Równania różniczkowe zwyczajne - wykład dla studentów.pdf

Rownania Rozniczkowe ZwyczajnewykÃlad dla studentow na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (4 lipiec 2003)

BogusÃlaw Bozek 1

1AGH Krakow, WydziaÃl Matematyki Stosowanej

Spis tresci

1 Wprowadzenie 5

2 Elementy analizy funkcjonalnej 9

3 Twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci 11

4 Proste typy rownan rozniczkowych skalarnych 13

4.1 Rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Rownanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Rownanie rozniczkowe zupeÃlne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3.1 Czynnik caÃlkuj ↪acy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Rownanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Liniowe rownania rozniczkowe 19

5.1 Rownania i ukÃlady rownan rozniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Skalarne rownanie liniowe rz ↪edu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3 Rownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 Rownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.5 Rownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.6 Skalarne rownanie rozniczkowe liniowen-tego rz ↪edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7 Obnizanie rz ↪edu rownania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.7.1 Wzor Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.7.2 Rownania wyzszych rz ↪edow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.8 Niejednorodne rownanie rozniczkowe liniowen-tego rz ↪edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.9 Rownanie liniowe n-tego rz ↪edu o staÃlych wspoÃlczynnikach . . . . . . . . . 27

5.10 Metoda przewidywan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.11 UkÃlad skalarnych rownan rozniczkowych liniowych rz ↪edu pierwszego . . . 29

5.12 UkÃlady rownan liniowych o staÃlychwspoÃlczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.12.1 Metoda wartosci i wektorow wÃlasnych . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.12.2 Sprowadzanie macierzy ukÃladu do postaci Jordana . . . . . . . . . 33

5.13 Rownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Rozwi ↪azania w postaci szeregow funkcyjnych 37

6.1 Rozwi ↪azania w postaci szeregow pot ↪egowych . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Rownania rozniczkowe liniowe rz ↪edu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4 SPIS TRESCI

7 Stabilnosc rozwi ↪azan rownan rozniczkowych 41

7.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3 Problem Routha–Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.4 Punkty osobliwe rownania rozniczkowego zupeÃlnego . . . . . . . . . . . . 45

8 Transformata Laplace’a 47

8.1 Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2 Wyznaczanie transformaty rownania rozniczkowego . . . . . . . . . . . . . 488.3 Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . . 49

9 Dodatek 53

9.1 Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2 PrzykÃladowe tematy zadan egzaminacyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

RozdziaÃl 1

Wprowadzenie

Rownaniem rozniczkowym nazywamy zwi ↪azek mi ↪edzy pewn ↪a nieznan ↪a funkcj ↪a, ajej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcj ↪a jednej zmiennej, to mowimy orownaniu rozniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o rownaniu rozniczkowymcz ↪astkowym. Zwi ↪azek postaci

F (t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)) = 0

nazywamy rownaniem rozniczkowym zwyczajnym n-tego rz ↪edu, jesli lewa strona istotniezalezy od x(n). Nie musi oba zalezec od x i t. PrzykÃladowo rownanie

x′′′ + t(x′)30 − ex sin t = 0

jest rownaniem rozniczkowym rz ↪edu trzeciego. Funkcja x moze byc funkcj ↪a skalarn ↪a,albo wektorow ↪a.

Rownania rozniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj ↪a na ogoÃl w wynikustosowania nast ↪epuj ↪acych metod post ↪epowania:

a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.

b) Przedstawiania zwi ↪azkow geometrycznych w postaci analitycznej.

c) Rugowania parametrow z n-parametrowej rodziny funkcji i n rownosci.

Ad a) Niech v : R × R3 ⊃ [t0, T ] × R

3 3 (t, x) → v(t, x) ∈ R3 b ↪edzie zadanym

polem pr ↪edkosci. Rownanie x′ = v(t, x) opisuje ruchy cz ↪astek unoszonych w polu v. Jeslidodatkowo przyj ↪ac warunek x(t0) = x0, to x(t) jest poÃlozeniem w chwili t tej cz ↪astki,ktora w chwili t0 znajdowaÃla si ↪e w punkcie x0.Ad b) Niech y = f(x). Wielkosc

ρ(A) =

(1 + (y′)2

) 32

|y′′|(A)

nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotnosc 1ρ (A) krzywizn ↪a w punkcieA. Rownanie

rozniczkowe|y′′|

(1 + (y′)2)32

= a R 3 a ≥ 0

jest zadem rownaniem rozniczkowym, ktorego rozwi ↪azaniem s ↪a krzywe o staÃlej krzywiznierownej a.Ad c) Rozwazmy rodzin ↪e okr ↪egow

(x− a)2 + (y − b)2 = R2, (1.1)

5

6 ROZDZIAÃL 1. WPROWADZENIE

gdzie a, b, R parametry. Zaozmy, ze y = y(x). Rozniczkuj ↪ac trzykrotnie zwi ↪azek (1.1)dostajemy

x− a+ (y − b)y′ = 01 + (y′)2 + (y − b)y′′ = 03y′y′′ + (y − b)y′′′ = 0.

Ruguj ↪ac z tych rownan wszystkie trzy parametry dostajemy rownanie rozniczkowe rodzinyokr ↪egow:

3y′(y′′)2 −(1 + (y′)2

)y′′′ = 0.

Bez nalezytej precyzji mozemy przyj ↪ac w tej cwili, ze rownaniem rozniczkowym nazy-wamy rownanie postaci

F (t, x, x′, . . . , xn) = 0. (1.2)

Jesli funkcja ϕ : [a, b] → R klasy Cn speÃlnia tozsamosciowo rownosc

F (t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕn(t)) = 0 w [a, b],

to ϕ nazywamy caÃlk ↪a szczegoln ↪a rownania rozniczkowego. Gdy ϕ jest funkcj ↪a elemen-tarn ↪a, to mowimy ze (1.2) ma rozwi ↪azanie efektywne. Na przykÃlad rownanie

x′′(t) + ω2x(t) = 0

ma rozwi ↪azania efektywne

ϕ1(t) = sinωt i ϕ2(t) = cosωt.

Z kolei rownanie Riccatiego

dx

dt= a x2 + b tn a, b staÃle, n ∈ N

ma rozwi ↪azanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.Jesli rozwi ↪azanie mozna wyznaczyc przez skonczon ↪a liczb ↪e caÃlkowaN, to mowimy, ze takprzedstawione rozwi ↪azania s ↪a rozwi ↪azaniami przez kwadratur ↪e. Na przykÃlad rownanie

x′ =sin t

t

ma rozwi ↪azanie

x(t) =

∫sin t

tdt+ C.

Niestety s ↪a rownania, ktore nie s ↪a rozwi ↪azywalne przez kwadratur ↪e. PrzykÃladem takiegorownania jest rownanie Bessela

t2x′′ + tx′ +(t2 − n2

)x = 0.

Mozna dla niego podac rozwi ↪azanie w postaci szeregow funkcyjnych. W szczegolnoscifunkcje

I0(t) =

∞∑

k=0

(−1)k

(k!)2

(t

2

)2k

,

Y0(t) = 2∞∑

k=0

(−1)k

(k!)2

(t

2

)2k(

lnt

2+ C −

k∑

ν=1

1

ν

),

gdzie C = 0.5772157 . . . jest staÃl ↪a Eulera, s ↪a rozwi ↪azaniami rownania Bessela dla n = 0.Funkcje I0 i Y0 nosz ↪a nazw ↪e funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rz ↪edu 0.

7

Nie kazde rownanie rozniczkowe ma rozwi ↪azanie. Rownanie

1 +

(dx

dt

)2

= 0

nie ma rozwi ↪azan rzeczywistych, ma jednak rozwi ↪azanie zespolone

x(t) = it.

Rownanie

exp

(dx

dt

)= 0

w ogole nie ma rozwi ↪azan, bo funkcja C 3 z → ez ∈ C nie ma zer. Z kolei rownanie

x′ = f(t, x),

gdzie prawa strona jest ci ↪ag ↪a ma nieskonczenie wiele rozwi ↪azan

8 ROZDZIAÃL 1. WPROWADZENIE

RozdziaÃl 2

Elementy analizy funkcjonalnej

ZaÃlozmy, ze X 6= ∅.

Definicja 1 Funcj ↪e ρ : X×X → [0,∞) nazywamy metryk ↪a, wtedy i tylko wtedy, gdy

1. ∀x,y∈X

ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. ∀x,y∈X

ρ(x, y) = ρ(y, x),

3. ∀x,y,z∈X

ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Definicja 2 Jesli X 6= ∅ i ρ : X × X → R metryka, to par ↪e (X, ρ) nazywamyprzestrzeni ↪a metryczn ↪a.

Niech X b ↪edzie przestrzeni ↪a wektorow ↪a nad ciaÃlem K (K = R, lub K = C).

Definicja 3 Funkcj ↪e ‖ · ‖ : X → [0,∞) nazywamay norm ↪a, wtedy i tylko wtedy, gdy

1. ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0,

2. ∀α∈K

∀x∈X

‖αx‖ = |α|‖x‖,

3. ∀x,y∈X

‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Definicja 4 Par ↪e (X, ‖ · ‖) nazywamy przestrzeni ↪a unormowan ↪a.

Uwaga 1 Kazda norma indukuje metryk ↪e wedÃlug wzoru

ρ(x, y) := ‖x− y‖,

totez kazda przestrzen unormowana jest przestrzeni ↪a metryczn ↪a.

Definicja 5 Niech (X, ρ) - przestrzen metryczna. Ci ↪ag {xn}n∈N⊂ X nazywamy

ci ↪agiem Cauchy’ego (ci ↪agiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0

∃k∈N

∀m>k

∀n>k

ρ (xm, xn) < ε.

Definicja 6 Niech (X, ρ) - przestrzen metryczna. Mowimy, ze ci ↪ag {xn}n∈N⊂ X

jest zbiezny do granicy g ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy ci ↪ag liczbowy ρ (xn, g) ma granic ↪erown ↪a 0, tj.

limn→∞

xn = g ⇐⇒ limn→∞

ρ (xn, g) = 0 ⇐⇒ ∀ε>0

∃k∈N

∀N3n>k

ρ (xn, g) < ε

9

10 ROZDZIAÃL 2. ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ

Definicja 7 Mowimy, ze ci ↪ag {xn}n∈N⊂ X jest zbiezny w przestrzeni metrycznej

(X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g ∈ X, takie ze limn→∞ xn = g.

Twierdzenie 1 Kazdy ci ↪ag zbiezny w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ci ↪agiemCauchy’ego.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

PrzykÃlad 1 Ci ↪ag{

1n

}n∈N

jest zbiezny do zera w przestrzeni metrycznej (R, ρE),gdzie ρE jest metryk ↪a euklidesow ↪a. Jest on zatem w mysl poprzedniego twierdzeniaci ↪agiem Cauchy’ego. Niech X := (0, 1) i niech d b ↪edzie restrykcj ↪a metryki ρE do X ×X.Przestrzen (X, d) jest przestrzeni ↪a metryczn ↪a, a rozwazany ci ↪ag w tej przestrzeni nie jestzbiezny, gdyz 0 6∈ X.

Definicja 8 Przestrzen metryczn ↪a (X, ρ) nazywamy zupeÃln ↪a, wtedy i tylko wtedy, gdykazdy ci ↪ag Cauchy’ego {xn}n∈N

⊂ X jest zbiezny (do elementu przestrzeni X).

Definicja 9 Przestrzen unormowan ↪a zupeÃln ↪a nazywamy przestrzeni ↪a Banacha.

Twierdzenie 2 (Banacha o odwzorowaniach zw ↪ezaj ↪acych)Jesli

- (X, ‖ · ‖) przestrzen Banacha,- T : X → X q-zw ↪ezaj ↪ace tzn.

∃q∈[0,1)

∀x,y∈X

‖T (x)− T (y)‖ ≤ q‖x− y‖,

to

• T ma jedyny punkt staÃly tzn. ∃! x? ∈ X : T (x?) = x?.

• Ponadto, jesli x0 ∈ X, xn+1 := T (xn), to

ρ (x?, xp) ≤qp

1− qρ (x1, xp) dla p ∈ N.

RozdziaÃl 3

Twierdzenia o istnieniu i

jednoznacznosci

Twierdzenie 3 Jesli

1. t0 ∈ I = [a, b] ⊂ R,

x0 ∈ B = B (x0, R) ⊂ U ∈ topX,

f ∈ C(I × U,X),

2. funkcja f : I × U 3 (t, x) → f(t, x) ∈ X speÃlnia warunek Lipschitza wzgl ↪edemdrugiej zmiennej na zbiorze I ×B tzn.:

∃L>0

∀t∈I

∀y,z∈B

‖f(t, y)− f(t, z)‖ ≤ ‖y − z‖,

3. rozwazamy rownanie rozniczkowe postaci:

(RR) x′(t) = f(t, x(t)) t ∈ I,

(WPC) x (t0) = x0,

to rownanie (RR) z zadanym warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’ego (WPC) ma dokÃladniejedno rozwi ↪azanie x = x(t) na przedziale J = I ∩ [t0 − r, t0 + r], gdzie

r :=

{+∞ gdy R = +∞ czyli B = XRM gdy R < +∞

i M := sup {‖f(t, y)‖ : t ∈ T, y ∈ B}.

Definicja 10 Niech(X, d), (Y, ρ) przestrzenie metryczne,U ⊂ X,f : I × U 3 (t, x) → f(t, x) ∈ Y .

Mowimy, ze f speÃlnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl ↪edem zmiennej x, jezeli

∀t0∈I

∀x0∈U

∃J∈top(t0)

∃B=B(x0,R)

∃L=L(J,B)

∀t∈J

∀y,z∈B∩U

ρ (f(t, y), f(t, z)) ≤ L · d(y, z).

Twierdzenie 4 Jezeli U ∈ topX, f = f(t, x) ∈ C(I × U,X), f speÃlnie lokalniewarunek Lipschitza wzgl ↪edem zmiennej x, to dla kazdego (t0, x0) ∈ I × U rownanie x′ =f(t, x) z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’ego x (t0) = x0 ma dokÃladnie jedno rozwi ↪azanieokreslone w pewnym otoczeniu punktu t0.

11

12 ROZDZIAÃL 3. TWIERDZENIA O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI

Twierdzenie 5 (Zasada identycznosci) Przyjmijmy zaÃlozenia poprzedniego twierdzenia.Niech P przedziaÃl, P ⊂ I. Niech x = x(t), y = y(t) b ↪ed ↪a dwoma rozwi ↪azaniami tegosamego rownania rozniczkowego x′ = f(t, x) okreslonymi na P i speÃlniaj ↪acymi warunkipocz ↪atkowe Cauchy’ego x (t1) = x0, y (t2) = y0. Jesli istnieje taki punkt p ∈ P , w ktorymx(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t ∈ P .

Twierdzenie 6 Niech Y = Xn, U ∈ topY , f ∈ C(I × U,X) i niech f = f(t, y)speÃlnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl ↪edem zmiennej y. Wtedy dla kazdego t0 ∈ I, dlakazdego x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ U rownanie rozniczkowe

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)

z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’egox(j) (t0) = x0j j = 0, 1, . . . , n− 1

ma dokÃladnie jedno rozwi ↪azanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t0.

Dowod. Rownanie sprowadzamy do ukÃladu rownan. Niech y1 := x oraz

y′1 = y2 =: f1 (t, y1, . . . , yn)y′2 = y3 =: f2 (t, y1, . . . , yn). . . . . .y′n−1 = yn =: fn−1 (t, y1, . . . , yn)y′n = f (t, y1, . . . , yn) =: fn (t, y1, . . . , yn)

UkÃlad ten mozna zapisac w postaci

Y ′ = F(t,Y),

gdzie Y = (y1, . . . , yn)T

, F = (f1, . . . , fn)T

.c.k.d

Definicja 11 Rozwi ↪azanie okreslone na caÃlym przedziale I okreslonosci rownaniarozniczkowego nazywamy rozwi ↪azaniem globalnym tego rownania.

Twierdzenie 7 (o rozwi ↪azaniu globalnym) Niech t0 ∈ I = |a, b| ⊂ R i niech f ∈C(I ×X,X) i niech dane b ↪edzie rownanie

x′ = f(t, x), t ∈ Iz warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’ego

x (t0) = x0.Jesli

∀J=[a′,b′]⊂I

∃L=L(J)>0

∀t∈J

∀x,y∈X

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L ‖x− y‖ ,

to powyzsze rownanie rozniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’egoma dokÃladnie jedno rozwi ↪azanie globalne tj. okreslone na przedziale I.

Podobne twierdzenie ma miejsce dla ukÃladow rownan.

PrzykÃlad 2 Rownanie x′ = x2 nie speÃlnia zaÃlozen powyzszego twierdzenie. CaÃlkaogolna tego rownania jest okreslona wzorem x(t) = − 1

t+C (C ∈ R) i nie jest okreslonana X = R.

