7/25/2019 Seria de Fourier
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Universidad de San Carlos Facultad de Ingeniera
Departamento de Matemtica Matemtica Aplicada 2, N
T A R E A S D E P A R C I A L E S
(Entrega en fechas de parciales, segn avance de contenidos)
Prof. Jos Saquimux
Nota: Los ejercicios con numeracin repetida, por ejemplo para los ejercicios:
11.(Elctrica)y11;18.(Civil y Mecnica) y 18; los que tienen indicacin, deben sertrabajados por los estudiantes de la escuela a que hace referencia; mientras que los que
no tienen indicacin deben ser trabajados por los estudiantes de las otras carreras. El
resto de ejercicios debe ser trabajado por todos los estudiantes de todas las carreras. Si
desea trabajar todos los ejercicios, tambin puede hacerlo.
Grficas de series y sus armnicas
1. Considere la serie en senos,
sin2
=
sin2 1
1 sin2 2
2 sin2 3
3
Usando herramienta graficadora, grafique hasta a) n= 5 y b) n= 10, c) Haciendocrecer , establezca a qu funcin peridica corresponde dicha serie y escriba sufrmula.
2. Para la misma serie del ejercicio 1. Usando herramienta graficadora, en un mismo
sistema de coordenadas, presente las 5 grficas de los trminos:
sin2
correspondientes a n= 1, 2, 3, 4 y 5, (componente fundamental, segunda armnica, tercera armnica, y quinta armnica , respectivamente), y la grficade la suma de dichos trminos (suma de armnicas de la serie) .Integrales trigonomtricas y funciones ortogonales
En la deduccin de los coeficientes de las series trigonomtricas de Fourier se usa la
propiedad de ortogonalidad de senos y cosenos, ciertas integrales dan 0. En los
siguientes ejercicios compruebe con papel, lpiz y formularios, la ortogonalidad y no
ortorgonalidad en el intervalo de integracin.
3. T
dttn0
0)cos( , con , para 1,2, 4. sin sin 0para nm , enteros.5. para cualquier n, entero.Series trigonomtricas en senos o cosenos
Dependiendo si la onda tiene simetra par o impar, con papel y lpiz determine su serie
en senos o cosenos de la onda dada y grafique su espectro de lneas.
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6. Onda cuadrada definida en todos los reales y discontinua en , entero. Verifiquesu respuesta graficando su serie.
7. Seal triangular continua en todos los reales. Verifique su respuesta graficando la
serie hasta 5. Note que su periodo es 2.
, 1 0, 0 < < 1
Series trigonomtricas con senos y cosenos
Usando papel, lpiz y formularios, o bien usando comando directo de programas de
computo, determine la serie de la onda dada y grafique su espectro de lneas.
8. Onda senoidal rectificada en con perodo 2.
9. Onda senoidal rectificada en con periodo con recorte de /6.2 3 t
1
VR
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10. Usando comando directo de programa de computo obtenga la serie trigonomtricade la secuencia de pulsos, y grafique el espectro de lneas.
{10, 0 /120, /12 < < 2 ; 211. (Elctrica) Dada la funcin
1 , 0 0, < < 2 , con 0 < < 1
Note que si tiende a cero, la grafica de tiende un pico de altura infinita, y grosorinfinitamente pequeo, se dice que tiende a la funcin Delta de Dirac, en 0 . Se trata de determinar la serie de Fourier de la funcin Delta de Dirac en eseintervalo.
a) Determine /2, y en trminos de de la serie trigonomtrica de,b) Calcule el valor a qu tienden los coeficientes cuando tiende a cero. Estos son
los coeficientes (sin la ) de la serie de la funcin Delta de Dirac.c) Escriba la serie trigonomtrica de Fourier de la Funcin Delta de Dirac, y
usando programa de computo grafique haciendo crecer .11. Para la funcin.
ln |2sin|,a)
Usando programa de computo, obtenga su grfica, y muestre que su periodo es 1b) Usando comando directo de algn programa de computo obtenga la serie
trigonomtrica dey grafquela hasta 10.Series de ondas con simetra de media onda, media onda par o impar.
12. Usando la propiedad de media onda determine la serie trigonomtrica y dibuje su
espectro de lneas de la onda. Use programa de computo para evaluar las integrales y
verificar su respuesta.
