+)C, to µ nalezy do zbiorurezolwenty operatora A+.Rzeczywiscie, zauwazmy, ze na podstawie punktu (iii) Lematu 1.5.11 oraz punktu (a) Lematu1.5.5 spektrum operatora µI−A1

+ sk lada si e z jego wartosci w lasnych µ−µ+i | 1 ≤ i ≤ k−1.

Skoro Reµ ≤ 0 oraz µ+i > 0 dla 1 ≤ i ≤ k mamy, ze operator µI −A1

+ jest bijekcj a. Ponadtozauwazmy, ze operator A2

+ jest dany wzorem

D(A2+) = (x, y) ∈ (Xα ∩X+)×X+ | x+ cy ∈ D(A+),

A2+(x, y) = (−y,A+(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A2

+).


Przyjmijmy w punkcie (ii) Twierdzenia 1.5.2 nast epuj ace oznaczenia Y := Xα∩X+, ‖·‖Y :=‖ · ‖α, X := X+ oraz A := A+. Poniewaz µ spe lnia nierownosc Reµ ≤ 0 < 1/c oraz nie jestwartosci a w lasn a operatora (A2

+)C, otrzymujemy, ze µ nalezy do zbioru rezolwenty operatoraA2

+ i tym samym do rezolwenty operatora A+, gdyz jak pokazalismy operator µI −A1+ jest

bijekcj a.

Krok 2. Pokazemy teraz, ze Reµ > 0 dla µ ∈ σ(A+).Rzeczywiscie, jesli µ ∈ σ(A+) oraz spe lnia jest nierownosc Reµ ≤ 0, to na podstawie Kroku1 mamy, ze µ jest wartosci a w lasn a operatora (A2

+)C i tym samym operatora A+. Zatemistnieje niezerowe (x1, y1) + (x2, y2)i ∈ (E+)C ⊂ EC takie, ze

µ((x1, y1) + (x2, y2)i) = A+(x1, y1) + iA+(x2, y2).

Zatem na podstawie Uwagi 1.5.1

µ(x1 + ix2, y1 + iy2) = AC(x1 + ix2, y1 + iy2).

Korzystaj ac z punktu (i) Twierdzenia 1.5.2 otrzymujemy, ze λ−µ21−cµ = λi dla pewnego ca lkowi-

tego i ≥ 1 oraz (x1 +x2i, y1 +y2i) = (w,−µw), dla pewnego w ∈ Ker (λiI−AC). Rozwi azuj ac

rownanie λ−µ21−cµ = λi i wykorzystuj ac fakt, ze Reµ ≤ 0, mamy µ = µ−i (µ−i jest zdefiniowane

w Lemacie 1.5.11) dla pewnego 1 ≤ i ≤ k i dlatego (x1 + x2i, y1 + y2i) = (w,−µ−i w). Niechw = w1 + iw2, gdzie w1, w2 ∈ Ker (λiI−A). Bez straty ogolnosci mozemy przyj ac, ze w1 6= 0,gdyz jak wiemy w 6= 0. Wtedy (w1,−µ−i w1) ∈ E− ⊕ E0, co jest sprzecznosci a gdyz fakt, ze(w1,−µ−i w1) = (x1, y1) poci aga za sob a (w1,−µ−i w1) ∈ E+. Dowodzi to, ze Reµ > 0 dlaµ ∈ σ(A+).

Krok 3. Jesli k = 1 to E− = 0 i wtedy σ(A−) = ∅. Za lozmy zatem, ze k ≥ 2. Na mocypunktu (i) mamy, ze A(E−) ⊂ E−, a zatem korzystaj ac z punktu (iii) Lematu 1.5.11 orazLematu 1.5.5 otrzymujemy, ze σ(A−) = µ−1 , µ−2 , . . . , µ−k−1, co konczy dowod punktu (iii).

Sformu lujemy twierdzenie o rozk ladzie o rozk ladzie spektralnym w przypadku gdy λ nienalezy do spektrum σ(A) operatora A.

Twierdzenie 1.5.12. Jesli λ nie jest wartosci a w lasn a operatora A, to istnieje rozk lad prze-strzeni E na sum e prost a domkni etych podprzestrzeni E := E1 ⊕E2 taki, ze

(i) zachodz a inkluzje E1 ⊂ D(A), A(E1) ⊂ E1 oraz A(D(A) ∩E2) ⊂ E2,

(ii) przestrzen E1 jest skonczenie wymiarowa i ponadto

dim E1 =

0 jesli λ < λ1∑k

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli λk < λ < λk+1 dla k ≥ 1.(5.43)

(iii) jesli A1 : E1 ⊃ D(A1) → E1 oraz A2 : E2 ⊃ D(A2) → E2 s a cz esciami operatora Aodpowiednio w przestrzeniach E1 oraz E2, to σ(A2) ⊂ z ∈ C | Re z < 0 oraz

σ(A1) =

∅ jesli λ < λ1,

µ−1 , µ−2 , . . . , µ−k jesli λk < λ < λk+1,

gdzie 0 > µ−1 , µ−2 , . . . , µ

−k s a wartosciami w lasnymi operatora A, zdefiniowanymi w

Lemacie 1.5.11.

Dowod. Niech X = X1 ⊕ X2 b edzie rozk ladem spektralnym na przestrzenie domkni eteuzyskanym za pomoc a Twierdzenia 1.5.8. Zaczynamy od zdefiniowania przestrzeni E1 oraz


E2. W przypadku gdy λ < λ1 k ladziemy

E1 := 0, E2 := M1 ⊕M2, gdzie M1 := 0, M2 := (Xα ∩X2)×X2 = Xα ×X.Za lozmy, ze λk < λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1. Niech E(λi)

+ oraz E(λi)− b ed a przestrzeniami

otrzymanymi w Lemacie 1.5.11 dla 1 ≤ i ≤ k. Zdefiniujmy nast epuj ace przestrzenie

E1 :=

k⊕i=1

E(λi)−, E2 := M1 ⊕M2, gdzie M1 :=

k⊕i=1

E(λi)+, M2 := (Xα ∩X2)×X2.

Nie trudno sprawdzic, ze w obydwu przypadkach przestrzenie E1, E2 s a domkni ete i tworz arozk lad na sum e prost a E = E1 ⊕E2.

Ponadto E1 ⊂ D(A) oraz A(E1) ⊂ E1, gdyz E(λi)+ s a przestrzeniami w lasnymi ope-

ratora A dla 1 ≤ i ≤ k, a zatem dla dowodu punktu (i) wystarczy sprawdzic inkluzjeA(D(A) ∩ E2) ⊂ E2. Z faktu, ze dla dowolnego 1 ≤ i ≤ k, E(λi)

+ jest przestrzeni a w lasn aoperatora A mamy A(M1) ⊂M1. Ponadto z Lematu 1.5.10 wynika, ze A(D(A)∩M2) ⊂M2,a to dowodzi z adanej inkluzji i uzasadnia punkt (i). Ponadto dim E1 = 0 jesli λ < λ1 orazdim E1 =

∑ki=1 dim E(λi)

− =∑k

i=1 dim Ker (λiI−A) jesli λk < λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1,co dowodzi punktu (ii). Dowod punktu (iii) przeprowadzimy w trzech krokach.

Krok 1. Rozpatrzmy operatory A1, A2 oraz niech operatory A12, A2

2 b ed a cz esciami ope-ratora A2 odpowiednio w przestrzeni M1 oraz M2. Pokazemy, ze jesli µ spe lnia nierownoscReµ ≤ 0 oraz nie jest wartosci a w lasn a operatora (A2

2)C, to µ nalezy do zbioru rezolwentytego operatora.Aby to sprawdzic zauwazmy, ze operator A2

2 jest dany wzorem

D(A22) = (x, y) ∈ (Xα ∩X2)×X2 | x+ cy ∈ D(A2),

A22(x, y) = (−y,A2(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A2

2).

Przyjmy w punkcie (ii) Twierdzenia 1.5.2 nast epuj ace oznaczenia Y := Xα∩X2, ‖·‖Y := ‖·‖α,X := X2 oraz A := A2. Poniewaz µ spe lnia nierownosc Reµ ≤ 0 < 1/c oraz nie jestwartosci a w lasn a operatora A2

2, otrzymujemy, ze µ nalezy do zbioru rezolwenty operatoraA2

2. Jesli λ < λ1 to M1 = 0 i tym samym µ nalezy do zbioru rezolwenty operatora A2,co daje sprzecznosc. Z kolei, jesli λk < λ < λk+1 to na podstawie punktu (iii) Lematu1.5.11 oraz Lematu 1.5.5 spektrum operatora µI − A1

2 sk lada si e z jego wartosci w lasnychµ− µ+

i | 1 ≤ i ≤ k. Skoro Reµ ≤ 0 oraz µ+i > 0 dla 1 ≤ i ≤ k mamy, ze operator µI −A1

2

jest bijekcj a, co znow implikuje, ze µ nalezy do zbioru rezolwent operatora A2.

Krok 2. Pokazemy, ze Reµ > 0 dla µ ∈ σ(A2).Rzeczywiscie, jesli µ ∈ σ(A2) oraz spe lnia jest nierownosc Reµ ≤ 0, to na podstawie Kroku 1mamy, ze µ jest wartosci a w lasn a operatora (A2

2)C i tym samym istnieje niezerowe (x1, y1) +(x2, y2)i ∈ (E2)C ⊂ EC takie, ze

µ((x1, y1) + (x2, y2)i) = A2(x1, y1) + iA2(x2, y2).

Zatem korzystaj ac z Uwagi 1.5.1 otrzymujemy

µ(x1 + ix2, y1 + iy2) = AC(x1 + ix2, y1 + iy2),

co na podstawie punktu (i) Twierdzenia 1.5.2 oznacza, ze λ−µ21−cµ = λi dla pewnego ca lkowitego

i ≥ 1 oraz (x1 + x2i, y1 + y2i) = (w,−µw), dla pewnego w ∈ Ker (λiI − AC). Jesli λ < λ1 tootrzymujemy sprzecznosc, gdyz rownanie

λ− µ2

1− cµ = λi


nie posiada pierwiastkow o niedodatnich cz esciach rzeczywistych. Z kolei jesli λk < λ < λk+1

to wykorzystuj ac fakt, ze Reµ ≤ 0, mamy µ = µ−i dla pewnego 1 ≤ i ≤ k i dlatego(x1 +x2i, y1 +y2i) = (w,−µ−i w). Niech w = w1 +iw2, gdzie w1, w2 ∈ Ker (λiI−A). Bez stratyogolnosci mozemy przyj ac, ze w1 6= 0, gdyz jak wiemy w 6= 0. Wtedy (w1,−µ−i w1) ∈ E1, cojest sprzecznosci a gdyz rownosc (w1,−µ−i w1) = (x1, y1) implikuje, ze (w1,−µ−i w1) ∈ E2.Dowodzi to, ze Reµ > 0 dla µ ∈ σ(A2).

Krok 3. Jesli λ < λ1 to E− = 0 i wtedy σ(A1) = ∅. Za lozmy zatem, ze λk < λ < λk+1

gdzie k ≥ 2. Na mocy punktu (i) mamy, ze A(E1) ⊂ E1, a zatem korzystaj ac z punktu (iii)Lematu 1.5.11 oraz Lematu 1.5.5 otrzymujemy, ze σ(A1) = µ−1 , µ−2 , . . . , µ−k , gdzie liczby0 > µ−i dla 1 ≤ i ≤ k s a zdefiniowane w Lemacie 1.5.11. W ten sposob konczymy dowodpunktu (iii).

Stwierdzenie 1.5.13. (patrz [42], [18]) Niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie dodatnio okre-slonym operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X. Niech Xα, α ∈ (0, 1) b edzieprzestrzeni a u lamkow a wyznaczon a przez ten operator oraz niech A : E ⊃ D(A)→ E b edzieoperatorem danym wzorem (5.41). Wtedy A jest operatorem wycinkowym na Xα ×X.

Dowod. W pracach [42] oraz [18] udowodniono, ze operator A : E ⊃ D(A) → E danywzorem

D(A) = (x, y) ∈ Xα ×X | x+ cy ∈ D(A),A(x, y) = (−y,A(x+ cy)) dla (x, y) ∈ D(A).

jest wycinkowy w przestrzeni E. Ponadto widac, ze operator B : E → E dany wzoremB(x, y) = (0, λx) dla (x, y) ∈ E jest ograniczony na E. St ad, na podstawie Stwierdzenia 1.4.2otrzymujemy, ze operator A = A + B jest wycinkowy w E.

Powyzsze stwierdzenie mowi nam, ze operator A jest wycinkowy, a zatem na podsta-wie Stwierdzenia 1.4.5, operator −A jest generatorem rownoci ag lej C0 po lgrupy SA(t)t≥0

operatorow ograniczonych na E. Nast epuj acy lemat podaje zaleznosci mi edzy przestrzeniamiw lasnymi tej po lgrupy a przestrzeniami w lasnymi operatora A.

Lemat 1.5.14. Niech λk ≤ λ < λk+1 dla pewnego k ≥ 1. Jesli µ ≤ 0 jest liczba rzeczywist a,to dla dowolnego t > 0

Ker (µI −A) = Ker (e−µtI − SA(t)).

Dowod. Na podstawie punktu (ii) Lematu 1.5.11 otrzymujemy, ze zbior

µ ∈ σp(A) | Reµ ≤ 0

sk lada sie ze skonczonej liczby wartosci w lasnych operatora A. Aby zakonczyc dowod wy-starczy zauwazyc, ze na mocy Twierdzenia 1.3.7, dla dowolnego t > 0, mamy

Ker (e−µtI − SA(t)) = Ker (µI −A) = Ker (µI −A) dla 1 ≤ i ≤ k,

przy czym ostatnia rownosc wynika z faktu, ze operator µiI−A jest domkni ety i tym samymdomkni ete jest rowniez jego j adro.

Nast epuj ace dwa wnioski t lumacz a zachowanie si e po lgrupy SA(t)t≥0 na rozk ladachspektralnych otrzymanych w Twierdzeniach 1.5.9 oraz 1.5.12.


Wniosek 1.5.15. Jesli λ = λk (k ≥ 1), to istnieje rozk lad przestrzeni E na sum e prost aprzestrzeni domkni etych E = E− ⊕ E0 ⊕ E+, gdzie E0 = Ker (λI − A) × Ker (λI − A), E−jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a, ktorej wymiar wyraza si e wzorem (5.42) oraz

SA(t)Ei ⊂ Ei dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+.

Ponadto C0 po lgrupa SA(t)|E−t≥0 moze byc jednoznacznie rozszerzona do C0 grupy na E−oraz istniej e sta le M, c > 0 takie, ze

‖SA(t)z‖E ≤Me−ct‖z‖E dla z ∈ E+, t ≥ 0, (5.44)

‖SA(t)z‖E ≤Mect‖z‖E dla z ∈ E−, t ≤ 0. (5.45)

Dowod. Niech E := E−⊕E0⊕E+ b edzie rozk ladem przestrzeni E na sum e prost a otrzyma-nym w Twierdzeniu 1.5.9. Na podstawie Lematu 1.3.6, dla dowolnych t ≥ 0, i ∈ 0,−,+ spe l-nione s a inkluzje SA(t)Ei ⊂ Ei oraz operatory A+ oraz A− generuj a C0 po lgrupy SA+(t)t≥0

na E+ oraz SA−(t)t≥0 na E− takie, ze

SA+(t)z = SA(t)z dla z ∈ E+, t ≥ 0,

SA−(t)z = SA(t)z dla z ∈ E−, t ≥ 0.(5.46)

Skoro σ(A+) ⊂ z ∈ C | Re z > 0 na podstawie punktu (b) Stwierdzenia 1.4.5, mozemyistniej a sta le M, c > 0 takie, ze

‖SA+(t)z‖E ≤Me−ct‖z‖E dla z ∈ E+, t ≥ 0,

co w po l aczeniu z (5.46) daje nierownosc (5.44). Zauwazmy, ze operator −A− jest ograniczonyi dodatnio okreslony, a zatem na podstawie punktu (b) ze Stwierdzenia 1.4.5, mozemy w raziekoniecznosci zmodyfikowac otrzymane juz sta le M, c > 0 tak aby spe lniona by la dodatkowonierownosc

‖S−A−(t)‖E ≤Me−ct dla t ≥ 0.

Wtedy, dla dowolnych z ∈ E− oraz t ≤ 0, mamy

‖SA−(t)z‖E = ‖ exp(−tA−)z‖E = ‖S−A−(−t)z‖E ≤Mect‖z‖E,

sk ad otrzymujemy nierownosc (5.45).

Wniosek 1.5.16. Jesli λ 6∈ σ(A) to istnieje rozk lad przestrzeni E na sum e prost a E = E1⊕E2

przestrzeni domkni etych, gdzie E1 jest przestrzeni a skonczenie wymiarowa, ktorej wymiarwyraza si e wzorem (5.43) oraz

SA(t)Ei ⊂ Ei dla t ≥ 0, i ∈ 1, 2.

Ponadto C0 po lgrupa SA(t)|E1t≥0 moze byc jednoznacznie rozszerzona do C0 grupy na E1

oraz istniej e sta le M, c > 0 takie, ze

‖SA(t)z‖E ≤Me−ct‖z‖E dla z ∈ E2, t ≥ 0, (5.47)

‖SA(t)z‖E ≤Mect‖z‖E dla z ∈ E1, t ≤ 0. (5.48)


Dowod. Niech E := E1 ⊕ E2 b edzie rozk ladem przestrzeni E na sum e prost a otrzymanymw Twierdzeniu 1.5.12. Z Lematu 1.3.6 wynika, ze dla dowolnych t ≥ 0, i ∈ 1, 2 spe lnione s ainkluzje SA(t)Ei ⊂ Ei oraz operatory A1 oraz A2 generuj a C0 po lgrupy SA1(t)t≥0 na E1

oraz SA2(t)t≥0 na E2 takie, ze

SA2(t)z = SA(t)z dla z ∈ E2, t ≥ 0,

SA1(t)z = SA(t)z dla z ∈ E1, t ≥ 0.(5.49)

Skoro σ(A2) ⊂ z ∈ C | Re z > 0 na podstawie punktu (b) Stwierdzenia 1.4.5, mozemyistniej a sta le M, c > 0 takie, ze

‖SA2(t)z‖E ≤Me−ct‖z‖E dla z ∈ E2, t ≥ 0,

co w po l aczeniu z (5.49) daje nierownosc (5.47). Operator −A1 jest ograniczony i dodatniookreslony, a zatem na podstawie punktu (b) ze Stwierdzenia 1.4.5, mozemy w razie koniecz-nosci zmodyfikowac sta le M, c > 0 tak aby spe lniona by la dodatkowo nierownosc

‖S−A1(t)‖E ≤Me−ct dla t ≥ 0.

Wtedy, dla dowolnych z ∈ E1 oraz t ≤ 0, mamy

‖SA1(t)z‖E = ‖ exp(−tA1)z‖E = ‖S−A1(−t)z‖E ≤Mect‖z‖E,

a to juz jest nierownosc (5.48).

Rozdzia l 2

Zagadnienia poczatkowe

Niniejszy rozdzia l poswi econy b edzie omawianiu klasycznych w lasnosci dotycz acych rozwi azan

rownan rozniczkowych, ktorych prawa strona jest nieliniowym zaburzeniem operatora wycinkowego.

Wprowadzona zostanie definicja s labego rozwi azania oraz przypomniane zostaj a twierdzenia dotycz ace

jego istnienia i regularnosci, ktore mozna znalezc mi edzy innymi w [30], [10], [50]. Nast epnie przy za lo-

zeniu, ze operator wycinkowy posiada zwarte rezolwenty, zostanie zbadana ci ag la zaleznosc rozwi azan

od parametru oraz warunkow pocz atkowych jak rowniez zostan a podane twierdzenia o zwartosci dla

po lpotoku (patrz [54]) oraz operatora przesuni ecia wzd luz trajektorii (patrz [12], [14]) zwi azanego z

rownaniem. Nast epnie przejdziemy do omowienia twierdzen o ci ag losci i zwartosci dla rownan hiper-

bolicznych z silnym t lumieniem.

2.1 Istnienie i jednoznacznosc rozwiazan

Za lozmy, ze A : X ⊃ D(A)→ X jest operatorem wycinkowym na przestrzeni Banacha X,zas δ ≥ 0 jest tak a liczb a rzeczywist a, ze Re z > 0 dla dowolnego z ∈ σ(A+ δI). Przyjmijmy,ze Aδ := A+ δI. Zgodnie z definicj a (patrz strona 24), dla dowolnego α ∈ [0, 1), operator Aαδwyznacza przestrzen u lamkow a X

α wraz z norm a dan a wzorem

‖x‖α := ‖Aαδ x‖ = ‖(A+ δI)αx‖ dla x ∈ Xα.

B edziemy zajmowac si e nast epuj acym rownaniem

u(t) = −Au(t) + F (t, u(t)), t > 0 (1.1)

gdzie F : [0,+∞)×Xα → X jest odwzorowaniem ci ag lym spe lniaj acym nast epuj ace za lozenia

(F1) dla dowolnego x ∈ Xα istnieje otwarte otoczenie V ⊂ Xα punktu x oraz sta la L > 0taka, ze dla dowolnych x1, x2 ∈ V oraz t ∈ [0,+∞)

‖F (t, x1)− F (t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α;

(F2) istnieje funkcja ci ag la c : [0,+∞)→ [0,+∞) taka, ze

‖F (t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα, t ∈ [0,+∞).

45

46 Rozdzia l 2. Zagadnienia pocz atkowe

Definicja 2.1.1. Niech J ⊂ R b edzie dowolnym przedzia lem. Powiemy, ze ci ag le odwzoro-wanie u : J → Xα jest s labym rozwi azaniem rownania (1.1), jesli

u(t) = SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ

dla dowolnych t, t′ ∈ J , t′ < t.

Uwaga 2.1.2. Za lozmy, ze u : J → Xα jest s labym rozwi azaniem rownania (1.1), w ktorymoperator A : X → X jest ograniczony.(a) Wowczas wiadomo, ze u jest odwzorowaniem klasy C1 na J oraz rownanie (1.1) jestspe lnione dla dowolnego t ∈ J .(b) Dla dowolnych t, t′ ∈ J mamy

u(t) = SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ (1.2)

przy czym SA(t) := exp(−tA) dla t ∈ R. Aby to sprawdzic zauwazmy, ze dla dowolnycht, t′ ∈ J takich, ze t′ > t mamy

u(t′) = SA(t′ − t)u(t) +

∫ t′

tSA(t′ − τ)F (τ, u(τ)) dτ.

Dzia laj ac na to rownanie operatorem SA(t− t′) otrzymujemy, ze

SA(t− t′)u(t′) = u(t) +

∫ t′

tSA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ,

a st ad wynika juz (1.2).

Rozwazmy teraz nast epuj ace zagadnienie pocz atkoweu(t) = −Au(t) + F (t, u(t)), t > 0

u(0) = x0,(1.3)

gdzie x0 ∈ Xα jest punktem pocz atkowym.

Definicja 2.1.3. Powiemy, ze ci ag le odwzorowanie u : [0,+∞)→ Xα jest s labym rozwi aza-niem zagadnienia pocz atkowego (1.3), jesli

u(t) = SA(t)x0 +

∫ t

0SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ dla t ≥ 0. (1.4)

Uwaga 2.1.4. Ci ag le odwzorowanie u : [0,+∞) → Xα jest s labym rozwi azaniem zagadnie-nia pocz atkowego (1.3) wtedy i tylko wtedy, gdy u(0) = x0 oraz u jest s labym rozwi azaniemrownania (1.1). Aby to sprawdzic, za lozmy, ze u jest s labym rozwi azaniem zagadnienia po-cz atkowego (1.3) oraz wezmy dowolne t, t′ ∈ [0,+∞) takie, ze t′ < t. Wtedy

u(t) = SA(t)x0 +

∫ t

0SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ

= SA(t− t′)SA(t′)x0 + SA(t− t′)∫ t′

0SA(t′ − τ)F (τ, u(τ)) dτ +

∫ t

t′SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ

= SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)F (τ, u(τ)) dτ,

co pokazuje, ze u jest rowniez rozwi azaniem rownania (1.1). Dowod implikacji przeciwnejwynika wprost z definicji.

2.2. Ci ag la zaleznosc od warunkow pocz atkowych 47

Twierdzenie 2.1.5. (patrz [30, Theorem 3.3.3, Corollary 3.3.5]) Jesli odwzorowanie F :[0,+∞)×Xα → X spe lnia za lozenia (F1) oraz (F2), to dla dowolnego x0 ∈ Xα, zagadnieniepocz atkowe (1.3) posiada dok ladnie jedno s labe rozwi azanie.

Definicja 2.1.6. Powiemy, ze ci ag le odwzorowanie u : [0,+∞) → Xα jest klasycznym roz-wi azaniem zagadnienia pocz atkowego (1.3), jesli

(a) u(t) ∈ D(A) dla t ∈ (0,+∞),

(b) pochodna u(t) istnieje na przedziale (0,+∞),

(c) odwzorowanie t 7→ F (t, u(t)) spe lnia lokalny warunek Holdera na przedziale (0,+∞),

(d) dla dowolnego t ∈ (0,+∞) spe lnione jest rownanie (1.1) oraz u(0) = x0.

Nast epuj ace twierdzenie mowi nam o regularnosci s labych rozwi azan.

Twierdzenie 2.1.7. (patrz [30, Lemma 3.3.2]) Za lozmy, ze F : [0,+∞) × Xα → X jestodwzorowaniem ci ag lym spe lniaj acym nast epuj acy warunek: dla dowolnego (t, x) ∈ [0,+∞)×Xα istnieje otoczenie otwarte U ⊂ [0,+∞)×Xα tego punktu oraz sta le L, θ > 0 takie, ze dladowolnych (t1, x2), (t2, x2) ∈ U

‖F (t1, x1)− F (t2, x2)‖ ≤ L(|t1 − t2|θ + ‖x1 − x2‖α).

Wowczas maj a miejsce nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Jesli odwzorowanie ci ag le u : [0,+∞)→ Xα spe lnia rownosc ca lkow a (1.4), to spe lnialokalny warunek Holdera na przedziale (0,+∞) oraz jest klasycznym rozwi azaniemzagadnienia pocz atkowego (1.3).

(ii) Jesli odwzorowanie ci ag le u : [0,+∞) → Xα jest klasycznym rozwi azaniem zagadnie-nia pocz atkowego (1.3), to spe lnia rownosc ca lkow a (1.4).

Z powyzszego twierdzenia wynika nast epuj acy

Wniosek 2.1.8. Jesli u : [0,+∞)→ Xα jest s labym rozwi azaniem zagadnienia pocz atkowego(1.3), w ktorym nieliniowosc F jest niezalezna od czasu, to u jest rowniez rozwi azaniemklasycznym tego zagadnienia.

2.2 Ciag la zaleznosc od warunkow pocz

atkowych

Przechodzimy do rozwazania nast epuj acego rownania

u(t) = −Au(t) + F (s, t, u(t)), t > 0 (2.5)

gdzie s jest parametrem z przestrzeni metrycznej S, operator A jest taki jak w poprzedniejsekcji, zas odwzorowanie F : S × [0,+∞) × Xα → X, gdzie α ∈ [0, 1), jest ci ag le i spe lnianast epuj ace za lozenia

(F3) dla dowolnego s ∈ S oraz x ∈ Xα istnieje otwarte otoczenie V ⊂ Xα punktu x orazsta la L > 0 taka, ze dla dowolnych x1, x2 ∈ V , t ∈ [0,+∞)

‖F (s, t, x1)− F (s, t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α;

(F4) istnieje funkcja ci ag la c : [0,+∞)→ [0,+∞) taka, ze

‖F (s, t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) dla x ∈ Xα, t ∈ [0,+∞), s ∈ S.


Niech u( · ; s, x) : [0,+∞) → Xα b edzie s labym rozwi azaniem rownania (2.5) zaczynaj a-cym si e w punkcie x, ktore istnieje na mocy Twierdzenia 2.1.5. Zaczynamy od sformu lowanianast epuj acego twierdzenia mowi acego o ci ag lej zaleznosci od parametru i warunkow pocz at-kowych.

Twierdzenie 2.2.1. Za lozmy, ze (xn) w Xα oraz (sn) w S s a ci agami takimi, ze xn → x0 wXα oraz sn → s0 gdy n → +∞. Jesli dla dowolnego t ∈ [0,+∞) zbior u(t; sn, xn) | n ≥ 1jest relatywnie zwarty w Xα, to

u(t; sn, xn)→ u(t; s0, x0) gdy n→ +∞,

dla dowolnego t ≥ 0, przy czym zbieznosc ta jest jednostajna dla t nalez acych do ograniczonychpodzbiorow przedzia lu [0,+∞).

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia sformu lujemy kilka pomocniczych lematow.

Lemat 2.2.2. (patrz [10, Lemma 1.2.9]) Niech α ∈ [0, 1), a ≥ 0, b > 0 oraz niech φ : [t0, T )→[0,+∞) b edzie funkcj a ci ag l a tak a, ze

φ(t) ≤ a+ b

∫ t

t0

1

(t− τ)αφ(τ) dτ dla t ∈ (t0, T ).

Wtedysup

t∈[t0,T )φ(t) ≤ aK(α, b, T ),

gdzie K(α, b, T ) jest sta l a zalezn a od α, b oraz T .

Lemat 2.2.3. Za lozmy, ze t > a > 0 oraz α ∈ [0, 1) s a ustalone. Niech g : [0, t)→ X b edzieodwzorowaniem danym jako

g(τ) := Aαδ SA(t− τ)w(τ) dla τ ∈ [0, t),

gdzie w : [0,+∞)→ X jest funkcj a ci ag l a.

(i) Wowczas odwzorowanie g jest ci ag le na przedziale [0, t) oraz istnieje ca lka niew lasciwa∫ t

aAαδ SA(t− τ)w(τ) dτ := lim

h→0+

∫ t−h

aAαδ SA(t− τ)w(τ) dτ.

(ii) Ponadto∫ ta SA(t− τ)w(τ) dτ ∈ D(Aαδ ) oraz

Aαδ

(∫ t

aSA(t− τ)w(τ) dτ

)=

∫ t


Dowod. (i) Niech τ0 ∈ [0, t) oraz niech h ∈ (0, t − τ0). Wtedy τ0 ∈ [0, t − h) oraz napodstawie punktu (c) Twierdzenia 1.4.6 otrzymujemy, ze Aαδ SA(h) ∈ L(X). St ad, wobecci ag losci po lgrupy i rownosci

Aαδ SA(t− τ)w(τ) = Aαδ SA(h)SA(t− h− τ)w(τ) dla τ ∈ [0, t− h),

otrzymujemy, ze odwzorowanie [0, t) 3 τ 7→ Aαδ SA(t− τ)w(τ) ∈ X jest ci ag le w punkcie τ0 itym samym na ca lym przedziale [0, t). Aby dowiesc istnienia ca lki wystarczy sprawdzic, ze∫ t

a‖Aαδ SA(t− τ)w(τ)‖ dτ < +∞. (2.6)


Na mocy punktu (c) Twierdzenia 1.4.6 istniej a sta le c ∈ R oraz Mα > 0 takie, ze

‖Aαδ SA(t)‖ ≤Mαectt−α dla t > 0.

Dlatego ∫ t

a‖Aαδ SA(t− τ)w(τ)‖ dτ ≤

∫ t

a‖Aαδ SA(t− τ)‖ · ‖w(τ)‖ dτ

≤∫ t

aMαe

c(t−τ)(t− τ)−α‖w(τ)‖ dτ

≤ Mαw0

1− α e|c|t(t− a)1−α,

gdzie w0 := supτ∈[a,t] ‖w(τ)‖, co dowodzi (2.6). Aby uzasadnic punkt (ii), dla dowolnegoh ∈ [0, t− a] oznaczmy

f(h) :=

∫ t−h

aSA(t− τ)w(τ) dτ.

Wtedy

f(h) = SA(h)

(∫ t−h

aSA(t− h− τ)w(τ) dτ

)dla h ∈ (0, t− a],

co wobec punktu (a) Twierdzenia 1.4.6 implikuje, ze f(h) ∈ D(Aαδ ) dla h ∈ (0, t − a]. Zpunktu (c) tego samego twierdzenia mamy, ze Aαδ SA(h) ∈ L(X) dla h > 0 i dlatego, dlah ∈ (0, t− a], otrzymujemy

Aαδ f(h) = Aαδ SA(h)

(∫ t−h

aSA(t− h− τ)w(τ) dτ

)=

∫ t−h

aAαδ SA(h)SA(t− h− τ)w(τ) dτ

=

∫ t−h


(2.7)

Korzystaj ac teraz z punktu (i) i z tego, ze operator Aαδ jest domkni ety, po przejsciu w (2.7)do granicy, przy h→ 0 mamy, ze f(0) ∈ D(Aαδ ) oraz

Aαδ f(0) =

∫ t

aAαδ SA(t− τ)w(τ) dτ,

co konczy dowod punktu (ii).

Lemat 2.2.4. Za lozmy, ze dany jest ci ag (sn) w S oraz ci ag ograniczony (xn) w Xα. Ponadtoniech (vn) b edzie ci agiem funkcji ci ag lych vn : [0, t0]→ X, danych dla n ≥ 1 jako

vn(τ) := F (sn, τ, u(τ ; sn, xn)) dla τ ∈ [0, t0].

Wowczas prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(a) Zbior u(t; sn, xn) | t ∈ [0, t0], n ≥ 1 jest ograniczony w Xα.

(b) Dla dowolnego t ∈ [0, t0] zbior∫ t

0Aαδ SA(t− τ)vn(τ) dτ

∣∣∣ n ≥ 1

jest ograniczony w X.


(c) Dla dowolnego ε > 0 istnieje h0 > 0 takie, ze jesli t, t′ ∈ [0, t0] oraz 0 < t′ − t < h0, to∫ t′

t‖Aαδ SA(t′ − τ)vn(τ)‖ dτ ≤ ε dla n ≥ 1.

Dowod. Zgodnie z punktem (c) Twierdzenia 1.4.6 istniej a sta le c ∈ R, M,Mα > 0 takie, ze

‖SA(t)‖ ≤M dla t ∈ [0, t0] oraz ‖Aαδ SA(t)‖ ≤Mαectt−α dla t > 0.

Poniewaz ci ag (xn) jest ograniczony mozemy wybrac sta l a R > 0 tak a, ze ‖xn‖α ≤ R dlan ≥ 1. Wtedy wykorzystuj ac Lemat 2.2.3 oraz za lozenie (F4), dla dowolnego n ≥ 1 orazt ∈ [0, t0], mamy

‖u(t; sn, xn)‖α ≤ ‖SA(t)Aαδ xn‖+

∫ t

0‖Aαδ SA(t− τ)F (sn, τ, u(τ ; sn, xn))‖ dτ

≤M‖xn‖α +

∫ t

0

Mαec(t−τ)

(t− τ)α‖F (sn, τ, u(τ ; sn, xn))‖ dτ

≤MR+

∫ t

0

Mαe|c|t0

(t− τ)αc(τ)(1 + ‖u(τ ; sn, xn)‖α) dτ

≤MR+KMαe

|c|t0

1− α t1−α0 +

∫ t

0

KMαe|c|t0

(t− τ)α‖u(τ ; sn, xn)‖α dτ,

gdzie K := supτ∈[0,t0] c(τ). St ad Lemat 2.2.2 implikuje, ze istnienie sta lej C > 0 o tej w la-snosci, ze ‖u(t;xn, sn)‖α ≤ C dla t ∈ [0, t0] oraz n ≥ 1, co dowodzi punktu (a). Ponadtozauwazmy, ze dzi eki za lozeniu (F4) mamy

‖vn(t)‖ = ‖F (sn, τ, u(t; sn, xn))‖ ≤ c(t)(1 + ‖u(t; sn, xn)‖α) ≤ K(1 + C)

dla t ∈ [0, t0] oraz n ≥ 1. Wtedy, dla n ≥ 1 otrzymujemy∥∥∥∥∫ t

0Aαδ SA(t− τ)vn(τ) dτ

∥∥∥∥ ≤ ∫ t

0‖Aαδ SA(t− τ)vn(τ)‖ dτ

≤∫ t

0

Mαec(t−τ)

(t− τ)α‖vn(τ)‖ dτ

≤∫ t

0K(1 + C)

Mαe|c|t0

(t− τ)αdτ ≤ K(1 + C)

Mαe|c|t0

1− α t01−α,

co implikuje punkt (b). Jesli chodzi o punkt (c), niech t′, t ∈ [0, t0] b ed a takie, ze t′ > t.Wtedy, dla dowolnego n ≥ 1, mamy∥∥∥∥∥

∫ t′

tAαδ SA(t′ − τ)vn(τ) dτ

∥∥∥∥∥ ≤∫ t′

t

Mαec(t′−τ)

(t′ − τ)α‖vn(τ)‖ dτ

≤∫ t′

tK(1 + C)

Mαe|c|t0

(t′ − τ)α= K(1 + C)

Mαe|c|t0

1− α (t′ − t)1−α.

Bior ac h0 :=(

ε(1−α)K(1+C)Mαect0

)1/(1−α), widzimy, ze dla dowolnych t, t′ ∈ [0, t0] takich, ze 0 <

t′ − t < h0 mamy ∥∥∥∥∥∫ t′

tAαδ SA(t′ − τ)vn(τ) dτ

∥∥∥∥∥ ≤ ε dla n ≥ 1,

co dowodzi punktu (c).


Lemat 2.2.5. Jesli dla dowolnego t ∈ [0,+∞) zbior un(t; sn, xn) | n ≥ 1 jest relatywniezwartym w Xα, to rodzina odwzorowan un( · ; sn, xn) | n ≥ 1 jest rownoci ag la w dowolnympunkcie t ∈ [0,+∞).

Dowod. Dla dowolnego n ≥ 1 oznaczmy un := un( · ; sn, xn). Na podstawie wzoru ca lkowego,dla dowolnego t ∈ [0,+∞), h ≥ 0 oraz n ≥ 1 mamy nierownosc

‖un(t+ h)− un(t)‖α ≤ ‖SA(h)un(t)− un(t)‖α

+

∫ t+h

t‖Aαδ SA(t+ h− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ.

(2.8)

Poniewaz dla dowolnego τ ∈ [0, t] zbior un(τ) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w Xα, napodstawie Uwagi 1.4.8, istnieje h0 > 0 takie, ze

‖SA(h)un(t)− un(t)‖α ≤ ε/2 dla 0 < h < h0, n ≥ 1. (2.9)

Korzystaj ac za lozenia (F4) a nast epnie stosuj ac Lemat 2.2.4 (c) wnosimy istnienie h1 > 0 otej w lasnosci, ze ∫ t+h

t‖Aαδ SA(t+ h− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ ≤ ε/2 (2.10)

dla 0 < h < h1 oraz n ≥ 1. L acz ac (2.8), (2.9) oraz (2.10) wnioskujemy, ze

‖un(t+ h)− un(t)‖α ≤ ε/2 + ε/2 = ε dla 0 < h < h1, n ≥ 1

i w ten sposob otrzymujemy, ze rodzina funkcji unn≥1 jest prawostronnie rownoci ag lana przedziale [0,+∞). Pozostaje wykazac, ze ta rodzina jest lewostronnie rownoci ag la na(0,+∞). W tym celu wezmy t ∈ (0,+∞) oraz niech ε > 0 b edzie dowolne. Jesli liczby h, θs a takie, ze 0 < h < θ < t, to

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤ ‖un(t)− SA(θ)un(t− θ)‖α+ ‖SA(θ)un(t− θ)− SA(θ − h)un(t− θ)‖α+ ‖SA(θ − h)un(t− θ)− un(t− h)‖α

i wtedy, dla dowolnego n ≥ 1, mamy

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤∫ t

t−θ‖Aαδ SA(t− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ

+ ‖SA(θ)un(t− θ)− SA(θ − h)un(t− θ)‖α

+

∫ t−h

t−θ‖Aαδ SA(t− h− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ.

(2.11)

Na mocy punktu (c) Lematu 2.2.4 mamy, ze istnieje h0 ∈ (0, t) takie, ze dla dowolnycht1, t2 ∈ [0, t] takich, ze 0 < t1 − t2 < h0, mamy∫ t1

t2

‖Aαδ SA(t1 − τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (2.12)

Ustalmy, ze θ ∈ (0, h0). Poniewaz z za lozenia zbior un(t− θ) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty,na podstawie punktu (a) Uwagi 1.4.8, mozemy wybrac h1 takie, ze 0 < h1 < θ oraz

‖SA(θ)un(t− θ)− SA(θ − h)un(t− θ)‖α ≤ ε/3 dla h ∈ (0, h1), n ≥ 1. (2.13)


Wykorzystuj ac nierownosc (2.12), dla dowolnego h ∈ (0, h1), otrzymujemy∫ t

t−θ‖Aαδ SA(t− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ ≤ ε/3 oraz (2.14)∫ t−h

t−θ‖Aαδ SA(t+ h− τ)F (sn, τ, un(τ))‖ dτ ≤ ε/3 dla n ≥ 1. (2.15)

Dlatego l acz ac ze sob a (2.11), (2.13), (2.14) oraz (2.15) wnioskujemy, ze dla h ∈ (0, h1)

‖un(t)− un(t− h)‖α ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,

i w konsekwencji rodzina funkcji un | n ≥ 1 jest lewostronnie rownoci ag la w dowolnympunkcie t ∈ (0,+∞). W konsekwencji otrzymujemy, ze rodzina ta jest rownoci ag la na prze-dziale [0,+∞) i konczymy dowod lematu.

Dowod Twierdzenia 2.2.1. W trakcie dowodu przyjmujemy un := u( · ; sn, xn) dla n ≥1. Wobec za lozenia i Lematu 2.2.5 otrzymujemy, ze dla dowolnego T > 0, rodzina funkcji(un), po obci eciu do zbioru [0, T ] jest rownoci ag la i posiada relatywnie zwarte orbity. Niech(unk)k≥1 b edzie dowolnym podci agiem ci agu (un)n≥1. Na podstawie Twierdzenia Ascoliego–Arzeli istnieje podci ag (unkl )l≥1 oraz odwzorowanie ci ag le v : [0, T ]→ Xα takie, ze unkl (t)→v(t) w Xα, jednostajnie dla t ∈ [0, T ], gdy l→ +∞. Zatem przechodz ac we wzorze

unkl (t) = SA(t)xnkl +

∫ t

0SA(t− τ)F (snkl , τ, unkl (τ)) dτ

do granicy przy l→ +∞, dla dowolnego t ∈ [0, T ], mamy

v(t) = SA(t)x0 +

∫ t

0SA(t− τ)F (s0, τ, v(τ)) dτ.

Zatem, na podstawie jednoznacznosci s labych rozwi azan (patrz Twierdzenie 2.1.5) mamy,ze v(t) = u(t; s0, x0) dla t ∈ [0, t0]. Zatem unkl (t) → u(t; s0, x0) w Xα, jednostajnie dlat ∈ [0, T ], gdy l → +∞, co na podstawie dowolnosci wyboru ci agu (unk)k≥1 implikuje, zeun(t) → u(t; s0, x0) w Xα, jednostajnie dla t ∈ [0, T ], gdy n → +∞ i w ten sposob dowodjest zakonczony.

2.3 W lasnosci zwartosci i ciag losci dla rownan pierwszego rz

edu

Za lozmy, ze operator A : X ⊃ D(A) → X jest wycinkowy i posiada zwarte rezolwenty.W dalszym ci agu zajmujemy si e rownaniem rozniczkowym (2.5) o ktorym przypominamy, zejest postaci

u(t) = −Au(t) + F (s, t, u(t)), t > 0

gdzie s jest parametrem z przestrzeni metrycznej S, odwzorowanie F : S× [0,+∞)×Xα → Xjest ci ag le i spe lnia za lozenia (F3) oraz (F4) (patrz strona 47). Na podstawie Twierdzenia2.1.5, dla dowolnego s ∈ S oraz x ∈ Xα, istnieje s labe rozwi azanie u( · ; s, x) : [0,+∞)→ Xα

powyzszego rownania zaczynaj ace si e w punkcie x.

Definicja 2.3.1. Dla dowolnego t ≥ 0, operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii (lub opera-torem przesuni ecia) stowarzyszonym z (2.5) b edziemy nazywac odwzorowanie Φt : S×Xα →Xα zdefiniowane jako

Φt(s, x) := u(t; s, x) dla s ∈ S oraz x ∈ Xα.

2.3. W lasnosci zwartosci i ci ag losci dla rownan pierwszego rz edu 53

Metody niezmiennikow homotopijnych, ktore zamierzamy stosowac w nast epnych rozdzia- lach b ed a wymagac ci ag losci i zwartosci operatora Φt. Z pomoc a przychodzi nam za lozenie ozwartosci rezolwent operatora A, ktore uzyjemy do dowodu nast epuj acych dwoch twierdzen.

Twierdzenie 2.3.2. Jesli ci agi (xn) w Xα oraz (sn) w S s a takie, ze xn → x0 w Xα orazsn → s0 gdy n→ +∞, to

u(t; sn, xn)→ u(t; s0, x0) gdy n→ +∞, (3.16)


Twierdzenie 2.3.3. Jesli t > 0 to dla dowolnego ograniczonego w przestrzeni Xα zbioru Ω,zbior Φt(S × Ω) jest relatywnie zwarty w przestrzeni Xα.

Dowod. Niech t > 0 oraz niech Ω ⊂ Xα b edzie zbiorem ograniczonym. Aby udowodnic, zezbior Φt(S × Ω) jest relatywnie zwarty w Xα wystarczy pokazac, ze zbior Aαδ Φt(S × Ω) jestrelatywnie zwarty w X. W tym celu wezmy dowolne ci agi (sn) w S oraz (xn) w Ω oraz niechci ag (vn) b edzie dany dla dowolnego n ≥ 1 wzorem

vn(τ) := F (sn, τ, u(τ ; sn, xn)) dla τ ∈ [0, t].

Jesli ε > 0 to na podstawie punktu (c) Lematu 2.2.4, istnieje t0 ∈ (0, t) takie, ze∥∥∥∥∫ t

t0

Aαδ SA(t− τ)vn(τ) dτ

∥∥∥∥ ≤ ε dla n ≥ 1.

