StreszczenieZałożenie o dwóch i to równoprawdopodobnych wariantach sygnału (s=2) jest wygodne i bardzo często stosowane np.: w sieciach Boolowskich, modelach Isinga lub szkieł spinowych, do opisu szerokiej gamy rzeczywistych systemów. Jednocześnie w sieciach Boolowskich często używa się dwóch wejść do wierzchołka (K=2), co razem daje wyjątkową stabilność nie spotykaną w pozostałych sytuacjach. W tym aspekcie omówię podstawowe wyniki ‘szkoły Kauffmana’ dotyczące rozprzestrzeniania się zaburzenia (damage spreading) w sieciach Boolowskich. Ponadto przedstawię moje argumenty (także symulacyjne) za stosowaniem s>2 i uproszczony algorytm do takich statystycznych badań. Rozważane będą sieci autonomiczne obliczane synchronicznie, różnych typów, w tym także scale-free.

Dlaczego 2 równoprawdopodobne warianty sygnału bywają złym wyborem

Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN gecow@twarda.pan.pl

Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007

Andrzej Gecow Instytut Paleobiologii PAN

gecow@twarda.pan.pl

Seminarium DUZ Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej 22.10.2007

Dlaczego dwa równoprawdopodobne warianty sygnału

bywają złym wyborem

Sieć Boolowska = logiczna = Kauffmana

Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych.Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunkach.c - stan wierzchołka a, b, c = 0 lub 1

k=3 (np.)

c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

cc

opisana w JTB w 1969

k zmienne - jako stopień wierzchołka, Kauffman stosuje sieć ‘Random’ Erdos-Renyi

Będziemy rozważać sieć autonomiczną, obliczaną synchronicznie.Dla sieci autonomicznych <k> = K

Zakładamy jednakowe prawdopodobieństwo 0 i 1 czyli s=2.

Damage w sieci BoolowskiejMamy 2 identyczne systemy. Jeden z nich zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan).d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N

dt+1= 1-((1-dt) +(1-(1-dt) )/s)K K

quenched model - normalnyannealed model - Derrida & Pomeau 1986. Po każdym wyliczeniu nowego stanu pozostawiane są stany alegenerowane nowe połączenia i funkcje.

S. A. Kauffman, The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Oxford University Press, New York, 1993.

s=2

Tabela 5.1state cycle # state cycle Homeostatic Reachability among cycles

length attractors stability after perturbationK=N 0.5*2N/2 N/e low highK>5 0.5*2BN ~Nf(PK) low high

K=1 (π/2*N)1/2 expotential in N low highK=2 N1/2 N1/2 high low1-median # of states on state cycle2-# of state cycle attractors in one net,3-refers to tendency to return to same state cycle after change of 1 node state.4-# of other state cycles to which net flows from each state cycle after all possible change of 1 node state.

Sieci dla różnych K

K=N Dla N=200 atraktor ma 10 stanów...; Każda zniana daje stan losowy.‘Chaotic behavior in these Boolean networks shows up in 2 major ways: The lengths of state cycles and sensitivity to initial conditions.’

30

K>5 P - internal homogenity in Boolean functions = <#1 lub #0 / 2 >K

K=2 Phase transition from chaos to order. Percolation of frozen clusters.5 do 15% zm.st.1.el. system zmienia atraktor, 70% zamrożone.Dla N=10000 atraktor ma 100 stanów a przestrzeń stanów 103000

Tabela 5.2: dla K od 1 do 7 kolejno: 0.5, 0.6875, 0.6367, 0.5982, 0.5699, 0.5497, 0.5352

Modyfikacje Sieci Kauffmana

Wierzchołek realizuje funkcję logiczną c:=f(a,b,...) K zmiennych.Jedna logiczna wartość c wyprowadzana jest w k różnych kierunków. a, b, c = 0 lub 1

k=3 (np.)

c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

cc

Ja stosuję też: (c,d):=f(a,b) (od 1975r) ‘agregat automatów’ k = K = 2, 3, ... (const.)

(c,d):=f(a,b)c

a b

d

Nowość: Iguchi at al. JTB 247, pp 138-151, (2007)użyli zmiennego K dla sieci scale-free

=> sygnały: a, b, c = 0..(s-1) s=2, 4, 8, 16, ... proponuję: ‘Kauffmana’ ale już nie Boolowska’

k jako stopień wierzchołka - różne typy sieci, nie tylko ‘Random’ Erdos-Renyiale i scale-free, single-scale i inne.

współczynnik rozmnażania zmiany w = k (s-1)/s

wierzchołek

jeżeli jeden sygnał wejściowy

jest zmieniony

przekształca: nowe sygnały wyj. := f(nowe sygnały wej.)