0
6
7
6
2
t
1
2
1
V
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{ 3, 0 < 13 1, 1 < 2
13. Usando la propiedad de media onda impar determine la serie trigonomtrica y dibujesu espectro de lneas de la seal. Use programa de computo para evaluar las integrales y
verificar su respuesta.
Integracin y derivacin de series trigonomtricas
14. La derivada de la onda cuadrada definida en todos los reales discontinua en .
Es el tren de impulsos infinitos,
Note que la derivada es cero en los intervalos < < 1, y es para , si nes 0 o par, y es para si nes impar.
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Por derivacin de la serie de la onda cuadrada obtenga la serie de Fourier del tren de
impulsos infinitos, llamada tren de impulsos infinitos.
15. La integral de la onda cuadrada del ejercicio 14, es una onda triangular par. Dibujedicha onda triangular y por integracin de la serie de la onda cuadrada determine la
serie de la onda triangular.
16. (Elctrica) Una voltaje de onda cuadrada cuya serie es
4 ( 13 3 15 5 )Se aplica en las terminales de un elemento inductor puro de inductancia L.
Segn la definicin de fasor; el fasor de voltaje de cada componente armnica de laserie del voltaje es
42 , 1, 5, 9, 42 , 3, 7, 11,
Para un elemento puramente inductivo, la impedancia de cada armnica, este caso es
90, imparY el fasor de corriente para cada componente es
, impara) Determine , para 1, 3, 5 7
b) Usando la transformacin, de fasor a seal en coseno o seno
Si 2 90 , entonces 90 Determine la serie de Fourier de la corriente y grafique las series
e
, si
todos los parmetros son iguales a 1.
16. Para 12 1+ sin
=,
Por derivacin determine la serie de Fourier de
3
12
Y trace su grfica.
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Frmula de Parseval, Frmula de la energa17 (Elctrica)
La corriente en una bobina con 0.01 , es
80 2 12 1= , con 500 rads por segDetermine
a) la tensin en los bornes de la bobina /,b) la corriente eficaz aproximada hasta 5,c)
la tensin eficaz hasta 5 y,d) la potencia media activa.
17. La serie trigonomtrica de
{2 , 2 02 , 0 2es
32 12 1 sin[2 12 ]
=
use la igualdad de Parseval para mostrar que
960 12 1= Esta serie converge muy rpidamente a /960y proporciona mtodo conveniente paraaproximar el valor de .Serie de medio rango
18. (Civil y mecnica)
La carga sobre una viga uniforme de longitudLsimplemente apoyada en sus extremos
est dado por la funcin, , 0 < < Determine las series en senos y cosenos de medio rango de18. Encuentre las series en senos y cosenos de Fourier demedio rango de
{ , 0 /2 , /2 < < Compruebe su respuesta mediante graficas y con programa de computo.
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Serie con ngulo de fase
19. Determine la serie de Fourier con ngulo de fase y dibuje los espectros de amplitud
nc y fase
n de la siguiente serie de Fourier. Grafique para comprobar su respuesta.
)sin(2
)cos(3
32
1
tn
n
tn
n
v
n
Serie compleja o exponencial
A mano, con papel, lpiz y/o formularios de integrales, determine la serie compleja o
exponencial de Fourier. Grafique sus espectros de lneas y fase de las formas de onda
siguientes.
20.
21.
1, 2 01 , 0 < 222. Usando comando directo de programa de computo determine la serie compleja de
{sin , 0 0, < < 2 Ecuaciones diferenciales
23. Determine la solucin en estado estable de
2 1sin
=
24. Determine la solucin general de
2 3 41
cos
=
Aplicaciones
25. (Qumica) En muchas aplicaciones de ingeniera el flujo de calor se aplica
peridicamente durante todo el proceso. En tales casos, la temperatura tambin vara
peridicamente siguiendo la variacin del calor aplicado con algn desfase en el tiempo.
Considerando una placa de espesor , a la cual se aplica en una cara un flujo de calorperidico
,y en la otra cara hay conveccin hacia un ambiente de temperatura
constante ,
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Usando la ecuacin de balance de energa se obtiene la ecuacin diferencial
Donde , 1 , es el coeficiente de transferencia de calor, la densidad y la capacidad trmica.