Ponadto, ze wzgl edu na punkt (b) Lematu 2.2.4 otrzymujemy ograniczonosc nast epuj acegozbioru

Dt0 :=

∫ t0

0Aαδ SA(t0 − τ)vn(τ) dτ

∣∣∣ n ≥ 1

.

Z drugiej strony dla n ≥ 1 mamy nast epuj ace rownosci

Aαδ u(t; sn, xn) = SA(t)Aαδ xn +

∫ t

t0

Aαδ SA(t− τ)vn(τ) dτ

+ SA(t− t0)

(∫ t0

0Aαδ SA(t0 − τ)vn(τ) dτ

),

co implikuje, ze

V := Aαδ u(t; sn, xn) | n ≥ 1 ⊂ SA(t)Aαδ xn | n ≥ 1+ SA(t− t0)Dt0

+

∫ t

t0

Aαδ SA(t0 − τ)vn(τ) dτ∣∣∣ n ≥ 1

⊂W +B(0, ε),

gdzie

W := SA(t)Aαδ xn | n ≥ 1+ SA(t− t0)Dt0 .

Korzystaj ac ze zwartosci po lgrupy SA(t)t≥0 oraz ograniczonosci zbiorow Aαδ xn | n ≥ 1oraz Dt0 , wnosimy, ze zbior W jest relatywnie zwarty w X. Poniewaz ε > 0 moze byc wy-brane dowolnie ma le wnioskujemy, ze zbior V jest rowniez relatywnie zwarty w X, co konczydowod.


Dowod Twierdzenia 2.3.2. Na mocy Twierdzenia 2.3.3 zbior u(t; sn, xn) | n ≥ 1 jestrelatywnie zwarty dla dowolnego t ∈ [0,+∞). Wykorzystuj ac Twierdzenie 2.2.1 otrzymujemyz adan a zbieznosc (3.16).

Za lozmy teraz, ze F : Xα → X jest odwzorowaniem niezaleznym od czasu.

Definicja 2.3.4. Jesli s ∈ S jest ustalone, to po lpotokiem stowarzyszonym z rownaniem (2.5)nazywamy odwzorowanie Φs : [0,+∞)×Xα → Xα dane wzorem

Φs(t, x) := u(t; s, x) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

Mozna latwo sprawdzic, ze powyzsza definicja jest poprawna, czyli:

(i) Φs(0, x) = x dla x ∈ Xα oraz s ∈ S,

(ii) Φs(t+ t′, x) = Φs(t,Φs(t′, x)) dla t, t′ ≥ 0, x ∈ Xα oraz s ∈ S.

Powyzsze w lasnosci s a konsekwencj a jednoznacznosci istnienia s labych rozwi azan (patrz Twier-dzenie 2.1.5).

Uwaga 2.3.5. Niech J ⊂ R b edzie przedzia lem. Jesli odwzorowanie u : J → Xα jest roz-wi azaniem po lpotoku Φs dla pewnego s ∈ S (patrz Dodatek strona 140), to jest rowniezrozwi azaniem rownania (2.5). Rzeczywiscie, niech t, t′ ∈ J b ed a takie, ze t > t′. WtedyΦs(t− t′, u(t′))) = u(t) dla x ∈ Xα i dlatego

u(t) = SA(t− t′)u(t′) +

∫ t−t′

0SA(t− t′ − τ)F (s,Φs(τ, u(t′))) dτ

= SA(t− t′)u(t′) +

∫ t−t′

0SA(t− t′ − τ)F (s, u(t′ + τ)) dτ

= SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)F (s, u(τ)) dτ.

Rownosc ta implikuje, ze u : J → Xα jest rozwi azaniem rownania (2.5).

Metody indeksu Conley’a, ktore b ed a stosowane w pracy wymagaj a za lozen dotycz acychzwartosci po lpotoku Φ. Ponizsze twierdzenie by lo udowodnione mi edzy innymi w [54], [52].

Twierdzenie 2.3.6. Rodzina po lpotokow Φss∈S jest ci ag la. Ponadto niech (sn) b edzie ci a-giem w przestrzeni S. Wowczas dowolny zbior ograniczony N ⊂ Xα jest dopuszczalny wzgl e-dem rodziny po lpotokow Φsnn≥1 (patrz Dodatek strona 140).

Dowod. Ci ag losc rodziny po lpotokow Φss∈S jest konsekwencj a Twierdzenia 2.3.2. Niechteraz (sn) b edzie ci agiem w S. Aby sprawdzic, ze dowolny zbior ograniczony N ⊂ Xα jestdopuszczalny wzgl edem rodziny Φsnn≥1 wezmy ci agi (tn) w [0,+∞) oraz (xn) w Xα takie,ze tn → +∞ gdy n→ +∞ oraz

Φsn([0, tn]× xn) ⊂ N dla n ≥ 1.

Zauwazmy, ze jesli n0 ≥ 1 jest takie, ze tn ≥ 1 dla n ≥ n0, to

Φsn(tn, xn) = Φsn(1,Φsn(tn − 1, xn)) dla n ≥ n0

orazΦsn(tn, xn) | n ≥ 1 ⊂ Φs(1, x) | s ∈ S, x ∈ N .

Twierdzenie 2.3.3 implikuje, ze zbior po prawej stronie powyzszej inkluzji jest relatywniezwarty w Xα, co oznacza, ze Φsn(tn, xn)n≥1 jest rowniez relatywnie zwarty w tej prze-strzeni i w ten sposob konczymy dowod.

2.4. W lasnosci zwartosci i ci ag losci dla rownan drugiego rz edu 55

2.4 W lasnosci zwartosci i ciag losci dla rownan drugiego rz

edu

W tej sekcji zak ladamy, ze A : X ⊃ D(A) → X jest dodatnio okreslonym operatoremwycinkowym w osrodkowej przestrzeni Banacha X o zwartych rezolwentach. Rozwazmy na-st epuj ace rownanie rozniczkowe drugiego rz edu

u(t) = −Au(t)− cAu(t) + λu(t) + F (s, t, u(t)), t ≥ 0 (4.17)

gdzie λ jest liczb a rzeczywist a, c > 0, s jest parametrem z osrodkowej przestrzeni metrycznejS, zas F : S× [0,+∞)×Xα → X jest odwzorowaniem ci ag lym spe lniaj acym za lozenia (F3),(F4) (patrz strona 47) oraz nast epuj ace za lozenie

(F5) dla dowolnego zbioru ograniczonego V ⊂ Xα zbior F (S× [0,+∞)×V ) jest relatywniezwarty w X.

Przyjmujemy, ze E := Xα ×X jest przestrzeni a liniow a z norm a zadan a wzorem

‖(x, y)‖E := ‖x‖α + ‖y‖ dla (x, y) ∈ E.

Rownanie (4.17) mozemy przekszta lcic do rownania rz edy pierwszego

w(t) = −Aw(t) + F(s, t, w(t)), t > 0 (4.18)

gdzie operator liniowy A : E ⊃ D(A) → E okreslony w przestrzeni Banacha E dany jestwzorem

D(A) := (x, y) ∈ Xα ×X | x+ cy ∈ D(A)A(x, y) := (−y,A(x+ cy)− λx), dla (x, y) ∈ D(A),

zas F : S × [0,+∞)×E→ E jest odwzorowaniem danym jako

F(s, t, (x, y)) := (0, F (s, t, x)) dla s ∈ S, t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E = Xα ×X.

Uwaga 2.4.1. (a) Skoro przestrzen X jest osrodkowa, na podstawie punktu (c) Uwagi 1.4.8przestrzen Xα jest rowniez osrodkowa, a tym samym osrodkowa jest przestrzen E.

(b) Na podstawie dodatniej okreslonosci operatora A oraz Uwagi 1.5.3, jego wartosci w lasnemozemy ustawic w ci ag

0 < λ1 < λ2 < . . . λi < λi+1 < . . . .

Jesli teraz λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to na podstawie Wniosku 1.5.15 istnieje rozk ladprzestrzeni E na sum e prost a domkni etych podprzestrzeni E := E− ⊕ E0 ⊕ E+, gdzieE0 = Ker (λI − A) × Ker (λI − A) oraz E− jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a. Po-nadto spe lnione s a inkluzje

SA(t)Ei ⊂ Ei dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+ (4.19)

oraz istniej a sta le δ,M > 0 takie, ze

‖SA(t)z‖E ≤Me−δt‖z‖E dla z ∈ E+, t ≥ 0. (4.20)

Niech P : E→ E, Q− : E→ E oraz Q+ : E→ E b ed a rzutami odpowiednio na przestrzenieE0, E− oraz E+ wyznaczonymi przez sum e prost a E = E+ ⊕ E0 ⊕ E−. Poniewaz sk ladnikitej sumy prostej s a przestrzeniami domkni etymi rzuty P, Q+, Q− s a ci ag le.

(c) Poniewaz odwzorowanie F spe lnia za lozenie (F3), mozna sprawdzic, ze odwzorowanie F


jest rowniez lokalnie lipschitzowskie. Rzeczywiscie, jesli wezmiemy s ∈ S oraz (x, y) ∈ E, toistnieje otoczenie U punktu x w przestrzeni Xα takie, ze

‖F (s, t, x1)− F (s, t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α dla t ∈ [0,+∞), x1, x2 ∈ U,

gdzie L > 0 jest pewn a sta l a. Wtedy bior ac otoczenie W := U ×X punktu (x, y) mamy, zedla dowolnych t ∈ [0,+∞), (x1, y1), (x2, y2) ∈W

‖F(s, t, (x1, y1))− F(s, t, (x2, y2))‖E = ‖F (s, t, x1)− F (s, t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α≤ L‖(x1, y1)− (x2, y2)‖E.

W ten sposob widzimy, ze F spe lnia za lozenie (F3). Ponadto na podstawie za lozenia (F4)

‖F(s, t, (x, y))‖E = ‖F (s, t, x)‖ ≤ c(t)(1 + ‖x‖α) ≤ c(t)(1 + ‖(x, y)‖E),

co pokazuje, ze F spe lnia rowniez za lozenie (F4).

(d) Zauwazmy, ze za lozenie (F5) implikuje, ze odwzorowanie F jest pe lnoci ag le, czyli, dladowolnego ograniczonego Ω ⊂ E zbior F(S × [0,+∞) × Ω) jest relatywnie zwarty w E.Rzeczywiscie, skoro Ω jest ograniczony, to jest zawarty w kuli w przestrzeni E o promieniuR > 0. Wtedy Ω ⊂ Ω1×Ω2, gdzie Ω1 := x ∈ Xα | ‖x‖α ≤ R oraz Ω2 := x ∈ X | ‖x‖ ≤ R.Wowczas

F(S × [0,+∞)× Ω) ⊂ (0, F (s, t, x)) | s ∈ S, t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ Ω1 × Ω2= (0, F (s, t, x)) | s ∈ S, t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω1= 0 × F (S × [0,+∞)× Ω1).

Na podstawie za lozenia (F5) zbior 0×F (S × [0,+∞)×Ω1) jest relatywnie zwarty w E codowodzi, ze odwzorowanie F jest pe lnoci ag le.

Na podstawie punktu (c) poprzedniej uwagi i Twierdzenia 2.1.5, dla dowolnych s ∈ Soraz (x, y) ∈ E istnieje s labe rozwi azanie w( · ; s, (x, y)) : [0,+∞) → E rownania (4.18)zaczynaj ace si e w punkcie (x, y).

Definicja 2.4.2. Dla dowolnego t ≥ 0, operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii (lub opera-torem przesuni ecia) stowarzyszonym z (4.18) b edziemy nazywac odwzorowanie Φt : S×Xα →Xα zdefiniowane jako

Φt(s, x) := w(t; s, (x, y)) dla s ∈ S oraz (x, y) ∈ E.

Do badania rownan drugiego rz edu b edziemy stosowac metody niezmiennikow homotopij-nych, ktore b ed a wymagac ci ag losci i zwartosci operatora Φt. Tutaj sytuacja jest nieco innaniz w przypadku rownan pierwszego rz edu rozwazanych w poprzedniej sekcji, gdyz operatorA nie posiada zwartych rezolwent i dlatego odwzorowanie Φt moze nie byc pe lnoci ag le. Abyporadzic sobie z tym problemem, twierdzenia o zwartosci dla operatora przesuni ecia wzd luztrajektorii wyrazimy w terminach miar niezwartosci (patrz Dodatek strona 137).

Twierdzenie 2.4.3. Jesli ci agi (xn, yn) w E oraz (sn) w S s a takie, ze (xn, yn) → (x0, y0)w E oraz sn → s0 gdy n→ +∞, to

w(t; sn, (xn, yn))→ w(t; s0, (x0, y0)) gdy n→ +∞, (4.21)



Dowod. Przyjmuj ac wn = w( · ; sn, (xn, yn)) dla n ≥ 1, ze wzoru ca lkowego widzimy, ze

wn(t) = SA(t)(xn, yn) +

∫ t

0SA(t− τ)F(sn, τ, wn(τ)) dτ dla t ≥ 0.

Dlatego dla dowolnego t ≥ 0 mamy

β(wn(t) | n ≥ 1) ≤ β(SA(t)(xn, yn) | n ≥ 1) +Dt, (4.22)

gdzie przyjmujemy

Dt := β

(∫ t

0SA(t− τ)F(sn, τ, wn(τ)) dτ | n ≥ 1

).

Korzystaj ac z punktu (c) Uwagi 2.4.1 widzimy, ze odwzorowanie F spe lnia za lozenia (F3)oraz (F4), a zatem z punktu (a) Lematu 2.2.4 otrzymujemy, ze zbior

wn(τ) | τ ∈ [0, t], n ≥ 1 (4.23)

jest ograniczony. Zatem na podstawie Stwierdzenia 6.1.2 wnosimy, ze funkcja ϕ : [0, t] → Rdana wzorem

ϕ(τ) := β(SA(t− τ)F(sn, τ, wn(τ)) | n ≥ 1) dla τ ∈ [0, t]

nalezy do klasy L1([0, t]) oraz

β

(∫ t

0SA(t− τ)F(sn, τ, wn(τ)) dτ | n ≥ 1

)≤∫ t

0ϕ(τ) dτ dla t ≥ 0. (4.24)

Korzystaj ac ponownie z ograniczonosci zbioru (4.23) oraz z pe lnoci ag losci odwzorowania Fotrzymujemy, ze dla dowolnego τ ∈ [0, t] zbior F(sn, τ, wn(τ)) | n ≥ 1 jest relatywnie zwartyco implikuje, ze ϕ(τ) = 0 dla τ ∈ [0, t]. Zatem na podstawie (4.22) oraz (4.24) otrzymujemy, ze

β(wn(t) | n ≥ 1) ≤ β(SA(t)(xn, yn) | n ≥ 1) = 0 dla t ≥ 0,

przy czym ostatnia nierownosc wynika ze zbieznosci ci agu (xn, yn)n≥1. Zatem na podstawieTwierdzenia 2.2.1 otrzymujemy zbieznosc (4.21) i tym samym konczymy dowod.

W nast epuj acym twierdzeniu dokonamy rownowaznej zamiany norm na przestrzeni E takaby operator przesuni ecia wzd luz trajektorii Φt by l odwzorowaniem kondensuj acym wzgl edemmiary niezwartosci Hausdorffa, wyznaczonej przez now a norm e. Podobna technika wykorzy-stuj aca inn a zamian e norm by la stosowana w pracach [13] oraz [17].

Twierdzenie 2.4.4. Na przestrzeni E istnieje norma | · |, ktora jest rownowazna z norm awyjsciow a ‖ · ‖ taka, ze dla dowolnego ograniczonego Ω ⊂ E

β(Φt(S × Ω)) ≤ e−δtβ(Ω) dla t ≥ 0,

gdzie δ > 0, zas β jest miar a niezwartosci Hausdorffa wyznaczon a przez norm e | · |.W dowodzie twierdzenia uzyjemy nast epuj acego lematu.

Lemat 2.4.5. Na przestrzeni E istnieje norma |·|, ktora jest rownowazna z norm a wyjsciow a‖ · ‖ taka, ze

|Q+z| ≤ |z| dla z ∈ E (4.25)

oraz istnieje δ > 0 takie, ze dla dowolnego ograniczonego Ω ⊂ E

β(SA(t)Ω) ≤ e−δtβ(Ω) dla t ≥ 0.


Dowod. Niech P : E → E, Q− : E → E oraz Q+ : E → E b ed a ci ag lymi rzutamiodpowiednio na przestrzenie E0, E− oraz E+ wyznaczonymi przez sum e prost a E = E+ ⊕E0⊕E−. Poniewaz sk ladniki sumy prostej s a przestrzeniami domkni etymi rzuty te s a ci ag le.Niech P− = P + Q−. Nietrudno zauwazyc, ze norma ‖ · ‖ jest rownowazna na E z norm azadan a wzorem

‖z‖1 := ‖P−z‖+ ‖Q+z‖ dla z ∈ E,

a zatem istniej a sta le c1, c2 > 0 takie, ze

c1‖z‖ ≤ ‖z‖1 ≤ c2‖z‖ dla z ∈ E.

Zdefiniujmy teraz norm e

|z| := ‖P−z‖+ supt≥0‖eδtSA(t)Q+z‖ dla z ∈ E.

Wtedy c1‖z‖ ≤ ‖z‖1 ≤ |z| dla z ∈ E. Ponadto, na postawie (4.20) oraz faktu, ze M ≥ 1

|z| ≤ ‖P−z‖+M‖Q+z‖ ≤M‖z‖1 ≤ c2M‖z‖ dla z ∈ E.

W konsekwencji otrzymujemy, ze normy | · | oraz ‖ · ‖ s a rownowazne. Zauwazmy, ze

|Q+z| = ‖P−Q+z‖+ supt≥0‖eδtS(t)Q2

+z‖ = supt≥0‖eδtS(t)Q+z‖ ≤ |z| dla z ∈ E,

czyli |Q+z| ≤ |z| dla z ∈ E. Poniewaz spe lnione s a inkluzje (4.19) mamy, ze

SA(t)P− = P−SA(t) oraz SA(t)Q+ = Q+SA(t) dla t ≥ 0.

Zatem dla dowolnego t ≥ 0 oraz z ∈ E+ otrzymujemy

|SA(t)z| = ‖P−SA(t)z‖+ sups≥0‖eδsSA(s)Q+SA(t)z‖

= ‖SA(t)P−z‖+ sups≥0‖eδsSA(s)SA(t)Q+z‖

= e−δt sups≥0‖eδ(t+s)SA(t+ s)Q+z‖ ≤ e−δt sup

s≥0‖eδsSA(s)Q+z‖

≤ e−δt(‖P−z‖+ sup

s≥0‖eδsSA(s)Q+z‖

)= e−δt|z|.

W konsekwencji wnosimy, ze

|SA(t)z| ≤ e−δt|z| dla t ≥ 0, z ∈ E+. (4.26)

Na podstawie w lasnosci miary β, dla dowolnego ograniczonego Ω ⊂ E mamy

β(SA(t)Ω) ≤ β(SA(t)P−Ω) + β(SA(t)Q+Ω) = β(SA(t)Q+Ω) (4.27)

dla t ≥ 0, przy czym ostatnia rownosc wynika z faktu, ze zbior SA(t)P−Ω jest relatywniezwarty, gdyz jest ograniczony w przestrzeni skonczenie wymiarowej E0 ⊕ E−. Na podstawienierownosci (4.25) oraz Lematu 6.1.1 mamy, ze dla dowolnego ograniczonego Ω ⊂ E+ zachodzirownosc

β(SA(t)Q+Ω) = βE+(SA(t)Q+Ω) dla t ≥ 0.


Zatem na podstawie nierownosci (4.26), (4.27) oraz (4.25) mamy

β(SA(t)Ω) ≤ β(SA(t)Q+Ω) = βE+(SA(t)Q+Ω)

≤ e−δtβE+(Q+Ω) = e−δtβ(Q+Ω) ≤ e−δtβ(Ω),

co konczy dowod lematu.

Dowod Twierdzenia 2.4.4. Na podstawie Lematu 2.4.5, na przestrzeni E istnieje norma |·|,ktora jest rownowazna z norm a wyjsciow a ‖·‖ o tej w lasnosci, ze dla dowolnego ograniczonegoΩ ⊂ E mamy

β(SA(t)Ω) ≤ e−δtβ(Ω) dla t ≥ 0, (4.28)

gdzie δ > 0, zas β jest miar a Hausdorffa wyznaczona przez norm e | · |. Niech Ω ⊂ E b edziezbiorem ograniczonym. Korzystaj ac z osrodkowosci przestrzeni S oraz E, mozemy wybracprzeliczalne zbiory S0 ⊂ S oraz Ω0 ⊂ Ω takie, ze Ω ⊂ Ω0 oraz S ⊂ S0. Wtedy

β(Φt(S0 × Ω0)) ≤ β(SA(t)Ω0) + β(Dt), (4.29)

gdzie przyjmujemy

Dt :=

∫ t

0SA(t− τ)F(s, τ,Φτ (s, z)) dτ | s ∈ S0, z ∈ Ω0

.

Na podstawie punktu (c) Uwagi 2.4.1 odwzorowanie F spe lnia za lozenia (F3) oraz (F4).Korzystaj ac zatem z punktu (a) Lematu 2.2.4 otrzymujemy, ze zbior

Φτ (s, z) | τ ∈ [0, t], s ∈ S0, z ∈ Ω0 (4.30)

jest ograniczony. Zatem ograniczony jest rowniez zbior

SA(t− τ)F(s, τ,Φτ (s, z)) | τ ∈ [0, t], s ∈ S0, z ∈ Ω0,co na podstawie Stwierdzenia 6.1.2 implikuje, ze funkcja ϕ : [0, t]→ R dana wzorem

ϕ(τ) := β(SA(t− τ)F(s, τ,Φτ (s, z)) | s ∈ S0, z ∈ Ω0) dla τ ∈ [0, t]

nalezy do klasy L1([0, t]) oraz

β

(∫ t

0SA(t− τ)F(s, τ,Φτ (s, z)) dτ | s ∈ S0, z ∈ Ω0

)≤∫ t

0ϕ(τ) dτ.

Dlatego korzystaj ac ponownie z ograniczonosci zbioru (4.30) oraz z pe lnoci ag losci odwzoro-wania F udowodnionej w punkcie (d) Uwagi 2.4.1 otrzymujemy, ze dla dowolnego τ ∈ [0, t]zbior

F(s, τ,Φτ (s, z)) | s ∈ S0, z ∈ Ω0jest relatywnie zwarty co implikuje, ze

β(Dt) = ϕ(τ) = 0 dla τ ∈ [0, t].

L acz ac to z (4.28) oraz (4.29) otrzymujemy, ze

β(Φt(S0 × Ω0)) ≤ β(SA(t)Ω0) = e−δtβ(Ω0) dla t ≥ 0.

Na mocy Twierdzenia 2.4.3 wiemy, ze odwzorowanie Φt jest ci ag le dla t ≥ 0. Dlatego

Φt(S × Ω) ⊂ Φt(S0 × Ω0) ⊂ Φt(S0 × Ω0),

co implikuje, ze β(Φt(S ×Ω)) ≤ β(Φt(S0 ×Ω0)) ≤ e−δtβ(Ω0) ≤ e−δtβ(Ω) i konczy dowod.

Za lozmy teraz, ze odwzorowanie F jest niezalezne od czasu.


Definicja 2.4.6. Jesli s ∈ S jest ustalone, to po lpotokiem stowarzyszonym z rownaniem(4.18) nazywamy odwzorowanie Φs : [0,+∞)×E→ E dane wzorem

Φs(t, (x, y)) := u(t; s, (x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E.

Na podstawie jednoznacznosci istnienia s labych rozwi azan (patrz Twierdzenie 2.1.5) moznasprawdzic, ze powyzsza definicja jest poprawna, czyli:

(i) Φs(0, (x, y)) = (x, y) dla (x, y) ∈ E oraz s ∈ S,

(ii) Φs(t+ t′, (x, y)) = Φs(t,Φs(t′, (x, y))) dla t, t′ ≥ 0, (x, y) ∈ E oraz s ∈ S.

Uwaga 2.4.7. Niech J ⊂ R b edzie przedzia lem. Podobnie jak w Uwadze 2.3.5 mozemysprawdzic, ze jesli odwzorowanie w : J → E jest rozwi azaniem po lpotoku Φs dla pewnegos ∈ S (patrz Dodatek strona 140), to jest rowniez rozwi azaniem rownania (4.18).

Nast epuj ace twierdzenie, dotycz ace zwartosci po lpotoku Φ zosta lo udowodnione mi edzyinnymi w [52].

Twierdzenie 2.4.8. Rodzina po lpotokow Φss∈S jest ci ag la. Ponadto niech (sn) b edzie ci a-giem w przestrzeni S. Wowczas dowolny zbior ograniczony N ⊂ E jest dopuszczalny wzgl edemrodziny po lpotokow Φsnn≥1.

Dowod. Ci ag losc rodziny Φss∈S wynika z Twierdzenia 2.4.3. Niech (sn) b edzie ci agiemw przestrzeni S oraz niech (tn) w [0,+∞) oraz (zn) w E b ed a ci agami takimi, ze tn → +∞gdy n → +∞ oraz Φsn(zn × [0, tn]) ⊂ N dla n ≥ 1. Dla dowolnego n ≥ 1 oznaczmywn := w( · ; sn, zn). Na podstawie Twierdzenia 2.4.4, na przestrzeni E istnieje norma | · |rownowazna z norm a wyjsciow a ‖ · ‖ taka, ze dla dowolnego ograniczonego Ω ⊂ E spe lnionajest nierownosc

β(Φt(S × Ω)) ≤ e−δtβ(Ω) dla t ≥ 0, (4.31)

gdzie δ > 0, zas β jest miara niezwartosci Hausdorffa wyznaczon a przez norm e | · |. NiechR = supz∈N |z| oraz niech ε > 0 b edzie ustalone. Wtedy istnieje t0 > 0 takie, ze Re−δt0 ≤ ε.Ponadto mozemy wybrac n0 ≥ 1 takie, ze tn ≥ t0 dla n ≥ n0. Korzystaj ac z faktu, ze

wn(tn) = Φt0(sn, wn(tn − t0)) dla n ≥ 1,

na podstawie (4.31) otrzymujemy

β(wn(tn)n≥1) = β(wn(tn)n≥n0) ≤ β(Φt0(S ×N)) ≤ e−δt0β(N) ≤ Re−δt0 ≤ ε.

Wobec dowolnosci ε > 0 wnosimy, ze zbior wn(tn)n≥1 jest relatywnie zwarty w E, co do-wodzi dopuszczalnosci rodziny po lpotokow Φsnn≥1 i konczy dowod.

Rozdzia l 3

Wzory indeksowe dla rownanpierwszego rz

edu w rezonansie

Rozdzia l ten jest poswi econy omowieniu otrzymanych wynikow dotycz acych rownan pierwszego

rz edu b ed acych w rezonansie w nieskonczonosci. Wprowadzam w nim warunki geometryczne cha-

rakteryzuj ace nieliniowosc F , a nast epnie dowodz e nast epuj ace dwa twierdzenia: wzor indeksowy dla

orbit ograniczonych oraz wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych, ktore wykorzystuj a wprowadzone

warunki geometryczne do wyrazenia odpowiednio indeksu Conley’a stowarzyszonego po lpotoku oraz

indeksu punktow sta lych operatora przesuni ecia wzd luz trajektorii na odpowiednio duzych kulach.

Otrzymane wzory indeksowe stosuj e do stwierdzenia istnienia rozwi azan T -okresowych oraz do sfor-

mu lowania kryteriow na istnienie orbit l acz acych punktu stacjonarne.

3.1 Wprowadzenie do rozdzia lu

Zak ladamy, ze A : X ⊃ D(A)→ X jest operatorem wycinkowym na przestrzeni BanachaX, zas δ > 0 jest tak a liczb a rzeczywist a, ze operator Aδ := A+ δI jest dodatnio okreslony.Niech Xα := D(Aαδ ), gdzie α ∈ (0, 1), b edzie przestrzeni a u lamkow a wyznaczon a przez tenoperator wyposazon a w norm e

‖x‖α := ‖Aαδ x‖ = ‖(A+ δI)αx‖ dla x ∈ Xα.

Przyjmijmy, ze spe lnione s a za lozenia (A1), (A2) oraz (A3) (patrz strona 31). Wowczas, napodstawie Uwagi 1.5.3, spektrum σ(A) operatora A sk lada si e z rosn acego ci agu wartosciw lasnych

λ1 < λ2 < . . . < λi < λi+1 < . . . dla i ≥ 1,

ktory jest skonczony lub λi → +∞ gdy i → +∞. Ponadto, na podstawie Twierdzenia 1.3.7mamy, ze

Ker (A− λiI) = Ker (I − eλitSA(t)) dla i ≥ 1, t > 0. (1.1)

Za lozmy, ze λ = λk dla pewnego k ≥ 1 jest wartosci a w lasn a operatora A. Wowczas zapomoc a Twierdzenia 1.5.7 uzyskujemy rozk lad na sum e prost a przestrzeni domkni etych X =X0 ⊕X− ⊕X+ takich, ze

SA(t)Xi ⊂ Xi dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+. (1.2)

61

62 Rozdzia l 3. Wzory indeksowe dla rownan pierwszego rz edu w rezonansie

Ponadto X0 := Ker (λI −A) oraz X− jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a tak a, ze


Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2. (1.3)

St ad

dimX− = 0 jesli k = 1, dimX− =

k−1∑i=1

dim Ker (λiI −A) jesli k ≥ 2. (1.4)

Wiadomo rowniez, ze przestrzenie X0, X− oraz X+ s a wzajemnie ortogonalne ze wzgl edu nailoczyn skalarny 〈 · , · 〉H , czyli,

〈i(ul), i(um)〉H = 0 dla ul ∈ Xl, um ∈ Xm gdzie l,m ∈ 0,−,+, l 6= m (1.5)

oraz istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖Aαδ SA(t)x‖ ≤Me−(λ+c)tt−α‖x‖ dla t > 0, x ∈ X+, (1.6)

‖eλtSA(t)x‖ ≤Me−ct‖x‖ dla t ≥ 0, x ∈ X+, (1.7)

‖eλtSA(t)x‖ ≤Mect‖x‖ dla t ≤ 0, x ∈ X−. (1.8)

gdzie SA(t)x := exp(−tA−)x dla t ∈ R oraz x ∈ X− jest naturalnym rozszerzeniem po lgrupySA(t)t≥0 na przestrzeni X−. Zauwazmy, ze rozk lad X = X0 ⊕X− ⊕X+ wyznacza rowniezci ag le projekcje P,Q± : X → X dane dla dowolnego x ∈ X wzorem

Px = x0 oraz Q±x = x± (1.9)


− ⊕Xα+, gdzie


+ := Xα ∩X+.

W ten sposob rzuty P oraz Q± mozemy traktowac rowniez jako odwzorowania ci ag le P,Q± :Xα → Xα dane dla dowolnego x ∈ Xα wzorem (1.9). Ponadto zauwazmy, ze na podstawie(1.2), maj a miejsce nast epuj ace rownosci

SA(t)Px = PSA(t)x oraz SA(t)Q±x = Q±SA(t)x dla t ≥ 0, x ∈ X. (1.10)

3.2 Wzor indeksowy dla rozwiazan ograniczonych

B edziemy zajmowac si e problemem istnienia orbit ograniczonych dla autonomicznych row-nan pierwszego rz edu b ed acych w rezonansie w nieskonczonosci postaci

u(t) = −Au(t) + λu(t) + F (u(t)), t > 0, (2.11)

gdzie λ jest wartosci a w lasn a operatora A, zas F : Xα → X jest odwzorowaniem ci ag lymspe lniaj acym za lozenie (F1) (patrz strona 45) oraz nast epuj ace za lozenie

(F6) istnieje sta la m > 0 taka, ze ‖F (x)‖ ≤ m dla x ∈ Xα.

Wobec tych za lozen, Twierdzenie 2.1.5 implikuje, ze dla dowolnego x ∈ Xα istnieje odwzo-rowanie u( · ;x) : [0,+∞)→ Xα b ed ace s labym rozwi azaniem zagadnienia (2.11) startuj acymw punkcie x. Dlatego mozemy zdefiniowac po lpotok Φ : [0,+∞)×Xα → Xα dany wzorem

Φ(t, x) := u(t;x) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

3.2. Wzor indeksowy dla rozwi azan ograniczonych 63

Na podstawie Twierdzenia 2.3.2 po lpotok Φ jest ci ag ly, zas Lemat 2.3.6 stwierdza jego do-puszczalnosc. Powo luj ac si a na Uwag e 2.3.5 widzimy, ze pe lne rozwi azanie tego po lpotokumozemy utozsamiac z pe lnym rozwi azaniem rownania (2.11).

Uwaga 3.2.1. W przypadku gdy rownanie (2.11) jest w rezonansie w nieskonczonosci pro-blem istnienia orbit ograniczonych moze nie miec rozwi azan przy dowolnej nieliniowosci F .

Aby si e o tym przekonac wystarczy przyj ac F (x) = y0 dla x ∈ X, gdzie y0 ∈ Ker (λI−A)\0.Jesli teraz u : R → Xα jest ograniczon a krzyw a ca lkow a dla rownania (2.11), to korzystaj acze wzoru ca lkowego mamy

u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)y0 dτ dla t > t′.

Skoro Ker (λI −A) ⊂ Ker (I − eλtSA(t)) dla t ≥ 0 mamy tez, ze

u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)u(t′) + (t− t′)y0 dla t > t′.

Dzia laj ac na to rownanie rzutem P i korzystaj ac z (1.10) mamy

Pu(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)Pu(t′) + (t− t′)Py0 = Pu(t′) + (t− t′)y0 dla t > t′,

a zatem Pu(h) = Pu(0) + hy0 oraz Pu(−h) = Pu(0) − hy0 dla h ≥ 0. Poniewaz y0 6= 0,przeczy to za lozeniu, ze u jest odwzorowaniem ograniczonym.

Wobec powyzszej uwagi wprowadzam nast epuj ace dwa warunki geometryczne dla rownanpierwszego rz edu, ktore pos luz a nam do charakteryzacji nieliniowosci F tak aby rownanie(2.11) mog lo posiadac orbity ograniczone:

(G1)

dla dowolnej kuli B ⊂ Xα

+ ⊕Xα− istnieje sta la R > 0 taka, ze

〈F (x+ y), x〉H > 0 dla (x, y) ∈ X0 ×B takich, ze ‖x‖H ≥ R,

(G2)



〈F (x+ y), x〉H < 0 dla (x, y) ∈ X0 ×B takich, ze ‖x‖H ≥ R.

Przejdziemy teraz do sformu lowania i dowodu wzoru indeksowego dla orbit ograniczonych,b ed acego g lownym rezultatem tej sekcji. Jest ono narz edziem s luz acym do wyznaczania in-deksu Conley’a dla maksymalnego zbioru niezmienniczego wzgl edem po lpotoku Φ, zawartegow dostatecznie duzej kuli, w zaleznosci od powyzszych warunkow geometrycznych. Twierdze-nie to moze byc uzyte bezposrednio do dowodzenia istnienia orbit ograniczonych dla rownania(2.11) lub zastosowane do dowodu istnienia orbit l acz acych punkty stacjonarne dla tego row-nania, co b edzie tematem nast epnej sekcji.

Twierdzenie 3.2.2. Niech λ = λk dla pewnego k ≥ 1 oraz niech dl b edzie dane jako d0 = 0oraz dl :=

∑li=1 dim Ker (λiI −A) gdy l ≥ 1. Wowczas istnieje domkni ete otoczenie izoluj ace

N ⊂ Xα, dopuszczalne wzgl edem po lpotoku Φ takie, ze 0 ∈ intN oraz, dla K := Inv (N,Φ),prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia:

(i) jesli spe lniony jest warunek (G1), to K ∈ S(Xα) oraz h(Φ,K) = Σdk ,(ii) jesli spe lniony jest warunek (G2), to K ∈ S(Xα) oraz h(Φ,K) = Σdk−1.


W dowodzie powyzszego twierdzenia b edziemy wykorzystywac nast epuj ac a rodzin e row-nan rozniczkowych

u(t) = −Au(t) + λu(t) +G(s, u(t)), t > 0. (2.12)

gdzie G : [0, 1]×Xα → X jest odwzorowaniem danym wzorem

G(s, x) := PF (sQx+ Px) + sQF (sQx+ Px) dla (s, x) ∈ [0, 1]×Xα. (2.13)

Uwaga 3.2.3. Poniewaz odwzorowanie F jest lokalnie lipschitzowskie, czyli, spe lnia warunek(F3), odwzorowanie G(s, ·) jest rowniez lokalnie lipschitzowskie dla dowolnego s ∈ [0, 1].Ponadto, na podstawie (F6), dla dowolnego s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Xα mamy

‖G(s, x)‖ = ‖PF (sQx+ Px) + sQF (sQx+ Px)‖≤ ‖P‖‖F (sQx+ Px)‖+ ‖Q‖‖F (sQx+ Px)‖≤ m(‖P‖+ ‖Q‖) := m0,

(2.14)

co pokazuje, ze spe lniony jest rowniez warunek (F4).

Na podstawie powyzszej uwagi oraz Twierdzenia 2.1.5, dla dowolnego s ∈ [0, 1], mozemyzdefiniowac po lpotok Ψs : [0,+∞)×Xα → Xα dany wzorem

Ψs(t, x) := u(t; s, x) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα,

gdzie u( · ; s, x) : [0,+∞) → Xα jest s labym rozwi azaniem zagadnienia (2.12) zaczynaj acymsi e w punkcie w punkcie x. Twierdzenie 2.3.2 mowi, ze Ψss∈[0,1] jest ci ag l a rodzina po l-potokow, zas Twierdzenie 2.3.6 implikuje, ze dowolny zbior ograniczony jest dopuszczalnywzgl edem rodziny Ψsnn≥1, gdzie (sn) w [0, 1] jest ci agiem. Nietrudno sprawdzic, ze rodzinaΨss∈[0,1] l aczy po lpotok Ψ1 = Φ z po lpotokiem Ψ0 generowanym przez rownanie

u(t) = −Au(t) + λu(t) + PF (Pu(t)), t > 0,

ktorego kazde rozwi azanie u : [0,+∞)→ Xα spe lnia wzor ca lkowy

u(t) = eλtSA(t)u(0) +

∫ t

0PF (Pu(τ)) dτ dla t ≥ 0 (2.15)

Niech ψ1 : [0,+∞)×Xα− ⊕Xα

+ → Xα− ⊕Xα

+ b edzie po lpotokiem danym jako

ψ1(t, x) := eλtSA(t)x dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα− ⊕Xα

+.

oraz niech po lpotok ψ2 : [0,+∞)×X0 → X0 b edzie stowarzyszony z rownaniem

u(t) = PF (u(t)), t > 0

Wowczas nietrudno zauwazyc, ze

Ψ0(t, x) = ψ1(t, Qx) + ψ2(t, Px) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα,

a zatem po lpotok Ψ0 jest topologicznie rownowazny z iloczynem kartezjanskim po lpotokowψ1 oraz ψ2, czyli,

Ψ0(t, U(x, y)) = U(ψ1(t, x), ψ2(t, y)) dla t ≥ 0, (x, y) ∈ (Xα− ⊕Xα

+)×X0, (2.16)

gdzie homeomorfizm liniowy U : (Xα− ⊕Xα

+) ×X0 → Xα dany jest wzorem U(x, y) = x + ydla (x, y) ∈ (Xα

− ⊕Xα+)×X0. Przejdziemy teraz do dowodu nast epuj acego lematu.


Lemat 3.2.4. Istnieje sta la R > 0 o tej w lasnosci, ze dla dowolnego s ∈ [0, 1] oraz dowolnegope lnego rozwi azania u = us : R→ Xα dla po lpotoku Ψs, ktore jest ograniczone w Xα, mamy

‖Qu(t)‖α ≤ R dla t ∈ R.

Dowod. Niech u = us : R → Xα b edzie pe lnym ograniczonym rozwi azaniem dla rownania(2.12) z ustalonym parametrem s ∈ [0, 1]. Poniewaz odwzorowania Q−, Q+ : Xα → Xα s aograniczone, zbiory Q+u(t) | t ≤ 0 oraz Q−u(t) | t ≥ 0 rowniez s a ograniczone w Xα.Udowodnimy, ze

‖Q+u(t)‖α ≤ m0M‖Q+‖L(X)

(e−c/c+

1

1− α

)=: R1 dla t ∈ R. (2.17)

W tym celu zauwazmy najpierw, ze skoro u jest pe lnym rozwi azaniem, to Ψs(t− t′, u(t′)) =u(t) dla t, t′ ∈ R, t ≥ t′, co implikuje, ze

u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)G(s, u(τ)) dτ dla t ≥ t′. (2.18)

Dzia laj ac na powyzsze rownanie operatorem Q+ i korzystaj ac z (1.10) mamy

Q+u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)Q+G(s, u(τ)) dτ (2.19)

dla t ≥ t′. Poniewaz w lozenie Xα → X jest ci ag le istnieje sta la C > 0 taka, ze

‖x‖ ≤ C‖x‖α dla x ∈ Xα.

Ponadto, korzystaj ac z (1.6) otrzymujemy istnienie sta lych c,M > 0 takich, ze

‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α = ‖Aαδ eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖

≤M e−c(t−t′)

(t− t′)α ‖Q+u(t′)‖

≤ CM e−c(t−t′)

(t− t′)α ‖Q+u(t′)‖α

dla t, t′ ∈ R, t > t′. St ad ograniczonosc zbioru Q+u(t) | t ≤ 0 implikuje, ze

‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α → 0 gdy t′ → −∞. (2.20)

Korzystaj ac ponownie z (1.6), mamy

‖Q+u(t)‖α ≤ ‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α

+

∫ t

t′‖Aαδ eλ(t−τ)SA(t− τ)Q+G(s, u(τ))‖ dτ

≤ ‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α +M

∫ t

t′

e−c(t−τ)

(t− τ)α‖Q+G(s, u(τ))‖ dτ

≤ ‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α +m0M‖Q+‖L(X)

∫ t

t′

e−c(t−τ)

(t− τ)αdτ.

(2.21)


Z drugiej strony, jesli wezmiemy t, t′ ∈ R aby spe lniona by la nierownosc t− t′ > 1, to∫ t

t′

e−c(t−τ)

(t− τ)αdτ =

∫ t−1

t′

e−c(t−τ)

(t− τ)αdτ +

∫ t

t−1

e−c(t−τ)

(t− τ)αdτ

≤∫ t−1

t′e−c(t−τ) dτ +

∫ t

t−1

1

(t− τ)αdτ

= (e−c − ec(t′−t))/c+ 1/(1− α),

a st ad, na mocy (2.21), otrzymujemy

‖Q+u(t)‖α ≤ ‖eλ(t−t′)SA(t− t′)Q+u(t′)‖α +m0M‖Q+‖L(X)

((e−c − ec(t′−t))/c+

1

1− α

).

Dlatego wykorzystuj ac (2.20) i przychodz ac do granicy z t′ → −∞ wnosimy, ze spe lnione jest(2.17). Zauwazmy, ze przestrzen X− jest skonczenie wymiarowa i dlatego istnieje sta la C ′ > 0taka, ze

‖x‖α ≤ C ′‖x‖ dla x ∈ X−. (2.22)

Pokazemy teraz, ze ograniczonosc zbioru Q−u(t) | t ≥ 0 w przestrzeni Xα implikuje nie-rownosc

‖Q−u(t)‖α ≤ m0C′M‖Q−‖L(X)/c := R2 dla t ∈ R. (2.23)

W tym celu dzia lamy na rownanie (2.18) operatorem Q− i na podstawie (1.10) otrzymujemy

Q−u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)Q−u(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)Q−G(s, u(τ)) dτ

i w konsekwencji, dla t, t′ ∈ R oraz t ≥ t′, mamy

eλ(t′−t)SA(t′ − t)Q−u(t) = Q−u(t′) +

∫ t

t′eλ(t′−τ)SA(t′ − τ)Q−G(s, u(τ)) dτ, (2.24)

gdyz jako wspomnielismy rodzina SA(t)t≥0 po obci eciu do przestrzeni X− przed luza sie doC0 grupy operatorow. Korzystaj ac nierownosci (1.8) otrzymujemy istnienie sta lych c,M > 0takich, ze

‖Q−u(t′)‖ ≤ ‖eλ(t′−t)SA(t′ − t)Q−u(t)‖

+

∫ t

t′‖eλ(t′−τ)SA(t′ − τ)Q−G(s, u(τ))‖ dτ

≤ ‖eλ(t′−t)SA(t′ − t)Q−u(t)‖+

∫ t

t′Mec(t

′−τ)‖Q−G(s, u(τ))‖ dτ

≤Mec(t′−t)‖Q−u(t)‖+m0M‖Q−‖L(X)

∫ t

t′ec(t

′−τ) dτ

≤ CMec(t′−t)‖Q−u(t)‖α +m0M‖Q−‖L(X)

(1− ec(t′−t)

)/c.

