Rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu

Marcin Orchel

Spis treci1 Wstp 1

1.1 Liniowe rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu . . . . . . . . . 11.2 Nieliniowe rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu . . . . . . . 151.3 Zagadnienia dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Zadania 202.1 Zadania na 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Zadania na 4.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Zadania na 5.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Wstp

1.1 Liniowe rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu

Rwnanie:X1

z

x1+X2

z

x2+ . . .+Xn

z

xn= Y (1)

gdzie funkcja z jest szukan funkcj n zmiennych niezalenych xi, Xi oraz Y s funkcjamitych zmiennych niezalenych nazywamy rwnaniem rniczkowym czstkowym liniowympierwszego rzdu. Jeli funkcje Xi oraz Y zale rwnie od z to rwnanie nazywamyquasi-liniowym. Jeli Y 0 to rwnanie nazywamy jednorodnym.

Przykad:u (x, y)x

= 0 (2)

Z tego wynika, e rozwizanie jest niezalene od x, a zatem rozwizaniem jest dowolnafunkcja zalena od y:

u (x, y) = f (y) (3)

Przykadowe rozwizanie, u(x, y) = 2y2, rozwizanie na wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29++%3D+0, wizualizacja przy-kadowego rozwizania, http://www.wolframalpha.com/input/?i=u%28x%2Cy%29+%3D+2y^2.

1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29++%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29++%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=u%28x%2Cy%29+%3D+2y^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=u%28x%2Cy%29+%3D+2y^2

Przykad 1.z

x+ zy

= 0 (4)

Rozwizanie:z = (y x) (5)

Rozwizanie to mona sprawdzi zauwaajc, e pochodna funkcji zoonej jest rwna

f (g (x, y))x

= g (x, y)x

f (t)t

(6)

gdzie t = g(x, y). Jeli teraz podstawimy g(x, y) = y x otrzymamy z rwnania wyjcio-wego

f (t)t

+ f (t)t

= 0 (7)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d%2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0 . Na-rysowane rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y+ -+x+ -+z+ %3D+ 0 .

Rozwizywanie jednorodnych rwna rniczkowych czstkowych linio-wych. Cakowanie tego rwnania polega na cakowaniu odpowiadajcego mu ukaducharakterystycznego:

dx1X1

= dx2X2

= . . . = dxnXn

(8)

Jeli dla dowolnej zmiennej xk zachodzi Xk 6= 0 to ukad przeksztacamy do postaci:

dxjdxk

= XjXk

(9)

gdzie j = 1, 2, . . . , nWprowadzamy zmienn t i otrzymujemy:

dxjdt

= Xj (10)

Kada caka pierwsza ukadu (8) jest rozwizaniem ukadu jednorodnego dla rwnaniawyjciowego i na odwrt.

Jeli mamy n 1 niezalenych caek pierwszych postaci:

i (x1, . . . , xn) = Ci (11)

to:z = (1, . . . , n1) (12)

gdzie jest dowoln funkcj zmiennych i.

2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+-+x+-+z+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+-+x+-+z+%3D+0

Przykad 2.xzu

x+ yz u

y(x2 + y2

) uz

= 0 (13)

Ukad charakterystyczny tego rwnania:

dx

xz= dyyz

= dzx2 + y2 (14)

Moemy z tego ukadu wyodrbni przykadowo dwa nastpujce rwnania

dx

xz= dyyz

(15)

dx

xz= dzx2 + y2 (16)

Z pierwszego rwnania po uproszczeniu z mamy:

y = C1x (17)

Caka pierwsza toC1 =

y

x(18)

Po podstawieniu do drugiego rwnania otrzymujemy:

dx

xz= dz

x2(1 + C21

) (19)Moemy to rwnanie sprowadzi do rwnania o zmiennych rozdzielonych(

1 + C21)xdx = zdz (20)

Po scakowaniu:x2

2 + C21x2

2 = z2

2 + C2 (21)

x2 + C21x2 + z2 = C2 (22)

Po podstawieniu C1 z (18) otrzymujemy

x2 + y2 + z2 = C2 (23)

Cakami pierwszymi ukadu s:y

x= C1 (24)

x2 + y2 + z2 = C2 (25)

Rozwizanie oglne:u =

(y

x, x2 + y2 + z2

)(26)

3

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz%28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29%29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+ y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0 .