Si
50 200 sin
=
a) Determine la solucin en estado estable de la ecuacin diferencial (*) en
trminos de y ,b)
Si 1pulg, 490/, 0.11 . , 15 .. , 100. Sustituya estos valores en su solucin anterior y determine latemperatura en estado estable, y grafique.
25(Civil, mecnica)
Suponga que una viga uniforme de longitudLest simplemente apoyada en 0y . Cuando la carga por unidad de longitud es 0/, 0 < < laecuacin diferencial de la flecha (desviacin)
de esa viga es
; , y constantesUsando la serie de medio rango encontrada en el ejercicio 18(civil-mecnica), determine la
solucin particular de la ecuacin diferencial.
25a. (Elctrica) En un circuito serieRLconR= 2 yL= 10 H, se aplica la tensin con
forma de onda cuadrada ( ) 10, 0,f t t y ( ) 10, 0 ,f t t voltios y =
377 radin/segundo. Escriba la serie exponencial o compleja de Fourier de la corriente y
dibuje su espectro de lneas.
25b. (Elctrica) En la red que se ilustra en la figura siguiente, v1(t) es una forma de
onda peridica para =1 radin/segundo.R= 10 , C= 1 F.
Determine el espectro de lneas y el de fase de la respuesta de salida peridica v2(t),
v1(t)v2(t)
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Si v1(t) es la onda cuadrada impar cuya series es:
1
2
2 1
25c. (Elctrica) Se demuestra que si el voltaje aplicado es pequeo, la curva
caracterstica, versus ,en un diodo o transistor es aproximadamente la mostrada en lafigura,
Que se puede modelar con la ecuacin,
1, , > 0 Suponiendo que el voltaje aplicado es alterno
cos
Para determinar las componentes dc, fundamental y armnicas de la corriente ,a) Expanda en serie de Taylor, y determine la serie de Taylor de corriente dada
en (*)
b) Sustituya el voltaje alterno (**) en la serie de Taylor de la corriente
c) Usando identidades en ngulos mltiples: 2, 3, 2 4,etc. (las puede obtener enWolfram alpha) y simplificando algebraicamente, obtenga la serie de Fourier de
la corriente. /2 cos cos2 cos3 d) Suponiendo todas las constantes en y iguales a 1, grafique la serie . Laconstante /2representa la corriente unidireccional, o componente d-c de lacorriente, si esta componente es grande muestra que el diodo acta como un
rectificador, proporcionado corriente directa cuando se aplica un voltaje alterno.
Serie finita de Fourier
26. Determine a mano con papel y lpiz la serie finita para los siguientes conjuntos de
datos
f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, yN= 2.
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27. Usando comando directo de programa de computo calcule la serie discreta, grafique
los espectros de lneas, calcule su transformada inversa y grafique.
Trasformada de Fourier
28. muestre que la transformada de Fourier de
0,)(
aetf ta
, es22
2)(
a
aF
,
grafique sus espectros de amplitud y fase. Use el Mathematica para verificar su
respuesta, tome a= 1.
29. muestre que la transformada de Fourier de
0,)()(
aetHtf ta , es
jaF
1)( ,
grafique sus espectros de amplitud y fase para a= 1. Use computadora para verificar su
respuesta.
30. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de
Fourier de
0,)()(
atetHtf ta
, es2)(
1)(
jaF
,
grafique sus espectros de amplitud y fase para a= 1. Use el Mathematica para verificar
su respuesta.
31. usando formulario de integrales o calculadora, muestre que la transformada de
Fourier de
,devalorotropara,0
,20,/1)(
t
tttf
, es
)cos()sin(2
)(
t
j
eF
j
,
grafique sus espectros de amplitud y fase para = 1. Use el Mathematica para verificar
su respuesta.
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32. usando el procedimiento visto en clase para determinar )]sin()[sgn( 0tt , muestre
que
220
0
2
)]cos()[sgn(
j
tt .
