RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU

Wykład 5

1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.

a

a

gq a

x

z

a

(1)

Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą:

(2)

Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy:

(3)

a po scałkowaniu

(4)

Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać:

Po przekształceniu otrzymamy kierunkowe równanie płaszczyzny nachylonej do poziomu pod kątem , oznaczonym na rys. 1.a

zatem

Widać zatem, że w rozpatrywanym przypadku powierzchnie jednakowego ciśnienia są płaszczyznami nachylonymi do poziomu pod kątem .a

(5)

(6)

a

x

z

a

Stałą c wyznaczamy z warunku, że gdy x=0 i z=0, to , zatem . Równanie (9) przybiera więc postać:

Rozkład ciśnienia wyznaczamy z zależności

Która po podstawieniu wartości składowych jednostkowej siły masowej, określonym równaniem (2) przybiera postać.

(7)

(8)

bp p bc p

Po scałkowaniu

(9)

(10)

2. Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym wokół pionowej osi.

w

H

z0

h

w2x

g

z

x

R

x

y

w2x

w2y

r

Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:

(11)

Po podstawieniu do równani (1) otrzymamy:

(12)

X

Y

Z

Po scałkowaniu

(13)

Ponieważ , to równanie (13) przybiera postać 2 2 2x y r

(14)

w

H

z0

h

z

x

Równanie swobodnej powierzchni cieczy wyznaczamy dobierając stałą c tak, aby dla r=0 współrzędna (wierzchołek paraboli). Stała . 0z z 0c gz

Po podstawieniu do (14) otrzymujemy równanie swobodnej powierzchni cieczy w postaci

(15)

lub

(15a)

0z - współrzędna z wierzchołka paraboli

Jeśli naczynie w stanie spoczynku było wypełnione do wysokości h, to wyznaczamy z porównania objętości

0z

h

z

x

z0

H

(16)

(16a)

Dla z równania (15) otrzymujemy 0r R, z H z

skąd współrzędna .Po podstawieniu do równania powierzchni (15) otrzymamy

(17)

(18)

Po podstawieniu do (16) i uproszczeniu

(19)

ROZKŁAD CIŚNIEŃ

Po podstawieniu (11) do (7) otrzymamy;

Po scałkowaniu

a po przekształceniu

(20)

(21)

Stałą c wyznaczamy z warunku: i po podstawieniu jej do równania (21) otrzymamy równanie na rozkład ciśnienia w postaci:

0 0 0 0r 0, z z , p=p to c=p gz

(22)

Gdzie występuje największe ciśnienie?

3. Równowaga względna płynu w ruchu jednostajnie obrotowym wokół poziomej osi.

a) w naczyniu całkowicie wypełnionym cieczą

1OO M MAB

z

x

w2 r

w2g

O1

O

rM

A

B

q

g

Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą:

Po podstawieniu do równania jednakowej powierzchni ciśnienia Xdx+Ydy+Zdz=0 otrzymamy:

(23)

Po scałkowaniu

(24)

(25)

a po przekształceniu

(26)

Jest to równanie powierzchni walcowych o osi przesuniętej w górę względem osi obrotu o odległość . Odległość tę wyznaczamy z podobieństwa trójkątów , zatem .

1OOw 2

1 1O OM i MAB: OO / r g / r w 21OO g /

Po podstawieniu składowych siły masowej (23) do równania na rozkład ciśnienia otrzymamy:

(27)

które po scałkowaniu przybiera postać

lub

Gdy to i powierzchnie ekwipotencjalne stają się walcami o osi pokrywającej się z osią obrotu (warunek brzegowy r=0, z=0 to p=pb). Wzór na rozkład ciśnienia przybiera postać

w 1OO 0

(28)

(29)

(30)

b) w naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą

(31)

W naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą równowaga względna zachodzi dopiero przy dostatecznie dużej prędkości kątowej. Gdy ,to , a wzór na ciśnienie przybiera postać:

w 1OO 0

z

xO=O1

rM

w 2

ar

r0pb

Przykład 1: Naczynie wypełnione wodą o gęstości ρ=1000kg/m3 obraca się jednostajnie wokół osi pionowej. Średnica naczynia wynosi D=2R=2m. Obliczyć prędkość kątową przy której zwierciadło wody dotknie dna naczynia. Poziom cieczy w stanie spoczynku wynosi H=10m.

h

z

x

H

D

ω

V’

Objętość paraboloidy obrotowej

21'