Alternatywnie moemy po przeksztaceniu uzyska ukad rwna

dx

xz= dzx2 + y2 (27)

dy

yz= dzx2 + y2 (28)

Ukad ten ma 2 rwnania, zamy, e x i y to zmienne zalene, a z to zmienna niezale-na, otrzymujemy ukad rwna w postaci normalnej (rozwizany wzgldem pochodnych)

dx

dz= xzx2 + y2 (29)

dy

dz= yzx2 + y2 (30)

Dzielimy drugie rwnanie przez pierwsze i otrzymujemy

dy

dx= yx

(31)

Rozwizujemy to rwnanie za pomoc rozdzielania zmiennych i otrzymujemy

y = c1x (32)

Czyli caka pierwsza toc1 =

y

x(33)

Nastpnie podstawiamy y z (32) do pierwszego rwnania (29) i otrzymujemy

dx

dz= xzx2 + c21x2

(34)

Rwnanie to ju rozwizywalimy w poprzedniej wersji (19).Sprawdzenie, moemy podstawi u = y/x i otrzymujemy prawd, sprawdzenie na wol-

framalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz% 28d% 2Fdx% 28y% 2Fx%29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28y% 2Fx% 29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+ y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28y%2Fx% 29% 29+ %3D+ 0 . Moemy podstawi u = x2 + y2 + z2, sprawdzenie na wolframal-pha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz% 28d% 2Fdx% 28x^2+ %2B+ y^2+%2B+ z^2% 29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ z^2% 29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ z^2% 29% 29+ %3D+ 0 .

Przykad 3.2xux

+ yuy

= 0 (35)

4

http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28y%2Fx%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28y%2Fx%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28y%2Fx%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28y%2Fx%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28y%2Fx%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28y%2Fx%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28y%2Fx%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28y%2Fx%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28y%2Fx%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=xz%28d%2Fdx%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%2B+yz%28d%2Fdy%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+-+%28x^2+%2B+y^2%29%28d%2Fdz%28x^2+%2B+y^2+%2B+z^2%29%29+%3D+0

Ukad charakterystycznydx

2x =dy

y(36)

Jest to rwnanie o zmiennych rozdzielonych, rozwizanie

c1 =yx

(37)

Rozwizanie rwnaniau =

(yx

)(38)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 2x%28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ +%3D+ 0 .

Przy rozwizywaniu ukadw moemy rwnie skorzysta z wasnoci proporcji, jelia1b1

= a2b2

= a3b3

= t (39)

to dla dowolnych rzeczywistych k1, k2, k3 speniajcych warunek

k1b1 + k2b2 + k3b3 6= 0 (40)

zachodzi rwnok1a1 + k2a2 + k3a3k1b1 + k2b2 + k3b3

= t (41)

Moemy rwnie sprobowa zapisa ukad rwna w postaci

dx = f1 (x, y, z) t (42)

dy = f2 (x, y, z) t (43)

dz = f3 (x, y, z) t (44)

i sprbowa doda stronami wszystkie rwnania. Jeli otrzymamy

f1 (x) dx+ f2 (y) dy + f3 (z) dz = 0 (45)

to moemy skorzysta ze wzoru

df = fxdx+ f

ydy + f

zdz (46)

i zaproponowa funkcj f(x, y, z) jako

f (x, y, z) =f1 (x) dx+

f2 (y) dy +

f3 (z) dz (47)

5

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29++%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29++%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29++%3D+0

Rozwizywanie niejednorodnych liniowych i quasi-liniowych rwna r-niczkowych czstkowych. Poszukujemy rozwizania w postaci uwikanej:

V (x1, . . . , xn, u) = 0 (48)

Funkcja V jest rozwizaniem poniszego rwnania jednorodnego z n + 1 zmiennyminiezalenymi:

X1V

x1+X2

V

x2+ . . .+Xn

V

xn+ Y V

u= 0 (49)

dla ktrego ukad charakterystyczny jest nastpujcy:

dx1X1

= dx2X2

= . . . = dxnXn

= duY

(50)

Przykad 4.xuu

x+ yuu

y= x2 + y2 + u2 (51)

Ukad charakterystyczny:dx

xu= dyyu

= dux2 + y2 + u2 (52)

dx

xu= dyyu

(53)

dx

xu= dux2 + y2 + u2 (54)

Z pierwszego rwnania otrzymujemy:

y = C1x (55)

A wic caka pierwsza toC1 =

y

x(56)

Po podstawieniu do drugiego:

dx

xu= dux2(1 + C21

)+ u2

(57)