Przechodz ac do granicy z t→ +∞ wnosimy, ze

‖Q−u(t′)‖ ≤ m0M‖Q−‖/c dla t′ ∈ R, (2.25)

co po zastosowaniu (2.22) daje (2.23). Bior ac pod uwag e nierownosci (2.17) oraz (2.23), dladowolnego t ∈ R, mamy

‖Qu(t)‖α ≤ ‖Q−u(t)‖α + ‖Q+u(t)‖α ≤ ‖Q−‖L(Xα)‖u(t)‖α + ‖Q+‖L(Xα)‖u(t)‖α≤ R1‖Q+‖L(Xα) +R2‖Q−‖L(Xα) := R,



Dowod Twierdzenia 3.2.2. Krok 1. Na podstawie Stwierdzenia 3.2.4 istnieje sta la R1 > 0taka, ze dla dowolnego s ∈ [0, 1] oraz ograniczonego w Xα pe lnego rozwi azania u = us : R→Xα dla po lpotoku Ψs zachodzi nierownosc

‖Qu(t)‖α ≤ R1 dla t ∈ R. (2.26)

Bior ac N1 := x ∈ Xα+ ⊕Xα

+ | ‖x‖α ≤ R1 + 1 i korzystaj ac z (1.5), w przypadku warunku(G1), otrzymujemy istnienie sta lej R2 > 0 takiej, ze

〈PF (x+ y), x〉H > 0 dla (y, x) ∈ N1 ×X0 gdzie ‖x‖H ≥ R. (2.27)

Podobnie w przypadku warunku (G2) otrzymujemy istnienie sta lej R2 > 0 takiej, ze

〈PF (x+ y), x〉H < 0 dla (y, x) ∈ N1 ×X0 gdzie ‖x‖H ≥ R. (2.28)

Niech N2 := x ∈ X0 | ‖x‖H ≤ R2.Krok 2. Sprawdzimy, ze N := N1 ⊕N2 jest otoczeniem izoluj acym dla rodziny Ψss∈[0,1].W tym celu niech u := us : R→ Xα b edzie pe lnym i ograniczonym rozwi azaniem po lpotokuΨs, dla pewnego s ∈ [0, 1], takim, ze u(R) ⊂ N oraz u(R) ∩ ∂N 6= ∅. Bez straty ogolnoscimozemy przyj ac, ze u(0) ∈ ∂N . Wowczas ‖Qu(0)‖α = R1 + 1 oraz ‖Pu(0)‖H ≤ R2 lub‖Qu(0)‖α ≤ R1 + 1 oraz ‖Pu(0)‖H = R2, przy czym na podstawie nierownosci (2.26) mozemiec miejsce tylko drugi przypadek. Zauwazmy, ze skoro u spe lnia wzor ca lkowy

u(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)u(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)G(s, u(τ)) dτ dla t ≥ t′,

to dzia laj ac na to rownanie operatorem P i stosuj ac rownosci (1.10) otrzymujemy

Pu(t) = eλ(t−t′)SA(t− t′)Pu(t′) +

∫ t

t′eλ(t−τ)SA(t− τ)PG(s, u(τ)) dτ. (2.29)

Z drugiej strony Ker (λI − A) ⊂ Ker (I − eλtSA(t)) dla t ≥ 0, i dlatego rownanie (2.29)przyjmuje nast epuj ac a postac

Pu(t) = Pu(t′) +

∫ t

t′PF (sQu(τ) + Pu(τ)) dτ.

Dlatego, zadaj ac na przestrzeni X0 norm e ‖ · ‖H widzimy, ze odwzorowanie R 3 t→ Pu(t) ∈X0 jest rozniczkowalne w sposob ci ag ly na R. Ponadto

d

dt‖Pu(t)‖2H = 2

⟨d

dtPu(t), Pu(t)

⟩H

= 2〈PF (sQu(t) + Pu(t)), Pu(t)〉H

dla t ∈ R. Poniewaz ‖Pu(0)‖2H = R2, ze wzgl edu na (2.26), (2.27) oraz (2.28) mamy, ze wprzypadku kazdego z warunkow (G1) oraz (G2)

d

dt‖Pu(t)‖2H |t=0 = 2〈PF (sQu(0) + Pu(0)), Pu(0)〉H 6= 0,

sk ad otrzymujemy, ze zbior Pu(t) | t ∈ R nie jest zawarty w N2, co przeczy za lozeniu, zeu(t) | t ∈ R ⊂ N .


Krok 2. Sprawdzimy, ze zbior B := N2 jest blokiem izoluj acym dla po lpotoku ψ2 (patrzstrona 64) takim, ze

(B,B−) = (N2, ∂N2) jesli spe lniony jest warunek (G1);

(B,B−) = (N2, ∅) jesli spe lniony jest warunek (G2).(2.30)

Za lozmy, ze odwzorowanie u : [−δ2, δ1)→ X0, gdzie δ1 > 0, δ2 ≥ 0, jest rozwi azaniem dla ψ2

takim, ze u(0) ∈ ∂N2. Wtedy

u(t) = u(0) +

∫ t

0PF (u(τ)) dτ dla t ∈ [−δ2, δ1),

co implikuje, ze odwzorowanie [−δ2, δ1) 3 t→ u(t) ∈ X0 jest rozniczkowalne w sposob ci ag lygdy na X0 mamy zadan a nor e ‖ · ‖H oraz

d

dt‖u(t)‖2H = 2〈u(t), u(t)〉H = 2〈PF (u(t)), u(t)〉H dla t ∈ [−δ2, δ1).

Poniewaz ‖u(0)‖H = R2, po l aczenie powyzszej rownosci z nierownosciami (2.27) oraz (2.28)daje nam

ddt‖u(t)‖2H |t=0 > 0 jesli spe lniony jest warunek (G1);ddt‖u(t)‖2H |t=0 < 0 jesli spe lniony jest warunek (G2).

(2.31)

To implikuje, ze w przypadku warunku (G1) para (B,B−) := (N2, ∂N2) jest blokiem izolu-j acym dla po lpotoku ψ2. Podobnie, w przypadku warunku (G2), druga z nierownosci (2.31)pokazuje, ze para (N2, ∅) jest blokiem izoluj acym dla po lpotoku ψ2.

Krok 3. Na podstawie Kroku 1. oraz homotopijnej niezmienniczosci indeksu Conley’a mamy

h(Φ,K) = h(Ψ1,K1) = h(Ψ0,K0) (2.32)

gdzie Ks := Inv (N,Ψs) dla s ∈ 0, 1. Zauwazmy, ze nierownosci (1.7), (1.8) oraz punkt (b)Twierdzenia 1.4.6 implikuj a, ze istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖eλtSA(t)x‖α ≤Me−ct‖x‖α dla t ≥ 0, x ∈ X+,

‖eλtSA(t)x‖α ≤Mect‖x‖α dla t ≤ 0, x ∈ X−.

Dlatego Stwierdzenie 6.2.7 pokazuje, zeN1 jest otoczeniem izoluj acym dla ψ1,K10 := Inv (ψ1, N1) =

0 orazh(ψ1,K

10 ) = ΣdimX− = Σdk−1 . (2.33)

Poniewaz na podstawie Kroku 2. zbior N2 jest blokiem izoluj acym dla ψ2, k lad ac K20 :=

Inv (ψ2, N2), zgodnie z w lasnosci a multiplikatywnosci indeksu homotopijnego mamy K10 ×

K20 ∈ S(ψ1 × ψ2, (X

α+ ⊕Xα

−)×X0) oraz

h(ψ1 × ψ2,K10 ×K2

0 ) = h(ψ1,K10 ) ∧ h(ψ2,K

20 ). (2.34)

Zgodnie z rownosci a (2.16) mamy, ze U(K10 ×K2

0 ) = Inv (N,Ψ0) = K0, a zatem Stwierdzenie(6.2.8) implikuje, ze

h(Ψ0,K0) = h(ψ1 × ψ2,K10 ×K2

0 ).

L acz ac to z (2.32) oraz (2.34) wnosimy, ze

h(Φ,K) = h(Ψ0,K0) = h(ψ1,K10 ) ∧ h(ψ2,K

20 ).

3.3. Orbity l acz ace punkty rownowagi 69

Dlatego korzystaj ac z (2.33) mamy

h(Φ,K) = ΣdimX− ∧ h(ψ2,K20 ) = Σdk−1 ∧ h(ψ2,K

20 ), (2.35)

Z faktu, ze N2 jest kul a w przestrzeni Hilberta (X0, ‖ · ‖H) wynika, ze w przypadku warunku(G1), para (B,B−) jest homeomorficzna z par a przestrzeni topologicznych, z ktorych jednajest kul a jednostkow a w przestrzeni euklidesowej i, zas druga jest jej brzegiem. W konsekwencji

h(ψ2,K20 ) = ΣdimX0 .

Podstawiaj ac t e rownosc do (2.35), na podstawie Stwierdzenia 6.2.5 otrzymujemy

h(Φ,K) = Σdk−1 ∧ ΣdimX0 = Σdk

i tym samym dowodzimy punktu (i). W przypadku warunku (G2), z (2.30) wynika, ze para(N2, ∅) jest blokiem izoluj acym dla po lpotoku ψ2, co daje nam h(ψ2,K

20 ) = Σ0. L acz ac to z

(2.35) wnosimy, ze

h(Φ,K) = Σdk−1 ∧ Σ0 = Σdk−1

i w ten sposob dowodzimy punktu (ii) i konczymy dowod twierdzenia.

3.3 Orbity lacz

ace punkty rownowagi

Naszym celem b edzie zastosowanie Twierdzenia 3.2.2 oraz metod zbiorow nieredukowal-nych (patrz Dodatek strona 145) do badania istnienia orbit l acz acych punkty stacjonarne. Wtym celu b edziemy potrzebowac dodatkowego za lozenia na odwzorowanie F :

(F7) F (0) = 0, odwzorowanie F jest rozniczkowalne w 0 oraz istnieje µ ∈ R takie, ze jego

DF (0)[x] = µx dla x ∈ Xα.

Na podstawie za lozenia (F7) element zerowy jest punktem stacjonarnym po lpotoku Φ, czyliΦ(t, 0) = 0 dla t ≥ 0. Nast epuj ace twierdzenie stanowi kryterium rozstrzygaj acego istnienieorbit l acz acych punkty stacjonarne dla rownania (2.11).

Twierdzenie 3.3.1. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje pe lne niezerowe rozwi azanieσ : R→ Xα dla po lpotoku Φ takie, ze ma miejsce przynajmniej jedna z granic

limt→−∞

u(t) = 0 lub limt→+∞

u(t) = 0,

jesli spe lniony jest jeden z ponizszych warunkow:

(i) spe lniony jest warunek (G1) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (G1) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (G2), λl−1 < λ+ ν < λl oraz λ 6= λl, gdzie l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (G2), λ+ ν < λ1 oraz λ 6= λ1.

Potrzebny b edzie nast epuj acy lemat, ktory mozemy znalezc w [54]. Dla kompletnoscipracy przytoczymy go wraz z dowodem.


Lemat 3.3.2. (patrz [54]) Jesli λ+µ /∈ σ(A), to 0 ∈ S(Φ, Xα) oraz h(Φ, 0) = Σbl, gdzieprzyjmujemy bl := 0 jesli λ+ µ < λ1 oraz

bl :=l∑

i=1

dim Ker (λiI −A) jesli λl < λ+ µ < λl+1.

Dowod. Niech operator linowy L : X ⊃ D(L)→ X b edzie dany wzorem L := A− λI − µI.Dla danego s ∈ [0, 1] rozwazmy nast epuj ace rownanie rozniczkowe

u(t) = −Au(t) + (λ+ µ)u(t) + (1− s)(F (u(t))− µu(t)), t > 0. (3.36)

Niech Ψs : [0,+∞) × X → X, s ∈ [0, 1], b edzie po lpotokiem stowarzyszonym z tym za-gadnieniem oraz niech SL(t)t≥0 b edzie po lgrup a generowan a przez operator −L. Na mocyTwierdzenia 2.3.6 rodzina po lpotokow Ψss∈[0,1] jest ci ag la oraz dowolny zbior ograniczonyjest dopuszczalny wzgl edem rodziny po lpotokow Ψsnn≥1, gdzie (sn) jest ci agiem w [0, 1].Zauwazmy ponadto, ze jesli u : [0,+∞)→ Xα jest s labym rozwi azaniem rownania (3.36) przys = 0, to korzystaj ac z punktu (i) Twierdzenia 2.1.7 otrzymujemy, ze u spe lnia na przedziale(0,+∞) lokalny warunek Holdera i ponadto dla dowolnego t ∈ (0,+∞) istnieje pochodnau(t), u(t) ∈ D(A) oraz

u(t) = −Au(t) + (λ+ µ)u(t) + (F (u(t))− µu(t)) = −Au(t) + λu(t) + F (u(t)) dla t > 0.

Poniewaz F spe lnia warunek (F1) odwzorowanie t 7→ F (u(t)) spe lnia na przedziale (0,+∞)lokalny warunek Holdera, a zatem, korzystaj ac tym razem z punktu (ii) Twierdzenia 2.1.7otrzymujemy, ze u jest s labym rozwi azaniem rownania (2.11), co na podstawie jednoznacz-nosci s labych rozwi azan (patrz Twierdzenie 2.1.5) oznacza, ze

Φ(t, x) = Ψ1(t, x) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

Poniewaz λ+µ /∈ σ(A), na mocy Twierdzenia 1.5.8 istnieje rozk lad na przestrzenie domkni eteX = X1 ⊕X2 oraz sta le c,M > 0 taki, ze

‖SL(t)x‖ ≤Me−ct‖x‖ dla x ∈ X2, t ≥ 0,

‖SL(t)x‖ ≤Mect‖x‖ dla x ∈ X1, t ≤ 0.

i dlatego k lad ac Xα1 := Xα ∩X1 oraz Xα

2 := Xα ∩X2 mamy Xα := Xα1 ⊕Xα

2 oraz

‖SL(t)x‖α ≤Me−ct‖x‖α dla x ∈ Xα2 , t ≥ 0,

‖SL(t)x‖α ≤Mect‖x‖α dla x ∈ Xα1 , t ≤ 0.

(3.37)

Pokazemy teraz, ze istnieje r > 0 takie, ze kula domkni eta D(0, r) w przestrzeni Xα jestotoczeniem izoluj acym dla rodziny Ψss∈[0,1]. Gdyby to nie by la prawda, istnia lby ci agi(sn) w [0, 1], (cn) w (0, 1] oraz ci ag odwzorowan un : R → Xα takich, ze un jest pe lnymrozwi azaniem dla Ψsn , ‖un(t)‖α ≤ cn, ‖un(0)‖α > cn(1− 1/n) dla t ∈ R, n ≥ 1 oraz cn → 0gdy n→ +∞. Definiuj ac dla dowolnego n ≥ 1 odwzorowanie Gn : Xα → X jako

Gn(x) := (1− sn)(F (cnx)/cn − µx) dla x ∈ X

i oznaczaj ac vn(t) = un(t)/cn dla n ≥ 1, t ∈ R otrzymujemy rownanie

vn(t) = SL(t− t′)vn(t′) +

∫ t

t′SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ dla t > t′. (3.38)


Niech ε > 0 oraz t ∈ R b ed a ustalone. Wtedy dla dowolnego n ≥ 1

vn(t) = SL(1)vn(t− 1) +

∫ t

t−1SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ. (3.39)

Niech M0 ≥ 1 oraz c0 ∈ R b ed a takie, ze

‖SL(τ)x‖α ≤M0ec0t

τα‖x‖ dla τ > 0, x ∈ X.

Zauwazmy, ze Gn(x) → 0 jednostajnie dla x z ograniczonych podzbiorow przestrzeni Xα, aponiewaz

‖vn(τ)‖α ≤ 1 dla n ≥ 1, τ ∈ R

mamy rowniez, ze

‖Gn(vn(τ))‖ → 0 jednostajnie dla τ ∈ R, (3.40)

gdy n→ +∞. Zatem istnieje n0 ≥ 1 takie, ze

‖Gn(vn(τ))‖ ≤(M0

e|c0t|

1− α

)−1

ε/2 dla n ≥ n0.

Wtedy dla dowolnego n ≥ n0 mamy∥∥∥∥∫ t

t−1SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ

∥∥∥∥α

≤∫ t

t−1M0

ec0(t−τ)

(t− τ)α‖Gn(vn(τ))‖ dτ

≤M0e|c0t|

1− α sup‖Gn(vn(τ))‖ | n ≥ n0, τ ∈ R ≤ ε/2.

Wobec dowolnosci wyboru ε > 0 otrzymujemy, ze dla dowolnego t ∈ R zbior∫ t

t−1SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ | n ≥ 1

jest relatywnie zwarty w Xα. Poniewaz operator A ma zwarte rezolwenty, po lgrupa SA(t)t≥0

jest zwarta i tym samym, na mocy punktu (b) Uwagi 1.4.8, zbior

SL(1)vn(t− 1) | n ≥ 1 =eλ+µSA(1)vn(t− 1) | n ≥ 1

jest relatywnie zwarty w Xα. Zatem na podstawie (3.39) wnosimy, ze dla dowolnego t ∈ Rorbita vn(t)n≥1 jest zbiorem relatywnie zwartym w Xα. Zauwazmy, ze dla dowolnej liczbyca lkowitej k mamy

vn(k) = SL(1)vn(k − 1) +

∫ k

k−1SL(k − τ)Gn(vn(τ)) dτ dla n ≥ 1. (3.41)

Korzystaj ac z relatywnej zwartosci ci agu (vn(0))n≥1 mozemy wybrac z niego podci ag zbiezny(vnl(0))l≥1. Oznaczmy x0

l := vnl(0) dla l ≥ 1. B edziemy teraz post epowac indukcyjnie. Mia-nowicie maj ac wybrany podci ag (x−kl )l≥1 dla pewnego k ≥ 0, korzystamy z (3.41) oraz rela-tywnej zwartosci ci agu (vn(−(k+ 1)))n≥1 i wybieramy z niego podci ag (vnm(−(k+ 1)))m≥1 otej w lasnosci, ze (vnm(−k))m≥1 jest podci agiem (x−kl )l≥1 oraz vnm(−(k + 1))→ x−(k+1) gdy


m→ +∞. Wtedy oznaczamy x−(k+1)m := vnm(−(k + 1)) dla m ≥ 1. Niech v0 : R→ X b edzie

odwzorowaniem danym wzorem

v0(t) :=

SL(t)x0 dla t ≥ 0

SL(t+ k)x−k dla t ∈ [−k,−(k − 1)).

Zauwazmy, ze nierownosc ‖vn(0)‖α ≥ 1− 1/n dla n ≥ 1 implikuje, ze ‖v0(0)‖α ≥ 1. Wezmyteraz t ∈ R oraz niech k ≥ 0 b edzie tak a liczb a ca lkowit a, ze

k :=

0 jesli t ≥ 0

−k ≤ t < −(k − 1) jesli t < 0.

Ponadto niech (nl)l≥1 b edzie takim ci agiem, ze vnl(−k) = x−kl dla l ≥ 1. Przechodz ac dogranicy przy l→ +∞, w rownaniu

vnl(t) = SL(t+ k)vnl(−k) +

∫ t

−kSL(t− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ

= SL(t+ k)x−kl +

∫ t

−kSL(t− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ,

wobec (3.40) mamy, ze vnl(t)→ SL(t+ k)x−k = v0(t). Poniewaz ‖vn(t)‖α ≤ 1 dla n ≥ 1 orazt ∈ R otrzymujemy rowniez, ze ‖v0(t)‖α ≤ 1 dla n ≥ 1 oraz t ∈ R. Pokazemy teraz, ze v0

jest pe lnym rozwi azaniem po lgrupy SL(t)t≥0. W tym celu wezmy t ∈ R, s ≥ 0 oraz niechk1, k2 ≥ 0 b ed a takimi liczbami ca lkowitymi, ze

k1 :=

0 jesli t+ s ≥ 0

−k1 ≤ t+ s < −(k1 − 1) jesli t+ s < 0,

k2 :=

0 jesli t ≥ 0

−k2 ≤ t < −(k2 − 1) jesli t < 0.

Za lozmy, ze (nl)l≥1 oraz (nm)m≥1 s a takimi ci agami, ze vnl(−k2) = x−k2l dla l ≥ 1 orazvnm(−k1) = x−k1m dla m ≥ 1. Poniewaz k2 ≥ k1 mamy, ze (vnl(−k2))l≥1 jest podci agiem ci agu(vnm(−k1))m≥1 i dlatego

vnl(−k1)→ x−k1 gdy l→ +∞. (3.42)

Wtedy dla dowolnego l ≥ 1 mamy

vnl(t+ s) = SL(t+ s+ k1)vnl(−k1) +

∫ t+s

−k1SL(t+ s− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ. (3.43)

Z drugiej strony, korzystaj ac z (3.38) otrzymujemy

vnl(t+ s) = SL(s)vnl(t) +

∫ t+s

tSL(t+ s− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ

= SL(s)SL(t+ k2)vnl(−k2) + SL(s)

∫ t

−k2SL(t− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ

+

∫ t+s


= SL(s)SL(t+ k2)x−k2l + SL(s)

∫ t


+

∫ t+s


(3.44)

3.4. Zasada usredniania 73

dla dowolnego n ≥ 1. Na podstawie (3.40) mamy∫ t+s

−k1SL(t+ s− τ)Gn(vn(τ)) dτ → 0,

∫ t

−k2SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ → 0,∫ t+s

tSL(t+ s− τ)Gn(vn(τ)) dτ → 0 gdy n→ +∞.

Zatem, korzystaj ac z (3.42) i przechodz ac w rownosciach (3.43) oraz (3.44) do granicy zl → +∞ mamy v0(t + s) = SL(s)v0(t) co pokazuje, ze v0 jest pe lnym rozwi azaniem po l-grupy SL(t)t≥0. Skoro ‖v0(0)‖α ≥ 1, korzystaj ac z nierownosci (3.37) oraz Twierdzenia6.2.7 otrzymujemy sprzecznosc, gdyz jedynym ograniczonym rozwi azaniem tej po lgrupy jestodwzorowanie zerowe. Zatem pokazalismy, ze istnieje otoczenie r > 0 takie, ze kula domkni etaN := D(0, r) jest otoczeniem izoluj acym dla rodziny po lpotokow Ψss∈[0,1]. W konsekwencjina mocy homotopijnej niezmienniczosci indeksu Conley’a otrzymujemy, ze

h(Φ,K) = h(Ψ0,K0) = h(Ψ1,K1). (3.45)

gdzie Ks := Inv (Ψs, N), Korzystaj ac ponownie z nierownosci (3.37) oraz Twierdzenia 6.2.7otrzymujemy, ze

h(Ψ1,K1) = h(SL, 0) = ΣdimX1 = Σbl . (3.46)

L acz ac ze sob a (3.45) oraz (3.46) otrzymujemy

h(Φ, 0) = Σbl ,


Dowod Twierdzenia 3.3.1. Z Lematu 3.3.2 wynika, ze 0 ∈ S(Φ, Xα) oraz h(Φ,K0) =Σbl . Z drugiej strony Twierdzenie 3.2.2 zapewnia, ze istnieje izolowany zbior niezmienniczyK ∈ S(Φ, Xα) taki, ze K0 ⊂ K oraz

h(Φ,K) =

Σdk jesli spe lniony jest warunek (G1);

Σdk−1 jesli spe lniony jest warunek (G2).(3.47)

Na mocy punktow (b) i (c) Lematu 6.2.10 zbior K jest w kazdym z tych przypadkow nie-redukowalny oraz kazdy z warunkow (i)–(v) implikuje, ze h(Φ,K) 6= h(Φ,K0). Poniewazh(Φ,K0) 6= 0, zastosowanie Twierdzenia 6.2.11 daje oczekiwana konkluzje.

3.4 Zasada usredniania

Zajmiemy si e teraz zasad a usredniania dla rownan rozniczkowych b ed acych w rezonansiew nieskonczonosci, ktore s a postaci

u(t) = −Au(t) + λu(t) + εF (t, u(t)), t > 0. (4.48)

Zak ladamy, ze λ jest wartosci a w lasn a operatora A, zas F : [0,+∞) ×Xα → X jest odwzo-rowaniem ci ag lym spe lniaj acym za lozenie (F1) (patrz strona 45) oraz

(F8) istnieje sta la m > 0 taka, ze ‖F (t, x)‖ ≤ m dla t ≥ 0, x ∈ Xα,

(F9) istnieje sta la T > 0 taka, ze F (t, x) = F (t+ T, x) dla t ≥ 0, x ∈ Xα.


Na mocy Twierdzenia 2.1.5, powyzsze za lozenia implikuj a, ze dla dowolnego x ∈ Xα orazε ≥ 0 istnieje odwzorowanie u( · ; ε, x) : R → Xα b ed ace s labym rozwi azaniem rownania(4.48) zaczynaj acym si e w x. Dlatego mozemy stowarzyszyc z nim operator przesuni eciawzd luz trajektorii Φt : [0, 1]×Xα → Xα, dany dla dowolnego t ≥ 0 wzorem

Φt(ε, x) := u(t; ε, x) dla ε ≥ 0, x ∈ Xα.

Twierdzenia 2.3.2 oraz 2.3.3 prowadz a nas do wniosku, ze Φt jest odwzorowaniem pe lnoci a-g lym dla dowolnego t > 0.

Nast epuj ace twierdzenie, b ed ace g lownym rezultatem tej sekcji, jest zasad a usrednianiadla rownan w rezonansie, ktora s luzy do wyznaczania indeksu punktow sta lych operatora ΦT

w zaleznosci od stopnia Brouwera usrednienia prawej strony obci etego do j adra operatoraλI −A.

Twierdzenie 3.4.1. Niech Nλ := Ker (λI−A) oraz niech g : Nλ → Nλ b edzie odwzorowaniemdanym wzorem

g(x) :=

∫ T

0PF (τ, x) dτ dla x ∈ Nλ.

Za lozmy, ze U ⊂ Nλ oraz V ⊂ Xα+⊕Xα

−, gdzie 0 ∈ V , s a zbiorami otwartymi i ograniczonymi.Jesli g(x) 6= 0 dla x ∈ ∂NλU , to istnieje ε0 ∈ (0, 1) takie, ze dla dowolnego ε ∈ (0, ε0] orazx ∈ ∂(U ⊕ V ) mamy, ze ΦT (ε, x) 6= x oraz

degLS(I − ΦT (ε, · ), U ⊕ V ) = (−1)dkdegB(g, U),

gdzie d0 := 0 oraz dl :=∑l

i=1 dim Ker (λiI −A) dla l ≥ 1.

W dowodzie uzyjemy nast epuj acego twierdzenia oraz lematu.

Twierdzenie 3.4.2. (patrz [38, Lemma 13.1]) Rozwazmy nast epuj ace rownanie

u(t) = λf(u(t)), t > 0

gdzie λ ∈ [0, 1] jest parametrem, zas f : Rn → Rn b edzie odwzorowaniem ci ag lym i ograniczo-nym. Niech Θλ

T : Rn → Rn b edzie operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii stowarzyszonymz tym rownaniem. Jesli U ⊂ Rn jest otwartym podzbiorem takim, ze f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U , toistnieje λ0 > 0 takie, ze dla λ ∈ (0, λ0] mamy Θλ

T (x) 6= x oraz

degB(I −ΘλT , U) = degB(−f, U).

Lemat 3.4.3. Jesli λ = λk (k ≥ 1) jest wartosci a w lasn a operatora A oraz T > 0, to

(a) eλTSA(T )x 6= x dla x ∈ Xα− ⊕Xα

+ takich, ze x 6= 0,

(b) dla dowolnego zbioru otwartego V ⊂ Xα− ⊕Xα

+ takiego, ze 0 ∈ V mamy

degLS(I − eλTSA(T )|Xα−⊕Xα

+, V ) = (−1)dk−1 ,

gdzie d0 := 0 oraz dl :=∑l


Dowod. Niech H : [0, 1]×Xα− ⊕Xα

+ → Xα− ⊕Xα

+ b edzie odwzorowaniem danym wzorem

H(µ, x) := µeλTSA(T )x+ + eλTSA(T )x− dla x ∈ Xα− ⊕Xα

+,

3.4. Zasada usredniania 75

gdzie dla dowolnego x ∈ Xα− ⊕Xα

+ elementy x± ∈ Xα± s a takie, ze x = x+ + x−. Zauwazmy,

ze H(µ, x) 6= x dla µ ∈ [0, 1] oraz x ∈ Xα− ⊕Xα

+ takich, ze x 6= 0. W przeciwnym wypadkumielibysmy, ze

µeλTSA(T )x+ + eλTSA(T )x− = x

dla pewnego µ ∈ [0, 1] oraz x ∈ Xα− ⊕Xα

+ takiego, ze x 6= 0. Na podstawie (1.2) oznacza lobyto, ze µeλTSA(T )x+ = x+ oraz eλTSA(T )x− = x−. Sprawdzimy, ze x+ = 0. Jesli µ = 0 to jestto natychmiastowe. Jesli µ ∈ (0, 1] to SA−λI(T )x+ = (1/µ)x+, co na podstawie Twierdzenia1.3.7 implikuje, ze x+ ∈ Ker ((λ − ln(1/µ))I − A). Poniewaz ln(1/µ) ≥ 0 mamy, ze istnieje1 ≤ i ≤ k takie ze Ax+ = λix+. Rownosc (1.3) mowi, ze

X− =k−1⊕i=1

Ker (λiI −A), (4.49)

a zatem x+ ∈ X−⊕X0 i w konsekwencji x+ = 0, gdyz x+ ∈ X+. Korzystaj ac z (1.1) i rownoscieλTSA(T )x− = x− wnosimy, ze x− ∈ Ker (λkI − A) = X0. Poniewaz x− ∈ X− wnioskujemyst ad, ze x− = 0. Zatem x = x+ + x− = 0, co daje sprzecznosc, gdyz z za lozenia x 6= 0.Niech V ⊂ Xα

− ⊕Xα+ b edzie zbiorem otwartym takim, ze 0 ∈ V . Na podstawie homotopijnej

niezmienniczosci stopnia topologicznego mamy

degLS(I − eλTSA(T ), V ) = degLS(I −H(1, · ), V ) = degLS(I −H(0, · ), V )

= degLS(I − eλTSA(T )|X− , V ∩X−).

Na podstawie (4.49) oraz inkluzji Ker (λiI − A) ⊂ Ker (e(λ−λi)T I − eλTSA(T )), Lemat 1.5.5implikuje, ze

σ(eλTSA(T )|X−) = e(λ−λi)T | 1 ≤ i ≤ k − 1

oraz krotnosc algebraiczna wartosci w lasnej e(λ−λi)T , gdzie 1 ≤ i ≤ k−1, wynosi dim Ker (λiI−A). Zatem, korzystaj ac z Twierdzenia 6.3.2 otrzymujemy

degLS(I − eλTSA(T ), V ) = degLS(I − eλTSA(T )|X− , V ∩X−) = (−1)dk−1

i tym samym otrzymujemy tez e lematu.

Dowod Twierdzenia 3.4.1. Rozwazmy nast epuj ac a rodzin e rownan rozniczkowych

u(t) = −Au(t) + λu(t) + εG(s, t, u(t)), t > 0 (4.50)

gdzie G : [0, 1]× [0,+∞)×Xα → X jest odwzorowaniem danym wzorem

G(s, t, x) := sF (t, x) + (1− s) 1

T

∫ T

0PF (τ, Px) dτ dla s ∈ [0, 1], t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

Zauwazmy, ze odwzorowanie G spe lnia za lozenia (F3) oraz (F4), a zatem, na podstawieTwierdzenia 2.1.5, dla dowolnego x ∈ Xα istnieje s labe rozwi azanie u( · ; s, ε, x) : R → Xα

zagadnienia (4.50) zaczynaj ace si e w x. Niech ΨT : [0, 1]×[0, 1]×Xα → Xα b edzie operatoremprzesuni ecia wzd luz trajektorii dla tego rownania danym jako

ΨT (s, ε, x) := u(T ; s, ε, x) dla (ε, s) ∈ [0, 1]× [0, 1], x ∈ Xα.

Korzystaj ac z Twierdzen 2.3.2 oraz 2.3.3 wnosimy, ze ΨT jest odwzorowaniem pe lnoci a-g lym. Udowodnimy najpierw, ze istnieje ε0 > 0 takie, ze dla dowolnego ε ∈ (0, ε0] mamy


ΨT (µ, ε, x) 6= x dla s ∈ [0, 1] oraz x ∈ ∂(U ⊕ V ). W przeciwnym wypadku istniej a ci agi (εn)w (0, 1], (sn) w [0, 1] oraz (xn) w ∂(U ⊕ V ) takie, ze εn → 0 gdy n→ +∞ oraz

ΨT (sn, εn, xn) = xn dla n ≥ 1. (4.51)

Poniewaz operator ΨT jest pe lnoci ag ly, na podstawie (4.51) mamy, ze ci ag (xn) jest relatywniezwarty w Xα. Dlatego bez straty ogolnosci rozumowania mozemy za lozyc, ze sn → s0 orazxn → x0 gdy n→ +∞, gdzie s0 ∈ [0, 1] oraz x0 ∈ ∂(U ⊕V ). Przechodz ac w (4.51) do granicyz n→ +∞, mamy

eλTSA(T )x0 = ΨT (0, 0, x0) = x0,

co na mocy rownosci (1.1), implikuje, ze

x0 ∈ Ker (λI −A) = Nλ (4.52)

i w konsekwencji

eλtSA(t)x0 = x0 dla t ≥ 0.

Jesli zapiszemy un(t) := u(t; sn, εn, xn) dla n ≥ 1, wowczas na podstawie Twierdzenia 2.3.2

un(t)→ u(t; 0, 0, x0) ≡ x0 jednostajnie dla t ∈ [0, T ]. (4.53)

Z drugiej strony x0 ∈ ∂(U ⊕ V ) = ∂NλU ⊕ V ∪U ⊕ ∂Xα+⊕Xα

−V , i tym samym x0 ∈ ∂NλU gdyz

(4.52) mowi, ze x0 ∈ Nλ. Dzia laj ac operatorem P na rownanie

xn = eλTSA(T )xn + εn

∫ T

0eλ(T−τ)SA(T − τ)G(sn, τ, un(τ)) dτ,

po uwzgl ednieniu (1.10) oraz inkluzji Ker (λI−A) ⊂ Ker (I−eλtSA(t)) dla t ≥ 0, otrzymujemy

Pxn = eλTSA(T )Pxn + εn

∫ T

0eλ(T−τ)SA(T − τ)PG(sn, τ, un(τ)) dτ

= Pxn + εn

∫ T

0PG(τ, un(τ)) dτ dla n ≥ 1,

co oznacza, ze ∫ T

0PG(s, τ, un(τ)) dτ = 0 dla n ≥ 1.

Przechodz ac do granicy z n→ +∞ i maj ac jednoczesnie na uwadze (4.53) mamy

g(x0) =

∫ T

0PG(s, τ, x0) dτ = 0 gdzie x0 ∈ ∂NλU,

co przeczy za lozeniu. Dlatego otrzymujemy istnienie ε0 > 0 takiego, ze dla dowolnego ε ∈(0, ε0], odwzorowanie ΨT (ε, · , · ) : [0, 1]× U ⊕ V → Xα jest dopuszczaln a homotopi a oraz

degLS(I − ΦT (ε, · ), U ⊕ V ) = degLS(I −ΨT (ε, 1, · ), U ⊕ V )

= degLS(I −ΨT (ε, 0, · ), U ⊕ V )(4.54)

dla ε ∈ (0, ε0]. Niech φ2T : Xα

+ ⊕Xα− → Xα

+ ⊕Xα− b edzie operatorem danym wzorem

φ2T (x) = eλTSA(T )x dla x ∈ Xα

+ ⊕Xα−

3.5. Wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych 77

oraz niech φ1T (ε, ·) : Nλ → Nλ b edzie operatorem przesuni ecia stowarzyszonym z rownaniem

u(t) = εg(u(t)), t > 0.

Wowczas nie trudno zauwazyc, ze

ΨT (ε, 0, x) = φ1T (ε, Px) + φ2

T (Qx) dla x ∈ Xα,

a zatem dla dowolnego ε ∈ (0, 1] odwzorowanie ΨT (ε, 0, · ) : Xα → Xα jest topologiczniesprz ezone z odwzorowaniem ΨT : [0, 1]×Nλ× (Xα

+⊕Xα−)→ Nλ× (Xα

+⊕Xα−) danym wzorem

ΨT (ε, u, v) = (ϕ1T (ε, u), ϕ2

T (v)) dla ε ∈ [0, 1], (u, v) ∈ Nλ × (Xα+ ⊕Xα

−).

Dlatego, na podstawie Lematu 6.3.1 mamy

degLS(I −ΨT (ε, 0, · ), U ⊕ V ) = degLS(I − ΨT (ε, · ), U × V ) (4.55)

dla ε ∈ (0, ε0]. Korzystaj ac z Lematu 3.4.3 otrzymujemy, ze ϕ1T (x) 6= x dla x ∈ ∂Xα

+⊕Xα−V

orazdegLS(I − eλTSA(T )|Xα

−⊕Xα+, V ) = (−1)dk−1 . (4.56)

Ponadto g(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U a zatem, na podstawie Twierdzenia 3.4.2 istnieje ε1 ∈ (0, ε0]takie, ze ϕ1

T (ε, x) 6= x dla ε ∈ (0, ε1], x ∈ ∂U oraz

degB(I − ϕ1T (ε, · ), U) = degB(−g, U). (4.57)

Dlatego korzystaj ac (4.56), (4.57) oraz w lasnosci multiplikatywnosci stopnia topologicznego,dla ε ∈ (0, ε1] mamy

degLS(I − ΨT (ε, · ), U × V ) = degLS(I − eλTSA(T ), V ) · degB(I − ϕ1T (ε, · ), U)

= (−1)dk−1degB(−g, U) = (−1)dk−1 · (−1)dimNλdegB(g, U)

= (−1)dkdegB(g, U).

L acz ac to z (4.54), (4.55) oraz (4.57) wnosimy, ze

degLS(I − ΦT (ε, · ), U ⊕ V ) = (−1)dkdegB(g, U)

dla ε ∈ (0, ε1], co konczy dowod.

Natychmiastow a konsekwencj a Twierdzenia 3.4.1 i w lasnosci istnienia stopnia topologicz-nego jest nast epuj acy wniosek.

Wniosek 3.4.4. Niech U ⊂ Nλ oraz V ⊂ Xα+ ⊕Xα

− gdzie 0 ∈ V , b ed a zbiorami otwartymi iograniczonymi takimi, ze g(x) 6= 0 dla x ∈ ∂NλU . Jesli degB(g, U) 6= 0, to istnieje ε0 ∈ (0, 1)takie, ze dla dowolnego ε ∈ (0, ε0] rownanie (4.48) posiada T -okresowe s labe rozwi azanie.

3.5 Wzor indeksowy dla rozwiazan okresowych

Przechodzimy teraz do badania rozwi azan T -okresowych (T > 0) nast epuj acego rownaniab ed acego w rezonansie w nieskonczonosci

u(t) = −Au(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0, (5.58)


gdzie λ jest wartosci a w lasn a operatora A, zas F : [0,+∞) ×Xα → X jest odwzorowaniemci ag lym spe lniaj acym za lozenia (F1) (patrz strona 45), (F8) oraz (F9) (patrz strona 73).

Twierdzenie 2.1.5 implikuje, ze w przypadku tych za lozen, dla dowolnego x ∈ Xα istniejeodwzorowanie u( · ;x) : R→ Xα b ed ace s labym rozwi azaniem rownania (5.58) zaczynaj acymsi e w x. Dlatego mozemy stowarzyszyc z nim operator przesuni ecia wzd luz trajektorii Φt :Xα → Xα, dany dla dowolnego t ≥ 0 wzorem

Φt(x) := u(t;x) dla x ∈ Xα.

Wtedy Twierdzenia 2.3.2 oraz 2.3.3 implikuj a, ze Φt jest odwzorowaniem pe lnoci ag lym dladowolnego t > 0.

Uwaga 3.5.1. W powyzszej sytuacji, gdy rownanie (5.58) jest w rezonansie w nieskonczo-nosci, zagadnienie istnienia rozwi azan T -okresowych moze nie miec rozwi azan przy dowolnejnieliniowosci F .

Aby si e o tym przekonac wystarczy przyj ac F (t, x) = y0 dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα, gdziey0 ∈ Ker (λI − A) \ 0. Jesli teraz u : [0,+∞) → Xα jest rozwi azaniem T -okresowymrownania (5.58), to ze wzoru ca lkowego mamy

u(t) = eλtSA(t)u(0) +

∫ t

0eλ(t−τ)SA(t− τ)y0 dτ dla t ≥ 0,

a poniewaz Ker (λI −A) ⊂ Ker (I − eλtSA(t)) dla t ≥ 0 mamy st ad u(T ) = eλTSA(T )u(0) +Ty0. Dzia laj ac operatorem P na to rownanie i korzystaj ac z (1.10) otrzymujemy, ze

Pu(T ) = eλTSA(T )Pu(0) + Ty0 = Pu(0) + Ty0 = Pu(T ) + Ty0,

co jest sprzecznosci a gdyz y0 6= 0.

Wobec powyzszej uwagi, wprowadzam nast epuj ace warunki geometryczne dla rownanpierwszego rz edu, ktore pos luz a nam do charakteryzacji nieliniowosci F tak aby rownanie(5.58) mog lo posiadac rozwi azania T -okresowe.

(G3)



〈F (t, x+ y), x〉 > 0 dla (t, y, x) ∈ [0, T ]×B ×X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R,

(G4)



〈F (t, x+ y), x〉 < 0 dla (t, y, x) ∈ [0, T ]×B ×X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R.

Przechodzimy teraz do sformu lowania i dowodu nast epuj acego wzoru indeksowego dlarozwi azan okresowych, b ed acego g lownym rezultatem tej sekcji, ktory s luzy do wyznaczaniastopnia Leray-Schaudera pola wektorowego I −ΦT wzgl edem kuli o dostatecznie duzym pro-mieniu. Twierdzenie to pos luzy do szukania punktow sta lych odwzorowania ΦT i tym samymdo szukania rozwi azan T -okresowych rownania (5.58).

Twierdzenie 3.5.2. Za lozmy, ze λ = λk jest wartosci a w lasn a operatora A, zas dl tak a liczb aca lkowit a, ze dl := 0 jesli l = 0 oraz dl :=

∑li=1 dim Ker (λiI −A) jesli l ≥ 1.


(i) Jesli spe lniony jest warunek (G3), to istnieje R > 0 takie, ze ΦT (x) 6= x dla x ∈ Xα

o normie ‖x‖α ≥ R oraz

degLS(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk .

(ii) Jesli spe lniony jest warunek (G4), to istnieje R > 0 takie, ze ΦT (x) 6= x dla x ∈ Xα

o normie ‖x‖α ≥ R oraz

degLS(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk−1 .

W dowodzie twierdzenia b edziemy rozwazac nast epuj ac a rodzin e rownan

u(t) = −Au(t) + λu(t) + εF (t, u(t)), t > 0 (5.59)

gdzie ε ∈ [0, 1] jest parametrem. Niech u( · ; ε, x) : [0,+∞)→ Xα b edzie s labym rozwi azaniemrownania (5.59) startuj acym z x oraz niech odwzorowanie ΨT : [0, 1]×Xα → Xα dane wzorem

ΨT (ε, x) := u(T ; ε, x) dla ε ∈ [0, 1], x ∈ Xα,

b edzie operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii stowarzyszonym z tym rownaniem. W do-wodzie powyzszego twierdzenia b edziemy korzystac z nast epuj acych lematow.

Lemat 3.5.3. Istnieje sta la R > 0 taka, ze jesli u := uε : [0,+∞) → Xα, gdzie ε ∈ (0, 1],jest T -okresowym s labym rozwi azaniem dla (5.59), to

‖Qu(t)‖α ≤ R dla t ∈ [0, T ]. (5.60)

Dowod. Zauwazmy, ze na podstawie za lozenia (F9), dla dowolnego ca lkowitego k > 0 mamyrownosc

u(t) = u(t+ kT ) dla t ∈ [0, T ],

co implikuje, ze

u(t) = eλkTSA(kT )u(t) + ε

∫ t+kT

teλ(t+kT−τ)SA(t+ kT − τ)F (τ, w(τ)) dτ (5.61)

dla t ≥ 0 oraz k ≥ 1. Dzia laj ac na (5.61) operatorem Q+ i korzystaj ac z (1.10), otrzymujemy

Q+u(t) = eλtSA(t)Q+u(t) + ε

∫ t+T

teλ(t+T−τ)SA(t+ T − τ)Q+F (τ, u(τ)) dτ

dla t ≥ 0 oraz n ≥ 1. Jesli teraz m jest sta l a z warunku (F8), na podstawie (1.6), istniej asta le c,M > 0 takie, ze

‖Q+u(t)‖α ≤ ‖eλkTSA(kT )Q+u(t)‖α

+

∫ t+kT

t‖Aαδ eλ(t+kT−τ)SA(t+ kT − τ)Q+F (µ, u(τ))‖ dτ

≤ ‖eλkTSA(kT )Q+u(t)‖α +M

∫ t+kT

t

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)α‖Q+F (µ, u(τ))‖ dτ

≤ ‖eλkTSA(kT )Q+u(t)‖α +mM‖Q+‖L(X)

∫ t+kT

t

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)αdτ

≤M e−ckT

(kT )α‖Q+u(t)‖+mM‖Q+‖L(X)

∫ t+kT

t

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)αdτ.


Z drugiej strony dla k ≥ 2 mamy∫ t+kT

t

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)αdτ =

∫ t+(k−1)T

t

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)αdτ +

∫ t+kT

t+(k−1)T

e−c(t+kT−τ)

(t+ kT − τ)αdτ

≤∫ t+(k−1)T

tT−αe−c(t+kT−τ) dτ +

∫ t+kT

t+(k−1)T

1

(t+ kT − τ)αdτ

= T−α(e−cT − e−ckT )/c+ T 1−α/(1− α).

W konsekwencji, dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz ca lkowitego k > 0 otrzymujemy

‖Q+u(t)‖α ≤Me−ckT

(kT )α‖Q+u(t)‖+mM‖Q+‖L(X)T

−α(

(e−cT − e−ckT )/c+T

1− α

).

St ad przechodz ac do granicy z k → +∞ stwierdzamy, ze

‖Q+u(t)‖α ≤ mM‖Q+‖L(X)T−α(e−cT /c+

T

1− α

)=: R1 dla t ∈ [0, T ]. (5.62)

Zadzia lajmy teraz na rownanie (5.61) operatorem Q−. Wtedy po uwzgl ednieniu (1.10), dladowolnego t ∈ [0, 1] oraz ca lkowitego k ≥ 1, mamy

e−λkTSA(−kT )Q−u(t) = Q−u(t) +

∫ t+kT

teλ(t−τ), SA(t− τ)Q−F (µ, u(τ)) dτ. (5.63)

gdyz jako wspomnielismy rodzina SA(t)t≥0 po obci eciu do przestrzeni X− przed luza sie doC0 grupy operatorow. Zatem, ze wzgl edu na punkt (1.8) istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖e−λkTSA(−kT )Q−u(t)‖ ≤M e−ckT ‖Q−u(t)‖,

co wraz z (5.63) daje

‖Q−u(t)‖ ≤ ‖e−λkTSA(−kT )Q−u(t)‖

+

∫ t+kT

t‖eλ(t−τ)SA(t− τ)Q−F (s, u(τ))‖ dτ

≤M e−ckT ‖Q−u(t)‖+M

∫ t+kT

tec(t−τ)‖Q−F (s, u(τ))‖ dτ

≤M e−ckT ‖Q−u(t)‖+mM‖Q−‖L(X)

∫ t+kT

tec(t−τ) dτ

= M e−ckT ‖Q−u(t)‖+mM‖Q−‖L(X)

(1− e−ckT

)/c.