RozdziaÃl 4

Proste typy rownan

rozniczkowych skalarnych

4.1 Rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Rownanie rozniczkowe postaci

x′(t) =f(t)

g(x), (4.1)

gdzie f ∈ C(I,R), g ∈ C(J,R), x ∈ C1(I, J), I, J przedziaÃly, t ∈ I, g(x) 6= 0 dlax ∈ J nazywamy rownaniem o zmiennych rozdzielonych. Rownanie to mozemy zapisacw postaci

g(x)x′(t) = f(t).

Niech G = G(x) oraz F = F (t) b ↪ed ↪a dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpowiedniofunkcji g = g(x) i f = f(t). Wowczas rownanie (4.1) mozna przepisac w postaci

d

dt(G ◦ x)(t) =

d

dtF (t),

czylid

dt[G(x)− F (t)] = 0, x = x(t), t ∈ I.

Poniewaz I przedziaÃl, to rownanie to na podstawie twierdzenia Lagrange’a jest rownowaznerownaniu

G(x)− F (t) = C, x = x(t), t ∈ I, C ∈ R,

ktore mozemy zapisac w postaci∫g(x)dx =

∫f(t)dt, x = x(t). (4.2)

4.2 Rownanie jednorodne

Rownaniem rozniczkowym jednorodnym nazywamy rownanie postaci

x′ = f(xt

), (4.3)

gdzie t ∈ I, x = x(t), f ∈ C(J,R), I, J - przedziaÃly. Podstawienie

x(t) = ty(t)

13

14 ROZDZIAÃL 4. PROSTE TYPY ROWNAN ROZNICZKOWYCH SKALARNYCH

sprowadza rownanie (4.3) do rownania rozniczkowego

y′ =f(y)− y

t

o zmiennych rozdzielonych. Dodatkowo nalezy sprawdzic, czy rozwi ↪azaniem rownania(4.3) jest funkcja x(t) := y0t, gdzie y0, jest rozwi ↪azaniem rownania f (y0)− y0 = 0.

Rownaniedx

dt= f

(a1t+ b1x+ c1a2t+ b2x+ c2

), (4.4)

gdzie f jest funkcj ↪a ci ↪agÃl ↪a oraz a1b2−a2b1 6= 0 mozna przez stosown ↪a zmian ↪e zmiennychsprowadzic do rownania jednorodnego. Jesli bowiem wektor (t, x) jest rozwi ↪azaniemukÃladu rownan (

a1 b1a2 b2

)(tx

)=

(−c1−c2

)

to zmiana zmiennycht = t+ ξ, x = x+ η

przy ktorej dηdξ = d(x−x)

dtdtdξ = dx

dt sprowadza rownanie (4.4) do rownania jednorodnego

dη

dξ= f

(a1ξ + b1η

a2ξ + b2η

)= f

(a1 + b1

ηξ

a2 + b2ηξ

)=: g

(η

ξ

).

Gdy a1b2− a2b1 = 0, to istnieje takie λ ∈ R, ze a2t+ b2x = λ (a1t+ b1x) lub a1t+ b1x =λ (a2t+ b2x). Rownanie (4.4) przeksztaÃlca si ↪e w rownanie postaci

x′ = f (a1t+ b1x) lub x′ = f (a2t+ b2x) .

Podstawienie odpowiednio

u(t) = a1t+ b1x(t) lub u(t) = a2t+ b2x(t)

sprowadza je do rownania o zmiennych rozdzielonych.

4.3 Rownanie rozniczkowe zupeÃlne

Niech D ⊂ R2 b ↪edzie obszarem tj. zbiorem otwartym i spojnym. Niech P, Q ∈

C(D,R) oaz Q(t, x) 6= 0 dla (t, x) ∈ D.

Definicja 12 Rownanie rozniczkowe

x′ = −P (t, x)

Q(t, x)(4.5)

czyliP (t, x)dt+Q(t, x)dx = 0 (4.6)

nazywamy zupeÃlnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U ∈ C1(D,R), ze

d(t,x)U = P (t, x)dt+Q(t, x)dx dla (t, x) ∈ D. (4.7)

Poniewaz zbior D jest obszarem, zatem jesli (4.6) jest rownaniem rozniczkowymzupeÃlnym, to caÃlka ogolna tego rownania ma postac

U(t, x) = C, C ∈ R.

Z twierdzenia Poincare’go wynika nast ↪epuj ↪ace

4.3. ROWNANIE ROZNICZKOWE ZUPEÃLNE 15

Twierdzenie 8 Jesli D jest obszarem sci ↪agalnym w R2, P,Q ∈ C(D,R) oraz ∂P

∂x =∂Q∂t w D, to (4.6) jest rownaniem rozniczkowym zupeÃlnym,

przy czym:

Definicja 13 Obszar D nazywamy sci ↪agalnym w R2 wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ↪a

obszar obszar gwiazdzisty G ⊂ R2 oraz dyffeomorfizm h : G → D (tzn. h bijekcja, H,

h−1 klasy C1).

Definicja 14 Zbior G ⊂ R2 nazywamy zbiorem gwiazdzistym wtedy i tylko wtedy,

gdy

∃x0∈G

∀x∈G

[x0, x] ⊂ G,

Wiedz ↪ac, ze (4.6) zupeÃlne z warunku (4.7) mamy:

∂U

∂t= P,

∂U

∂x= Q.

CaÃlkuj ↪ac pierwszy z tych zwi ↪azkow wzgl ↪edem zmiennej t dostajemy:

U(t, x) =

∫P (t, x)dt+ C(x) (t, x) ∈ D.

Z kolei

Q(t, x) =∂U

∂x(t, x) =

∫∂P (t, x)

∂xdt+ C ′(x),

sk ↪ad

C ′(x) = Q(t, x)−

∫∂P

∂x(t, x)dt.

i w konsekwencji

C(x) =

∫Q(t, x)dx−

∫ (∫∂P

∂x(t, x)dt

)dx.

Ostatecznie

U(t, x) =

∫P (t, x)dt+

∫Q(t, x)dx−

∫ (∫∂P

∂x(t, x)dt

)dx,

tak wi ↪ec rozwi ↪azanie ogolne rownania rozniczkowego zupeLnego (4.6) wyraza si ↪e wzorem:

∫P (t, x)dt+

∫Q(t, x)dx−

∫ (∫∂P

∂x(t, x)dt

)dx = C, C ∈ R. (4.8)

4.3.1 Czynnik caÃlkuj↪

acy

Jezeli rownanie (4.6) nie speÃlnia warunku ∂P∂x = ∂Q

∂t w zadanym obszarze sci ↪agalnymD, to szukamy takiej funkcji µ = µ(t, x) ∈ C1(D,R), aby

∂(µP )

∂x=∂(µQ)

∂t(t, x) ∈ D (4.9)

Definicja 15 Funkcj ↪e µ ∈ C1(D,R), dla ktorej zachodzi warunek (4.9) nazywamyczynnikiem caÃlkuj ↪acym rownania (4.6).

Twierdzenie 9 Jesli funkcje P,Q ∈ C1(D,R) i D obszar sci ↪agalny, to istnieje µ ∈C1(D,R) czynnik caÃlkuj ↪acy rownania (4.6).


Efektywne wyznaczenie czynnika caÃlkuj ↪acego jest mozliwe zawsze, gdy zalezy on odjednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy µ = µ(ω(t, x)), gdzie ω(t, x) jest znan ↪a funkcj ↪a klasyC1(D,R). W pozostaÃlych przypadkach jest to zagadnienie trudne cz ↪esto niemozliwe dozrealizowania.

Zaozmy zatem, ze istnieje czynnik caÃlkuj ↪acy rownania (4.6) postaci µ = µ(ω(t, x)).Warunek

∂(µP )

∂x=∂(µQ)

∂t(t, x) ∈ D

jest rownowazny warunkowi

µ′∂ω

∂xP + µ

∂P

∂x= µ′

∂ω

∂tQ+ µ

∂Q

∂t,

ktory mozna zapisac w postaci

µ′

µ=

∂Q∂t −

∂P∂x

∂ω∂xP −

∂ω∂tQ

. (4.10)

Poniewaz lewa strona, z zaÃlozenia, zalezy od ω(t, x), zatem warunkiem istnienia czynnikacaÃlkuj ↪acego postaci µ = µ(ω(t, x)) jest aby prawa strona rownania (4.10) byÃla zaleznaod ω(t, x). Wtedy tez dostajemy wzor:

ln |µ(ω)| =

∫ ( ∂Q∂t −

∂P∂x

∂ω∂xP −

∂ω∂tQ

(ω)

)dω =: χ(ω)

z ktorego wynika, ze kazda z funkcji

µ(t, x) := µ(ω(t, x)) = Ceχ(ω(t,x)) (C ∈ R \ {0}) (4.11)

jest szukanym czynnikiem caÃlkuj ↪acym.Poszukuj ↪ac czynnika caÃlkuj ↪acego nalezy rozpocz ↪ac od najprostszych przypadkow tj.

ω(t, x) = t lub ω(t, x) = x, potem rozwazyc kolejno ω(t, x) = t + x, ω(t, x) = t − x,ω(t, x) = tx, ω(t, x) = t

x . Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse na znalezienie czynnikacaÃlkuj ↪acego s ↪a znikome.

PrzykÃlad 3 Istnieje czynnik caÃlkuj ↪acy µ = µ(t) rownania(t+ t2 + x2

)dt+xdx = 0,

gdyz µ′(t)µ(t) = 2. Rozwi ↪azuj ↪ac ostatnie rownanie dostajemy d

dt ln |µ(t)| = 2 i w konsekwencji

µ(t) = Ce2t (C ∈ R \ {0}) jest szukanym czynnikiem caÃlkuj ↪acym.

4.4 Rownanie Clairauta

Definicja 16 Rownaniem Clairauta nazywamy rownanie rozniczkowe

x− tx′ − f (x′) = 0, (4.12)

gdzie t ∈ I, I - przedziaÃl, x ∈ C2(I, J), J - przedziaÃl, f ∈ C1(J,R) i funkcja f nie jestpostaci f(τ) = Aτ +B.

Rozniczkuj ↪ac (4.12) stronami dostajemy:

x′ − x′ − tx′′ − f ′ (x′)x′′ = 0

czyli

x′′ (t+ f ′ (x′)) = 0.

4.4. ROWNANIE CLAIRAUTA 17

Jesli istnieje x = x(t) rozwi ↪azanie rownania (4.12) klasy C2(I,R), to

x′′ = 0 lub t+ f ′ (x′) = 0.

Jesli x′′(t) = 0, to x′(t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiaj ↪ac funkcj ↪e x(t) = Ct + b dorownania (4.12) dostajemy b = f(C). Tak wi ↪ec kazda prosta

x(t) = Ct+ f(C), C ∈ J (4.13)

jest rozwi ↪azaniem (4.12).W sytuacji t + f ′ (x′) = 0, traktujemy pochodn ↪a x′ jak parametr i oznaczamy go

symbolem p. Tak wi ↪ec t = −f ′(p). Rownanie (4.12) mozemy przepisac w postaci x =tp+ f(p) = −f ′(p)p+ f(p). Rownanie parametryczne

{t = −f ′(p)x = f(p)− pf ′(p)

(4.14)

jest rownaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).

RozdziaÃl 5

Liniowe rownania rozniczkowe

5.1 Rownania i ukÃlady rownan rozniczkowych liniowych

Niech (X, ‖ · ‖) przestrzen Banacha, I = |a, b| ⊂ R - dowolny przedziaÃl, L(X,X) :={T : X → X : T operator liniowy i ci ↪agÃly}. Niech

A : I 3 t→ A(t) ∈ L(X,X) ci ↪agÃle,g ∈ C(I,X),x = x(·) ∈ C1(I,X).

Definicja 17 Rownaniem rozniczkowym liniowym jednorodnym rz ↪edu pierwszego (RRLJ)nazywamy rownanie postaci

x′(t) = A(t) (x(t)) , t ∈ I, (5.1)

krotko x′ = A(t)x, x = x(t), t ∈ I.

Definicja 18 Rownaniem rozniczkowym liniowym niejednorodnym rz ↪edu pierwszego(RRLN) nazywamy rownanie postaci

x′(t) = A(t) (x(t)) + g(t), t ∈ I, (5.2)

krotko x′ = A(t)x+ g(t), x = x(t), t ∈ I.

Definicja 19 W sytuacji X = Rn (RRLJ), (RRLN) nazywamy ukÃladem rownan

rozniczkowych liniowych.

Definicja 20 Rownanie rozniczkowe

x(n) = A(t)(x, x′, . . . , x(n−1)

)+ g(t), (5.3)

gdzie x = x(t), t ∈ I, I - przedziaÃl, A ∈ C (I, L (Xn, X)), g ∈ C(I,X), X - przestrzenBanacha, nazywamy rownaniem rozniczkowym liniowym rz ↪edu n - tego. Jesli g = 0, torownanie (5.3) nazywamy rownaniem jednorodnym, w przeciwnym wypadku niejednorod-nym.

Jak wiadomo z wczesniejszych rozwazan, rownanie to mozna sprowadzic do rownaniarz ↪edu pierwszego w przestrzeni Banacha Xn.

Twierdzenie 10 (Twierdzenie o istnieniu rozwi ↪azania globalnego) Standardowe rownanierozniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwi ↪azanie globalne przy dowolnym warunku pocz ↪atkowymCauchy’ego.

19

20 ROZDZIAÃL 5. LINIOWE ROWNANIA ROZNICZKOWE

Twierdzenie 11 Zbior rozwi ↪azan rownania rozniczkowego liniowego jednorodnego(5.1) (caÃlka ogolna) jest przestrzeni ↪a liniow ↪a.

Dowod. Wystarczy pokazac, ze jesli funkcje x i y s ↪a rozwi ↪azaniami (5.1) to ichdowolna kombinacja liniowa takze. Niech α, β ∈ R. Mamy

(αx+ βy)′ = αx′ + βy′ = αA(t)x+ βA(t)y =

= A(t)(αx) +A(t)(βy) = A(t)(αx+ βy)

c.k.d

Twierdzenie 12 Rozwi ↪azanie ogolne rownania rozniczkowego liniowego niejednorod-nego (5.2) jest sum ↪a rozwi ↪azania szczegolnego (5.2) i rozwi ↪azania ogolnego rownaniarozniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dokÃladniej:

Kazde rozwi ↪azanie (5.2) jest sum ↪a pewnego ustalonego rozwi ↪azania (5.2) i pewnegorozwi ↪azania (5.1).

Dowod. Niech

R :={x ∈ C1(I,X) : x′ = A(t)x+ g(t)

},

Y :={y ∈ C1(I,X) : y′ = A(t)y

}.

Ustalmy x ∈ R i zdefiniujmy

Z :={z ∈ C1(I,X) : z = x+ y, y ∈ Y

}= x+ Y.

Mamy pokazac, ze R = Z.Udowodnimy najpierw, ze Z ⊂ R.

Wezmy z ∈ Z. Z definicji zbioru Z wynika, ze istnieje y ∈ Y , ze z = x+ y. Poniewaz

z′ = x′ + y′ = (A(t)x+ g(t)) +A(t)y = A(t) (x+ y) + g(t) = A(t)z + g(t)

zatem z ∈ R.Teraz udowodnimy, ze R ⊂ Z.

Wezmy x ∈ R. Wektor x mozemy zapisac w postaci x = x + (x− x). Zdefiniujmyy := x− x. Zauwazmy, ze

y′ = (x− x)′

= x′ = x′ = (A(t)x+ g(t))− (A(t)x+ g(t)) =

= A(t)x−A(t)x = A(t) (x− x) = A(t)y,

co oznacza, ze y ∈ Y . W takim razie x ∈ Z.c.k.d

5.2 Skalarne rownanie liniowe rz ↪edu pierwszego

Skalarne rownanie liniowe rz ↪edu pierwszego

x′ + f(t)x = 0, (5.4)

gdzie x = x(t), t ∈ I, I - przedziaÃl, f ∈ C(I,R), jest rownaniem o zmiennych rozdzielonych.CaÃlk ↪a ogoln ↪a tego rownania jest rodzina funkcji

x(t) = Ce−∫f(t)dt C = const ∈ R, t ∈ I.

CaÃlk ↪e szczegoln ↪a rownania niejednorodnego

x′ + f(t)x = g(t) t ∈ I, (5.5)

5.3. ROWNANIE BERNOULLIEGO 21

mozemy znalezc metod ↪a uzmienniania staÃlej. Przypuscmy bowiem, ze istnieje rozwi ↪azanierownania (5.5) postaci

x(t) = C(t)e−∫f(t)dt = C(t)e−F (t),

gdzie F (t) :=∫f(t)dt. Jesli funkcja ta jest rozwi ↪azaniem rownania (5.5), to

g(t) = x′ + f(t)x = C ′(t)e−F (t) + C(t) (−F ′(t)) e−F (t) + f(t)C(t)e−F (t) = C ′(t)e−F (t),

sk ↪ad

C ′(t) =g(t)

e−F (t)= g(t)eF (t).

