SympleksyNiech P0,P1,…,PN będzie układem n+1 punktów w n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej i nie leżących na jednej hiperpłaszczyźnie. Def. Sympkleksem określonym na zbiorze punktów P0,P1,…,PN nazywamy zbiór:

}.0,1:{00

10

i

n

iii

n

in PPPPPS

n=2

0P

1P2P

Tw. Sympleks S jest zbiorem wypukłym.

Dw. Niech ii

n

iii

n

iPyPx

00,

należy sprawdzić, że .10,)1( Syx

))1(()1(0

iiii

n

iPPyx

,])1([0

iii

n

iP

])1([

0ii

n

i

,11)1(1)1(00

i

n

ii

n

i

.0)1( ii c.n.d.

Tw. Zbiór }0,1:{00

ii

n

iii

n

iPS jest obwiednią wypukłą

zbioru punktów }.,,,{ 10 nPPPP

Dowód: .1,,,1,0,0,,0

ikkk

n

ki iknkdlaPPPconK

KPczyliKP i Zał. indukcyjne:

PKP i

k

iii

k

iii

k

i

1

0

1

0

1

0,0,1,Rozważmy

.0,1,00

ii

k

iii

k

iKP

,1

110

110

kkii

k

ikkii

k

iPPPP

,11

0

i

k

i

,0,

0

i

k

igdzie ,11 k

Ponieważ K wypukły .1

10

KP kii

k

i

c.n.d.

Twierdzenie o niezależności układu wektorów

Tw. Układ wektorów },,,{ 02010 nPPPPPP jeśli układ

},,,{ 10 nPPPpunktów nie leży na jednej hiperpłaszczyźnie.

Dowód: Hip .0,0,1

00

2

n

iii

n

iii PP

W postaci macierzowej:

.0,0),,,(,0 21 nHnugdzieHu Tn

,0,,, 02010 nPPPPPPczyli Tn to oznacza, że punkty

niPi ,,1,0, należą do hiperpłaszczyzny: .0),(: 0 nXPc.n.d.

,,,, 02010 nPPPPPPH

Uwaga:

0P

1P2P.1,10 1021100 PPP

Równanie odcinka ],[ 10 PPN=2

N=3

0P 1P

2P

3P

.1,10 3103321100 PPPP

Powyższe równanie spełniają punkty ścianki przechodzącej Przez punkty .,, 310 PPPNatomiast równanie 1,100 10321100 PPPP

jest równaniem krawędzi ., 10 PP Analogicznie dla pozostałychścianek i krawędzi.

Współrzędne barycentryczneDef. Jeśli

n

iinii toPPPSPP

010 nazywamy współrzędnymi

barycentrycznymi punktu P.

Tw. Współrzędne barycentryczne dowolnego punktu w przestrzeni n-wymiarowej wyznaczone są w sposób jednoznaczny.

n

ii

n

iii

n

iiPXDw

10

00

1,1,.

.,)1( 001

001

01

PPPPPPPPPX ii

n

iii

n

iii

n

ii

czyli ,01

0 XPPPn

iii

albo w postaci macierzowej:

.,, 0

1

010 XPPPPP

n

n

Na podstawie poprzedniego tw.macierz tego układu jest nieosobliwazatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

Współrzędne barycentryczne c.d.Uwaga: Każdy punkt n

X

może być jednoznacznie wyrażony

poprzez liniową kombinację .0

n

iiiP Punkt należy do sympleksu,

jeśli dla każdego i ,0i punkt leży na brzegu, jeśli

.00 ki oraz Punkt leży na zewnątrz sympleksu, jeśli

przynajmniej jedno .0iPrzykład N=2

),(

),(

),(

),(

222

111

000

yxX

yxP

yxP

yxP

,, 0

2

12010 XPPPPP

., 0

,0

2

1

0201

,02,01

yy

xx

yyyy

xxxx

0P1P

2P

X

Współrzędne barycentryczne c.d.

0P

1P2P

3P

X

Współrzędne barycentryczne c.d.Przykład N=3

,

),,(

),,(

),,(

),,(

),,(

3333

2222

1111

0000

zyxX

zyxP

zyxP

zyxP

zyxP .,, 0

3

2

1

302010 XPPPPPPP

.1 3210

Jeśli ,0,0,0,0 3210 wówczas punkt X leży we

wnętrzu sympleksu, jeśli ,0,0,0,0 3210 wtedy punkt

wewnątrz ścianki .321 PPP Analogicznie jest przy zerowaniu się

kolejnych współrzędnych barycentrycznych. Jeśli na przykład,0,0,0,0 3210 wtedy punkt X leży na krawędzi .32PP

W przypadku, kiedy 031 kk punkt X leży na zewnątrzczworościanu.