Dlatego, przechodz ac do granicy z k → +∞ mamy

‖Q−u(t)‖ ≤ mM‖Q−‖L(X)/c dla t ∈ [0, T ]. (5.64)

Zauwazmy, ze przestrzen X− jest skonczenie wymiarowa, a st ad istnieje sta la C ′ > 0 taka, ze

‖x‖α ≤ C ′‖x‖ dla x ∈ X−. (5.65)

Zatem z nierownosci (5.64) otrzymujemy

‖Q−u(t)‖α ≤ mC ′M‖Q−‖L(X)/c =: R2 dla t ∈ [0, T ]. (5.66)


Uwzgl edniaj ac nierownosci (5.62) oraz (5.66), dla dowolnego t ∈ [0, T ] mamy

‖Qu(t)‖α ≤ ‖Q−u(t)‖α + ‖Q+u(t)‖α ≤ ‖Q−‖L(Xα)‖u(t)‖α + ‖Q+‖L(Xα)‖u(t)‖α≤ R1‖Q+‖L(Xα) +R2‖Q−‖L(Xα) := R,


Lemat 3.5.4. Niech Nλ := Ker (A − λI) oraz niech g : Nλ → Nλ b edzie odwzorowaniemdanym wzorem

g(x) :=

∫ T

0PF (s, x) ds dla x ∈ Nλ.

(i) Jesli spe lniony jest warunek (G3), to istnieje R0 > 0 takie, ze g(x) 6= 0 dla x ∈ Nλ

takich, ze ‖x‖H ≥ R0 oraz

degB(g,B(0, R)) = 1 dla R ≥ R0.

(ii) Jesli spe lniony jest warunek (G4), to istnieje R0 > 0 takie, ze g(x) 6= 0 dla x ∈ Nλ


degB(g,B(0, R)) = (−1)dimNλ dla R ≥ R0.

Dowod. Aby udowodnic punkt (i), zdefiniujmy odwzorowanie H : [0, 1]×Nλ → Nλ wzorem

H(s, x) := sg(x) + (1− s)x dla x ∈ Nλ.

Zauwazmy, ze na podstawie warunku (G3) istnieje sta la R0 > 0 taka, ze

〈F (τ, x), x〉H > 0 dla t ∈ [0, T ], x ∈ Nλ takiego, ze ‖x‖H ≥ R0,

co po sca lkowaniu implikuje, ze

〈g(x), x〉H =

∫ T

0〈F (τ, x), x〉H dτ > 0 dla x ∈ Nλ takich, ze ‖x‖H ≥ R0. (5.67)

Niech teraz R ≥ R0. Pokazemy, ze H(s, x) 6= 0 dla s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Nλ gdzie ‖x‖H = R.W przeciwnym wypadku istnia lyby s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Nλ o normie ‖x‖H = R takie, zeH(s, x) = 0 i w konsekwencji

0 = 〈H(s, x), x〉H = s〈g(x), x〉H + (1− s)〈x, x〉H .

Jesli s = 0, to 0 = ‖x‖2H = R2, co jest sprzecznosci a. Jesli z kolei s ∈ (0, 1], to 0 ≥ 〈g(x), x〉,co przeczy (5.67). St ad, na podstawie homotopijnej niezmienniczosci stopnia topologicznego,

degB(g,B(0, R)) = degB(H(1, · ), B(0, R)) = degB(H(0, · ), B(0, R))

= degB(I,B(0, R)) = 1,

i w ten sposob dowod punktu (i) jest zakonczony. Aby uzasadnic punkt (ii) zauwazmy, zewarunek (G4) implikuje istnieje sta lej R0 > 0 takiej, ze

〈F (τ, x), x〉H < 0 dla t ∈ [0, T ], x ∈ Nλ takich, ze ‖x‖H ≥ R0,


co po sca lkowaniu daje nam

〈g(x), x〉H =

∫ T

0〈F (τ, x), x〉H dτ < 0 dla x ∈ Nλ takich, ze ‖x‖H ≥ R0. (5.68)

Zatem dla dowolnego R > R0, homotopia H : [0, 1]×Nλ → Nλ dana wzorem

H(s, x) := sg(x)− (1− s)x dla x ∈ Nλ

jest taka, ze H(s, x) 6= 0 dla s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Nλ o normie ‖x‖H = R. Rzeczywiscie, jesliH(s, x) = 0 dla pewnego s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Nλ o normie ‖x‖H = R, to

0 = 〈H(s, x), x〉H = s〈g(x), x〉H − (1− s)〈x, x〉H .

Dlatego, jesli s ∈ (0, 1] to 〈g(x), x〉H ≥ 0, co przeczy (5.68). Jesli s = 0 to R2 = ‖x‖2H = 0, coznowu jest daje sprzecznosc. W konsekwencji, na podstawie homotopijnej niezmienniczosci

degB(g,B(0, R)) = degB(−I,B(0, R)) = (−1)dimNλ ,


Dowod Twierdzenia 3.5.2. Krok 1. Udowodnimy najpierw, ze istnieje R0 > 0 takie, ze

ΨT (ε, x) 6= x dla ε ∈ (0, 1] oraz x ∈ Xα gdzie ‖x‖α ≥ R0. (5.69)

Za lozmy przez sprzecznosc, ze istniej a ci agi (xn) w Xα oraz (εn) w (0, 1] takie, ze ‖xn‖α →+∞ gdy n→ +∞ oraz

ΨT (εn, xn) = xn dla n ≥ 1.

Pisz ac zn := xn/‖xn‖α, un(t) = u(t; εn, xn) oraz vn(t) := u(t; εn, xn)/‖xn‖α dla t ≥ 0 orazn ≥ 1 widzimy, ze

vn(t) = eλtSA(t)zn + εn

∫ t

0eλ(t−τ)SA(t− τ)F (τ, un(τ))/‖un‖α dτ (5.70)

dla t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1. Zdefiniujmy

yn(t) := εn

∫ t

0eλ(t−τ)SA(t− τ)F (τ, un(τ))/‖xn‖α dτ (5.71)

gdzie n ≥ 1. Wtedy, ze Stwierdzenia 1.4.6 (c), otrzymujemy istnienie sta lej M > 0 oraz c0 ∈ Rtakich, ze

‖Aαδ SA(t)x‖ ≤Mt−αec0t dla t > 0.

Wowczas widzimy, ze dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1

‖yn(t)‖α ≤ εn∫ t

0‖eλ(t−τ)Aαδ SA(t− τ)F (τ, un(τ))‖/‖xn‖α dτ

≤∫ t

0Me(|λ|+|c|)T (t− τ)−α‖F (τ, un(τ))‖/‖xn‖α dτ

≤∫ t

0mMe(|λ|+|c|)T (t− τ)−α/‖xn‖α dτ ≤

mMe(|λ|+|c|)T

(1− α)‖xn‖αT 1−α,


gdzie m jest sta l a z warunku (F8). Dlatego przechodz ac do granicy przy n→ +∞ mamy, ze

‖yn(t)‖α → 0 gdy n→ +∞, (5.72)

jednostajnie dla t ∈ [0, T ]. Z drugiej strony, na podstawie zwartosci po lgrupy SA(t)t≥0 orazpunktu (b) Uwagi 1.4.8, widzimy, ze zbior eλtSA(t)zn | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w Xα. L acz ac ten fakt z (5.70) oraz (5.72), wnioskujemy, ze zbior

zn | n ≥ 1 = vn(T ) | n ≥ 1

jest relatywnie zwarty w Xα. Dlatego, przechodz ac w razie koniecznosci do podci agu, mozemyza lozyc, ze istnieje z0 ∈ Xα takie, ze zn → z0 w Xα gdy n → +∞. Poniewaz ‖zn‖α = 1,mamy rowniez, ze ‖z0‖α = 1. Dlatego rownosc (5.70) zapisana przy t = T implikuje, ze

z0 = eλTSA(T )z0

co, za podstawie (1.1) oznacza, ze z0 ∈ Ker (λI −A) i w konsekwencji

eλtSA(t)z0 = z0 dla t ≥ 0.

St ad, na podstawie (5.72), wnioskujemy, ze dla dowolnego t ∈ [0, T ]

vn(t)→ z0 w Xα, gdy n→ +∞ jednostajnie dla t ∈ [0, T ]. (5.73)

Na podstawie Lematu 3.5.3 istnieje sta la C > 0 taka,

‖Qun(t)‖ ≤ C dla t ∈ [0, T ], n ≥ 1.

Bior ac za zbior ograniczony B kul e w Xα o promieniu C i korzystaj ac z (1.5) otrzymujemyistnienie sta lej R0 > 0 takiej, ze

〈PF (t, x+ y), x〉 > 0 dla (t, y, x) ∈ [0, T ]×B ×X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R0, (5.74)

jesli spe lniony jest warunek (G3) oraz

〈PF (t, x+ y), x〉 < 0 dla (t, y, x) ∈ [0, T ]×B ×X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R0, (5.75)

jesli spe lniony jest warunek (G4). Dzia laj ac teraz operatorem P na rownanie

un(t) = eλtSA(t)xn + εn

∫ t

0eλ(t−τ)SA(t− τ)F (τ, un(τ)) dτ dla t ≥ 0

i uzywaj ac (1.10) oraz inkluzji Ker (λI −A) ⊂ Ker (I − eλtSA(t)), t ≥ 0, mamy

Pun(t) = Pxn + εn

∫ t

0PF (τ, un(τ)) dτ

dla t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1. Dlatego Pun jest odwzorowaniem rozniczkowalnym w sposob ci ag lyna [0, T ] oraz

dun(t)

dt= εnPF (t, un(t)) dla n ≥ 1.

Dlatego, dla t ∈ [0, T ] oraz n ≥ 1, otrzymujemy

d

dt

1

2‖Pun(t)‖2H =

⟨dun(t)

dt, un(t)

⟩H

= εn〈PF (t, un(t)), Pun(t)〉H


co po sca lkowaniu daje

0 =1

2(‖Pun(T )‖H − ‖Pun(0)‖H) = εn

∫ T

0〈PF (τ, un(τ)), Pun(τ)〉H dτ

= εn

∫ T

0〈F (τ,Qun(τ) + ‖un‖αPvn(τ)), ‖un‖αPvn(τ)〉H dτ dla n ≥ 1.

(5.76)

Na podstawie zbieznosci (5.73) mamy, ze Pvn(t)→ Pz0 = z0 wXα, jednostajnie dla t ∈ [0, T ].Poniewaz z0 6= 0, istnieje n0 ≥ 1 takie, ze ‖Pvn(t)−z0‖H ≤ ‖z0‖H/2 dla n ≥ n0 oraz t ∈ [0, T ].Wtedy

‖Pvn(t)‖H ≥ ‖z0‖H − ‖z0‖H/2 = ‖z0‖H/2 dla n ≥ n0, t ∈ [0, T ],

a zatem, zwi ekszaj ac w razie potrzeby n0 ≥ 1, otrzymujemy, ze

‖‖un‖αPvn(t)‖ ≥ R0 dla n ≥ n0, t ∈ [0, T ],

co na podstawie (5.74) oznacza, ze∫ T

0〈PF (τ,Qun(τ) + ‖un‖αPvn(τ)), ‖un‖αPvn(τ)〉 dτ > 0 dla n ≥ n0

w przypadku punktu (i), zas na podstawie (5.75), oznacza to, ze∫ T

0〈PF (τ,Qun(τ) + ‖un‖αPvn(τ)), ‖un‖αPvn(τ)〉 dτ < 0 dla n ≥ n0

w przypadku punktu (ii). W obydwu sytuacjach otrzymujemy sprzecznosc z (5.76), gdyzεn ∈ (0, 1] dla n ≥ 1. W ten sposob pokazalismy (5.69) i konczymy dowod Kroku 1.

Krok 2. Pokazemy, ze istnieje ε0 > 0 takie, ze dla dowolnego ε ∈ (0, ε0]

degLS(I −ΨT (ε, · ), B(0, R0)) = (−1)dk (5.77)


degLS(I −ΨT (ε, · ), B(0, R0)) = (−1)dk−1 , (5.78)

jesli spe lniony jest warunek (G4). Z Lematu 3.5.4 istnieje R1 > R0 takie, ze

g(x) 6= 0 dla x ∈ Nλ takich, ze ‖x‖H ≥ R1 (5.79)

i ponadtodegB(g,B(0, R)) = 1 dla R ≥ R1, (5.80)


degB(g,B(0, R)) = (−1)dimN dla R ≥ R1 (5.81)

jesli spe lniony jest warunek (G4). Niech R2 := max(R1/C1, R1), gdzie C1 > 0 jest sta l a tak a,ze

C1(‖Px‖H + ‖Qx‖α) ≤ ‖x‖α dla x ∈ Xα. (5.82)

Przyjmijmy teraz

U := x ∈ Nλ | ‖x‖H ≤ R2 oraz V := x ∈ Xα+ ⊕Xα

− | ‖x‖α ≤ R2.


Ze wzgl edu na (5.82) wnioskujemy, ze B(0, R1) ⊂ U ⊕ V . Na podstawie Kroku 1, faktu, zeR1 > R0 i w lasnosci wycinania dla stopnia topologicznego

degLS(I −ΨT (ε, · ), B(0, R1)) = degLS(I −ΨT (ε, · ), U ⊕ V ) dla ε ∈ (0, 1]. (5.83)

Ponadto korzystaj ac z (5.79) mamy, ze oraz faktu, ze R2 ≥ R1 mamy, ze g(x) 6= 0 dlax ∈ ∂NλU . Dlatego na mocy Twierdzenia 3.4.1 otrzymujemy istnienie ε0 ∈ (0, 1) takiego, zedla dowolnego ε ∈ (0, ε0], ΨT (ε, x) 6= x dla x ∈ ∂(U ⊕ V ) oraz

degLS(I −ΨT (ε, · ), U ⊕ V ) = (−1)dk · degB(g, U),

co na podstawie rownosci (5.83) daje

degLS(I −ΨT (ε, · ), B(0, R1)) = (−1)dk · degB(g, U) dla ε ∈ (0, ε0].

L acz ac to z (5.80) oraz (5.81) dowodzimy rownosci (5.77) oraz (5.78) i konczymy dowod twier-dzenia.

Rozdzia l 4

Wzory indeksowe dla rownandrugiego rz

edu w rezonansie

Rozdzia l ten jest poswi econy omowieniu otrzymanych wynikow dotycz acych rownan drugiego

rz edu b ed acych w rezonansie w nieskonczonosci. Podobnie jak w poprzednim rozdziale wprowadzam

warunki geometryczne charakteryzuj ace nieliniowosc F , a nast epnie dowodz e nast epuj ace twierdzenia:

wzor indeksowego dla orbit ograniczonych oraz wzor indeksowy dla rozwi azan okresowych, w ktorym

stosuje wprowadzone warunki geometryczne do wyrazenia indeksu Conley’a po lpotoku oraz indeksu

punktow sta lych operatora przesuni ecia wzd luz trajektorii stowarzyszonego z rownaniem. Otrzymane

wzory indeksowe stosuj e do stwierdzenia istnienia rozwi azan T -okresowych oraz do sformu lowania

kryteriow na istnienie orbit l acz acych punktu stacjonarne dla rownan drugiego rz edu.


Niech A : X ⊃ D(A)→ X b edzie dodatnio okreslonym operatorem wycinkowym o zwar-tych rezolwentach na osrodkowej przestrzeni Banacha X. Operator ten wyznacza przestrzenu lamkow a X

α := D(Aα) (α ∈ (0, 1)) z norm a dan a jako

‖x‖α := ‖Aαx‖ dla x ∈ Xα.

Za lozmy, ze spe lnione s a za lozenia (A1), (A2) oraz (A3) (patrz strona 31). Wtedy, na podsta-wie Uwagi 1.5.3 spektrum σ(A) operatora A sk lada si e z ci agu dodatnich wartosci w lasnych

0 < λ1 < λ2 < . . . < λi < . . . ,

ktory jest skonczony lub λn → +∞ gdy n→ +∞. B edziemy zak ladac, ze λ = λk dla pewnegok ≥ 1. Wtedy, na mocy Twierdzenia 1.5.7, przestrzen X daje si e przedstawic w postaci sumyprostej przestrzeni domkni etych X := X− ⊕X0 ⊕X+ gdzie X0 = Ker (λkI − A), przestrzenX− jest skonczenie wymiarowa oraz X+, X−, X0 s a parami ortogonalne ze wzgl edu na iloczynskalarny 〈 · , · 〉H , to znaczy,

〈i(ul), i(um)〉H = 0 dla ul ∈ Xl, um ∈ Xm gdzie l,m ∈ 0,−,+, l 6= m. (1.1)

87

88 Rozdzia l 4. Wzory indeksowe dla rownan drugiego rz edu w rezonansie

Rozk lad X = X0 ⊕ X− ⊕ X+ wyznacza ci ag le projekcje P,Q−, Q+ : X → X dane dladowolnego x ∈ X wzorem

Px = x0 oraz Q±x = x±, (1.2)


− ⊕Xα+, gdzie


+ := Xα ∩X+.

W ten sposob nasze rzutowania mozemy traktowac rowniez jako odwzorowania ci ag le P,Q± :Xα → Xα dane dla dowolnego x ∈ Xα wzorem (1.2). Za lozmy, ze E := Xα × X jestprzestrzeni a liniow a z norm a

‖(x, y)‖E := ‖x‖α + ‖y‖ dla (x, y) ∈ E.

Niech A : E ⊃ D(A) → E b edzie operatorem liniowym okreslonym na przestrzeni BanachaE danym wzorem

D(A) := (x, y) ∈ Xα ×X | x+ cy ∈ D(A)A(x, y) := (−y,A(x+ cy)− λx) dla (x, y) ∈ D(A).

Korzystaj ac z Wniosku 1.5.15 otrzymujemy rozk lad przestrzeni E na sum e prost a podprze-strzeni domkni etych E := E− ⊕E0 ⊕E+ takich, ze

SA(t)Ei ⊂ Ei dla t ≥ 0, i ∈ 0,−,+, (1.3)

E0 = Ker (λI −A)×Ker (λI −A), dim E− < +∞ oraz

dim E− =

0 jesli k = 1,∑k−1

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli k dla k ≥ 2,(1.4)

gdzie przypominamy k ≥ 1 jest takie, ze λ = λk. Z wniosku wiadomo rowniez, ze C0 po lgrupaSA(t)|E−t≥0 moze byc jednoznacznie rozszerzona do C0 grupy na E− oraz istniej a sta lec,M > 0 takie, ze

‖SA(t)(x, y)‖E ≤Me−ct‖(x, y)‖E dla (x, y) ∈ E+, t ≥ 0, (1.5)

‖SA(t)(x, y)‖E ≤Mect‖(x, y)‖E dla (x, y) ∈ E−, t ≤ 0. (1.6)

Ponadto jesli P,Q−,Q+ : E→ E s a rzutowaniami odpowiednio na przestrzenie E0, E−, E+,to przyjmuj ac Q := Q+ + Q− mamy

P(x, y) = (Px, Py) oraz Q(x, y) = (Qx,Qy) dla (x, y) ∈ E. (1.7)

Na podstawie (1.3) mamy rowniez, ze

SA(t)Pz = PSA(t)z oraz SA(t)Qz = QSA(t)z dla t ≥ 0, z ∈ E. (1.8)

Zauwazmy, ze A(E0) ⊂ E0 a zatem jesli operator A0 : E0 ⊃ D(A0) → E0 jest cz esci aoperatora A w przestrzeni E0 to A0(x, y) := (−y, cλy) dla (x, y) ∈ E0 oraz

SA(t)z = SA0(t)z dla t ≥ 0, z ∈ E0. (1.9)

4.2. Wzor indeksowy dla orbit ograniczonych 89

4.2 Wzor indeksowy dla orbit ograniczonych

Naszym celem b edzie badanie istnienia orbit ograniczonych dla rownan drugiego rz edu wrezonansie w nieskonczonosci postaci

u(t) = −Au(t)− cAu(t) + λu(t) + F (u(t)), t ≥ 0 (2.10)

gdzie c > 0, λ jest wartosci a w lasn a operatora A, zas F : Xα → X jest odwzorowaniemci ag lym spe lniaj acym za lozenia (F1) (patrz strona 45), (F5) (patrz strona 55) oraz (F6)(patrz strona 62). Niech F : E→ E b edzie odwzorowaniem danym jako

F(x, y) := (0, F (x)) dla (x, y) ∈ E.

Rownanie drugiego rz edu (2.10) mozemy teraz zapisac jako rownanie pierwszego rz edu

w(t) = −Aw(t) + F(w(t)), t > 0. (2.11)

Na podstawie punktu (c) Uwagi 2.4.1 odwzorowanie F spe lnia za lozenia (F3) oraz (F4).Dlatego korzystaj ac z Twierdzenia 2.1.5, dla dowolnego (x, y) ∈ E, istnieje s labe rozwi azaniew( · ; (x, y)) : [0,+∞) → E rownania (2.10) zaczynaj acym si e w punkcie (x, y). Niech Φ :[0,+∞)×E→ E b edzie stowarzyszonym po lpotokiem danym wzorem

Φ(t, (x, y)) := w(t; (x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E.

Twierdzenie 2.4.8 implikuje, ze po lpotok Φ jest odwzorowaniem ci ag lym oraz dowolny zbiorograniczony w przestrzeni E jest dopuszczalny wzgl edem Φ. Na podstawie Uwagi 2.4.7 wi-dzimy rowniez, ze dowolne pe lne rozwi azanie tego po lpotoku jest pe lnym rozwi azaniem row-nania (2.11).

Uwaga 4.2.1. W przypadku gdy rownanie (2.10) jest w rezonansie w nieskonczonosci pro-blem istnienia orbit ograniczonych moze nie miec rozwi azan przy dowolnej nieliniowosci F .

Aby si e o tym przekonac wystarczy przyj ac F (x) = y0 dla x ∈ E, gdzie y0 ∈ Ker (λI−A)\0.Jesli teraz w : R→ E jest pe lnym rozwi azaniem rownania (2.11) na przedziale R, to ze wzoruca lkowego mamy

w(t) = SA(t)w(0) +

∫ t

0SA(t− τ)(0, y0) dτ dla t ∈ R.

Dzia laj ac na to rownanie operatorem P i korzystaj ac z (1.8) otrzymujemy, ze

Pw(t) = SA(t)Pw(0) +

∫ t

0SA(t− τ)P(0, y0) dτ dla t ∈ R,

a to, na podstawie (1.9) oraz (1.7) oznacza, ze

Pw(t) = SA0(t)Pw(0) +

∫ t

0SA0(t− τ)(0, y0) dτ dla t ∈ R.

Korzystaj ac z punktu (a) Uwagi 2.1.2 mamy, ze odwzorowanie (u0, v0) : R → E0 dane jako(u0(t), v0(t)) := Pw(t) dla t ≥ 0, jest klasy C1 oraz

u0(t) = v0(t), t ∈ R,v0(t) = −cλv0(t) + y0, t ∈ R.


Z powyzszego rownania otrzymujemy, ze

d

dt(〈u0(t), cλy0〉H + 〈v0(t), y0〉H) = 〈v0(t), cλy0〉H + 〈−cλv0(t) + y0, y0〉H = ‖y0‖2H dla t ∈ R,

a st ad wynika, ze

〈u0(t), cλy0〉H + 〈v0(t), y0〉H = t‖y0‖2H dla t ∈ R. (2.12)

Zatem jesli odwzorowanie w jest ograniczone, to rowniez lewa strona rownania (2.12) jestograniczona, a to jest sprzecznosc gdyz ‖y0‖H > 0.

Zgodnie z powyzsz a uwag a wprowadzam nast epuj ace warunki geometryczne dla rownandrugiego rz edu, ktore pos luz a nam do charakteryzacji nieliniowosci F tak aby rownanie (2.11)posiada lo orbity ograniczone:

(G5)

dla dowolnych kul B1 ⊂ Xα

+ ⊕Xα− oraz B2 ⊂ X0 istnieje R > 0 takie, ze

〈F (x+ y), x〉H > −〈F (x+ y), z〉Hdla (y, z) ∈ B1 ×B2 oraz x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R.

(G6)



〈F (x+ y), x〉H < −〈F (x+ y), z〉Hdla (y, z) ∈ B1 ×B2 oraz x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R.

Przyst epujemy teraz do sformu lowania i dowodu g lownego rezultatu tej sekcji, czyli nast e-puj acego wzoru indeksowego dla orbit ograniczonych. Twierdzenie to jest narz edziem s luz a-cym do wyznaczania indeksu Conley’a dla maksymalnego zbioru niezmienniczego wzgl edempo lpotoku Φ, zawartego w dostatecznie duzej kuli, w zaleznosci od powyzszych warunkowgeometrycznych. Moze byc wykorzystane bezposrednio do dowodzenia istnienia orbit ogra-niczonych dla rownania (2.11) lub zastosowane do dowodu istnienia orbit l acz acych punktystacjonarne dla tego rownania, co b edzie tematem nast epnej sekcji.

Twierdzenie 4.2.2. Niech λ = λk b edzie wartosci a w lasn a operatora A oraz niech dl b edzietak a liczb a ca lkowit a, ze d0 = 0 oraz dl :=

∑li=1 dim Ker (λiI − A) gdy l ≥ 1. Wowczas

istnieje domkni ete otoczenie izoluj ace N ⊂ E, dopuszczalne wzgl edem po lpotoku Φ takie, zedla K := Inv (N,Φ), spe lnione s a nast epuj ace w lasnosci:

(i) jesli spe lniony jest warunek (G5), to K ∈ S(E) oraz h(Φ,K) = Σdk ,(ii) jesli spe lniony jest warunek (G6), to K ∈ S(E) oraz h(Φ,K) = Σdk−1.

W dowodzie wykorzystamy odwzorowanie G : [0, 1]×Xα → X, ktore dane jest nast epu-j acym wzorem

G(s, x) := PF (sQx+ Px) + sQF (sQx+ Px) dla s ∈ [0, 1] oraz x ∈ Xα. (2.13)

Rozwazmy nast epuj ace rownanie rozniczkowe

w(t) = −Aw(t) + G(s, w(t)), t > 0 (2.14)

gdzie odwzorowanie G : [0, 1]×E→ E dane jest jako

G(s, (x, y)) := (0, G(s, x)) dla s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ E.


Uwaga 4.2.3. Na podstawie Uwagi 3.2.3, dla dowolnego s ∈ [0, 1], odwzorowanie G(s, ·)spe lnia za lozenie (F1). Zatem jesli (x, y) ∈ E, to istnieje otoczenie U punktu x w przestrzeniXα oraz sta la L > 0 takie, ze

‖G(s, x1)−G(s, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α dla x1, x2 ∈ U.Wtedy W := U × X jest otoczeniem punktu (x, y) w przestrzeni E oraz dla dowolnych(x1, y2), (x1, y2) ∈W mamy

‖G(s, (x1, y1))−G(s, (x2, y2))‖E = ‖G(s, x1)−G(s, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α≤ L‖(x1, y1)− (x2, y2)‖E.

St ad otrzymujemy, ze G spe lnia warunek (F3). Ponadto z warunku (F6) wynika, ze

‖G(s, x)‖E = ‖PF (sQx+ Px) + sQF (sQx+ Px)‖≤ ‖P‖‖F (sQx+ Px)‖+ ‖Q‖‖F (sQx+ Px)‖≤ m(‖P‖+ ‖Q‖) dla s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ E,

co pokazuje, ze‖G(s, x)‖E ≤ m0 dla s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ E, (2.15)

gdzie m0 := m(‖P‖+ ‖Q‖) i tym samym G spe lnia rowniez warunek (F4).

Korzystaj ac z powyzszej uwagi oraz Twierdzenia 2.1.5, dla dowolnego s ∈ [0, 1], mozemyzdefiniowac po lpotok Ψs : [0,+∞)×Xα → Xα dany wzorem

Ψs(t, (x, y)) := w(t; s, (x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E,

gdzie u( · ; s, (x, y)) : [0,+∞) → E jest s labym rozwi azaniem zagadnienia (2.14) zaczyna-j acym si e w punkcie w punkcie (x, y). Twierdzenie 2.4.8 implikuje, ze rodzina po lpotokowΦss∈[0,1] jest ci ag la oraz dowolny zbior ograniczony w przestrzeni E jest dopuszczalnywzgl edem rodziny Φsnn≥1, gdzie (sn) jest ci agiem w [0, 1]. Ponadto zauwazmy, ze rodzinapo lpotokow Ψss∈[0,1] jest homotopi a l acz ac a po lpotok Ψ1 = Φ z po lpotokiem Ψ0, ktoregokazde rozwi azanie (u, v) : [0,+∞)→ E spe lnia wzor ca lkowy

(u(t), v(t)) = SA(t)(u(0), v(0)) +

∫ t

0SA(t− τ)(0, PF (Pu(τ))) dτ dla t ≥ 0.

Niech ϕ1 : [0,+∞)×E+ ⊕E− → E+ ⊕E− b edzie po lpotokiem danym jako

ψ1(t, (x, y)) := SA(t)(x, y) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E+ ⊕E−

oraz niech ϕ2 : [0,+∞)×E0 → E0 b edzie po lpotokiem stowarzyszonym z rownaniem

(u(t), v(t)) = −A0(u(t), v(t)) + (0, PF (u(t))), t > 0 (2.16)

Wowczas widzimy, ze

Ψ0(t, (x, y)) = ϕ1(t,Q(x, y)) + ϕ2(t,P(x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E,

co oznacza, ze Ψ0 jest topologicznie rownowazny z iloczynem kartezjanskim po lpotokow ϕ1

oraz ϕ2, czyli,

Ψ0(t, U(x, y)) = U(ϕ1(t, x), ϕ2(t, y)) dla t ≥ 0, (x, y) ∈ (E− ⊕E+)×E0, (2.17)

gdzie homeomorfizm liniowy U : (E− ⊕E+)×E0 → E dany jest wzorem U(x, y) = x+ y dla(x, y) ∈ (E−⊕E+)×E0. W dowodzie powyzszego twierdzenia b edziemy uzywac nast epuj acegolematu.


Lemat 4.2.4. Istnieje sta la R > 0 taka, ze spe lnione s a nast epuj ace w lasnosci:

(i) jesli w = ws : R → E, dla pewnego s ∈ [0, 1], jest pe lnym rozwi azaniem rownania(2.14) takim, ze zbior Q+w(t) | t ≤ 0 jest ograniczony w E, to

‖Q−w(t)‖E ≤ R dla t ∈ R. (2.18)

(ii) jesli w = ws : R→ E, dla pewnego s ∈ [0, 1], jest pe lnym rozwi azaniem dla rownania(2.14) takim, ze zbior Q−w(t) | t ≥ 0 jest ograniczony w E, to

‖Q+w(t)‖E ≤ R dla t ∈ R. (2.19)

Dowod. Zauwazmy najpierw, ze skoro w jest pe lnym rozwi azaniem, to Ψs(t−t′, w(t′)) = w(t)dla t, t′ ∈ R, t ≥ t′, co implikuje, ze

w(t) = SA(t− t′)w(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)G(s, w(τ)) dτ dla t ≥ t′. (2.20)

Aby uzasadnic punkt (i) zadzia lajmy na powyzsze rownanie operatorem Q+. Wtedy, napodstawie (1.8) mamy

Q+w(t) = SA(t− t′)Q+w(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)Q+G(s, w(τ)) dτ

dla t ≥ t′. Ponadto, korzystaj ac z (1.5) wnosimy, ze istniej e sta le c,M > 0 takie, ze

‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E ≤Me−c(t−t′) ‖Q+w(t′)‖

dla t, t′ ∈ R, t > t′. St ad ograniczonosc zbioru Q+w(t) | t ≤ 0 implikuje, ze

‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E → 0 gdy t′ → −∞. (2.21)

Ponadto, z nierownosci (1.5) mamy

‖Q+w(t)‖E ≤ ‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E +

∫ t

t′‖SA(t− τ)Q+G(s, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E +M

∫ t

t′e−c(t−τ) ‖Q+G(s, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E +m0M‖Q+‖L(E)

∫ t

t′e−c(t−τ) dτ

= ‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E +m0M‖Q+‖L(E)(1− e−c(t−t′))/c,

czyli

‖Q+w(t)‖E ≤ ‖SA(t− t′)Q+w(t′)‖E +m0M‖Q+‖L(E)(1− e−c(t−t′))/c.

Dlatego wykorzystuj ac (2.21) i przychodz ac do granicy z t′ → −∞ wnosimy, ze (2.18) jestspe lnione dla R := m0M‖Q+‖L(E)/c.

Aby uzasadnic punkt (ii), dzia lamy na rownanie (2.20) operatorem Q− a nast epnie, uzy-waj ac (1.8) otrzymujemy

Q−w(t) = SA(t− t′)Q−w(t′) +

∫ t

t′SA(t− τ)Q−G(s, w(τ)) dτ


i w konsekwencji, dla t, t′ ∈ R oraz t ≥ t′, mamy

SA(t′ − t)Q−w(t) = Q−w(t′) +

∫ t

t′SA(t′ − τ)Q−G(s, w(τ)) dτ. (2.22)

gdyz jako wspomnielismy rodzina SA(t)t≥0 po obci eciu do przestrzeni E− przed luza sie doC0 grupy operatorow. Nast epnie z nierownosci (1.6), dostajemy istnienie sta lych c,M > 0 otej w lasnosci, ze

‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E ≤M ec(t′−t)‖Q−w(t)‖E dla t ≥ t′.

St ad ograniczonosc zbioru Q−w(t) | t ≥ 0 implikuje, ze

‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E → 0 gdy t→ +∞. (2.23)

Korzystaj ac ponownie z nierownosci (1.6) otrzymujemy

‖Q−w(t′)‖E ≤ ‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E +

∫ t

t′‖SA(t′ − τ)Q−G(s, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E +

∫ t

t′Mec(t

′−τ)‖Q−G(s, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E +

∫ t

t′Mm0‖Q−‖L(E) e

c(t′−τ) dτ

= ‖SA(t′ − t)Q−w(t)‖E +Mm0‖Q−‖L(E)

c

(1− ec(t′−t)

).

Wykorzystuj ac zbieznosc (2.23), po przejsciu do granicy z t→ +∞, otrzymujemy

‖Q−w(t′)‖E ≤Mm0‖Q−‖L(E)/c dla t′ ∈ R. (2.24)

Tym samym nierownosc (2.19) jest spe lniona ze sta l a R := m0M‖Q+‖L(E)/c i dowod jestzakonczony.

Dowod Twierdzenia 4.2.2. Niech e1, e2, . . . , en, gdzie n = dim Ker (λI − A), b edziebaz a ortonormaln a przestrzeni Ker (λI −A) w normie ‖ · ‖H . Na przestrzeni E0 = Ker (λI −A)×Ker (λI −A) b edziemy rozpatrywac iloczyn skalarny oraz norm e dane wzorami

〈(x1, y1), (x2, y2)〉E0 = 〈x1, x2〉H + 〈y1, y2〉H dla (x1, y1), (x2, y2) ∈ E0,

‖(x, y)‖E0 =(‖x‖2H + ‖y‖2H

)1/2dla (x, y) ∈ E0.

Niech f1, f2, . . . , f2n b edzie baz a przestrzeni E0 dan a jako

fi :=

((cλ)2 + 1)−1/2(cλei, ei) dla 1 ≤ i ≤ n,

(0, ei−n) dla n+ 1 ≤ i ≤ 2n

Niech W : E0 → Rn × Rn b edzie odwzorowaniem danym wzorem

W (x, y) := (〈(x, y), f1〉E0 , 〈(x, y), f2〉E0 , . . . , 〈(x, y), f2n〉E0) dla (x, y) ∈ E0.

Wtedy W (x, y) = (w1, w2) dla

w1 := a(cλx1 + y1, cλx2 + y2, . . . , cλxn + yn) oraz

w2 := (y1, y2, . . . , yn)(2.25)


gdzie a := ((λc)2 + 1)−1/2 oraz xi := 〈x, ei〉H , yi := 〈y, ei〉H dla i = 1, 2, . . . , n. Zauwazmy, zew tej sytuacji

|w1| = a‖cλx+ y‖H oraz |w2| = ‖y‖H , (2.26)

gdzie | · | jest norma euklidesow a na Rn.

Krok 1. Zaczynamy od zdefiniowania otoczenia izoluj acego dla rodziny po lpotokow Ψss∈[0,1].Na podstawie Lematu 4.2.4 istnieje R1 > 0 takie, ze jesli w = (u, v) : R → E jest pe lnymograniczonym rozwi azaniem po lpotoku Ψs : E→ E dla pewnego s ∈ [0, 1], to

‖Qw(t)‖E ≤ R1 dla t ∈ R. (2.27)

Niech R2 > 0 b edzie takie, ze− cλR2

2 +m1R2 < 0, (2.28)

gdzie m1 > 0 jest tak a sta l a, ze

‖PF (x)‖H ≤ m1 dla x ∈ Xα (2.29)

istniej aca na podstawie za lozenia (F6). Bior ac zbiory

B1 := x ∈ Xα+ ⊕Xα

− | ‖x‖α ≤ R1 + 1 oraz

B2 := y ∈ Ker (λI −A) | ‖y‖H ≤ R2/(cλ),

na podstawie (1.1) oraz za lozenia, znajdujemy R3 > 0 takie, ze

〈PF (x+ y), x〉H > −〈PF (x+ y), z〉H (2.30)

dla dowolnych (y, z) ∈ B1 × B2, x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R3 w przypadku gdy spe lnionyjest warunek (G5) oraz

〈PF (x+ y), x〉H < −〈PF (x+ y), z〉H (2.31)

dla dowolnych (y, z) ∈ B1 × B2, x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R3, w przypadku gdy spe lnionyjest warunek (G6). Niech

R4 := acλR3 + aR2. (2.32)

Definiujemy zbior N ⊂ E jako N := N1 ⊕N2, gdzie

N1 := (x, y) ∈ E− ⊕E+ | ‖(x, y)‖E ≤ R1 + 1,N2 := W−1M dla M := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| ≤ R4, |w2| ≤ R2.

Krok 2. Pokazemy, ze N jest otoczeniem izoluj acym dla rodziny po lpotokow Ψss∈[0,1].Niech zatem w : R → E b edzie pe lnym rozwi azaniem po lpotoku Ψs : E → E dla pewnegos ∈ [0, 1] takim, ze w(R) ⊂ N oraz w(R)∩∂N 6= ∅. Bez straty ogolnosci rozumowania mozemyza lozyc, ze w(0) ∈ ∂N . Wtedy Pw(0) ∈ ∂N2 oraz Qw(0) ∈ N1 lub Pw(0) ∈ N2 oraz Qw(0) ∈∂N1. Wobec doboru liczby R1 oraz ograniczonosci rozwi azania w w przestrzeni E mamy, ze‖Qw(0)‖E ≤ R1 a zatem Qw(0) ∈ intN1. Pozostaje wi ec mozliwosc, ze Pw(0) ∈ ∂N2 orazQw(0) ∈ N1. Korzystaj ac z (1.7) mamy, ze Qw(0) = (Qu(0), Qv(0)), a zatem konsekwencj anierownosci (2.27) jest fakt, ze ‖Qu(0)‖α + ‖Qv(0)‖ ≤ R1, a st ad w szczegolnosci

‖Qu(0)‖α ≤ R1. (2.33)

Niech odwzorowanie (w1, w2) : R→ R2n b edzie dane wzorem

(w1(t), w2(t)) := WP(w(t)) = W (Pu(t), Pv(t)) dla t ∈ R.


Ze wzorow (2.25) otrzymujemy

w1(t) := a(cλu1(t) + v1(t), cλu2(t) + v2(t), . . . , cλun(t) + vn(t)),

w2(t) := (v1(t), v2(t), . . . , vn(t)) dla t ∈ R,(2.34)

gdzie a := ((λc)2 + 1)−1/2 oraz ui(t) := 〈Pu(t), ei〉H , vi(t) := 〈Pv(t), ei〉H dla i = 1, 2, . . . , n.Dzia laj ac operatorem P na nast epuj ace rownanie

(u(t), v(t)) = SA(t)(u(t′), v(t′)) +

∫ t

t′SA(t− τ)G(s, u(τ)) dτ dla t ≥ t′,

na podstawie (1.8) mamy

P(u(t), v(t)) = SA(t)P(u(t′), v(t′)) +

∫ t

t′SA(t− τ)PG(s, u(τ)) dτ dla t ≥ t′

i w konsekwencji, korzystaj ac z (1.7) oraz (1.9), otrzymujemy

(Pu(t), Pv(t)) = SA0(t)(Pu(t′), Pv(t′)) +

∫ t

t′SA0(t− τ)(0, PF (sQu(τ) + Pu(τ))) dτ

dla t ≥ t′, gdzie A0 : E0 → E0 jest operatorem danym wzorem A0(x, y) := (−y, cλy) dla(x, y) ∈ E0. Jest to operator ograniczony, okreslony na przestrzeni skonczenie wymiarowej,a zatem, na podstawie punktu (a) Uwagi 2.1.2, odwzorowania t 7→ Pu(t) oraz t 7→ Pv(t)okreslone na zbiorze R s a rozniczkowalne w sposob ci ag ly oraz spe lnione s a rownania

d

dtPu(t) = Pv(t), t ∈ R

d

dtPv(t) = −cλPv(t) + PF (sQu(t) + Pu(t)), t ∈ R.

na podstawie, ktorych otrzymujemy

cλui(t) + vi(t) = cλ

⟨d

dtPu(t), ei

⟩H

+

⟨d

dtPv(t), ei

⟩H

= cλvi(t)− cλvi(t) + 〈PF (sQu(t) + Pu(t)), ei〉H= 〈PF (sQu(t) + Pu(t)), ei〉H dla t ∈ R, 1 ≤ i ≤ n

(2.35)

oraz

vi(t) =

⟨d

dtPv(t), ei

⟩H

= −cλvi(t) + 〈PF (sQu(t) + Pu(t)), ei〉H dla t ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.

Z faktu, ze Pw(0) ∈ ∂N2 otrzymujemy, ze

(w1(0), w2(0)) = WPw(0) = W (Pu(0), Pv(0)) ∈ ∂M.

Zatem |w1(0)| ≤ R4 oraz |w2(0)| = R2 lub |w1(0)| = R4 oraz |w2(0)| ≤ R2. Za lozmy, ze mamiejsce pierwszy przypadek. Wtedy z (2.34) mamy

d

dt

1

2|w2(t)|2 = w2(t) · w2(t) =

n∑i=1

vi(t) · vi(t)

=n∑i=1

−cλv2i (t) + vi(t)〈PF (sQu(t) + Pu(t)), ei〉H

= −cλ|w2(t)|2 + 〈PF (sQu(t) + Pu(t)), Pv(t)〉H dla t ∈ R.

(2.36)


Ponadto, z (2.26) oraz nierownosci (2.15)

〈PF (sQu(t) + Pu(t)), Pv(t)〉H ≤ m1‖Pv(t)‖H = m1|w2(t)|,a st ad, na podstawie (2.28) oraz (2.36),

d

dt

1

2|w2(t)|2|t=0 = −cλ|w2(0)|2 + 〈PF (sQu(0) + Pu(0)), Pv(0)〉H

≤ −cλ|w2(0)|2 +m1|w2(0)| = −cλR22 +m1R2 < 0.

Zatem istnieje δ > 0 takie, ze |w2(t)| > R2 dla t ∈ (−δ, 0) i tym samym Pw(t) = (Pu(t), Pv(t)) 6∈N2 dla t ∈ (−δ, 0), co przeczy za lozonej inkluzji w(R) ⊂ N . Za lozmy teraz, ze |w1(0)| = R4

oraz |w2(0)| ≤ R2. Wowczas, ma podstawie (2.34) oraz (2.35) mamy

d

dt

1

2|w1(t)|2 = w1(t) · w1(t) = a2

n∑i=1

(cλui(t) + vi(t))(cλui(t) + vi(t))

= a2n∑i=1

(cλui(t) + vi(t))〈PF (sQu(t) + Pu(t)), ei〉H

= a2〈PF (sQu(t) + Pu(t)), cλPu(t) + Pv(t)〉H dla t ∈ R.

Na mocy rownosci (2.26) mamy, ze ‖Pv2(0)‖H = |w2(0)| ≤ R2 oraz, na podstawie (2.32)mamy

acλR3 + aR2 = R4 = |w1(0)| = a‖cλPu(0) + Pv(0)‖H≤ acλ‖Pu(0)‖H + a‖Pv(0)‖H ≤ acλ‖Pu(0)‖H + aR2,

co implikuje, ze‖Pu(0)‖H ≥ R3 oraz ‖Pv(0)‖H ≤ R2. (2.37)

Dlatego, jesli spe lniony jest warunek (G5), to na podstawie (2.33) oraz (2.37) nierownosc(2.30) implikuje, ze

d

dt

1

2|w1(t)|2|t=0 = a2〈PF (sQu(0) + Pu(0)), cλPu(0) + Pv(0)〉H

= a2cλ〈PF (sQu(0) + Pu(0)), Pu(0)〉H+ a2〈PF (sQu(0) + Pu(0)), Pv(0)〉H > 0.

Zatem jesli spe lniony jest warunek (G5), to istnieje δ > 0 takie, ze |w1(t)| > R4 dla t ∈ (0, δ) itym samym Pw(t) = P(u(t), v(t)) 6∈ N2 dla t ∈ (0, δ). Podobnie, jesli spe lniony jest warunek(G6), to

d

dt

1

2|w1(t)|2|t=0 < 0

czyli istnieje δ > 0 takie, ze |w1(t)| > R4 dla t ∈ (−δ, 0) i tym samym Pw(t) = P(u(t), v(t)) 6∈N2 dla t ∈ (−δ, 0). W obydwu przypadkach przeczy to za lozonej inkluzji w(R) ⊂ N . W tensposob pokazalismy, ze N jest otoczeniem izoluj acym dla rodziny po lpotokow Ψss∈[0,1].

