1

Specyficzne filtry cyfrowe

Materiał w znacznej części zaczerpnięty z książki

Sanjit K. Mitra „Digital Signal Processing. A Computer-Based

Approach”

2

Charakterystyki częstotliwościowefiltrów IIR

pfftff /

)2sin()2cos(2 fjfez fj

N

n

nfjn

M

n

nfjn

ea

ebfH

1

2

0

2

1)(

))(Re())(Im(

tgarc)(fHfH

f

N

n

nn

M

n

nn

za

zbzH

1

0

1)(

fdfd

f)(

)(

Kwadrat charakterystyki amplitudowej dla wszystkich filtrów

Fazowa

Opóźnienie fazowe

22221 )()()()()(2

fjfjfjezeHeHeHzHzH

fj

10 zf

15,0 zf

3

Dolnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu

115,0)( zzH L

Najprostszy filtr jest operacją uśredniającą

z charakterystyką zespoloną

)cos()( 2 feeH ffjL

1)( 0 eH L

0)( jL eH 5,0f

0ftzn. dla

tzn. dla

)1()(5,0)( nsnsns wewewy

Jest to filtr uśredniający wartości sygnału wejściowego

4

Górnoprzepustowy filtr FIR pierwszego rzędu

115,0)( zzH H

Najprostszy filtr ma transmitancję

z charakterystyką zespoloną

)sin()( 2 fjeeH fjfjH

0)( 0 eH H

1)( 2/ jjH eeH

tzn. dla

tzn. dla 5,0f

0f

)1()(5,0)( nsnsns wewewy

Jest to filtr preferujący różnice pomiędzy dwoma kolejnymi wartościami

5

Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH L Transmitancja dana jest wzorem

gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1

)2cos(212

)2cos(11)( 2

222

ff

eH fjL

1

21221)( 2

220

eH L

5,0)( 2 cfjL eH

0

cos212cos11)( 2

22

j

L eH

Jeżeli to czyli 2122cos

cf c

c

ff

2cos

2sin1

)1()(15,0)1()( nsnsnsns wewewywy

gdzie jest częstotliwością odcięcia. Czy dla ? cf 0 25,0cf

6

Dolnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH L

Transmitancja dana jest wzorem

gdzie aby filtr był stabilny. Kwadrat charakterystyki amplitudowej,1

)2cos(212

)2cos(11)( 2

222

ff

eH fjL

Pierwsza pochodna względem częstotliwości ma postać

22

2222

)2cos(212

)2sin(1)(

f

ffd

eHd fjL

jest ujemna w przedziale czyli jest to funkcja monotonicznie malejąca.

,5,00 f

7

Górnoprzepustowy filtr IIR pierwszego rzędu

1

1

11

21)(

z

zzH H

Transmitancja dana jest wzorem

gdzie aby filtr był stabilny. ,1

0)( 0 eH H

5,0)( 2 cfjH eH

1)( jH eH

Jeżeli to czyli 2122cos

cf c

c

ff

2cos

2sin1

8

Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu

21

211

)1(1)()1(

21)(

zz

zzzzH BP

Transmitancja dana jest wzorem

Tłumi składową stałą a przepuszcza częstotliwości wyższe

Przepuszcza średnie częstotliwości (bo niskich już „nie ma”) i tłumi wysokie

9

Pasmowo-przepustowy filtr IIR drugiego rzędu

21

2

)1(11

21)(

zz

zzH BP

Transmitancja dana jest wzorem

Kwadrat charakterystyki amplitudowej

)(0)( 0 jBPBP eHeH

1)( 02 fjBP eH Charakterystyka amplitudowa ma największą wartość dla

)4cos(2)2cos(12112

)4cos(11)( 2222

222

fff

eH fjBP

)cos(arc0 f

10

Pasmowo-zaporowy filtr IIR drugiego rzędu

21

21

)1(121

21)(

zz

zzzH BS

Transmitancja dana jest wzorem

Wartości charakterystyki amplitudowej

)(1)( 0 jBSBS eHeH

0)( 02 fjBS eH Charakterystyka amplitudowa ma najmniejszą wartość dla

)cos(arc0 f

11

Filtr grzebieniowy, ang. comb filterSą to filtry z wieloma pasmami przepustowymi i zaporowymi. Najczęściej ich rozmieszczenie jest periodyczne o okresie 1/M.