Po przeksztaceniu otrzymujemy rwnanie rniczkowe zwyczajne jednorodne:

du

dx= xu

(1 + C21

)+ ux

(58)

Wprowadzamy zmienn pomocniczz = u

x(59)

Po pomnoeniu przez x (59) i zrniczkowaniu mamy

du

dx= z + xdz

dx(60)

6

Po podstawieniu do (58):xdz

dx= 1z

(1 + C21

)(61)

Po scakowaniu (1 + C21

)ln |x| = 12z

2 + C3 (62)

2(

1 + y2

x2

)ln |x| = u

2

x2+ 2C3 (63)

u2

x2 2

(1 + y

2

x2

)ln |x| = C4 (64)

Rozwizanie oglne rwnania jednorodnego ma posta:

V = (y

x,u2

x2 2

(1 + y

2

x2

)ln |x|

)(65)

A zatem zgodnie z (48) rozwizanie rwnania wyjciowego ma posta uwikan

(y

x,u2

x2 2

(1 + y

2

x2

)ln |x|

)= 0 (66)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=xu% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ yu% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29%29+ %3D+ x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ u^2 .

Przykad 5.xu

x+ yu

y= x3 y3 + u (67)

Ukad charakterystyczny:dx

x= dy

y= dux3 y3 + u (68)

dx

x= dy

y(69)

dx

x= dux3 y3 + u (70)

Z pierwszego rwnania otrzymujemy:

y = C1x (71)

A wic caka pierwsza toC1 =

y

x(72)

Po podstawieniu do rwnania (70) y z rwnania (71) otrzymujemy

dx

x= dux3(1 C31

)+ u

(73)

7

http://www.wolframalpha.com/input/?i=xu%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+yu%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^2+%2B+y^2+%2B+u^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=xu%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+yu%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^2+%2B+y^2+%2B+u^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=xu%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+yu%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^2+%2B+y^2+%2B+u^2

Traktujemy to rwnanie jako rwnanie ze zmienn zalen u(x). Jest to rwnanie r-niczkowe zwyczajne liniowe, ktrego rozwizaniem jest

u = C2x12(C31 1

)x3 (74)

Rozwizanie na wolframalpha http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= dx% 2Fx+%3D+ dy% 2F% 28x^3% 281-C^3% 29+ %2B+ y% 29 . A wic caka pierwsza to

C2 =u

x+ 12

(y3

x3 1

)x2 (75)

Rozwizanie oglne rwnania jednorodnego ma posta:

V = (y

x,u

x+ 12

(y3

x3 1

)x2)

(76)

A zatem zgodnie z (48) rozwizanie rwnania wyjciowego ma posta uwikan

(y

x,u

x+ 12

(y3

x3 1

)x2)

= 0 (77)

Rozwizanie to moemy przeksztaci do postaci jawnej, zakadajc, e istnieje funk-cja odwrotna do drugiego argumentu i otrzymujemy

u

x+ 12

(y3

x3 1

)x2 =

(y

x

)(78)

u = x(y

x

) 12

(y3

x3 1

)x3 (79)

u = x(y

x

) 12

(y3 x3

)(80)

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x% 28d%2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ x^3+ -+y^3+ %2B+ u .

Przykad 6.uu

x+ uu

y= x+ y (81)

Rozwizujemy najpierw odpowiadajce mu rwnanie jednorodne

uV

x+ uV

y+ (x+ y) V

u= 0 (82)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28u%29% 28d% 2Fdx% 28V% 28x% 2Cy% 2Cu% 29% 29% 29+ %2B+ %28u% 29% 28d% 2Fdy% 28V% 28x% 2Cy%

8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fx+%3D+dy%2F%28x^3%281-C^3%29+%2B+y%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fx+%3D+dy%2F%28x^3%281-C^3%29+%2B+y%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^3+-+y^3+%2B+uhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^3+-+y^3+%2B+uhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x^3+-+y^3+%2B+uhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0

2Cu% 29% 29% 29+ %2B+ %28x% 2By% 29% 28d% 2Fdu% 28V% 28x% 2Cy% 2Cu% 29% 29% 29+ %3D+0 . Rozwizanie

V (x, y, u) = (y x, 12

(u2 2xy

))(83)

Rozwizanie rwnania wyjciowego to

(y x, 12

(u2 2xy

))= 0 (84)

Rozwizanie to moemy przeksztaci do postaci jawnej, zakadajc, e istnieje funkcjaodwrotna do drugiego argumentu i otrzymujemy

12(u2 2xy

)= (y x) (85)

u =

2 (y x) + 2xy (86)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28u%29% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28u% 29% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29%29% 29+ %3D+ x+ %2B+ y .

