Równania różniczkowe cząstkowe

• liczba zmiennych > 2

,,,,

0,,,,,,,,

,,

2

2

2

yx

uu

x

uu

y

uu

x

uu

uuuuuuyxF

yxuu

xyxxyx

yyxyxxyx

• rząd równania: rząd najwyższej pochodnej

0

0

03

3

yyyx

yxx

yx

uu

uu

ubu

• charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe

yyxyxxyx

yx

yxyyxyxx

yx

yx

yx

yx

uuuuuuyx

uuuyx

yx

CBA

FuEuDuCuBuA

uu

xuuu

buu

uuuyx

uyx

yx

yxccyxbbyxaa

cba

,,,,,,,:

,,,,:

,:

：:,:,:

0:::

0

0

0

,,,,

,,

,

,,,,,

,,

2

2

Nieliniowe

linioweQuasi

Liniowe

...

...

...

0 cubua yx

Nieliniowe

linioweQuasi

Liniowe

...

...

...

• klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

eliptyczneACB 042

Laplace0

Poissona,

yyxx

yyxx

uu

yxfuu

neparaboliczACB 042

Burgera równanie

dyfuzyjne równanie

yyyx

yyx

uKuuu

uu

falowe równanieyyxx uu

znehiperbolicACB 042

),,,,(),(),(),(2

22

2

2

yxy

u

x

uuG

y

uyxC

yx

uyxB

x

uyxA

),,,,( yxuuuGCuBuAu yxyyxyxx

Motywacja dla takiej klasyfikacji

Najprostsze rozwiązania:

Również dla bardziej skomplikowanych równań lokalne własności rozwiązanie zależą od

znaku wyrażenia B2-4AC.

eliptyczneCuyx

neparaboliczCux

znehiperbolicCuyx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

;;

elipsaCyxC

uparabolaxC

uhiperbolayxC

u 22222

4;

2;

4

Xk

W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości

przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze

izolowanych punktów Xk (k=1,2,...,Nh ) zwanym siatką.

Punkty Xk są nazywane węzłami siatki.

węzeł pomocniczy

węzeł podstawowy

x

y

hx

hyh=(hx,hy)

Parametr hcharakteryzujesiatkę h

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi

na siatce prostokątnej

i-1 i i+1

k-1

k

k+1

24h

x

u6

h

x

u2

h

x

uh

xu

uu4i

ik4

43i

ik3

32i

ik2

2

iik

ikk,1i

24h

x

u6

h

x

u2

h

x

uh

xu

uu4i

ik4

43i

ik3

32i

ik2

2

iik

ikk,1i

hihk

21,1,

2,1,1

2

2

kk

kiki

ii

kiki

hOh

uu

y

u

hOh

uu

x

u

i-1 i i+1

k-1

k

k+1

hihk

24h

x

u6

h

x

u2

h

x

uh

xu

uu4i

ik4

43i

ik3

32i

ik2

2

iik

ikk,1i

24h

x

u6

h

x

u2

h

x

uh

xu

uu4i

ik4

43i

ik3

32i

ik2

2

iik

ikk,1i

2k2

k

1k,iik1k,i2

2

2i2

i

k,1iikk,1i2

2

hOh

uu2u

y

u

hOh

uu2u

x

u

i-1 i i+1

k-1

k

k+1

hihk

i

3k

k

3i

ki

1k,1i1k,1i1k,1i1k,1i2

hh

,hh

maxO

hh4

uuuu

yxu

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta

i,k i-1,k i+1,k

h

Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:

)x(uh

xxu

hxx

u 1iik

ik,1i

iikk,1i h1u

hu

i

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna.

n

i,k i-1,k

i,k-1

hk

hi

k,isinh

uucos

h

uu

k

1k,iik

i

k,1iik

y,x

y,xuy,xdnu

y,xc

Równania eliptyczne

w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y)

y,xfuy,xgyu

y,xbyx

uy,xa

x

Warunki brzegowe:

Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku

rrr 04

Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony

rrrrr

rrvRTqvRTq enqenq

//

04

=80

=4

V

n

iiisolv dVqE rrr

1

Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły

Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od cAMP (1YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(i)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 y(k)

hy

hx(0,0)

j j+1j-1

l

p

y,xfuy,xgyu

y,xbyx

uy,xa

x

Dla węzłów wewnętrznych:

j j+1j-1

l

p

jjj

y

lp

y

lp2y

pjlj

x

1j1j

x

1j1j2x

1jj1jj

fug

h2

uu

h2

bb

h

uu2ub

h2

uu

h2

aa

h

uu2ua

styczna

normalna

y,x

y,xuy,xdnu

y,xcp

(xkp,ykp)

ppp

ppp

ppp

yk,xkdd

yk,xkcc

yk,xk

p-1

m

p

ppppy

pmp

x

1ppp udsin

h

uucos

h

uuc

Metoda Jacobiego w 2D

• Równanie Poissona

-4* u(i,j) + u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) = h2 b(i,j)

• Dla wyprowadzenie metody Jacobiego przegrupujemy:

u(i,j) = (u(i-1,j) + u(i+1,j) + u(i,j-1) + u(i,j+1) - h2 b(i,j))/4

• Niech u(i,j,m) aproksymuje u(i,j) w m krokach

u(i,j,m+1) = (u(i-1,j,m) + u(i+1,j,m) + u(i,j-1,m) +

u(i,j+1,m) + b(i,j)) / 4

– u(i,j,m+1) jest średnią ważoną sąsiadów

– u(i,j,m+1) spełnia równanie w punkcie (i,j)

• Zbieżność zależy od N i jest bardzo wolna

4

-1

-1

-1

-1

• b równe 0, z wyjątkiem środka

gdzie wynosi b= -1/ h2

parameter(n=9) double precision a(n,n),b(n,n),f(n,n),h do i=1,n do j=1,n f(i, j)=0 a(i, j)=0 b(i, j)=a(i, j) enddo enddo h=1.0/n f(5,5)=-1.0/h**2

diff=1 k=0 DO WHILE(diff.gt.0.0001) call pisz(a,n,k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i, j)=0.25*(A(i-1, j)+A(i+1, j)+A(i, j-1)+A(i, j+1)-H*H*F(I,J)) END DO END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i, j)-A(i, j))**2 A(i, j) = B(i, j) END DO END DO k=k+1 write(*,*) k,diff END DO end

Jak przyspieszyć zbieżność ?

• Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji

*ij = (i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1)/4

• Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A

• Red Block : podział siatki jak na szachownicy

• Successive Over Relaxation (SOR)

*ij = (1-)ij +  (i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1)/4

dla =1.2 do 1.4

• Multigrid – siatka hierarchiczna