33. usando la transformada anterior y la funcin escaln unitario en trminos de la
funcinsigno, muestre que
)].()([2
)]()[cos( 00220
j
tHt
34. calcule )]sin(3)cos(2[ 00 tt
35. la transformada de Fourier de )()sin()( tHattf es
)()(2
)( 000
0
j
F . Calcule )()(cos( ktHkta
5. la transformada de Fourier de )()( tHtetf at es2)(
1)(
jaF
, calcule
)([ ktf
6
. la transformada de Fourier de 0,
ae ta
es22
2
a
a
, calcule
22
2
at
a
7
. La transformada de2)(1
1)(
attf
esa
ea
F /
)(
, calcule
22)(1
2
at
at
38.como )(2
1)sin( 000
ttee
jt
y la transformada del pulso un cuadrado es
/)sin(2)( aF , calcule )sin()( 0ttf
39. use el hecho de que et )1/(1 2 y igualdad de Parseval para mostrar que
2)1( 22
x
dx
Trasformada inversa
40. Con papel y lpiz use integracin directa para encontrar la inversa de la
transformada de Fourier
ej
F2
)(
Compruebe su respuesta usando algn paquete de computadora o calculadora
Con papel y lpiz use fracciones parciales y tablas para invertir las siguientestransformadas de Fourier
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41.)21)(1(
1
jj 42.
2)21)(1(
1
jj
43. Usando comando directo de programas de computadora o calculadora calcule lastransformadas inversas de:
a.22
1
a
b. 22 a
c.
jj 123
d.22
)cos()(
aF
, a> 0.
44. Determine la inversa de 22)cos(
)( aF
, a > 0, reescribiendo la transformadacomo
)(2)(2)(
2222a
e
a
eF
jj
Compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.
45. La transformada del pulso unitario con duracin de 2 s. es ,usando programa de computo, aproxime la grfica del pulso unitario, esto es la inversa
de , calculando numricamente la integral, 12 2
Para 1, 5, 20Este clculo grfico ilustra el efecto en al limitar el ancho de banda de lafrecuencia.
46a. (Elctrica) A un circuito serieRLse aplica la seal )()( tHeVtv tk
o
, a) calcule la
salida en el dominio de la frecuenciaI(), b) esboce a lpiz las graficas del espectro de
amplitud y de fase de la salida, c) calculando la transformada inversa deI() determine
i(t).
46b. (Elctrica) Tomando el contorno cerrado apropiado, encuentre las inversas de las
transformadas de Fourier siguientespor integral de contorno. El parmetro aes un realpositivo.
a) 22 a
b)
jj 123
Luego compruebe su respuesta usando sus programas de computadora o calculadora.
46. Determine ,y por inversa determine (a, b, yAson constantes)
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Convolucin y otros temas
47. Use la definicin de transformada de Fourier para mostrar que
0
)(
jdte j .
48. Muestre que
).()()()( 22 tHeetHetHe tttt
Luego verifique usando su calculadora o computadora.
49. Muestre que
.2,0
,20,1
,0,
)]2()([)( 2
2
t
te
tee
tHtHtHe t
tt
t
Luego verifique con su computadora.
50. Sabiendo que la transformada de la convolucin de dos funciones el igual al
producto de las transformadas de dichas funciones. Pruebe que la convolucin de dosDeltas de Dirac es una Delta de Dirac.
Bibliografa
1. Duffy, D. (2003) ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS with
MATHLAB. Second Edition. Chapman & Hall/CRC
2. Hsu, Hwei P. (1973) Anlisis de Fourirer. Fondo Educativo Interamericano,
S.A.
3. Mattheij, R.; Rienstra, S. y ten Thije Boonkkamp, J. (2005) Partial
Differential Equations. SIAM.
4.
Skilling, H. (1967) Electrical Engineering Circuits. John Wiley & Son Inc.
5.
Strang, H. (2014) Differential equations o linear algebra. Wellesley Cambridge
Press.
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Bibliografa adicional
1. Arrillaga, J. Watson, N. Power system harmonics. Second Edition, John
Willey & Sons Ltd, 2003.
2.
Edminister, J. Circuitos elctricos. Serie Schaum. McGraw Hill. 1970.
3.
Fitzgerald, A. Kingsley, C. Umans, S. Mquinas elctricas, Sexta Edicin,
McGraw Hill. 2004.
4. Flores, R. Aplicaciones de la matemtica (taller) UPIBI-IPN, 2010. Mxico.
www.biblioteca.upibi.ipn.mx/Archivos/Material%20Didactico/ApMat.pdf
5. Nahin, P. Dr. Eulers Fabulous Formula, cures many mathematical ills.
Princeton University Press, 2006.