Jeżeli jest filtrem pasmowym (zaporowym lub przepustowym), to )(zH)()( MzHzG

jest filtrem grzebieniowym. W oparciu o tę zasadę filtr grzebieniowy można otrzymać również z filtru dolnoprzepustowego

MML zzHzG 15,0)()(

W przedziale posiada M częstotliwości

z minimalnymi wartościami widma amplitudowego i M wartości szczytowych dla przy czym czyli

Mkfk /)5,0(

.10 kf,/ Mkfk ,1,,1,0 Mk

Podobnie można zrobić z filtrem górnoprzepustowym

MMH zzHzG 15,0)()(

10 f

12

Filtry wszechprzepustowe

NN

NN

NNNN

zdzdzdzzdzddzH

11

11

11

11

1)(

Transmitancja ma postać

)()()(

1

zDzDzzH

N

Wprowadzając oznaczenieN

NN

N zdzdzdzD

11

111)(

otrzymujemy

W przypadku filtru wszechprzepustowego otrzymujemy

1)()(

)()()()( 1

11

zDzDz

zDzDzzHzH

NN

13

Własności filtrów wszechprzepustowych

Dla filtru stabilnego wszystkie bieguny, czyli zera wielomianu leżą wewnątrz koła jednostkowego. Jeżeli jest biegunem transmitancji, tzn. to jest jej zerem. Zatem wszystkie zera muszą leżeć poza kołem jednostkowym.

)( pDp ,0)( pD

1 pz

1gdy11gdy11gdy1

)(zzz

zHJeżeli filtr wszechprzepustowy jest stabilny, to

nas interesuje przypadek

Filtr wszechprzepustowy jest bezstratny bo 1)(

)(2

22

fjwe

fjwyfj

es

eseH

wefjwefjwywy EfdesfdesE

2222 )()(

czyli )()( 22 fjwyfjwe eses

12 fjez

14

Przykład filtru wszechprzepustowego

Jeśli filtr posiada bieguny

to jego zera muszą mieć wartości

5,05,05,05,05,0 321 pjpjp

211 133

122

111 pzjpzjpz

31

32

24421)(

zz

zzzH

a transmitancja niech będzie

1515

Rozmieszcenie zer i biegunów filtru wszechprzepustowego

-2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real(z)

Imag

(z)

1616

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-3

-2

-1

0

1

Częstotliwość znormalizowana

AmplitudaFaza []

Charakterystyki częstotliwościowefiltru wszechprzepustowego

17

Filtry minimalno i maksymalnofazowe

Filtry stabilne i przyczynowe o jednakowych charakterystykach amplitudowych, z zerami poza kołem jednostkowym mają większe odchyłki charakterystyk fazowych względem niż filtry z zerami w kole jednostkowym.Filtry z zerami w kole jednostkowym są nazywane minimalnofazowymi a filtry z zerami poza kołem jednostkowym, maksymalnofazowmi.

Każdy filtr nieminimalnofazowy może być zastąpiony połączeniem szeregowym filtru minimalnofazowego i filtru wszechprzepustowego

)()()( wszminnie zHzHzH

0)( f 5,00: ff

18

Przykład

1

1

1 11)(

azbzzH 1

1

2 1)(

azzbzH

Porównajmy charakterystyki częstotliwościowe dwóch filtrów:

załóżmy 2,05,0 ba

Wtedy oba filtry mają bieguny w punkcie czyli są stabilne.5,0z

Pierwszy filtr ma zero w punkcie czyli jest minimalnofazowy.

Drugi filtr ma zero w punkcie czyli jest maksymalnofazowy.

