Seria de Fourier

7/25/2019 Seria de Fourier

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Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniera

Departamento de Matemtica Matemtica Aplicada 2, N

T A R E A S D E P A R C I A L E S

(Entrega en fechas de parciales, segn avance de contenidos)

Prof. Jos Saquimux

Nota: Los ejercicios con numeracin repetida, por ejemplo para los ejercicios:

11.(Elctrica)y11;18.(Civil y Mecnica) y 18; los que tienen indicacin, deben sertrabajados por los estudiantes de la escuela a que hace referencia; mientras que los que

no tienen indicacin deben ser trabajados por los estudiantes de las otras carreras. El

resto de ejercicios debe ser trabajado por todos los estudiantes de todas las carreras. Si

desea trabajar todos los ejercicios, tambin puede hacerlo.

Grficas de series y sus armnicas

1. Considere la serie en senos,

sin2

=

sin2 1

1 sin2 2

2 sin2 3

3

Usando herramienta graficadora, grafique hasta a) n= 5 y b) n= 10, c) Haciendocrecer , establezca a qu funcin peridica corresponde dicha serie y escriba sufrmula.

2. Para la misma serie del ejercicio 1. Usando herramienta graficadora, en un mismo

sistema de coordenadas, presente las 5 grficas de los trminos:

sin2

correspondientes a n= 1, 2, 3, 4 y 5, (componente fundamental, segunda armnica, tercera armnica, y quinta armnica , respectivamente), y la grficade la suma de dichos trminos (suma de armnicas de la serie) .Integrales trigonomtricas y funciones ortogonales

En la deduccin de los coeficientes de las series trigonomtricas de Fourier se usa la

propiedad de ortogonalidad de senos y cosenos, ciertas integrales dan 0. En los

siguientes ejercicios compruebe con papel, lpiz y formularios, la ortogonalidad y no

ortorgonalidad en el intervalo de integracin.

3. T

dttn0

0)cos( , con , para 1,2, 4. sin sin 0para nm , enteros.5. para cualquier n, entero.Series trigonomtricas en senos o cosenos

Dependiendo si la onda tiene simetra par o impar, con papel y lpiz determine su serie

en senos o cosenos de la onda dada y grafique su espectro de lneas.


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6. Onda cuadrada definida en todos los reales y discontinua en , entero. Verifiquesu respuesta graficando su serie.

7. Seal triangular continua en todos los reales. Verifique su respuesta graficando la

serie hasta 5. Note que su periodo es 2.

, 1 0, 0 < < 1

Series trigonomtricas con senos y cosenos

Usando papel, lpiz y formularios, o bien usando comando directo de programas de

computo, determine la serie de la onda dada y grafique su espectro de lneas.

8. Onda senoidal rectificada en con perodo 2.

9. Onda senoidal rectificada en con periodo con recorte de /6.2 3 t

1

VR


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10. Usando comando directo de programa de computo obtenga la serie trigonomtricade la secuencia de pulsos, y grafique el espectro de lneas.

{10, 0 /120, /12 < < 2 ; 211. (Elctrica) Dada la funcin

1 , 0 0, < < 2 , con 0 < < 1

Note que si tiende a cero, la grafica de tiende un pico de altura infinita, y grosorinfinitamente pequeo, se dice que tiende a la funcin Delta de Dirac, en 0 . Se trata de determinar la serie de Fourier de la funcin Delta de Dirac en eseintervalo.

a) Determine /2, y en trminos de de la serie trigonomtrica de,b) Calcule el valor a qu tienden los coeficientes cuando tiende a cero. Estos son

los coeficientes (sin la ) de la serie de la funcin Delta de Dirac.c) Escriba la serie trigonomtrica de Fourier de la Funcin Delta de Dirac, y

usando programa de computo grafique haciendo crecer .11. Para la funcin.

ln |2sin|,a)

Usando programa de computo, obtenga su grfica, y muestre que su periodo es 1b) Usando comando directo de algn programa de computo obtenga la serie

trigonomtrica dey grafquela hasta 10.Series de ondas con simetra de media onda, media onda par o impar.

12. Usando la propiedad de media onda determine la serie trigonomtrica y dibuje su

espectro de lneas de la onda. Use programa de computo para evaluar las integrales y

verificar su respuesta.

