Filtry FIR i biblioteka DSPLIB

dr inż. Grzegorz Szwoch

greg@multimed.org

p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych

Zastosowania Procesorów Sygnałowych

Wstęp

Na poprzednim wykładzie napisaliśmy algorytm liczący

średnią ruchomą. Jest to przykład filtru FIR.

Na tym wykładzie poruszymy następujące pojęcia.

� Podstawy filtrów FIR.

� Implementacja własnego kodu FIR w C.

� Wykorzystanie gotowego kodu napisanego

w Asemblerze z biblioteki DSPLIB.

Filtry cyfrowe

� Filtry cyfrowe to algorytmy przetwarzania sygnału

o wzmocnieniu zależnym od częstotliwości.

� Zadaniem filtrów jest wytłumienie wybranego

zakresu częstotliwości.

� Filtry cyfrowe to podstawowy element algorytmów

implementowanych na DSP.

� Dwa typy filtrów: FIR i IIR.

Filtry FIR

FIR – Finite Impulse Response

� Filtr cyfrowy o skończonej odpowiedzi impulsowej.

� Równanie różnicowe:

� N – rząd filtru – ile próbek wstecz

� bk – współczynniki filtru (N+1 współczynników)

� Transmitancja filtru FIR rzędu N:

)(...)2()1()()( 210 Nnxbnxbnxbnxbny N −++−+−+=

∑=

−=N

k

kk zbzH

0

)(

Filtry FIR

Schemat filtru typu FIR:

Charakterystyki filtrów

Parametry filtru

Parametry projektowe filtru:

� częstotliwości graniczne

� szerokość pasma przejściowego

� poziom zafalowań w paśmie:

� przepustowym

� zaporowym

Rząd filtru

� Większy rząd filtru to:

� węższe pasmo przejściowe,

� mniejsze zafalowania.

� Ale większy rząd to także:

� większa liczba mnożeń (dłuższe przetwarzanie),

� większa zajętość pamięci (dłuższy bufor).

� Jak zawsze, musimy znaleźć złoty środek.

Rząd filtru

Porównanie charakterystyk dla rzędu: 30, 60, 100

Projektowanie filtru FIR

� Projekt wykonujemy za pomocą oprogramowania

(Matlab, python + scipy, itp.).

� Metoda okienkowania – najprostsza:

� projektujemy pożądaną char. widmową

� obliczamy odpowiedź impulsową przez IFFT,

� wycinamy N próbek funkcją okna i przesuwamy.

� Metoda Parks-McClellan („Remez”) – minimalizuje

zafalowania. Standard w projektowaniu filtrów FIR.

Projektowanie filtru FIR

� Już na etapie projektowania filtru musimy myśleć

o ewentualnych problemach z przepełnieniem.

� Filtr powinien być zaprojektowany tak, aby jego

maksymalne wzmocnienie wynosiło 1.

Oprogramowanie powinno mieć taką funkcję.

� Jeżeli wzmocnienie filtru G jest większe od 1,

filtr trzeba unormować dzieląc współczynniki

przez G.

Wzmocnienie filtru

Wzór na wzmocnienie filtru FIR na częstotliwości f:

� Dla filtru dolnoprzepustowego: obliczamy dla f = 0.

Wzór upraszcza się do sumy współczynników.

� Dla f. górnoprzepustowego: liczymy dla

częstotliwości Nyquista: f = fs / 2

� Dla f. pasmowo-przepustowego: f ze środka pasma.

∑−

=

−=

1

0

2N

k

kfs

fj

k ebGπ

Kwantyzacja współczynników

� Z oprogramowania dostajemy współczynniki

w formie zmiennoprzecinkowej.

� Kwantyzacja współczynników – konwersja na Q15

(przemnożenie przez 32768). Następnie:

� albo obcięcie do wartości całkowitej – prostsze,

ale zwiększa błędy kwantyzacji,

� albo zaokrąglenie – mniejsze błędy, ale należy

sprawdzić czy nie powoduje przepełnienia

(maksymalna wartość nie może być > 32767).

� Dla bezpieczeństwa, można mnożyć przez 32767.

Kwantyzacja współczynników

Szum kwantyzacji – różnica między wynikiem filtracji

dla filtru zmiennoprzecinkowego i skwantyzowanego

(skala amplitudy ±0,0005)

Kwantyzacja współczynników

O czym należy pamiętać:

� Kwantyzacja współczynników powoduje,

że współczynniki filtru, a więc i jego charakterystyka,

różnią się od tej otrzymanej z projektu.

� Szum kwantyzacji powoduje zniekształcenie

wyników filtracji.

� Narażamy się na efekty przepełnienia zakresu.

Zapis współczynników w kodzie C

� W kodzie naszego programu zapisujemy

współczynniki w formie stałej tablicy typu int.

Przypominam: globalnie (nie w main!).

� Liczbę współczynników warto ustawić jako stałą.

� Dobrym pomysłem jest zamieszczanie

współczynników w osobnym pliku *.h.