2,0z

5z

1919

Zera i bieguny

-4 -2 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Real(z)

Imag

(z)

H1[z]

-4 -2 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Real(z)

H2[z]

2020

Jednakowe charakterystyki amplitudowe

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Częstotliwość znormalizowana

Am

plitu

da

H1[z]H2[z]

)( 2 fjeH

2121

Charakterystyki amplitudowe [dB]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-15

-10

-5

0

5

Częstotliwość znormalizowana

Am

plitu

da [d

B]

H1[z]H2[z]

)(lg20 210

fjeH

2222

Różne charakterystyki fazowe

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Częstotliwość znormalizowana

Faza

[ ]

H1[z]H2[z]

H1 jest filtrem minimalnofazowym, H2 maksymalnofazowym

23

Filtry komplementarne

Opóźnieniowo-komplementarne 0

1

0)( n

K

kk zzH

Wszechprzepustowo-komplementarne )()(1

0zAzH

K

kk

Energetycznie-komplementarne 1)()()(21

0

21

0

12

K

k

fjk

ezK

kkk eHzHzH

fj

Amplitudowo-komplementarne

1

0

2 )(K

k

fjk eH

Filtry komplementarne są filtrami równoległymi, bo np.

)()()(.....)()()()( 0121 zszzszHzszHzszH n

K

2424

Całkowanie w dziedzinie czasu

A może by tak wykorzystać wzór

s djf

s ft

( ) ( )

12

( )s 0 0 s t dt( )

0

do „całkowania” sygnału cyfrowego? Oczywiście pamiętamy, że musi być spełniony warunek

25

Procedura całkowania sygnału poprzez transformację Fouriera

Posłużymy się zatem schematem

gdziedla N nieparzystego

dla N parzystego

?

?

2626

Całkowanie przez FFT(N parzyste, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-4

-2

0

2

4

6

8

DC = 0

2727

Całkowanie przez FFT(N nieparzyste, DC=0)

-1

0

1N=39

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-4

-2

0

2

4

6

8

DC = 0

2828

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

DC = 0

K I E P S K O

2929

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40-6

-4

-2

0

2

4

6

DC = 0.5

K I E P S K O

3030

-1

0

1N=39

DC = 0.51282

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

DC = 0

K I E P S K O

3131

-1

0

1N=39

DC = 0.51282

0 5 10 15 20 25 30 35 40-6

-4

-2

0

2

4

6

DC = 0.51282

K I E P S K O

32

Procedura całkowania sygnału poprzez dolnoprzepustowe filtry IIR

Wyliczanie wartości całek metodą prostokątów

jest filtracją

N

i

wewy istNs0

)()(

pwewywy fnsnsns /)()()1(

Podobnie całkowanie metodą trapezów tisNssNs

N

i

wewewewy

1

1

)()()0(5,0)(

jest filtracją pwewewywy fnsnsnsns /)()1(5,0)()1(

Oba filtry mają bieguny równe 1, czyli są „na granicy stabilności”. Może to pogarszać jakość „całkowania” jeżeli sygnał był wcześniej poddany filtracji górnoprzepustowej.

1

1

1)(

zztzH

1

21

15,0)(

z

zztzH

3333

Całkowanie przez IIR(metoda prostokątów, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10DC = 2.5

3434

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20DC = 10.25

3535

Całkowanie przez IIR(metoda trapezów, DC=0)

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10DC = 2.5

3636

-1

0

1N=40

DC = 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20DC = 10

3737

Całkowanie przez IIRmetodą prostokątów

-2

-1

0

1 N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3

-2

-1

0

1

2

3 DC = 0

3838

Całkowanie przez IIRmetodą trapezów

-2

-1

0

1 N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3

-2

-1

0

1

2

3 DC = 0

3939

Całkowanie przez IIRmetodą prostokątów

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

DC = 1.5

4040

Całkowanie przez IIRmetodą trapezów

-1

0

1N=40

DC = 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

DC = 1.5