37

gdzie ∫ σ= dyIx

2 oznacza moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną

pływania względem osi x (obliczony zgodnie z oznaczeniami osi przyjętymi na rys.2.8c). Wprowadzając tę zależność do wzoru (2.38) obliczamy

,x

Id

lτθ

= (2.40)

gdzie τ jest objętością zanurzonej części ciała.

Oznaczmy odległość środka ciężkości SC od środka wyporu SW literą a; przyj-

miemy ,0>a gdy środek ciężkości leży powyżej środka wyporu. Przedłużając linię

działania siły θWr otrzymujemy na przecięciu się z osią ′z punkt M, nazywany

p u n k t e m m e t a c e n t r y c z n ym lub m e t a c e n t r u m . Odległość metacen-

trum od środka ciężkości SC nazywa się w y s o k o ś c i ą m e t a c e n t r y c z n ą ;

jest ona oznaczana literą m. Przyjmuje się m> 0 w przypadku gdy metacentrum leży

powyżej środka ciężkości .C

S Z rys. 2.8b i 2.8d wynika, że ciało pływające na po-

wierzchni jest stateczne w zakresie małych wychyleń z położenia równowagi o ele-

mentarnie mały kąt, gdy odległość metacentryczna jest dodatnia

.0>m (2.41)

Z zależności geometrycznych, widocznych na rys. 2.8b, wyznaczamy

θ+≈θ+= dmadmal )()(sin)(

i następnie po wykorzystaniu (2.40) ostatecznie otrzymujemy

.0>−τ

= aI

m x (2.42)

ĆWICZENIA

Przykład 2.1. Mikromanometr napełniony dwiema cieczami nie mieszającymi

się o różnych gęstościach ρ1 840= kg m3 i ρ2 790= kg m3 zbudowano w kształ-

cie U-rurki z dwoma zbiorniczkami (rys. 2.9). Średnica rurki d = 8 mm, średnica

zbiorniczka D = 80 mm. Określić zależność pomiędzy różnicą ciśnień ,)( 21 pp −

a wysokością h słupa cięższej cieczy.

38

Rys. 2.9

Z rys. 2.9 wynikają zależności:

0=p∆

,)()( 21 caba +γ=+γ

0>p∆

,)()( 2211 hacphabp −+′γ+=−+′γ+

które odejmujemy stronami

.)()( 222111 hccphbbp γ−−′γ+=γ−−′γ+

Z porównania wypartych objętości cieczy mamy

b b c c− ′ = ′ −

oraz

π πDc c

dh

2 2

4 4( ) ,− ′ =

czyli

b bd

Dh− ′ =

2

.

39

Po wykorzystaniu tych wzorów uzyskujemy związek

−

γ+=

+

γ− 11

2

22

2

11 D

dhp

D

dhp

i ostatecznie otrzymujemy

( ) .21

2

2121 hD

dgppp

ρ+ρ

+ρ−ρ=−=∆

Przykład 2.2. Do U-rurki zatopionej z jednej strony nalewano stopniowo rtęci(rys. 2.10). Znając ciśnienie atmosferyczne pa oraz wysokość rurki h, wyprowadzić

zależność między wysokościami a i b poziomów rtęci w obu ramionach U-rurki.

Rys. 2.10

Zakładamy, że sprężanie powietrza w zamkniętym ramieniu U-rurki odbywa sięizotermicznie. Obowiązuje więc w tym przypadku prawo Boyle’a-Mariotte’a

,)(1 bhphpa

−=

gdzie p1 jest nieznanym ciśnieniem powietrza.

Drugie równanie wynika z warunku równości ciśnień na poziomie 0-0:

.1 bpapa

γ+=γ+

Po wyeliminowaniu ciśnienia 1p otrzymujemy:

.)( babh

bp

a−γ=

−

40

Przykład 2.3. W akumulatorze hydraulicznym (rys. 2.11) całkowicie wypełnio-

nym olejem o gęstości ,mkg860 3=ρ zainstalowano dwa cylindry z tłokami, prze-

sunięte względem siebie o wysokość h = 0,5 m. Na tłok o średnicy d = 25 mm działasiła kN.11 =P Jaką siłę P2 należy przyłożyć do drugiego tłoka, o średnicy D = 100

mm, aby układ znajdował się w stanie równowagi?

Rys. 2.11

Ciśnienie na poziomie osi symetrii tłoka o średnicy D (poziom 1 na rys. 2.11)wynosi

2

2

1

1

σ=ρ+

σ=

Pgh

Pp .

Ponieważ:

,4

,4

2

2

2

1

Dd π=σ

π=σ

zatem

.44

22

21

D

Pgh

d

P

π=ρ+

π

Z ostatniej zależności wyznaczamy siłę P2

.4

4 21

2

2

ρ+

π

π= gh

d

PDP

41

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy

.kN162 =P

Przykład 2.4. Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dookoła piono-wej osi ze stałą prędkością kątową ω (rys. 2.12a). Wyznaczyć kształt powierzchniswobodnej w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnienia.