#define N 30

const int filtr_dp[] = {-4, 39, 97, 149, 133, -23, -337, -701,

-883, -595, 360, 1955, 3883, 5634, 6677, 6677, 5634, 3883, 1955,

360, -595, -883, -701, -337, -23, 133, 149, 97, 39, -4};

Deklaracje zmiennych i buforów

� Bufor kołowy filtru deklarujemy globalnie.

� Bufor należy wypełnić zerami!

� Deklaracje potrzebnych zmiennych:

int bufor[N];

int i;

for (i = 0; i < N; i++)

bufor[i] = 0;

int indeks = 0; // indeks bufora kołowego

int poz; // pozycja odczytu z bufora

long wynik; // akumulator wyniku filtracji

Pętla przetwarzania

// wejscie – próbka odczytana z wejścia (int)

bufor[indeks] = wejscie;

poz = indeks;

wynik = 0;

// przefiltrowanie próbki wejscie

for (i = 0; i < N; i++) {

wynik = _smac(wynik, bufor[poz], filtr_dp[i]);

poz = _circ_incr(poz, -1, N);

}

// wyjscie – próbka wysyłana na wyjście (int)

wyjscie = (int)(_sround(wynik) >> 16);

// aktualizacja indeksu bufora kołowego

indeks = _circ_incr(indeks, 1, N);

Typy filtrów liniowofazowych

� Filtry FIR projektuje się jako układy o liniowej fazie.

� Są cztery typy liniowofazowych filtrów FIR:

� typ I: nieparzysta liczba współczynników,

symetryczna odpowiedź impulsowa – nadaje się

do wszystkich typów charakterystyki;

� typ II: parzysta / symetryczna – tylko DP i P-Z;

� typ III: nieparzysta / antysymetryczna – tylko P-P,

� typ IV: parzysta / antysymetryczna – nie dla DP

Symetryczne filtry FIR

� Symetria odpowiedzi impulsowej:

const int filtr_dp[] = {15, 58, 109, 135, 68, -151, -493, -796,

-788, -201, 1076, 2884, 4798, 6263, 6812, 6263, 4798, 2884,

1076, -201, -788, -796, -493, -151, 68, 135, 109, 58, 15};

Symetryczne filtry FIR

� Możemy wykorzystać symetrię filtru aby zmniejszyć

liczbę mnożeń o połowę. Np. dla filtru typu II

o 30 współczynnikach:

� b0 = b29 (symetria)

� b0 x(n) + b29 x(n–29) = b0 (x(n) + x(n–29))

� Znacząco skraca to czas obliczeń, więc należy

to wykorzystać.

� Dla typu I (nieparzysty) trzeba osobno dodać

współczynnik „bez pary”.

Symetryczne filtry FIR

Zmodyfikowany fragment

// ...

int poz1 = indeks; // najnowsza próbka

int poz2 = _circ_incr(poz1, 1, N); // najstarsza próbka

int sumapr;

for (i = 0; i < N/2; i++) {

sumapr = _sadd(bufor[poz1], bufor[poz2]);

wynik = _smac(wynik, sumapr, filtr_dp[i]);

poz1 = _circ_incr(poz1, -1, N);

poz2 = _circ_incr(poz2, 1, N);

}

// środkowy współczynnik (bez pary)

if (N & 1) // nieparzyste N

wynik = _smac(wynik, bufor[poz1], filtr_dp[i]);

Symetryczne filtry FIR

� Uwaga na sumowanie próbek:

� W tym miejscu niechybnie powstanie przepełnienie!

� Aby się przed nim uchronić, standardowo skaluje się

próbki wejściowe, dzieląc je przez 2 (>>1).

� Po filtracji, wynik można z powrotem pomnożyć x2.

� Tracimy w ten sposób na precyzji zapisu liczb.

int sumapr = _sadd(bufor[poz1], bufor[poz2]);

Symetryczne filtry FIR

� Można jeszcze szybciej. Nasz DSP ma specjalną

instrukcję FIRSADD, która w jednym cyklu

zegarowym wykonuje równolegle (naraz):

� mnożenie współczynnika przez sumę próbek

i dodanie wyniku do sumy, oraz

� sumowanie kolejnych próbek – przygotowanie

do kolejnego cyklu.

� W języku C: instrukcja wewnętrzna _firsadd.

� Ta sama uwaga co do przepełnienia.

Przetwarzanie blokowe

� Przetwarzanie „próbka po próbce” nie jest wydajne.

� W algorytmach DSP zwykle stosuje się przetwarzanie

blokowe:

� próbki z wejścia są zapisywane w buforze

wejściowym,

� próbki z bufora wyjściowego są wysyłane

na wyjście,

� jeżeli bufor wejściowy jest pełny – przetwarzamy

cały bufor naraz.

Przetwarzanie blokowe

Schemat przetwarzania blokowego

bufor_wejscie[indeks_buf] = wejscie; // próbka z wejścia

wyjscie = bufor_wyjscie[indeks_buf]; // próbka na wyjście

indeks_buf++;

if (indeks_buf == ROZMIAR_BUFORA) { // bufor zapełniony

indeks_buf = 0;

// przetwarzanie bufora wejściowego

for (i = 0; i < ROZMIAR_BUFORA; i++) {

// pobierz bufor_wejscie[i]

// przefiltruj tak jak poprzednio

// zapisz wynik do bufor_wyjscie[i]

}

}

Przetwarzanie blokowe

� Kiedy przetwarzanie „próbka po próbce”?