6.
[PDF] Discrete-time Fourier Series and Fourier Transforms
www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdf
________________________________
______________________
Tr abajo de investigacin
Apl icaciones de las series o transformadas de Four ier en ingeniera y uso de softwar e de matemticaen su clculo
Prof. Jos Saquimux
Objetivos
Aplicar la teora, o una parte relevante de series y transformadas de Fourier
como herramienta para la descripcin y calculo de cantidades asociadas con
ciertos fenmenos que se presentan en su carrera de ingeniera o,
Aprender y mostrar el uso de paquetes matemticos y su programacin para
calculo de series y transformadas de Fourier.
http://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/dft.pdf7/25/2019 Seria de Fourier
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Puede optar por una de las tres opciones siguientes:
Opcin 1
Aplicaciones en ingeniera
1.
Breve resumen de la teora sobre el fenmeno o problema donde se aplica la
teora de series y transformadas de Fourier,
2. Planteo y resolucin de un problema concreto donde se muestre una aplicacin
de las series de Fourier,
3. Planteo y resolucin de un problema concreto donde se muestre la aplicacin de
la transformada de Fourier, la transformada discreta, o su inversa,
4. Breve comentario y conclusiones sobre el trabajo presentado.
A excepcin de las grficas que deben desarrollarse a computadora, las otras pueden
desarrollarse o presentarse con papel y lpiz o bien a computadora si se prefiere.
Para cada problema debe mostrar las grficas de series truncadas a fin de mostrar su
convergencia, grficas de espectros de amplitud o energa en la frecuencia, y espectro
de fase segn la aplicacin o la grfica del problema presentado.
Fenmenos, problemas o actividades sugeridas a presentar y resolver
Estudio seales en elctrica, electrnica y comunicaciones, estudio de formas de onda
en equipos de sistemas de potencia, estudio de vibraciones mecnicas peridicas,
estudio de la ecuacin de onda en lneas de transmisin de alta tensin, estudio de flujo
de calor, problemas de difusin o transferencia msica u otros.
Opcin 2
Uso de un programas para calculo de series y transformadas de Fourier
1. Descripcin del uso de comandos directos del sofware,
2. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de coeficientes, las series trigonomtricas
y complejas y sus correspondientes espectros de lnea y de fase. Debe presentar
series truncadas para valores finitos y graficas correspondientes que muestren la
convergencia de las series.
3. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de transformadas continuas de funciones
concretas. Presentar las grficas en la frecuencia y en el tiempo.
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4. Mostrar dos ejemplos sobre el clculo de transformada discreta o transformada
rpidade Fourier de funciones concretas. Presentar las graficas de los espectros
de amplitud, de fase y de la inversa en el tiempo.
5.
Breve comentario y conclusiones sobre su trabajo realizado.
Opcin 3
Elaboracin de programas o scripts en cualquier software
1. Breve descripcin el uso del software (Matlab, Python, Geogebra, etc.),
explicando las facilidades del software para programar numrica,
simblicamente o grficamente el clculo de coeficientes de series
trigonomtricas o complejas, grfica de espectros y graficas de series trucadas,
etc.
2. Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de
coeficientes, clculo de la serie trigonomtrica o compleja, grafica de los
espectros y grafica de la serie.
3.
Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de la
transformada de Fourier y su inversa. Adems que grafique los espectros y su
inversa o su inversa aproximada en un ancho de frecuencia limitada.
4.
Presentar un programa o script para el clculo numrico o simblico de la
transforma discreta o rpida de Fourier y su inversa. Adems que grafique losespectros y la inversa en el tiempo.
5. Breve comentario y conclusiones sobre su trabajo realizado.
Fecha de entrega: En fecha del tercer examen parcial.
Forma de entrega del reporte:Individual(se anularan copias de trabajos)
Nota. Puede consultar textos y sitios de Internet sobre anlisis y sntesis de redes
elctricas, seales y sistemas, comunicaciones, mquinas elctricas, lneas de
transmisin, vibraciones mecnicas, flujo de calor, uso de paquetes o sobre cualquier,
programacin en Matlab, Python, etc. u otro tpico que considere apropiado para su
trabajo.
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