Ścianki sympleksuDef. Ścianką (krawędzią) wymiaru nk 0 sympleksu

nPPPS 10 nazywamy zbiór:

}.0,1:{0 0

10

j

k

j

k

jjijiii jk

PPPPP

Dla ścianek (krawędzi) sympleksu S zachodzi następujący wzór:

.10

100 },,,{k

k

iii

n

k iii

PPPS

},,,{10 k

iii jest k+1- elementową kombinacjąze zbioru {0,1,…,n}.

Przykład N=2

0P 1P

2P

}{}{}{}{

}{}{}{

210212010

321

3

0 },,,{10

10

PPPPPPPPP

PPPPPPSk

k

iiik iii

Przykład N=3

0P

3P

2P

1P

}.{}{}{}{}{

}{}{}{}{}{}{

}{}{}{}{

3210321320310210

323121302010

3210

3

0 },,,{1

10

0

PPPPPPPPPPPPPPPP

PPPPPPPPPPPP

PPPPPPPSk

k

iik iii

i

.4)!34(!3

!4

3

4,6

)!24(!2

!4

2

4

Przykład N=4

.5)!45(!4

!5

4

5

.10)!35(!3

!5

3

5,10

)!25(!2

!5

2

5

Podział symplicjalnyDef. Podziałem symplicjalnym nazywamy taki podział sympleksu

NPPPS 10 nazywamy taką rodzinę sympleksów, która

pokrywa S i w której każde dwa sympleksy są rozłączne.

Def. Środkiem ciężkości sympleksu nazywamy punkt:

).(1

1)( 10 NPPP

NSb

NiechNiiii PPPS

10 oraz

Njjjj PPPS 10

Def. Mówimy, że }.,,,{},,,{1010 NN jjjiii

df

ji PPPPPPSS

Twierdzenie o podzialesymplicjalnym

Rodzina sympleksów ),()()( 10 kSbSbSb gdzie nk 0oraz ,10 kSSSS stanowi podział symplicjalny

sympleksu S.N=2

0P1P

2P

210100 PPPPPP

3×2=6

N=3

4×6=24

3210210100 PPPPPPPPPP

Podział symplicjalny N=2,3Niech ).,,(),,,(

10 ,10 kiii

df

k PPPbiii

N=2 N=3

(0,1,2)

(0,1) (0,2) (1,2)

(0)

(1)

(2)

(0)

(2) (1)

(0,1,2,3)

(0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (1,2,3)

(0,1) (0,2) (1,2)

(0)

(0)

(2) (1) (2)

Z każdego węzła „wychodzą”kombinacje o 1 krótsze niż węźle.

(1)

Przecinanie się prostej z odcinkiem

W wielu zagadnieniach geometrii obliczeniowej istnieje potrzeba roztrzygnięcia, czy dana prosta przecina dany odcinek bez potrzebywyznaczania tego punktu.

A

B

A

BL(X)=0 L(X)=0

L(A)L(B)<0 L(A)L(B)>0

Jeśli L(A)L(B)<0, wówczas odcinek przecina prostą, jeśli L(A)L(B)>0,

wtedy odcinek i prosta nie przecinają się.

Przecinanie się odcinka z hiperpłaszczyzną (płaszczyzną)

Równanie hiperpłaszczyzny w .0),()(: ndXXN

d

dX

A

B

Jeśli ,0)()( BA wówczas odcinek [A,B] nie przecinahiperpłaszczyzny.

Jeśli natomiast ,0)()( BA wtedy odcinek [A,B] przecinahiperpłaszczyznę.

A

B

Przecinanie się dwóch odcinków

A

B

C

D

A

C

DB A

B

C

D

Odcinki [A,B] oraz [C,D] nie przecinają, jeżeli punkty A, B leżą pojednej stronie prostej przechodzącej przez punkty C, D lub punkty C, D leżą po jednej stronie prostej przechodzącej przez punkty A, B.

