teoria względności

ver-7.11.11

interferometr Michelsona

Albert Michelson 1852 Strzelno, Kujawy – 1931 Pasadena, Kalifornia Nobel - 1907

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

eter?

szczególna teoria względności

Albert Einstein (1905):

a. zasada względności postulaty:

b. c = const (3.0 108 m/s)

a. wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich układach inercjalnych (niezmienniczość względem transformacji współrzędnych)

b. prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich układach inercjalnych (doświadczenie Michelsona-Morleya)

Einstein

Albert Einstein(1879 – 1955)Nobel – 1915

jednorodny czas takjednorodna przestrzeń takizotropowa przestrzeń tak

0 xx'

v0

0'

absolutny czas nie!

jaka transformacja?

x=γ x'v0 t'

x '=γ x−v0 t

ct=γ cv0 t'

c t'=γ c−v0 t

x=ctx '=c t'

γ=1

1−v0

2

c2

=1

1−β 2

0'

v0

x'0

x

c2=γ2 c2−v02

β=v0

c

γ = ?

transformacja Lorentza

0'

v0

x'0

x

β=v0

cv0c c - prędkość graniczna (światła)

x '=x−β ct

1− β2

c t '=ct−βx

1−β2

transformacja odwrotna

x=x 'β c t '

1−β 2

ct=c t 'β x'

1−β 2

0'

v0

x'0

x

x '=x−β ct

1− β2

c t '=ct−βx

1−β2

zasada korespondencji

x '=x−v0 t

t '=ttransformacja Galileusza

gdy v0 << c :

x '=x−β ct

1− β2

c t '=ct−βx

1−β2

transformacja Lorentza

( ) GalileuszLorentzlim0

=→β

jednoczesność zdarzeń

x1 , t x2 , t

c t 1'=ct− βx1

1− β 2

c t 2' =

ct−βx 2

1− β2

x1≠x2 t1'≠t2

'c t 2'− t 1

' = β

1−β 2 x1−x2

a przyczynowość?

w innym układzie: Lorentz:

skrócenie Fitzgeralda-Lorentza

0´0

v0

x'1 x'2

x1 x2

l0= x2' −x1

'

l= x2−x1

x1'=x1−β ct

1−β2

x2'=x2−β ct

1−β 2

t 1=t 2=t

pręt spoczywa w 0´

Lorentz: l=l01− β 2

w układzie własnym pręt jest najdłuższy

relatywistyczne jądro

0,75 c 0,90 c

x

y

dylatacja czasu

x1' , t1

' x1

' , t2'

Δ t'=t 2'− t 1

'

ct 1=c t 1

'−β x '

1−β2

ct 2=c t2

'−β x '

1−β 2

Δt=t2− t1=Δt '

1− β2

czas własny t0 jest najkrótszy

> ∆t´Lorentz:

Δt=Δt 0

1−β 2

paradoks bliźniąt

przykład: µ → e + 2ν τ0 = 2⋅10-6s 600m? nie! 30km

τ=τ0

1− β2 1− β2≃0 . 01

vµ = (1 – 10–4) c

test szczególnej teorii względności!

µ+

π+

e+

νµ

ν e

νµ

promienie kosmiczne

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/lightclock.swf

transformacja prędkości

v=

dxdt

=d x 'v0 d t

'

d t'v0

c2d x '

x=x 'v0 t

'

1−β 2

t=

t 'v0

c2x '

1−β 2

v=v 'v0

1v0 v

'

c2

korespondencja: v=v 'v0

v '=c v=c

Lorentz:

czasoprzestrzeń

linia świata - proces

punkt świata - zdarzenie (ct, x, y, z)

Herman von Minkowski (1908):

x '=x−β ct

1− β2

c t '=ct−βx

1−β2

czterowektory

interwał czasoprzestrzenny

Δl 2=Δx 2

Δy 2Δz2

Δs 2=c2 Δt 2

−Δl 2

Δs '2=c2 Δt '2−Δl '2

=cΔt2−Δl 2

cΔ t'=cΔt−βΔt

1−β2

Δ l'=Δl−β cΔt

1−β2

3-wymiarowa przestrzeń euklidesowa:

Δ s '=Δs

interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza

4-wymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesowa:

Lorentz:

interwały

cΔtΔl

∨ O '

Δ l '=0

cΔtΔl

cΔt =Δlinterwał świetlny (zerowy)

interwał urojony (przestrzenny)zdarzenia jednoczesne, nie powiązane przyczynowo… gdzie indziej

interwał rzeczywisty (czasowy)zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu… przyczynowość

∨ O '

Δ t '=0

interwały (cd.)

