Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNEzadania z odpowiedziami

Maciej Burnecki

opracowaniestrona główna

Spis treści

I Równania pierwszego rzędu 1

o rozdzielonych zmiennych 2

jednorodne 3

liniowe 3

Bernoulliego 4

Równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego 4

II Układy równań liniowych 4

jednorodnych 4

niejednorodnych – metoda uzmienniania stałych 5

III Równania liniowe wyższych rzędów 6

Metoda eliminacji dla układów równań 7

IV Przekształcenie Laplace’a 7

V Stabilność punktów równowagi 8

VI Pierwsze kolokwium 8

VII Drugie kolokwium 10

VIII Egzamin 12

1

http://prac.im.pwr.wroc.pl/~mburn/rr-opr.pdf

http://prac.im.pwr.wroc.pl/~mburn/index.html

Część I

Równania pierwszego rzęduo rozdzielonych zmiennych

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czystawoda z prędkością 5 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilośćsoli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jestnatychmiastowy.

2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływaczysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów naminutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy irozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przecina oś rzędnych w punkcie (0, 1). W każdym punkcie tej krzywejtangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznaczrównanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przecina oś odciętych w punkcie (1, 0). W każdym punkcie tej krzy-wej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4.Wyznacz równanie tej krzywej.

5. Przy założeniu y(t) ∈ (π, 2π), rozwiąż równanie y′(t)− cos tsin(y(t))

et = 0.

6. Rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) y′(t) + y2(t) ctg t = 0, y(π

2

)= 1,

(b) (1 + t)y′(t)− 1− y2(t) = 0, y (0) = 0,

(c) ety′(t) = (y(t) + 1)2, y(0) = 0,

(d) y′(t)− cos tsin(y(t))

= 0, y (0) =π

2,

(e)√

1− t2 dy −(1 + y2(t)

)dt = 0, y

(12

)=

√3

3,

(f) 3y2(t)2−t dy − tdt = 0, y(0) = 0,

(g) y′(t)− (y(t) + 1)2 cos(t) = 0, y (0) = 0,

(h) y′(t)− 3t2

cos(y(t))= 0, y (0) = 0.

Odpowiedzi, wskazówki

1. y(t) = 0, 1e−0,05t.

2. y(t) = (t−40)2800 ,

3. y(t) = e2t.

4. y(t) = 4− 4et−1.

5. y(t) = 2π − arc cos(C − sin t+cos t2 et

).

6. (a) y(t) = 11+ln sin t

(b) y(t) = tg ln(t+ 1),

2

(c) y(t) = −1 + et,

(d) y(t) = arc cos(− sin t),

(e) y(t) = t√1−t2 ,

(f) y(t) = 3

√t2tln 2 −

2tln2 2 + 1

ln2 2 ,

(g) y(t) = sin(t)1−sin(t) ,

(h) y(t) = arc sin(t3).

jednorodne

1. Rozwiąż równanie

(a) t2 dy +(−y2(t) + y(t)t− t2

)dt = 0,

(b) t dy −(y(t) + te

y(t)t

)dt = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)t2 − y2(t)− y(t)t− t2 = 0, y(1) = 1.


1. (a) y(t) = t lub y(t) = t− t

ln |t|+ C,

(b) y(t) = −t ln(C − ln |t|).

2. y(t) = t tg(π

4+ ln t

).

liniowe

1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmiennianie stałej, rozwiąż równanie

(a) y′(t) + 5y(t) = t,

(b) y′(t) + ty(t) = t,

(c) y′(t) + 2y(t) = cos t.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) t dy + (y(t)− tet) dt = 0, y(1) = 1,

(b) tg t dy +(y(t)

cos2 t+

1t2 − 1

)dt = 0, y

(π4

)= ln

√4 + π

4− π.

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przecina oś rzędnych w punkcie (0, 3). W każdym punkcie tej krzywejtangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy różnicy rzędnej i odciętej punktu styczności. Wyznaczrównanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przechodzi przez środek układu współrzędnych. W każdym punkcietej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy sumie rzędnej i podniesionej do kwadratuodciętej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.


1. (a) y(t) = 15 t−

125 + Ce−5t,

(b) y(t) = 1 + Ce−12 t2,

(c) y(t) = 2 cos t5 + sin t

5 + Ce−2t.

3

2. (a) y(t) = et − et

t + 1t .

(b) y(t) = ctg t ln√1+t1−t .

3. y(t) = t+ 1 + 2et.

4. y(t) = −t2 − 2t− 2 + 2et.