Rozwi ↪azaniem tego rownania jest funkcja

C(t) =

∫g(t)eF (t)dt, t ∈ I.

Tak wi ↪ec caÃlk ↪a szczegoln ↪a rownania (5.5) jest funkcja

x(t) =

(∫g(t)e

∫f(t)dtdt

)e−

∫f(t)dtdt

5.3 Rownanie Bernoulliego

Rownaniem rozniczkowym Bernoulliego nazywamy rownanie postaci

x′ + f(t)x = g(t)xp, p = const ∈ R \ {1}, (5.6)

przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same zaÃlozenia jak w przypadkurownania liniowego. Przez zmian ↪e zmiennych

y(t) := x1−p(t)

rownanie to mozna sprowadzic do rownanie rozniczkowego liniowego. Zauwazmy bowiem,ze skoro y′ = (1 − p)x−px′, to obustronnie mnoz ↪ac rownanie (5.6) przez (1 − p)x−p

dostajemy(1− p)x−px′ + (1− p)f(t)x1−p = (1− p)g(t),

czyli rownanie rozniczkowe liniowe niejednorodne

y′ + (1− p)f(t)y = (1− p)g(t).

5.4 Rownanie Riccatiego

Rownaniem rozniczkowym Riccatiego nazywamy rownanie postaci

x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t), (5.7)

gdzie a, b, c : I → R ci ↪agÃle, I - przedziaÃl otwarty.Z poprzednich twierdzen Ãlatwo pokazac, ze kazdy punkt zbioru I × R jest punktem

globalnej jednoznacznosci. Gdy a(t) = 0, to rownanie (5.7) jest rownaniem rozniczkowymliniowym, a gdy c(t) = 0 rownaniem Bernoulliego.

Specjalnym rownaniem Riccatiego nazywamy szczegolny przypadek rownanoa (5.7)a mianowicie

x′ = c1x2 + c2t

n c1, c2 ∈ R.

Nawet dla tego ostatniego rownania mozna podac efektywne metody dla pewnych wartosciwykÃladnika n. W ogolnym przypadku zachodzi natomiast nast ↪epuj ↪ace:


Twierdzenie 13 Niech I = (α, β) ⊂ R. Jesli ϕ jest caÃlk ↪a szczegoln ↪a rownania (5.7)okreslon ↪a na I, to dla kazdego rozwi ↪azania x tego rownania okreslonego w przedziale4 ⊂ I funkcja okreslona wzorem:

y(t) := x(t)− ϕ(t) (t ∈ 4),

jest rozwi ↪azaniem rownania Bernoulliego

y′ = [b(t) + 2a(t)ϕ(t)] y + a(t)y2 (5.8)

i na odwrot, dla kazdego rozwi ↪azania y rownania (5.8) okreslonego w 4 funkcja x zdefin-iowana wzorem:

x(t) = ϕ(t) + y(t) (t ∈ 4)

jest rozwi ↪azaniem rownania (5.7).

Dowod. Niech ϕ i x b ↪ed ↪a dwoma rozwi ↪azaniami rownania (5.7), czyli

ϕ′ = a(t)ϕ2 + b(t)ϕ+ c(t),

x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t).

Wowczas

y′ = x′ − ϕ′ =(a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

)−(a(t)ϕ2 + b(t)ϕ+ c(t)

)=

= a(t)(x2 − ϕ2

)+ b(t) (x− ϕ) = a(t) (x+ ϕ) (x− ϕ) + b(t) (x− ϕ) =

= (a(t) (x+ ϕ) + b(t)) (x− ϕ) = (b(t) + a(t)x+ a(t)ϕ) (x− ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ+ a(t)x− a(t)ϕ) (x− ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ+ a(t) (x− ϕ)) (x− ϕ) = (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y2.

Tak wi ↪ecy′ = (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y2.

c.k.d

PrzykÃlad 4 Rozwazmy rownanie Riccatiego

x′ − 2tx+ x2 = 5− t2,

ktorego caÃlk ↪a szczegoln ↪a jest funkcja ϕ(t) = t + 2. Przepisuj ↪ac to rownanie w postacix′ = (−1)x2+(2t)x+

(5− t2

), widzimy, ze a(t) = −1, b(t) = 2t, c(t) = 5−t2. Skojarzone

rownanie Bernoulliego przybiera wi ↪ec postac

y′ = [2t+ 2(−1)(t+ 2)] y + (−1)y2 = −4y − y2.

Jego rozwi ↪azaniem ogolnym jest rodzina funkcji y(t) = Ce4t (C ∈ R), tak wi ↪ecrozwi ↪azaniem rownania wyjsciowego jest rodzina funkcji x(t) = Ce4t + t+ 2 (C ∈ R).

5.5 Rownanie Lagrange’a

Rownaniem Lagrange’a nazywamy rownanie postaci:

x = a (x′) t+ f (x′) . (5.9)

ZakÃladamy, ze funkcje a, f ∈ C1(J,R), x ∈ C2(I, J), I, J przedziaÃly. Jesli funkcja a jestfunkcj ↪a identycznosciow ↪a, to rownanie Lagrange’a jest rownaniem Clairauta. Przyjmijmyzatem dalej, ze a(p) 6= p dla wszystkich p ∈ J . Rozniczkuj ↪ac rownanie (5.9) stronami i

5.6. SKALARNE ROWNANIE ROZNICZKOWE LINIOWE N -TEGO RZ ↪EDU 23

podstawiaj ↪ac za pocchodn ↪a x′ now ↪a funkcj ↪e p = p(t) mozemy to rownanie przeksztaÃlcic

do postaci:

x′ = a′ (x′)x′′t+ a (x′) + f ′ (x′)x′′

p = a′ (p) p′t+ a (p) + f ′ (p) p′

p = (a′(p)t+ f ′(p))dp

dt+ a(p),

dp

dt=

p− a(p)

a′(p)t+ f ′(p).

Zamieniaj ↪ac role zmiennych p i t mamy

dt

dp=a′(p)t+ f ′(p)

p− a(p)=

a′(p)

p− a(p)t+

f ′(p)

p− a(p),

czyli rownanie rozniczkowe niejednorodne

dt

dp+

a′(p)

a(p)− pt =

f ′(p)

p− a(p),

z niewiadom ↪a funkcj ↪a t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwi ↪azania wstawiamy je dowyjsciowego rownania (5.9), w ktorym w miejsce pochodnej x′ wstawiamy parametr p.Ostatecznie {

t = t(p)x = a (p) t(p) + f (p) .

(5.10)

jest rozwi ↪azaniem rownania (5.9) w postaci parametrycznej.

5.6 Skalarne rownanie rozniczkowe liniowe

n-tego rz ↪edu

Definicja 21 Skalarnym rownaniem rozniczkowym jednorodnym n-tego rz ↪edu (SR-RLJ) nazywamy rownanie

x(n) + an−1(t)x(n−1) + . . .+ a1(t)x′ + a0(t)x = 0, (5.11)

w ktorym aj(t) ∈ C(I,R), (j = 0, 1, . . . , n− 1), I - przedziaÃl.

Niech

L(t) :=dn

dtn+ an−1(t)

dn−1

dtn−1+ . . .+ a1(t)

d

dt+ a0(t), t ∈ I,

wowczas rownanie (5.11) mozna zapisac w zwi ↪ezÃlej postaci

L(t)x = 0, t ∈ I. (5.12)

Definicja 22 Wronskianem funkcji x1, . . . , xn ∈ Cn−1(I,R) nazywamy funkcj ↪e

W (x1, . . . , xn) (t) := det

((x

(k−1)j (t)

)k = 1, . . . , nj = 1, . . . , n

)(5.13)

Twierdzenie 14 a) Jesli wronskian W (x1, . . . , xn) (t0) 6= 0 dla pewnego t0 ∈ I, tofunkcke x1, . . . , xn s ↪a liniowo niezalezne.

b) Niech x1, . . . , xn b ↪ed ↪a rozwi ↪azaniami rownania (5.11). Jesli x1, . . . , xn s ↪a liniowoniezalezne, to ich wronskian W (x1, . . . , xn) (t)) 6= 0 dla kazdego t ∈ I.


Dowod Kolejno udowodnimy obie cz ↪esci twierdzenia.ad a) (nie wprost)

Przyjmijmy, ze x1, . . . , xn ∈ Cn−1(I,R) s ↪a liniowo zalezne. Zatem istniej ↪a takie staÃleC1, . . . , Cn ∈ R, ze

∑nj=1 C

2j 6= 0 oraz

n∑

j=1

Cjxj(t) = 0 dla t ∈ I. (5.14)

Rozniczkuj ↪ac t ↪e rownosc sukcesywnie wzgl ↪edem zmiennej t dostajemy zwi ↪azek

n∑

j=1

Cjx(k−1)j = 0 k = 1, . . . , n, t ∈ I.

Poniewaz W (x1, . . . , xn) (t0) 6= 0, zatem ukÃlad (5.14) ma tylko rozwi ↪azanie zerowe C1 =C2 = . . . = Cn = 0 wbrew zaÃlozeniu.

ad b) (nie wprost) Przypuscmy, ze istnieje taki punkt t0 ∈ I : W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.

PoÃlozmy ajk := x(k−1)j (t0) , j, k ∈ {1, . . . , n} i zdefiniujmy macierz A :=

(ajk

). Niech

wektor C = (C1, . . . , Cn)T

b ↪edzie niezerowym rozwi ↪azaniem ukÃladu

AC = 0.

Takie rozwi ↪azanie istnieje, gdyz

detA = det(ajk

)= W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.

Wezmy

x = x(t) :=n∑

j=1

Cjxj(t).

Funkcja ta jest rozwi ↪azaniem rownania (5.11) bo jest kombinacj ↪a liniow ↪a rozwi ↪azanxj(j = 1, . . . , n). Zauwazmy, ze x(t) speÃlnia warunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego:

x(k−1) (t0) =

n∑

j=1

Cjxk−1j (t0) = 0.

Z drugiej strony funkcja staÃla rowna zero tez speÃlnoa powyzszy warunek pocz ↪atkowy i jestrozwi ↪azaniem rownania (5.11). Wobec jedynosci rozwi ↪azania problemu pocz ↪atkowego dlarownania (5.11) i wobec liniowej niezaleznosci x1, . . . , xn mamy C1 = C2 = . . . = Cn = 0co przeczy zaÃlozeniu.

c.k.d

Wniosek 1 Jezeli x1, . . . , xn s ↪a rozwi ↪azaniami rownania (5.11), to

∀t∈I

W (x1, . . . , xn) (t) = 0,

lub

∀t∈I

W (x1, . . . , xn) (t) 6= 0.

Definicja 23 Zbior {x1, . . . , xn} liniowo niezaleznych rozwi ↪azan szczegolnych rownania(5.11) nazywamy fundamentalnym ukÃladem rozwi ↪azan (SRRLJ) rz ↪edu n.

Twierdzenie 15 Kazde rownanie rozniczkowe liniowe jednorodne rz ↪edu n-tego (5.11)ma fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan.

5.7. OBNIZANIE RZ ↪EDU ROWNANIA LINIOWEGO 25

Dowod Niech A =(ajk

)∈ R

n2

b ↪edzie dowoln ↪a macierz ↪a nioeosobliw ↪a i niech t0 ∈

I. Wiadomo, ze rownanie (5.11) ma rozwi ↪azania globalne przy zadanych warunkachpocz ↪atkowych Cauchy ↪ego

x(k−1)j (t0) = ajk, k = 1, . . . , n.

Oznaczmy je symbolami xj , (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwi ↪azan wynika, ze

W (x1, . . . , xn) (t0) = detA 6= 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwi ↪azania x1, . . . , xn tworz ↪a fundamentalny ukÃladrozwi ↪azan.

c.k.d

Twierdzenie 16 Jezeli rozwi ↪azania x1, . . . , xn tworz ↪a fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azanjednorodnego rownania rozniczkowego liniowego rz ↪edu n (5.11), to rodzina funkcji

x =n∑

j=1

Cjxj ,

gdzie Cj , (j = 1, . . . , n) jest rozwi ↪azaniem ogolnym tego rownania.

Dowod Nalezy pokazac, ze dla dowolnego rozwi ↪azania szczegolnego x speÃlniaj ↪acegowarunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego

x(k−1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n)

istniej ↪a staÃle Cj (j = 1, . . . , n) takie, ze x =∑nj=1 Cjxj .

Rozwazmy ukÃlad rownan

n∑

j=1

Cjx(k−1)j (t0) = x0k (k = 1, . . . , n).

Macierz tego ukÃladu jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest rowny W (x1, . . . , xn) (t0) 6=

0. Niech rozwi ↪azaniem tego ukÃladu b ↪edzie wektor C =(C1, . . . , Cn

)T. ÃLatwo zauwazyc,

ze skÃladowe Cj tego wektora s ↪a poszukiwanymi staÃlymi.c.k.d

5.7 Obnizanie rz ↪edu rownania liniowego

5.7.1 Wzor Liouville’a

Rozwazmy teraz jednorodne rownanie rozniczkowe liniowe (5.11) rz ↪edu drugiego.Mozna pokazac nast ↪epuj ↪ace twierdzenie Liouville’a:

Twierdzenie 17 Jesli x1, x2 stanowi ↪a ukÃlad fundamentalny rozwi ↪azan jednorodnegorownania rozniczkowego liniowego (5.11) rz ↪edu drugiego, to

∃C∈R

W (x1, x2) (t) = C exp

(−

∫a1 (t) dt

).

Jesli x1 jest znanym rozwi ↪azaniem r”wnania (5.11), to drugie rozwi ↪azanie niezaleznemozna znalezc nast ↪epuj ↪acym sposobem:

∀t∈R

∣∣∣∣x1 (t) x (t)

x′

1 (t) x′(t)

∣∣∣∣ 6= 0, (5.15)


x1x′

− x′

1x = C exp

(−

∫a1 (t) dt

),

x1x′− x

′

1x

x21

=1

x21

C exp

(−

∫a1 (t) dt

),

d

dt

(x

x1

)=

1

x21

C exp

(−

∫a1 (t) dt

),

x

x1=

∫ (1

x21

C exp

(−

∫a1 (t) dt

))dt,

x (t) = x1 (t)

(∫ (1

x21(t)

C exp

(−

∫a1 (t) dt

))dt+ C1

). (5.16)

5.7.2 Rownania wyzszych rz↪edow

Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:

x (t) = x1 (t) y (t) . (5.17)

Ma bowiem miejsce nast ↪epuj ↪ace

Twierdzenie 18 Jezeli x(t) 6= 0 jest rozwi ↪azanie jednorodnego liniowego rownaniarozniczkowego (5.11) rz ↪edu n, to po podstawieniu x(t) = x(t)y(t) otrzymujemy rownanie,ktorego rz ↪ad mozna obnizyc do rz ↪edu n− 1.

5.8 Niejednorodne rownanie rozniczkowe liniowe

n-tego rz ↪edu

Definicja 24 Niejednorodnym rownaniem rozniczkowym liniowym rz ↪edu n nazywamyrownanie postaci

L(t)x = g(t), (5.18)

gdzie g : R ⊃ I → R jest funkcj ↪a ci ↪agÃl ↪a.

ZaÃlozmy, ze znamy ukÃlad fundamentalny {x1, . . . , xn} skojarzonego jednorodnegorownania rozniczkowego (5.12). CaÃlk ↪e szczegoln ↪a rownania niejednorodnego (5.18) zna-jdziemy metod ↪a uzmienniania staÃlych (metod ↪a Lagrange’a).

ZakÃladamy, ze poszukiwane rozwi ↪azanie jest postaci

x(t) =

n∑

j=1

Cj(t)xj(t).

Funkcje Cj(t) wyznaczamy rozwi ↪azuj ↪ac ukÃlad rownan rozniczkowych

x1(t) . . . xn(t)x′1 . . . x′n(t)...

...

x(n−2)1 . . . x

(n−2)n (t)

x(n−1)1 . . . x

(n−1)n (t)

C ′1(t)C ′2(t)

...C ′n−1(t)C ′n(t)

=

00...0g(t)

.

Rozwi ↪azuj ↪ac powyzszy ukÃlad dostajemy n rownan o zmiennych rozdzielonych

C ′j(t) = Fj(t) (j = 1, . . . , n),

gdzie funkcje Fj s ↪a okreslone wzorami Cramera.