Przedstawienie graficzne. Dla dwch zmiennych niezalenych x1 = x i x2 = yrozwizanie rwnania:

P (x, y, z) zx

+Q (x, y, z) zy

= R (x, y, z) (87)

postaci z = f (x, y) jest pewn powierzchni w przestrzeni, ktr nazywamy powierzch-ni cakow danego rwnania. Wektor normalny do tej powierzchni wynosi:(

z

x,z

y,1

)(88)

Wektor normalny jest prostopady do wektora (P,Q,R). Ukad charakterystyczny tegorwnania jest nastpujcy:

dx

P (x, y, z) =dy

Q (x, y, z) =dz

R (x, y, z) (89)

Z powyszego wynika, e krzywe cakowe tego ukadu rwna nazywane rwnie jegocharakterystykami s styczne do wektora (P,Q,R). A zatem charakterystyki, ktre majz powierzchni z = f (x, y) jeden punkt wsplny, le wic cakowicie na tej powierzchni.

Przykad 7.z

x+ zy

= 0 (90)

Rozwizanie:z = (y x) (91)

9

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%2B+%28x%2By%29%28d%2Fdu%28V%28x%2Cy%2Cu%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x+%2B+yhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x+%2B+yhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28u%29%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28u%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+x+%2B+y

Przykadowe rozwizanie: z = yx. Wektor normalny do tej powierzchni wynosi po prze-niesieniu na praw stron i obliczeniu pochodnych czstkowych: [1, 1, 1]. Jest on prosto-pady do wektora (P,Q,R) = [1, 1, 0]. Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www.wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy%28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0 . Narysowane rozwizanie na wolframalpha.com, http:// www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y+ -+x+ -+z+ %3D+ 0 .

Zagadnienie Cauchyego.Dane jest n funkcji n 1 zmiennych niezalenych t1, t2, . . . , tn1.

x1 = x1 (t1, t2, . . . , tn 1)x2 = x2 (t1, t2, . . . , tn 1). . .xn = xn (t1, t2, . . . , tn 1)

(92)

Zagadnienie Cauchyego dla rwnania rniczkowego czstkowego liniowego polega naznalezieniu takiego rozwizania:

z = (x1, x2, . . . , xn) (93)

e po podstawieniu danych wczeniej n funkcji otrzymujemy wczeniej ustalon funkcj

(t1, t2, . . . , tn1) (94)

czyli:

(x1 (t1, t2, . . . , tn1) , x2 (t1, t2, . . . , tn1) , . . . , xn (t1, t2, . . . , tn1)) = (t1, t2, . . . , tn1)

(95)

Dla dwch zmiennych niezalenych problem redukuje si do znalezienia powierzchni ca-kowej przechodzcej przez ustalon krzyw. Jeli krzywa ta ma styczn zmieniajc siw sposb cigy i w adnym punkcie nie jest styczna do jakiej charakterystyki to za-gadnienie Cauchyego ma w pewnym otoczeniu tej krzywej jednoznaczne rozwizanie.Powierzchnia cakowa skada si wtedy ze wszystkich charakterystyk przecinajcych da-n krzyw.

Przykad 8. Jak zdefiniowa warunki Cauchyego aby ponisze rwnanie miao rozwi-zanie u = (y x)2

u

x+ uy

= 0 (96)

Odpowied: warunek brzmiu (0, y) = y2 (97)

Krzyw (0, t, t2) mona wyobrazi sobie w przestrzeni trjwymiarowej i przez ni musiprzechodzi poszukiwana funkcja u.

