Wykład 15

Środek masy, ruch obrotowy bryły sztywnej,

moment bezwładności

Bryła sztywna to ciało złożone z cząstek (punktówmaterialnych), które nie mogą się względem siebieprzemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałychodległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej.

zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą

odległość między sobą

Bryła sztywna

Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!

Kij uderzający piłkę jest bryłą sztywną!

Środek masy układu cząstek

x y

z

środek masy

https://studyingphysics.wordpress.com/2012/10/30/center-of-mass/

!rc =

m1

!r1 + m2

!r2 +…+ mn

!rn

m1 + m2 +…+ mn

= 1M

mi

!ri

i=1

n

∑

xc =

m1x1 + m2x2 +…+ mnxn

m1 + m2 +…+ mn

= 1M

mixii=1

n

∑

yc =

m1y1 + m2 y2 +…+ mn yn

m1 + m2 +…+ mn

= 1M

mi yii=1

n

∑

zc =

m1z1 + m2z2 +…+ mnzn

m1 + m2 +…+ mn

= 1M

mizii=1

n

∑

Środek masy układu cząstek - przykład

https://brilliant.org/practice/calculating-center-of-mass-of-point-masses/

l l

l zc = 0 (0,0)

(l,0)

( 12 l, 3

2 l)

xc =

m ⋅0+ m ⋅ 12

l + m ⋅ l

3m= 1

2l

yc =

m ⋅0+ m ⋅ 32

l + m ⋅0

3m= 3

6l

!rc =

12

lx + 36

ly

rc

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

ŚM

Środek masy ciał rozciągłych

Sears annd Zemansky’s, University Physics with Modern Physics

xc =

1M

Δmixii=1

n

∑ =Δmi→0n→∞

1M

x dm∫

Obiekty symetryczne o jednorodnie rozłożonej masie:

yc =

1M

Δmi yii=1

n

∑ =Δmi→0n→∞

1M

y dm∫

zc =

1M

Δmizii=1

n

∑ =Δmi→0n→∞

1M

z dm∫

Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe):dzielimy ciało na małe elementy Δmii sumujemy po nich

Ruch środka masy (na przykładzie układu n punktów materialnych)

!rc ==

1M

mi

!ri

i=1

n

∑

Prędkość środka masy:

!vc =

d!rc

dt= 1

Mmi

d!ri

dti=1

n

∑ = 1M

mi

!vi

i=1

n

∑ = 1M!pwyp

pęd środka masy jest równy wypadkowemu pędowi układu:

!pwyp = M

!vc = mi

!vi

i=1

n

∑

!Fwypzew

=d!pwyp

dt= M

d!vc

dt= M!ac

Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie.

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

https://slideplayer.com/slide/7542403/

Ruch środka masy

Niezależnie od tego jak bardzo skomplikowany jest byłby ruch elementów układu, środek masy zachowuje się w sposób przewidywalny.

https://slideplayer.com/slide/7542403/

Ruch bryły sztywnej

https://en.wikipedia.org/wiki/Rolling

ruch bryły = ruch postępowy + ruch obrotowy

W ruchu postępowym (translacyjnym) bryłę możemy traktować jakpunkt materialny (środek masy).

Do opisu ruchu postępowego możemy stosować wszystkie zasadykinematyki i dynamiki słuszne dla punktu materialnego.

Opis czystego ruchu obrotowego wymaga wprowadzenia nowychwielkości fizycznych.

Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi

https://www.picgifs.com/graphics/fanhttps://www.picgifs.com/graphics/fan https://wifflegif.com/tags/97-animation-gifs?page=927

Będziemy rozważać tylko sytuacje, w których oś obrotu nie zmienia swojego kierunku.

https://www.reddit.com/r/physicsgifs/comments/2z195r/sliding_vs_rolling_moment_of_inertia_demo/

Wielkości kątowe – przesunięcie, prędkość i przyspieszenie

dysk rotujący wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek

ω v

prędkość kątowa:

x

przesunięcie kątowe:

przyspieszenie kątowe:

[rad]

[rad/s]

[rad/s2]

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Wielkości kątowe są wygodne do opisu ruchu obrotowego bryły sztywnej, ponieważ nie zależą od odległości od stałej osi obrotu (są takie same dla wszystkich punktów ciała).

θ (t) = x(t)R

ω (t) = !θ = v(t)R

ε(t) = !ω = 1R!v =as(t)R

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, as = dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• xxxxx

• xxxxx

• xxxxx

• xxxxx

Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi

Obrót ciała dookoła ustalonej osi odpowiada formalnie ruchowi translacyjnemu ciaław ustalonym kierunku (czyli po linii prostej)….