Krok 3. Udowodnimy teraz, ze jesli spe lniony jest warunek (G5), to zbior B := N2 jestblokiem izoluj acym dla po lpotoku ϕ2 (patrz strona 91) dla ktorego zbiory punktow scis legowejscia, wyjscia i odbicia rowne s a odpowiednio Bi = W−1M i, Be = W−1M e oraz Bb =W−1M b, gdzie

M i := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| < R4, |w2| = R2,M e := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| = R4, |w2| < R2,M b := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| = R4, |w2| = R2.


Ponadto udowodnimy, ze jesli spe lniony jest warunek (G6), to zbior B := N2 jest blokiemizoluj acym dla po lpotoku ϕ2, ktorego brzeg stanowi a punkty punktow scis lego wejscia.

Za lozmy, ze spe lniony jest warunek (G5) oraz niech (u, v) : [−δ2, δ1) → E0, gdzie δ1 > 0oraz δ2 ≥ 0, b edzie rozwi azaniem dla po lpotoku ϕ2 takim, ze (u(0), v(0)) ∈ W−1M i. Niechodwzorowanie (w1, w2) : R→ R2n b edzie dane wzorem

(w1(t), w2(t)) := W (u(t), v(t)) dla t ∈ [−δ2, δ1).

Ze wzorow (2.25) otrzymujemy

w1(t) := a(cλu1(t) + v1(t), cλu2(t) + v2(t), . . . , cλun(t) + vn(t)),

w2(t) := (v1(t), v2(t), . . . , vn(t)) dla t ∈ [−δ2, δ1),(2.38)

gdzie a := ((λc)2 + 1)−1/2 oraz ui(t) := 〈u(t), ei〉H , vi(t) := 〈v(t), ei〉H dla i = 1, 2, . . . , n.Zauwazmy, ze spe lnione s a rownania

u(t) = v(t), t ∈ [−δ2, δ1)

v(t) = −cλv(t) + PF (u(t)), t ∈ [−δ2, δ1)(2.39)

na podstawie, ktorych mamy

cλui(t) + vi(t) = cλ 〈u(t), ei〉H + 〈v(t), ei〉H= cλvi(t)− cλvi(t) + 〈PF (u(t)), ei〉H= 〈PF (u(t)), ei〉H dla t ∈ [−δ2, δ1), 1 ≤ i ≤ n

(2.40)

oraz

vi(t) = 〈v(t), ei〉H = −cλvi(t) + 〈PF (u(t)), ei〉H dla t ∈ [−δ2, δ1), 1 ≤ i ≤ n.

Wtedy (w1(0), w2(0)) = W (u(0), v(0)) ∈M i oraz

d

dt

1

2|w2(t)|2 = w2(t) · w2(t) =

n∑i=1

vi(t) · vi(t)

=n∑i=1

−cλvi(t)2 + vi(t)〈PF (u(t)), ei〉H

= −cλ‖v(t)‖2H + 〈PF (u(t)), v(t)〉H dla t ∈ [−δ2, δ1).

(2.41)

Ponadto, na podstawie (2.29) otrzymujemy

〈PF (u(t)), v(t)〉H ≤ m1‖v(t)‖H = m1|w2(t)| dla t ∈ [−δ2, δ1),

i dalej, korzystaj ac z (2.41) oraz (2.28) mamy

d

dt

1

2|w2(t)|2|t=0 = −cλ|w2(0)|2 + 〈PF (u(0)), v(0)〉H

≤ −cλ|w2(0)|2 +m1|w2(0)| = −cλR22 +m1R2 < 0.

(2.42)

Zatem istnieje ε1 ∈ (0, δ1), ε2 ∈ (0, δ2) takie, ze |w2(t)| > R2 dla t ∈ [−ε2, 0) (gdy δ2 > 0)oraz |w2(t)| < R2 dla t ∈ (0, ε1]. Ponadto zmniejszaj ac w razie potrzeby ε1 > 0 mozemy jedobrac tak aby w1(t) ∈ B(0, R4) dla t ∈ (0, ε1]. Dlatego (u(t), v(t)) ∈ intB dla t ∈ (0, ε1] oraz(u(t), v(t)) 6∈ B dla t ∈ [−ε2, 0), co uzasadnia, ze zbior W−1M i zawiera si e w zbiorze Bi.


Niech teraz (u, v) : [−δ2, δ1) → E0, gdzie δ1 > 0 oraz δ2 ≥ 0, b edzie rozwi azaniemdla po lpotoku ϕ2 takim, ze (u(0), v(0)) ∈ W−1M e. Podobnie jak poprzednio definiujemyodwzorowanie (w1, w2) : [−δ2, δ1) → R2n dane wzorem (w1(t), w2(t)) = W (u(t), v(t)) dlat ∈ [−δ2, δ1). Wtedy (w1(0), w2(0)) = W (u(0), v(0)) ∈M e oraz, na podstawie wzorow (2.38)oraz (2.40) mamy

d

dt

1

2|w1(t)|2 = w1(t) · w1(t) = a2

n∑i=1

(cλui(t) + vi(t))(cλui(t) + vi(t))

= a2n∑i=1

(cλui(t) + vi(t))(PF (u(t)), ei)

= a2(PF (u(t)), cλu(t) + v(t)) dla t ∈ [−δ2, δ1).

Na mocy (2.26) mamy, ze ‖v2(0)‖H = |w2(0)| ≤ R2 oraz

acλR3 + aR2 = R4 = |w1(0)| = a‖cλu(0) + v(0)‖H≤ acλ‖u(0)‖H + a‖v(0)‖H ≤ acλ‖u(0)‖H + aR2,

co implikuje, ze‖u(0)‖H ≥ R3 oraz ‖v(0)‖H ≤ R2. (2.43)

Dlatego, na podstawie (2.43), nierownosc (2.30) implikuje, ze

d

dt

1

2|w1(t)|2|t=0 = a2(PF (u(0)), cλu(0) + cv(0))

= a2cλ(PF (u(0)), u(0)) + a2(PF (u(0)), v(0)) > 0.(2.44)

Zatem istniej a ε1 ∈ (0, δ1), ε2 ∈ (0, δ2) takie, ze |w1(t)| > R4 dla t ∈ (0, ε1) oraz |w1(t)| < R4

dla t ∈ (0,−ε2] (gdy δ2 > 0). Ponadto zmniejszaj ac w razie potrzeby ε2 > 0 mozemy jedobrac tak aby w2(t) ∈ B(0, R2) dla t ∈ [−ε2, 0). Dlatego (u(t), v(t)) ∈ intB dla t ∈ [−ε2, 0)oraz (u(t), v(t)) 6∈ B dla t ∈ (0, ε1), co uzasadnia, ze zbior W−1M e zawiera si e w zbiorze Be.

Niech (u, v) : [−δ2, δ1)→ E0, gdzie δ1 > 0 oraz δ2 ≥ 0, b edzie rozwi azaniem dla po lpotokuϕ2 takim, ze (u(0), v(0)) ∈ W−1M b. Zdefiniujmy odwzorowanie (w1, w2) : [−δ2, δ1) → R2n

wzorem (w1(t), w2(t)) = W (u(t), v(t)) dla t ∈ [−δ2, δ1). Wtedy (w1(0), w2(0)) = W (u(0), v(0)) ∈M b oraz podobnie jak poprzednio prawdziwe s a nierownosci (2.42) oraz (2.44). St ad zasotrzymujemy, ze istniej a ε1 ∈ (0, δ1), ε2 ∈ (0, δ2) takie, ze |w1(t)| > R4 dla t ∈ (0, ε1) oraz|w2(t)| > R2 dla t ∈ [−ε2, 0) (gdy δ2 > 0). Dlatego (u(t), v(t)) 6∈ B dla t ∈ [−ε2, 0) ∪ (0, ε1),co uzasadnia, ze zbior W−1W b zawiera si e w zbiorze Bb.

Poniewaz zbiory Bi, Be oraz Bb s a parami roz l aczne oraz ∂B = W−1M e ∪W−1M i ∪W−1M b mamy, ze W−1M i = Bi, W−1M e = Be oraz W−1M b = Bb i tym samym B = N2

jest blokiem izoluj acym dla po lpotoku ϕ2 dla ktorego B− = W−1(M e ∪M b). W analogicznysposob mozemy sprawdzic, ze warunek (G6) poci aga za sob a fakt, ze B := N2 jest blokiemizoluj acym dla po lpotoku ϕ2, ktorego brzeg stanowi a punkty punktow scis lego wejscia.

Krok 4. Oznaczmy teraz Ks := Inv (Ψs, N) dla dowolnego s ∈ [0, 1]. Korzystaj ac z Kroku2 oraz homotopijnej niezmienniczosci indeksu Conley’a mamy

h(Φ,K) = h(Ψ1,K1) = h(Ψ0,K). (2.45)

Niech K ′1 := Inv (ϕ1, N1) oraz K ′2 := Inv (ϕ2, N2). Na podstawie (1.5) oraz Twierdzenia 6.2.7mamy, ze K ′1 = 0, K ′1 ∈ S(E− ⊕E+) i ponadto

h(ϕ1,K′1) = ΣdimE− = Σdk−1 , (2.46)


przy czym ostatnia rownosc wynika z (1.4). Ponadto na podstawie Kroku 2 mamy, ze K ′2 ∈S(E0) jest zbiorem izolowanym niezmienniczym, a zatem z w lasnosci multiplikatywnosci in-deksu homotopijnego mamy, ze K ′1 ×K ′2 ∈ S(ϕ1 × ϕ2, (E− ⊕E+)×E0) oraz

h(ϕ1 × ϕ2,K′1 ×K ′2) = h(ϕ1,K

′1) ∧ h(ϕ2,K

′2). (2.47)

Oznaczmy K ′ := Inv (ϕ1×ϕ2, N1×N2). Wtedy K ′ = K ′1×K ′2 oraz z rownosci (2.17) wynika,ze U(K ′) = Inv (Ψ0, N) = K. Dlatego ze Stwierdzenia 6.2.8 otrzymujemy

h(Ψ0,K) = h(ϕ1 × ϕ2,K′1 ×K ′2). (2.48)

Zatem, na podstawie (2.45), (2.48), (2.47) oraz (2.46) mamy

h(Ψ,K) = h(ϕ1,K′1) ∧ h(ϕ2,K

′2) = Σdk−1 ∧ h(ϕ2,K

′2). (2.49)

Ponadto, jesli spe lniony jest warunek (G5), to para indeksowa (B,B−) jest homeomorficznaz par a zbiorow (M,M−), gdzie

M := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| ≤ R4, |w2| ≤ R2,M− := (w1, w2) ∈ R2n | |w1| = R4, |w2| ≤ R2,

co na podstawie Lematu 6.2.6 implikuje, ze

h(ϕ2,K′2) = Σn. (2.50)

L acz ac to z rownosci a (2.49), na podstawie Stwierdzenia 6.2.5 otrzymujemy, ze

h(Ψ,K) = Σdk−1 ∧ Σn = Σdk , (2.51)

jesli spe lniony jest warunek (G5), co konczy dowod punktu (i). Natomiast jesli spe lniony jestwarunek (G6), to zbior B := N2 jest blokiem izoluj acym dla ϕ2, ktorego brzeg stanowi a zbiorypunktow scis lego wejscia. W tym przypadku para indeksowa (B,B−) jest homeomorficzna zpar a zbiorow (M, ∅), co implikuje, ze

h(ϕ2,K′2) = Σ0. (2.52)

L acz ac to z (2.49), na podstawie Stwierdzenia 6.2.5 otrzymujemy, ze

h(Ψ,K) = Σdk−1 ∧ Σ0 = Σdk−1 . (2.53)

jesli spe lniony jest warunek (G6), co konczy dowod punktu (ii).

4.3 Orbity lacz

ace punkty rownowagi

W tym rozdziale zak ladamy, ze nieliniowosc F spe lnia dodatkowo za lozenie (F7) zestrony 69. Za lozenie to implikuje, ze F(0) = 0 a zatem Φ(t, 0) = 0 dla t ≥ 0.

Uwaga 4.3.1. (a) Z za lozenia (F7) mamy, ze odwzorowanie F jest rozniczkowalne w punk-cie 0 oraz pochodna DF(0) ∈ L(E) wyraza si e wzorem

DF(0)[x, y] = (0, DF (0)[x]) = (0, µx) dla (x, y) ∈ E.

(b) Poniewaz w lozenie i : Xα → X jest zwarte, na podstawie punktu (a) widzimy, ze odwzo-rowanie liniowe DF(0) tez jest zwarte.


Naszym celem b edzie wykorzystanie Twierdzenia 4.2.2 do dowodu nast epuj acego kryte-rium rozstrzygaj acego istnienie orbit l acz acych punkty stacjonarne dla rownania (2.11).

Twierdzenie 4.3.2. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje pe lne zwarte niezerowerozwi azanie w : R→ E dla po lpotoku Φ takie, ze

limt→−∞

w(t) = 0 lub limt→+∞

w(t) = 0,

jesli spe lniony jest jeden z ponizszych warunkow:

(i) spe lniony jest warunek (G5) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (G5) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (G6), λl−1 < λ+ ν < λl oraz λ 6= λl, gdzie l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (G6), λ+ ν < λ1 oraz λ 6= λ1.

Zanim przejdziemy do dowodu odnotujmy nast epuj acy lemat.

Stwierdzenie 4.3.3. Jesli λ + µ /∈ σ(A), to 0 ∈ S(Φ,E) oraz h(Φ, 0) = Σbl, gdzieprzyjmujemy bl := 0 jesli λ+ µ < λ1 oraz

bl :=l∑

i=1

dim Ker (λiI −A) jesli λl < λ+ µ < λl+1.

Dowod. Na podstawie punktu (b) Uwagi 4.3.1 mamy, ze odwzorowanie F jest rozniczkowalnew zerze oraz pochodna DF ∈ L(E) dana jest jako

DF(0)[x, y] = (0, µu) dla (x, y) ∈ E.

Niech operator linowy L : D(L)→ E b edzie dany wzorem

D(L) := (x, y) ∈ Xα ×X | x+ cy ∈ D(A)L(x, y) := (−y,A(x+ cy)− (λ+ µ)x).

(3.54)

Dla dowolnego s ∈ [0, 1] rozwazmy nast epuj ace rownanie rozniczkowe

w(t) = −Lw(t) + (1− s)(F(w(t))−DF(0)w(t)), t > 0 (3.55)

oraz niech Ψs : [0,+∞) × X → X, s ∈ [0, 1], b edzie po lpotokiem stowarzyszonym z tymzagadnieniem. Skoro F jest odwzorowaniem pe lnoci ag lym na podstawie punktu (b) Uwagi4.3.1 mamy rowniez, ze DF(0) jest operatorem zwartym. Zatem na mocy Twierdzenia 2.4.8rodzina po lpotokow Ψss∈[0,1] jest ci ag la oraz dowolny zbior ograniczony w E jest dopusz-czalny wzgl edem rodziny po lpotokow Φsnn≥1, gdzie (sn) jest ci agiem w [0, 1]. Zauwazmyponadto, ze jesli w : [0,+∞)→ E jest s labym rozwi azaniem zagadnienia (3.55) dla s = 0, tokorzystaj ac z punktu (i) Twierdzenia 2.1.7 otrzymujemy, ze w spe lnia na przedziale (0,+∞)lokalny warunek Holdera i ponadto dla dowolnego t ∈ (0,+∞) istnieje pochodna w(t),w(t) ∈ D(L) = D(A) oraz

w(t) = −Lw(t) + (F(w(t))−DF(0)w(t)) = −Aw(t) + F(w(t)) dla t > 0.

Zatem, korzystaj ac tym razem z punktu (ii) Twierdzenia 2.1.7 otrzymujemy, ze w jest s labymrozwi azaniem zagadnienia (2.11) (patrz strona 89). Pokazuje to, ze

Φ(t, (x, y)) = Ψ1(t, (x, y)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E. (3.56)


Jesli λ 6∈ σ(A) to na mocy Wniosku 1.5.16 istnieje rozk lad przestrzeni E na sum e prost aE = E1 ⊕E2, dla ktorego istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖SL(t)z‖E ≤Me−ct‖z‖E dla z ∈ E2, t ≥ 0,

‖SL(t)z‖E ≤Mect‖z‖E dla z ∈ E1, t ≤ 0.(3.57)

Ponadto przestrzen E1 jest skonczenie wymiarowa oraz

dim E1 =

0 jesli λ+ µ < λ1∑k

i=1 dim Ker (λiI −A) jesli λk < λ+ µ < λk+1 dla k ≥ 1.

Pokazemy teraz, ze istnieje r > 0 takie, ze kula domkni eta D(0, r) w przestrzeni E jestotoczeniem izoluj acym dla rodziny Ψss∈[0,1]. Gdyby to nie by la prawda wowczas istnia lbyci agi (sn) w [0, 1], (cn) w (0, 1] oraz ci ag odwzorowan wn : R→ E takich, ze wn jest pe lnymrozwi azaniem dla Ψsn , ‖wn(t)‖E ≤ cn, ‖wn(0)‖E > cn(1− 1/n) dla t ∈ R, n ≥ 1 oraz cn → 0gdy n→ +∞. Definiuj ac dla dowolnego n ≥ 1 odwzorowanie Gn : E→ E jako

Gn(x, y) := (1− sn)(F(cn(x, y))/cn −DF(0)(x, y)) dla (x, y) ∈ E

i oznaczaj ac vn(t) = wn(t)/cn dla n ≥ 1, t ∈ R otrzymujemy, ze

vn(t) = SL(t− t′)vn(t′) +

∫ t

t′SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ dla t, t′ ∈ R, t > t′. (3.58)

Przyjmijmy β, ze oznacza miar e niezwartosci na przestrzeni E wyznaczon a przez norm e ‖ ·‖Eoraz niech Q1,Q2 : E→ E b ed a rzutami odpowiednio na przestrzenie E1 oraz E2 wyznaczo-nymi przez rozk lad E := E1 ⊕ E2. Niech t ∈ R oraz ε > 0 b ed a ustalone. Skoro przestrzenE1 jest skonczenie wymiarowa, na podstawie (3.57) otrzymujemy

β(SL(t− t′)vn(t′) | n ≥ 1) ≤ β(SL(t− t′)Q1 vn(t′)n≥1) + β(SL(t− t′)Q2 vn(t′)n≥1)

≤ βE2(SL(t− t′)Q2 vn(t′) | n ≥ 1)≤Me−c(t−t

′)βE2(Q2 vn(t′) | n ≥ 1)≤Me−c(t−t

′)‖Q2‖L(E),

przy czym ostatnia nierownosc wynika z faktu, ze

‖vn(τ)‖E ≤ 1 dla n ≥ 1, τ ∈ R. (3.59)

Jesli teraz t′ < t jest takie, ze Me−c(t−t′)‖Q2‖L(E) ≤ ε/2, to

β(SL(t− t′)vn(t′) | n ≥ 1) ≤ ε/2. (3.60)

Niech teraz M0 ≥ 1 oraz ω ∈ R b ed a takie, ze

‖SL(τ)(x, y)‖E ≤M0eωτ‖(x, y)‖E dla τ ≥ 0, (x, y) ∈ E.

Zauwazmy, ze Gn(x, y) → 0 jednostajnie dla (x, y) z ograniczonych podzbiorow przestrzeniE, a poniewaz ma miejsce nierownosc (3.59) mamy rowniez, ze

‖Gn(vn(τ))‖E → 0 jednostajnie dla τ ∈ R. (3.61)

Zatem istnieje n0 ≥ 1 takie, ze

‖Gn(vn(τ))‖E ≤ ω/M0

(eω(t−t′) − 1

)−1ε/2 dla n ≥ n0.


Wtedy dla dowolnego n ≥ n0 mamy∥∥∥∥∫ t

t′SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ

∥∥∥∥E

≤∫ t

t′M0e

ω(t−τ)‖Gn(vn(τ))‖E dτ

≤M0/ω(eω(t−t′) − 1

)sup‖Gn(vn(τ))‖E | n ≥ n0, τ ∈ R ≤ ε/2.

(3.62)

Dlatego, na podstawie (3.60) oraz (3.62) otrzymujemy

β(vn(t)n≥1) = β(vn(t)n≥n0) ≤ β(SL(t− t′)vn(t′)n≥n0)

+ β

(∫ t

t′SL(t− τ)Gn(vn(τ)) dτ | n ≥ n0

)≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Wobec dowolnosci wyboru ε > 0 otrzymujemy, ze dla dowolnego t ∈ R orbita vn(t)n≥1 jestzbiorem relatywnie zwartym w przestrzeni E. Zauwazmy, ze dla dowolnej liczby ca lkowitej kmamy

vn(k) = SL(1)vn(k − 1) +

∫ k

k−1SL(k − τ)Gn(vn(τ)) dτ dla n ≥ 1. (3.63)

Korzystaj ac z relatywnej zwartosci ci agu (vn(0))n≥1 mozemy wybrac z niego podci ag zbiezny(vnl(0))l≥1. Oznaczmy x0

l := vnl(0) dla l ≥ 1. B edziemy teraz post epowac indukcyjnie. Mia-nowicie maj ac wybrany podci ag (x−kl )l≥1 dla pewnego k ≥ 0, korzystamy z (3.63) oraz rela-tywnej zwartosci ci agu (vn(−(k+ 1)))n≥1 i wybieramy z niego podci ag (vnm(−(k+ 1)))m≥1 otej w lasnosci, ze (vnm(−k))m≥1 jest podci agiem (x−kl )l≥1 oraz vnm(−(k + 1))→ x−(k+1) gdy

m→ +∞. Wtedy oznaczamy x−(k+1)m := vnm(−(k + 1)) dla m ≥ 1. Niech v0 : R→ E b edzie

odwzorowaniem danym wzorem

v0(t) :=

SL(t)x0 dla t ≥ 0

SL(t+ k)x−k dla t ∈ [−k,−(k − 1)).

Zauwazmy, ze nierownosc ‖vn(0)‖E > 1− 1/n dla n ≥ 1 implikuje, ze ‖v0(0)‖E ≥ 1. Wezmyteraz t ∈ R oraz niech k ≥ 0 b edzie tak a liczb a ca lkowit a, ze

k :=

0 jesli t ≥ 0

−k ≤ t < −(k − 1) jesli t < 0.

Ponadto niech (nl)l≥1 b edzie takim ci agiem, ze vnl(−k) = x−kl dla l ≥ 1. Przechodz ac dogranicy przy l→ +∞, w rownaniu

vnl(t) = SL(t+ k)vnl(−k) +

∫ t

−kSL(t− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ

= SL(t+ k)x−kl +

∫ t

−kSL(t− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ,

wobec (3.61) mamy, ze vnl(t) → SL(t + k)x−k = v0(t). Korzystaj ac z (3.59) otrzymujemyst ad, ze rowniez ‖v0(t)‖E ≤ 1 dla n ≥ 1 oraz t ∈ R. Pokazemy teraz, ze v0 jest pe lnymrozwi azaniem po lgrupy SL(t)t≥0. W tym celu wezmy t ∈ R, s ≥ 0 oraz niech k1, k2 ≥ 0b ed a takimi liczbami ca lkowitymi, ze

k1 :=

0 jesli t+ s ≥ 0

−k1 ≤ t+ s < −(k1 − 1) jesli t+ s < 0,


k2 :=

0 jesli t ≥ 0

−k2 ≤ t < −(k2 − 1) jesli t < 0.

Za lozmy, ze (nl)l≥1 oraz (nm)m≥1 s a takimi ci agami, ze vnl(−k2) = x−k2l dla l ≥ 1 orazvnm(−k1) = x−k1m dla m ≥ 1. Poniewaz k2 ≥ k1 mamy, ze (vnl(−k2))l≥1 jest podci agiem ci agu(vnm(−k1))m≥1 i dlatego

vnl(−k1)→ x−k1 gdy l→ +∞. (3.64)

Wtedy dla dowolnego n ≥ 1 mamy

vnl(t+ s) = SL(t+ s+ k1)vnl(−k1) +

∫ t+s

−k1SL(t+ s− τ)Gnl(vnl(τ)) dτ. (3.65)

Z drugiej strony, z rownania (3.58) mamy

vnl(t+ s) = SL(s)vnl(t) +

∫ t+s


= SL(s)SL(t+ k2)vnl(−k2) + SL(s)

∫ t


+

∫ t+s


= SL(s)SL(t+ k2)x−k2l + SL(s)

∫ t


+

∫ t+s


(3.66)

dla dowolnego n ≥ 1. Korzystaj ac z (3.64) i przechodz ac w (3.65) oraz (3.66) do granicy zl→ +∞ mamy v0(t+ s) = SL(s)v0(t) co pokazuje, ze v0 jest pe lnym rozwi azaniem po lgrupySL(t)t≥0.

Skoro ‖v0(0)‖E ≥ 1, korzystaj ac z nierownosci (3.57) oraz Twierdzenia 6.2.7 otrzymu-jemy sprzecznosc, gdyz jedynym ograniczonym rozwi azaniem tej po lgrupy jest odwzorowaniezerowe. Zatem pokazalismy, ze istnieje otoczenie r > 0 takie, ze kula domkni eta N := D(0, r)jest otoczeniem izoluj acym dla rodziny po lpotokow Ψss∈[0,1]. W konsekwencji na mocyhomotopijnej niezmienniczosci indeksu Conley’a otrzymujemy, ze

h(Φ,K) = h(Ψ0,K0) = h(Ψ1,K1). (3.67)

gdzie Ks := Inv (Ψs, N), Korzystaj ac ponownie z nierownosci (3.57) oraz Twierdzenia 6.2.7otrzymujemy, ze

h(Ψ1,K1) = h(SL, 0) = ΣdimE1 = Σbl . (3.68)

L acz ac ze sob a (3.67) oraz (3.68) otrzymujemy

h(Φ, 0) = Σbl ,


Dowod Twierdzenia 4.3.2. Z Lematu 4.3.3 wynika, ze 0 ∈ S(Φ,E) oraz h(Φ,K0) =Σbl . Z drugiej strony Twierdzenie 4.2.2 zapewnia, ze istnieje izolowany zbior niezmienniczyK ∈ S(Φ,E) taki, ze K0 ⊂ K oraz

h(Φ,K) =

Σdk jesli spe lniony jest warunek (G5);

Σdk−1 jesli spe lniony jest warunek (G6).(3.69)


Na mocy punktow (b) i (c) Lematu 6.2.10 zbior K jest w kazdym z tych przypadkow nie-redukowalny oraz kazdy z warunkow (i)–(v) implikuje, ze h(Φ,K) 6= h(Φ,K0). Poniewazh(Φ,K0) 6= 0, zastosowanie Twierdzenia 6.2.11 daje oczekiwana konkluzje.

4.4 Wzor indeksowy dla rozwiazan okresowych

B edziemy zajmowac si e rozwi azaniami T -okresowymi (T > 0) rownan drugiego rz edub ed acych w rezonansie w nieskonczonosci postaci

u(t) = −Au(t)− cAu(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t ≥ 0, (4.70)

gdzie λ jest wartosci a w lasn a operatora A, zas F : [0,+∞) ×Xα → X jest odwzorowaniemci ag lym spe lniaj acym za lozenie (F1) (patrz strona 45), (F5) (patrz strona 55), (F8) oraz(F9) (patrz strona 73). Niech F : [0,+∞)×E→ E b edzie odwzorowaniem danym jako

F(t, (x, y)) := (0, F (t, x)) dla t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E = Xα ×X.

Rownanie (4.70) mozemy teraz zapisac w formie rownania pierwszego rz edu jako

w(t) = −Aw(t) + F(t, w(t)), t > 0 (4.71)

Na podstawie punktu (b) Uwagi 2.4.1 odwzorowanie F spe lnia za lozenia (F1) oraz (F2).Zatem korzystaj ac z Twierdzenia 2.1.5 otrzymujemy, ze dla dowolnego (x, y) ∈ E istnieje od-wzorowanie w(·; (x, y)) : [0,+∞)→ E b ed ace s labym rozwi azaniem rownania (4.71) zaczyna-j acym sie w (x, y). Dlatego tez, z rownaniem tym mozemy stowarzyszyc operator przesuni eciawzd luz trajektorii ΦT : E→ E, dany wzorem

ΦT (x, y) := w(T ; (x, y)) dla (x, y) ∈ E.

Z Twierdzenia 2.4.3 otrzymujemy, ze odwzorowanie ΦT jest ci ag le, zas na podstawie Twier-dzenia 2.4.4 oraz Lematu 2.4.5 wnosimy, ze na przestrzeni E istnieje norma | · |E, rownowaznaz norm a wyjsciow a ‖ · ‖E taka, ze

|Q+z|E ≤ |z|E dla z ∈ E (4.72)

oraz dla dowolnego zbioru ograniczonego Ω ⊂ E

β(Φt([0, 1]× Ω)) ≤ e−ctβ(Ω) oraz β(SA(t)Ω) ≤ e−ctβ(Ω) dla t ≥ 0, (4.73)

gdzie c > 0, zas β jest miar a Hausdorffa wyznaczona przez norm e | · |E (patrz wzor (1.1) nastronie 137). B edziemy przyjmowac, ze na przestrzeni E mamy zadan a norm e | · |E, zas naprzestrzeni E0 mamy dan a norm e ‖ · ‖E0 dan a jako

‖(x, y)‖E0 := ‖u‖H + ‖v‖H dla (x, y) ∈ E0, (4.74)

gdzie ‖ · ‖H jest norm a z warunku (A2).

Uwaga 4.4.1. W przypadku gdy rownanie (4.70) jest w rezonansie w nieskonczonosci za-gadnienie istnienia rozwi azan T -okresowych moze nie posiadac rozwi azan przy dowolnej nie-liniowosci F .

Wystarczy przyj ac F (t, x) = y0 dla t ∈ [0,+∞) oraz x ∈ E, gdzie y0 ∈ Ker (λI − A) \ 0.


Jesli teraz w : [0,+∞)→ E jest rozwi azaniem T -okresowym dla rownania (4.70), to ze wzoruca lkowego mamy

w(t) = SA(t)w(0) +

∫ t

0SA(t− τ)(0, y0) dτ dla t ≥ 0.

Dzia laj ac na to rownanie operatorem P i korzystaj ac z (1.8) otrzymujemy, ze

Pw(t) = SA(t)Pw(0) +

∫ t

0SA(t− τ)P(0, y0) dτ dla t ≥ 0,

a to, na podstawie (1.9) oraz (1.7) oznacza, ze

Pw(t) = SA0(t)Pw(0) +

∫ t

0SA0(t− τ)(0, y0) dτ dla t ≥ 0.

Korzystaj ac z punktu (a) Uwagi 2.1.2 mamy, ze odwzorowanie (u0, v0) : R → E0 dane jako(u0(t), v0(t)) := Pw(t) dla t ≥ 0, jest klasy C1 oraz

u0(t) = v0(t), t ≥ 0,

v0(t) = −cλv0(t) + y0, t ≥ 0.

Wowczas dla dowolnego t ≥ 0 mamy

d

dt(〈u0(t), cλy0〉H + 〈v0(t), y0〉H) = 〈v0(t), cλy0〉H + 〈−cλv0(t) + y0, y0〉H = ‖y0‖2H

a st ad wynika, ze

〈u0(t), cλy0〉H + 〈v0(t), y0〉H = t‖y0‖2H dla t ≥ 0. (4.75)

Zatem jesli w : [0,+∞)→ E jest rozwi azaniem T -okresowym, to z (4.75) mamy

0 = 〈u0(0), cλy0〉H + 〈v0(0), y0〉H = 〈u0(T ), cλy0〉H + 〈v0(T ), y0〉H = T‖y0‖2H ,

co jest sprzecznosci a, gdyz y0 6= 0.

Zgodnie z powyzsz a uwag a wprowadzam nast epuj ace dwa warunki geometryczne dla row-nan pierwszego rz edu, ktore pos luz a nam do charakteryzacji nieliniowosci F tak aby rownanie(4.70) mog lo miec rozwi azania T -okresowe:

(G7)



〈F (t, x+ y), x〉H > −〈F (t, x+ y), z〉Hdla (t, y, z) ∈ [0, T ]×B1 ×B2, x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R.

(G8)



〈F (t, x+ y), x〉H < −〈F (t, x+ y), z〉Hdla (t, y, z) ∈ [0, T ]×B1 ×B2, x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R.

Nast epnym krokiem jest sformu lowanie i udowodnienie nast epuj acego wzoru indeksowegodla rozwi azan okresowych, b ed acego g lownym rezultatem tej sekcji. S luzy do wyznaczaniastopnia dla pol kondensuj acych odwzorowania I −ΦT wzgl edem kuli o dostatecznie duzympromieniu. Twierdzenie to pos luzy do szukania punktow sta lych odwzorowania ΦT i tymsamym do szukania rozwi azan T -okresowych rownania (4.70).


Twierdzenie 4.4.2. Za lozmy, ze λ = λk jest wartosci a w lasn a operatora A oraz niech dlb edzie tak a liczb a ca lkowit a, ze d0 := 0 oraz dl :=

∑li=1 dim Ker (λiI −A) gdy l ≥ 1.

(i) Jesli spe lniony jest warunek (G7), to istnieje zbior otwarty W ⊂ E taki, ze ΦT (x, y) 6=(x, y) dla (x, y) ∈ ∂W oraz

degC(I −ΦT ,W ) = (−1)dk .

(ii) Jesli spe lniony jest warunek (G8), to istnieje zbior otwarty W ⊂ E taki, ze ΦT (x, y) 6=(x, y) dla (x, y) ∈ ∂W oraz

degC(I −ΦT ,W ) = (−1)dk−1 .

Niech G : [0, 1]× [0,+∞)×Xα → X b edzie odwzorowaniem danym wzorem

G(s, t, x) := PF (t, sQx+ Px) + sQF (t, sQx+ Px) dla s ∈ [0, 1], t ∈ [0,+∞), x ∈ Xα.

Rozwazmy nast epuj ace rownanie rozniczkowe

w(t) = −Aw(t) + G(s, t, w(t)), t > 0 (4.76)

gdzie odwzorowanie G : [0, 1]× [0,+∞)×E→ E dane jest jako

G(s, t, (x, y)) := (0, G(s, t, x)) dla s ∈ [0, 1], t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E.

Uwaga 4.4.3. (a) Zauwazmy, ze dla dowolnego s ∈ [0, 1], odwzorowanie G(s, ·) spe lniaza lozenie (F1). Zatem jesli (x, y) ∈ E, to istnieje otoczenie U punktu x w przestrzeni Xα

oraz sta la L > 0 takie, ze

‖G(s, t, x1)−G(s, t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α dla t ∈ [0,+∞), x1, x2 ∈ U.

Wtedy W := U × X jest otoczeniem punktu (x, y) w przestrzeni E oraz dla dowolnych(x1, y2), (x1, y2) ∈W mamy

‖G(s, t, (x1, y1))−G(s, t, (x2, y2))‖E = ‖G(s, t, x1)−G(s, t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖α≤ L‖(x1, y1)− (x2, y2)‖E.

St ad otrzymujemy, ze G spe lnia warunek (F3). Ponadto z warunku (F6) wynika, ze

‖G(s, t, (x, y))‖E = ‖PF (t, sQx+ Px) + sQF (t, sQx+ Px)‖≤ ‖P‖‖F (t, sQx+ Px)‖+ ‖Q‖‖F (t, sQx+ Px)‖≤ m(‖P‖+ ‖Q‖) dla s ∈ [0, 1], t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E,

co pokazuje, ze

‖G(s, t, (x, y))‖E ≤ m0 dla s ∈ [0, 1], t ∈ [0,+∞), (x, y) ∈ E, (4.77)

gdzie m0 := m(‖P‖+ ‖Q‖) i tym samym spe lniony jest rowniez warunek (F4).

(b) Poniewaz odwzorowanie F jest pe lnoci ag le (spe lnia za lozenie (F5)) nie trudno sprawdzic,ze odwzorowanie G jest rowniez pe lnoci ag le, czyli, dla dowolnego zbioru ograniczonego V ⊂Xα zbior G([0, 1] × [0,+∞) × V ) jest relatywnie zwarty w X. Zatem korzystaj ac z punktu(d) Uwagi 2.4.1 wnioskujemy, ze G([0, 1]× [0,+∞)×Ω) jest zbiorem relatywnie zwartym dladowolnego ograniczonego Ω ⊂ E.


Na podstawie punktu (a) powyzszej uwagi oraz Twierdzenia 2.1.5, dla dowolnego s ∈[0, 1] oraz (x, y) ∈ E istnieje odwzorowanie w(·; s, (x, y)) : [0,+∞) → E b ed ace s labymrozwi azaniem rownania (4.76) zaczynaj acym sie w (x, y). Niech ΨT : [0, 1] × E → E b edziestowarzyszonym operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii danym wzorem

ΦT (s, (x, y)) := w(T ; s, (x, y)) dla s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ E.

Ponadto, punkt (b) Uwagi 4.4.3 implikuje, ze odwzorowanie G jest pe lnoci ag le, a zatem namocy Twierdzenia 2.4.3 odwzorowanie ΦT jest ci ag le, zas z Twierdzenia 2.4.4 otrzymujemy,ze

β(Ψt([0, 1]× Ω)) ≤ e−ctβ(Ω)

dla dowolnego t > 0 oraz zbioru ograniczonego Ω ⊂ E. W nierownosci tej sta la c jest takasama jak w (4.73).

Lemat 4.4.4. Istnieje sta la R > 0 taka, ze jesli w = ws : [0,+∞)→ E, gdzie s ∈ [0, 1], jestT -okresowym s labym rozwi azaniem rownania (4.76), to

‖Qw(t)‖E ≤ R dla t ∈ [0, T ]. (4.78)

Dowod. Zauwazmy, ze dla dowolnego ca lkowitego k > 0

w(t) = w(t+ kT ) dla t ∈ [0, T ],

co implikuje, ze

w(t) = SA(kT )w(t) +

∫ t+kT

tSA(t+ kT − τ)G(s, τ, w(τ)) dτ (4.79)

dla t ≥ 0 oraz n ≥ 1. Dzia laj ac na to rownanie operatorem Q+ i stosuj ac (1.8), otrzymujemy

Q+w(t) = SA(kT )Q+w(t) +

∫ t+kT

tSA(t+ kT − τ)Q+G(s, τ, w(τ)) dτ

dla t ≥ 0 oraz n ≥ 1. Dlatego na podstawie (1.5) istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖Q+w(t)‖E ≤ ‖SA(kT )Q+w(t)‖E

+

∫ t+kT

t‖SA(t+ kT − τ)Q+G(s, τ, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(kT )Q+w(t)‖E +

∫ t+kT

tMe−c(t+kT−τ)‖Q+G(s, τ, w(τ))‖E dτ

≤ ‖SA(kT )Q+w(t)‖E +

∫ t+kT

tm0M‖Q+‖L(E)e

−c(t+kT−τ) dτ

≤Me−ckT ‖Q+w(t)‖E +

∫ t+kT

tm0M‖Q+‖L(E)e

−cα(t+kT−τ) dτ

≤Me−ckT ‖Q+w(t)‖E +m0M‖Q+‖L(E)

(1− e−ckT

)/c.

W konsekwencji, dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz ca lkowitego k > 0 otrzymujemy

‖Q+w(t)‖E ≤Me−ckT ‖Q+w(t)‖E +m0M‖Q+‖L(E)

(1− e−ckT

)/c.


St ad przechodz ac do granicy z k → +∞, stwierdzamy, ze

‖Q+w(t)‖E ≤ m0M‖Q+‖L(E)/c := R1 dla t ∈ [0, T ]. (4.80)

Dzia laj ac teraz na rownanie (4.79) operatorem Q− i stosuj ac (1.8) mamy

Q−w(t) = SA(kT )Q−w(t) +

∫ t+kT

tSA(t+ kT − τ)Q−G(s, τ, w(τ)) dτ.

Poniewaz po lgrupa SA(t)t≥0 po obci eciu do przestrzeni E− przed luza sie do C0 grupyoperatorow, dla dowolnego t ∈ [0, T ] oraz ca lkowitego k ≥ 1 mamy

SA(−kT )Q−w(t) = Q−w(t) +

∫ t+kT

tSA(t− τ)Q−G(s, τ, w(τ)) dτ. (4.81)

Dlatego na podstawie nierownosci (1.6) istniej a sta le c,M > 0 takie, ze

‖Q−w(t)‖E ≤ ‖SA(−kT )Q−w(t)‖E

+

∫ t+kT

t‖SA(t− τ)Q−G(s, τ, w(τ))‖ dτ

≤M e−ckT ‖Q−w(t)‖E +M

∫ t+kT

tec(t−τ)‖Q−G(s, τ, w(τ))‖ dτ

≤M e−ckT ‖Q−w(t)‖E +m0M

∫ t+kT

t‖Q−‖L(E)e

c(t−τ) dτ

= M e−ckT ‖Q−w(t)‖E +Mm0‖Q−‖L(E)

(1− e−ckT

)/c.

Dlatego, przechodz ac do granicy z k → +∞ mamy

‖Q−w(t)‖E ≤ m0M‖Q−‖L(E)/c := R2 dla t ∈ [0, T ]. (4.82)

Wowczas, jesli w : [0,+∞) → Xα jest T -okresowego s labym rozwi azaniem rownania (4.76),to na podstawie (4.80) oraz (4.82), mamy

‖Qw(t)‖E ≤ ‖Q+w(t)‖E + ‖Q−w(t)‖E ≤ R1 +R2 := R,

dla t ∈ [0, T ], co konczy dowod lematu.

Lemat 4.4.5. Niech Nλ := Ker (A − λI) oraz niech F : Nλ → Nλ b edzie odwzorowaniemdanym wzorem

F (x) :=

∫ T

0PF (s, x) ds dla u ∈ Nλ.

(i) Jesli spe lniony jest warunek (G7), to istnieje R0 > 0 takie, ze F (x) 6= 0 dla x ∈ Nλ


degB(F , B(0, R)) = 1 dla R ≥ R0.

(ii) Jesli spe lniony jest warunek (G8), to istnieje R0 > 0 takie, ze F (x) 6= 0 dla x ∈ Nλ


degB(F , B(0, R)) = (−1)dimNλ dla R ≥ R0.


Dowod. Zauwazmy, ze warunek (G7) implikuje warunek (G3) oraz warunek (G8) implikujewarunek (G4). Dlatego dowod konczy zastosowanie Lematu 3.5.4.

Twierdzenie 4.4.6. (patrz [24]) Rozwazmy nast epuj ace rownanie rozniczkowe

u(t) = µf(t, u(t)), t > 0

gdzie µ ∈ [0, 1] jest parametrem, zas f : Rn → Rn b edzie odwzorowaniem ci ag lym i ograniczo-nym. Dla ustalonego µ ∈ [0, 1], niech Θµ

T : [0, 1] × Rn → Rn b edzie operatorem przesuni eciadla tego rownania. Jesli U ⊂ Rn jest otwartym podzbiorem takim, ze f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ,to istnieje µ0 > 0 takie, ze jesli µ ∈ (0, µ0] to Θµ

T (x) 6= x dla x ∈ ∂U oraz

degB(I −ΘµT , U) = degB(−f , U),

gdzie f(x) = 1T

∫ T0 f(τ, x) dτ dla x ∈ Rn.

Lemat 4.4.7. Niech A0 : E0 → E0 jest operatorem liniowym danym wzorem

A0(x, y) := (−y, cλy) dla (x, y) ∈ E0,

gdzie c > 0, zas λ = λk dla pewnego k ≥ 1.

(i) Dla dowolnej sta lej M > 0, istnieje sta la R1 > 0 taka, ze jesli h : [0,+∞)→ Ker (λI−A) jest T -okresowym odwzorowaniem ci ag lym takim, ze ‖h(t)‖H ≤M dla t ∈ [0,+∞)oraz w = (u, v) : [0,+∞)→ E0 jest T -okresowym s labym rozwi azaniem zagadnienia

w(t) = −µA0w(t) + µ(0, h(t)) t > 0 (4.83)

gdzie µ ∈ (0, 1] jest parametrem, to

‖v(t)‖H ≤ R1 dla t ∈ [0, T ].

(ii) Jesli spe lniony jest jeden z warunkow (G7) lub (G8), to dla dowolnego R0 > 0,istnieje sta la R1 > 0 taka, ze dla dowolnego T -okresowego ci ag lego odwzorowaniah : [0,+∞) → E− ⊕ E+ takiego, ze ‖h(t)‖E ≤ R0 dla t ∈ [0,+∞) oraz dla dowolnejliczby µ ∈ (0, 1], rownanie

w(t) = −µA0w(t) + µPF(t, h(t) + w(t)) t > 0

nie posiada T -okresowego rozwi azania w : [0,+∞)→ E0 takiego, ze ‖w(0)‖E0 ≥ R1.

Dowod. Operator A0 jest ograniczony, a zatem jesli odwzorowanie w = (u, v) : [0,+∞)→E0 jest s labym rozwi azaniem (4.83), to na podstawie punktu (a) Uwagi 2.1.2 mamy, ze w jestrozniczkowalne w sposob ci ag ly oraz

u(t) = µv(t) t ≥ 0,

v(t) = −cµλv(t) + µh(t) t ≥ 0.(4.84)

Niech M > 0 oraz niech h : [0,+∞) → E0 b edzie funkcj a ci ag l a tak a, ze ‖h(t)‖H ≤ M dlat ∈ [0,+∞). Dobierzmy teraz R0 > 0 tak aby −cλR2 + MR < 0 dla R ≥ R0. Na podstawierownania (4.84), dla dowolnego t ≥ 0 mamy

d

dt

1

2‖v(t)‖2H = 〈v(t), v(t)〉H = 〈−cµλv(t) + µh(t), v(t)〉H

= −cµλ‖v(t)‖2H + µ〈h(t), v(t)〉H .(4.85)


Pokazemy, ze ‖v(t)‖H ≤ R0 + 1 dla t ∈ [0, T ]. Przypuscmy, ze to nie jest prawda. Wtedyistnieje t0 ∈ [0, T ] takie, ze ‖v(t0)‖H > R0 + 1. Jesli ‖v(t)‖H > R0 + 1 dla t ≥ t0 to napodstawie rownania (4.85) otrzymujemy, ze

d

dt

1

2‖v(t)‖2H = −cµλ‖v(t)‖2H + µ〈h(t), v(t)〉H

≤ −cµλ‖v(t)‖2H + µM‖v(t)‖H < 0 dla t ≥ t0,

co z kolei implikuje nierownosc ‖v(t0)‖H > ‖v(t0 + T )‖H . Jest to sprzecznosc gdyz z faktu,ze rozwi azanie (u, v) jest T -okresowe wynika w szczegolnosci, ze v(t0) = v(t0 + T ). Jesli‖v(t1)‖H = R0 + 1 dla pewnego t1 > t0, to przyjmujemy

D(0, R0 + 1) := x ∈ Ker (λI −A) | ‖x‖H ≤ R0 + 1

i okreslamyA := δ ≥ 0 | v([t1, t1 + δ]) ⊂ D(0, R0 + 1).