Ukad charakterystycznydx

1 =dy

1 (98)

10

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+-+x+-+z+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+-+x+-+z+%3D+0

A wic rozwizaniem ukadu jestC1 = y x (99)

gdzie C1 jest sta. Powysze wyraenie jest cak pierwsz ukadu charakterystycznego.Rozwizanie oglne ma posta

(y x) (100)

Jeli oglne rozwizanie jest postaci powyszej, to moemy zauway, e u = (y x)2spenia to rwnanie, ponadto spenia dodatkowy warunek, jak podstawimy x = 0. Pyta-nie, czy jest to jedyna taka funkcja, ktra bdzie takiej postaci jak rozwizanie oglnei speniaa dodatkowy warunek. Wicej informacji w [1], str. 362. Bardziej techniczniemoemy wyprowadzi to rozwizanie nastpujco. Traktujc niezalenie zmienne x, y, uwarunek moemy zapisa w postaci parametrycznej jako krzyw postaci

x = 0 (101)

y = t (102)

u = t2 (103)

Nastpnie tworzymy ukad rwna doczajc do powyszych rwna cak pierwsz

x = 0 (104)

y = t (105)

u = t2 (106)

C1 = y x (107)

Zadanie polega na wyznaczeniu u z powyszego ukadu niezalenie od x, y, t, a zatemotrzymujemy

u = C21 (108)

Nastpnie podstawiamy wartoci staych i otrzymujemy

u (x, y) = (y x)2 (109)

Przykad 9.xu

x+ yu

y+ z2

u

z= 0 (110)

u (1, y, z) = y + z2 (111)

Ukad charakterystyczny:dx

x= dy

y= 2dz

z(112)

Caki pierwsze:yx = C1z2

x = C2(113)

11

Otrzymujemy ukadx = 1y = t1z = t2yx = C1z2

x = C2u = t1 + t22

(114)

Std:u = C1 + C2 (115)

I po podstawieniu caek pierwszych otrzymujemy

u (x, y, z) = yx

+ z2

x(116)

Rozwizanie oglne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz%29% 29% 29+ %2B+ z% 2F2% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0 . Rozwiza-nie zagadnienia Cauchyego na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/input/ ?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x%2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ z% 2F2% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0%2C+ u% 281% 2Cy% 2Cz% 29+ %3D+ y+ %2B+ z^2 .

Przykad 10. Przykad dla rwnania liniowego niejednorodnego

xu

x+ yu

y= 6x y (117)

z warunkiemu (2, t) = t

2

4 + 12 t (118)

Najpierw tworzymy rwnanie jednorodne

xV

x+ yV

y+ (6x y) V

u= 0 (119)

Chcemy przeksztaci warunek tak aby mg by doczony do rwnania jednorodnego.Proponujemy nastpujce rozumowanie: jeli mamy jakie rozwizanie szczeglne u1(x,y) rwnania wyjciowego to moemy skonstruowa rozwizanie szczeglne rwnania jed-norodnego, ktre mu odpowiada, to jest

V1 (x, y, u) = u1 (x, y) u . (120)

Moemy podstawi powysze do rwnania (119) i otrzymujemy rwnanie wyjciowe dlau1.

Ukad charakterystycznydx

x= dy

y= du6x y (121)

12

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0%2C+u%281%2Cy%2Cz%29+%3D+y+%2B+z^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0%2C+u%281%2Cy%2Cz%29+%3D+y+%2B+z^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0%2C+u%281%2Cy%2Cz%29+%3D+y+%2B+z^2http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%2B+z%2F2%28d%2Fdz%28u%28x%2Cy%2Cz%29%29%29+%3D+0%2C+u%281%2Cy%2Cz%29+%3D+y+%2B+z^2

Rozpatrujemy dwa rwnaniadx

x= dy

y(122)

dy

y= du6x y (123)

Z pierwszego rwnania otrzymujemy

y = C1x (124)

C1 =y

x(125)

Po podstawieniu do drugiego rwnania x otrzymujemy

dy

y= du6 yC1 y

(126)

Traktujemy zmienn u jako zmienn zalen. Otrzymujemy rwnanie rniczkowe zwy-czajne liniowe. Rozwizaniem jest

u = C2 + 6y

C1 y (127)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= dx%2Fx+ %3D+ dy% 2F% 286x% 2FC+ -+x% 29 . Caka pierwsza to

C2 = u 6x+ y (128)

A wic rozwizaniem rwnania jednorodnego jest funkcja

V = (y

x, u 6x+ y

)(129)

Rozwizaniem rwnania wyjciowego jest funkcja u dana w postaci uwikanej

(y

x, u 6x+ y

)= 0 (130)

Po rozwikaniu otrzymujemyu 6x+ y =

(y

x

)(131)

u = (y

x

)+ 6x y (132)

Moemy zauway, e warunek wyjciowy moemy przeksztaci do postaci

V (2, t, s) = t2

4 + 12 t s (133)

A wic otrzymujemy ukad rwnax = 2 (134)