5.9. ROWNANIE LINIOWEN -TEGO RZ ↪EDU O STAÃLYCH WSPOÃLCZYNNIKACH27

Twierdzenie 19 (Zasada superpozycji) Jesli funkcja x1(t) jest rozwi ↪azaniem rownaniaL(t)x = g1(t), a x2(t) rozwi ↪azaniem L(t)x = g2(t), to x1(t) + x2(t) jest rozwi ↪azaniemrownania L(t)x = g1 + g2(t).

Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmiennia-nia staÃlych dla ukÃladu rownan rozniczkowych liniowych.

5.9 Rownanie liniowe n-tego rz ↪edu o staÃlych wspoÃl-

czynnikach

Rozwazamy rownanie postaci

x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a1x

′ + a0x = 0, (5.19)

w ktorym aj ∈ R, (j = 0, 1, . . . , n− 1). Niech

L :=dn

dtn+ an−1

dn−1

dtn−1+ . . .+ a1

d

dt+ a0,

wowczas rownanie (5.19) mozna zapisac krotko

Lx = 0. (5.20)

Przewidujemy rozwi ↪azanie rownania (5.19) w postaci x(t) = eλt, gdzie λ ∈ C.Po wsrawieniu pochodnych x(j)(t) = λjeλt do (5.19) i wydzieleniu przez eλt dostajemy:

λn + an−1λn−1 + . . .+ a0 = 0. (5.21)

Wniosek 2 Funkcja x(t) = eλt jest rozwi ↪azaniem rownania rozniczkowego (5.19) wt-edy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem rownania (5.21) zwanego rownaniem charak-

terystycznym.

Uwaga 2 Funkcja zespolona x(t) jest rozwi ↪azaniem rownania rozniczkowego (5.19)wtedy i tylko wtedy, gdy <e x(t) oraz =mx(t) s ↪a rozwi ↪azaniami tego rownania.

Niech λ1, . . . , λn ∈ C b ↪ed ↪a wszystkimi pierwiastkami rownania charakterystycznego(5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wyst ↪epuje w tym ci ↪agu k razy. Funkcje xj(t) =eλjt maj ↪a wronskian

W (x1, . . . , xn) (t) = e(λ1+...+λn)t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1λ1 λ2 . . . λnλ2

1 λ22 . . . λ2

n...

......

λn−11 λn−1

2 . . . λn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

= e(λ1+...+λn)tn∏

k=1

n∏

j=k+1

(λj − λk) .

Macierz wyznacznika wyst ↪epuj ↪acego w ostatnim wzorze nasi nazw ↪e macierzy Vander-monde’a.

Mog ↪a zaistniec cztery przypadki:

1. Wielomian charakterystyczny ma n roznych pierwiastkow rzeczywistych tj.:

∀i∈{1,...,n}

λi ∈ R oraz ∀i,j∈{1,...,n}

i 6= j ⇒ λi 6= λj .


Wtedy ∀t∈R

W (x1, . . . , xn) (t) 6= 0, zatem rodzina funkcji

x(t) =n∑

j=1

Cjeλjt

jest caÃlk ↪a ogoln ↪a rownania (5.19).

2. Wielomian charakterystyczny ma n roznych pierwiastkow, ale nie wszystkie pier-wiastki s ↪a rzeczywiste tj.:

∀i∈{1,...,n}

λi ∈ C oraz ∀i,j∈{1,...,n}

i 6= j ⇒ λi 6= λj .

Niech np. λm = a + ib b ↪edzie jednym z pierwiastkow zespolonych. Poniewazwielomian charakterystyczny (5.21) ma wspoÃlczynniki rzeczywiste, zatem rowniezλm = a − ib musi byc pierwiastkiem tego wielomianu. Mozna bez szkody dlaogolnosci przyj ↪ac, ze jest to kolejny pierwiastek na liscie pierwiastkow tj. λm+1 =λm. Par ↪e liniowo niezaleznych rozwi ↪azan zespolonych

y1(t) = eλmt, y2(t) = eλm+1t = eλmt

zast ↪epujemy par ↪a liniowo niezaleznych rozwi ↪azan rzeczywistych

xm(t) = <e eλmt = eat cos(bt), xm+1(t) = =meλmt = eat sin(bt).

3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale s ↪awsrod nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W

(eλ1t, . . . , eλnt

)= 0.

Niech λm ∈ R b ↪edzie pierwiastkiem krotnosci k > 1. Wowczas funkcje

t0eλmt = eλmt, t1eλmt, . . . , tk−1eλmt

s ↪a liniowo niezalezne, ponadto kazda z nich jest rozwi ↪azaniem (5.19). Jak Ãlatwobowiem sprawdzic bezposrednim rachunkiem

[d

dt− λ

] (tseλt

)= sts−1eλt,

sk ↪ad wniosek, ze jesli λ jest pierwiastkiem k krotnym i s ≤ k − 1, to

[d

dt− λ

]k (tseλt

)= 0.

5.10 Metoda przewidywan

W przypadku niejednorodnego rownania rozniczkowego rz ↪edu n o staÃlych wspoÃlczynnikach

x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a1x

′ + a0x = g(t), (5.22)

mozliwe jest skonstruowanie caÃlki szczegolnej tego rownania, jesli

g(t) = eat (pk(t) cos bt+ qm(t) sin bt) ,

gdzie pk i qm s ↪a wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwi ↪azanie szczegolneprzewidujemy w postaci

x(t) = eattp (rl(t) cos bt+ sl(t) sin bt) ,

gdzie:

5.11. UKÃLAD SKALARNYCH ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH RZ ↪EDU PIERWSZEGO29

• p jest krotnosci ↪a pierwiastka a+ ib wielomianu charakterystycznego rownania jed-norodnego skojarzonego z (5.22); gdy a+ ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,

• l = max{k, l},

• rl, sl wielomiany stopnia l.

WspoÃlczynniki wielomianow rl, sl dobieramy metod ↪a wspoÃlczynnikow nieoznaczonych.

5.11 UkÃlad skalarnych rownan rozniczkowych liniowych

rz ↪edu pierwszego

Rozwazamy ukÃlad rownan rozniczkowych rz ↪edu pierwszego postaci

x′j(t) =

n∑

k=1

akj (t)xk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n), (5.23)

czylix′(t) = A(t)x(t) + g(t), (5.24)

gdzie

x(t) =

x1(t)...

xn(t)

, A(t) =

a11(t) . . . an1 (t)...

...a1n(t) . . . ann(t)

, g(t) =

g1(t)...

gn(t)

.

Przyjmujemy zaÃlozenia regularnosciowe takie jak w teorii dotycz ↪acej zagadnien liniowych.W tym przypadku oznacza to, ze

∀j,k∈{1,...,n}

I 3 t→ gj(t), I 3 t→ akj (t) ∈ C (I,R)

∀j∈{1,...,n}

I 3 t→ xj(t) ∈ C1 (I,R) ,

gdzie I ⊂ R jest przedziaÃlem.Niech M ∈ R

n×n. Definiujemy

M0 := I

M1 := M

M j := M ·M j−1

oraz

eM :=

∞∑

k=0

Mk

k!.

Szereg ten jest zbiezny w Rn2

dla kazdej macierzy M . Wynika to st ↪ad, ze wobec osza-cowania ∥∥Mk

∥∥ =∥∥M ·Mk−1

∥∥ ≤ ‖M‖∥∥Mk−1

∥∥ ≤ ‖M‖k

mamy nierownosc∞∑

k=0

∥∥Mk∥∥

k!≤

∞∑

k=0

‖M‖k

k!.

Szereg∑∞k=0

‖M‖kk! jest zbiezny, a zatem szereg

∑∞k=0

Mk

k! jest zbiezny, gdzyz w przestrzeni-ach Banacha zachodzi twierdzenie, ze szereg ktory jest zbiezny wzgl ↪edem normy (czylijezt zbiezny bezwzgl ↪ednie) jest zbiezny.


Twierdzenie 20 Jesli macierze M, N ∈ Rn×n s ↪a przemienne, to znaczy gdy MN =

NM , to eM+N = eMeN .

Wniosek 3 Dla dowolnej macierzy M ∈ Rn×n:

(eM)−1

= e−M .

Dowod. Macierze M i −M s ↪a przemienne, a zatem eMe−M = eM−M = e0 = I.

Mnoz ↪ac ten zwi ↪azek lewostronnie przez(eM)−1

dostajemy tez ↪e.c.k.d.

Niech A(t) =(akj (t)

)j,k=1,...,n

. Wprowadzamy oznaczenie

∫A(t) dt :=

(∫akj (t) dt

)

j,k=1,...,n

.

Twierdzenie 21 Jesli macierze A(t) i∫A(t) dt s ↪a przemienne, to funkcja

x(t) := e∫A(t) dtC, (5.25)

gdzie C = (C1, . . . , Cn)T ∈ R

n jest rozwi ↪azaniem jednorodnego ukÃladu rownan rozniczkowychliniowych rz ↪edu pierwszego

x′(t) = A(t)x(t). (5.26)

Dowod. Policzmy:

x′(t) =(e∫A(t) dtC

)′=(e∫A(t) dt

)′C =

( ∞∑

k=0

(∫A(t) dt

)k

k!

)′C =

=

( ∞∑

k=1

k(∫A(t) dt

)k−1 (∫A(t)dt

)′

k!

)C =

( ∞∑

k=1

(∫A(t) dt

)k−1A(t)

(k − 1)!

)C =

= A(t)

( ∞∑

k=0

(∫A(t) dt

)k

k!

)C = A(t)eA(t)C = A(t)x(t).

c.k.d.Wzor (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz ukÃladu A(t) zalezy

istotnie od zmiennej t.

Uwaga 3 Jesli macierz ukÃladu (5.26) jest staÃla tj. A(t) = A, to∫A(t) dt =

∫Adt =

tA, a zatem macierze A i∫Adt = tA s ↪a przemienne. W konsekwencji rozwi ↪azaniem

ukÃladux′ = Ax

jest funkcjax(t) = etAC

Jak si ↪e dalej okaze efektywne obliczenie macierzy etA b ↪edzie mozliwe.W podobny sposob jak przedstawiony powyzej, mozna pokazac, ze funkcja

x(t) = e∫A(t) dt

∫e−

∫A(t) dtg(t) dt+ e

∫A(t) dtC (C ∈ R

n),

jest rozwi ↪azaniem ogolnym niejednorodnego ukÃladu (5.24). Wektor C dla rozwi ↪azania

speÃlniaj ↪acego warunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego x (t0) =0x ma postac:

C = e−∫A(t) dt 0

x −

∫e−

∫A(t) dtg(t) dt.

5.11. UKÃLAD SKALARNYCH ROWNAN ROZNICZKOWYCH LINIOWYCH RZ ↪EDU PIERWSZEGO31

Twierdzenie 22 Niech funkcje xkj ∈ C1(I,R) (j, k = 1, . . . , n), niech xk oznacza

wektor xk :=(xk1 , . . . , x

kn

)Ti niech

D(x1, . . . , xn

)(t) := det

((xkj (t)

)j,k=1,...,n

).

a) Jesli D(x1, . . . , xn

)(t) 6= 0 dla pewnego t0 ∈ I, to x1, . . . , xn s ↪a liniowo niezalezne.

b) Jesli x1, . . . , xn s ↪a liniowo niezaleznymi rozwi ↪azaniami jednorodnego ukÃladu (5.26),to ∀

t∈ID(x1, . . . , xn

)(t) 6= 0.

Dowod. Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, ze x1, . . . , xn liniowo zalezne tzn. istniej ↪atakie staÃle C1, . . . , Cn, ze

∑nk=1 C

2k 6= 0 oraz ∀

t∈I

∑nk=1 Ckx

k(t) = 0. To jednak oznacza,

ze det((xkj (t)

)j,k=1,...,n

)= D

(x1, . . . , xn

)(t0) = 0, wbrew zaÃlozeniu.

Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, ze D(x1, . . . , xn

)(t0) = 0

dla pewnego t0 ∈ I. Niech wektor (C1, . . . , Cn)T

b ↪edzie niezerowym rozwi ↪azaniem ukÃladu

x11 (t0) , . . . xn1 (t0)

......

x1n (t0) , . . . xnn (t0)

·

C1

...Cn

=

0...0

.

Zdefiniujmy funkcj ↪e x(t) jako

x(t) :=

n∑

k=1

Ckxk(t), t ∈ I.

Jako kombinacja liniowa rozwi ↪azan xk funkcja x jest rozwi ↪azaniem ukÃladu (5.24). Pon-adto speÃlnia ona warunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego

x (t0) = 0.

Funkcja y(t) ≡ 0 jest rowniez rozwi ↪azaniem ukÃladu (5.24) speÃlniaj ↪acym ten sam warunekpocz ↪atkowy. Wobec jednoznacznosci rozwi ↪azania funkcje te musz ↪a byc rowne, czyli x = 0.Oznacza to jednak wbrew zaÃlozeniu, ze funkcje x1, . . . , xn s ↪a liniowo zalezne.

c.k.d.

Uwaga 4 Jezeli x1, . . . , xn s ↪a rozwi ↪azaniami ukÃladu (5.26), to

∀t∈I

D(x1, . . . , xn

)(t) = 0,

lub

∀t∈I

D(x1, . . . , xn

)(t) 6= 0.

Definicja 25 Zbior{x1, . . . , xn

}liniowo niezaleznych rozwi ↪azan ukÃladu (5.26) nazy-

wamy fundamentalnym ukÃladem rozwi ↪azan.

Twierdzenie 23 Kazdy jednorodny ukÃlad rownan rozniczkowych liniowych ma fun-damentalny ukÃlad rozwi ↪azan i jesli funkcje x1, . . . , xn tworz ↪a fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan,to rodzina odwzorowan x(t) =

∑nk=1 Ckx

k(t), gdzie Ck ∈ R jest rozwi ↪azaniem ogolnymtego ukÃladu.


Jesli{x1, . . . , xn

}tworz ↪a fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan (5.26), to caÃlk ↪e szczegoln ↪a

niejednorodnego ukÃladu (5.24) znajdujemy metod ↪a uzmienniania staÃlych. Przewidujemyj ↪a w postaci

x(t) :=

n∑

k=1

Ck(t)xk(t).

Dalej mamy x′(t) :=∑nk=1 C

′k(t)xk(t)+

∑nk=1 Ck(t)

(xk)′

(t) i po wstawieniu do rownaniaotrzymujemy:

n∑

k=1

C ′k(t)xk(t) +

n∑

k=1

Ck(t)(xk)′

(t) = A(t)

n∑

k=1

Ck(t)xk(t) + g(t),

czylin∑

k=1

C ′k(t)xk(t) = g(t),

to jest

x11(t) x2

1(t) · · · xn1 (t)x1

2(t) x22(t) · · · xn2 (t)

......

...x1n(t) x2

n(t) · · · xnn(t)

C ′1(t)C ′2(t)...C ′n(t)

=

g1(t)g2(t)...gn(t)

.

Poniewaz dla wszystkich t ∈ I : D(x1, . . . , xn

)(t) 6= 0, st ↪ad powyzszy ukÃlad ma

dokÃladnie jedno rozwi ↪azanie okreslone wzorami Cramera

C ′k(t) = pk(t) (k = 1, . . . , n).

Kazde z tych rownan jest rownaniem o zmiennych rozdzielonych zatem

Ck(t) =

∫pk(t) dt+Mk, gdzie Mk ∈ R, (k = 1, . . . , n).

Ostatecznie

x(t) =n∑

k=1

Mkxk(t) +

n∑

k=1

(∫pk(t) dt

)xk(t).

5.12 UkÃlady rownan liniowych o staÃlych

wspoÃlczynnikach

ZakÃladamy teraz, ze macierz ukÃladu (5.26) jest macierz ↪a staÃl ↪a tj. akj (t) ≡ akj ∈ R.Jak wiadomo z wczesniejszych rozwazan, rozwi ↪azanie tego ukÃladu jest postaci

x(t) = etAC,

gdzie C ∈ Rn.

5.12.1 Metoda wartosci i wektorow wÃlasnych

Jesli w 6= 0 jest wektorem wÃlasnym macierzy A tj. istnieje λ ∈ C : Aw = λwi wezmiemy x(t) = y(t) · w, gdzie y(t) ∈ C1(R,R), to po podstawieniu x do rownania(5.26) dostajemy y′(t)w = λy(t)w co daje (y′(t)− λy(t))w = 0. Wobec w 6= 0 mamyy′(t) = λy(t) rownanie o zmiennych rozdzielonych z rozwi ↪azaniem y(t) = Ceλt, t ∈ R.