0

6

7

6

2

t

1

2

1

V


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{ 3, 0 < 13 1, 1 < 2

13. Usando la propiedad de media onda impar determine la serie trigonomtrica y dibujesu espectro de lneas de la seal. Use programa de computo para evaluar las integrales y

verificar su respuesta.

Integracin y derivacin de series trigonomtricas

14. La derivada de la onda cuadrada definida en todos los reales discontinua en .

Es el tren de impulsos infinitos,

Note que la derivada es cero en los intervalos < < 1, y es para , si nes 0 o par, y es para si nes impar.


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Por derivacin de la serie de la onda cuadrada obtenga la serie de Fourier del tren de

impulsos infinitos, llamada tren de impulsos infinitos.

15. La integral de la onda cuadrada del ejercicio 14, es una onda triangular par. Dibujedicha onda triangular y por integracin de la serie de la onda cuadrada determine la

serie de la onda triangular.

16. (Elctrica) Una voltaje de onda cuadrada cuya serie es

4 ( 13 3 15 5 )Se aplica en las terminales de un elemento inductor puro de inductancia L.

Segn la definicin de fasor; el fasor de voltaje de cada componente armnica de laserie del voltaje es

42 , 1, 5, 9, 42 , 3, 7, 11,

Para un elemento puramente inductivo, la impedancia de cada armnica, este caso es

90, imparY el fasor de corriente para cada componente es

, impara) Determine , para 1, 3, 5 7

b) Usando la transformacin, de fasor a seal en coseno o seno

Si 2 90 , entonces 90 Determine la serie de Fourier de la corriente y grafique las series

e

, si

todos los parmetros son iguales a 1.

16. Para 12 1+ sin

=,

Por derivacin determine la serie de Fourier de

3

12

Y trace su grfica.


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Frmula de Parseval, Frmula de la energa17 (Elctrica)

La corriente en una bobina con 0.01 , es

80 2 12 1= , con 500 rads por segDetermine

a) la tensin en los bornes de la bobina /,b) la corriente eficaz aproximada hasta 5,c)

la tensin eficaz hasta 5 y,d) la potencia media activa.

17. La serie trigonomtrica de

{2 , 2 02 , 0 2es

32 12 1 sin[2 12 ]

=

use la igualdad de Parseval para mostrar que

960 12 1= Esta serie converge muy rpidamente a /960y proporciona mtodo conveniente paraaproximar el valor de .Serie de medio rango

18. (Civil y mecnica)

La carga sobre una viga uniforme de longitudLsimplemente apoyada en sus extremos

est dado por la funcin, , 0 < < Determine las series en senos y cosenos de medio rango de18. Encuentre las series en senos y cosenos de Fourier demedio rango de

{ , 0 /2 , /2 < < Compruebe su respuesta mediante graficas y con programa de computo.


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Serie con ngulo de fase

19. Determine la serie de Fourier con ngulo de fase y dibuje los espectros de amplitud

nc y fase

n de la siguiente serie de Fourier. Grafique para comprobar su respuesta.

)sin(2

)cos(3

32

1

tn

n

tn

n

v

n

Serie compleja o exponencial

A mano, con papel, lpiz y/o formularios de integrales, determine la serie compleja o

exponencial de Fourier. Grafique sus espectros de lneas y fase de las formas de onda

siguientes.

20.

21.

1, 2 01 , 0 < 222. Usando comando directo de programa de computo determine la serie compleja de

{sin , 0 0, < < 2 Ecuaciones diferenciales

23. Determine la solucin en estado estable de

2 1sin

=

24. Determine la solucin general de

2 3 41

cos

=

Aplicaciones

25. (Qumica) En muchas aplicaciones de ingeniera el flujo de calor se aplica

peridicamente durante todo el proceso. En tales casos, la temperatura tambin vara

peridicamente siguiendo la variacin del calor aplicado con algn desfase en el tiempo.

Considerando una placa de espesor , a la cual se aplica en una cara un flujo de calorperidico

,y en la otra cara hay conveccin hacia un ambiente de temperatura

constante ,


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Usando la ecuacin de balance de energa se obtiene la ecuacin diferencial

Donde , 1 , es el coeficiente de transferencia de calor, la densidad y la capacidad trmica.