� Gdy zależy nam, aby przetworzona próbka jak

najszybciej trafiła na wyjście.

� Kiedy przetwarzanie blokowe?

� Gdy zależy nam na wydajności przetwarzania,

a małe opóźnienia nie są konieczne.

� Gdy algorytm wymaga obliczeń na bloku próbek

(FFT, splot, itp.).

Filtry FIR w Asemblerze

� Smutna prawda: nie napiszemy w C wydajnego

filtru FIR, który wykorzysta wszystkie możliwości

naszego procesora sygnałowego.

� Trzeba sięgnąć po Asembler.

� „Skoro filtry FIR to typowe algorytmy DSP,

to na pewno ktoś już to napisał, prawda?”

� Oczywiście, że tak. Odpowiedź brzmi: DSPLIB.

DSPLIB

Co to jest DSPLIB:

� Zbiór typowych procedur na DSP firmy Texas

Instruments – filtry, FFT, itp.

� Napisane w Asemblerze, zoptymalizowane.

� Dostępny kod źródłowy – możemy go modyfikować

do celów naszych projektów!

� Opis w dokumencie o nazwie SPRU422J

(można wpisać w Google).

Filtry FIR w DSPLIB

Mamy trzy funkcje:

� fir – standardowa implementacja,

� fir2 – zoptymalizowana dla szybszego trybu

dual MAC, wymaga spełnienia pewnych warunków

co do alokacji buforów,

� firs – szybsza implementacja filtrów symetrycznych,

niestety, tylko parzystych (typ II), więc filtry DP i PZ.

Osobno mamy specyficzne filtry FIR (Hilberta,

decymacyjne, interpolacyjne i drabinkowe).

Jak czytać dokumentację

Z dokumentacji funkcji fir:

� Typ DATA jest synonimem int (16-bit).

� Gwiazdka (*) oznacza, że potrzebny jest wskaźnik:

� dla tablic (buforów): nazwa jest wskaźnikiem,

� dla zmiennych „skalarnych”: wskaźnik trzeba

pobrać stawiając znak & przed nazwą.

FIR w DSPLIB

Z dokumentacji dowiadujemy się, że potrzebny jest

bufor roboczy:

Musimy go sami utworzyć (oczywiście poza main!)

#define N 30 // liczba współczynników

DATA bufor_fir[N + 2];

const int filtr_dp[] = {...} // współczynniki filtru

FIR w DSPLIB

Pierwszy przykład: przetwarzanie próbka po próbce.

� x – próbki do przefiltrowania. U nas jedna próbka,

więc &wejscie (wskaźnik!)

� h – wektor współczynników filtru. Tu uwaga: mamy

go jako const – trzeba rzutować: (DATA*)filtr_dp

� r – miejsce do zapisu przefiltrowanych próbek.

Tak samo jak dla x: &wyjscie

FIR w DSPLIB

Pierwszy przykład: przetwarzanie próbka po próbce.

� dbuffer – bufor roboczy, który utworzyliśmy

� nx – ile próbek przetwarzamy (tu: 1)

� nh – liczba współczynników.

Funkcja zwraca flagę informującą o tym, czy wystąpiło

przepełnienie. Nie przypisywać jej do próbki

wyjściowej!

FIR w DSPLIB

Wywołanie dla przetwarzania próbka po próbce:

Analogicznie, dla przetwarzania blokowego:

fir(&wejscie, (DATA*)filtr_dp, &wyjscie, bufor_fir, 1, N);

fir(bufor_wejscie, (DATA*)filtr_dp, bufor_wyjscie,

bufor_fir, ROZMIAR_BUFORA, N);

FIR w DSPLIB

� Mamy też w DSPLIB filtry zoptymalizowane, w tym

symetryczne. Musimy spełnić warunki określone

w dokumentacji.

� Niezależnie od typu, pamiętajmy że to na nas

spoczywa obowiązek zapewnienia, że nie wystąpi

przepełnienie (np. przez skalowanie próbek):

Podsumowanie

Cechy filtrów FIR:

� (+) łatwe w projektowaniu

� (+) bardzo proste w implementacji

� (+) mogą mieć liniową fazę (i tak je projektujemy)

� (+) nie ma problemów ze stabilnością

� (–) wymagają wysokiego rzędu, a więc dużej liczby

cykli oraz dużej pamięci, aby uzyskać pożądaną

charakterystykę (są dość wolne).

Podsumowanie

Co musimy wiedzieć i umieć:

� Jak działa filtr FIR. Pojęcia: charakterystyka, rząd,

współczynniki.

� Jak rząd filtru wpływa na kształt charakterystyki

i na czas obliczeń.

� Jak zaprojektować filtr FIR.

� Jak skwantyzować współczynniki.

� Co to jest DSPLIB i jak tego używać.

� Jak uruchomić filtr FIR za pomocą DSPLIB.