1

Spis treści

1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych

2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera

3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera

4. Widma sygnałów

5. Własności transformacji Fouriera

6. Przykład transformat Fouriera

7. Uogólniona transformacja Fouriera

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW

2

Trochę historiiBaron Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830)

Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.

Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki w Paryżu.

Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w wyniku ekspedycji z 1798 roku.

Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble. Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej członkiem w 1817.

W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy Opis Egiptu.

Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.

3

Dyskretne widmo sygnałów okresowych

Dla sygnałów spełniających dwa warunki: ),( Cs s t s t T( ) ( )

s t c c nf tnn

T n( ) cos

01

2

gdzie f TT 1 / oraz

c f s t dtT

T

00

( ) c a bn n n 2 2

n n nb a arc tg( )

a f s t nf t dtn T T

T

2 20

( ) cos( ) b f s t nf t dtn T T

T

2 20

( ) sin( )

można utworzyć szereg

widmo amplitudowe

widmo fazowe

4

Od zespolonego szeregu do transformacji

Fouriera

s t s enjnf t

n

T( )

2

gdzie

s f s t e dtn Tjnf t

f

T

T

( ) 2

0

1

T fT 1 /

Niech fnfT

czyli ,n fT 0

Po zmianie granic całkowania s f s t e dtn Tj n f tT

fT

fT

( ) 2

12

12

s t s enn

jnt T( ) /

2

+

sT

s t e dtn

Tj n t T 1

0

2( ) /

+

s f s fn T ( )Dodatkowo niech

5

Od szeregu do transformacji Fouriera

Podstawiając s f s fn T ( ) oraz nf fT

otrzymujemy ( ) ( )s f s t e dtjft

2 fT 0dla

Ze wzoru s t s n f e fTjn f t

Tn

T( ) ( )

2 oznaczając f dfT

otrzymujemy s t s f e dfjft( ) ( )

2

s f s t e dtn Tj n f tT

fT

fT

( ) 2

12

12

bo fT 0

6

Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera

Sygnał

Czas

-T 0 T

0

1

s(t)

-2/T -1/T 0 -1/T 2/T

0

1

s(f)^

Częstotliwość

Widmo jest funkcją rzeczywistą

s tT t T

t T t T( )

10

dladla i

( )sin( )

s f e dtj f

ef T

fjft jft

T

T

T

T

2 21

22

Obliczyć widmo sygnału

Posługując się definicją transformacji Fouriera

7

Definicja transformacji Fouriera

Ogólnie( ) ( )s f s t e dtj f t

s t s f e dfj f t( ) ( )

2

Dla nas 1 i 2

Często 1 i lub 1 1 2/ i 1

)(ˆ)( fsts

8

Warunki odwracalności transformacjiFouriera

Twierdzenie 1.Niech dany będzie sygnał s L 1( ) taki, że jego transformataFouriera ( )s L 1 , wtedy

s t e s t e dt dfjft jft( ) ( )

2 2

w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.

Twierdzenie 2.

Jeżeli sygnał s L L 1 2( ) ( )

to wtedy jego transformata ).(ˆ 2 Ls

dttsLsdf

)()(1

dttsLsdf

)()( 22

9

Widma sygnałów

( ) ( )s f s t e dtjft

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )s f r f j i f s f e A f ej f j f

( )s f , A f( ) - widma amplitudowe,( )f , ( )f - widma fazowe,( )r f - widmo rzeczywiste,( )i f - widmo urojone.

( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

)(ˆ)(ˆtgarc)(

frfif

- widmo zespolone,

10

Widma sygnałów

arc tg : / , / 2 2 / ( ) /2 2f

A fr f i f

i ff f

r f f( )

( ) ( )( )

sin ( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

0

dla

dla

0)(dla)(0)(dla)(

)(ˆarg)(<fAf

fAffsf

( )tWzajemna jednoznaczność między widmem ( )s f a widmami amplitudowymi i fazowymi:

( )s f razem z ( )flub

A f( ) ( )f)(ˆ)( fsfA

zatem

)(ˆ)(ˆtgarc)(

frfif

razem z

11

Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowegooraz nieparzystość widma urojonego i fazowego

( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft

2 2 2

gdzie( ) ( )cos( )r f s t ft dt

2

( ) ( ) sin( )i f s t ft dt

2

( ) ( )( ) ( )r f r fi f i f

)(ˆ)(ˆtgarc)(

frfif( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

)()()(ˆ)(ˆfffsfs

12

Własności widm

( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2

( ) (( ) ( ))f i f r f arc tg

Dla sygnału s t s t( ) ( )

otrzymujemy

0

)2cos()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsfrfs

Dla sygnału s t s t( ) ( )

otrzymujemy

0

)2sin()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsjfijfs

( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft

2 2 2

13

Transformacja Fouriera jest przekształceniem liniowym

Addytywność s t s t e dt s f s fj f t1 2

21 2( ) ( ) ( ) ( )

Jednorodność a s t e dt as fjft( ) ( )

2

Zatem a s t b s t e dt a s f b s fjft1 2

21 2( ) ( ) ( ) ( )

14

Zachowanie iloczynu skalarnego

Twierdzenie Rayleigha

s t s t dt s f s f df1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

Wynika stąd

0ˆ,ˆ0, 2121 ssss

15

Zachowanie energii

Twierdzenie Parsevala

s sL L2 22 2

zatem

s t dt s f df2 2( ) ( )

16

Zachowanie odległości

Skoro

)()()( 21 tststs

otrzymujemy

dffsdtts 22 )(ˆ)(

to przyjmując

dffsfsdttsts 221

221 )(ˆ)(ˆ)()(

)(ˆ)( fsts bo dla parydzięki liniowości transformacji Fouriera )(ˆ)(ˆ)(ˆ 21 fsfsfs

17

Dualność transformacji Fouriera

( ) ( )s f s t e dtj f t

2

( ) ( )s e s t e dt dfjf j f t

2 2

Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera

( ) ( )s s

( ) ( ) ( ) ( )s f s t e dt s f s t e dtjft jft

2 2

-T 0 T

0

1

s(t)

-2/T -1/T 0 -1/T 2/T

0

1

s(f)^

Np.

18

Początkowa wartość transformaty Fouriera

( ) ( )s f s t e dtj f t

2

Podobnie, podstawiając do przekształcenia odwrotnego otrzymujemy

dffsdfefss jf )(ˆ)(ˆ)0( 02

Podstawiając do przekształcenia0f

otrzymujemy

dttss )()0(ˆ

0t

19

)()(1 tts

)()( 32

2 tts

2

2 π2π3sin

23)(ˆ

f

f

fs

2

1 ππsin)(ˆ

fffs

Zmiana skali czasu sygnału

s at a s f a( ) ( / ) 1

)(ˆ)( fsts

20

Przesunięcie w dziedzinie czasui częstotliwości

Przesunięcie w dziedzinie czasu

s t t s f e jft( ) ( ) 0

2 0

bo s t t e dtjft( )

02 po podstawieniu t t0 równa się

s e e djft jf( )

2 20

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości

s t e s f fjf t( ) ( )20

0

s t e s f fjf t( ) ( ) 20

0

2 2 0 0 0s t f t s f f s f f( )cos( ) ( ) ( )

Sumując obustronnie otrzymujemy

21

)()( 23

1 ttts

ff

f

fffs

j2π

1π

)πsin(

π)πsin()(1̂

)1()1()( 21

12 tttsts

)j2πexp(j2π

1π

)πsin(

π)πsin()j2πexp()(ˆ)(ˆ 12 f

ff

f

ffffsfs

Przesunięcie w dziedzinie czasu

22

)12()12()(1 ttts)πcos(

π2πsin2

)(1̂ ff

f

fs

)j2πexp()12()12()(2 tttts

)1π(cos)1π(

2)1π(sin2

)1(ˆ)(ˆ 12

ff

f

fsfs

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości

23

Różniczkowanie w dziedzinie czasu

Jeżeli :

- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,

- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,

- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadajątransformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla t

d s tdt

jf s fn

nn( )( ) 2

to

24

)()(1 tts

)1()1()()( 12 tt

dttdsts

2

1 π)πsin()(ˆ

fffs

fffs

π)π(sinj2)(ˆ

2

2

Różniczkowanie w dziedzinie czasu

sygnał parzysty

sygnał nieparzysty

Ograniczone nośniki

Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne sąrównież różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego

T

jftdtetsfs0

2)()(ˆ T

jftdtetstjdf

fsd

0

2)(2)(ˆ

T

jftnnn

n

dtetstjdf

fsd

0

2)(2)(ˆ 12)(2)(ˆ

0L

nnnT

nnnn

n

sTdttsTdf

fsd Oznacza to, że widmo )(ˆ fs jest funkcją analityczną.

0f

!)(ˆ

)(ˆ 0

00

nff

dfsdfs

n

ffnn

n

Niech sygnał ma ograniczony nośnik.

Zasada nieoznaczoności Heinsenberga

Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego,0f

-T 0 T

0

1

s(t)

-2/T -1/T 0 -1/T 2/T

0

1

s(f)^

0

0

0 !)(ˆ

)(ˆ0

n

nn

n

ffnn

n

fan

ffdf

sdfs

czyli nośnik widma nie może być ograniczony!

Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.

Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.

27

Nieoznaczoność Heinsenberga

Środek rozłożenia energii sygnału

dttstst 22* )(

Środek rozłożenia energii widma sygnału

dffsfsf 22* )(ˆ

Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów energii, czyli wariancje

dttsttst )()( 22*

22

dffsffsf22

*22 )(ˆ)(

Zasada Heinsenberga t f 0 5,

28

Różniczkowaniew dziedzinie częstotliwości

( ) ( ) ( )s f r f ji f

( ) ( ) ( ) ( )r f r f i f i f

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 1nn

n

n

nn

n

n

n

n

d r fd f

d r fdf

d i fd f

d i fdf

n

nn

dffsdtsjt )(ˆ)()2(

Warunek wystarczający t s t d tn ( )

Obustronnie różniczkując otrzymujemy

Czyli parzyste pochodne zachowują parzystość części rzeczywistej i nieparzystość części urojonej. Czyli sygnał będzie miał wartości rzeczywiste. W przeciwnym wypadku będzie czysto urojony. Można udowodnić, że

29

Splot w dziedzinie czasu

s t s s t d( ) ( ) ( )

1 2 gdy s s L1 22, ( , )

Splot oznaczamy s t s t1 2( ) ( )

Przemienność splotu

s t s t s s t d s s t d s t s t1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Gdy s t1 0( ) i s t2 0( ) dla t 0 to t

dtsststs0

2121 )()()()(

Musi być t 0 aby s t2 ( ) nie było równe zeru

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 2121 fsfsfsdttssts

30

Przykład splotu w dziedzinie czasu

31

f

ff

f

fstttsj2π

)πcos(π

)πsin(

)(ˆ)()( 11

fffstts

π)πsin()(ˆ)()( 22

ff

ff

f

fsfstttttttstsj2π

2π)π2sin(

π)πsin(

)(ˆ)(ˆ)(2

)(2

)(*)(

2

1121

2

21

2

21

Wzory do rysunków

Splatane sygnały

Splot w dziedzinie czasu i jego widmo

jdffsdtst

21)(ˆ)(

bo

32

Splot w dziedzinie częstotliwościi całkowanie w dziedzinie czasu

Całkowanie w dziedzinie czasu

s djf

s ft

( ) ( )

12

Warunek ( )s 0 0 s t dt( )

0

Splot w dziedzinie częstotliwości

s t s t s f s f s g s f g dg1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33

Impuls paraboliczny

Dla sygnału

s t t t tt t

( )

6 6 1 1 10 1 1

2 dladla i

znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.