Bernoulliego


(a) − dy +(y(t)− y2(t)

)dt = 0,

(b) 3 dy +y3(t)− 4y2(t)

dt = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) + y(t) = −2e−3t

y2(t), y(0) = 1.


1. (a) y(t) = 0 (funkcja stała) lub y(t) = et

C+et ,

(b) y(t) = 3√

4 + Ce−t.

2. y(t) = 3√

(1− 6t)e−3t.

Równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego


(a) ty′′(t) + 2y′(t) = 0,

(b) ty′′(t) + 4y′(t) = 0,

(c) y′′(t) sin t− y′(t) cos t = 0,

(d) y′′(t)y(t) + (y′(t))2 = y′(t).

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′′(t) sin t− 2y′(t) cos t = 0, y(π

2

)= 2π, y′

(π2

)= 4.


1. (a) y(t) = Ct +D,

(b) y(t) = Ct3 +D,

(c) y(t) = C cos t+D,

(d) y(t) = C (funkcja stała) lub y(t)− C ln |y(t) + C| − t−D = 0 (rozwiązanie w postaci uwikłanej).

2. y(t) = 2t− sin(2t) + π.

Część II

Układy równań liniowychjednorodnych

1. Metodą Eulera dla przypadku jednokrotnych wartości własnych, rozwiąż układ

4

(a){x′(t) = −x(t) + 1

2y(t),y′(t) = 4x(t),

(b){x′(t) = x(t) + y(t),y′(t) = −2x(t) + 4y(t),

(c){x′(t) = 7x(t) + 2y(t),y′(t) = −17x(t)− 3y(t),

(d){x′(t) = 2x(t) + 2y(t)y′(t) = 3

2x(t) + 4y(t),

(e){x′(t) = 2x(t) + y(t)y′(t) = 3x(t) + 4y(t).


1. (a){x(t) = Ce−2t +Det

y(t) = −2Ce−2t + 4Det,

(b){x(t) = Ce2t +De3t,y(t) = Ce2t + 2De3t,

(c){x(t) = e2t [C cos(3t) +D sin(3t)] ,y(t) = e2t

[(− 52C + 3

2D)

cos(3t) +(− 32C −

52D)

sin(3t)],

(d){x(t) = Cet +De5t

y(t) = − 12Cet + 3

2De5t,

(e) Wartościami własnymi są 1, 5, odpowiadają im przykłady wektorów własnych(

1−1

),(

13

), co daje

rozwiązanie{x(t) = Cet +De5t

y(t) = −Cet + 3De5t.

niejednorodnych – metoda uzmienniania stałych

1. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

(a){x′(t) = −y(t)− e−ty′(t) = 6x(t)− 5y(t)− 6e−t,

(b){x′(t) = x(t)− y(t) + sin t+ cos ty′(t) = 2x(t)− y(t) + 2 sin t,

(c){x′(t) = −x(t) + y(t)y′(t) = 2x(t) + 4,

(d){x′(t) = x(t) + y(t) + 3y′(t) = 2x(t)− 2t− 1,

(e){x′(t) = 2x(t) + y(t) + 1y′(t) = 4x(t) + 2y(t).

2. Dwa napełnione roztworami soli stulitrowe zbiorniki, pierwszy 0,4-procentowym, a drugi 0,2-procentowym,połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów naminutę. Innymi dwoma rurkami, do pierwszego zbiornika z prędkością 5 litrów na minutę wpływają czystawoda i 0,1-procentowy roztwór soli. Ponadto, z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrówna minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczyi rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. ∗ Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ{x′(t) = 80y(t) + 1

cosh ty′(t) = 1

40x(t) + y(t)− 140 arc tg(sinh t),

gdzie sinh t =et − e−t

2, cosh t =

et + e−t

2oznaczają odpowiednio sinus i kosinus hiperboliczny.

5


1. (a){x(t) = e−t + Ce−2t +De−3t,y(t) = 2Ce−2t + 3De−3t,

(b){x(t) = t(cos t+ sin t) + C cos t+D sin t,y(t) = 2t sin t+ (C −D) cos t+ (C +D) sin t,

(c){x(t) = −2 + Cet +De−2t

y(t) = −2 + 2Cet −De−2t,

(d){x(t) = t+ Ce2t +De−t

y(t) = −2− t+ Ce2t − 2De−t,

(e){x(t) = 1

2 t+ C +De4t

y(t) = −t− 12 − 2C + 2De4t.

2.{x(t) = 0, 05 + 0, 35e−0,1t,y(t) = 0, 05 + 0, 035te−0,1t + 0, 15e−0,1t.