Si

50 200 sin

=

a) Determine la solucin en estado estable de la ecuacin diferencial (*) en

trminos de y ,b)

Si 1pulg, 490/, 0.11 . , 15 .. , 100. Sustituya estos valores en su solucin anterior y determine latemperatura en estado estable, y grafique.

25(Civil, mecnica)

Suponga que una viga uniforme de longitudLest simplemente apoyada en 0y . Cuando la carga por unidad de longitud es 0/, 0 < < laecuacin diferencial de la flecha (desviacin)

de esa viga es

; , y constantesUsando la serie de medio rango encontrada en el ejercicio 18(civil-mecnica), determine la

solucin particular de la ecuacin diferencial.

25a. (Elctrica) En un circuito serieRLconR= 2 yL= 10 H, se aplica la tensin con

forma de onda cuadrada ( ) 10, 0,f t t y ( ) 10, 0 ,f t t voltios y =

377 radin/segundo. Escriba la serie exponencial o compleja de Fourier de la corriente y

dibuje su espectro de lneas.

25b. (Elctrica) En la red que se ilustra en la figura siguiente, v1(t) es una forma de

onda peridica para =1 radin/segundo.R= 10 , C= 1 F.

Determine el espectro de lneas y el de fase de la respuesta de salida peridica v2(t),

v1(t)v2(t)


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Si v1(t) es la onda cuadrada impar cuya series es:

1

2

2 1

25c. (Elctrica) Se demuestra que si el voltaje aplicado es pequeo, la curva

caracterstica, versus ,en un diodo o transistor es aproximadamente la mostrada en lafigura,

Que se puede modelar con la ecuacin,

1, , > 0 Suponiendo que el voltaje aplicado es alterno

cos

Para determinar las componentes dc, fundamental y armnicas de la corriente ,a) Expanda en serie de Taylor, y determine la serie de Taylor de corriente dada

en (*)

b) Sustituya el voltaje alterno (**) en la serie de Taylor de la corriente

c) Usando identidades en ngulos mltiples: 2, 3, 2 4,etc. (las puede obtener enWolfram alpha) y simplificando algebraicamente, obtenga la serie de Fourier de

la corriente. /2 cos cos2 cos3 d) Suponiendo todas las constantes en y iguales a 1, grafique la serie . Laconstante /2representa la corriente unidireccional, o componente d-c de lacorriente, si esta componente es grande muestra que el diodo acta como un

rectificador, proporcionado corriente directa cuando se aplica un voltaje alterno.

Serie finita de Fourier

26. Determine a mano con papel y lpiz la serie finita para los siguientes conjuntos de

datos

f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, yN= 2.


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27. Usando comando directo de programa de computo calcule la serie discreta, grafique

los espectros de lneas, calcule su transformada inversa y grafique.

Trasformada de Fourier

28. muestre que la transformada de Fourier de

0,)(

aetf ta

, es22

2)(

a

aF

,

grafique sus espectros de amplitud y fase. Use el Mathematica para verificar su

respuesta, tome a= 1.

29. muestre que la transformada de Fourier de

0,)()(

aetHtf ta , es

jaF

1)( ,

grafique sus espectros de amplitud y fase para a= 1. Use computadora para verificar su

respuesta.

30. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de

Fourier de

0,)()(

atetHtf ta

, es2)(

1)(

jaF

,

grafique sus espectros de amplitud y fase para a= 1. Use el Mathematica para verificar

su respuesta.

31. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de

Fourier de

,devalorotropara,0

,20,/1)(

t

tttf

, es

)cos()sin(2

)(

t

j

eF

j

,

grafique sus espectros de amplitud y fase para = 1. Use el Mathematica para verificar

su respuesta.


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32. usando el procedimiento visto en clase para determinar )]sin()[sgn( 0tt , muestre

que

220

0

2

)]cos()[sgn(

j

tt .