8V D h

Z bilansu objętości wynika, że2 2

21

4 4 8

D DH h D h

2h H

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej (15a) ma postać

w 2 21z r

2g

(32)

(33)

(34)

(35)

Dla punktu z=h i r=R i podstawieniu (34)

w 2 21h R 2H

2g

skąd w

2 2

4gH 4g 10 rad19,8

sR 1

(36)

(37)

Przykład 2: Naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełniono całkowicie cieczą. Jaka objętość cieczy przeleje się przez obrzeże naczynia jeśli wiruje ono z prędkością kątową ω.

h

z

x

H

D

ω

V

z0

21

8V D h

w 2 20

1z(R) H R z

2g

w 2 20

1h H z R

2g

2 2 2

4 2

1 1

8 2

64

V D Rg

D

g

w

w

Przykład 3Przykład 3 Zbiornik stożkowy o wymiarach R i H, napełniony całkowicie cieczą, wprowadzono w ruch jednostajnie obrotowy wokół pionowej osi. Przy jakiej prędkości kątowej powierzchnia swobodna cieczy będzie styczna do ściany zbiornika ?

Równanie swobodnej powierzchni cieczy ma postać:

w

2 2

0

rz z ,

2g(1)

a po przekształceniu

w 0

2gr z z . (2)

Pochodna dr/dz wynosi

w

0

2gdr 1,

dz 2 z z

aw

z H 0

2gdr 1 Rtg .

dz 2 HH z

a w punkcie z=H odpowiednio

(3)

(4)

Równanie (1) dla z=H i r=R przybiera postać:

ww

2 20 2 2

0

1 2gH z R / 2g .

H z R(5)

Stąd

w

0

2g1.

RH z (6)

Po podstawieniu równania (6) do (4) otrzymamy:

ww w

2g 2gR 1

gHH 2 R R

(7)

Przykład 4 Zbiornik w kształcie sześcianów o boku b wirują w płaszczyźnie poziomej w odległości r od osi obrotu. Oblicz liczbę obrotów n, przy której ściany zbiorników bliższe osi będą suche.

Po odjęciu stronami wyrażenia (2) i (1)

w

2 2

0

rz z

2g(1)

w

22

0z z b r b .2g

(2)

Zapiszemy równanie swobodnej powierzchni cieczy dla r i r+b

w

22 2b r b r ,

2g(3)

stąd

w w

2 2 2 2 2g2gb r 2rb b r .

2r b (4)

Prędkość obrotowa wynosi

30 2g obrn , .min2r b

(5)

Przykład 5 Znaleźć kształt powierzchni jednakowego ciśnienia dla cieczy wypełniającej naczynie cylindryczne wirujące dookoła pionowej osi i zsuwającej się po gładkiej osi nachylonej do poziomu pod kątem.

Na cząstkę cieczy w dowolnym punkcje M działają siły masowe: . Składowe jednostkowej siły masowej wynoszą odpowiednio:w a++++++++++++++++++++++++++ ++

2r , g, gsin

w a aw

a

2

2

2

X x gsin cos ,

Y y,

Z g gsin .Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przybiera więc postać:

w a a w a 2 2 2x gsin cos dx y dy g gsin dz 0.

Po scałkowaniu :

w a a a 2 2 2 21x y gx cos sin gz cos c.

2

Powierzchnie jednakowego ciśnienia mają więc kształt paraboloid obrotowych

Przykład 6 Zamknięte naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełnione jest cieczą do wysokości h. Przy jakiej prędkości kątowej paraboloidy tworzącej powierzchnię swobodną dotknie dna.

(1)

a) Dla h<H/2 Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( )0z 0

w

2 2rz

2g

a w punkcie A zachodzi równość

w w

2 2 2 2

1

R Dh .

2g 8g

Wysokość paraboloidy obrotowej wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.

2 2 21 1

1R H h R h R H h .

2

1h

(2)

Po wymnożeniu

2 2 2 2 21 1

1R H R h R h R H R h h 2h.

2(2a)

w 4

gh.D

Po podstawieniu do (1) otrzymamy:

(3)b) Dla h>H/2

(4)

Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( )0z 0

w

2 2rz

2g

a w punkcie A zachodzi równość

w

2 21rH .2g

Wartość promienia wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu.

21rD

H h H,4 2

1r

(5)

stąd

221

D H hr .

2H (6)

Po podstawieniu (6) do (4) otrzymamy:

w

2H g.

D H h (7)