3.{x(t) = arc tg(sinh(t)) + Ce2t +De−t

y(t) = 140Ce

2t − 180De

−t.

Część III

Równania liniowe wyższych rzędów1. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równanie

(a) y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = e−t,

(b) y′′(t) + 6y′(t) + 8y(t) = 16t2.

2. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) y′′(t) + y′(t)− 2y(t) = 3e2t, y(0) =34, y′(0) =

92,

(b) y′′(t) + 5y′(t) + 6y(t) = −e−t, y(0) =72, y′(0) = −17

2.

3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie

(a) y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = et,

(b) y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = e−3t,

(c) y′′(t)− 4y′(t) + 4y(t) = 2e2t,

(d) y′′(t)− 4y′(t)− 5y(t) = t− sin t,

(e) y′′(t) + 6y′(t) + 5y(t) = 5t− 12et.

4. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) y′′(t) + 5y′(t) + 6y(t) = 6t2 + 16t+ 13, jeśli y(0) = 4, y′(0) = −7,

(b) y′′(t)− y′(t)− 2y(t) = 2 cos t + 4 sin t, jeśli y(0) = 3, y′(0) = 3,

(c) y′′(t)− 7y′(t) + 10y(t) = e2t + t, jeśli y(0) =7

100, y′(0) =

110.

5. Rozwiąż równanie y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = 3t.


1. (a) y(t) = te−t + Ce−t +De−2t,

6

(b) y(t) = 2t2 − 3t+ 74 + Ce−2t +De−4t.

2. (a) y(t) = 0, 75e2t + et − e−2t ,(b) y(t) = −0, 5e−t + 3e−2t + e−3t .

3. (a) y(t) = 16et + Ce−t +De−2t,

(b) y(t) = − 12 te−3t + Ce−t +De−3t,

(c) y(t) = t2e2t + Ce2t +Dte2t,

(d) y(t) = − t5 + 4

25 −113 cos t+ 3

26 sin t+ C1e−t + C2e

5t,

(e) y(t) = t− 65 − et + Ce−5t +De−t.

4. (a) y(t) = t2 + t+ 1 + e−2t + 2e−3t,

(b) y(t) = − 15 cos t− 75 sin t+ 3815e2t + 2

3e−t,

(c) y(t) = 110 t+ 7

100 + 19e5t − 3t+19 e2t.

5. y(t) = t− 43 + Ce−3t +De−t.

Metoda eliminacji dla układów równań

1. Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera 0,1 % wodny roztwór soli, a drugiczystą wodę, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością20 litrów na minutę. Innymi rurkami, do pierwszego zbiornika wpływa czysta woda z prędkością 20 litrówna minutę, a z drugiego wypływa roztwór z tą samą prędkością. W zależności od czasu określ ilości soli wobu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

Odpowiedź

1.{x(t) = 0, 2e−0,1t,y(t) = 0, 02te−0,1t.

Część IV

Przekształcenie Laplace’a1. Niech a > 0. Wyznacz wzór na transformatę Laplace’a funkcji

(a) f(t) ={

1 dla 0 ¬ t < a0 dla a ¬ t,

(b) f(t) ={t dla 0 ¬ t < a0 dla a ¬ t,

(c) f(t) =

t dla 0 ¬ t < a−t+ 2a dla a ¬ t < 2a0 dla 2a ¬ t.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) y′(t) + 7y(t) = −14t, y(0) =27,

(b) y′(t) + 5y(t) = 6 + 5t, y(0) = 2,

(c) y′′(t)− 8y′(t) + 7y(t) = −5e2t, y(0) = 3, y′(0) = 10,

(d) y′′(t) + y′(t)− 2y(t) = 2e2t, y(0) = 0, y′(0) =12,

7

(e){x′(t) = 4x(t) + y(t),y′(t) = −x(t) + 6y(t),

{x(0) = 0,y(0) = 1,

(f){x′(t) = 3x(t) − 1

2y(t),y′(t) = 2x(t) + y(t),

{x(0) = 0,y(0) = −1.


1. (a) F (s) = 1−e−ass ,

(b) F (s) = 1−e−ass2 − ae−as

s ,

(c) F (s) = 1−2e−as+e−2ass2 .

2. (a) y(t) = 27 − 2t,

(b) y(t) = e−5t + t+ 1,

(c) y(t) = et + e7t + e2t,

(d) y(t) =12e2t − 1

2et,

(e){x(t) = te5t,y(t) = e5t + te5t ,

(f){x(t) = 1

2 te2t

y(t) = −e2t + te2t.