13

http://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fx+%3D+dy%2F%286x%2FC+-+x%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fx+%3D+dy%2F%286x%2FC+-+x%29

y = t (135)u = s (136)

V = t2

4 + 12 t s (137)

C1 =y

x(138)

C2 = u 6x+ y (139)Wyznaczamy V jako

V = y2

2 + 12 y u =C21x

2

2 + 12C1x u =C21x

2

2 + 12C1xC2 6x+ y (140)

= C21x

2

2 + 12 C1x C2 6x+ C1x = 2C21 C2 (141)

A wic po podstawieniu za C1 i C2 otrzymujemy

V = 2y2

x2 u+ 6x y (142)

Po przyrwnaniu do 0 otrzymujemy

2y2

x2 u+ 6x y = 0 (143)

u = 2y2

x2+ 6x y (144)

Moemy sprawdzi, e powysze jest rzeczywicie rozwizaniem rwnania wyjciowegooraz e jest speniony warunek wyjciowy. Rozwizanie na wolframalpha.com http: //www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y%28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 6x+ -+y .

Inny sposb: majc dane rozwizanie oglne pytanie jest takie jak dobra funkcj aby by speniony dany warunek. Moemy podstawi wartoci zmiennych niezalenych zwarunku do oglnego rozwizania a nastpnie podstawi oglne rozwizanie do warunkui otrzymujemy

(t

2

)+ 12 t = t

2

4 + 12 t (145)

A wic

(t

2

)= t

2

4 =(t

2

)2(146)

A wic funkcja jest funkcj kwadratow. A zatem otrzymujemy rozwizanie szczeglne

u = 2y2

x2+ 6x y (147)

Inne pytanie jest takie, w jaki sposb wyznaczy warunek Cauchyego dla podanegorozwizania szczeglnego? Mona podstawi odpowiednie stae do rozwizania, przyka-dowo do powyszego rozwizania podstawiamy x = 2 i otrzymujemy wyjciowy warunek.

14

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+6x+-+yhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+6x+-+yhttp://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+y%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+6x+-+y

Przykad 11. Znale powierzchni cakow rwnania pierwszego rzdu

z

x+ zy

= z (148)

do ktrej naley krzywa x = 0, z = (y). Ukad charakterystyczny ma posta:

dx

1 =dy

1 =dz

z(149)

Charakterystykami przechodzcymi przez punkt (x0, y0, z0) s:

y = x x0 + y0 (150)

z = z0exx0 (151)

Powierzchnia cakowa ma wic przedstawienie parametryczne postaci:

y = x+ y0 (152)

z = ex (y0) (153)

przy czym podstawilimy x0 = 0, z0 = (y0). Wyeliminowanie y0 prowadzi do wzoruz = ex (y x).

Rozwizanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=%28d% 2Fdx% 28z% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28z% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+z% 28x% 2Cy% 29 .

1.2 Nieliniowe rwnania rniczkowe czstkowe pierwszego rzdu

Posta ogln rwnania rniczkowego czstkowego pierwszego rzdu nazywamy rwna-nie uwikane typu:

F

(x1, . . . , xn, z,

z

x1, . . . ,

z

xn

)= 0 (154)

Rozwizanie rwnaniaz = (x1, . . . , xn; a1, . . . , an) (155)

zalene od n parametrw ai dla ktrego jakobian wzgldem tych parametrw dla wartocix1, . . . , xn z rozpatrywanego obszaru nie znika:

(x1 , . . . ,

xn

) (a1, . . . , an)

6= 0 (156)

nazywamy cak zupen.Wszystkie rozwizania o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego mog by otrzy-

mane z caki zupenej za pomoc metody uzmiennienia staych.Oznaczamy

z

x= p (157)

15

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28z%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28z%28x%2Cy%29%29%29+%3D+z%28x%2Cy%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28z%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28z%28x%2Cy%29%29%29+%3D+z%28x%2Cy%29http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28z%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28z%28x%2Cy%29%29%29+%3D+z%28x%2Cy%29

z

y= q (158)

Oglne rwnanie o pochodnych czstkowych pierwszego rzdu

F (x, y, z, p, q) = 0 (159)

Caka zupena w postaci uwikanej

V (x, y, z, a, b) = 0 (160)

w postaci rozwizanej wzgldem z

z = (x, y, a, b) (161)

Mamy rodzin powierzchni kulistych

(x a)2 + (y b)2 + z2 = R2 (162)