W postaci matematycznej:

0)()(0)()( DLCLBLAL ABABCDCD

UwagaJeśli któreś z końców dwóch odcinków pokrywają się,wówczas uznanie czy te odcinki przecinają się, czy też niezależy od dziedziny zastosowania. W strukturach danych współrzędne punktów zapamiętywane są jako zmienne rzeczywiste, odcinek zaś jest reprezentowany jako parazmiennych całkowitych. Ponieważ w programie komputerowymłatwo jest porównywać zmienne całkowite niż rzeczywiste wobec tego przy badaniu przecięć odcinków należy najpierwsprawdzić, czy indeksy końców pokrywają się.

Triangularyzacja układu punktów.},,,{ 10 ji

Nn PPPPPT

Def. Zbiór sympleksów (trójkątów) TNiiT 1}{ W przestrzeni

N-wymiarowej nazywamy triangularyzacją układu punktów, jeśli:

(i)

TN

iiT

1

_

jest zbiorem wypukłym,

(ii) Wszystkie wierzchołki wszystkich sympleksów są elementamizbioru punktów ,P

(iii) Każdy iP jest wierzchołkiem przynajmniej jednego z

sympleksów .1 nkTk (iv) ji TTji .

Triangularyzacja układu punktówtriangulacja

inna triangulacja

A

CB

Uwarunkowanie trójkąta

.||||||||||||

)(

3

4)(

222 ACBCAB

ABCpoleABC

źle uwarunkowany trójkąt

Uwarunkowanie trójkątaTw. Współczynnik uwarunkowania trójkąta spełnia nierówność

1)(0 ABC oraz przyjmuje wartość 1dla trójkąta równobocznego.

A B

C

x y

Z rysunkuh

.,, ayxtgyhtgxh Po kolejnych przekształceniach:

).,(),()( ffunkcjaABC Warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych:

.600,0 0

ff

Wielokąty monotoniczneJednym ze sposobów triangularyzacji wielokąta mogłoby byćpodzielenie go na tak zwane wielokąty monotoniczne.a w szczególności wypukłe.

Def. Wielokąt prosty nazywamy momnotonicznym ze względu naProstą jeśli dla każdej prostej m prostopadłej do l zbiór Pmjest zbiorem spójnym (czyli odcinkiem, punktem bądź zbiorempustym).

l P

Uwaga: Każdy wielokąt wypukłyjest monotoniczny ze względuna każdą prostą.

Wielokąty monotoniczneDef. Wielokąt monotoniczny ze względu na oś y (x) nazywamyy-monotonicznym (x-monotonicznym).

Uwaga: Następująca cecha jest charakterystyczna dla y-monotonicznych wielokątów:Jeśli posuwamy się z najwyższego do najniższego wierzchołkaprzez lewą lub prawą część brzegu to zawsze posuwamy sięw dół lub poziomo, ale nigdy w górę.

Def. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwawierzchołki i leżący wewnątrz tego wielokąta.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów

Załóżmy, że P jest y-monotoniczny . Uporządkujmy punkty zbioruP względem współrzędnej y. dla celów roboczych przyjmijmy stosS, który na początku będzie zbiorem pustym. W trakcie realizacjibędzie zawierał te wierzchołki, z których można poprowadzićprzekątne, poczynając od najwyższego wierzchołka.

Ta część wielokąta która jest sukcesywnie odcinanaod góry jest już striangularyzowana. Na stosie pierwszym punktem jest punkt zaznaczony na kolorowo, wszystkie powyżej są wyrzucone.Następnym punktem będzie punkt z prawego albolewego łańcucha.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów

I. Jeśli punkt jest po lewej stronie łączymy go z kolejnymi wierzchołkamiz prawego łańcucha. Kształt nie pokrytejtrójkątami części wielokąta będzie przypominał odwrócony komin to znaczy, że kąty wewnętrzne będą rozwarte (po odcięciutrójkątów z ostrymi wierzchołkami).

Punkty, które są całkowicie odcięte przez przekątną są usuwane ze stosu a dokładane kolejne. Procedura kończydo wyczerpania wszystkich punktów.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów

W drugim przypadku punkt będzie znajdował się po tej samejstronie łańcucha, pomimo tego jeden z punktów refleksywnychda się połączyć przekątną z bieżącym punktem stosu.

Przesuwamy się o jeden punkt w dółjako, że nasz bieżący punkt jest już połączony z bokiem wielokąta.Tak wybrany sprawdzamy, czy możetworzyć przekątną z kolejnymi.(dwie przekątne koloru czerwonego).Dalej postępujemy podobnie.