Trójkąt Pascala - trójkątna tablica liczb która została odkryta na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i bezpośrednio przez Omara Chajjama. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia

nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki,

że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

• W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).

• W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami trójkątnymi. Stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta.

W matematyce liczba trójkątna to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

Tn = 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n

Kolejne liczby trójkątne to:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36…

• W trzecim występują liczby piramidalne, które podają liczbę kulek ułożonych w czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35..). Liczbę czworościenną można zrozumieć,  jeżeli wyobrazimy sobie stos kul w kształcie czworościanu. Policzyć trzeba, ile kul potrzeba do zbudowania stosu o danej wysokości.

Każdą warstwę w czworościanie kul

stanowią liczby trójkątne (1, 3, 6 itd.).

Zarówno liczby trójkątne, jak

i czworokątne znajdują się na trójkącie Pascala. Tabela ukazuje wartości

dla początkowych warstw.

n Liczba trójkątna

Liczba czworokątna

wysokość Ilość kul w warstwie

Całkowita ilość

1 1 1

2 3 4

3 6 10

4 10 20

5 15 35

6 21 56

• W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.

• Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.

• Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.

• Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.

• Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.

• Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

Ciąg można otrzymać, idąc w górę i na bok i dodając liczby, tak jak pokazano to

na ilustracji… otrzymamy ciąg Fibonacciego przez dodanie do siebie

dwóch poprzednich liczb.

Trójkąt także pokazuje, jak wiele kombinacji obiektów jest możliwych.

Przykład: Mamy 16 kul. Na ile różnych sposobów można wybrać 3 z nich (pomijając, w jakim porządku się je

wybiera)?Odpowiedź: idź do rzędu 16 (górny rząd to 0),

a następnie wzdłuż 3. miejsca w bok i wartość tam zamieszczona jest odpowiedzią – 560. Oto fragment

rzędu 16:

1      14      91      364      ...

1      15      105     455     1365     ...

1     16     120     560     1820     4368     ...