Znale rwnanie o pochodnych czstkowych, dla ktrego ta rodzina stanowi cak zu-pen. Traktujemy z jako funkcj x i y, rniczkowujemy rwnanie wzgldem x i y.Nastpnie rugujemy a i b. Otrzymujemy

x a+ zp = 0 (163)

y b+ zq = 0 (164)

skdx a = zp (165)

y b = zq (166)

Po podstawieniu do wyjciowego rwnania otrzymujemy

z2(1 + p2 + q2

)= R2 (167)

Rozwizanie oglne otrzymujemy z rwnania na cak zupen, rwnania

b = (a) (168)

oraz rwnaniaV

a+ Vb

(a) = 0 (169)

przez rugowanie a i b.Aby otrzyma rozwizania osobliwe wyliczmy a i b z rwna

a (x, y, a, b) = 0 (170)

b (y, x, a, b) = 0 (171)

do rwnania (161). Otrzymamy konkretn funkcj z.

16

Inny przykad: caka zupena jest dana jako

z = ax+ by + ab (172)

Szukamy rwnania rniczkowego czstkowego:

p = a (173)

q = b (174)

z = px+ qy + pq (175)

Szukamy caki osobliwej:0 = x+ b (176)

0 = y + a (177)

z = xy (178)

Szukamy caki oglnej musimy obra zwizek

b = (a) (179)

i rugujemy parametr a z rwna

z = ax+ (a) y + a (a) (180)

0 = x+ (a) + (a) (y + a) (181)

Cakowanie wyjciowego rwnania daje si sprowadzi do cakowania ukadu charak-terystycznego

dx1P1

= . . . = dxnPn

= dzp1P1 + . . .+ pnPn

= dp1X1 + p1Z

= . . . = dpnXn + pnZ

(182)

gdzieZ = F

z(183)

Xi =F

xi(184)

pi =z

xi(185)

Pi =F

pi(186)

dla i = 1, . . . , n Rozwizania ukadu charakterystycznego, ktre speniaj dodatkowowarunek

F (x1, . . . , xn, z, p1, . . . , pn) = 0 (187)

nazywamy wstgami charakterystycznymi.

17

Mamy rwnanieF (x, y, z, p, q) = 0 (188)

Chcemy wyznaczy drugie rwnanie

(x, y, z, p, q) = a (189)

tak aby ukad tych rwna spenia warunek cakowalnoci zupenej. W ten sposb otrzy-mujemy dla niewiadomej rwnanie liniowe o pochodnych czstkowych rzdu pierwszego

Px

+Qy

+ (Pp+Qq) z (X + Zp)

p (Y + Zq)

q= 0 (190)

Rwnaniu temu odpowiada ukad charakterystyczny

dx

P= dyQ

= dzPp+Qq =

dp

X + Zp = dq

Y + Zq (191)

Znajdujemy jedn cak pierwsz a wic

(x, y, z, p, q) = a (192)

i z tego rwnania i z rwnania wyjciowego obliczamy p i q za pomoc zmiennych x, y,z i przez sta a

Specjalne typy rwnaF (p, q) = 0 (193)

Przykad 12. Rozwiza rwnanie

u

x+ uy

u

y= 0 (194)

Rozwizanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d%2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29% 28d% 2Fdy%28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0 . Pierwsze zadanie polega na znalezieniu dowolnej ca-ki zupenej dla tego rwnania. Przeksztacamy to rwnanie do postaci

p+ q2 = 0 (195)

Nastpnie konstruujemy rwnanie liniowe

1x

+ 2qy

= 0 (196)

Znajdujemy cak pierwsz tego rwnania, ktra wynosi

C1 = y 2qx (197)

Z tego rwnania otrzymujemyq = y C12x (198)

18

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29%29+%2B+%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29%28d%2Fdy%28u%28x%2Cy%29%29%29+%3D+0

A z rwnania (195) otrzymujemy

p = (y C1)2

4x2 (199)

Rozwizujemy ten ukad rwna: Z pierwszego rwnania otrzymujemy

z = y2

4x C1y

2x + C2 (x) (200)

Podstawiajc do drugiego otrzymujemy

y2

4x2 +C1y

2x2 + C2 (x) =

(y C1)2

4x2 (201)

A wic

C 2 (x) = (y C1)2

4x2 +y2

4x2 C1y

2x2 (202)

A wic

C2 (x) =(y C1)2

4x y2

4x +C1y

2x + C2 (203)

A wic

z = y2

4x C1y

2x +(y C1)2

4x y2

4x +C1y

2x + C2 =(y C1)2

4x + C2 (204)

Sprawdzenie czy to jest caka zupena, podstawiajc do rwnania wyjciowego otrzy-mujemy

(y C1)2

4x2 + 2(y C1)

4x 2(y C1)

4x = 0 (205)

(y C1)2

4x2 +(y C1)2

4x2 = 0 (206)

A wic rzeczywicie jest to caka zupena.Nastpnym etapem jest znalezienie rozwizania oglnego bazujc na cace zupenej.