33. usando la transformada anterior y la funcin escaln unitario en trminos de la

funcinsigno, muestre que

)].()([2

)]()[cos( 00220

j

tHt

34. calcule )]sin(3)cos(2[ 00 tt

35. la transformada de Fourier de )()sin()( tHattf es

)()(2

)( 000

0

j

F . Calcule )()(cos( ktHkta

5. la transformada de Fourier de )()( tHtetf at es2)(

1)(

jaF

, calcule

)([ ktf

6

. la transformada de Fourier de 0,

ae ta

es22

2

a

a

, calcule

22

2

at

a

7

. La transformada de2)(1

1)(

attf

esa

ea

F /

)(

, calcule

22)(1

2

at

at

38.como )(2

1)sin( 000

ttee

jt

y la transformada del pulso un cuadrado es

/)sin(2)( aF , calcule )sin()( 0ttf

39. use el hecho de que et )1/(1 2 y igualdad de Parseval para mostrar que

2)1( 22

x

dx

Trasformada inversa

40. Con papel y lpiz use integracin directa para encontrar la inversa de la

transformada de Fourier

ej

F2

)(

Compruebe su respuesta usando algn paquete de computadora o calculadora

Con papel y lpiz use fracciones parciales y tablas para invertir las siguientestransformadas de Fourier


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41.)21)(1(

1

jj 42.

2)21)(1(

1

jj

43. Usando comando directo de programas de computadora o calculadora calcule lastransformadas inversas de:

a.22

1

a

b. 22 a

c.

jj 123

d.22

)cos()(

aF

, a> 0.

44. Determine la inversa de 22)cos(

)( aF

, a > 0, reescribiendo la transformadacomo

)(2)(2)(

2222a

e

a

eF

jj

Compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.

45. La transformada del pulso unitario con duracin de 2 s. es ,usando programa de computo, aproxime la grfica del pulso unitario, esto es la inversa

de , calculando numricamente la integral, 12 2

Para 1, 5, 20Este clculo grfico ilustra el efecto en al limitar el ancho de banda de lafrecuencia.

46a. (Elctrica) A un circuito serieRLse aplica la seal )()( tHeVtv tk

o

, a) calcule la

salida en el dominio de la frecuenciaI(), b) esboce a lpiz las graficas del espectro de

amplitud y de fase de la salida, c) calculando la transformada inversa deI() determine

i(t).

46b. (Elctrica) Tomando el contorno cerrado apropiado, encuentre las inversas de las

transformadas de Fourier siguientespor integral de contorno. El parmetro aes un realpositivo.

a) 22 a

b)

jj 123

Luego compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.

46. Determine ,y por inversa determine (a, b, yAson constantes)


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Convolucin y otros temas

47. Use la definicin de transformada de Fourier para mostrar que

0

)(

jdte j .

48. Muestre que

).()()()( 22 tHeetHetHe tttt

Luego verifique usando su calculadora o computadora.

49. Muestre que

.2,0

,20,1

,0,

)]2()([)( 2

2

t

te

tee

tHtHtHe t

tt

t

Luego verifique con su computadora.

50. Sabiendo que la transformada de la convolucin de dos funciones el igual al

producto de las transformadas de dichas funciones. Pruebe que la convolucin de dosDeltas de Dirac es una Delta de Dirac.

Bibliografa

1. Duffy, D. (2003) ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS with

MATHLAB. Second Edition. Chapman & Hall/CRC

2. Hsu, Hwei P. (1973) Anlisis de Fourirer. Fondo Educativo Interamericano,

S.A.

3. Mattheij, R.; Rienstra, S. y ten Thije Boonkkamp, J. (2005) Partial

Differential Equations. SIAM.

4.

Skilling, H. (1967) Electrical Engineering Circuits. John Wiley & Son Inc.

5.

Strang, H. (2014) Differential equations o linear algebra. Wellesley Cambridge

Press.


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Bibliografa adicional

1. Arrillaga, J. Watson, N. Power system harmonics. Second Edition, John

Willey & Sons Ltd, 2003.

2.

Edminister, J. Circuitos elctricos. Serie Schaum. McGraw Hill. 1970.

3.

Fitzgerald, A. Kingsley, C. Umans, S. Mquinas elctricas, Sexta Edicin,

McGraw Hill. 2004.