Część V

Stabilność punktów równowagi1. Zbadaj stabilność punktu s0 równowagi układu autonomicznego

(a){x′(t) = −x(t)2 + sin(y(t)),y′(t) = −x(t) + 2 tg(y(t)),

jeśli s0 = (0, 0),

(b){x′(t) = −2 sin(x(t)) − ln(y(t)),y′(t) = 2x(t) + y(t)− ey(t)−1,

jeśli s0 = (0, 1),

(c){x′(t) =

√x3(t) + 2ey(t) − 2 cos(y(t)),

y′(t) = −x(t) + 2 sin(y(t)),jeśli s0 = (0, 0),

(d){x′(t) = −2ex(t)−2 + 2− y(t),y′(t) = x(t)− 2 + y2(t),

jeśli s0 = (2, 0).


1. (a) niestabilny,

(b) asymptotycznie stabilny,

(c) niestabilny,

(d) asymptotycznie stabilny.

Część VI

Pierwsze kolokwiumZestaw A

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)− 5y2(t) tg t = 0, y (0) = −1.

8

2. Rozwiąż równanie y′(t)− 3y(t) = e4t.

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ{x′(t) = x(t) + y(t),y′(t) = 2x(t)− 2t− 3.


1. y(t) = 1−1+5 ln cos t .

2. y(t) = e4t + Ce3t.

3.{x(t) = Ce2t +De−t + t+ 1y(t) = Ce2t − 2De−t − t.

Zestaw B

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty′(t)− 1− y2(t) = 0, y (1) = 1.

2. Rozwiąż równanie y′(t) + 7y(t) = e−6t.

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ{x′(t) = −y(t)− e−t,y′(t) = 6x(t)− 5y(t)− 6e−t.


1. y(t) = tg(π4 + ln t

).

2. y(t) = e−6t + Ce−7t.

3.{x(t) = Ce−2t +De−3t + e−t

y(t) = 2Ce−2t + 3De−3t.

Zestaw C

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty′(t)− cos2(y(t)) = 0, y (1) =π

4.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) +12y(t) = − e−t

y(t), y(0) = −1.

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ{x′(t) = x(t) + 1

2y(t),y′(t) = 4x(t)− 2t− 3.


1. y(t) = arc tg (1 + ln t) .

2. y(t) = −√

(1− 2t)e−t.

3.{x(t) = Ce2t +De−t + 1

2 t+ 12

y(t) = 2Ce2t − 4De−t − t.

Zestaw D

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)√t− ey(t) = 0, y (1) = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)t− y(t)−√t2 − y2(t) = 0,

y(1) =

√2

2.

9

3. Metodą Eulera , a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ{x′(t) = −2y(t)− e−t,y′(t) = 3x(t)− 5y(t)− 3e−t.


1. y(t) = − ln(3− 2

√t).

2. y(t) = t sin(π

4+ ln t

).

3.{x(t) = Ce−2t +De−3t + e−t

y(t) = Ce−2t + 32De

−3t.

Zestaw E

1. Napełniony, siedemsetlitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływaczysta woda z prędkością 70 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznaczilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jestnatychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y′ + 5y = 7t.

3. Rozwiąż równanie y′′ + 9y′ + 8y = 16t+ 18.


1. y(t) = 0, 7e−0,1t.

2. y(t) = 75 t−

725 + Ce−5t.

3. y(t) = 2t+ Ce−t +De−8t.

Zestaw F

1. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływaczysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów naminutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy irozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y′ + y = 5t.

3. Rozwiąż równanie y′′ − 7y′ + 10y = 9e−t.


1. y(t) = 1200 (20− t)2.

2. y(t) = 5t− 5 + Ce−t.

3. y(t) = 12e−t + Ce5t +De2t.

Część VII

Drugie kolokwiumZestaw A

1. Rozwiąż równanie y′′(t) + 7y′(t) + 10y(t) = 4e−t.

10

2. Metodą eliminacji rozwiąż układ{x′(t) = −x(t) + y(t),y′(t) = 2x(t).


y′′(t) + y′(t)− 2y(t) = 2e2t, y(0) = 0, y′(0) =12.

Uwaga: transformata Laplace’a[L(tneαt

)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.


1. y(t) = e−t + Ce−2t +De−5t.

2.{x(t) = Cet +De−2t

y(t) = 2Cet − Ce−2t.

3. y(t) = − 12et + 1

2e2t.

Zestaw B

1. Rozwiąż równanie y′′(t)− 8y′(t)− 9y(t) = −18t− 16.

2. Metodą eliminacji rozwiąż układ{x′(t) = 2x(t) + y(t)y′(t) = 3x(t) + 4y(t).

3. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe{x′(t) = 3x(t) − 1

2y(t)y′(t) = 2x(t) + y(t),

{x(0) = 0y(0) = −1.