Δs 2=c2 Δt 2

−Δx 2

AB – interwał przestrzenny (∆s < 0)

CD – interwał czasowy (∆s > 0)

EF – interwał zerowy (∆s = 0)

0 0´ x

ct

x'

ct'

A

BC

DE

F

stożek świata

przyszłość

przeszłość

gdzie indziejtu i teraz

t

y

x

dynamika relatywistyczna

pęd

równania Newtona nie są niezmiennicze względem transformacji Lorentza...

⇒ ∑ p=∑ miv i≠const

relatywistyczny pęd: p =def m v

1−β2

i koresponduje do: p=m v

… zachowuje się

masa relatywistyczna

można interpretować tak:

mr - masa relatywistyczna

m0 - masa spoczynkowa

(niezmiennicza!)

p=m r v

m r=m0

1−β 2

p=mv

1− β 2

gdzie:

vc

mr

m0

cyklotron f c=Bq

2mf = f c

m0

m0E k /c2

równanie ruchu

ddt mv

1−β2 =F jest niezmiennicze!

d pdt

=F

md vdt

=F

relatywistyczna energia

F⋅d s=ddt m v

1− β2 v dt=d mc 2

1− β2 =dE k

Ek=mc 2

1−β 2−mc2

mc2 – energia spoczynkowa (v = 0)

korespondencja

Ek=mc 2

1− β2−mc2

≃mc2 1v2

2c2−1=mv2

2

1−x −

1

2=1x2

2⋯

E=E kmc 2

energia całkowita

energia spoczynkowa

energia całkowita

E=mc2

1−β2

E2=c2 p2

m2c4zachowuje się…

E=mc2 1 pmc 2

≃mc2 [112 pmc

2

]=mc 2p2

2m

E, pc, mc2 – jednostki energii (MeV)

korespondencja?

p=mv

1−β2ale

E2= p2c2

m2c4

E=mc2E k

E=mc2

1−β2

trójkąt energii

2mc

pc

E

mc2

E k

α

sin α=vc

w spoczynku: E=mc2

czterowektory

E2

c2− p2=m2c2

[ Ec , px , p y , pz ]

p x=

px'β

E '

c

1− β 2

niezmiennik transformacji

czterowektor energii - pędu

transformacja Lorentza:

Ec=

E '

cβ px

'

1−β 2[ct , x , y , z ]

c2 t 2− l2

=s2

prędkość światła

czyli: v = c

E=c2 p2c 4m2

m=0 ⇒ E=cp

p=mv

1−β2

E=mc 2

1−β 2} p=

Evc2

obiekt o masie zerowej (np. światło) musi poruszać się z prędkością graniczną c

równoważność masy i energii

M

m1 m2

M=m1m2Ek1Ek2

c2m1m2

E2=c2 p2

m2c4

p – p

92235 Un 92

236U 55140Cs37

94 Rb2n⋯

Δm=4⋅10−28kg

ΔE=c2Δm≈4⋅10−11 J

reakcja rozszczepienia:

spalanie węgla (C + O2 = CO2) – 50 · 106 razy mniej

materia - energia

Xe

π _

π _

π _

Au +Au

foton

E=ℏω

p=ℏωc

niezerowy pęd!

ogólna teoria względności: mg=E

c2=ℏω

c2

w ruchu pionowym: ΔE=mg gl=ℏω gl

c2

Δω=ω gl

c 2

1960 doświadczenie Pounda i Rebki - grawitacyjne przesunięcie:

∆ω /ω = 2·10-15

koniec

zagadnienia

• postulaty Einsteina • interferometr M-M • transformacja Lorentza • dylatacja czasu • skrócenie F-L • transformacja prędkości • interwał • rel. równanie ruchu • masa rel. • energia rel. • prędkość światła •

glossary

• special relativity • m-m experiment • speed of light • L transformation • length contaction • time dilation • twin paradox • muon decay • relativistic mass, energy, momentum • speed limit • energy-mass relationship • four-vectors • space-time •

• rest mass energy • correspondence principle • momentum of photon • space-time vector • momentum-energy vector • Minkowski space-time • simultaneity • space time intervals • light-cone • space,time, light – like point • hypersurface of the present • world-line •