34

Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą

Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumęs s sp n

gdziesygnał parzysty s t s t s tp ( ) ( ) ( ) 1

2

sygnał nieparzysty s t s t s tn ( ) ( ) ( ) 12

tzn.s t s ts t s tn n

p p

( ) ( )( ) ( )

s t ts t t

p

n

( )( ) 6 1

6

2

Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.

Dla rozważanego przykładu otrzymujemy

35

Widmo części parzystej

( ) ( )s f t e dtpjft

6 12 2

1

1

Posługując się tożsamością

t e dt ea

a t atatat

23

2 2 2 2

otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste

( ) cos( ) sin( )s f ff f f

fp

6 2 1 7 3 22 2 2 2

jfa 2gdzie

36

Prezentacja części parzystej

-1 0 1

0

5

sp(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

6

sp(f)^

SygnałWidmo

amplitudowe

Czas Częstotliwość

37

Widmo części nieparzystej

( )s f t e dtnjft

6 2

1

1

Posługując się tożsamością

t e dt ea

atatat

2 1

otrzymujemy widmo czysto urojone

fff

fjfsn

2

)2sin()2cos()(ˆ

gdzie jfa 2

38

Prezentacja części nieparzystej

-1 0 1

-5

0

5

sn(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

6

sn(f)^

Widmo amplitudoweSygnał

Czas Częstotliwość

39

Wykresy do powyższego przykładu

Widmo amplitudoweSygnał

Czas Częstotliwość

-1 0 1

0

10

s(t)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

6

s(f)^

40

Przykład transformaty Fouriera

Wyznaczyć widmo sygnału s tt t

tt

( )

2 0 11 1 20

dladladla pozostałych

Ze wzoru definiującego transformację Fouriera

( )s f t e dt e dtjft jft 2 2 2

1

2

0

1

Posługując się tożsamością t e dt ea

a t atatat

23

2 2 2 2 otrzymujemy

ffff

fjf

fff

ffs

)2cos()2sin()4cos(

21)4sin()2sin()2cos(

21)(ˆ 22

41

Wykresy do kolejnego przykładu

Widmo amplitudoweSygnał

Czas Częstotliwość

0 1 2

0

1

s(t)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

s(f)^

42

Wykresy do kolejnego przykładu

Widmo amplitudoweSygnał

Czas Częstotliwość0 0.5 1 2

0

1

s(t)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

s(f)^

43

Przykład transformaty Fouriera

Wyznaczyć widmo sygnału

s tt

t( ),

1 0 0 50

dla i 1 t 2dla pozostałych

Posługując się definicją transformacji Fouriera

( ),

s f e dt e dtjft jft 2

0

0 52

1

2

1)cos()2cos()4cos()sin()2sin()4sin(21

fffjffff

44

Wykresy do kolejnego przykładuWidmo amplitudowe równe modułowi części urojonej

widmaSygnał

Czas Częstotliwość

-T 0 T

-1

0

1

s(t)

-5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T0

1

s(f)^

Sygnał jest funkcja nieparzystą, więc widmo jest czysto urojone.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo urojone jest funkcją nieparzystą.

45

Kolejny przykład transformaty Fouriera

Obliczyć widmo sygnału

Tt

TttT

tsdla0

0dla10dla1

)(

Posługując się definicją transformacji Fouriera

( )s f e dt e dtjft

T

jftT

20

2

0

Po całkowaniu

( )s fjf

ejf

ejft

T

jftT

12

12

20

2

0

Po podstawieniu granic otrzymujemy widmo czysto urojone

( ) sin ( )s f jf

fT

2 2

46

Wykresy do kolejnego przykładu

Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widmaSygnał

Czas Częstotliwość

-T 0 T

0

1

s(t)

-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T

0

1

s(f)^

Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą.