)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.


1. y(t) = 2t+ Ce9t +De−t.

2.{x(t) = Cet +De5t

y(t) = −Cet + 3De5t.

3.{x(t) = 1

2 te2t

y(t) = te2t − e2t.

Zestaw C

1. Rozwiąż równanie y′′(t) + 9y′(t) + 8y(t) = 8t+ 9.


y′′(t) + y′(t)− 2y(t) =25e2t, y(0) = 0, y′(0) =

110.


)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.

3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego{x′(t) = 4x(t)3 + sin(y(t)),y′(t) = − ln(1 + x(t)) + 2 tg(y(t)).

11


1. y(t) = t+ Ce−t +De−8t.

2. y(t) = − 110et + 1

10e2t.

3. Niestabilny.

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y′′(t)− 7y′(t) + 10y(t) = 18e−t.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe{x′(t) = 3x(t) − 2y(t)y′(t) = 1

2x(t) + y(t),

{x(0) = 0y(0) = − 14 .


)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.

3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego{x′(t) = −2 arc tg(x(t)) − ln(y(t)),y′(t) = 2 arc sin(x(t)) + y(t)− ey(t)−1.


1. y(t) = e−t + Ce2t +De5t.

2.{x(t) = 2te2t

y(t) = te2t − e2t.

3. Asymptotycznie stabilny.

Część VIII

EgzaminZestaw A

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przecina oś rzędnych w punkcie (0, 7). W każdym punkcie tej krzywejtangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności. Wyznaczrównanie tej krzywej.

2. Metodą Eulera rozwiąż układ{x′(t) = 2

25y(t)y′(t) = 25x(t)− y(t).

3. Rozwiąż układ{x′(t) = 80y(t)− 8t− 12y′(t) = 1

40x(t) + y(t).

4. Rozwiąż równanie y′′(t) + 10y′(t)− 11y(t) = −22 sin t− 2 cos t.

5. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowey′′(t) + y′(t)− 6y(t) = −15 sin t− 5 cos t, y(0) = 1, y′(0) = 2.

Uwaga: transformata Laplace’a [L (sin(αt))] (s) =α

s2 + α2,

[L (cos(αt))] (s) =s

s2 + α2dla α ∈ R.


12

1. y(t) = 7e3t.

2.{x(t) = Ce−2t +Det

y(t) = −25Ce−2t + 252 De

t.

3.{x(t) = −4t− 2 + Ce2t +De−t

y(t) = 110 t+ 1

10 + 140Ce

2t − 18De−t.

4. y(t) = sin t+ cos t+ Ce−11t +Det.

5. y(t) = 2 sin t+ cos t.

Zestaw B

1. Napełniony, pięćsetlitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływaczysta woda z prędkością 100 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością.Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczaniasoli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ{x′(t) = −x(t) + 4y(t)y′(t) = 1

2x(t).

3. Rozwiąż równanie y′′(t) + 3y′(t)− 10y(t) = 3et.


y′′(t) + y′(t)− 2y(t) =12e2t, y(0) = 0, y′(0) =

18.

Uwaga:[L(tneαt

)](s) =

n!(s− α)n+1

, w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α,

[L (tn)] (s) =n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.

5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego{x′(t) = cos(x(t)) + tg(y(t))y′(t) = −ex(t) + (y(t) + 1)2.


1. y(t) = e−0,2t.

2.{x(t) = 2Cet − 4De−2t

y(t) = Cet +De−2t.

3. y(t) = − 12et + Ce2t +De−5t.

4. y(t) = − 18et + 1

8e2t.

5. Niestabilny.

Zestaw C

1. Napełniony, dwustupięćdziesięciolitrowy zbiornik zawiera 0,2 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jednąrurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z ta samąprędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy irozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ{x′(t) = 2x(t) + 1

2y(t)y′(t) = 6x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż równanie y′′(t) + 7y′(t)− 8y(t) = −14e−t.

13


4y(t)y′(t) = 4x(t) + y(t),

{x(0) = 0y(0) = −4.

Uwaga:[L(tneαt

)](s) =

n!(s− α)n+1

, w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α,

[L (tn)] (s) =n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.

5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego{x′(t) = − arc tg(2x(t)) − 1

2y2(t)),

y′(t) = arc sin(2x(t)) + ey(t)− ey(t).


1. y(t) = 0, 5e−0,04t.