Jak wiadomo zbior rozwi ↪azan ukÃladu (5.26) jest przestrzeni ↪a wektorow ↪a n-wymiarow ↪a.Poszukujemy zatem fundamentalnego ukÃladu rozwi ↪azan. Mozemy rozwazyc przypadki:

5.12. UKÃLADY ROWNAN LINIOWYCH O STAÃLYCH WSPOÃLCZYNNIKACH 33

1. Kazdej wartosci wÃlasnej λj o krotnosci kj odpowiada kj liniowo niezaleznych wek-torow wÃlasnych wj,1, . . . , wj,kj macierzy A (j = 1, . . . , p, k1 +k2 + . . .+kp = n).Poniewaz wektory wÃlasne odpowiadaj ↪ace roznym wartosciom wÃlasnym s ↪a liniowoniezalezne, wi ↪ec dla

xj,s(t) := eλjtwj,s (s = 1, . . . , kj , j = 1, . . . , p)

wyznacznik

D(x1,1, . . . , xp,kp

)(t) = e(k1λ1+...+kpλp)t det

(wj,si

)6= 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , kj , j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje xj,s tworz ↪afundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan.

Jesli wartosc wÃlasna i wektor wÃlasny s ↪a zespolone tj. np. λ1 = λ2 = λ i w =u + iv = (u1 + iv1, . . . , un + ivn)

Tjest wektorem wÃlasnym odpowiadaj ↪acym λ1 i

w = u− iv = (u1 − iv1, . . . , un − ivn)T

wektorem wÃlasnym odpowiadaj ↪acym λ2, toponiewaz rownosc Aw = λw poci ↪aga rownosc Aw = Aw = Aw = λw = λw, zatemzamiast zespolonych rozwi ↪azan

y1 = eλ1tw, y1 = eλ2tw

bierzemy

x1 = <e y1 = et<e λ (u cos (t=mλ)− v sin (t=mλ)) ,

x2 = =my1 = et<e λ (u sin (t=mλ) + v cos (t=mλ)) .

2. Niech wartosci wÃlasnej np. λ1 = λ o krotnosci k odpowiada tylko r liniowoniezaleznych wektorow wÃlasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy

rz ↪ad (A− λI) = n− r > n− k.

Poszukujemy rozwi ↪azania ogolnego odpowiadaj ↪acego wartosci wÃlasnej λ postaci

x(t) = eλtP (t),

gdzie P (t) = (P1(t), . . . , Pn(t))T

i Pj jest wielomianem stopnia k − 1, j = 1, . . . , nprzy czym w rozwi ↪azaniu ogolnym powinno wyst ↪apic k staÃlych dowolnych.

3. Rozwi ↪azanie ogolne ukÃladu (5.26) jest sum ↪a rozwi ↪azan szczegolnych odpowiadaj ↪acychposzczegolnym wartosciom wÃlasnym.

5.12.2 Sprowadzanie macierzy ukÃladu do postaci Jordana

Przypadek szczegolny Jesli A jest diagonalizowaln ↪a rzeczywist ↪a macierz ↪a wymi-aru n, tj. istnieje macierz podobienstwa P taka, ze P−1AP = D, gdzie D jest macierz ↪adiagonaln ↪a, to podstawiaj ↪ac x = Py sprowadzamy ukÃlad x′(t) = Ax(t), t ∈ I (∈ topR)do postaci y′(t) = Dy(t), ktorego rozwi ↪azaniem jest

y(t) = eDtC =(ediit

)C =

C1ed11t

...Cne

dnnt

,

a zatem

x (t) = P

C1ed11t

...Cne

dnnt

.


Przypadek ogolny Niech A b ↪edzie dan ↪a rzeczywist ↪a macierz ↪a kwadratow ↪a wymi-aru n. Niech λr (r = 1, . . . , q) b ↪ed ↪a wartosciami wÃlasnymi tej macierzy, przy czymprzyjmujemy, ze wartosc wÃlasna λr ma krotnosc kr. Oczywiscie

∑qr=1 kr = n. Niech

P b ↪edzie tak ↪a macierz ↪a nieosobliw ↪a, ze macierz J = P−1AP jest macierz ↪a Jordana,tzn.

J =

J11 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 J12 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 J1i(1) 0 0...

.... . .

...0 0 0 Jq1 0...

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 0 · · · Jq,i(q)

,

gdzie

Jrj =

λr 0 0 · · · 0 01 λr 0 0 00 1 sr 0 0...

. . ....

...0 0 0 · · · λr 00 0 0 · · · 1 λr

lub Jrj = (λr)

(macierze Jrj nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez krj liczb ↪e wierszy i kolumnmacierzy Jrj . Obliczaj ↪ac wielomian charaktrystyczny macierzy J , rowny wielomianowicharakterystycznemu macierzy A Ãlatwo mozna si ↪e przekonac, ze maj ↪a miejsce nast ↪epuj ↪acerownosci:

kr =

i(r)∑

j=1

krj (r = 1, . . . , q) .

Liczby krj mozna wyznaczyc np. metod ↪a przedstawion ↪a w [5].

Niech Dm (λ) oznacza najwi ↪ekszy wspolny dzielnik wszystkich minorow stopnia mmacierzy A − λI. Mozna pokazac, ze Dm (λ) dzieli si ↪e przez Dm−1 (λ). Zatem zdokÃladnosci ↪a do czynnika a, takiego ze |a| = 1:

Dn (λ) = (λ− λ1)u11 (λ− λ2)

u21 . . . (λ− λq)uq1 ,

Dn−1 (λ) = (λ− λ1)u12 (λ− λ2)

u22 . . . (λ− λq)uq2 ,

. . . ........................................................

D1 (λ) = (λ− λ1)u1n (λ− λ2)

u2n . . . (λ− λq)uqn ,

przy czym ui1 ≥ ui2 ≥ ui3 ≥ . . . ≥ uin co mozna zapisac krotko uik ≥ uij dla k ≤ j .Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne uik = 0. W tym przypadku jednak uij = 0 dlawszystkich j ≥ k. Przy tych oznaczeniach:

k11 = u11 − u12, k12 = u12 − u13, . . . , kij = uij − ui,j+1, . . .

Mamy wowczas i (r) = max {j : krj 6= 0}.

Jezeli km = 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz Jm1 = (sm) jest macierz ↪a wymiaru1× 1. Bez straty ogolnosci mozemy przyj ↪ac, ze jesli istniej ↪a pierwiastki jednokrotne, to

5.12. UKÃLADY ROWNAN LINIOWYCH O STAÃLYCH WSPOÃLCZYNNIKACH 35

maj ↪a one kolejne numery rozpoczynaj ↪ace si ↪e od 1. Macierz Jordana J jest wi ↪ec postaci

λ1 0 · · · 0 0 · · · 00 λ2 · · · 0 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 λp 0 00 0 0 Jp+1,1 0...

.... . .

...0 0 · · · 0 0 · · · Jq,i(q)

.

Dowodzi si ↪e, ze jesliA = PJP−1,

toeAt = PeJtP−1.

Z kolei

eJt =

eλ1t · · · 0 0 · · · 0...

. . ....

0 eλpt 0 00 0 eJp+1,1t 0...

. . ....

0 0 · · · 0 · · · eJq,i(q)t

,

gdzie s1, . . . , sp s ↪a jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.Niech Jrj wymiaru krj b ↪edzie jedn ↪a z klatek Jordana odpowiadaj ↪acych wartosci

wÃlasnej sr o krotnosci kr. Wprost z definicji mozna pokazac, ze

eJrjt = eλrt

1 0 · · · 0t1! 1 · · · 0t2

2!t1! 0

.... . .

...tkrj−1

(krj−1)!tkrj−2

(krj−2)! · · · 1

.

Niech P b ↪edzie macierz ↪a sprowadzaj ↪ac ↪a macierz A do postaci Jordana tj. J =P−1AP . Ostatni zwi ↪azek jest rownowazny rownosci PJ = AP . Wprowadzaj ↪ac now ↪afunkcj ↪e niewiadom ↪a y (t) okreslon ↪a rownosci ↪a

x(t) = Py(t),

sprowadzamy ostatni URRLJ do rownowaznego ukÃladu

y′(t) = Jy(t),

ktorego rozwi ↪azaniem ogolnym jest funkcja

y(t) = eJtC, C ∈ Rn.

Tak wi ↪ec rozwi ↪azaniem ogolnym wyjsciowego URRLJ jest funkcja

x(t) = PeJtC, C ∈ Rn.

PrzykÃlad 5 Rozwazmy ukÃlad rownan:

x′(t) =

1 1 20 1 10 0 2

x (t)


Jak Ãlatwo sprawdzic λ1 = 1, k1 = 2 λ2 = 2, k2 = 1

P =

1 1 31 0 10 0 1

J =

1 0 01 1 00 0 2

Stosuj ↪ac standardowe podstawienie x (t) = Py (t) rozwi ↪azujemy ukÃlad rownan y′(t) =Jy(t). Jego rozwi ↪azaniem jest

y(t) = eJtC =

et

(1 0t 1

)0

0 e2t

C1

C2

C3

=

et 0 0tet et 00 0 e2t

C1

C2

C3

,

zatem

x(t) =

1 1 31 0 10 0 1

et 0 0tet et 00 0 e2t

C1

C2

C3

=

=

(1 + t) et et 3e2t

et 0 e2t

0 0 e2t

C1

C2

C3

.

5.13 Rownanie ruchu harmonicznego

Rownanie ruchu pod dziaÃlaniem siÃly elastycznej, tj. rownanie ruchu harmonicznegojest opisane rownaniem rozniczkowym wektorowym:

m..r= −k2r,

gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiaj ↪ac ω = k√m

dostajemy ukÃlad sepa-

rowanych rownan skalarnych:

..x +ω2x = 0..y +ω2y = 0..z +ω2z = 0

.

CaÃlka ogolna pierwszego z nich ma postac:

x (t) = C1 sinωt+ C2 cosωt = A sin (ωt+ γ) ,

gdzie A =√C2

1 + C22 , γ = arctan (C1/C2). ÃLatwo zauwazyc, ze rozwi ↪azanie x (t) jest

okresowe o okresie T = 2πω . StaÃl ↪a ω nazywamy cz ↪estosci ↪a koÃlow ↪a lub pulsacj ↪a, ν = 1

Tcz ↪estosci ↪a, ωt+ γ faz ↪a, zas γ staÃl ↪a fazow ↪a.

Jezeli na punkt materialny oprocz siÃly elastycznej −k2x dziaÃla dodatkowa siÃla −ρ.x

(ρ > 0), to otrzymujemy drgania tÃlumione.

RozdziaÃl 6

Rozwi↪azania w postaci

szeregow funkcyjnych

Jak wiadomo nie zawsze mozna efektywnie rozwi ↪azac rownanie rozniczkowe, nie za-wsze mozna otrzymac rozwi ↪azanie przez skonczon ↪a liczb ↪e kwadratur. Czasami trzebasi ↪egn ↪ac do sposobow bardziej wyrafinowanych - jednym z nich jest wyrazenie rozwi ↪azaniaw postaci szeregu funkcyjnego. Ponizej omowione s ↪a dwa przypadki takiego post ↪epowania.

6.1 Rozwi ↪azania w postaci szeregow pot ↪egowych

Niech b ↪edzie dane zagadnienie pocz ↪atkowe Cauchy’ego

x′ = f(t, x) (t ∈ I) ,x (t0) = x0,

gdzie I ⊂ R przedziaÃl, taki ze t0 ∈◦I, x : I 3 t → x(t) ∈ U ⊂ R, U zbior otwarty

w R, x0 ∈ U . Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, ze jesli funkcja f : I × U →R jest analityczna w otoczeniu punktu (t0, x0), to istnieje dokÃladnie jedno analitycznerozwi ↪azanie tego rownania w pewnym otoczeniu punktu t0.

Rozwazmy przypadek szczegolny, rownanie skalarne postaci:

x′′ = w(g(t), x, x′) t ∈ (t0, T )x (t0) = x0, x′ (t0) = x1,

gdzie w(p1, p2, p3) jest wielomianem stopnia co najwyzej drugiego

w(p1, p2, p3) = a0 +3∑

i=1

aipi +3∑

i,j=1

i<=j

aijpipj ,

o wspoÃlczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcj ↪a analityczn ↪a w otoczeniu punktu t0.Przyjmijmy, ze funkcja g ma rozwini ↪ecie w szereg pot ↪egowy

g(t) =

∞∑

k=0

gk (t− t0)k,

a szukana funkcja x(t) rozwini ↪ecie

x(t) =∞∑

k=0

ck (t− t0)k.

37

38 ROZDZIAÃL 6. ROZWI ↪AZANIA W POSTACI SZEREGOW FUNKCYJNYCH

Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej maj ↪a zatem rozwini ↪ecia

x′(t) =∞∑

k=0

(k + 1)ck+1 (t− t0)k,

x′′(t) =

∞∑

k=0

(k + 2)(k + 1)ck+2 (t− t0)k.

Iloczyny g(t)g(t), g(t)x(t), g(t)x′(t), x(t)x(t), x(t)x′(t), x′(t)x′(t) poprawej stronie rownania rozniczkowego s ↪a iloczynami Cauchy’ego:

( ∞∑

k=0

uk (t− t0)k

)( ∞∑

k=0

vk (t− t0)k

)=

∞∑

k=0

k∑

j=0

ujvk−j

(t− t0)

k.

Ostatecznie dostajemy rownosc dwoch szeregow pot ↪egowych:∑∞k=0(k + 2)(k + 1)ck+2 (t− t0)

k=∑∞

k=0 ((δ0ka0 + a1gk + a2ck + a3(k + 1)ck+1) +

+∑kj=0 (a11gjgk−j + a12gjck−j + a13(k + 1− j)gjck+1−j + a22cjck−j +

+ a23(k + 1− j)cjck+1−j + a33(j + 1)(k + 1− j)cj+1ck+1−j)) (t− t0)k,

ktora przez porownanie wspoÃlczynnikow przy tych samych pot ↪egach (t− t0) prowadzi donieskonczonego ukÃladu rownan algebraicznych o niewiadomych ck (k ∈ N).

Uwzgl ↪edniaj ↪ac warunki pocz ↪atkowe mamy

c0 = x0, c1 = x1.

Kolejne wspolczynniki ck mozna wyznaczyc rekurencyjnie:

ck+2 =1

(k + 1)(k + 2)

δ0ka0 + a1gk + a2ck + (k + 1)a3ck+1 +

k∑

j=0

Skj

(k ∈ N),

gdzieSkj := a11gjgk−j + ck−j (a12gj + a22cj) ++(k + 1− j)ck+1−j (a13gj + a23cj + (j + 1)a33cj+1) ,

a δij jest delt ↪a Kroneckera.Wyznaczenie rozwi ↪azania rownania liniowego jednorodnego rz ↪edu drugiego

x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0 t ∈ (t0, T )x (t0) = x0, x′ (t0) = x1,

ze wspoÃlczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t0 wygl ↪ada podobniedo przedstawionego powyzej. Jesli

p(t) =∞∑

k=0

ak (t− t0)k, q(t) =

∞∑

k=0

bk (t− t0)k,

to rownanie rekurencyjne na wspoÃlczynniki ck ma postac:

ck+2 = −1

(k + 1)(k + 2)

k∑

j=0

((j + 1)ak−jcj+1 + bk−jcj) (k ∈ N),

(Punkt t0, w otoczeniu ktorego wspoÃlczynniki rownania liniowego jednorodnego s ↪a funkc-jami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego rownania.)

Bior ↪ac kolejno dwa warunki pocz ↪atkowe Cauchy’ego x (t0) = x0, x′ (t0) = x1 oraz

x (t0) = x0, x′ (t0) = x1 takie, ze det

(x0 x1

x0 x1

)6= 0, mozna wygenerowac dwa liniowo

niezalezne rozwi ↪azania tego rownania i jego rozwi ↪azanie ogolne.

6.2. ROWNANIA ROZNICZKOWE LINIOWE RZ ↪EDU DRUGIEGO 39

6.2 Rownania rozniczkowe liniowe rz ↪edu drugiego

Niech b ↪edzie dane liniowe rownanie rozniczkowe rz ↪edu drugiego

x′′ + p(t)x′ + q(t)x = 0 (t ∈ I) ,

gdzie I ⊂ R przedziaÃl, taki ze t0 ∈◦I, x : I 3 t→ x(t) ∈ U ⊂ R, U ∈ topR.