4. Flores, R. Aplicaciones de la matemtica (taller) UPIBI-IPN, 2010. Mxico.

www.biblioteca.upibi.ipn.mx/Archivos/Material%20Didactico/ApMat.pdf

5. Nahin, P. Dr. Eulers Fabulous Formula, cures many mathematical ills.

Princeton University Press, 2006.

6.

[PDF] Discrete-time Fourier Series and Fourier Transforms

www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdf

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Tr abajo de investigacin

Apl icaciones de las series o transformadas de Four ier en ingeniera y uso de softwar e de matemticaen su clculo

Prof. Jos Saquimux

Objetivos

Aplicar la teora, o una parte relevante de series y transformadas de Fourier

como herramienta para la descripcin y calculo de cantidades asociadas con

ciertos fenmenos que se presentan en su carrera de ingeniera o,

Aprender y mostrar el uso de paquetes matemticos y su programacin para

calculo de series y transformadas de Fourier.
http://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdf


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Puede optar por una de las tres opciones siguientes:

Opcin 1

Aplicaciones en ingeniera

1.

Breve resumen de la teora sobre el fenmeno o problema donde se aplica la

teora de series y transformadas de Fourier,

2. Planteo y resolucin de un problema concreto donde se muestre una aplicacin

de las series de Fourier,

3. Planteo y resolucin de un problema concreto donde se muestre la aplicacin de

la transformada de Fourier, la transformada discreta, o su inversa,

4. Breve comentario y conclusiones sobre el trabajo presentado.

A excepcin de las grficas que deben desarrollarse a computadora, las otras pueden

desarrollarse o presentarse con papel y lpiz o bien a computadora si se prefiere.

Para cada problema debe mostrar las grficas de series truncadas a fin de mostrar su

convergencia, grficas de espectros de amplitud o energa en la frecuencia, y espectro

de fase segn la aplicacin o la grfica del problema presentado.

Fenmenos, problemas o actividades sugeridas a presentar y resolver

Estudio seales en elctrica, electrnica y comunicaciones, estudio de formas de onda

en equipos de sistemas de potencia, estudio de vibraciones mecnicas peridicas,

estudio de la ecuacin de onda en lneas de transmisin de alta tensin, estudio de flujo

de calor, problemas de difusin o transferencia msica u otros.

Opcin 2

Uso de un programas para calculo de series y transformadas de Fourier

1. Descripcin del uso de comandos directos del sofware,

2. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de coeficientes, las series trigonomtricas

y complejas y sus correspondientes espectros de lnea y de fase. Debe presentar

series truncadas para valores finitos y graficas correspondientes que muestren la

convergencia de las series.

3. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de transformadas continuas de funciones

concretas. Presentar las grficas en la frecuencia y en el tiempo.


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4. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de transformada discreta o transformada

rpidade Fourier de funciones concretas. Presentar las graficas de los espectros

de amplitud, de fase y de la inversa en el tiempo.

5.

Breve comentario y conclusiones sobre su trabajo realizado.

Opcin 3

Elaboracin de programas o scripts en cualquier software

1. Breve descripcin el uso del software (Matlab, Python, Geogebra, etc.),

explicando las facilidades del software para programar numrica,

simblicamente o grficamente el clculo de coeficientes de series

trigonomtricas o complejas, grfica de espectros y graficas de series trucadas,

etc.

2. Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de

coeficientes, clculo de la serie trigonomtrica o compleja, grafica de los

espectros y grafica de la serie.

3.

Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de la

transformada de Fourier y su inversa. Adems que grafique los espectros y su

inversa o su inversa aproximada en un ancho de frecuencia limitada.

4.

Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de la

transforma discreta o rpida de Fourier y su inversa. Adems que grafique losespectros y la inversa en el tiempo.

5. Breve comentario y conclusiones sobre su trabajo realizado.

Fecha de entrega: En fecha del tercer examen parcial.

Forma de entrega del reporte:Individual(se anularan copias de trabajos)

Nota. Puede consultar textos y sitios de Internet sobre anlisis y sntesis de redes

elctricas, seales y sistemas, comunicaciones, mquinas elctricas, lneas de

transmisin, vibraciones mecnicas, flujo de calor, uso de paquetes o sobre cualquier,

programacin en Matlab, Python, etc. u otro tpico que considere apropiado para su

trabajo.

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Seria de Fourier

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