Rys. 2.12

Jednostkowa siła masowa działająca na dowolną cząstkę w naczyniu (rys. 2.12b)jest wypadkową jednostkowej siły ciężkości i jednostkowej siły bezwładności, którewyrażają się następującymi zależnościami:

.,sin,=co 2222gZyrYxrX −=ω=ϕω=ωϕω= s

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać

;022 =−ω+ω zdgydyxdx

po jego scałkowaniu uzyskujemy związek

,)(21 222

Czgyx =−+ω

który łatwo można zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych

.21 22

Czgr =−ω

42

Powierzchnie ekwipotencjalne (również powierzchnia swobodna) są więc parabolo-idami obrotowymi.

Z warunku z z= 0 dla r = 0 mamy

,0zgC −=

a stałą z0 można wyznaczyć porównując objętość cieczy w spoczynku i ustalonym

ruchu obrotowym.Rozkład ciśnienia wynika z rozwiązania równania (2.9). Po jego scałkowaniu

i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku p p= 0 dla r = 0 , z z= 0 otrzymujemy

.)(2 0

22

0 zzgr

pp −ρ−ωρ

+=

Przykład 2.5. Określić stosunek H B wysokości zapory do jej szerokości

z warunku, że moment Ph wywracający zaporę stanowi połowę momentu ustatecz-niającego G b (rys. 2.13). Długość zapory w kierunku normalnym do płaszczyznyprzedstawionej na rysunku 2.13 wynosi L; zaporę traktujemy jako bryłę jednorodnąo ciężarze właściwym γ z ; ciężar właściwy wody γ w .

Rys. 2.13

Parcie działające na zaporę obliczamy ze wzoru (2.26)

.21

22LHLH

HP

wwγ=γ=

Odległość punktu przyłożenia wypadkowej parcia od zwierciadła wody jest określo-na wzorem (2.28). Wobec tego

43

.

2

122

3

LHH

HLH

hH +=−

Zważywszy następnie, że:

,32,

2BbL

HBG

z=γ=

ze wzoru

bGhP21=

obliczamy

.w

z

B

H

γγ

=

Przykład 2.6. Zbiornik wody jest zamknięty obrotową płytą, wygiętą w kształciećwiartki walca kołowego i obracającą się względem osi, której śladem jest punkt S

(rys. 2.14). Należy obliczyć wypadkowe parcie Pr na płytę, jego punkt przyłożenia

oraz moment względem osi S. Szerokość zbiornika wynosi L.

Rys. 2.14

44

Składowe Px i Pz wynikają bezpośrednio ze wzorów (2.30) i wynoszą:

.4

;2

π−γ=

−γ=

RHLRP

RHLRP

zx

Dowolne parcie elementarne przechodzi przez punkt N, przez ten punkt będzierównież przechodzić wypadkowa układu parć elementarnych. Stąd wyznaczymy

kąt β, jaki tworzy siła Pr z płaszczyzną poziomą.

Linia działania składowej Px jest określona wzorem (2.31); jej odległość od

zwierciadła cieczy jest więc równa

.

212

2

2

−+

−=

RH

RRHz

p

Linia działania składowej Pz przechodzi przez środek ciężkości bryły jednorod-

nej, o podstawie będącej różnicą powierzchni H R i ćwiartki koła; jej położenie okre-ślamy wykorzystując wzór (2.32)

.

4

32

4

34

42

2

2

RH

RH

R

LR

RH

LRR

RHR

xp π

−

−=

π−

π

π−

=

Moment MS wypadkowej Pr względem osi S jest sumą momentów obu składo-

wych Px i Pz względem tej osi

.2

)( 2

−γ=+−+=

RHLRRHzPxPM

PxPzs

Przykład 2.7. Areometr zanurza się w wodzie o gęstości 0ρ do głębokości ,0h

a w cieczy o gęstości 1ρ do głębokości .1h Na jaką głębokość h zanurzy się on

w cieczy o gęstości ?ρ

Na podstawie prawa Archimedesa możemy napisać następujące równania rów-nowagi

,)()()( 0110000 ghghghgm ρσ+τ=ρσ+τ=ρσ+τ=

45

gdzie m oznacza masę areometru, σ - przekrój rurki areometru, a 0τ - objętość ku-

listej części areometru.Z powyższych równań otrzymamy

,11

00

0 hm

hm

hm σ−

ρ=σ−

ρ=σ−

ρ=τ

skąd wynikają dwie zależności dla przekroju rurki areometru:

,11

1010

ρ

−ρ−

=σhh

m

,11

00

ρ

−ρ−

=σhh

m

z których wyznaczamy szukaną wielkość h

.)(

)()(

01

01010 ρ−ρρ

ρ−ρρ−+= hhhh

Przykład 2.8. Obliczyć stosunek średnicy D do tworzącej L walca kołowegojednorodnego o ciężarze właściwym ,1γ pływającego w cieczy o ciężarze właściwym

,2γ w taki sposób, że jego tworzące są normalne do zwierciadła cieczy (rys. 2.15).

Rys. 2.15

Warunek równowagi trwałej wynika ze wzorów (2.41) i (2.42). Obliczamy po-szczególne wielkości. Moment bezwładności płaszczyzny pływania względem osipoziomej x wynosi

46

ID

x =π 4

64.

Objętość zanurzona

.44 2

122

γγπ

=π

=τ LD

lD

Odległość środka ciężkości SC od środka wyporu SW

.1222 2

1

γγ

−=−= LlLa

Po podstawieniu tych wielkości do warunku (2.42) otrzymujemy

.182

1

2

1

γγ

−γγ

>L

D