Wiadomo, ze zbior rozwi ↪azan rownania jednorodnego jest przestrzeni ↪a wektorow ↪adwuwymiarow ↪a. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w prosty i znany sposobmozna wypisac wzory dwoch liniowo niezaleznych rozwi ↪azan tego rownania i w konsek-wencji dla zadanego warunku pocz ↪atkowego Cauchy’ego wyznaczyc rozwi ↪azanie problemupocz ↪atkowego. Gdy t0 jest punktem nieosobliwym rownania tj. p(t), q(t) s ↪a funkcjamianalitycznymi w otoczeniu punktu t0, to mozna wyznaczyc rozwi ↪azanie tego problemuw postaci szeregu pot ↪egowego o srodku w punkcie t0, jak to zostaÃlo pokrotce opisanepowyzej, a takze wyznaczyc dwa szeregi pot ↪egowe, ktorych sumy s ↪a dwoma liniowoniezaleznymi rozwi ↪azaniami rownania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie s ↪a anal-ityczne w otoczeniu punktu t0, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym rownania,a nazywamy go punktem osobliwym regularnym, jesli funkcje (t− t0) p(t), (t− t0)

2q(t)

s ↪a analityczne w otoczeniu t0.Niech t0 b ↪edzie regularnym punktem osobliwym rozwazanego rownania i niech funkcje

(t− t0) p(t), (t− t0)2q(t) analityczne w otoczeniu |t− t0| < R maj ↪a rozwini ↪ecia w szeregi

pot ↪egowe:

(t− t0) p(t) =

∞∑

k=0

pk (t− t0)k,

(t− t0)2q(t) =

∞∑

k=0

qk (t− t0)k.

Niech λ1, λ2 b ↪ed ↪a pierwiastkami rownania

λ(λ− 1) + p0λ+ q0 = 0,

zwanego rownaniem indeksowym (wyznaczaj ↪acym), gdzie p0 = limt→t0 (t− t0) p(t),

q0 = limt→t0 (t− t0)2q(t). W jednym z mozliwych przypadkow, w sytuacji gdy λ1, λ2 ∈

R, λ1 > λ2, λ1 − λ2 6∈ N rozwazane rownanie ma dwa liniowo niezalezne rozwi ↪azania wprzedziale (t0, t0 +R) postaci:

x1(t) = (t− t0)λ1

∞∑

k=0

ak (t− t0)k, x2(t) = (t− t0)

λ2

∞∑

k=0

bk (t− t0)k.

Bior ↪ac dowolne a0 6= 0, kolejne wspoÃlczynniki ak (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z zaleznosci:

ak = −

∑kj=1 (pj (k − j + λ1) + qj) ak−j

(k + λ1) (k + λ1 − 1) + p0 (k + λ1) + q0.

Podobnie, bior ↪ac dowolne b0 6= 0, kolejne wspoÃlczynniki bk (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy zzaleznosci:

bk = −

∑kj=1 (pj (k − j + λ2) + qj) bk−j

(k + λ2) (k + λ2 − 1) + p0 (k + λ2) + q0.

Gdy λ1, λ2 ∈ R, λ1 = λ2, rozwi ↪azanie szczegolne x2(t) ma postac:

x2(t) = x1(t) ln (t− t0) + (t− t0)λ1

∞∑

k=0

bk (t− t0)k,

40 ROZDZIAÃL 6. ROZWI ↪AZANIA W POSTACI SZEREGOW FUNKCYJNYCH

natomiast, gdy λ1, λ2 ∈ R, λ1 ≥ λ2, λ1 − λ2 ∈ N jest postaci:

x2(t) = Cx1(t) ln (t− t0) + (t− t0)λ1

∞∑

k=0

bk (t− t0)k,

gdzie staÃla C moze byc rowna zeru.Podobne wzory mozna wyprowadzic dla zespolonych pierwiastlow rownania indek-

sowego.

RozdziaÃl 7

Stabilnosc rozwi↪azan rownan

rozniczkowych

7.1 Podstawowe definicje

Definicja 26 Niech X b ↪edzie przestrzeni ↪a Banacha. Niech dane b ↪edzie (RR): x′ =f (t, x) z (WPC): x (t0) = x0, gdzie t ∈ I, I przedziaÃl , x0 ∈ U ∈ top X ZaÃlozmy, ze

∀y0∈U

(RR) z (WPC) : x (t0) = y0

ma rozwi ↪azanie x (t, y0) okreslone na maksymalnym przedziale istnienia J (y0) = [t0, R (t0, y0)).

1. Rozwi ↪azanie x (·, x0) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapunowa, jezeli

∀ε>0

∃δ>0

: ‖y0 − x0‖ < δ ⇒ ‖x (t, y0)− x (t, x0)‖ < ε

dla t ∈ J (x0) ∩ J (y0).

2. Mowimy, ze rozwi ↪azanie x (t, x0) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, jezeli I =[0,+∞), rozwi ↪azanie jest stabilne i ponadto ma wÃlasnosc lokalnego przyci ↪agania,tzn.

∃δ>0

: ‖y0 − x0‖ < δ ⇒

⇒(J (y0) = [t0,+∞) , lim

t→∞‖x (t, y0)− x (t, x0)‖ = 0

).

W skrocie piszemy: x (t, x0) jest LAS.

3. Mowimy, ze rozwi ↪azanie x (t, x0) jest globalnie asymptotycznie stabilne, jezeli jeststabilne i ponadto ma wÃlasnosc globalnego przyci ↪agania, tzn.

∀y0∈U

: J (y0) = [t0,+∞) , limt→∞

‖x (t, y0)− x (t, x0)‖ = 0.

W skrocie piszemy: x (t, x0) jest GAS.

PrzykÃlad 6 Rownianie x′ − x = 0 z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’ego x(0) = x0

ma rozwi ↪azanie postaci x(t, x0) = x0et. Rozwi ↪azanie x(t, 0) = 0 nie jest stabilne, bo dla

r > 0 mamy sup {|x(t, x0)− 0| : t ≥ 0, |x0 − 0| < r} = +∞.

41

42 ROZDZIAÃL 7. STABILNOSC ROZWI ↪AZAN ROWNAN ROZNICZKOWYCH

PrzykÃlad 7 Rownanie mx′′ + 2px′ + kx = 0 z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’egox(0) = A, x′(0) = υ gdy p2 < km, p > 0, m > 0 ma rozwi ↪azanie postaci x(t, A, υ) =

Ce−qt sin(ωt + ϕ), gdzie q = pm , ω =

√km − q

2, C =

√A2 +

(qA+υω

)2

, ϕ = arccos AC .

Rozwi ↪azanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie stabilne.

Twierdzenie 24 Rozwi ↪azanie x (t, x0) = p (t) rownania x′ = f (t, x) jest stabilne(asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwi ↪azanie y (t) = 0 rownania y′ =g (t, y) := f (t, y + p (t))− f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie stabilne).

Dowod. Niech p (t) := x (t, x0) stabilne rozwi ↪azanie rownania x′ = f (t, x). Funkcjay (t) := x (t)−p (t) speÃlnia rownanie y′ (t) = f (t, x (t))−f (t, p (t)) = f (t, y (t) + p (t))−f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g s ↪a tej samej klasy regularnosci.

Inaczej. Niech p (t) = x (t, x0), x (t) = x (t, y0), p′ = f(t, p), x′ = f(t, x). Tak wi ↪ecx′−p′ = f(t, x)−f(t, p). Zdefiniujmy z := x−p. Mamy z′ = f(t, z+p)−f(t, p) =: g(t, z)czyli z′ = g(t, z). Skoro

‖y0 − x0‖ < δ =⇒ ‖x (t, y0)− x (t, x0)‖ < ε

zatem‖z0‖ < δ =⇒ ‖x (t)− p (t)‖ = ‖z(t)‖ < ε

co jest rownowazne

‖z0 − 0‖ < δ =⇒ ‖z(t)− 0‖ < ε

PrzykÃlad 8 Rozwazmy ukÃlad rownan rozniczkowych{x′1 = (x1 − 1) (x2 − 1)x′2 = x1x2 − 2

ktore mozna zapisac jako jedno rownanie w postaci wektorowej

x′ = f(x) :=

((x1 − 1) (x2 − 1)

x1x2 − 2

)

gdzie x(t) =

(x1(t)x2(t)

). ÃLatwo zauwazyc, ze funkcje x(t) =

(12

), x(t) =

(21

)s ↪a

rozwi ↪azaniami przykÃladowego rownania (jego poÃlozeniami rownowagi). Stabilnosc pier-wszego z tych rozwi ↪azan jest rownowazna stabilnosci rozwi ↪azania zerowego rownania

y′ = f

(y +

(12

))− f

(12

)=

(y1 (y2 + 1)

y1y2 + 2y1 + y2

)

a stabilnosc drugiego z nich stabilnosci rozwi ↪azania zerowego rownania

y′ = f

(y +

(21

))− f

(21

)=

((y1 + 1) y2

y1y2 + y1 + 2y2

)

Uwaga 5 Stabilnosc nie implikuje przyci ↪agania i odwrotnie.

PrzykÃlad 9 Rozwazmy rownanie x′′ + x = 0 z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’egox (0) = x0, x′ (0) = 0. Jego rozwi ↪azaniem jest funkcja x (t) = x0 cos t. Rozwi ↪azaniezerowe jest wi ↪ec stabilne, ale nie ma wÃlasnosci przyci ↪agania.

PrzykÃlad 10 Rozwi ↪azaniem ukÃladu

(x1

x2

)′=

(x2

−x1

)z warunkiem pocz ↪atkowym

(x1

x2

)(0) =

(x0

0

)jest funkcja

(x1

x2

)(t) =

(x0 cos t−x0 sin t

). Tak wi ↪ec zerowe

rozwi ↪azanie jest stabilne, ale nie ma wÃlasnosci przyci ↪agania.

7.2. TWIERDZENIE LAPUNOWA 43

7.2 Twierdzenie Lapunowa

Twierdzenie 25 (Lapunowa) Niech dany b ↪edzie skalarny ukÃlad rownan rozniczkowych

x′

j = fj (t, x) (j = 1, . . . , n)

gdzie t ∈ [t0,+∞), x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) ∈ U ∈ topRn, f = (f1, . . . , fn) ∈C1 ([t0,+∞)× U,Rn). ZaÃlozmy,ze

• f (t, 0, . . . , 0) = 0

• ajk :=∂fj∂xk

(t, 0, . . . , 0) ∈ R j, k = 1, . . . , n

• det(

(ajk − λδjk)j,k=1,...,n

)= 0 =⇒ Reλ < 0

• ∃ M : U −→ R, ze limx−→0

M (x) = 0 oraz

∣∣∣∣fj (t, x)−n∑k=1

ajkxk

∣∣∣∣ ≤M (x) ‖x‖ dla

t ≥ t0, x ∈ U , j = 1, . . . , n.

Wtedy rozwi ↪azanie zerowe x (·, 0) = 0 powyzszego ukÃladu jest lokalnie asymptotyczniestabilne tzn. ∃

r>0‖y0‖ < r =⇒ { maksymalny przedziaÃl J (y0) istnienia rozwi ↪azania

x (·, y0) jest rowny [t0,+∞) } oraz ∀ε>0

∃δ>0

: ‖y0‖ < δ =⇒ limt−→+∞

x (t, y0) = 0 i

‖x (t, y0)‖ < ε dla t ≥ t0.

Wniosek 4 Niech dany b ↪edzie skalarny ukÃlad rownan rozniczkowych

x′

j = fj (x) (j = 1, . . . , n)

gdzie x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) ∈ U ∈ topRn, f = (f1, . . . , fn) ∈ C1 (U,Rn).

ZaÃlozmy, ze

• f (0, . . . , 0) = 0

• ajk :=∂fj∂xk

(0, . . . , 0) ∈ R j, k = 1, . . . , n

• det(

(ajk − λδjk)j,k=1,...,n

)= 0 =⇒ Reλ < 0

Wtedy rozwi ↪azanie zerowe x (·, 0) = 0 powyzszego ukÃladu jest lokalnie asymptotyczniestabilne.

PrzykÃlad 11 Rozwazmy pierwsze rownanie z przykÃladu 8 tj.

y′ = g (y) :=

(y1 (y2 + 1)

y1y2 + 2y1 + y2

)

ÃLatwo zauwazyc, ze g(0) = 0 natomiast(∂gi∂xj

(0))

=

(y2 + 1 y1

y2 + 2 y1 + 1

)

|y1=0, y2=0

=

(1 02 1

). Macierz ta ma wartosc wÃlasn ↪a λ = 1 o krotnosci k = 2, a zatem rozwi ↪azanie

zerowe powyzszego rownania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne i nie jest stabilne.

Wniosek 5 Rozwazmy rownanie skalarne x′ = f (x). Jesli f (0) = 0 oraz f ′ (0) < 0,to rozwi ↪azanie zerowe tego rownania jest lokalnie asymptotycznie stabilne.


Wniosek 6 Rozwazamy ukÃlad rownan rozniczkowych liniowych x′ = Ax. Jesli wszys-tkie wartosci wÃlasne macierzy A maj ↪a ujemne cz ↪esci rzeczywiste, to rozwi ↪azanie zerowerozwazanego ukÃladu jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

Twierdzenie 26 Rozwi ↪azanie zerowe ukÃladu rownan rozniczkowych liniowych x′ =Ax jest stabilne, gdy Reλ ≤ 0 dla kazdej wartosci wÃlasnej λ macierzy A, a w przypadkuReλ = 0, krotnosc tej wartosci wÃlasnej jest rowna 1.

7.3 Problem Routha–Hurwitza

Niech b ↪edzie dany wielomian W o wspoÃlczynnikach rzeczywistych. Podac takiewarunki na jego wspoÃlczynniki, aby pierwiastki wielomianuW lezaÃly w lewej poÃlpÃlaszczyzniepÃlaszczyzny zespolonej.

Niech W (λ) = λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0, gdzie aj ∈ R (j = 1, . . . , n).

Twierdzenie 27 (Warunek konieczny) ∀i∈{1,...,n}

ai > 0 . Jezeli n ≤ 2, to ten

warunek jest warunkiem wystarczaj ↪acym.

Twierdzenie 28 (Warunek Routha–Huwitza) Warunkiem koniecznym i wystarczaj ↪acymna to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W miaÃly ujemne cz ↪esci rzeczywiste jest, abywszystkie minory gÃlowne macierzy Hurwitza

a1 1 0 0 0 0 · · · 0 0 0a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0...

. . ....

0 0 0 0 0 0 an an−1 an−2

0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 an

byÃly dodatnie.

Twierdzenie 29 Jesli W (λ) = a0λn + a1λ

n−1 + · · · + an−1λ + an = 0 jest wielo-mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maj ↪a ujemne cz ↪esci rzeczywiste, toV (λ) := λnW

(1λ

)= anλ

n+an−1λn−1 + . . .+a1λ+a0 jest takze wielomianem Hurwitza.

PrzykÃlad 12 Wyznaczyc obszar asymptotycznej stabilnosci dla ukÃladu

dxdt = −x+ αydydt = βx− y + αzdzdt = βy − z,

gdzie α, β s ↪a parametrami rzeczywistymi.

W rozwazanym przypadku wielomian charakterystyczny jest rowny

W (λ) =

∣∣∣∣∣∣

−1− λ α 0β −1− λ α0 β −1− λ

∣∣∣∣∣∣= λ3 + 3λ2 + (3− 2αβ)λ+ (1− 2αβ).

Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma postac

3 1 01− 2αβ 3− 2αβ 3

0 0 1− 2αβ

.

Jej minory gÃlowne s ↪a rowne: 41 = 3, 42 = 8 − 4αβ, 43 = (8 − 4αβ)(1 − 2αβ). JakÃlatwo zauwazyc s ↪a one wszystkie dodatnie dla αβ < 1

2 .

7.4. PUNKTY OSOBLIWE ROWNANIA ROZNICZKOWEGO ZUPEÃLNEGO 45

7.4 Punkty osobliwe rownania rozniczkowego zupeÃlnego

Rozwazmy rownanieP (t, x)dt+Q(t, x)dx = 0 (7.1)

okreslone w obszarze sci ↪agalnymD ⊂ R2, gdzie P, Q ∈ C1(D,R). Poprzednio zakÃladalismy,

ze |P (t, x)|+ |Q(t, x)| > 0. Przy tych zaÃlozeniach mozna byÃlo powyzsze rownaniesprowadzic do postaci

x′ = −P (t, x)

Q(t, x), x = x(t),

lub

t′ = −Q(t, x)

P (t, x), t = t(x)

rownan maj ↪acych jednoznaczne rozwi ↪azanie przy zadanych WPC.

Definicja 27 Jesli istnieje taki punkt (t0, x0) ∈ D w ktorym

P (t0, x0) = Q (t0, x0) = 0

to taki punkt nazywamy punktem osobliwym rownania rozniczkowego (7.1).

Przez punkt osobliwy moze przechodzic wiele krzywych caÃlkowych, lub zadna krzywacaÃlkowa.

PrzykÃlad 13

Rozwi ↪azaniem ogolnym rownania

2t dx− x dt = 0, (x, t) ∈ R2

jest rodzina krzywycht = Cx2, C ∈ R.

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez ktory przechodzi nieskonczenie wiele caÃlek— jest to tzw. punkt w ↪ezÃlowy .

PrzykÃlad 14


2at dt+ 2bx dx = 0, (x, t) ∈ R2, a, b > 0

jest rodzina krzywychat2 + bx2 + C, C ∈ R+.