2.{x(t) = Cet +De5t

y(t) = −2Cet + 6De5t.

3. y(t) = e−t + Cet +De−8t.

4.{x(t) = te2t

y(t) = 4te2t − 4e2t.

5. Asymptotycznie stabilny.

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y′(t) + 5y(t) = 56t.

2. Rozwiąż układ{x′(t) = −x(t) + 5

2y(t)y′(t) = 4

5x(t).

3. Rozwiąż układ{x′(t) = x(t) + 1

20y(t)y′(t) = 40x(t)− 4t− 6.

4. Rozwiąż równanie y′′(t) + 9y′(t) + 8y(t) = 48t+ 54.


y′′(t) + y′(t)− 2y(t) =85e2t, y(0) = 0, y′(0) =

25.


)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.


1. y(t) = 565 t−

5625 + Ce−5t.

2.{x(t) = Ce−2t +Det

y(t) = − 52Ce−2t + 5

4Det.

3.{x(t) = 1

10 t+ 110 + Ce2t +De−t

y(t) = −2t+ 20Ce2t − 40De−t.

4. y(t) = 6t+ Ce−t +De−8t.

5. y(t) = − 25et + 2

5e2t.

14

Zestaw E

1. Rozwiąż równanie y′(t) + y(t) = 35t.

2. Rozwiąż układ{x′(t) = 2x(t) + 1

14y(t)y′(t) = 42x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż układ{x′(t) = − 114y(t)− 17 e

−t

y′(t) = 84x(t)− 5y(t)− 12 e−t.

4. Rozwiąż równanie y′′(t)− 7y′(t) + 10y(t) = 36 e−t.


42y(t)y′(t) = 42x(t) + y(t),

{x(0) = 2y(0) = 84.


)](s) =

n!(s− α)n+1

,

w tym[L(eαt)]

(s) =1

s− α, [L (tn)] (s) =

n!sn+1

, [L(1)] (s) =1s

.


1. y(t) = 35t− 35 + Ce−t.

2.{x(t) = Cet +De5t

y(t) = −14Cet + 42De5t.

3.{x(t) = 1

7e−t + Ce−2t +De−3t

y(t) = 28Ce−2t + 42De−3t.

4. y(t) = 2e−t + Ce2t +De5t.

5.{x(t) = et + e3t

y(t) = 84 et.

Zestaw F

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,4 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czystawoda z prędkością 9 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilośćsoli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jestnatychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y′′(t) + 9y′(t) + 14y(t) = 14t2 + 18t+ 16.

3. Rozwiąż układ{x′(t) = x(t)− 2y(t)− 1y′(t) = −2x(t) + y(t) + 5.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = 3, y(0) =

2, y′(0) = −3. Uwaga: transformata Laplace’a[L(tneαt

)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈

R.

5. Zbadaj stabilość punktu równowagi (1, 0) układu autonomicznego{x′(t) = ln(x(t)) + 2 sin(y(t))y′(t) = 2x(t) + y(t)− 2.


1. y(0) = 0, 4 · 0, 01 · 100 = 0, 4

y(t+ ∆t) ≈ y(t)− 9∆ty(t)100

, y′(t) = −0, 09y(t)

y(t) = 0, 4e−0,09t.

15

2. yj = Ce−2t +De−7t,np. y = yj + ϕ,ϕ = (At2 +Bt+ C)tα, w(0) 6= 0, α = 0, ϕ = t2 + 1,y = Ce−2t +De−7t + t2 + 1.

3. w(λ) = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3)(λ+ 1),

yj = C

(e3t

−e3t)

+D

(e−t

e−t

),

y = C(t)(

e3t

−e3t)

+D(t)(e−t

e−t

),

y =(

e3t e−t

−e3t e−t

)(C ′

D′

)=(−15

),

C ′ = −3e−3t, D′ = 2et,{x(t) = C1e

3t +D1e−t + 3

y(t) = −C1e3t +D1e−t + 1.

4. s2F − 2s+ 3 + 4sF − 8 + 3F =3s

,

F =2s2 + 5s+ 3s(s2 + 4s+ 3)

,

F =A

s+

B

s+ 1+

C

s+ 3=

1s

+1

s+ 3,

y = 1 + e−3t.

5. Jf =( 1

x 2 cos(y)2 1

),

Jf (1, 0) =(

1 22 1

),

w(λ) = λ2 − 2λ− 3 = (λ+ 1)(λ− 3),Re(3) = 3 > 0, punkt niestabilny.