zwykle inne niż staresygnały wyjściowe

Tylko dla k=2, s=2 (w=1) zmiana nie rośnie. Dlatego typowe sieci Boolowskie są skrajne i

dają inne zjawiska (szczególny porządek) niż zwykle (chaos).

s - równoprawdopodobnych wariantów sygnału k - wyjść z wierzchołka

Ile średnio jest zmienionych sygnałów wyjściowych?

k=3 (np.)c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

ccwspółczynnik rozmnażania zmiany

w = k (s-1)/s Dla K=2:

d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana

d := dw - d dla agr.aut.2

2

2(s-1)(s+1)s

d = w t

w = w = 1.5

Damage spreading Dla sieci autonomicznych <k> = K

k=3 (np.)c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

cc

< d > dla 600 000inicjacji

d = w t

w = w = 1.5

s wpływa na dynamikęróżnie dla różnych sieci

Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1). Taka typowa sieć Boolowska jest skrajna,

leży w obszarze przejścia fazowego chaos/porządek, może dawać nadmierną stabilność,

dla wszystkich innych k i s oczekujemy chaosu.

1.

Do badania obszaru chaotycznego stosuje się K>2 ( lub podwyższone P) ale zawsze tylko s=2.

Pokazałem, że K>2 nie może zastąpić s>2nawet gdy wsp. w jest ten sam,ponieważ daje to inne zachowanie różnych typów sieci:

2.

Dlaczego należy badać s>2

< d > dla 600 000inicjacji

k=3 (np.)c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

cc

s wpływa na dynamikęróżnie dla różnych sieci

(internal homogenity)

Dlaczego powinno być s > 2 ?

Tylko dla k=2, s=2 damage nie rośnie (w=1).

Ten przypadek jest wyjątkowy, może dawać porządek zamiast chaosu. 1.

K>2 nie może zastąpić s>2 w badaniach zachowania sieci.

2.

3. Teoria informacji Shannona : zip pliku jest zwykle mniejszy. (Komputer jako sieć Boolowska)

4. ‘Dobra’ alternatywa jest zwykle znacznie mniej prawdopodobna. (w systemach podlegających adaptacji)

3, 4 => Alternatywy zwykle nie są równoprawdopodobne.Ale my lubimy wygodne założenie o równym prawdopodobieństwie wariantów sygnału! => np. dla 1/4 i 3/4 możemy użyć s=4, jeden jest ‘dobry’ a reszta ‘zła’

=> Bądźcie ostrożni modelując nie fizykę używając s=2 i modeli Isinga lub szkieł spinowych albo sieci Boolowskich ...

AlgorytmMamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan).d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu

Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie.

Intuicja:W sieci bez sprzężeń zwrotnych można znaleźć taki stan sieci,że każdy wierzchołek ma stan (wyjście) odpowiadające jego wejściom.Podczas wzrostu sieć utrzymywana jest w zbliżonym stanie.Liczone są jedynie te wierzchołki, które mają zmieniony stan wejść,zakłada się, że brakujące (niezmienione) sygnały wejściowe są takie jak stare.To staranie jest zbędne, wystarczy, że:Wierzchołek do którego dotarła zmiana ma wynik losowy, który z określonym prawdopodobieństwem propaguje się dalej.Powtórne liczenie tych samych wierzchołków musi dać ten sam wynik statystyczny.

Różnice:U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało jeszcze nie liczonych,normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

k=3 (np.)c:=f(a,b)K=2 (np.)zwykle const.

c

a b

cc

współczynnik rozmnażania zmiany

w = k (s-1)/s Dla K=2:

d := dw - d w/2 dla sieci Kauffmana

d := dw - d dla agr.aut.2

2

2(s-1)(s+1)s

d = w t

w = w = 1.5

Wygasanie realne i ‘pseudo’Różnice:U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało ‘jeszcze nieliczonych’,normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

Tu zakłada się 1 zmieniony sygn.wej.

Średnia nie wygasa (wygasanie rzeczywiste)

Wygasanie ‘pseudo’ Różnice:U mnie proces gaśnie gdy jest zbyt mało ‘jeszcze nieliczonych’,normalnie proces trwa w ustalonym statystycznie stanie.

Tempo wzrostu damage w początkowym odcinku o małej statystycew środowisku o silnie zróżnicowanym k (i przez to w)jest silnie zróżnicowane.

Rozkłady wygasania< d > dla 600 000

inicjacji

Rozkłady wygasania

67

Algorytm i przyczyny różnic w zachowaniu się sieci

< d > dla 600 000inicjacji

Mamy 2 identyczne systemy A i B. Jeden z nich np. B, zaburzamy małą zmianą (np. jeden stan).d = damage = Liczba wierzchołków o różnych stanach/N to wynik porównania A i B w kolejnych t po zaburzeniu

Ja liczę tylko jeden system B i to tylko samą damage, ale statystycznie.