47

Kolejny przykład transformaty Fouriera

Obliczyć widmo sygnału

TtTtTt

tTTtts

dla00dla

0dla)(

Korzystając z zależności

s t s t dtT

t

( ) ( )

i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki

( ) ( )

s fs f

j f

2otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste

( )sin ( )

s ffT

f 2

2 2

48

Jeszcze jeden przykład dzisiaj

Jakie jest widmo sygnału

s t e tt

Tt( )

dladla

00 0

Posługując się definicją transformacji Fouriera

( ) ( ) ( )s f e dtT jf

eT jf

T jf t T jf t

2

0

20

12

12

49

Wykresy do jeszcze jednego przykładu

Widmo amplitudoweSygnał

Czas Częstotliwość

0 T 2T 3T

0

1

s(t)

-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T

0

1

s(f)^

50

Kolejny pouczający przykładtransformaty Fouriera

Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa

s t t( ) exp ( )

2 22

widmo ma postać

( ) exps ff

j f

22

2 2

51

Wykresy do kolejnego pouczającego przykładu

Sygnał

Czas

Częstotliwość

-1 0 1

0

1

s(t)

= 2 = 0

-1 0 1

0

1

s(f)^

= 2 = 0

Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widma

Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą. Funkcja Gaussa jest niezmiennikiem transformacji Fouriera.

52

Uogólnienie transformacji Fouriera

lim ( ) ( )

0s t s t gdzie 0

lim ( ) ( )

0s f s f

( )s f uogólniona transformata Fouriera,czyli transformata w sensie granicznym

53

Widma impulsu Diraca i sygnału stałego

Widmo impulsu Diraca

s ts tTT ( )

( )

2s t

t T T tt T t T

t T ( )

dladladla

00

0

lim ( ) ( )T T

s t t

0

( )sin ( )

s ffT

f TT 2

2 2 2

lim ( )T Ts f

0

1

s t t s f( ) ( ) ( ) 1

Transformata Fouriera sygnału stałego

s t s f f( ) ( ) ( ) 1

54

Transformaty Fouriera sygnałów okresowych

s t a a nf t b nf tn nn

( ) cos( ) sin( )

0 0 01

2 2 lub

s t c enj n f t

n( )

2 0

Widmo )2cos()( 0tnftsc

s t nf t s f nf s f nf( )cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0

cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t f nf f nf

sin( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t j f nf j f nf

e nf t j nf tjnf t20 0

0 2 2 cos( ) sin( ) e f nfjnf t20

0 ( )

1

000 )()(5,0)()(ˆn

nnnn nffjbanffjbafafs

n

n nffcfs )()(ˆ 0

55

ttts

π)πsin()(1

)π(j2sin)(j2π)( 12 ttstts

)()(1̂ ffs

)()()(ˆ 21

21

2 fffs

Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości

n

nn

dffsdtsjt )(ˆ)()2( bo

56

)1()1(21)(ˆ)π2cos()( 22 fffstts

Iloczyn w dziedzinie czasu

fffstts

)sin()(ˆ)()( 11

)1π(2)1π(sin

)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121

ff

fffsfstttsts

57

Iloczyn w dziedzinie czasu

)1π(2)1π(sin

)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121

ff

fffsfstttsts

58

Transformacja Fouriera sygnałuz niezerową wartością średnią

s t s t s( ) ( ) 0

gdzie )(0 ts spełnia warunki dla klasycznej transformacji Fouriera

sT

s t dtT

T

T

lim ( )

12

s t s t s s f s f s f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

s sygnał o stałej wartości, czy

59

Transformacja Fouriera sygnału 2-D

Widmo sygnału dwu-wymiarowego

dydxeyxsffs yfxfjyx

yx )(2),(),(ˆ

s x y s f f e df dfx yj f x f y

x yx y( , ) ( , ) ( )

2

60

Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera

Jeśli x f n, to

( ) ( )s f s x e dx dxj f xn

xx

T

n

21

1

s x s f e df dfj f xn

ff

T

n

( ) ( )

21

1