Zestaw G

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OTY przecina oś rzędnych w punkcie (0, 8). W każdym punkcie tej krzywejtangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności, pomniejszonejo 3. Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Rozwiąż równanie y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = cos(t)− 3 sin(t).

3. Rozwiąż układ{x′(t) = 4x(t)− y(t)y′(t) = 2x(t) + y(t)− 6.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y′′(t) + 6y′(t) + 5y(t) = 5, y(0) =

2, y′(0) = −2. Uwaga: transformata Laplace’a[L(tneαt

)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈

R.

5. Zbadaj stabilość punktu równowagi (1, 0) układu autonomicznego{x′(t) = 4x(t)− y(t)− 4y′(t) = 2ex(t)−1 + tg(y(t))− 2.


1. y(0) = 8,y′(t) = 3y(t)− 3,y(t) = 1 + Ce3t,y(t) = 1 + 7e3t.

16

2. yj = Ce−t +De−2t,np. y = yj + ϕ,ϕ = (A cos(t) +B sin(t))tα, w(i) 6= 0, α = 0, ϕ = cos(t),y = Ce−2t +De−7t + cos(t).

3. np. yj = C

(e2t

2e2t

)+D

(e3t

e3t

),{

x(t) = C1e2t +D1e

3t + 1y(t) = 2C1e2t +D1e

3t + 4.

4. s2F − 2s+ 1 + 6sF + 6 + 5F =5s

,

F =1s

+34

s+ 1+

14

s+ 5,

y = 1 +34e−t +

14e−5t.

5. Jf (1, 0) =(

4 −12 1

),

w(λ) = λ2 − 5λ+ 6 = (λ− 2)(λ− 3),np. Re(2) = 2 > 0, punkt niestabilny.

Zestaw H

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) · e2t · cos(y) = −2, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie y′′(t) + 8y′(t) + 7y(t) = 6 cos(t)− 8 sin(t).

3. Dwa napełnione stulitrowe zbiorniki, pierwszy 1-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, połą-czono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 4 litrów na minutę.Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 4 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbior-nika wypływa roztwór z prędkością 4 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obuzbiornikach.Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe{x′(t) = x(t)− 2y(t)y′(t) = −2x(t) + y(t),

{x(0) = 1y(0) = 0.


)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilność punktu równowagi(12 , 1)

układu autonomicznego{x′(t) = x2(t) + ey

2(t)−1 − 54y′(t) = 2x(t) + y(t)− 2.


1. y′(t) cos(y(t)) = −2e−2t,sin(y(t)) = e−2t + C,C = −1,y(t) = arc sin

(e−2t − 1

).

2. yj(t) = Ce−7t +De−t,ϕ(t) = cos(t),y(t) = Ce−7t +De−t + cos(t).

3.{x(0) = 1y(0) = 0,{x(t+ ∆t) ≈ x(t)− 4∆tx(t)100y(t+ ∆t) ≈ y(t) + 4∆tx(t)100 − 4∆ty(t)100 ,

17

{x′(t) = −0, 04x(t)y′(t) = 0, 04x(t)− 0, 04y(t),{x(t) = e−0,04t

y(t) = 0, 04te−0,04t.

4.{sF (s)− 1 = F (s)− 2G(s)sG(s) = −2F (s) +G(s),{F (s) = s−1

(s−3)(s+1) = 0,5s−3 + 0,5

s+1

G(s) = − 2(s−3)(s+1) = − 0,5s−3 + 0,5

s+1 ,{x(t) = 0, 5e3t + 0, 5e−t

y(t) = −0, 5e3t + 0, 5e−t.

5. A = Jf

(12, 1)

=(

1 22 1

),

λ1 = 3, λ2 = −1,Re (λ1) = 3 > 0, punkt niestabilny.

Zestaw I

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) = 3y2(t) · cos(3t), y(0) = −1.

2. Rozwiąż równanie y′′(t)− 3y′(t)− 4y(t) = −3 cos(t)− 5 sin(t).

3. Dwa napełnione dwustustulitrowe zbiorniki, pierwszy 2-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą,połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 50 litrówna minutę. Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 50 litrów na minutę wpływa czysta woda,a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z tą samą prędkością 50 litrów na minutę. W zależności odczasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jestnatychmiastowy.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe{x′(t) = 4x(t)− y(t)y′(t) = 2x(t) + y(t),

{x(0) = 0y(0) = 2.


)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilość punktu równowagi (0, 0) układu autonomicznego{x′(t) = e4x(t) − arc tg y(t)− 1y′(t) = 2 sin(x(t)) + y(t).


1. y′(t)y−2(t) = 3 cos(3t),

− 1y(t)

= sin(3t) + C,

C = 1,

y(t) = − 1sin(3t) + 1

.