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.

PrzykÃlad 15


2at dt− 2bx dx = 0, (x, t) ∈ R2, a, b > 0

jest rodzina krzywychat2 − bx2 + C, C ∈ R.

Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodz ↪a dwie krzywe caÃlkowe:

x = x(t) =

√a

bt, x = x(t) = −

√a

bt, t ∈ R.

Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siodÃlowy .


PrzykÃlad 16

Rownanie(2t+ x) dt+ (2x− t) dx = 0, (x, t) ∈ R

20

ma rozwi ↪azanie ogolne, ktore we wspoÃlrz ↪ednych biegunowych ma postac

r = Ceϕ/2 C ∈ R+.

Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.

RozdziaÃl 8

Transformata Laplace’a

8.1 Podstawowe definicje i twierdzenia

Niech ϕ(t) b ↪edzie funkcj ↪a zmiennej niezaleznej t ∈ R. zas s := σ+iω liczb ↪a zespolon ↪a.

Definicja 28 Transformat ↪a Laplace’a (transformat ↪a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj ↪eϕ(s) (zmiennej niezaleznej s) okreslon ↪a wzorem

ϕ(s) :=

∫ ∞

0

e−stϕ(t)dt (8.1)

Aby transformata funkcji ϕ(t) byÃla okreslona, wystarczy aby caÃlka (8.1) istniaÃla dlapewnego zbioru wartosci s, przy czym dla pozostaÃlych s caÃlka ta moze nie istniec. Mozesi ↪e zdarzyc, ze caÃlka (8.1) nie istnieje dla zadnej wartosci s. W tym przypadku przek-sztaÃlcenie Laplace’a nie jest mozliwe.

PrzykÃlad 17 Niech ϕ(t) ≡ 1. ÃLatwo policzyc

ϕ(s) =∫∞

0e−stdt = limA→+∞

∫ A0e−stdt =

= limA→+∞−1s

∫ e−σA(cosωA−i sinωA)

1z dzz =

= limA→+∞−1s

(e−σA(cosωA− i sinωA)− 1

)=

=

{1s , gdy σ > 0nie istnieje , gdy σ ≤ 0.

(8.2)

Uwaga 6 Mozna pokazac, ze jesli ϕ(t) jest w przedziale 0 ≤ t ≤ ∞ ograniczona, alborosnie ze wzreostem t jak tα lub eαt, gdzie α > 0, to jej transformata istnieje.

Twierdzenie 30 (Transformata pochodnej) Niech ψ(t) = dϕdt . Wowczas ψ(s) =

sϕ(s)− ϕ(0), gdzie symbol ϕ(0) oznacza granic ↪e prawostronn ↪a w zerze funkcji ϕ.

Dowod. Niech ψ(t) = dϕdt . Z definicji

ψ(s) =

∫ ∞

0

e−stψ(t) dt =

∫ ∞

0

e−stdϕ

dt(t) dt =

=(e−stϕ(t)

)|∞0 + s

∫ ∞

0

e−stϕ(t) dt.

Jesli <e(s) na tyle duze, ze limt→∞ e−stϕ(t) = 0, to ψ(s) = sϕ(s) − ϕ(0). Jesli ϕ(t)ograniczona, lub wzrost ϕ(t) jest wielomianowy (funkcja rosnie jak tα), to wystarczyprzyj ↪ac σ > 0, jesli ϕ(t) rosnie jak funkcja eαt, to wystarczy przyj ↪ac σ > α.

c.k.d.

47

48 ROZDZIAÃL 8. TRANSFORMATA LAPLACE’A

Ostatni wzor jest prawdziwy, gdy funkcja ϕ jest ci ↪agÃla; jesli nie, a konkretnie, jesli manieci ↪agÃlosci skokowe, to we wzorze tym pojawi ↪a si ↪e dodatkowe skÃladniki. W szczegolnymprzypadku, gdy ϕ(0) = 0 dostajemy ψ(s) = sϕ(s). Otrzymany rezultat Ãlatwo uogolnic.

Twierdzenie 31 Jesli ψ(t) = dnϕdtn , to ψ(s) = snϕ(s)− sn−1ϕ(0)− sn−2ϕ′(0)− . . .−

ϕ(n−1)(0), gdzie symbol ϕ(k)(0) oznacza granic ↪e prawostronn ↪a w zerze funkcji ϕ(k).

Twierdzenie 32 Jesi ψ(t) :=∫ t

0ϕ(τ)dτ , to ψ(s) = ϕ(s)

s .

Dowod. Zauwazmy, ze ϕ(t) = dψdt (t), ψ(0) = 0. Tak wi ↪ec na podstawie wzoru na

transformat ↪e pochodnej ϕ(s) = sψ(s), sk ↪ad bezposrednio wynika teza twierdzenia.c.k.d.

Twierdzenie 33 Transformata Laplace’a jest operatorem liniowym.

8.2 Wyznaczanie transformaty rownania rozniczkowego

Niech dane b ↪edzie rownanie rozniczkowe

x′ + ax = f(t), a ∈ R

z warunkiem pocz ↪atkowym Cauchy’ego x(0) = x0. Mnoz ↪ac obie strony rownania przeze−st i caÃlkuj ↪ac w granicach od 0 do +∞ mozemy napisac

∫ ∞

0

e−stx′(t) dt+ a x(s) = f(s).

Korzystaj ↪ac ze wzoru na transformat ↪e pochodnej i warunku pocz ↪atkowego dostajemyrownanie

(s+ a)x(s)− x0 = f(s),

sk ↪ad

x(s) =f(s) + x0

s+ a,

gdzie f(s) =∫∞

0e−stf(t) dt.

Analogicznie dla rownania

x′′ + ax′ + bx = f(t), a, b ∈ R

mnoz ↪ac je obustronnie przez e−st i caÃlkuj ↪ac w granicach od 0 do ∞ dostajemy

x(s2 + as+ b

)= f(s) + s x(0) + x′(0) + a x(0),

sk ↪ad

x =f(s) + (s+ a)x(0) + x′(0)

s2 + as+ b.

T ↪e sam ↪a metod ↪e mozemy zastosowac do ukÃladu rownan o wspoÃlczynnikach staÃlych.PrzykÃladowo rozwazmy

{x′ + a1x+ b1y

′ + c1y = f1(t)x′ + a2x+ b2y

′ + c2y = f2(t).

Mnozymy kazde z tych rownan przez e−st i caÃlkujemy w przedziale od 0 do +∞. Wkonsekwencji po przeksztaÃlceniach otrzymujemy ukÃlad rownan algebraicznych

(s+ a1 b1s+ c1s+ a2 b2s+ c2

)(x(s)y(s)

)=

(f1(s) + x(0) + b1y(0)

f2(s) + x(0) + b2y(0)

).

8.3. WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY 49

Jesli macierz tego ukÃladu jest nieosobliwa, to rozwi ↪azanie tego ukÃladu jest okreslonewzorami Cramera.

Transformat ↪e Laplace’a mozna rowniez z powodzeniem stosowac do pewnych rownanrozniczkowo–caÃlkowych np. do rownania

x′(t) + ax(t) + b

∫ t

0

x(τ) dτ = f(t).

Ogolnie mozna bez kÃlopotu podac wzory na transformat ↪e dowolnego rownania liniowegorz ↪edu n-tego o staÃlych wspoÃlczynnikach i ukÃladu rownan rozniczkowych o macierzyliczbowej.

8.3 Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transfor-

maty

ZaÃlozmy, ze dana jest funkcja ϕ(s). Zajmiemy si ↪e problemem wyznaczenia ϕ(t):

∫ ∞

0

e−stϕ(t)dt = ϕ(s) (8.3)

Rownanie caÃlkowe powyzej nazywa si ↪e rownaniem Laplace’a.

Twierdzenie 34 Dla danych ai ∈ R, ϕi(s), (i = 1, . . . , n) mamy

∫ ∞

0

e−st(

n∑

i=1

aiϕi(t)

)dt =

n∑

i=1

aiϕi(s).

Stosunkowo Ãlatwo jest rozwi ↪azac rownanie Laplace ↪a w przypadku, gdy prawa stronatego rownania jest funkcj ↪a wymiern ↪a.

Twierdzenie 35 Jesli

ϕ(s) =U(s)

V (s)

gdzie U(s) i V (s) s ↪a wielomianami, przy czym st.U(s) = m < st.V (s) = n oraz V (s) =(s− s1) . . . (s− sn), przy czym si 6= sj jesli i 6= j, to

ϕ(t) =

n∑

k=1

U (sk)

V ′ (sk)eskt. (8.4)

Dowod. Iloraz U(s)V (s) mozna przedstawic w postaci sumy uÃlamkow prostych

U(s)

V (s)=

n∑

k=1

cks− sk

.

Mnoz ↪ac obie strony przez s− s1 mamy

(s− s1)U(s)

V (s)= c1 + (s− s1)

n∑

k=2

cks− sk

.

Przechodz ↪ac obustronnie z s do granicy w s1 i stosuj ↪ac reguÃl ↪e de l’Hospitala dostajemy

U (s1)

V ′ (s1)= c1.


Podobnie obliczamy wartosci pozostaÃlych wspoÃlczynnikow ci. Tak wi ↪ec rozkÃlad na uÃlamkiproste ma postac:

U(s)

V (s)=

n∑

k=1

U(sk)

V ′(sk)·

1

s− sk.

ÃLatwo si ↪e przekonac, ze rownanie

∫ ∞

0

e−stψ(t)dt =1

s− sk

ma rozwi ↪azanieψ(t) = eskt.

Wobec tych faktow i liniowosci transformaty otrzymujemy tez ↪e twierdzenia.c.k.d.

Twierdzenie 36 (Twierdzenie o rozkÃladzie) Niech

ϕ(s) =U(s)

sW (s),

gdzie U(s) i W (s) s ↪a wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m ≤ n.ZakÃladamy, ze W (0) 6= 0 i wielomian W nie ma pierwiastkow wielokrotnych tj. W (s) =(s− s1) . . . (s− sn), przy czym si 6= sj dla i 6= j. Wtedy

ϕ(t) =U(0)

W (0)+

n∑

i=1

U (si)

siW ′ (si)esit.

Dowod. Przyjmuj ↪ac V (s) = sW (s) mozemy na podstawie poprzedniego twierdzenianapisac

ϕ(t) =

n∑

i=0

U (si)ddt [sW (s)]|s=si

esit,

przy czym s0 := 0. Z kolei

d

dt[sW (s)]|s=si = W (si) + siW

′ (si) .

Dla i = 0 drugi skÃladnik jest rowny zeru, a dla i 6= 0 zeruje si ↪e pierwszy skÃladnik, takwi ↪ec

d

dt[sW (s)]|s=s0 = W (s0) = W (0),

d

dt[sW (s)]|s=si = siW

′ (si) dla i 6= 0.

Podstawienie tych wzorow do (8.4) konczy dowod.c.k.d.

Twierdzenie 37 (Twierdzenie o przesuni ↪eciu rzeczywistym) Niech ϕ(s) b ↪edzie trans-format ↪a funkcji ϕ(t), a ψ niech b ↪edzie funkcj ↪a zdefiniowan ↪a wzorem:

ψ(t) :=

{0 dla t < t0,ϕ (t− t0) dla t > t0.

Wowczasψ(s) = e−st0ϕ(s).

8.3. WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY 51

Dowod. Z definicji transformaty:

ψ(s) =

∫ ∞

0

e−stψ(t)dt =

∫ ∞

t0

e−stϕ (t− t0) dt =

=

∫ ∞

0

e−s(ξ+t0)ϕ(ξ)dξ = e−st0∫ ∞

0

e−sξϕ(ξ)dξ = e−st0ϕ(s).

c.k.d

Twierdzenie 38 (Twierdzenie o przesuni ↪eciu zespolonym) Niech ψ(t) := e−λtϕ(t),gdzie λ ∈ R, lub λ ∈ C. Wowczas ψ(s) = ϕ(s+ λ).

Dowod. Wprost z definicji:

ψ(s) =

∫ ∞

0

e−ste−λtϕ(t) dt =

∫ ∞

0

e−(s+λ)tϕ(t) dt = ϕ(s+ λ).

c.k.d

Twierdzenie 39 (Twierdzenie o splocie) Niech ψ(t) :=∫ t

0ϕ1(τ)ϕ2(t−τ) dτ . Wowczas

ψ(s) = ϕ1(s)ϕ2(s).

Obserwacja 1 Jesli ψ(t) := ddt

∫ t0ϕ1(τ)ϕ2(t− τ) dτ , to ψ(s) = sϕ1(s)ϕ2(s).

RozdziaÃl 9

Dodatek

9.1 Tablice transformat Laplace’a

Transformat ↪a Laplace’a (transformat ↪a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj ↪e ϕ(s) (zmiennejniezaleznej s ∈ C) okreslon ↪a wzorem

ϕ (s) =

∫ ∞

0

e−stϕ(t)dt.

Pot ↪egi

ϕ (t) ϕ (s)

11

s

t1

s2

tnn!

sn+1, n ∈ N

t−1/2

√π

s

t1/2√π

2s3/2

tαΓ (α+ 1)

sα+1, α > −1

Funkcje trygonometryczne

ϕ (t) ϕ (s)

sin ktk

s2 + k2

cos kts

s2 + k2

sin2 kt2k2

s (s2 + 4k2)

cos2 kts2 + 2k2

s (s2 + 4k2)

t sin kt2ks

(s2 + k2)2

t cos kts2 − k2

(s2 + k2)2

2 (1− cos kt)

tlns2 + k2

s2

sin at

tarctan

(a

s

)

ϕ (t) ϕ (s)

sin kt+ kt cos kt2ks2

(s2 + k2)2

sin kt− kt cos kt2k3

(s2 − k2)2

1− cos ktk2

s (s2 + k2)

kt− sin ktk3

s2 (s2 + k2)

a sin bt− b sin at

ab (a2 − b2)

1

(s2 + a2) (s2 + b2)

cos bt− cos at

a2 − b2s

(s2 + a2) (s2 + b2)

sin at cos bt

t

1

2arctan

a+ b

s+

1

2arctan

a− bs

53

54 ROZDZIAÃL 9. DODATEK

Funkcje hiperboliczne

ϕ (t) ϕ (s)

sinh ktk

s2 − k2

cosh kts

s2 − k2

sinh2 kt2k2

s (s2 − 4k2)

cosh2 kts2 − 2k2

s (s2 − 4k2)

ϕ (t) ϕ (s)

t sinh kt2ks

(s2 − k2)2

t cosh kts2 + k2

(s2 − k2)2

2 (1− cosh kt)

tlns2 − k2

s2

Funkcje wykÃladnicze

ϕ (t) ϕ (s)

eat1

s− a

teat1

(s− a)2

tneatn!

(s− a)n+1, n ∈ N

ebt − eat

tln s−a

s−b

ϕ (t) ϕ (s)

1√πte−a

2/4t e−a√s

√s

a

2√πt3

e−a2/4t e−a

√s

eat − ebt

a− b1

(s− a) (s− b)

aeat − bebt

a− bs

(s− a) (s− b)

Funkcje wykÃladnicze i trygonometryczne

ϕ (t) ϕ (s)

eat sin ktk

(s− a)2 + k2

eat cos kts− a

(s− a)2 + k2

Funkcje wykÃladnicze i hiperboliczne

ϕ (t) ϕ (s)

eat sinh ktk

(s− a)2 − k2

eat cosh kts− a

(s− a)2 − k2

Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne

ϕ (t) ϕ (s)

sin kt sinh kt2k2s

s2 + 4k4

sin kt cosh ktk(s2 + 2k2

)

s4 + 4k4

cos kt sinh ktk(s2 − 2k2

)

s4 + 4k4

cos kt cosh kts3

s4 + 4k4

Funkcja Bessela

ϕ (t) ϕ (s)

J0 (kt)1√

s2 + k2

9.2. PRZYKÃLADOWE TEMATY ZADAN EGZAMINACYJNYCH 55

Uogolniona funkcja bÃl ↪edu

ϕ (t) ϕ (s)

erfc(

a2√t

)= 1− erf

(a

2√t

) e−a√s

s

2√

tπ e−a2/4t − a erfc

(a

2√t

) e−a√s

s√s

eabeb2t erfc

(b√t+ a

2√t

) e−a√s

√s(√s+ b

)

−eabeb2t erfc(b√t+ a

2√t

)+ erfc

(a

2√t

)be−a

√s

s(√s+b)

Delta Diraca

ϕ (t) ϕ (s)

δ (t) 1

δ (t− t0) e−st0

Funkcja Heaviside’a

ϕ (t) ϕ (s)

ϕ (t− a)H (t− a) e−asϕ (s)

H (t− a) e−as

s

przy czym H(t) :=

{0 dla t < 01 dla t ≥ 0

.