Wtedy A jest niepusty, gdyz 0 ∈ A i mozemy zdefiniowac s := supA. Jesli s < +∞ to zdomkni etosci zbioru D(0, R0 +1) otrzymujemy, ze s ∈ A i dlatego mozliwe s a dwa przypadki:‖v(t1 + s)‖H < R0 + 1 lub ‖v(t1 + s)‖H = R0 + 1. W pierwszym z nich ci ag losc odwzorowaniav implikuje, ze istnieje δ0 > 0 takie, ze v([t1, t1 + s+ δ0]) ⊂ D(0, R0 + 1), co przeczy definicjiliczby s. W drugim przypadku rownanie (4.85) implikuje, ze

d

dt

1

2‖v(t)‖2H |t=t1+s = −cµλ‖v(t1 + s)‖2H + µ〈h(t1 + s), v(t1 + s)〉H

≤ −cµλ‖v(t1 + s)‖2H + µM‖v(t1 + s)‖H < 0

i w konsekwencji istnieje δ0 > 0 takie, ze v([t1, t1 + s + δ0]) ⊂ D(0, R0 + 1), co ponownieprzeczy definicji liczby s. Zatem mamy, ze s = supA = +∞ i tym samym bior ac k ≥ 0 takie,ze t0 + kT > t1 mamy R0 + 1 < ‖v(t0)‖H = ‖v(t0 + kT )‖H ≤ R0 + 1, co daje sprzecznosc.Zatem ‖v(t)‖H ≤ R1 := R0 + 1 dla t ∈ [0, T ], co konczy dowod punktu (i).

Aby udowodnic punkt (ii) b edziemy rozumowac przez sprzecznosc. Za lozmy, ze istniejeci ag (µn) w (0, 1], ci ag T -okresowych funkcji ci ag lych hn : [0,+∞)→ E− ⊕E+ takich, ze

‖hn(t)‖E ≤ R0 dla n ≥ 1, t ∈ [0,+∞)

oraz ci ag odwzorowan wn : [0,+∞)→ E0 spe lniaj acych rownanie

wn(t) = −µnA0wn(t) + µnPF(t, hn(t) + wn(t)) t > 0

takich, ze ‖wn(0)‖ → +∞ gdy n→ +∞ oraz

wn(0) = wn(T ) dla n ≥ 1. (4.86)

Bez straty ogolnosci mozemy za lozyc, ze rowniez µn → µ0 ∈ [0, 1] gdy n→ +∞. Niech zn =wn(0)/‖wn(0)‖ dla n ≥ 1. Skoro (zn)n≥1 jest ci agiem ograniczonym zawartym w skonczeniewymiarowej przestrzeni E0, mozemy za lozyc rowniez, ze istnieje z0 ∈ E0 takie, ze

zn = wn(0)/‖wn(0)‖E0 → z0 gdy n→ +∞.

Na podstawie za lozenia (F9), T -okresowosci odwzorowania hn oraz rownania (4.86) mamy,ze wn(t) = wn(t + T ) dla t ≥ 0, co w szczegolnosci implikuje, ze wn(0) = wn(kT ) dlaca lkowitych k ≥ 1. Zauwazmy, ze mozemy teraz wybrac ci ag liczb ca lkowitych (kn)n≥1 takich,


ze knµnT → t0 > 0 gdy n → +∞. Jesli µ0 6= 0 to wystarczy przyj ac kn = 1. Z kolei, jesliµ0 = 0 to bierzemy kn := bt/(µnT )c, gdzie przez bxc rozumiemy cz esc ca lkowit a liczbyrzeczywistej x. Zatem dla dowolnego n ≥ 1 mamy

wn(t)

‖wn(0)‖E0

= SA0(µnt)wn(0)

‖wn(0)‖E0

+ µn

∫ t

0SµnA0(t− τ)PF(τ, hn(τ) + wn(τ))/‖wn(0)‖E0 dτ.

(4.87)K lad ac

yn(t) := µn

∫ t

0SµnA0(t− τ)PF(τ, hn(τ) + wn(τ))/‖wn(0)‖E0 dτ dla n ≥ 1

otrzymujemy w szczegolnosci, ze

zn = SA0(µnknT )zn + yn(knT ) dla n ≥ 1. (4.88)

Niech m1 > 0 b edzie sta l a tak a, ze

‖PF(t, (x, y))‖E0 ≤ m1 dla t ≥ 0, (x, y) ∈ E0, (4.89)

ktora istnieje na podstawie za lozenia (F8). Wtedy dla dowolnego n ≥ 1 oraz t ≥ 0 mamy

‖yn(t)‖E0 ≤ µn∫ t

0‖SµnA0(t− τ)PF(τ, hn(τ) + wn(τ))‖E0/‖wn(0)‖E0 dτ

≤ µn∫ t

0Meωµn(t−τ)‖PF(τ, hn(τ) + wn(τ))‖E0/‖wn(0)‖E0 dτ

≤ µn∫ t

0Meωµn(t−τ)m1/‖wn(0)‖E0 dτ ≤

Mm1

ω‖wn(0)‖E0

(eωµnt − 1)

(4.90)

po czym wnosimy, ze yn(knT ) → 0 gdy n → +∞. Zatem przechodz ac w rownaniu (4.88) dogranicy przy n→ +∞ otrzymujemy

z0 = SA0(t0)z0 gdzie t0 > 0,

co na podstawie (1.9) oznacza, ze z0 = SA(t0)z0. Stosuj ac Lemat 1.5.14 mamy, ze z0 ∈Ker A = (w, 0) | w ∈ Ker (λI −A). Wtedy z0 = (z1

0 , 0) gdzie z10 ∈ Ker (λI −A) i ponadto,

na mocy tego samego lematu

z0 = SA(t)z0 = SA0(t)z0 dla t > 0.

St ad, na podstawie (4.87) oraz (4.90) mamy, ze

(un(t), vn(t))/‖wn(0)‖E0 = wn(t)/‖wn(0)‖E0 → (z10 , 0) gdy n→ +∞,

jednostajnie dla t ∈ [0, T ], co w szczegolnosci oznacza, ze

un(t)/‖wn(0)‖E0 → z10 jednostajnie dla t ∈ [0, T ]. (4.91)

Skoro ‖zn‖E0 = 1 dla n ≥ 1 mamy rowniez, ze ‖z10‖H = ‖z0‖E0 = 1. Na podstawie Uwagi

2.1.2 (a) odwzorowania wn = (un, vn) : [0,+∞) → E0 s a rozniczkowalne w sposob ci ag lyoraz, dla dowolnego n ≥ 1, spe lnione jest rownanie

un(t) = µnvn(t) t ≥ 0

vn(t) = −cµnλvn(t) + µnPF (t, h1n(t) + un(t)) t ≥ 0,


gdzie hn(t) = (h1n(t), h2

n(t)) dla t ≥ 0. Zatem dla dowolnego n ≥ 1 oraz t ≥ 0 mamy rowniez

d

dt

1

2‖cλun(t) + vn(t)‖2H = 〈cλun(t) + vn(t), cλun(t) + vn(t)〉H

= µn〈PF (t, h1n(τ) + un(t)), cλun(t) + vn(t)〉H ,

co po sca lkowaniu daje

1

2‖cλun(T ) + vn(T )‖2H − ‖cλun(0) + vn(0)‖2H

= µn

∫ T

0〈PF (τ, h1

n(τ) + un(τ)), cλun(τ) + vn(τ)〉H dτ dla n ≥ 1.

Poniewaz odwzorowania (un, vn) s a T -okresowe otrzymujemy∫ T

0〈PF (τ, h1

n(τ) + un(τ)), cλun(τ) + vn(τ)〉H dτ = 0 dla n ≥ 1. (4.92)

Skoro ‖hn(t)‖E ≤ R0 to rowniez ‖h1n(t)‖α ≤ R0 dla t ∈ [0,+∞) oraz n ≥ 1. Na podstawie

udowodnionego juz punktu (i) mozemy wybrac R1 > 0 takie, ze ‖vn(t)‖H ≤ R1 dla t ∈ [0, T ].Dlatego, jesli spe lniony jest warunek (G7), to korzystaj ac z (1.1) mozemy dobrac sta l a R2 > 0tak a, ze

〈PF (t, x+ y), x〉H > −〈PF (t, x+ y), z〉Hdla (t, y, z) ∈ [0, T ]×B(0, R0)×B(0, R1/(cλ)) oraz x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R2. Natomiastjesli spe lniony jest warunek (G8), to istnieje R2 > 0 jest takie, ze

〈PF (t, x+ y), x〉H < −〈PF (t, x+ y), z〉H

dla (t, y, z) ∈ [0, T ]× B(0, R0)× B(0, R1/(cλ)) oraz x ∈ X0 takich, ze ‖x‖H ≥ R2. Na mocy(4.91) oraz faktu, ze ‖z1

0‖H = 1 mozemy wybrac n0 ≥ 1 takie, ze∥∥∥∥ un(t)

‖wn(0)‖E0

∥∥∥∥H

≥ ‖z10‖H − 1/2 = 1/2 dla n ≥ n0 oraz t ∈ [0, T ],

a zatem, zwi ekszaj ac w razie potrzeby n0 ≥ 1, otrzymujemy, ze

‖un(t)‖H = ‖wn(0)‖E0 ·∥∥∥∥ un(t)

‖wn(0)‖E0

∥∥∥∥H

≥ 1/2‖wn(0)‖E0 ≥ R2 dla n ≥ n0, t ∈ [0, T ],

co na oznacza, ze∫ T

0〈PF (τ, h1

n(τ) + un(τ)), cλun(τ) + vn(τ)〉H dτ > 0 dla n ≥ n0,

jesli spe lniony jest warunek (G7) oraz∫ T

0〈PF (τ, h1

n(τ) + un(τ)), cλun(τ) + vn(τ)〉H dτ < 0 dla n ≥ n0,

jesli spe lniony jest warunek (G8). Obydwie nierownosci prowadz a do sprzecznosci z (4.92) iw ten sposob dowod punktu (ii) jest zakonczony.


Dowod Twierdzenia 4.4.2. Korzystaj ac z nierownosci (4.77) oraz Lematu 4.4.4 otrzymu-jemy, ze istnieje sta la R1 > 0 taka, ze dla dowolnego T -okresowego rozwi azania w = (u, v) :[0,+∞)→ E rownania (4.76) zachodzi nierownosc

‖Qw(t)‖E ≤ R1 dla t ∈ [0, T ], (4.93)

ktora w szczegolnosci implikuje, ze

‖Qu(t)‖α ≤ R1 dla t ∈ [0, T ]. (4.94)

Na podstawie Lematu 4.4.7, dla sta lej R1, mozemy wybrac sta l a R2 > 0 tak a, ze dla dowolnegoci ag lego T -okresowego odwzorowania h : [0,+∞) → E− ⊕ E+ takiego, ze ‖h(t)‖E ≤ R1 dlat ∈ [0,+∞) oraz dla dowolnej liczby µ ∈ (0, 1], rownanie

w(t) = −µA0w(t) + µPF(t, h(t) + w(t)) t > 0

nie posiada T -okresowego rozwi azania w : [0,+∞)→ E0 takiego, ze ‖w(0)‖E0 ≥ R2. Ponadto,na podstawie Lematu 4.4.5 istnieje R3 > R2 takie, ze F (u) 6= 0 dla u ∈ Nλ takich, ze‖u‖H ≥ R3 i ponadto

degB(F , B(0, R)) = 1 dla R ≥ R3, (4.95)


degB(F , B(0, R)) = (−1)dimNλ dla R ≥ R3, (4.96)

jesli spe lniony jest warunek (G8). Zdefiniujmy teraz zbiory

U := (x, y) ∈ E0 | ‖(x, y)‖E0 < R3 + 1, V := (x, y) ∈ E− ⊕E+ | ‖(x, y)‖E < R1 + 1.

Krok 1. Zaczynamy od pokazania, ze

ΨT (s, (x, y)) 6= (x, y) dla s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ ∂(U ⊕ V ).

Za lozmy, ze nie jest to prawda. Wowczas istnieje s ∈ [0, 1] oraz odwzorowanie T -okresowew : [0,+∞)→ E takie, ze w(0) = w(T ) ∈ ∂(U ⊕ V ) oraz

w(t) = SA(t)w(0) +

∫ t

0SA(t− τ)G(s, τ, w(τ)) dτ dla t ≥ 0. (4.97)

Wtedy Pw(0) = Pw(T ) ∈ ∂U lub Qw(0) = Qw(T ) ∈ ∂V , a poniewaz spe lniona jest nierow-nosc (4.93), zgodnie z wyborem otoczenia V wnosimy, ze

‖Pw(0)‖E0 = ‖Pw(T )‖E0 = R3 + 1 (4.98)

Dzia laj ac operatorem P na rownanie (4.97) i korzystaj ac z (1.8) oraz (1.9) otrzymujemy, ze

Pw(t) = SA0(t)Pw(0) +

∫ t

0SA0(t− τ)PF(τ, h(τ) + Pw(τ)) dτ

gdzie h(t) := sQw(t) dla t ≥ 0, co jest sprzecznosci a gdyz R3 + 1 > R2 oraz zgodnie zwyborem liczby R2 rownanie to nie moze miec rozwi azan T -okresowych spe lniaj acych (4.98).

Krok 2. Niech ψT : E0 → E0 b edzie operatorem przesuni ecia wzd luz trajektorii stowarzy-szonym z rownaniem

w(t) = −A0w(t) + PF(t, w(t)), t > 0.


Wowczas

degC(I −ΨT (0, · ), U ⊕ V ) = (−1)dk−1 · degB(I − ψT , U). (4.99)

Operator ΨT (0, · ) : E→ E, ktory jest stowarzyszony z rownaniem

w(t) = −Aw(t) + PF(t,Pw(t)), t > 0

mozemy zapisac w postaci

ΨT (0, z) = SA(T )z− + SA(T )z+ + ψT (z0) dla z ∈ E,

gdzie z± = Q±z, z0 = Pz. Rozwazmy homotopi e H : [0, 1] × E → E dan a nast epuj acymwzorem

H(µ, z) := µSA(T )z+ + SA(T )z− + ψT (z0) dla (µ, z) ∈ [0, 1]×E.

Jesli Ω ⊂ E jest zbiorem ograniczonym, to

β(H([0, 1]× Ω)) ≤ β(µSA(T )Q+z | µ ∈ [0, 1], z ∈ Ω) + β(SA(T )Q−Ω) + β(ψT (PΩ))

= β(µSA(T )Q+z | µ ∈ [0, 1], z ∈ Ω),

gdzie ostatnia rownosc wynika z faktu, ze zbiory SA(T )Q−Ω oraz ψT (PΩ) s a relatywniezwarte, jako ograniczone zawarte w podprzestrzeni skonczenie wymiarowej. Poniewaz

µSA(T )Q+z | µ ∈ [0, 1], z ∈ Ω ⊂ conv((SA(T )Q+Ω) ∪ 0)

na podstawie w lasnosci miar niezwartosci (patrz strona 137) mamy dalej

β(µSA(T )Q+z | µ ∈ [0, 1], z ∈ Ω) ≤ β(conv((SA(T )Q+Ω) ∪ 0))= β((SA(T )Q+Ω) ∪ 0) = β(SA(T )Q+Ω).

Dlatego na podstawie (4.73) oraz (4.72) mamy

β(H([0, 1]× Ω)) ≤ β(SA(T )Q+Ω) ≤ e−cTβ(Q+Ω) ≤ e−cTβ(Ω). (4.100)

Wynika st ad, ze H jest homotopi a kondensuj ac a. Ponadto zauwazmy, ze H(µ, z) 6= z dlaµ ∈ [0, 1] oraz z ∈ ∂(U ⊕ V ). Rzeczywiscie, jesli H(µ, z) = z dla pewnego µ ∈ [0, 1] orazz ∈ ∂(U ⊕ V ), to korzystaj ac z niezmienniczosci (1.3) mamy, ze

µSA(T )z+ + SA(T )z− = z+ + z− oraz ψT (z0) = z0,

gdzie z− ∈ Ei dla i ∈ +,−, 0. Poniewaz, zgodnie z wyborem liczby R2 mamy, ze ψT (z) 6= zdla z ∈ ∂U mamy w szczegolnosci, ze z0 ∈ U oraz z− + z+ ∈ ∂V . Skoro SA(T )z− = z− napodstawie Lematu 1.5.14 mamy, ze z− ∈ Ker A = Ker (λI−A)×0, a to oznacza, ze z− ∈ E0.Z drugiej strony z− ∈ E− co implikuje, ze z− = 0. Zatem z+ = z ∈ ∂V oraz µSA(T )z+ = z+.Poniewaz µkSA(kT )z+ = z+ dla dowolnego ca lkowitego k ≥ 1, na podstawie (1.5) mamy

‖z+‖E = ‖µkSA(kT )z+‖E ≤Mµke−ckT ‖z+‖E dla k ≥ 1,

gdzie c,M > 0. To zas implikuje, ze z+ = 0 i w konsekwencji 0 = z ∈ ∂V . W ten sposobotrzymujemy sprzecznosc, ktora wraz z (4.100) dowodzi, ze H jest dopuszczaln a homotopi a,a wi ec

degC(I −ΨT (0, · ), U ⊕ V ) = degC(I −H(1, · ), U ⊕ V )

= degC(I −H(0, · ), U ⊕ V ).(4.101)


Zauwazmy, ze operator liniowy L : E+ ⊕ E− → E+ ⊕ E− dany jako L(z) = SA(T )z−,jest zwarty i ponadto Ker (I − L) = 0. Zatem na mocy multiplikatywnosci stopnia Leray-Schaudera otrzymujemy, ze

degC(I −H(0, · ), U ⊕ V ) = degLS(I −H(0, · ), U ⊕ V )

= degLS(I − L, V ) · degB(I − ψT , U).(4.102)

Jesli k = 1 to E− = 0 a wtedy, L = I. Dlatego, na podstawie (4.102), spe lniona jest rownosc(4.99). Jesli k ≥ 2, to k lad ac V− := z ∈ E− | |z|E < R1+1, V+ := z ∈ E+ | |z|E < R1+1 ipowo luj ac si e na w lasnosc addytywnosci i multiplikatywnosci stopnia Leray-Schaudera mamy

degLS(I − L, V ) = degLS(I − L, V− ⊕ V+)

= degLS(I, V+) · degB(I − SA(T )|E− , V−)

= degB(I − SA(T )|E− , V−) = (−1)m0 ,

(4.103)

gdziem0 jest sum a krotnosci algebraicznych wartosci w lasnych operatora SA(T )|E− wi ekszychod 1, przy czym ostatnia rownosc jest konsekwencj a z Twierdzenia 6.3.2. Przypomnijmy, zeE− =

⊕k−1i=1 E(λi)

− (patrz strona 38) oraz, na podstawie punktu (iii) Lematu 1.5.11 mamyinkluzje

E(λi)− ⊂ Ker (µ−i I −A) ⊂ Ker (e−µ

−i T I − SA(T )) dla i = 1, 2, . . . , k − 1.

Dlatego korzystaj ac z Lematu 1.5.5 widzimy, ze σ(SA(T )|E−) = e−µ−i T | 1 ≤ i ≤ k − 1oraz krotnosc algebraiczna wartosci w lasnej e−µ

−i T wynosi dim E(λi)

−. Z punktu (i) Lematu1.5.11 mamy, ze µ−i < 0 dla i = 1, . . . , k − 1, a zatem

m0 =k−1∑i=1

dim E(λi)− = dim E−,

co na podstawie (4.103) oraz (1.4) implikuje, ze

degLS(I − L, V ) = (−1)dk−1 . (4.104)

L acz ac ze sob a (4.102), (4.101) oraz (4.104) otrzymujemy rownosc (4.99).

Krok 3. Niech F : E0 → E0 b edzie odwzorowaniem danym wzorem F(x, y) := (0, F (x)) dla(x, y) ∈ E0. Udowodnimy, ze

degB(I − ψT , U) = degB(A0 − F, U). (4.105)

Rozwazmy teraz rownania rozniczkowe postaci

w(t) = −µA0w(t) + µPF(t, w(t)), t > 0.

gdzie µ ∈ (0, 1] jest parametrem oraz niech ΘµT : E0 → E0 b edzie stowarzyszonym operatorem

przesuni ecia wzd luz trajektorii. Zgodnie z wyborem otoczenia U mamy, ze ΘµT (x, y) 6= (x, y)

dla µ ∈ (0, 1] oraz (x, y) ∈ ∂U . Zatem dla dowolnego µ ∈ (0, 1] mamy

degB(I − ψT , U) = degB(I −Θ1T , U) = degB(I −Θµ

T , U). (4.106)

Ponadto otoczenie U by lo tak dobrane aby

−A0(x, y) + F(x, y) 6= 0 dla (x, y) ∈ ∂U. (4.107)


Dlatego na podstawie Twierdzenia 4.4.6 istnieje µ0 ∈ (0, 1) takie, ze dla dowolnego µ ∈ (0, µ0]mamy Θµ

T (w) 6= w dla w ∈ ∂U oraz

degB(I −ΘµT , U) = degB(A0 − F, U). (4.108)

Zatem l acz ac ze sob a rownosc (4.106) oraz (4.108) otrzymujemy (4.105).

Krok 4. Sprawdzimy, ze

degB(A0 − F, U) = 1, (4.109)


degB(A0 − F, U) = (−1)dimNλ , (4.110)

jesli spe lniony jest warunek (G8).

Niech Aε : E0 → E0 b edzie operatorem liniowym danym dla ε > 0 wzorem

Aε(x, y) = A0(x, y) + (0, εx) dla (x, y) ∈ E0.

Mozna sprawdzic, ze (−∞, 0] ⊂ %(Aε). Ponadto niech Fε : E0 → E0 b edzie odwzorowaniemdanym wzorem Fε(x, y) = (0, εx + F (x)) dla (x, y) ∈ E0. Niech H : [0, 1] × U → E0 b edzieodwzorowaniem danym wzorem

H(µ, (x, y)) := µAε(x, y) + (1− µ)(x, y)− (µI + (1− µ)A−1ε )Fε(x, y)

dla µ ∈ [0, 1], (x, y) ∈ E0. Pokazemy, ze H zadaje dopuszczaln a homotopi e na E0. W tymcelu za lozmy, ze H(µ, (x, y)) = (x, y) dla pewnego µ ∈ [0, 1] oraz (x, y) ∈ ∂U . Jesli µ = 0 to(x, y) = A−1

ε Fε(x, y), czyli −Aε(x, y)+Fε(x, y) = 0 i w konsekwencji −A(x, y)+F(x, y) = 0,co przeczy (4.107). Jesli µ ∈ (0, 1] to

µAε(x, y) + (1− µ)(x, y)− (µI + (1− µ)A−1ε )Fε(x, y) = 0

(1/µ− 1)(x, y) + Aε(x, y) = (I + (1/µ− 1)A−1ε )Fε(x, y)

(x, y) = ((1/µ− 1)I + Aε)−1(I + (1/µ− 1)A−1

ε )Fε(x, y),

co na podstawie tozsamosci rezolwenty (2.4) ponownie daje (x, y) = A−1ε Fε(x, y), czyli znow

sprzecznosc ze (4.107). Korzystaj ac z homotopijnej niezmienniczosci stopnia mamy

degB(A0 − F, U) = degB(Aε − Fε, U) = degB(H(1, · ), U)

= degB(H(0, · ), U) = degB(I −A−1ε Fε, U).

Zauwazmy, ze (I − A−1ε Fε)(x, y) = (−1/εF (x), y) dla (x, y) ∈ E0. Oznaczmy U0 := x ∈

Ker (λI − A) | ‖x‖H < R3 + 1. Poniewaz U ⊂ U0 × U0 oraz A−1ε Fε(x, y) 6= (x, y) dla

(x, y) ∈ E0 \ U , z w lasnosci wycinania mamy wtedy

degB(I −A−1ε Fε, U) = degB(I −A−1

ε Fε, U0 × U0)

= degB(−F , U0) · degB(I, U0)

= (−1)dimNλdegB(F , U0).

Na podstawie (4.95) oraz (4.96), powyzsza rownosc implikuje, ze maj a miejsce rownosci(4.109) oraz (4.110).


Krok 5. Na podstawie Kroku 1 oraz homotopijnej niezmienniczosci stopnia topologicznego

degC(I −ΦT , U ⊕ V ) = degC(I −ΨT (1, · ), U ⊕ V )

= degC(I −ΨT (0, · ), U ⊕ V ).

Dlatego, zgodnie z rownosciami otrzymanymi w Krokach 2 oraz 3 mamy, ze

degC(I −ΦT , U ⊕ V ) = (−1)dk−1 · degB(I − ψT , U) = (−1)dk−1 · degB(A0 − F, U).

W konsekwencji rownosci z Kroku 4 implikuj a, ze

degC(I −ΦT , U ⊕ V ) = (−1)dk ,


degC(I −ΦT , U ⊕ V ) = (−1)dk−1 ,

jesli spe lniony jest warunek (G8) i tym samym, bior ac W := U ⊕V , otrzymujemy tez e twier-dzenia.

Rozdzia l 5

Modele rownan rozniczkowych

W niniejszym rozdziale zastosujemy wyniki otrzymane w Rozdzia lach 3 oraz 4 do badania ist-

nienia rozwi azan okresowych oraz orbit l acz acych punkty stacjonarne. Interesowac nas b edzie sytu-

acja, w ktorej operator A jest symetrycznym operatorem rozniczkowym drugiego rz edu na przestrzeni

X := Lp(Ω), gdzie Ω ⊂ Rn jest zbiorem ograniczonym, zas F jest operatorem Niemyckiego pocho-

dz acym od odwzorowania f : [0,+∞) × Ω × R → R. Pokazemy, ze jesli odwzorowanie f spe lnia

warunki Landesmana-Lazera lub warunki z silnym rezonansem, to operator Niemyckiego F spe lnia

sformu lowane w Rozdzia lach 3 oraz 4 warunki geometryczne dla rownan pierwszego i drugiego rz edu.

Na zakonczenie udowodnimy kryteria stwierdzaj ace istnienie rozwi azan okresowych i orbit l acz acych

punkty stacjonarne dla parabolicznych oraz hiperbolicznych rownan rozniczkowych w rezonansie.


W rozdziale b edziemy zak ladac, ze Ω ⊂ Rn dla n ≥ 1, jest zbiorem otwartym i ograniczo-nym z brzegiem ∂Ω klasy C∞, A jest operatorem rozniczkowym rz edu drugiego z warunkiembrzegowym Dirichleta danym wzorem:

Au(x) = −n∑

i,j=1

Dj(aij(x)Diu(x)) dla u ∈ C2(Ω),

gdzie aij = aji ∈ C2(Ω) dla 1 ≤ i, j ≤ n oraz spe lniony jest nast epuj acy warunek silnejeliptycznosci: istnieje sta la c0 > 0 o tej w lasnosci, ze∑

1≤i,j≤naij(x)ξiξj ≥ c0|ξ|2 dla x ∈ Ω, ξ ∈ Rn.

Ponadto za lozmy, ze f : [0,+∞)×Ω×R×Rn → R jest odwzorowaniem ci ag lym spe lniaj acymnast epuj ace za lozenia:

(E1) istnieje sta la L > 0 taka, ze dla x ∈ Ω, t ∈ [0,+∞), s1, s2 ∈ R oraz y1, y2 ∈ Rn mamy

|f(t, x, s1, y1)− f(t, x, s2, y2)| ≤ L(|s1 − s2|+ |y1 − y2|),

119

120 Rozdzia l 5. Modele rownan rozniczkowych

(E2) istnieje sta la m > 0 taka, ze

|f(t, x, s, y)| ≤ m dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω, s ∈ R, y ∈ Rn,

(E3) istnieje T > 0 takie, ze

f(t, x, s, y) = f(t+ T, x, s, y) dla t ∈ [0,+∞), x ∈ Ω, s ∈ R, y ∈ Rn.

Oznaczmy X := Lp(Ω) dla p ≥ 1. Z operatorem A mozemy stowarzyszyc operator liniowyAp : X ⊃ D(Ap)→ X, dany wzorem

D(Ap) := W 2,p0 (Ω) := clW 2,p(Ω)

φ ∈ C2(Ω) | φ|∂Ω = 0

,

Apu := Au dla u ∈ D(Ap).(1.1)

W nast epuj acym stwierdzeniu gromadzimy potrzebne w lasnosci operatora Ap.

Stwierdzenie 5.1.1. (patrz [10, 61]) Prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(a) Operator Ap jest dodatnio okreslony, wycinkowy i posiada zwarte rezolwenty.

(b) Jesli dziedzina D(Ap) jest wyposazona w norm a wykresow a

‖u‖D(Ap) := ‖Apu‖Lp(Ω) + ‖u‖Lp(Ω) dla u ∈ D(Ap),

to inkluzja D(Ap) ⊂W 2,p(Ω) jest ci ag lym zanurzeniem.

(c) Operator A2 : L2(Ω) ⊃ D(A2)→ L2(Ω) jest samosprz ezony.

Na podstawie punktu (a) Lematu 5.1.1 operator Ap : X ⊃ D(Ap) → X jest dodatniookreslonym operatorem wycinkowym na X, a zatem wyznacza przestrzen u lamkow a Xα =D(Aαp ), (α ∈ (0, 1)) wraz z norm a dan a wzorem

‖u‖α := ‖Aαp u‖ dla u ∈ Xα.

W dalszym ci agu przyjmujemy, ze spe lnione jest nast epuj ace za lozenie

(E4) p ≥ 2n oraz α ∈ (3/4, 1).

Uwaga 5.1.2. (a) Zauwazmy, ze operator Ap spe lnia z lozenia (A1), (A2) oraz (A3) ze strony31. Rzeczywiscie punkt (a) Twierdzenia 5.1.1 mowi nam, ze operator Ap ma zwarte rezol-wenty, a zatem spe lnione jest za lozenie (A1). Bior ac H := L2(Ω) wraz ze standardowymiloczynem skalarnym

〈u, v〉L2 :=

∫Ωu(x)v(x) dx dla u, v ∈ H

i standardow a norm a

‖u‖L2 :=

(∫Ω|u(x)|2 dx

)1/2

dla u ∈ H

widzimy, ze ograniczonosc zbioru Ω oraz fakt, ze p ≥ 2 implikuje istnienie ci ag lego w lozeniai : Lp(Ω) → L2(Ω), a zatem spe lnione jest rowniez za lozenie (A2). Korzystaj ac ponownie zograniczonosci zbioru Ω widzimy, ze dla operatora A := A2 spe lniona jest inkluzja D(Ap) ⊂D(A) oraz Au = Apu dla u ∈ D(Ap). Oznacza to, ze Ap ⊂ A w sensie odwzorowania i× i. Na

podstawie punktu (c) Twierdzenia 5.1.1 operator A jest samosprz ezony po czym wnosimy, ze

5.2. W lasnosc jednoznacznej kontynuacji 121

spe lnione jest rowniez za lozenie (A3).

(b) Na podstawie Uwagi 1.5.3 spektrum σ(Ap) operatora Ap mozemy przedstawic w postacirosn acego ci agu dodatnich wartosci w lasnych

0 < λ1 < λ2 < . . . < λi < λi+1 < . . . dla i ≥ 1,

ktory jest skonczony lub λi → +∞ gdy i→ +∞.

(c) Spe lniona jest inkluzjaXα ⊂ C1(Ω) (1.2)

oraz jest ona ci ag lym zanurzeniem. Aby to sprawdzic, zauwazmy, ze zgodnie z za lozeniem (E4)mamy α ∈ (3/4, 1) oraz p ≥ 2n, a zatem 2α − n

p > 1. Ponadto, na podstawie Twierdzenia

5.1.1 (b), inkluzja D(Ap) ⊂ W 2,p(Ω) jest ci ag lym zanurzeniem. Dlatego z Twierdzenia 6.1.7otrzymujemy, ze inkluzja (1.2) jest rowniez ci ag lym zanurzeniem.

5.2 W lasnosc jednoznacznej kontynuacji

Definicja 5.2.1. Powiemy, ze funkcja u ∈ W 1,2loc (Ω) jest rozwi azaniem dystrybucyjnym za-

gadnienia Au = λu, gdzie λ ∈ R, jesli∫Ω

n∑i,j=1

aij(x)Diu(x)Djϕ(x) dx =

∫Ωλu(x)ϕ(x) dx dla ϕ ∈ C∞0 (Ω),

gdzie przez C∞0 (Ω) oznaczamy zbior funkcji g ladkich o zwartym nosniku zawartym w Ω.

Nast epuj ace twierdzenie jest konsekwencj a z Twierdzenia 1.1 z pracy [25] oraz Stwierdze-nia 3 z pracy [19]. Zapewnia ono tak zwan a w lasnosc jednoznacznej kontynuacji dla funkcjiw lasnych operatora A. Aby uzyskac wi ecej szczego low na temat tej w lasnosci odsy lamy do[36], [46], [5] oraz referencji zawartych w tych publikacjach.

Twierdzenie 5.2.2. Niech λ ∈ R oraz niech u ∈ W 1,2loc (Ω) b edzie rozwi azaniem dystrybucyj-

nym zagadnienia Au = λu zeruj acym si e na zbiorze miary dodatniej. Wowczas u(x) = 0 dlaprawie wszystkich x ∈ Ω.

Uwaga 5.2.3. W pracy [5] pokazano, ze jesli Ω ⊂ Rn, gdzie n ≥ 1, oraz A jest operatoremdanym jako

Au(x) := −∆u(x) =

n∑i=1

uxixi(x) dla u ∈ C2(Ω),

to dla dowolnego λ ∈ R spe lniona jest w lasnosc jednoznacznej kontynuacji, czyli, dowolnerozwi azanie dystrybucyjne zagadnienia Au = λu zeruj ace si e na zbiorze miary dodatniej,zeruje si e na ca lej dziedzinie Ω.

Lemat 5.2.4. Za lozmy, ze λ = λk, gdzie k ≥ 1, jest wartosci a w lasn a operatora Ap. Jesliu ∈ Ker (λI −Ap) \ 0, to zbior x ∈ Ω | u(x) = 0 jest miary zero.

Dowod. Za lozmy, ze u ∈ D(Ap) ⊂ W 2,p(Ω) spe lnia rownanie Apu = λu, gdzie λ = λk dla

k ≥ 1. Skoro p ≥ 2 widzimy, ze u ∈W 1,2loc (Ω). Ponadto dla dowolnej funkcji ϕ ∈ C∞0 (Ω) mamy∫

Ωλu(x)ϕ(x) dx =

∫ΩAu(x)ϕ(x) dx = −

∫Ω

n∑i,j=1

Dj(aij(x)Diu(x))ϕ(x) dx

=

∫Ω

n∑i,j=1

aij(x)Diu(x)Djϕ(x) dx,


co dowodzi, ze u jest rozwi azaniem dystrybucyjnym zagadnienia Au = λu. Skoro u 6= 0, napodstawie Twierdzenia 5.2.2 mamy, ze zbior x ∈ Ω | u(x) = 0 ma miar e zero, co konczydowod.

5.3 Operator Niemyckiego

Zajmiemy si e teraz zdefiniowaniem i omowieniem w lasnosci rezonansowych operatora Nie-myckiego stowarzyszonego z odwzorowaniem f . Zgodnie z punktem (c) Uwagi 5.1.2 w lozenieXα ⊂ C1(Ω) jest ci ag le, a zatem mozemy zdefiniowac odwzorowanie F : [0,+∞)×Xα → Xdane, dla dowolnego u ∈ Xα, jako

F (t, u)(x) := f(t, x, u(x),∇u(x)) dla t ∈ [0,+∞) oraz p.w. x ∈ Ω. (3.3)

Odwzorowanie F nazywamy operatorem Niemyckiego stowarzyszonym z f .

Lemat 5.3.1. Prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Odwzorowanie F jest poprawnie zdefiniowane, ci ag le i spe lnia za lozenie (F1).

(ii) Istnieje sta la K > 0 taka, ze

‖F (t, u)‖ ≤ K dla t ∈ [0,+∞), u ∈ Xα. (3.4)

Dowod. Poniewaz w lozenie Xα ⊂W 1,p(Ω) jest ci ag le istnieje sta la M > 0 taka, ze

‖u‖W 1,p(Ω) ≤M‖u‖α dla u ∈ Xα.

Korzystaj ac z za lozenia (E2), dla dowolnego u ∈ Xα otrzymujemy

|f(t, x, u(x),∇u(x))| ≤ m dla t ∈ [0,+∞) oraz dla p.w. x ∈ Ω. (3.5)

St ad, dla dowolnego t ∈ [0,+∞) oraz u ∈ Xα, wnosimy, ze

‖F (t, u)‖p =

∫Ω|f(t, x, u(x),∇u(x))|p dx ≤ mp|Ω|,

a zatem nierownosc (3.4) jest spe lniona ze sta l a K := m|Ω|1/p, co dowodzi punktu (ii).Aby sprawdzic, ze F spe lnia za lozenie (F1), zauwazmy najpierw, ze na podstawie (E1), dladowolnego t ∈ [0,+∞) oraz u1, u2 ∈ Xα

‖F (t, u1)− F (t, u2)‖p ≤∫

Ω|f(t, x, u1(x),∇u1(x))− f(t, x, u2(x),∇u2(x))|p dx

≤ Lp(∫

Ω(|u1(x)− u2(x)|+ |∇u1(x)−∇u2(x)|)p dx

)≤ 2p−1Lp

(∫Ω|u1(x)− u2(x)|p dx+

∫Ω|∇u1(x)−∇u2(x)|p dx

)≤ 2p−1Lp‖u1 − u2‖pW 1,p(Ω)

≤ 2p−1MpLp‖u1 − u2‖pα.

W konsekwencji

‖F (t, u1)− F (t, u2)‖ ≤ 21−1/pML‖u1 − u2‖α dla t ∈ [0,+∞), u1, u2 ∈ X,

5.3. Operator Niemyckiego 123

a zatem rzeczywiscie spe lnione jest za lozenie (F1). Sprawdzimy teraz, ze F jest odwzoro-waniem ci ag lym. W tym celu niech (tn) w [0,+∞) oraz (un) w Xα b ed a ci agami takimi,ze tn → t0 oraz un → u0 gdy n → ∞. Niech teraz (nk) b edzie ci agiem rosn acym do-datnich liczb ca lkowitych takich, ze nk → +∞ gdy k → +∞. Ze wzgl edu na ci ag loscw lozenia Xα ⊂ W 1,p(Ω), istnieje podci ag nkl ci agu (nk) taki, ze unkl (x) → u0(x) oraz∇unkl (x)→ ∇u0(x) gdy l→∞, dla p.w. x ∈ Ω. Wtedy

f(tnkl , x, unkl (x),∇unkl (x))→ f(t0, x, u0(x),∇u0(x)) gdy l→ +∞dla p.w. x ∈ Ω. Z drugiej strony z nierownosci (3.5) wynika, ze

|f(tnkl , x, unkl (x),∇un(x))| ≤ m dla p.w. x ∈ Ω oraz l ≥ 1.

Dlatego, na podstawie twierdzenia o zbieznosci zmajoryzowanej wnosimy, ze F (tnkl , unkl )→F (t0, u0) w X = Lp(Ω) gdy l→∞, co konczy dowod punktu (i).

Lemat 5.3.2. Jesli f : Ω×R×Rn → R jest odwzorowaniem klasy C1, to odwzorowanie F :Xα → X dane wzorem (3.3) jest rozniczkowalne w 0 oraz jego pochodna DF (0) ∈ L(Xα, X)wyraza si e, dla u ∈ Xα, wzorem

(DF (0)[u])(x) := Dsf(x, 0, 0)u(x) +Dyf(x, 0, 0)∇u(x) dla x ∈ Ω.

Dowod. Pokazemy, ze

‖F (u)− F (0)−DF (0)[u]‖/‖u‖α → 0 gdy ‖u‖α → 0.

Na podstawie punktu (c) Uwagi 5.1.2 w lozenie Xα ⊂ C1(Ω) jest ci ag le a zatem istnieje sta laM > 0 taka, ze

‖u‖∞ + ‖∇u‖∞ ≤M‖u‖α dla u ∈ Xα. (3.6)

Z Twierdzenia Lagrange’a dla dowolnego x ∈ Ω istnieje θx ∈ [0, 1] takie, ze

I(x) := |f(x, u(x),∇u(x))− f(x, 0, 0)−Dsf(x, 0, 0)u(x)−Dyf(x, 0, 0)∇u(x)|≤ |Dsf(x, θxu(x), θx∇u(x))u(x)−Dsf(x, 0, 0)u(x)|

+ |Dyf(x, θxu(x), θx∇u(x))∇u(x)−Dyf(x, 0, 0)∇u(x)|,co implikuje, ze

I(x) ≤ |Dsf(x, θxu(x), θx∇u(x))−Dsf(x, 0, 0)| · ‖u‖∞+ |Dyf(x, θxu(x), θx∇u(x))−Dyf(x, 0, 0)| · ‖∇u‖∞.

Dlatego z nierownosci (3.6) otrzymujemy

I(x)/‖u‖α ≤M |Dsf(x, θxu(x), θx∇u(x))−Dsf(x, 0, 0)|+M |Dyf(x, θxu(x), θx∇u(x))−Dyf(x, 0, 0)| dla x ∈ Ω.

(3.7)

Korzystaj ac ponownie z (3.6) mamy, ze |u(x)| → 0 oraz |∇u(x)| → 0 gdy ‖u‖α → 0, jedno-stajnie na Ω. W konsekwencji, na podstawie g ladkosci odwzorowanie f i nierownosci (3.7),otrzymujemy

I(x)/‖u‖α → 0 gdy ‖u‖α → 0, jednostajnie na Ω. (3.8)

Poniewaz miara dziedziny |Ω| jest skonczona, (3.8) prowadzi do zbieznosci

‖F (u)− F (0)−DF (0)[u]‖/‖u‖α =

(∫Ω

(|I(x)|/‖u‖α dx)p)1/p

→ 0 gdy ‖u‖α → 0,

co dowodzi lematu.


5.3.1 W lasnosci rezonansowe

Naszym celem b edzie podanie w lasnosci rezonansowych operatora Niemyckiego. Zbadamyjakie za lozenia musi spe lniac odwzorowanie f , aby operator F stowarzyszony z tym odwzo-rowaniem, spe lnia l warunki geometryczne dla rownan pierwszego i drugiego rz edu wprowa-dzone w Rozdzia lach 4 oraz 5. Zaczynamy od nast epuj acego lematu w ktorym pokazemy,ze dobrze znane warunki Landesmana-Lazera wprowadzone w pracy [39] implikuj a warunkigeometryczne (G1)− (G8).

Lemat 5.3.3. Za lozmy, ze istniej a funkcje ci ag le f+, f− : Ω→ R takie, ze

f+(x) = lims→+∞

f(t, x, s, y) oraz f−(x) = lims→−∞

f(t, x, s, y)

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Niech B1 ⊂ Xα+ ⊕Xα

− oraz B2 ⊂ X0

b ed a zbiorami ograniczonymi odpowiednio w normach ‖ · ‖α oraz ‖ · ‖L2.

(i) Jesli spe lniony jest nast epuj acy warunek

(LL1)

∫u>0

f+(x)u(x) dx+

∫u<0

f−(x)u(x) dx > 0

dla u ∈ Ker (λI−Ap)\0, to istnieje sta la R > 0 taka, ze dla dowolnych t ∈ [0, T ] oraz(w, v, u) ∈ B1 ×B2 ×X0, gdzie ‖u‖L2 ≥ R, prawdziwa jest nast epuj aca nierownosc:

〈F (t, w + u), u〉L2 > −〈F (t, w + u), v〉L2 .

(ii) Jesli spe lniony jest nast epuj acy warunek

(LL2)

∫u>0

f+(x)u(x) dx+

∫u<0

f−(x)u(x) dx < 0

dla u ∈ Ker (λI−Ap)\0, to istnieje sta la R > 0 taka, ze dla dowolnych t ∈ [0, T ] oraz(w, v, u) ∈ B1 ×B2 ×X0, gdzie ‖u‖L2 ≥ R, prawdziwa jest nast epuj aca nierownosc:

〈F (t, w + u), u〉L2 < −〈F (t, w + u), v〉L2 .