Caka zupena w postaci uwikanej to

y2 2C1y + C21 + 4C2x = 4xz (207)

V = C21 2yC1 + y2 + 4C2x 4xz = 0 (208)

Doczamy rwnanieC2 = (C1) (209)

gdzie (C1) to dowolna rniczkowalna funkcja. Podstawiamy to wyraenie w V i otrzy-mujemy

V = C21 2yC1 + y2 + 4 (C1)x 4xz = 0 (210)

Doczamy rwnanieV

C1+ VC2

(C1) = 0 (211)

19

2C1 2y + 4x (C1) = 0 (212)

Jeli obliczymy z tego C1 dla wybranej dowolnej funkcji to po podstawieniu do V otrzy-mamy rozwizanie szczeglne. Nie ma za bardzo jak poda wprost rozwizania oglnego,poniewa najpierw musimy znale C1(x, y, z) z rwnania (212). Przykadowo zamy,e

(C1) = C1 (213)

wtedy2C1 2y + 4x = 0 (214)

C1 =2y 4x

2 = y 2x (215)

Podstawiajc do z otrzymujemy

z = 4x2

4x + C1 =4x2

4x + y 2x = x+ y 2x = y x (216)

Sprawdmy, czy jest to rozwizanie tego rwnania, po podstawieniu otrzymujemy

1 + 1 = 0 (217)

a wic jest to rozwizanie szczeglne rwnania wyjciowego.

1.3 Zagadnienia dodatkowe

Ukad kanoniczny rwna rniczkowych.

2 Zadania

2.1 Zadania na 3.0

Znale rozwizanie oglne rwna:

xu

x+ yu

y+ z2yu

z= 0 (218)

u

z (y + 2z) u

y+ (2y + 4z) u

z= 0 (219)

1u

u

x+ 1u

u

y= x+ y (220)

Rozwiza zagadnienia Cauchyego:

20

(z y2

) ux

+ z uy

+ yuz

= 0 (221)

u (0, y, z) = 2y (y z) (222)

(1 + x2

) ux

+ xyuy

= 0 (223)

u (0, y) = y2 (224)

xu

x+ yu

y= u2y (225)

x = ty = t2u = 1

(226)

Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Wy-wietli na wykresie w Matlabie przykadowe rozwizanie. Do kadej caki pierwszejwywietli na wykresie w Matlabie pole kierunkowe. Wywietli na wykresie w Matlabiewarunki Cauchyego.

2.2 Zadania na 4.0

Rozwiza rwnanie:

(mz ny) zx

+ (nx lz) zy

= ly mx (227)

gdzie l,m, n s stae. Poda znaczenie geometryczne charakterystyk oraz rozwizaniaoglnego. Przedstawi na wykresie.

Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha.Wywietli na wykresie w Matlabie przykadowe rozwizanie. Do kadej caki pierwszejwywietli na wykresie w Matlabie pole kierunkowe.

2.3 Zadania na 5.0

Rozwamy ruch dwch punktw na paszczynie oddziaujcych ze sob za porednic-twem siy grawitacji. Jeden z punktw znajduje si w pocztku ukadu wsprzdnych.Zapisa rwnania ruchu za pomoc funkcji Hamiltona. Rozwiza te rwnania wykorzy-stujc teorie ukadw kanonicznych rwna rniczkowych.

Rozwiza rwnie powysze rwnania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha.Wywietli na wykresie w Matlabie przykadowe rozwizanie. Do kadej caki pierwszejwywietli na wykresie w Matlabie pole kierunkowe.

21

Literatura[1] W. W. Stiepanow, Rwnania rniczkowe. Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

11

22

WstepLiniowe rwnania rzniczkowe czastkowe pierwszego rzeduNieliniowe rwnania rzniczkowe czastkowe pierwszego rzeduZagadnienia dodatkowe

ZadaniaZadania na 3.0Zadania na 4.0Zadania na 5.0