Ogolne prawa

ϕ (t) ϕ (s)

eatϕ (t) ϕ (s− a)

ϕ (t− a)H (t− a) e−asϕ (s)

ϕ(n) (t) snϕ (s)− s(n−1)ϕ (0)− . . .− ϕ(n−1) (0)

tnϕ (t) (−1)n dn

dsn ϕ (s)

∫ t0ϕ (τ)ψ (t− τ) dτ ϕ (s)ψ (s)

9.2 PrzykÃladowe tematy zadan egzaminacyjnych

Pisemny egzamin z rownan rozniczkowych jest dwucz ↪esciowy. Cz ↪esc pierwsza mana celu sprawdzenie biegÃlosci rachunkowej, a cz ↪esc druga, umownie zwana jest cz ↪esci ↪a,,teoretyczn ↪a” i nie ma ona charakteru wyÃl ↪acznie rachunkowego. Czas trwania egzaminuz cz ↪esci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania egzaminu z cz ↪esci teoretycznej: 50 minut.Kazde zadanie jest punktowane w skali 0 − 10 punktow. Ponizej zaprezentowane s ↪azestawy zadan egzaminacyjnych z jednej sesji. S ↪a one reprezentatywne, jesli chodzi opoziom trudnosci tematow. W poszczegolnych latach zmienia si ↪e jednak cz ↪esciowo zakreswykÃladanego materiaÃlu materiaÃlu, a wi ↪ec i tematyczny zakres zadan.

9 czerwiec 2001 Cz ↪esc zadaniowa:

1. Rozwi ↪az rownanie Ricattiego

x′ = 2t2 +1

tx− 2x2

wiedz ↪ac, ze jedn ↪a z jego caÃlek jest wielomian stopnia pierwszego.


2. Wyznacz rozwi ↪azanie ogolne rownania

t2(t+ 1)x′′ − 2x = 0

wiedz ↪ac, ze jego caÃlk ↪a szczegoln ↪a jest funkcja x1(t) = 1 + 1t .

3. Wyznacz caÃlk ↪e ogoln ↪a rownania

x′′ + 3x′ + 2x = e−t cos2 t.

Wskazowka. Tak przeksztaÃlc praw ↪a stron ↪e, aby mozliwe byÃlo zastosowanie metodyprzewidywan.

4. Metod ↪a Frobeniusa znajdz fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan rownania

2tx′′ + (1 + t)x′ + x = 0.

5. Wyznacz caÃlk ↪e szczegoln ↪a ukÃladu rownan

x′ =

(−3 1

2 −4

)x+

(3te−t

)

speÃlniaj ↪ac ↪a warunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego x(0) =

(1

−1

).

6. Zbadaj stabilnosc poÃlozen rownowagi ukÃladu rownan:

{dxdt = y − x2 − xdydt = 3x− x2 − y.

Cz ↪esc teoretyczna:

1. Dla jakich wartosci paramatrow a i b rozwi ↪azanie zerowe rownania

xIV + ax′′′ + 4x′′ + bx′ + x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

2. Znajdz krzyw ↪a o tej wÃlasnosci, ze trapez utworzony przez osie wspoÃlrz ↪ednych Oxi Oy, styczn ↪a do krzywej i prost ↪a prostopadÃl ↪a do osi Ox w punkcie stycznosci, mastaÃle pole rowne 3a2.

3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwi ↪azania rownania x′′+ax′+bx = 0 s ↪a ograniczonena caÃlej prostej?


1. Rozwi ↪az rownanie rozniczkowe

3t2 (1 + lnx) dt =

(2x−

t3

x

)dx


tx′′ − (2t+ 1)x′ + (t+ 1)x = 0

wiedz ↪ac, ze jego caÃlk ↪a szczegoln ↪a jest funkcja postaci eαt.


3. Znajdz fundamentalny ukÃlad rozwi ↪azan w postaci szeregow pot ↪egowych, unor-mowany w punkcie t0 = 0, rownania

x′′ + tx′ −(2t2 + 1

)x = 0.


x′ =

0 −1 10 0 1

−1 0 1

x


11212

.

5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilnosci dla ukÃladu

dxdt = −x+ αydydt = βx− y + αzdzdt = βy − z,

gdzie α, β s ↪a parametrami rzeczywistymi.



xIV + 2x′′′ + ax′′ + bx′ + x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi ↪azanie w postaci graficznej.

2. Wyznacz krzywe, dla ktorych odcinek stycznej zawarty mi ↪edzy osiami wspoÃlrz ↪ednychma staÃl ↪a dÃlugosc d.

3. Oblicz eA, gdzie A jest macierz ↪a ukÃladu z zadania (4) w cz ↪esci zadaniowej tj.

A =

0 −1 10 0 1−1 0 1

.

13 wrzesien 2001 Cz ↪esc zadaniowa:

1. Rozwi ↪az problem pocz ↪atkowy Cauchy’ego(t2 + x2

)dt− 2tx dx = 0, x(4) = 0.

2. Rozwi ↪az rownanie (t

x+ 1

)dt+

(t

x− 1

)dx = 0.

3. Znajdz caÃlk ↪e ogoln ↪a rownania

x(6) + 2x(4) + x(2) = 0.


x′ =

5 −1 −4−12 5 12

10 −3 −9

x


111

.


5. Znajdz ukÃlad fundamentalny rozwi ↪azan w postaci szeregow pot ↪egowych unormowanychw punkcie t0 = 0 rownania:

x′′ +1

1− tx = 0

i okresl rozwi ↪azanie ogolne.



xIV + 2x′′′ + ax′′ + bx′ + x = 0


2. Wyznacz krzywe, dla ktorych odcinek stycznej zawarty mi ↪edzy osiami wspoÃlrz ↪ednychma staÃl ↪a dÃlugosc d.


A =

0 −1 10 0 1

−1 0 1

.


1. Rozwi ↪az rownanie

x′ = 2

(x+ 2

t+ x− 1

)2

2. Odgadnij rozwi ↪azanie szczegolne, a nast ↪epnie rozwi ↪az rownanie Riccatiego

x′ − 2tx+ x2 = 5− t2

3. Wiedz ↪ac, ze funkcja x (t) = 1t jest rozwi ↪azaniem szczegolnym rownania 2t2x′′ +

3tx′ − x = 0 rozwi ↪az rownanie

2t2x′′ + 3tx′ − x =1

t

(obnizaj ↪ac jego rz ↪ad jednym z dwoch poznanych sposobow) a nast ↪epnie wskaz jegocaÃlk ↪e speÃlniaj ↪ac ↪a warunki pocz ↪atkowe x (1) = 1, x′ (1) = − 4

3 .

4. Znajdz caÃlk ↪e ogoln ↪a ukÃladu rownan:

x′ =

(−1 21 1

)x+

(2et

0

)

5. Rowi ↪az rownanie

x′′ + 3x′ + 2x =1

et + 1


1. Znajdz krzyw ↪a o tej wÃlasnosci, ze trapez utworzony przez osie ukÃladu wspoÃlrz ↪ednychOx, Oy, styczn ↪a do krzywej i prost ↪a prostopadÃl ↪a do osi Ox w punkcie stycznosci,ma staÃle pole rowne 3a2.

2. Dla jakich a i b rownanie x′′ + ax′ + bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwi ↪azaniex (t) 6= 0 takie, ze lim

t→+∞x (t) = 0.


3. Zbadaj stabilnosc wszystkich poÃlozen rownowagi ukÃladu{x′ = ln

(y2 − x

)

y′ = x− y − 1

Definicja. Niech X przestrzen Banacha, f : X ⊃ U → X, u : R ⊃ I → X,U ∈ topX, I ∈ topR. PoÃlozeniem rownowagi ukÃladu u′ = f (u) nazywamy ω∗ ∈ Utakie, ze f (ω∗) = 0.


1. Wyznacz caÃlk ↪e szczegoln ↪a rownania rozniczkowego

t(x′ + x2) = x

speÃlniaj ↪ac ↪a warunek pocz ↪atkowy x(1) = 1.


tx′′ − x′ − 4t3x = 0,

wiedz ↪ac, ze jego caÃlk ↪a szczegoln ↪a jest funkcja et2

.

3. Znajdz dwa liniowo niezalezne rozwi ↪azania szczegolne rownania

x′′ +2

tx′ + x = 0.

w postaci szeregow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0.


x′ =

(−1 −6

3 5

)x


(22

).

5. Wyznacz wszystkie poÃlozenia rownowagi ukÃladu{x′ = xyy′ = x2 + y2 − 4

i zbadaj ich stabilnosc.

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a rozwi ↪az rownanie

x′′ − 2x′ + x = 1 + t, x(0) = 0, x′(0) = 0.


1. Rozwazamy dwuwymiarowy ukÃlad rownan:{x′ = ax+ byy′ = cx+ dy,

gdzie a, b, c, d ∈ R. Wykaz, ze jesli jedno z jego rozwi ↪azan jest funkcj ↪a okresow ↪a,to wszystkie rozwi ↪azania, oprocz rozwi ↪azania zerowego, s ↪a funkcjami okresowymi.

2. Wyznacz rownanie krzywej przechodz ↪acej przez punkt (1, 1), dla ktorej pole trojk ↪atautworzonego przez os Ot, styczn ↪a i wektor wodz ↪acy punktu stycznosci jest staÃle irowna si ↪e 1.


xIV + ax′′′ + 4x′′ + bx′ + x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.




xdx = (tdx+ xdt)√

1 + x2.

2. Rozwi ↪az rownaniex′ − 2tx+ x2 = 5− t2.


t(t− 1)x′′ + (1 + t)x′ − x = 0.

w postaci szeregow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0,lub t0 = 1.


x′ =

(5 3

−3 −1

)x


(1

−1

).

5. Wyznacz wszystkie poÃlozenia rownowagi ukÃladu

{x′ = −x+ yy′ = x+ y − 2xy


6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz caÃlk ↪e sczegoln ↪a ukÃladu rownan

{x′ = −2y + 3ty′ = 2x+ 4

speÃlniaj ↪ac ↪a warunek pocz ↪atkowy x(0) = 2, y(0) = 3.


1. Jakie warunki musz ↪a speÃlniac wartosci i wektory wÃlasne macierzy ukÃladu:

{x′ = ax+ byy′ = cx+ dy,

(a, b, c, d ∈ R), aby jego rozwi ↪azanie u(t) = (x(t), y(t)) speÃlniaj ↪ace warunek pocz ↪atkowyx(0) = y(0) = 1 miaÃlo wÃlasnosc:

(a) limt→∞ u(t) = (0, 0),

(b) limt→∞ ‖u(t)‖ = ∞,

(c) u jest funkcj ↪a ograniczon ↪a.

2. Wyznacz rownanie rozniczkowe rodziny krzywych x = eCt i rownanie rozniczkowerodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz eA dla macierzy:

A =

(−2 −4

1 2

).




(1 + t+ x+ tx)x′ = 1.

2. Rozwi ↪az rownaniedx =

(x2et − x

)dt.


t(t− 1)x′′ + (−1 + 3t)x′ + x = 0.

w postaci szeregow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0,lub t0 = 1.


x′ =

(3 2

−5 1

)x


(−1

1

).

5. Wyznacz wszystkie poÃlozenia rownowagi ukÃladu

{x′ = 3−

√4 + x2 + y

y′ = ln(x2 − 3

)


6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz caÃlk ↪e sczegoln ↪a ukÃladu rownan

{x′ = −x+ y + et

y′ = x− y + et

speÃlniaj ↪ac ↪a warunek pocz ↪atkowy x(0) = 1, y(0) = 1.


1. Jakie warunki musz ↪a speÃlniac wartosci i wektory wÃlasne macierzy ukÃladu:

{x′ = ax+ byy′ = cx+ dy,

(a, b, c, d ∈ R), aby jego rozwi ↪azanie u(t) = (x(t), y(t)) speÃlniaj ↪ace warunek pocz ↪atkowyx(0) = y(0) = 1 miaÃlo wÃlasnosc:

(a) limt→∞ u(t) = (0, 0),

(b) limt→∞ ‖u(t)‖ = ∞,

(c) u jest funkcj ↪a ograniczon ↪a.

2. Wyznacz rownanie rozniczkowe rodziny hiperbol x = Ct i rownanie rozniczkowe

rodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz eA dla macierzy:

A =

(3 −12 0

).




6txdt+ (4x+ 9t2)dx = 0.


dx

dt= e2t + (1 + 2et)x+ x2

wiedz ↪ac, ze jego caÃlk ↪a szczegoln ↪a jest funkcja postaci x1(t) = −et.


x′′ + etx′ − x = 0.


x′ =

0 8 00 0 −22 8 −2

x


100

.

5. Korzystaj ↪ac z transformaty Laplace’a znajdz caÃlk ↪e szczegoln ↪a ukÃladu rownan rozniczkowych

{d2xdt2 + d2y

dt2 = t2

d2xdt2 −

d2ydt2 = 4t

speÃlniaj ↪ac ↪a warunek pocz ↪atkowy Cauchy’ego x(0) = 8, x′(0) = y(0) = y′(0) = 0.



{x′ = x+ ay + y2

y′ = bx− 3y − x2.


2. Znajdz krzyw ↪a x = x(t) o tej wÃlasnosci, ze trojk ↪at utworzony przez os Ot, styczn ↪ado krzywej oraz promien wodz ↪acy w punkcie stycznosci jest trojk ↪atem rownoramiennym.


A =

0 8 00 0 −22 8 −2

x




(t2 + 2tx− x2)dt+ (x2 + 2tx− t2)dx = 0,

wiedz ↪ac, ze ma ono czynnik caÃlkuj ↪acy postaci µ = µ(t+ x).

2. Rozwi ↪az rownanie2xx′ = t(x′2 + 4).


x′′ − t3x′ + (t+ 1)x = 0.


x′′′ − x′′ + 4x′ − 4x = 3e2t − 4 sin 2t.

5. Korzystaj ↪ac z transformaty Laplace’a rozwi ↪az rownanie

x(t) = 3t2 − e−t −

∫ t

0

x(τ)et−τdτ.


1. Dla jakich paramatrow a i b zerowe rozwi ↪azanie rownania

xIV + ax′′′ + 4x′′ + bx′ + x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbior na pÃlaszczyznieOab.

2. Znajdz rodzin ↪e krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny

x2 = Cet + t+ 1,

gdzie C ∈ R.

3. Przeprowadz dyskusj ↪e dla jakich rzeczywistych parametrow p i q wszystkie rozwi ↪azaniarownania x′′ + px′ + qx = 0 s ↪a ograniczone na caÃlej prostej? Zaznacz wyznaczonyzbior na pÃlaszczyznie Opq.

Bibliografia

[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przeksztaÃlcenia Fouriera, PrzeksztaÃlceniacaÃlkowe Laplace’a, PrzeksztaÃlcenia Laurenta (Z), wyd. pi ↪ate poprawione, Uczelni-ane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Krakow 1999.

[2] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilnosci, Wyd. Naukowo-Techniczne,Warszawa 1972.

[3] L.Druzkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cz ↪esc II, Wybrane zagadnienia,Wyd. UJ, Krakow 1997.

[4] A.F.Filippow, Zbior zadan z rownan rozniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.

[5] I.M. Gelfand, WykÃlady z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.

[6] R.Gutowski, Rownania rozniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne,Warszawa 1971.

[7] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w ukÃladach elektrycznych, Wyd.Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.

[8] N.M.Matwiejew, Metody caÃlkowania rownan rozniczkowych zwyczajnych, PWN,Warszawa 1972.

[9] J.Niedoba, W.Niedoba, Rownania rozniczkowe zwyczajne i cz ↪astkowe, Zadaniaz matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-DydaktyczneAGH, Krakow 2001.

[10] J.Ombach, WykÃlady z rownan rozniczkowych, Wyd. UJ, Krakow 1996.

[11] A.Palczewski, Rownania rozniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne zwykorzystaniem komputerowego systemu obliczen symbolicznych), Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.

[12] A.Pelczar, J.Szarski, Wst ↪ep do teorii rownan rozniczkowych, Cz ↪esc I, PWN,Warszawa 1987.

[13] A.Pelczar, Wst ↪ep do teorii rownan rozniczkowych, Cz ↪esc II, PWN, Warszawa 1989.

[14] K.K.Ponomariew, UkÃladanie i rozwi ↪azywanie rownan rozniczkowych w zagadnieni-ach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.

[15] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyzszych uczelni tech-nicznych, Cz ↪esc II, PWN, Warszawa 1983.

[16] F.G.Tricomi,Differential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.

[17] D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pub-lishing Company, Boston, 1986.

65

Równania różniczkowe zwyczajne - wykład dla studentów.pdf

Documents

Transcript of Równania różniczkowe zwyczajne - wykład dla studentów.pdf