Dowod. Ograniczymy si e tylko do dowodu punktu (i). Dowod punktu (ii) przebiega w spo-sob analogiczny. Za lozmy przez sprzecznosc, ze stwierdzenie w punkcie (i) nie jest prawdziwe.Wtedy istniej a ci agi (tn) w [0, T ], (wn) w B1, (vn) w B2 oraz (un) w X0 takie, ze ‖un‖L2 →∞gdy n→∞ oraz

〈F (tn, wn + un), un〉L2 ≤ −〈F (tn, wn + un), vn〉L2 dla n ≥ 1. (3.9)

Dla dowolnego n ≥ 1, przyjmujemy oznaczenie zn := un/‖un‖L2 . Poniewaz X0 jest przestrze-ni a skonczenie wymiarow a, bez straty ogolnosci rozumowania mozemy za lozyc, ze istniejez0 ∈ X0 takie, ze zn → z0 w L2(Ω) gdy n→∞ i ponadto zn(x)→ z0(x) dla p.w. x ∈ Ω gdyn→∞. Poniewaz operator Ap ma zwarte rezolwenty, Stwierdzenie 1.4.7 mowi, ze przestrzenXα jest zwarto w lozona w X. Poniewaz ci ag (wn) jest ograniczony w Xα, przechodz ac w raziekoniecznosci do odpowiedniego podci agu mozemy rowniez za lozyc, ze istnieje w0 ∈ X = Lp(Ω)takie, ze wn → w0 w X gdy n→∞ oraz wn(x)→ w0(x) gdy n→∞, dla p.w. x ∈ Ω. Zgodniez nierownosci a (3.9) mamy, ze

〈F (tn, wn + un), zn − z0〉L2 + 〈F (wn + un), z0〉L2 ≤ −〈F (wn + un), vn〉L2/‖un‖L2 (3.10)


dla n ≥ 1. Ponadto na mocy punktu (ii) Lematu 5.3.1 odwzorowanie F jest ograniczone idlatego z faktu, ze zn → z0 gdy n→∞ w L2(Ω), wynika, ze

〈F (tn, wn+ un), zn− z0〉L2 ≤ ‖F (tn, wn+ un)‖L2‖zn− z0‖L2 → 0 gdy n→ +∞. (3.11)

Dodatkowo ograniczonosc odwzorowanie F i ci agu (vn) w L2(Ω) implikuje, ze

〈F (tn, wn + un), vn〉L2/‖un‖L2 → 0 gdy n→ +∞. (3.12)

W dalszej cz esci dowodu przyjmujemy oznaczenie Ω+ := x ∈ Ω | z0(x) > 0 oraz Ω− :=x ∈ Ω | z0(x) < 0. Wedy, nie trudno zauwazyc, ze

〈F (tn, wn + un), z0〉L2 =

∫Ωf(tn, x, wn(x) + un(x),∇wn(x) +∇un(x))z0(x) dx

=

∫Ω+

f(tn, x, wn(x) + un(x),∇wn(x) +∇un(x))z0(x) dx

+

∫Ω−

f(tn, x, wn(x) + un(x),∇wn(x) +∇un(x))z0(x) dx

(3.13)

dla n ≥ 1. Zauwazmy, ze rownosc

wn(x) + un(x) = wn(x) + ‖un‖L2 zn(x) dla p.w. x ∈ Ω+ oraz n ≥ 1

prowadzi do nast epuj acej zbieznosci

wn(x) + un(x)→ +∞ gdy n→∞ dla p.w. x ∈ Ω+,

ktora w po l aczeniu z za lozeniem twierdzenia, za lozeniem (E2) i twierdzeniem o zbieznoscizdominowanej daje∫

Ω+

f(tn, x, wn(x) + un(x),∇wn(x) +∇un(x))z0(x) dx→∫

Ω+

f+(x)z0(x) dx (3.14)

gdy n→ +∞. Post epuj ac tak samo otrzymujemy, ze∫Ω−

f(tn, x, wn(x) + un(x),∇wn(x) +∇un(x))z0(x) dx→∫

Ω−

f−(x)z0(x) dx (3.15)

gdy n→ +∞. Stosuj ac teraz (3.14) oraz (3.15) do rownosci (3.13) wnosimy

〈F (tn, wn + un), z0〉L2 →∫

Ω+

f+(x)z0(x) dx +

∫Ω−

f−(x)z0(x) dx gdy n → ∞.

Przechodz ac teraz do granicy z n→∞ w (3.10) i uzywaj ac (3.11), (3.12) otrzymujemy∫Ω+

f+(x)z0(x) dx+

∫Ω−

f−(x)z0(x) dx ≤ 0, (3.16)

co stoi w sprzecznosci z warunkiem (LL1), gdyz ‖z0‖L2 = 1. Otrzymana sprzecznosc dowodzipunktu (i).


Przyk lad 5.3.4. NiechApu = −uxx b edzie operatorem okreslonym naW 2,p(0, 1)∩W 1,p0 (0, 1),

zas f : R → R odwzorowaniem danym jako f(s) = arc tg(s) dla s ∈ R. Wtedy spektrumoperatora Ap stanowi ci ag wartosci w lasnych (λi)i≥1 dany jako λi = (iπ)2. Ponadto Ker (λ1I−Ap) = r sin(π(·)) | r ∈ R oraz f±(x) = ±π/2 dla x ∈ (0, 1). Zatem nietrudno sprawdzic, zew tym przypadku spe lniony jest warunek Landesmana-Lazera (LL1). Ponadto, jesli f(s) =− arc tg(s) dla s ∈ R to spe lniony jest warunek (LL2).

Kolejny lemat dowodzi, ze warunki (G1)− (G8) s a rowniez implikowane przez warunki zsilnym rezonansem, ktore by ly szczego lowo badane mi edzy innymi w pracach [6], [26], [58].

Lemat 5.3.5. Za lozmy, ze istnieje funkcja ci ag la f∞ : Ω → R, gdzie Ω ⊂ Rn (n ≥ 3), oraztaka, ze

f∞(x) = lim|s|→+∞

f(t, x, s, y) · s

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Niech B1 ⊂ Xα+ ⊕ Xα

− oraz B2 ⊂ X0

b ed a zbiorami ograniczonymi odpowiednio w normach ‖ · ‖α oraz ‖ · ‖L2.

(i) Jesli spe lniony jest nast epuj acy warunek

(SR1)

istnieje funkcja h ∈ L1(Ω) taka, ze

f(t, x, s, y) · s ≥ h(x) dla (t, x, s, y) ∈ [0,+∞)× Ω× R× Rn oraz∫Ωf∞(x) dx > 0,

to istnieje sta la R > 0 taka, ze dla dowolnych t ∈ [0, T ] oraz (v, w, u) ∈ B1×B2×X0,gdzie ‖u‖L2 ≥ R, prawdziwa jest nast epuj aca nierownosc:

〈F (t, w + u), u〉L2 > −〈F (t, w + u), v〉L2 .

(ii) Jesli spe lniony jest nast epuj acy warunek

(SR2)

istnieje funkcja h ∈ L1(Ω) taka, ze

f(t, x, s, y) · s ≤ h(x) dla (t, x, s, y) ∈ [0,+∞)× Ω× R× Rn oraz∫Ωf∞(x) dx < 0,

to istnieje sta la R > 0 taka, ze dla dowolnych t ∈ [0, T ] oraz (w, v, u) ∈ B1×B2×X0,gdzie ‖u‖L2 ≥ R, prawdziwa jest nast epuj aca nierownosc:

〈F (t, w + u), u〉L2 < −〈F (t, w + u), v〉L2 .

Uwaga 5.3.6. Zauwazmy, ze zgodnie z za lozeniami powyzszego twierdzenia mamy, ze

f±(x) := lims→±∞

f(t, x, s, y) = 0

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Zatem warunki Landesmana-Lazera(LL1) oraz (LL2) uzyte w Lemacie 5.3.3, nie maj a w tej sytuacji zastosowania.

Dowod Lematu 5.3.5. Znowu ograniczymy si e do dowodu punktu (i). Dowod punktu (ii)przebiega analogicznie. Za lozmy przez sprzecznosc, ze istniej a ci agi (tn) w [0, T ], (wn) w B1,(vn) w B2 oraz (un) w X0 takie, ze ‖un‖L2 → +∞ oraz

〈F (tn, wn + un), un〉L2 ≤ −〈F (tn, wn + un), vn〉L2 dla n ≥ 1. (3.17)


Poniewaz B1 ⊂ Xα jest zbiorem ograniczonym oraz, na podstawie Stwierdzenia 1.4.7, inkluzjaXα ⊂ X jest zwartym w lozeniem. Dlatego przechodz ac w razie koniecznosci do podci agumozemy za lozyc, ze istnieje w0 ∈ X takie, ze wn → w0 w X oraz wn(x) → w0(x) gdyn → +∞ dla p.w. x ∈ Ω. Poniewaz X0 jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a, oznaczaj aczn := un/‖un‖L2 , mozemy rowniez za lozyc, ze istnieje z0 ∈ X0 takie, ze zn → z0 orazzn(x) → z0(x) dla p.w. x ∈ Ω gdy n → +∞. Oznaczmy cn := wn + un. Bior ac x ∈ Ω+ :=x ∈ Ω | z0(x) > 0 otrzymujemy

cn(x) = wn(x) + un(x) = wn(x) + ‖un‖L2 zn(x)→ +∞, (3.18)

gdy n→ +∞ oraz bior ac x ∈ Ω− := x ∈ Ω | z0(x) < 0 otrzymujemy

cn(x) = wn(x) + un(x) = wn(x) + ‖un‖L2 zn(x)→ −∞ (3.19)

gdy n→ +∞. Uzywaj ac nierownosci (3.17) wnosimy, ze dla dowolnego n ≥ 1

〈F (tn, wn + un), wn + un〉L2 ≤ 〈F (tn, wn + un), wn − vn〉L2 . (3.20)

Zauwazmy, ze w przypadku kazdego z warunku (SR1) mamy∫Ω+

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx ≥ −‖h‖L1 oraz∫Ω−

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx ≥ −‖h‖L1 dla n ≥ 1

(3.21)

Poniewaz z0 6= 0, na podstawie Lematu 5.2.4 otrzymujemy miara Lebesgue’a zbioru Ω0 :=x ∈ Ω | z0(x) = 0 jest rowna zero. Dlatego stosuj ac nierownosci (3.21) mamy

lim infn→+∞

〈F (tn, wn + un), wn + un〉L2 = lim infn→+∞

∫Ωf(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx

≥ lim infn→+∞

∫Ω+

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx+ lim infn→+∞

∫Ω−

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx.

Zgodnie z za lozeniem mamy, ze

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) ≥ h(x) dla n ≥ 1, oraz p.w. x ∈ Ω,

a zatem korzystaj ac z (3.18), (3.19) oraz lemat Fatou (patrz Lemat 6.1.4) wnosimy, ze

lim infn→+∞

〈F (tn, wn + un), wn + un〉L2 = lim infn→+∞

∫Ωf(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx

≥∫

Ω+

lim infn→+∞

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx+

∫Ω−

lim infn→+∞

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))cn(x) dx

≥∫

Ω+

f∞(x) dx+

∫Ω−

f∞(x) dx =

∫Ωf∞(x) dx,

czyli

lim infn→+∞

〈F (tn, wn + un), wn + un〉L2 ≥∫

Ωf∞(x) dx. (3.22)

Poniewaz Ω jest zbiorem ograniczonym ma miejsce w lozenie X ⊂ L2(Ω) i jest ono ci ag le.Ponadto, jak wczesniej zauwazylismy inkluzja Xα → X rowniez jest ci ag lym w lozeniem.Zatem istnieje sta la M > 0 taka, ze

‖u‖L2 ≤M‖u‖α dla u ∈ Xα.


Poniewaz zbiory B1, B2 s a ograniczone, istnieje sta la r < +∞ taka, ze r := sup‖wn −vn‖L2 | n ≥ 1. Wtedy, dla dowolnego n ≥ 1,

〈F (tn, wn+ un), wn− vn〉L2 ≤ ‖F (tn, wn+ un)‖L2‖wn− vn‖L2 ≤ r‖F (tn, wn+ un)‖L2 . (3.23)

Na mocy za lozenia mamy, zelim

|s|→+∞f(t, x, s, y) = 0 (3.24)

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Ponadto, l acz ac ze sob a (3.18), (3.19)oraz (3.24), mamy

f(tn, x, cn(x),∇cn(x))→ 0 dla p.w. x ∈ Ω+ ∪ Ω−.

Dlatego fakt, ze miara zbioru Ω0 jest rowna zeru, ograniczonosc odwzorowania f (za lozenie(E2)) oraz twierdzeniem o zbieznosci zmajoryzowanej implikuje

‖F (tn, wn+ un)‖2L2 =

∫Ω+

|f(tn, x, cn(x),∇cn(x))|2 dx+

∫Ω−

|f(tn, x, cn(x),∇cn(x))|2 dx→ 0,

gdy n→ +∞. Dlatego z nierownosci (3.23) mamy

〈F (tn, wn + cn), wn − vn〉L2 → 0 gdy n→ +∞,

co w po l aczeniu z (3.20) oraz (3.22), prowadzi do

0 ≥ lim infn→+∞

〈F (tn, wn + un), wn + un〉L2 ≥∫

Ωf∞(x) dx. (3.25)

Powyzsza nierownosc przeczy warunkowi (SR1) i tym samym otrzymana sprzecznosc konczydowod punktu (i).

Przyk lad 5.3.7. Jesli f : R→ R jest odwzorowaniem danym wzorem

f(s) =s

1 + s2dla s ∈ R,

to f(s) · s→ 1 gdy |s| → +∞. Zatem widzimy, ze spe lniony jest warunek (SR1). Z kolei, jeslif jest odwzorowaniem danym jako

f(s) = − s

1 + s2dla s ∈ R,

to f(s) · s→ −1 gdy |s| → +∞ i dlatego spe lniony jest warunek (SR2).

5.4 Rownania paraboliczne

B edziemy rozwazac rownania paraboliczne nast epuj acej postaci

ut(t, x) = −Au(t, x) + λu(t, x) + f(t, x, u(t, x),∇u(t, x)), t > 0, x ∈ Ω (4.26)

gdzie λ ∈ R, zas f : [0,+∞) × Ω × R × Rn → R jest odwzorowaniem ci ag lym takim, zespe lnione s a za lozenia (E1) − (E4). Rownanie to mozemy zapisac w postaci abstrakcyjnejjako

u(t) = −Apu(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0 (4.27)


Definicja 5.4.1. Niech J ⊂ R b edzie przedzia lem. Powiemy, ze odwzorowanie u : J → Xα

jest rozwi azaniem rownania (4.26), o ile u jest s labym rozwi azaniem zagadnienia pocz atko-wego (4.27).

Z Lematu 5.3.1 wynika, ze odwzorowanie F spe lnia za lozenia (F1) oraz (F2), a zatem z Twier-dzenia 2.1.5 mamy, ze dla dowolnego u0 ∈ Xα, rownanie (4.27) posiada s labe rozwi azanieu( · ; u0) : [0,+∞)→ Xα takie, ze u(0; u0) = u0. Dla t ≥ 0, definiujemy operator przesuni eciawzd luz trajektorii Φt : Xα → Xα stowarzyszonym z rownaniem (4.27) jako

Φt(u) := u(t; u) dla u ∈ Xα.

Wniosek 5.4.2. Dla dowolnego t > 0 operator przesuni ecia wzd luz trajektorii Φt : [0, 1] ×Xα → Xα jest odwzorowaniem pe lnoci ag lym.

Dowod. Poniewaz, na podstawie punktu (a) Stwierdzenia 5.1.1, operator Ap ma zwarterezolwenty punkt (i) jest konsekwencj a Twierdzen 2.3.2 oraz 2.3.3.

Za lozmy teraz, ze f jest odwzorowaniem niezaleznym od czasu. Wowczas mozemy zdefinio-wac po lpotok stowarzyszonym z rownaniem (4.27) jako odwzorowanie Φ : [0,+∞)×Xα → Xα

dane wzoremΦ(t, u) := u(t; u) dla t ∈ [0,+∞), u ∈ Xα.

Ze zwartosci rezolwent operatora Ap oraz Lematu 2.3.6 wynika, ze po lpotok ten jest ci ag lyoraz dowolny podzbior ograniczony przestrzeni Xα jest dopuszczalny wzgl edem Φ.

5.4.1 Kryteria na istnienie rozwiazan okresowych

Przechodzimy teraz do zastosowan wynikow otrzymanych w Rozdziale 3 do badania ist-nienia rozwi azan okresowych dla rownan parabolicznych w rezonansie. Zaczynamy od nast e-puj acego kryterium z warunkami Landesmana-Lazera.

Twierdzenie 5.4.3. Niech f : [0,+∞) × Ω × R × Rn → R b edzie odwzorowaniem ci ag lym,dla ktorego istniej a funkcje ci ag le f+, f− : Ω→ R takie, ze

f+(x) = lims→+∞

f(t, x, s, y) oraz f−(x) = lims→−∞

f(t, x, s, t)

dla x ∈ Ω, jednostajnie ze wzgl edu na t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Jesli λ = λk dla pewnegok ≥ 1 oraz spe lniony jest jeden z warunkow (LL1) lub (LL2) (patrz strona 124), to istniejeT -okresowe rozwi azanie rownania (4.26).

W dowodzie powyzszego twierdzenia uzyjemy nast epuj acego wzoru indeksowego z warun-kami Landesmana-Lazera, ktory jest konsekwencj a Lematu 5.3.3 oraz Twierdzenia 3.5.2.

Twierdzenie 5.4.4. Przy za lozeniach Twierdzenia 5.4.3 istnieje R > 0 takie, ze ΦT (u) 6= udla u ∈ Xα takich, ze ‖u‖α ≥ R oraz

(i) degLS(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk , jesli spe lniony jest warunek (LL1);

(ii) degLS(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk−1, jesli spe lniony jest warunek (LL2).

Dowod Twierdzenia 5.4.3. Na podstawie Twierdzenia 5.4.4 oraz w lasnosci istnienia stop-nia topologicznego kazdy z warunkow (LL1) lub (LL2) implikuje, istnienie u0 ∈ Xα takiego,ze ΦT (u0) = u0. Poniewaz spe lniony jest warunek (E3) wnosimy, ze F (t, u) = F (t + T, u)dla t ≥ 0 oraz u ∈ Xα sk ad wynika, ze u0 jest pocz atkiem s labego T -okresowego rozwi azaniarownania (4.27), ktore zgodnie z definicj a jest T -okresowym rozwi azaniem rownania (4.26).

Przechodzimy teraz do nast epuj acego kryterium dla rownan z silnym rezonansem.


Twierdzenie 5.4.5. Za lozmy, ze f : [0,+∞)×Ω×R×Rn → R, gdzie Ω ⊂ Rn (n ≥ 3), jestodwzorowaniem, dla ktorego istnieje funkcja ci ag la f∞ : Ω→ R taka, ze

f∞(x) = lim|s|→+∞

f(t, x, s, y) · s

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞) oraz y ∈ Rn. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1 orazspe lniony jest jeden z warunkow (SR1) lub (SR2) (patrz strona 126), to istnieje T -okresowerozwi azanie rownania (4.26).

W dowodzie powyzszego twierdzenia uzyjemy nast epuj acego wzoru indeksowego dla row-nan z silnym rezonansem, ktory jest konsekwencj a Lematu 5.3.5 oraz Twierdzenia 3.5.2.

Twierdzenie 5.4.6. Przy za lozeniach Twierdzenia 5.4.5 istnieje R > 0 takie, ze ΦT (u) 6= udla u ∈ Xα takich, ze ‖u‖α ≥ R oraz

(i) deg(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk , jesli spe lniony jest warunek (SR1);

(ii) deg(I − ΦT , B(0, R)) = (−1)dk−1, jesli spe lniony jest warunek (SR2).

Dowod Twierdzenia 5.4.5. Na podstawie Twierdzenia 5.4.6 oraz w lasnosci istnienia stop-nia topologicznego w przypadku kazdego z warunkow (SR1) lub (SR2) istnienie u0 ∈ Xα

takie, ze ΦT (u0) = u0. Na podstawie warunku (E3) mamy F (t, u) = F (t + T, u) dla t ≥ 0oraz u ∈ Xα co oznacza ze u0 jest pocz atkiem s labego T -okresowego rozwi azania rownania(4.27) i tym samy T -okresowego rozwi azania rownania (4.26).

5.4.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych

Przechodzimy teraz do zastosowan wynikow otrzymanych w Rozdzia lu 3 do badania ist-nienia orbit l acz acych punkty stacjonarne dla rownan parabolicznych. B edziemy potrzebowacdodatkowego za lozenia

(E5) f : Ω×R×Rn → R jest odwzorowaniem klasy C1 takim, ze istnieje sta la ν ∈ R taka,ze ν = Dsf(x, 0, 0) dla x ∈ Ω i ponadto f(x, 0, 0) = 0 oraz Dyf(x, 0, 0) = 0 dla x ∈ Ω.

Uwaga 5.4.7. Na podstawie za lozenia (E5) oraz Lematu 5.3.2 mamy, ze odwzorowanie Fjest rozniczkowalne w 0 oraz jego pochodna DF (0) ∈ L(Xα, X) jest odwzorowaniem postaci

DF (0)[u] = νu dla u ∈ Xα,

a zatem spe lnione jest za lozenie (F7) (patrz strona 69).

Zaczynamy od nast epuj acego kryterium z warunkami Landesmana-Lazera.

Twierdzenie 5.4.8. Za lozmy, ze istniej a funkcje ci ag le f+, f− : Ω→ R takie, ze

f+(x) = lims→+∞

f(x, s, y) oraz f−(x) = lims→−∞

f(x, s, y)

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla y ∈ Rn. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje pe lneniezerowe zwarte rozwi azanie u : R→ Xα rownania (4.26) takie, ze

limt→−∞


u(t) = 0,

w przypadku, gdy spe lniony jest jeden z nast epuj acych warunkow:


(i) spe lniony jest warunek (LL1) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (LL1) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (LL2), λl−1 < λ+ ν < λl oraz λ 6= λl, gdzie l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (LL2), λ+ ν < λ1 oraz λ 6= λ1.

Dowod. Na podstawie Uwagi 5.4.7 spe lnione jest za lozenie (F7) (patrz strona 69). Ponadtoz Lematu 5.3.3 wynika, ze warunek (LL1) implikuje warunek (G1) oraz warunek (LL2) im-plikuje warunek (G2). Dlatego dowod konczy zastosowanie Twierdzenia 3.3.1.

Sformu lujemy teraz nast epuj ace kryterium dla rownan z silnym rezonansem.

Twierdzenie 5.4.9. Za lozmy, ze istnieje funkcja ci ag la f∞ : Ω→ R, gdzie Ω ⊂ Rn (n ≥ 3),taka, ze

f∞(x) = lim|s|→+∞

f(x, s, y) · s dla x ∈ Ω, jednostajnie na y ∈ Rn.

Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje pe lne zwarte niezerowe rozwi azanie u : R → Xα

rownania (4.26) ze strony 128 takie, ze

limt→−∞


u(t) = 0,


(i) spe lniony jest warunek (SR1) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (SR1) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (SR2) oraz λl−1 < λ+ ν < λl gdzie λ 6= λl, l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (SR2) oraz λ+ ν < λ1.

Dowod. Na podstawie Uwagi 5.4.7 spe lnione jest za lozenie (F7) (patrz strona 69). Ponadtoz Lematu 5.3.5 wynika, ze warunek (SR1) implikuje warunek (G1) oraz warunek (SR2) im-plikuje warunek (G2). Dowod konczy zastosowanie Twierdzenia 3.3.1.

5.5 Rownania hiperboliczne

Interesowac nas b ed a rownania hiperboliczne postaci

utt(t, x) = −Aut(t, x)− cAu(t, x) + λu(t, x) + f(t, x, u(t, x)), t > 0, x ∈ Ω (5.28)

gdzie c > 0, λ jest pewna liczb a rzeczywist a, zas f : [0,+∞)×Ω×R→ R jest odwzorowaniemci ag lym takim, ze spe lnione s a za lozenia (E1), (E2) oraz (E3). Za lozmy, ze E := Xα × Xjest przestrzeni a z norm a

‖(u, v)‖E := ‖u‖α + ‖v‖ dla (u, v) ∈ E.

Niech F : [0,+∞)×Xα → X b edzie odwzorowaniem danym, dla dowolnego u ∈ Xα, jako

F (t, u)(x) := f(t, x, u(x)) dla t ∈ [0,+∞) oraz p.w. x ∈ Ω.

Zdefiniujmy przekszta lcenie F : [0,+∞)×E→ E wzorem

F(t, (u, v)) := (0, F (t, u)) dla (u, v) ∈ E.


Lemat 5.5.1. Prawdziwe s a nast epuj ace stwierdzenia.

(i) Odwzorowanie F jest pe lnoci ag le, czyli, zbior F([0,+∞) × Ω) jest relatywnie zwartydla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ E.

(ii) Odwzorowanie F spe lnia za lozenie (F1) oraz istnieje sta la K > 0 taka, ze

‖F(t, (u, v))‖E ≤ K‖(u, v)‖E dla t ∈ [0,+∞), (u, v) ∈ E.

Dowod. (i) Zauwazmy najpierw, ze odwzorowanie F jest pe lnoci ag le. Aby to sprawdzicwezmy dowolny ci ag (tn) w [0,+∞) oraz dowolny ci ag (un) ograniczony w przestrzeni Xα.Skoro spe lnione jest za lozenie (E3), odwzorowanie F jest T -okresowe, a zatem bez stratyogolnosci rozumowania mozemy za lozyc, ze tn → t0, gdy n → +∞ dla t0 ∈ [0, T ]. Poniewazna podstawie Twierdzenia 1.4.7 w lozenie Xα → X jest zwarte, przechodz ac w razie koniecz-nosci do podci agu, mozemy za lozyc, ze un → u0 w przestrzeni X, gdy n → +∞. Wtedynietrudno sprawdzic, ze F (tn, un)→ F (t0, u0) w X gdy n→ +∞, co dowodzi pe lnoci ag losciodwzorowania F . W konsekwencji pe lnoci ag losc odwzorowania F wynika teraz z punktu (d)Uwagi 2.4.1.

(ii) Korzystaj ac z punktu (ii) Lematu 5.3.1 wnosimy, ze istnieje sta la K > 0 taka, ze

‖F (t, u)‖ ≤ K‖u‖α dla t ∈ [0,+∞), u ∈ Xα.

Wtedy dla dowolnego t ∈ [0,+∞) oraz (u, v) ∈ E mamy

‖F(t, (u, v))‖E = ‖F (t, u)‖ ≤ K‖u‖α ≤ K‖(u, v)‖E,

co dowodzi stwierdzenia (ii).

Ponizszy lemat jest natychmiastow a konsekwencj a Lematu 5.3.2.

Lemat 5.5.2. Za lozmy, ze f : Ω × R → R jest odwzorowaniem klasy C1. Wowczas odwzo-rowanie F : E → E rozniczkowalne w punkcie 0 oraz jego pochodna DF(0) ∈ L(E,E) jestdana, dla dowolnego (u, v) ∈ E, jako

(DF(0)[u, v])(x) := (0, Dsf(x, 0)u(x) +Dyf(x, 0, 0)∇u(x)) dla x ∈ Ω. (5.29)

Rownanie (5.28) mozemy teraz zapisac w postaci abstrakcyjnej

u(t) = −Apu(t)−Apu(t) + λu(t) + F (t, u(t)), t > 0

Niech Ap : E ⊃ D(Ap)→ E b edzie operatorem liniowym danym jako

D(Ap) := (u, v) ∈ Xα ×X | u+ cv ∈ D(Ap)Ap(u, v) := (−v, Ap(u+ cv)− λu).

Zdefiniujmy odwzorowanie F : [0,+∞)×E→ E wzorem

F(t, (u, v)) := (0, F (t, u)) dla t ∈ [0,+∞), (u, v) ∈ E.

Wowczas rownanie (5.28) mozemy zapisac w postaci abstrakcyjnej jako

w(t) = −Apw(t) + F(t, w(t)), t > 0. (5.30)


Definicja 5.5.3. Za lozmy, ze J ⊂ R jest przedzia lem. Powiemy, ze odwzorowanie w : J → Ejest rozwi azaniem zagadnienia rownania (5.28), o ile jest s labym rozwi azaniem (5.30).

Z punktu (ii) Lematu 5.5.1 otrzymujemy, ze F spe lnia za lozenia (F1) oraz (F2). DlategoTwierdzenie 2.1.5 implikuje, ze dla dowolnego (u0, v0) ∈ E, rownanie (5.30) posiada s laberozwi azanie w( · ; (u0, v0)) : [0,+∞) → E takie, ze w(0; (u0, v0)) = (u0, v0). Jesli t ≥ 0, defi-niujemy operator przesuni ecia wzd luz trajektorii Φt : Xα → Xα stowarzyszonym z rownaniem(5.30) jako

Φt(u) := w(t; (u0, v0)) dla (u0, v0) ∈ E.

Wniosek 5.5.4. Dla dowolnego t ≥ 0 operator przesuni ecia wzd luz trajektorii Φt jest od-wzorowaniem ci ag lym. Ponadto na przestrzeni E istnieje norma | · | rownowazna z norm awyjsciow a ‖ · ‖E taka, ze dla dowolnego t ≥ 0 oraz ograniczonego Ω ⊂ E mamy

β(Φt(Ω)) ≤ e−δtβ(Ω), (5.31)

gdzie δ > 0 jest pewna sta l a.

Dowod. Z punktu (i) Lematu 5.5.1 spe lnione jest za lozenie (F5). Zatem na mocy Twierdze-nia 2.4.3 odwzorowanie Φt jest ci ag le. Z kolei Twierdzenie 2.4.4 mowi nam, ze na przestrzeniE istnieje norma | · | rownowazna z norm a ‖ · ‖E taka, ze dla pewnej sta lej δ > 0 spe lnionajest nierownosci (5.31).

Za lozmy teraz, ze f jest odwzorowaniem niezaleznym od czasu. Definiujemy po lpotokstowarzyszonym z rownaniem (5.30) jako odwzorowanie Φ : [0,+∞)×E→ E dane wzorem

Φ(t, (u0, v0)) := w(t; (u0, v0)) dla t ∈ [0,+∞), (u0, v0) ∈ E.

Konsekwencj a z Twierdzenia 2.4.8 jest fakt, ze dowolny podzbior ograniczony przestrzeni Ejest dopuszczalny wzgl edem po lpotoku Φ.

5.5.1 Kryteria na istnienie rozwiazan okresowych

Przechodzimy teraz do zastosowan wynikow otrzymanych w Rozdziale 4 do badania ist-nienia rozwi azan okresowych dla rownan hiperbolicznych w rezonansie. Zaczynamy od nast e-puj acego kryterium z warunkami Landesmana-Lazera.

Twierdzenie 5.5.5. Niech f : [0,+∞)× Ω× R→ R b edzie odwzorowaniem ci ag lym takim,ze istniej a funkcje ci ag le f+, f− : Ω→ R dane jako

f+(x) = lims→+∞

f(t, x, s) oraz f−(x) = lims→−∞

f(t, x, s)

dla x ∈ Ω, jednostajnie ze wzgl edu na t ∈ [0,+∞). Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1 orazspe lniony jest jeden z warunkow (LL1) lub (LL2), to rownanie (5.28) posiada rozwi azanieT -okresowe.

W dowodzie powyzszego twierdzenia uzyjemy nast epuj acego wzoru indeksowego z warun-kami Landesmana-Lazera, ktory jest konsekwencj a Lematu 5.3.3 oraz Twierdzenia 4.4.2.

Twierdzenie 5.5.6. Przy za lozeniach Twierdzenia 5.5.5 istnieje zbior otwarty W ⊂ E taki,ze ΦT (x, y) 6= (x, y) dla (x, y) ∈ ∂W oraz spe lnione s a nast epuj ace stwierdzenia:

(i) degLS(I −ΦT ,W ) = (−1)dk , jesli spe lniony jest warunek (LL1);

(ii) degLS(I −ΦT ,W ) = (−1)dk−1, jesli spe lniony jest warunek (LL2);

gdzie dl jest tak a liczb a ca lkowit a, ze d0 = 0 oraz dl :=∑l



Dowod Twierdzenia 5.5.5. Na podstawie Twierdzenia 5.5.6 oraz w lasnosci istnienia dlastopnia topologicznego, kazdy z warunkow (LL1) lub (LL2) implikuje, istnienie (u0, v0) ∈E takiego, ze ΦT (u0, v0) = (u0, v0). Poniewaz spe lniony jest warunek (E3) wnosimy, zeF(t, (u, v)) = F(t+ T, (u, v)) dla t ≥ 0 oraz (u, v) ∈ E. Zatem punkt (u0, v0) jest pocz atkiemrozwi azania T -okresowego rownania (5.28).

Przechodzimy teraz do nast epuj acego kryterium dla rownan z silnym rezonansem.

Twierdzenie 5.5.7. Niech f : [0,+∞) × Ω × R → R, gdzie Ω ⊂ Rn (n ≥ 3), b edzieodwzorowaniem ci ag lym takim, ze istnieje funkcja ci ag la f∞ : Ω→ R taka, ze

f∞(x) = lim|s|→+∞

f(t, x, s) · s

dla x ∈ Ω, jednostajnie dla t ∈ [0,+∞). Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1 oraz spe lniony jestjeden z warunkow (SR1) lub (SR2), to rownanie (5.28) posiada rozwi azanie T -okresowe.

W dowodzie powyzszego twierdzenia uzyjemy nast epuj acego wzoru indeksowego dla row-nan z silnym rezonansem, ktory jest konsekwencj a Lematu 5.3.5 oraz Twierdzenia 4.4.2.

Twierdzenie 5.5.8. Przy za lozeniach Twierdzenia 5.5.7 istnieje zbior otwarty W ⊂ E taki,ze ΦT (x, y) 6= (x, y) dla (x, y) ∈ ∂W oraz spe lnione s a nast epuj ace stwierdzenia

(i) degLS(I −ΦT ,W ) = (−1)dk , jesli spe lniony jest warunek (SR1);

(ii) degLS(I −ΦT ,W ) = (−1)dk−1, jesli spe lniony jest warunek (SR2);

gdzie d0 = 0 oraz dl :=∑l

i=1 dim Ker (λiI −A) gdy l ≥ 1.

Dowod Twierdzenia 5.5.7. Na podstawie Twierdzenia 5.5.8, kazdy z warunkow (SR1) lub(SR2) implikuje istnienie (u0, v0) ∈ E takiego, ze ΦT (u0, v0) = (u0, v0). Poniewaz spe lnionyjest warunek (E3) wnosimy, ze F(t, (u, v)) = F(t+T, (u, v)) dla t ≥ 0 oraz (u, v) ∈ E. Zatempunkt (u0, v0) jest pocz atkiem rozwi azania T -okresowego rownania (5.28).

5.5.2 Kryteria na istnienie orbit ograniczonych

Przechodzimy teraz do zastosowan wynikow otrzymanych w Rozdzia lu 4 do badania ist-nienia orbit l acz acych punkty stacjonarne dla rownan hiperbolicznych w rezonansie. B edziemyzak ladac, ze spe lniony jest dodatkowo warunek (E5) (patrz strona 130).

Uwaga 5.5.9. Na podstawie za lozenia (E5) oraz Lematu 5.5.2 mamy, ze odwzorowanie Fjest rozniczkowalne w 0 oraz jego pochodna DF(0) ∈ L(E,E) jest odwzorowaniem postaci

DF(0)[u, v] = νu dla u ∈ Xα,

a zatem spe lnione jest za lozenie (F7) (patrz strona 69).

Zaczynamy od nast epuj acego kryterium dla rownan z warunkami Landesmana-Lazera.

Twierdzenie 5.5.10. Za lozmy, ze istniej a funkcje ci ag le f+, f− : Ω→ R takie, ze

f+(x) = lims→+∞

f(x, s) oraz f−(x) = lims→−∞

f(x, s)

dla x ∈ Ω. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje niezerowe pe lne zwarte rozwi azaniew : R→ E rownania (5.28) takie, ze

limt→−∞


w(t) = 0,



(i) spe lniony jest warunek (LL1) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (LL1) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (LL2) oraz λl−1 < λ+ ν < λl gdzie λ 6= λl, l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (LL2) oraz λ+ ν < λ1, gdzie λ 6= λ1.

Dowod. Na podstawie Uwagi 5.5.9 spe lnione jest za lozenie (F7). Oprocz tego, z Lematu5.3.3 wynika, ze warunek (LL1) implikuje warunek (G5) oraz warunek (LL2) implikuje wa-runek (G6). Dlatego dowod konczy zastosowanie Twierdzenia 4.2.2.

Przejdziemy teraz do sformu lowania kryterium dla rownan z silnym rezonansem.

Twierdzenie 5.5.11. Za lozmy, ze istnieje funkcja ci ag la f∞ : Ω→ R, gdzie Ω ⊂ Rn (n ≥ 3),taka, ze

f∞(x) = lim|s|→+∞

f(x, s) · s

dla x ∈ Ω. Jesli λ = λk dla pewnego k ≥ 1, to istnieje niezerowe pe lne zwarte rozwi azaniew : R→ E rownania (5.28) ze strony 131 takie, ze

limt→−∞


w(t) = 0,

w przypadku gdy spe lniony jest jeden z nast epuj acych warunkow:

(i) spe lniony jest warunek (SR1) oraz λl < λ+ ν < λl+1 gdzie λl 6= λ;

(ii) spe lniony jest warunek (SR1) oraz λ+ ν < λ1;

(iii) spe lniony jest warunek (SR2) oraz λl−1 < λ+ ν < λl gdzie λ 6= λl, l ≥ 2;

(iv) spe lniony jest warunek (SR2) oraz λ+ ν < λ1, gdzie λ 6= λ1.

Dowod. Na podstawie Uwagi 5.5.9 spe lnione jest za lozenie (F7). Ponadto z Lematu 5.3.5wynika, ze warunek (SR1) implikuje warunek (G5) oraz warunek (SR2) implikuje warunek(G6). Dlatego dowod konczy zastosowanie Twierdzenia 4.2.2.

Rozdzia l 6

Dodatek

W tym rozdziale zosta ly zebrane narz edzia, z ktorych korzystamy w naszych rozwazaniach. Za-

czynamy od omowienia miar niezwartosci oraz zbieznosci w przestrzeniach funkcyjnych. Nast epnie

podamy zarys teorii niezmiennikow homotopijnych. Zaczniemy od wersji Rybakowskiego indeksu Con-

ley’a, ktora jest szczego lowa przedstawiona w [42], [54], [28]. Nast epnie korzystaj ac z [47], [48], [56]

przejdziemy do teorii stopnia topologicznego dla pol kondensuj acych oraz, bazuj ac na [27], [41], przy-

pomnimy fakty dotycz ace stopnia Leray-Schaudera oraz stopnia Brouwera.

6.1 Zwartosc i zbieznosc w przestrzeniach metrycznych

6.1.1 Miary niezwartosci

Niech X b edzie przestrzeni a Banacha z zadan a norm a ‖ · ‖ oraz niech N b edzie jejdomkni et a podprzestrzeni a liniow a. Niech B(N) b edzie rodzin a podzbiorow przestrzeni Nograniczonych w normie ‖ · ‖. Miar a niezwartosci Hausdorffa nazywamy odwzorowanie βN :B(N)→ R dane wzorem

βN (Ω) := infr > 0 | Ω ⊂kr⋃i=1

B(xi, r), gdzie xi ∈ N dla i = 1, . . . , kr. (1.1)

Odwzorowanie βN spe lniaj ace nast epuj ace w lasnosci (patrz [20], [33], [27]):

(M1) βN (Ω) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Ω ⊂ B(N) jest relatywnie zwarty,

(M2) βN (conv Ω) = βN (Ω) dla dowolnego Ω ∈ B(N),

(M3) βN (Ω) = βN (Ω) dla dowolnego Ω ∈ B(N),

(M4) βN (Ω1 ∪ Ω2) = maxβN (Ω1), βN (Ω2) dla Ω1,Ω2 ∈ B(N),

(M5) jesli Ω1,Ω2 ∈ B(N) oraz Ω1 ⊂ Ω2, to βN (Ω1) ≤ βN (Ω2),

(M6) jesli Ω,Ω1,Ω2 ∈ B(N) oraz λ ∈ R, to

βN (λΩ) = |λ|βN (Ω),

βN (Ω1 + Ω2) ≤ βN (Ω1) + βN (Ω2).

137

138 Rozdzia l 6. Dodatek

Jesli X = N to przyjmujemy oznaczenie β := βN . Wowczas mamy nast epuj acy lemat.

Lemat 6.1.1. Niech X0 ⊂ X b edzie domkni et a przestrzeni a przestrzeni unormowanej Xdla ktorej istnieje odwzorowanie liniowe P : X → X takie, ze P (X) = X0, Px = x dlax ∈ X0 oraz ‖P‖ ≤ 1. Wtedy dla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ X0 zachodzi rownoscβX(Ω) = βX0(Ω).

Dowod. Zgodnie z definicj a miary niezwartosci β nierownosc βX0(Ω) ≥ βX(Ω) zachodzi dladowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ X0. Aby sprawdzic nierownosc przeciwn a, dla dowolnegoε > 0, rozwazmy pokrycie zbioru Ω skonczon a ilosci a kul B(x1, rε), B(x2, rε), . . . , B(xn, rε) opromieniu rε := β(Ω)+ε. Wtedy dla dowolnego x ∈ B(xi, rε) mamy ‖Px−Pxi‖ ≤ ‖x−xi‖ ≤rε a co oznacza, ze PB(xi, rε) ⊂ B(Pxi, rε). W konsekwencji, dla dowolnego Ω ⊂ X0,

Ω = PΩ ⊂ Pk⋃i=1

B(xi, rε) =

k⋃i=1

PB(xi, rε) ⊂k⋃i=1

B(Pxi, rε).

Wobec tego kule B(Px1, rε), B(Px2, rε), . . . , B(Pxn, rε) tworz a pokrycie zbioru Ω w prze-strzeni X0, co wobec dowolnosci ε > 0 oznacza, ze βX0(Ω) ≤ βX(Ω) i tym samym konczydowod.

Stwierdzenie 6.1.2. (patrz [20], [33]) Niech E b edzie osrodkow a przestrzeni a Banacha orazniech B ⊂ L1([a, b], E) b edzie przeliczalnym, ca lkowo ograniczonym zbiorem (czyli istniejeodwzorowanie c ∈ L1([a, b]) takie, ze ‖w(t)‖ ≤ c(t) dla wszystkich w ∈ B oraz p.w. t ∈ [a, b])oraz nich φ : [a, b] → R b edzie dane jako φ(t) := β(u(t)|u ∈ B) dla t ∈ [a, b]. Wtedyφ ∈ L1([a, b]) oraz

β

(∫ b

au(τ) dτ |u ∈ B

)≤∫ b

aφ(τ) dτ.

6.1.2 Zbieznosc w przestrzeniach funkcyjnych

Niech (X1, d1), (X2, d2) b ed a danymi przestrzeniami metrycznymi oraz niech dana b edzieprzestrzen C(X1, X2) funkcji ci ag lych f : X1 → X2. Powiemy, ze F ⊂ C(X1, X2) jest zbioremfunkcji rownoci ag lych, jesli dla dowolnego ε > 0 oraz x ∈ X1 istnieje δ > 0 takie, ze dlakazdego y ∈ X1 takiego, ze d1(x, y) ≤ δ oraz dla kazdej funkcji f ∈ F mamy, ze

d2(f(x), f(y)) ≤ ε.

Nast epuj ace twierdzenie Ascoliego–Arzeli opisuje zwartosc w przestrzeniach funkcji ci ag lych.

Twierdzenie 6.1.3. (patrz [43]) Niech X1, X2 b ed a przestrzeniami metrycznymi takimi, zeX1 jest zwarta. Wowczas zbor F ⊂ C(X1, X2) jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy

(a) F jest zbiorem rownoci ag lym,

(b) dla dowolnego x ∈ X1 zbior u(x) | u ∈ F jest relatywnie zwarty w przestrzeni X2.

Przypomnimy teraz klasyczne twierdzenia o zbieznosci funkcji mierzalnych.

Lemat 6.1.4. (Lemat Fatou) Za lozmy, ze Ω ⊂ Rn jest podzbiorem otwartym i ograniczonym.

6.2. Indeks Conley’a na przestrzeniach metrycznych 139

(a) Jesli fn : Ω → (−∞,+∞] gdzie n ≥ 1, jest ci agiem funkcji mierzalnych, dla ktoregoistnieje funkcja h ∈ L1(Ω) taka, ze fn(x) ≥ h(x) dla p.w. x ∈ Ω, to

lim infn→+∞

∫Ωfn(x) dx ≥

∫Ω

lim infn→+∞

fn(x) dx.

(b) Jesli fn : Ω → [−∞,+∞) gdzie n ≥ 1, jest ci agiem funkcji mierzalnych, dla ktoregoistnieje funkcja h ∈ L1(Ω) taka, ze h(x) ≥ fn(x) dla p.w. x ∈ Ω, to

lim supn→+∞

∫Ωfn(x) dx ≤

∫Ω

lim supn→+∞

fn(x) dx.

Twierdzenie 6.1.5. (Twierdzenie o zbieznosci zmajoryzowanej) Za lozmy, ze Ω ⊂ Rn jestpodzbiorem otwartym i ograniczonym oraz fn : Ω → R gdzie n ≥ 1, jest ci agiem funkcjimierzalnych zbieznym prawie wsz edzie do funkcji f : Ω→ R. Jesli istnieje funkcja h ∈ L1(Ω)taka, ze |fn(x)| ≤ h(x) dla p.w. x ∈ Ω, to

limn→+∞

∫Ωfn(x) dx =

∫Ωf(x) dx.

Twierdzenie 6.1.6. Niech 1 ≤ p < +∞ oraz niech (un) ∈ Lp(Ω) b edzie ci agiem takim, ze∫Ω|un(x)− u0(x)|p dx→ 0 przy n→ +∞,

gdzie u0 ∈ Lp(Ω) jest pewn a funkcj a. Wowczas istnieje podci ag (unk) ci agu (un) taki, ze

unk(x)→ u0(x) przy n→ +∞,

dla prawie wszystkich x ∈ Ω.

Na zakonczenie podajemy twierdzenie, ktore mowi o zanurzeniach przestrzeni u lamkowychw przestrzenie Soboleva.

Twierdzenie 6.1.7. (patrz [50], [10]) Niech Ω ⊂ Rn b edzie zbiorem ograniczonym z g ladkimbrzegiem ∂Ω oraz niech A : X ⊃ D(A) → X b edzie operatorem wycinkowym na przestrzeniX = Lp(Ω) (1 ≤ p < +∞) takim, ze mamy ci ag le w lozenie D(A) ⊂ Wm,p(Ω) dla pewnegok ≥ 1. Jesli 0 ≤ α ≤ 1 to

Xα ⊂W k,p(Ω) dla k < mα,

Xα ⊂ Cν(Ω) dla 0 ≤ ν < mα− n

p

oraz powyzsze w lozenia s a ci ag le.

6.2 Indeks Conley’a na przestrzeniach metrycznych

6.2.1 Po lpotoki na przestrzeniach metrycznych

Niech X b edzie przestrzeni a metryczn a. Po lpotokiem na X nazywamy ci ag le odwzorowa-nie ϕ : [0,+∞)×X → X spe lniaj ace nast epuj ace w lasnosci:

(i) ϕ(0, x) = x dla x ∈ X,


(ii) ϕ(t+ s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x)) dla t, s ≥ 0, x ∈ X.

Za lozmy, ze mamy dan a rodzin e po lpotokow ϕs : [0,+∞)×X → X, gdzie s ∈ [0, 1]. Powiemyze rodzina ϕss∈[0,1] jest ci ag la, jesli dla dowolnych ci agow (sn) w [0, 1], (xn) w X oraz (tn)w [0,+∞) takich, ze sn → s0, xn → x0 oraz tn → t0 gdy n→ +∞ mamy, ze

ϕsn(tn, xn)→ ϕs0(t0, x0) gdy n→ +∞.

Odwzorowanie σ : [−δ1, δ2) → X, gdzie δ2 > 0 oraz δ1 ≥ 0, b edziemy nazywac rozwi aza-niem lub krzyw a ca lkow a dla po lpotoku ϕ, jesli

ϕ(t, σ(s)) = σ(t+ s) dla t ≥ 0 oraz s ∈ [−δ1, δ2), t+ s ∈ [−δ1, δ2).

Jesli rozwi azanie σ jest zdefiniowane na ca lym zbiorze liczb rzeczywistych, to nazywamy jepe lnym rozwi azaniem dla ϕ. Dla pe lnego rozwi azania σ : R → X po lpotoku ϕ, definiujemynast epuj ace zbiory

α(σ) := x ∈ X | σ(tn)→ x gdy n→ +∞ dla pewnego ci agu (tn), tn → −∞;ω(σ) := x ∈ X | σ(tn)→ x gdy n→ +∞ dla pewnego ci agu (tn), tn → +∞.

Zbior α(σ) b edziemy nazywac α-granicznym, zas zbior ω(σ) b edziemy okreslac jako ω-graniczny.

Powiemy, ze punkt x ∈ X jest punktem stacjonarnym po lpotoku ϕ, jesli

ϕ(t, x) = x dla t ≥ 0.

Niech K ⊂ X b edzie pewnym podzbiorem. Powiemy, ze K jest zbiorem niezmienniczymwzgl edem po lpotoku ϕ, jesli dla dowolnego x ∈ K istnieje pe lne rozwi azanie σ po lpotoku ϕtakie, ze σ(0) = x oraz σ(R) ⊂ K. Dla danego zbioru domkni etego N ⊂ X definiujemy jegomaksymalny zbior niezmienniczy wzgl edem ϕ jako

Inv (N) := Inv (N,ϕ) := x ∈ N | istnieje pe lne rozwi azanie σ : R→ X dla po lpotoku ϕ

takie, ze σ(0) = x oraz σ(R) ⊂ N.

Niech N , Y b ed a zbiorami przestrzeni X takimi, ze Y ⊂ N . Powiemy, ze Y jest dodatnioniezmienniczy w N , jesli dla dowolnego y ∈ Y oraz t ≥ 0, inkluzja ϕ([0, t] × x) ⊂ Nimplikuje, ze ϕ([0, t]× x) ⊂ Y .

Domkni ety zbior niezmienniczy K ⊂ X nazywamy zbiorem izolowanym, jesli istnieje zbiordomkni ety N ⊂ X taki, ze

K = Inv (N) ⊂ intN.

W tym przypadku zbior N nazywamy otoczeniem izoluj acym dla zbioru niezmienniczego K.Niech N ⊂ X b edzie pewnym podzbiorem oraz niech ϕ : [0,+∞) × X → X b edzie

po lpotokiem naX. Powiemy, zeN jest dopuszczalny wzgl edem po lpotoku ϕ, jesli dla dowolnychci agow (xn) w X, (tn) w [0,+∞) takich, ze tn → +∞ gdy n→∞, inkluzja

ϕ([0, tn]× xn) ⊂ N dla n ≥ 1,

implikuje, ze zbior punktow koncowych ϕ(tn, xn) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w X.Niech ϕn : [0,+∞)×X → Xn≥1 b edzie ci agiem po lpotokow na przestrzeni metrycznej

X. Domkni ety podzbior N ⊂ X jest dopuszczalny wzgl edem rodziny po lpotokow ϕnn≥1,jesli dla dowolnych ci agow (xn) w X oraz (tn) w [0,+∞) takich, ze tn → +∞ gdy n → ∞,inkluzja

ϕn([0, tn]× xn) ⊂ N dla n ≥ 1,


implikuje, ze zbior punktow koncowych ϕn(tn, xn) | n ≥ 1 jest relatywnie zwarty w X.W dalszej cz esci pracy przez S(X) = S(X,ϕ) b edziemy oznaczac klas e zbiorow niezmien-

niczych w przestrzeni X wzgl edem po lpotoku ϕ, dla ktorych istnieje dopuszczalne otoczenieizoluj ace wzgl edem tego po lpotoku.

Stwierdzenie 6.2.1. (patrz [54]) Niech N b edzie zbiorem dopuszczalnym wzgl edem po lpotokuϕ. Wowczas Inv (N,ϕ) jest zbiorem zwartym.

6.2.2 Pary indeksowe i bloki izolujace

Za lozmy, ze ϕ : [0,+∞)×X → X jest po lpotokiem na X oraz niech K b edzie domkni e-tym zbiorem niezmienniczym posiadaj acym dopuszczalne otoczenie izoluj ace N wzgl edempo lpotoku ϕ. Par a indeksow a w N nazywamy uporz adkowan a par e (N1, N2) domkni etychpodzbiorow N spe lniaj ac a nast epuj ace w lasnosci:

(a) K ⊂ int (N1 \N2);

(b) N1, N2 s a podzbiorami dodatnio niezmienniczymi w N ;

(c) jesli x ∈ N1 oraz ϕ([0,∞)×x) 6⊂ N , to istnieje t0 ≥ 0 takie, ze ϕ([0, t0]×x) ⊂ Noraz ϕ(t0, x) ∈ N2.

Szczegolnym przyk ladem pary indeksowej jest blok izoluj acy. Aby przyblizyc to poj ecieza lozmy, ze B ⊂ X jest zbiorem domkni etym oraz niech x ∈ ∂B b edzie punktem nalez acymdo jego brzegu. Powiemy, ze x jest punktem scis lego wyjscia (odpowiednio scis lego wejscia,odpowiednio odbicia), jesli dowolne rozwi azanie σ : [−δ1, δ2) → X, gdzie δ1 ≥ 0 and δ2 > 0,po lpotoku ϕ takie, ze σ(0) = x spe lnia nast epuj ace w lasnosci:

(a) istnieje ε2 ∈ (0, δ2] takie, ze σ(t) /∈ B (odpowiednio σ(t) ∈ intB, odpowiednio σ(t) /∈B) dla t ∈ (0, ε2];

(b) jesli δ1 > 0 to istnieje ε1 ∈ (0, δ1) takie, ze σ(t) ∈ intB (odpowiednio σ(t) /∈ B,odpowiednio σ(t) /∈ B) dla t ∈ [−ε1, 0).

Przez Be, Bi oraz Bb oznaczamy odpowiednio zbiory punktow scis lego wyjscia, scis lego wej-scia oraz odbicia dla zbioru B. Ponadto niech B− := Be ∪Bb.

Definicja 6.2.2. Domkni ety zbior B ⊂ X nazywamy blokiem izoluj acym, jesli ∂B = Be ∪Bi ∪Be oraz B− jest zbiorem domkni etym.

Nie trudno sprawdzic, ze uporz adkowana para (B,B−) jest para indeksow a w zbiorze B.

Stwierdzenie 6.2.3. (patrz [54]) Jesli K ∈ S(X) jest zbiorem niepustym, to istnieje blokizoluj acy B taki, ze K = InvB.

6.2.3 Typy homotopii i przestrzenie ilorazowe

Par a przestrzeni topologicznych (X,Y ) b edziemy nazywac przestrzenie topologiczne Y ⊂X takie, ze topologia na Y jest topologi a indukowan a z X. Jesli Y = x0 jest przestrzeni ajednopunktow a, to par e przestrzeni (X,x0) nazywamy przestrzeni a punktowan a.

Jesli (X1, Y1), (X2, Y2) s a parami przestrzeni topologicznych, to przez odwzorowanie parprzestrzeni topologicznych rozumiemy przekszta lcenie f : (X1, Y1) → (X2, Y2) takie, ze od-wzorowanie f : X1 → X2 jest ci ag le i spe lnia inkluzje f(Y1) ⊂ Y2.

Niech f, g : (X,x0)→ (Y, y0) b ed a odwzorowaniami ci ag lymi mi edzy punktowanymi prze-strzeniami topologicznymi. Homotopi a przekszta lcen f i g, nazywamy ci ag le odwzorowanieH : [0, 1] × X → Y takie, ze H(0, x) = f(x) oraz H(1, x) = g(x) dla x ∈ X i ponadto


H(t, x0) = y0 dla t ∈ [0, 1]. Wowczas mowimy, ze odwzorowania f i g s a homotopijne, cooznaczamy jako f ∼ g.

Przestrzenie punktowane (X,x0) oraz (Y, y0) s a homotopijnie rownowazne lub maj a tensam typ homotopii, jezeli istniej a przekszta lcenia ci ag le f : (X,x0)→ (Y, y0) oraz g : (Y, y0)→(X,x0) o tej w lasnosci, ze f g ∼ id(Y,y0) oraz g f ∼ id(X,x0).

Przyk lad 6.2.4. Wsrod typow homotopii wyrozniamy:

(a) zerowy typ homotopii rozumiany jako typ homotopii przestrzeni jednopunktowej zwyroznionym punktem (x0, x0), ktory oznaczamy jako 0 := [(x0, x0)],

(b) typ homotopii n-wymiarowej sfery Sn := x ∈ Rn+1 | x21 + x2

2 + . . . + x2n+1 = 1 z

wyroznionym punktem s0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1, gdzie n ≥ 0, ktory oznaczamy jakoΣn := [(Sn, s0)].

Za lozmy, ze (A,B), gdzie B ⊂ A, B 6= ∅, jest par a przestrzeni topologicznych. Niechrel ⊂ A × A b edzie relacj a zadan a w nast epuj acy sposob: x rel y wtedy i tylko wtedy, gdyx = y lub x, y ∈ B. Oznaczmy przez [x]A/B := [x]rel klas e abstrakcji tej relacji odpowiada-j ac a elementowi x ∈ A oraz [B] niech oznacza klas e abstrakcji odpowiadaj ac a dowolnemuelementowi b ∈ B. Wtedy przez przestrzen ilorazow a rozumiemy zbior

A/B := [x]A/B | x ∈ A

wraz z topologi a ilorazow a zadan a przez odwzorowanie ilorazowe q : A→ A/B dane jako

q(x) := [x]A/B dla x ∈ A.

Niech (X,x0), (Y, y0) b ed a przestrzeniami topologicznymi z wyroznionymi punktami.Przez sum e wagow a (X,x0) ∨ (Y, y0), rozumiemy przestrzen topologiczn a z wyroznionympunktem (Z, z0) dan a jako Z := X × y0 ∪ x0 × Y oraz z0 := (x0, y0). Ponadto iloczynemwagowym (X,x0) ∧ (Y, y0) b edziemy nazywac przestrzen punktowan a (Z, z0) tak a, ze

Z := X × Y/X × y0 ∪ x0 × Y oraz z0 := [X × y0 ∪ x0 × Y ].

Wiadomo, ze operacje sumy i produktu wagowego przenosz a si e naturalnie na typy homotopiiprzestrzeni z wyroznionym punktem (patrz [60], [29]). Mianowicie, jesli [(X,x0)] oraz [(Y, y0)]s a typami homotopii przestrzeni punktowanych, to poprawnie zdefiniowane s a operacje ilo-czynu wagowego, danego jako

[(X,x0)] ∧ [(Y, y0)] := [(X,x0) ∧ (Y, y0)]

oraz sumy wagowej, danej wzorem

[(X,x0)] ∨ [(Y, y0)] := [(X,x0) ∨ (Y, y0)].

Nast epuj ace stwierdzenie mowi dobrze znanych w lasnosciach produktu wagowego.

Stwierdzenie 6.2.5. (patrz [29]) Spe lniona jest nast epuj aca rownosc:

Σn ∧ Σm = Σn+m dla n,m ≥ 0.

Na zakonczenie podajemy nast epuj acy techniczny lemat.


Lemat 6.2.6. Dla dowolnych liczb ca lkowitym m,n ≥ 0 niech (A,B) b edzie par a przestrzenimetrycznych dan a jako

A := [0, 1]n × [0, 1]m, B := [0, 1]n × ∂[0, 1]m.

Wtedy [(A/B, [B])] = Σm.

Dowod. Rozwazmy zbiory C := [0, 1]m, D := ∂[0, 1]m oraz ci ag le odwzorowania f1 :(A/B, [B])→ (C/D, [D]), f2 : (C/D, [D])→ (A/B, [B]) dane wzorami

f1([(x, y)]) = [y] dla [(x, y)] ∈ A/B,f2([y]) = [(0, y)] dla [y] ∈ C/D.

Wowczas f1 f2 = idC/D oraz f2 f1([(x, y)]) = [(0, y)] dla [(x, y)] ∈ A/B. Poniewaz H(t×B) ⊂ B dla t ∈ [0, 1], nietrudno sprawdzic, ze odwzorowanie H : [0, 1] × (A/B, [B]) →(A/B, [B]) dane wzorem

H(t, [(x, y)]) := [(tx, y)] dla t ∈ [0, 1], [(x, y)] ∈ A/B

jest ci ag le i wyznacza homotopi a l acz ac a f2 f1 z identycznosci a na przestrzeni A/B. St admamy rownosc typow homotopii [(A/B, [B])] = [(C/D, [D])], czyli [(A/B, [B])] = Σm.

6.2.4 Wersja Rybakowskiego indeksu Conley’a

Niech ϕ : [0,+∞)×X → X b edzie po lpotokiem na przestrzeni metrycznej X oraz niechK ∈ S(X) b edzie domkni etym zbiorem niezmienniczym posiadaj acym dopuszczalne otoczenieizoluj ace N wzgl edem po lpotoku ϕ. Wowczas indeksem homotopijnym zbioru K jest typhomotopii przestrzeni punktowanej h(ϕ,K) dany jako

h(ϕ,K) :=

[N1/N2, [N2]] jesli N2 6= ∅;[N1∪c, c] jesli N2 = ∅

gdzie w powyzszym N1∪c jest sum a roz l aczn a N1 oraz przestrzeni jednopunktowej c. Wszczegolnosci, jesli K := ∅ wtedy K ∈ S(X) oraz, k lad ac N = N1 = N2 = ∅, otrzymujemy,ze (N1, N2), jest par a indeksow a dla K. St ad h(ϕ, ∅) = [c, c] = 0. Wiadomo, ze indeks ho-motopijny jest niezalezny od wyboru pary indeksowej dla zbioru K oraz spe lnia nast epuj acew lasnosci.

(H1) (Istnienie) Jesli K ∈ S(X) oraz h(ϕ,K) 6= 0, wtedy K 6= ∅.(H2) (Addytywnosc) Jesli K1,K2 ∈ S(ϕ,X) s a takie, ze K1∩K2 = ∅, to K1∪K2 ∈ S(ϕ,X)

orazh(ϕ,K1 ∪K2) = h(ϕ,K1) ∨ h(ϕ,K2).

(H3) (Multiplikatywnosc) Niech ϕi : [0,+∞) × Xi → Xi, i = 1, 2, b ed a po lpotokamiokreslonymi na przestrzeniach metrycznych X1 oraz X2. Jesli K1 ∈ S(ϕ1, X1) orazK2 ∈ S(ϕ2, X2), to K1 ×K2 ∈ S(ϕ1 × ϕ2, X1 ×X2) oraz

h(ϕ1 × ϕ2,K1 ×K2) = h(ϕ1,K1) ∧ h(ϕ2,K2).


(H4) (Homotopijna niezmienniczosc) Niech ϕs : [0,+∞) × X → Xs∈[0,1] b edzie ci ag l arodzin a po lpotokow oraz niech N ⊂ X b edzie zbiorem dopuszczalnym ze wzgl edu narodzin e ϕsnn≥1, gdzie (sn) jest dowolnym ci agiem w [0, 1]. Jesli dla dowolnego s ∈[0, 1] zbior N jest otoczeniem izoluj acym zbioru Ks := Inv (ϕs, N), to Ks ∈ S(ϕs, X)dla s ∈ [0, 1] oraz

h(ϕ0, Inv (ϕ0, N)) = h(ϕ1, Inv (ϕ1, N)).

Nast epuj ace stwierdzenie s luzy do wyznaczania indeksu homotopijnego w przypadku, gdypo lpotok jest C0 po lgrup a operatorow ograniczonych.

Twierdzenie 6.2.7. (patrz [54, Theorem 11.1]) Niech X b edzie przestrzeni a Banacha orazniech S(t) : X → Xt≥0 b edzie C0 po lgrup a ograniczonych operatorow liniowych na X. Niechdany b edzie rozk lad przestrzeni X na sum e prost a X = X1 ⊕ X2 taki, ze S(t)Xi ⊂ Xi dlat ≥ 0 oraz i = 1, 2, gdzie X1 jest przestrzeni a skonczenie wymiarow a. Za lozmy, ze po lgrupaS(t)t≥0 jednoznacznie przed luza si e do C0 grupy na przestrzeni X1 tak, ze istniej a sta leM,β > 0 dla ktorych spe lnione s a nast epuj ace nierownosci:

‖S(t)x‖ ≤Me−βt‖x‖ dla x ∈ X2, t ≥ 0,

‖S(t)x‖ ≤Meβt‖x‖ dla x ∈ X1, t ≤ 0.

Wtedy K := 0 jest maksymalnym ograniczonym zbiorem niezmienniczym dla po lgrupyS(t)t≥0, indeks homotopijny h(S,K) jest dobrze zdefiniowany oraz h(S,K) = Σk gdziek = dimX1.

Niech teraz ϕi : [0,+∞) × Xi → Xi dla i = 1, 2, b ed a po lpotokami okreslonymi naprzestrzeniach metrycznych X1 oraz X2. Powiemy, ze po lpotoki ϕ1 oraz ϕ2 s a topologiczniesprz ezone, jesli istnieje homeomorfizm U : X1 → X2 taki, ze

U(ϕ1(t, x)) = ϕ2(t, U(x)) dla (t, x) ∈ [0,+∞)×X1.

Nietrudno sprawdzic, ze prawdziwe jest nast epuj ace stwierdzenie.

Stwierdzenie 6.2.8. Za lozmy, ze po lpotoki ϕi : [0,+∞)×Xi → Xi dla i = 1, 2, okreslone naprzestrzeniach metrycznych X1 oraz X2 s a topologicznie sprz ezone. Wowczas K1 ∈ S(ϕ1, X1)wtedy i tylko wtedy, gdy K2 := U(K1) ∈ S(ϕ2, X2) oraz

h(ϕ1,K1) = h(ϕ2,K2).

6.2.5 Nieredukowalne zbiory niezmiennicze

Przejdzmy teraz do podania pewnych metod dotycz acych indeksu homotopijnego, ktoreb ed a pomocne przy badaniu istnienia orbit l acz acych punkty stacjonarne. Ponownie zak la-damy, ze ϕ : [0,+∞)×X → X jest po lpotokiem na przestrzeni metrycznej X.

Definicja 6.2.9. Powiemy, ze zbior izolowany niezmienniczy K ∈ S(ϕ,X) jest redukowalny,jesli istniej a roz l aczne zwarte zbiory niezmiennicze K1 oraz K2 takie, ze K = K1 ∪ K2,h(ϕ,K1) 6= 0 oraz h(ϕ,K2) 6= 0. Zbior K ∈ S(ϕ,X) b edziemy nazywac nieredukowalnym,jesli nie jest redukowalny.

Ponizszy lemat przedstawia przyk lady zbiorow nieredukowalnych.

6.3. Stopien topologiczny 145

Lemat 6.2.10. (patrz [54, Twierdzenie 1.11.6]) Zbior K ∈ S(ϕ,X) jest nieredukowalny wkazdym z ponizszych przypadkow:

(a) K jest spojny;

(b) h(ϕ,K) = 0;

(c) h(ϕ,K) = Σk dla k ≥ 0.

Nast epuj ace stwierdzenia s a narz edziem wykorzystuj acym indeks homotopijny do badaniaistnienie orbit l acz acych punkty stacjonarne lub zbiory niezmiennicze.

Twierdzenie 6.2.11. (patrz [54, Theorem 11.5]) Niech K ∈ S(X) b edzie zbiorem nie-redukowalnym. Za lozmy, ze K0 ⊂ K jest zbiorem izolowanym niezmienniczym takim, zeh(ϕ,K0) 6= 0 oraz h(ϕ,K0) 6= h(ϕ,K). Wtedy istnieje pe lne rozwi azanie σ : R → K dlapo lpotoku ϕ takie, ze σ(R) 6⊂ K0 i ponadto ma miejsce jedna (lub obydwie naraz) z nast epu-j acych inkluzji α(σ) ⊂ K0 lub ω(σ) ⊂ K0.

Twierdzenie 6.2.12. ([54, Theorem 11.8]) Za lozmy, ze niepusty zbior K ∈ S(X) jest taki,ze h(ϕ,K) jest rowny typowi homotopijnemu spojnej przestrzeni z wyroznionym punktem(Y, y0). Wtedy dla dowolnego otoczenia izoluj acego N zbioru K istnieje pe lne rozwi azanieσ : R→ X po lpotoku ϕ takie, ze σ((−∞, 0]) ⊂ N oraz σ(R) 6⊂ N .

6.3 Stopien topologiczny

6.3.1 Stopien Leray-Schaudera i stopien Brouwera

Przechodzimy teraz do przypomnienia w lasnosci stopnia Leray-Schaudera oraz Brouwera,ktore mozna znalezc w [27], [41] oraz [9].

Niech X b edzie przestrzeni a skonczenie wymiarow a oraz niech U ⊂ X b edzie zbioremotwartym i ograniczonym. Jesli f : U → X jest odwzorowaniem ci ag lym takim, ze f(x) 6= 0dla x ∈ ∂U , to stopniem Brouwera odwzorowania F nazywamy liczb e ca lkowit a degB(f, U)tak a, ze spe lnione s a nast epuj ace w lasnosci.

(B1) (Istnienie) Jesli degB(f, U) 6= 0 to istnieje x ∈ U takie, ze f(x) = 0.

(B2) (Addytywnosc) Jesli odwzorowanie f : U → X jest takie, ze f(x) 6= 0 dla x ∈ ∂U ,zas U1, U2 ⊂ U s a zbiorami roz l acznymi i otwartymi takimi, ze x ∈ U | f(x) = 0 ⊂U1 ∪ U2, to

degB(f, U) = degB(f|U1, U1) + degB(f|U2

, U2).

(B3) (Homotopijna niezmienniczosc) Jesli odwzorowanie ci ag le h : [0, 1] × U → X jesthomotopi a tak a, ze h(λ, x) 6= 0 dla (λ, x) ∈ [0, 1]× ∂U , to

degB(h(0, · ), U) = degB(h(1, · ), U).

(B4) (Normalizacja) Jesli 0 ∈ U to degB(I, U) = 1.

(B5) (Multiplikatywnosc) Niech U ⊂ X oraz V ⊂ Y b ed a zbiorami otwartymi i ograni-czonymi odpowiednio w przestrzeniach skonczenie wymiarowych X oraz Y i ponadtoniech f : U → X oraz g : V → Y b ed a odwzorowaniami ci ag lymi takimi, ze f(x) 6= 0dla x ∈ ∂U oraz g(y) 6= 0 dla y ∈ ∂V . Wtedy (f(x), g(y)) 6= 0 dla (x, y) ∈ ∂(U × V )oraz

degB(f × g, U × V ) = degB(f, U) · degB(g, V ).


Niech teraz X b edzie przestrzeni a Banacha oraz niech U ⊂ X b edzie zbiorem otwartym iograniczonym. Powiemy ze odwzorowanie I − F : U → X jest polem pe lnoci ag lym, jesli zbiorF (Ω) jest relatywnie zwarty dla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ U . Odwzorowanie ci ag leH : [0, 1]×U → X nazywamy homotopi a pe lnoci ag l a, jesli zbior H([0, 1]×Ω) jest relatywniezwarty dla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ U .

Powiemy ze odwzorowanie I − F : U → X jest dopuszczalnym polem pe lnoci ag lym, jeslijest polem pe lnoci ag lym oraz F (x) 6= x dla x ∈ ∂U .

Stopniem topologicznym Leray-Schaudera nazywamy przekszta lcenie, ktore kazdemu do-puszczalnemu polu pe lnoci ag lemu I−F : U → X przyporz adkowuje liczb e ca lkowit a degLS(I−F,U) posiadaj ac a nast epuj ace w lasnosci.

(D1) (Istnienie) Jesli degLS(I − F,U) 6= 0 to istnieje x ∈ U takie, ze F (x) = x.

(D2) (Addytywnosc) Jesli I−F : U → X jest odwzorowaniem dopuszczalnym oraz U1, U2 ⊂U s a zbiorami roz l acznymi i otwartymi takimi, ze x ∈ U | F (x) = x ⊂ U1 ∪ U2, to

degLS(I − F,U) = degLS(I − F|U1, U1) + degLS(I − F|U2

, U2).

(D3) (Homotopijna niezmienniczosc) Jesli odwzorowanie H : [0, 1]×U → X jest homotopi ape lnoci ag l a tak a, ze H(λ, x) 6= x dla (λ, x) ∈ [0, 1]× ∂U , to

degLS(I −H(0, · ), U) = degLS(I −H(1, · ), U).

(D4) (Normalizacja) Jesli x0 ∈ U to degLS(I − x0, U) = 1.

(D5) (Multiplikatywnosc) Niech U ⊂ X oraz V ⊂ Y b ed a zbiorami otwartymi i ograniczo-nymi odpowiednio w przestrzeniach Banacha X oraz Y i ponadto niech F : U → Xoraz G : V → Y b ed a odwzorowaniami ci ag lymi takimi, ze F (x) 6= x dla x ∈ ∂U orazG(y) 6= y dla y ∈ ∂V . Wtedy (F (x), G(y)) 6= (x, y) dla (x, y) ∈ ∂(U × V ) oraz

degLS(I − (F,G), U × V ) = degLS(I − F,U) · degLS(I −G,V ).

Niech U oraz V b ed a otwartymi i ograniczonymi zbiorami odpowiednio w przestrzeniachBanacha X oraz Y . Powiemy, ze odwzorowania F : U → X oraz G : V → Y s a topologiczniesprz ezone, jesli istnieje liniowy homeomorfizm Q : X → Y takie, ze V = Q(U) oraz G(Qx) =Q(F (x)) dla x ∈ U .

Lemat 6.3.1. Niech U ⊂ X oraz V ⊂ Y b ed a zbiorami otwartymi i ograniczonymi odpowied-nio w przestrzeniach Banacha X oraz Y i ponadto niech F : U → X oraz G : V → Y b ed aodwzorowaniami pe lnoci ag lymi topologicznie sprz ezonymi. Wowczas F (x) 6= x dla x ∈ ∂Uwtedy i tylko wtedy, gdy G(y) 6= y dla y ∈ ∂V oraz

degX(I − F,U) = degY (I −G,Q(U))

gdzie degX oraz degY s a stopniami Leray-Schaudera odpowiednio w przestrzeniach X oraz Y .

Twierdzenie 6.3.2. (patrz [9, Theorem 13.8],[27]) Niech T : E → E b edzie zwartym ope-ratorem liniowym, okreslonym na rzeczywistej przestrzeni Banacha E takim, ze 0 ∈ %(T ).Wtedy dla dowolnego zbioru ograniczonego U ⊂ E takiego, ze 0 ∈ U

deg(I − T,U) = (−1)µ,

gdzie µ jest liczb a rzeczywistych wartosci w lasnych operatora T : E → E wi ekszych od 1(wliczaj ac rowniez ich krotnosci algebraiczne).

6.3. Stopien topologiczny 147

6.3.2 Stopien dla pol kondensujacych

Przechodzimy do omowienia stopnia topologicznego dla pol kondensuj acych, ktorego kon-strukcja zosta la przedstawiona mi edzy innymi w [47], [48], [56].

Niech U ⊂ X b edzie otwartym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha X orazniech F : U →M b edzie odwzorowaniem ci ag lym. Za lozmy, ze k ∈ [0, 1) jest sta l a. Powiemy,ze odwzorowanie F jest odwzorowaniem k-kondensuj acym, jesli

β(F (Ω)) ≤ kβ(Ω) (3.2)

dla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ U , gdzie β jest miar a niezwartosci Hausdorffa Od-wzorowanie ci ag le H : [0, 1]× U → X nazywamy homotopi a k-kondensuj ac a, jesli

β(H([0, 1]× Ω)) ≤ kβ(Ω) (3.3)

dla dowolnego ograniczonego zbioru Ω ⊂ U . Odwzorowanie I−F : U → X nazywamy dopusz-czalnym polem kondensuj acym, jesli istnieje sta la k ∈ [0, 1) taka, ze odwzorowanie F : U → Xjest k-kondensuj ace oraz F (x) 6= x dla x ∈ ∂U .

Stopniem topologicznym dla pol kondensuj acych nazywamy przekszta lcenie, ktore kaz-demu dopuszczalnemu polu kondensuj acemu I − F : U → X przyporz adkowuje liczb e ca lko-wit a degC(I − F,U) posiadaj ac a nast epuj ace w lasnosci:

(C1) (Istnienie) Jesli degC(I − F,U) 6= 0 to istnieje x ∈ U takie, ze F (x) = x.

(C2) (Addytywnosc) Jesli I−F : U → X jest odwzorowaniem dopuszczalnym oraz U1, U2 ⊂U s a zbiorami roz l acznymi i otwartymi takimi, ze x ∈ U | F (x) = x ⊂ U1 ∪ U2, to

degC(I − F,U) = degC(I − F|U1, U1) + degC(I − F|U2

, U2).

(C3) (Homotopijna niezmienniczosc) Jesli odwzorowanie H : [0, 1]×U → X jest homotopi ak-kondensuj ac a tak a, ze H(λ, x) 6= x dla (λ, x) ∈ [0, 1]× ∂U , to

degC(I −H(0, · ), U) = degC(I −H(1, · ), U).

(C4) (Normalizacja) Jesli x0 ∈ U to degC(I − x0, U) = 1.

Literatura

[1] Robert A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jo-vanovich, Publishers], New York-London, 1975, Pure and Applied Mathematics, Vol. 65.[cytowane na str. -]

[2] Shair Ahmad, A nonstandard resonance problem for ordinary differential equations,Trans. Amer. Math. Soc. 323 (1991), no. 2, 857–875. [cytowane na str. 4]

[3] Herbert Amann, Linear and quasilinear parabolic problems. Vol. I, Monographs in Ma-thematics, vol. 89, Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 1995. [cytowane na str. 11]

[4] Antonio Ambrosetti oraz Giovanni Mancini, Theorems of existence and multiplicity fornonlinear elliptic problems with noninvertible linear part, Ann. Scuola Norm. Sup. PisaCl. Sci. (4) 5 (1978), no. 1, 15–28. [cytowane na str. 4]

[5] A. Anane, O. Chakrone, Z. El Allali, and I. Hadi, A unique continuation property forlinear elliptic systems and nonresonance problems, Electron. J. Differential Equations(2001), No. 46, 20 pp. [cytowane na str. 121]

[6] P. Bartolo, V. Benci, oraz D. Fortunato, Abstract critical point theorems and applicationsto some nonlinear problems with “strong” resonance at infinity, Nonlinear Anal. 7 (1983),no. 9, 981–1012. [cytowane na str. 126]

[7] Piotr Biler (ed.), Warsztaty z Rownan Rozniczkowych Cz‘astkowych, Lecture Notes in

Nonlinear Analysis, vol. 4, Juliusz Schauder Center for Nonlinear Studies, Torun, 2003,Papers from the workshop held at Nicolas Copernicus University of Torun, Torun, No-vember 12–22, 2002. [cytowane na str. 11]

[8] H. Brezis oraz L. Nirenberg, Characterizations of the ranges of some nonlinear operatorsand applications to boundary value problems, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4)5 (1978), no. 2, 225–326. [cytowane na str. 4]

[9] Robert F. Brown, A topological introduction to nonlinear analysis, second ed., BirkhauserBoston Inc., Boston, MA, 2004. [cytowane na str. 11, 16, 17, 145, 146]

[10] Jan W. Cholewa oraz Tomasz Dlotko, Global attractors in abstract parabolic problems,London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 278, Cambridge University Press,Cambridge, 2000. [cytowane na str. 11, 23, 45, 48, 120, 139]

[11] Charles Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Regional ConferenceSeries in Mathematics, vol. 38, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978.[cytowane na str. 5]

149

150 LITERATURA

[12] Aleksander Cwiszewski, Topological degree methods for perturbations of operators ge-nerating compact C0 semigroups, J. Differential Equations 220 (2006), no. 2, 434–477.[cytowane na str. 4, 45]

[13] Aleksander Cwiszewski, Periodic solutions of damped hyperbolic equations at resonance:a translation along trajectories approach, Differential and Integral Equations 24 (2011),767–786. [cytowane na str. 5, 57]

[14] Aleksander Cwiszewski oraz Piotr Kokocki, Krasnosel′skii type formula and translationalong trajectories method for evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 22 (2008),no. 3, 605–628. [cytowane na str. 4, 45]

[15] Aleksander Cwiszewski, Degree theory for perturbations of m-accretive operators gene-rating compact semigroups with constraints, J. Evol. Equ. 7 (2007), no. 1, 1–33. MR2305724 (2007m:34137) [cytowane na str. 4]

[16] Aleksander Cwiszewski, Forced oscillations in strongly damped beam equation, Topol.Methods Nonlinear Anal. 37 (2011), no. 2, 259–282. MR 2849823 [cytowane na str. -]

[17] Aleksander Cwiszewski oraz Piotr Kokocki, Periodic solutions of nonlinear hyperbolicevolution systems, J. Evol. Equ. 10 (2010), no. 3, 677–710. [cytowane na str. 5, 57]

[18] Aleksander Cwiszewski oraz Krzysztof P. Rybakowski, Singular dynamics of stron-gly damped beam equation, J. Differential Equations 247 (2009), no. 12, 3202–3233.[cytowane na str. 41]

[19] Djairo G. de Figueiredo oraz Jean-Pierre Gossez, Strict monotonicity of eigenvalues andunique continuation, Comm. Partial Differential Equations 17 (1992), no. 1-2, 339–346.[cytowane na str. 121]

[20] Klaus Deimling, Multivalued differential equations, de Gruyter Series in Nonlinear Ana-lysis and Applications, vol. 1, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992. [cytowane na str. 137,

138]

[21] Pavel Drabek, Gabriela Holubova, Ales Matas, oraz Petr Necesal, Nonlinear models ofsuspension bridges: discussion of the results, Appl. Math. 48 (2003), no. 6, 497–514,Mathematical and computer modeling in science and engineering. [cytowane na str. 3]

[22] Lawrence C. Evans, Rownania rozniczkowe cz astkowe, Panstwowe Wydawnictwo Na-ukowe, Warszawa, 2002. [cytowane na str. -]

[23] Svatopluk Fucık oraz Jean Mawhin, Generalized periodic solutions of nonlinear telegraphequations, Nonlinear Anal. 2 (1978), no. 5, 609–617. [cytowane na str. 4]

[24] M. Furi oraz M. P. Pera, A continuation principle for forced oscillations on differentiablemanifolds, Pacific J. Math. 121 (1986), no. 2, 321–338. [cytowane na str. 4, 109]

[25] Nicola Garofalo oraz Fang-Hua Lin, Unique continuation for elliptic operators: ageometric-variational approach, Comm. Pure Appl. Math. 40 (1987), no. 3, 347–366.[cytowane na str. 121]

[26] Jose Valdo A. Goncalves, On bounded nonlinear perturbations of an elliptic equation atresonance, Nonlinear Anal. 5 (1981), no. 1, 57–60. [cytowane na str. 126]

LITERATURA 151

[27] Andrzej Granas oraz James Dugundji, Fixed point theory, Springer Monographs in Ma-thematics, Springer-Verlag, New York, 2003. [cytowane na str. 11, 16, 137, 145, 146]

[28] Jack K. Hale, Luis T. Magalhaes, oraz Waldyr M. Oliva, Dynamics in infinite dimensions,second ed., Applied Mathematical Sciences, vol. 47, Springer-Verlag, New York, 2002,With an appendix by Krzysztof P. Rybakowski. [cytowane na str. 137]

[29] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.[cytowane na str. 142]

[30] Daniel Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations, Lecture Notes in Ma-thematics, vol. 840, Springer-Verlag, Berlin, 1981. [cytowane na str. 11, 24, 25, 26, 45, 47]

[31] Peter Hess, Nonlinear perturbations of linear elliptic and parabolic problems at resonance:existence of multiple solutions, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 5 (1978), no. 3,527–537. [cytowane na str. 4]

[32] Einar Hille oraz Ralph S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Ma-thematical Society Colloquium Publications, vol. 31, American Mathematical Society,Providence, R. I., 1957. [cytowane na str. 11, 21, 22]

[33] Mikhail Kamenskii, Valeri Obukhovskii, oraz Pietro Zecca, Condensing multivaluedmaps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, De Gruyter Series inNonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2001.[cytowane na str. 137, 138]

[34] Wioletta Karpinska, A note on bounded solutions of second order differential equationsat resonance, Topol. Methods Nonlinear Anal. 14 (1999), no. 2, 371–384. [cytowane na str. 4]

[35] Wioletta Karpinska, On bounded solutions of nonlinear differential equations at re-sonance, Nonlinear Anal. 51 (2002), no. 4, Ser. A: Theory Methods, 723–733.[cytowane na str. 4]

[36] Carlos E. Kenig, Restriction theorems, Carleman estimates, uniform Sobolev inequali-ties and unique continuation, Harmonic analysis and partial differential equations (ElEscorial, 1987), Lecture Notes in Math., vol. 1384, Springer, Berlin, 1989, pp. 69–90.[cytowane na str. 121]

[37] Piotr Kokocki, Periodic solutions for nonlinear evolution equations at resonance, przyj etado Journal of Mathematical Analysis and Applications. [cytowane na str. 5]

[38] M. A. Krasnosel′skiı oraz P. P. Zabreıko, Geometrical methods of nonlinear analysis,Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathema-tical Sciences], vol. 263, Springer-Verlag, Berlin, 1984, Translated from the Russian byChristian C. Fenske. [cytowane na str. 74]

[39] E. M. Landesman oraz A. C. Lazer, Nonlinear perturbations of linear elliptic boundaryvalue problems at resonance, J. Math. Mech. 19 (1969/1970), 609–623. [cytowane na str. 124]

[40] A. C. Lazer oraz P. J. McKenna, Open problems in nonlinear ordinary boundary valueproblems arising from the study of large-amplitude periodic oscillations in suspensionbridges, World Congress of Nonlinear Analysts ’92, Vol. I–IV (Tampa, FL, 1992), deGruyter, Berlin, 1996, pp. 349–358. [cytowane na str. 3]

152 LITERATURA

[41] N. G. Lloyd, Degree theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1978, CambridgeTracts in Mathematics, No. 73. [cytowane na str. 137, 145]

[42] Paul Massatt, Limiting behavior for strongly damped nonlinear wave equations, J. Diffe-rential Equations 48 (1983), no. 3, 334–349. [cytowane na str. 41, 137]

[43] Krzysztof Maurin, Analiza. Cz esc I - Elementy, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa, 1991. [cytowane na str. 138]

[44] Jean Mawhin, Periodic solutions of nonlinear telegraph equations, Dynamical systems(Proc. Internat. Sympos., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1976), Academic Press, NewYork, 1977, pp. 193–210. [cytowane na str. 4]

[45] Jean Mawhin oraz James R. Ward, Jr., Bounded solutions of some second order non-linear differential equations, J. London Math. Soc. (2) 58 (1998), no. 3, 733–747.[cytowane na str. 4]

[46] Sigeru Mizohata, The theory of partial differential equations, Cambridge Univer-sity Press, New York, 1973, Translated from the Japanese by Katsumi Miyahara.[cytowane na str. 121]

[47] Roger D. Nussbaum, The fixed point index and asymptotic fixed point theorems for k-set-contractions, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 490–495. [cytowane na str. 137, 147]

[48] Roger D. Nussbaum, The fixed point index for local condensing maps, Ann. Mat. PuraAppl. (4) 89 (1971), 217–258. [cytowane na str. 137, 147]

[49] Rafael Ortega oraz Antonio Tineo, Resonance and non-resonance in a problem of boun-dedness, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), no. 7, 2089–2096. [cytowane na str. 4]

[50] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equ-ations, Applied Mathematical Sciences, vol. 44, Springer-Verlag, New York, 1983.[cytowane na str. 11, 21, 24, 25, 45, 139]

[51] Martino Prizzi, On admissibility for parabolic equations in Rn, Fund. Math. 176 (2003),no. 3, 261–275. [cytowane na str. 5]

[52] Krzysztof P. Rybakowski, Trajectories joining critical points of nonlinear parabolic andhyperbolic partial differential equations, J. Differential Equations 51 (1984), no. 2, 182–212. [cytowane na str. 5, 54, 60]

[53] Krzysztof P. Rybakowski, Nontrivial solutions of elliptic boundary value problems withresonance at zero, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 139 (1985), 237–277. [cytowane na str. 5]

[54] Krzysztof P. Rybakowski, The homotopy index and partial differential equations, Uni-versitext, Springer-Verlag, Berlin, 1987. [cytowane na str. 5, 45, 54, 69, 70, 137, 141, 144, 145]

[55] Krzysztof P. Rybakowski, On the homotopy index for infinite-dimensional semiflows,Trans. Amer. Math. Soc. 269 (1982), no. 2, 351–382. [cytowane na str. 5]

[56] B. N. Sadovskiı, On a fixed point principle, Funkcional. Anal. i Prilozen. 1 (1967), no. 2,74–76. [cytowane na str. 137, 147]

[57] Dietmar Salamon, Connected simple systems and the Conley index of isolated invariantsets, Trans. Amer. Math. Soc. 291 (1985), no. 1, 1–41. [cytowane na str. 5]

[58] Martin Schechter, Nonlinear elliptic boundary value problems at resonance, NonlinearAnal. 14 (1990), no. 10, 889–903. [cytowane na str. 126]

[59] Joel Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, Grundlehren der Mathe-matischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Science], vol. 258,Springer-Verlag, New York, 1983. [cytowane na str. 5]

[60] Edwin H. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.[cytowane na str. 142]

[61] H. Triebel, Interpolation theory, function spaces, differential operators, VEB DeutscherVerlag der Wissenschaften, Berlin, 1978. [cytowane na str. 120]

153

Skorowidz

C0 po lgrupaoperatorow ograniczonych, 20rownoci ag la, 21zwarta, 21

blok izoluj acy, 141

cz esc operatora w podprzestrzeni, 12

dziedzina operatora, 11

funkcja Γ Eulera, 24

generator C0 po lgrupy, 21

homotopia, 141kondensuj aca, 147pe lnoci ag la, 146

homotopijna rownowaznosc, 142

iloczyn wagowy, 142indeks

Conley’a, 143homotopijny, 143

j adro operatora, 12uogolnione, 17

kompleksyfikacjaoperatora, 13przestrzeni, 13

krotnoscalgebraiczna, 19geometryczna, 19

krzywa ca lkowa, 140

lemat Fatou, 138

miara niezwartosci Hausdorffa, 137

norma wykresowa, 11, 120

obraz operatora, 12uogolniony, 17

odwzorowania homotopijne, 142odwzorowania topologicznie sprz ezone, 146odwzorowanie

ilorazowe, 142kondensuj ace, 147pe lnoci ag le, 56

operatorhilbertowsko sprz ezony, 12liniowy

dodatnio okreslony, 23domkni ety, 11eliptyczny, 119g esto okreslony, 11nieograniczony, 12odwrotny, 12ograniczony, 12samosprz ezony, 12symetryczny, 12wycinkowy, 23zwarty, 12

przesuni ecia, 52, 56przesuni ecia wzd luz trajektorii, 52, 56rozniczkowy, 119

operator Niemyckiego, 122operatory sprz ezone, 12otoczenie izoluj ace, 140

dopuszczalne, 140

para indeksowa, 141para przestrzeni topologicznych, 141pole

pe lnoci ag le, 146pot ega u lamkowa, 24przestrzen

ilorazowa, 142topologiczna punktowana, 141

punktodbicia, 141scis lego wejscia, 141scis lego wyjscia, 141

punkt stacjonarny, 140

154

po lpotok, 54, 60, 139

rezolwenta operatora liniowego, 14rezonans w nieskonczonosci, 89rozwi azanie

dystrybucyjne, 121klasyczne, 47po lpotoku, 140rownania, 46zagadnienia pocz atkowego, 46

rownaniehiperboliczne, 131paraboliczne, 128

spektrum, 15punktowe, 15zespolone, 15

stopien topologicznyBrouwera, 145pol kondensuj acych, 147

suma wagowa, 142s labe rozwi azanie

rownania, 46zagadnienia pocz atkowego, 46

topologiailorazowa, 142indukowana, 141

tozsamosc rezolwenty, 14twierdzenie

Ascoliego-Arzeli, 138o zbieznosci zmajoryzowanej, 139

typ homotopii, 142sfery, 142zerowy, 142

warunekbrzegowy Dirichleta, 119silnej eliptycznosci, 119

warunkigeometryczne

dla rownan drugiego rz edu, 90, 105dla rownan pierwszego rz edu, 63, 78

Landesmana-Lazera, 124z silnym rezonansem, 126

wykres operatora, 11wzor Eulera, 21wzor indeksowy

dla orbit ograniczonych, 63, 90dla rozwi azan okresowych, 78, 105

w lasnosc jednoznacznej kontynuacji, 121

zasada usredniania, 74zbior

α-graniczny, 140ω-graniczny, 140dodatnio niezmienniczy, 140dopuszczalny

wzgl edem po lpotoku, 140wzgl edem rodziny po lpotokow, 141

funkcji rownoci ag lych, 138graniczny, 140punktow odbicia, 141punktow scis lego wejscia, 141punktow scis lego wyjscia, 141rezolwenty, 13

zbior niezmienniczy, 140izolowany, 140maksymalny, 140nieredukowalny, 145redukowalny, 145

zespolone spektrum punktowe, 15zespolony zbior rezolwenty, 15zwarte rezolwenty, 14z lozenie operatorow, 12

155

Dynamika nieliniowych rowna n ewolucyjnych w rezonansiepkokocki/Research/phd.pdf · 4 Wstep, W srod...

Documents

Transcript of Dynamika nieliniowych rowna n ewolucyjnych w rezonansiepkokocki/Research/phd.pdf · 4 Wstep, W srod...