2. yj(t) = Ce4t +De−t,ϕ(t) = sin(t),y(t) = Ce4t +De−t + sin(t).

3.{x(0) = 4y(0) = 0,{x(t+ ∆t) ≈ x(t)− 50∆tx(t)200y(t+ ∆t) ≈ y(t) + 50∆tx(t)200 − 50∆ty(t)200 ,

18

{x′(t) = −0, 25x(t)y′(t) = 0, 25x(t)− 0, 25y(t),{x(t) = 4e−0,25t

y(t) = te−0,25t.

4.{sF (s) = 4F (s)−G(s)sG(s)− 2 = 2F (s) +G(s),{F (s) = − 2

(s−2)(s−3) = 2s−2 −

2s−3

G(s) = − 2s−8(s−2)(s−3) = 4

s−2 −2s−3 ,{

x(t) = 2e2t − 2e3t

y(t) = 4e2t − 2e3t.

5. A = Jf (0, 0) =(

4 −12 1

),

λ1 = 2, λ2 = 3,np. Re (λ1) = 2 > 0, punkt niestabilny.

Zestaw J

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) ·(t2 + 5t+ 4

)· tg(y) = 2t+ 5, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie y′′(t) + 9y′(t) + 8y(t) = 7e−t.

3. Dwa napełnione, tysiąclitrowe zbiorniki, pierwszy 2-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą,połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów naminutę. Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 10 litrów na minutę wpływa czysta woda, a zdrugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilościsoli w obu zbiornikach.Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe{x′(t) = x(t) + 8y(t)y′(t) = 1

2x(t) + y(t),

{x(0) = 1y(0) = 0.


)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilność punktu równowagi (0, 0) układu autonomicznego{x′(t) = sin(x(t)) + sin(2y(t))y′(t) = e2x(t) + y(t)− 1.


1. y(t) = arc cos4

t2 + 5t+ 4.

2. y(t) = Ce−8t +De−t + te−t.

3.{x(t) = 20e−0,01t

y(t) = 0, 2te−0,01t.

4.{x(t) = 1

2e3t + 1

2e−t

y(t) = 18e3t − 18e

−t.

5. A = Jf (0, 0) =(

1 22 1

),

λ1 = 3, λ2 = −1,Re (λ1) = 3 > 0, punkt niestabilny.

19

Zestaw K (łatwiejszy)

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) + 4y(t) = 4e−2t, y(0) = 3.

2. Rozwiąż równanie2 · y′(t) · y(t)

1 + t2= 3.

3. Rozwiąż równanie y′′(t)− 3y′(t)− 10y(t) = −10.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowez zadania 1.


)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż równanie −y′(t) + y(t)− 2y2(t) = 0.


1. y(t) = e−4t + 2e−2t,

2. y =√

3t+ t3 + C lub y = −√

3t+ t3 + C,

3. y(t) = Ce5t +De−2t + 1,

4. y(t) = e−4t + 2e−2t,

5. równanie Bernoulliego lub o rozdzielonych zmiennych,

np. dla y(t) 6= 0 podstawienie u(t) =1y(t)

,

odpowiedź: y(t) = 0 lub y(t) =et

2et + C.

Zestaw L (łatwiejszy)

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)− 7y(t) = 4e3t, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie3 · y′(t) · y2(t)

cos(t)= 1.

3. Rozwiąż równanie y′′(t)− 8y′(t) + 15y(t) = −30.



)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż równanie y′(t)− y(t)t

= tey(t)t .


1. y(t) = e7t − e3t,

2. y = 3√C + sin(t),

3. y(t) = Ce3t +De5t − 2,

4. y(t) = e7t − e3t,

5. Z pomocą podstawienia u(t) =y(t)t

,

y(t) = −t ln(D − t).

20

Zestaw M (łatwiejszy)

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t)−5y(t) = −12e−t, y(0) = 3.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y′(t) · ey(t) = 3t2, y(0) = 0.

3. Rozwiąż równanie y′′(t) + 6y′(t) + 5y(t) = 15.



)](s) =

n!(s− α)n+1

dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż układ{x′(t) = 4x(t)− 2y(t)y′(t) = x(t) + y(t).


1. y(t) = e5t + 2e−t,

2. y = ln(1 + t3

),

3. y(t) = 3 + Ce−t +De−5t,

4. y(t) = e5t + 2e−t,

5.{x(t) = Ce2t +De3t

y(t) = Ce2t + 12De

3t.

21

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Documents

Transcript of Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami