Serie de Fourier
44
1 Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones ", Genaro González
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1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González
2
Serie trigonométrica de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ...
+ b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ...
Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
3
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p:
02
cos2
π
ππ
π
tsentdtsent
4
Funciones Pares e Impares
Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir
f(t) = f(-t)
f(t)
t
una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir,
-f(t) = f(-t)
f(t)
t
5
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
a
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02
ndttntfaT
T
Tn
,...3,2,1)()(2/
2/
02
ndttnsentfbT
T
Tn
6
Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf w0= 2 /p T
7
Coeficiente a0:
2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
0
2/
2/
02
T
TT tt 0
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
8
Coeficientes an:
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
0
0
0
2/
02 )cos(1)cos(1
T
TTn dttndttna
0)(1
)(1
0
2/
002/
0
00
2
T
TT tnsen
ntnsen
n
0para n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
9
Coeficientes bn:
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
2/
0
0
0
2/
02 )(1)(1
T
TTn dttnsendttnsenb
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1
)cos(1 T
TT tn
ntn
n
1)cos()cos(11
nnn
0para))1(12
nn
n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
10
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
w0 = (p w0= 2 / )p T , es decir, T = 2:
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4
)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
11-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
séptimo armónico
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
12
Nota:
Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.
13
Habíamos calculado los coeficientes para:
TtTpara
Ttparatf
2/1
2/01)(
2/01
02/1)(
Ttpara
tTparatf
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
14
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0
22/
2/
02
T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0
22/
2/
02
3
2 periodo de )3cos(1)(
TttfCalcular la serie de Fourier
de la función periódica:
16
Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto
bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
17
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
18
Simetría de media onda
Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
)()( 21 tfTtf
f(t)
t
19
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría CoeficientesFunciones en la serie
Ningunasenos y cosenos
Par bn= 0únicamente
cosenos
Impar an= 0únicamente
senos
Media onda
Senos y cosenos impares
2/
0
04 )cos()(
T
Tn dttntfa
2/
0
04 )()(
T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parn
aT
Tn
2/
0
04 )cos()(
0
imparndttnsentf
parn
bT
Tn
2/
0
04 )()(
0
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
20
21
22
23
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2p/w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetn
24
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000
n
tintinin
tintinn eebeeaatf
])()([)(1
21
21
021 00
n
tinnn
tinnn eibaeibaatf
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac
n
tinnectf 0)(
T
2 0
25
A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, 1, 2, 3, ...
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
n
tinnectf 0)(
26
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y
ntodoparan
b nn ])1(1[
2
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
27
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[]])1(1[[ 1221 n
nn
nn iic
])1(1[ nni
nc
...)
(...)(
000
000
5513
31
3315
512
tititi
tititi
eee
eeeitf
][21
nnn ibac 0
imparn 2
parn 0
paran
ipara
Cn
imparn 2
)( 0
n
tinen
itf
28
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
00 111
2/
1
0
2/1 00
1
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
)()1(1 2/2/ 000 TinTinTin
o
eeeTin
29
Como w0T = 2p y :
que coincide con el resultado ya obtenido.
isene i cos
)])1(1()1)1[(1 nnTinn o
c
])1(1[2 nTn o
i ])1(1[1 nni
)()1(1 2
ininin
n eeein
c
111cos10
nin isennne
ninin isennnnisennee 11cos22cos001
2
30
10 , 1
01 , 0)(
x
xxH
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside, usando la forma compleja,
31
La función impulso o delta de Dirac
Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
f1(t)
f2(t)
f3(t)
d(t)
t
d(t)
2)(mtm e
m (t) f
32
Propiedades de la función d
t
d(t)
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
33
Calcular la serie de Fourier de d(x):
j
jxij ecx
1
1
)(2
1dxxec jxi
j
1
1
00 )(
2
1dxxec xi
1
1
0 )(2
1dxxc
2
10 c
34
Calcular la serie de Fourier de d(x):
j
jxij ecx
1
1
)(2
1dxxec jxi
j
x 1
2 cos(jx )
j0
Para todas las x ≠ 0 la función delta vale 0 2
1
)( 2
1
2
1
2
1
000
j
jxijxi
j
jxi
eeeCx
1
1
)(2
1dxxc j
35
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
36
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
37
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
38
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
39
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
40
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
41
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
42
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
43
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
44
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