Innymi słowy do opisu ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego (ze stałym przyspieszeniemkątowym) możemy stosować te same wzory jak do opisu ruchu prostoliniowego jednostajnieprzyspieszonego wzdłuż linii prostej, zamieniamy tylko wielkości liniowe na wielkości kątowe:

x = x0 + v0t +

12

ast2

v = v0 + ast

θ = θ0 +ω0t +

12εt2

ω =ω0 + εt

as = const ε = const

Analogia pomiędzy ruchem prostoliniowym a obrotem ciała wokół stałej osi - przykład

R=

t = 5s

v0 = 0

H. C. Ohanian, J. T. Markert, Physics for Engineers and Scientists

Ile obrotów wykonało koło zamachowe w ciągu pierwszych 5 sekund ruchu? Jaką prędkość kątową osiągnęło w tym czasie?

ε =

as

R= 1.7 rad s2

θ = 1

2εt2 = 21 rad

N = θ

2π≈ 3.3Liczba obrotów:

lina nie ślizga się(as = a)

ω = εt = 8.5 rad sKońcowa prędkość kątowa:

a = 0.6 m s

Wektorowa natura prędkości i przyspieszenia kątowego

!v =!ω ×!R

!as =!ε ×!R

D.C. Giancoli, Physics for Scientists & Engineers Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

!R - odległość od osi obrotu

Energia kinetyczna ruchu obrotowego układu punktów materialnych

(punkty znajdują się w stałych odległościach od siebie)

Moment bezwładności układu n punktów:

I = mi

i=1

n

∑ ri2

!r3

m2

m3

m1

!r1

!r2

!v1

!v2

!v3

Eki =12mivi

2 = 12miω

2ri2Energia kinetyczna

„i - tego” punktu:

Ek _ukladu =12ω 2 miri

2

i∑

moment bezwładnościI

Energia kinetyczna ruchu obrotowego ciała rozciągłego

Δmi

ω

Eki =

12Δmivi

2 = 12Δmiω

2ri2

Energia kinetyczna elementu Δmi:

Ek _ cialo =

12ω 2 Δmiri

2

i∑

Energia kinetyczna całego ciała:

Iomoment bezwładności

Ek _ cialo =

12

IOω2

• Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruchu translacyjnym• Moment bezwładności jest miarą oporu na zmiany obrotów, podobnie jak masa jest miarą oporu na

zmiany ruchu• Moment bezwładności zależy od położenia osi obrotu• Energia kinetyczna ruchu obrotowego nie jest nowym rodzajem energii (jest to po prostu suma energii

kinetycznych wszystkich cząstek ciała w ruchu obrotowym)Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Moment bezwładności ciał rozciągłych – jak policzyć?

I = Δmiri

2

i∑ ⇒

Δmi→0I = r 2 dm∫

Δmi

ω

Przepis jak wyznaczyć (całki objętościowe):

Halliday, Resnick, Walker, Principles of physics

Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

Twierdzenie Steinera

Io = ISM + mr 2

SM O

środek masy

Przykład: rotujący jednorodny cienki pręt o długości L i masie M

https://study.com/academy/lesson/the-parallel-axis-theorem-the-moment-of-inertia.html

obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy

SM

ISM = 1

12ML2

obrót wokół osi przechodzącej przez koniec pręta

SM

IO = 1

12ML2 + M L

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 13

ML2

O

słuszne dla wszystkich osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, as = dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• moment bezwładności, I

• energia kinetyczna, Ek = ½ Iω2

• xxxxxx

• xxxxxx

Toczenie się bez poślizguprędkość w ruchu translacyjnym = prędkość w ruchu obrotowym

v v

A

B

C v

ruch translacyjny ruch obrotowy

złożenie obydwu ruchów:

2vA

B

C

v v = 0

v

v

A

B

C

v = 0

Zasada zachowania energii-kulka jest bryłą sztywną i należy uwzględnić energię kinetycznej ruchu obrotowego

r

h

Z jakiej wysokości h należy puścić kulkę, aby pokonała ona „pętlę śmierci” o promieniu R?

mgh = mg 2r( ) + 1

2mv2 ⇒ gh = 2gr + 1

2gr ⇒ h = 5

2r

v m

Gdy kulka się nie obraca:

Gdy kulka obraca się bez ślizgania(tj. prędkość obracających się punktów na obwodzie kulki jest równa prędkości całej kulki w ruchu translacyjnym):

mgh = mg 2r( ) + 12

mv2 + 12

Iω 2 ⇒ mgh = 2mgr + 12

mv2 + 12

25

mR2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

v2

R2

⇒ gh = 2gr + 12

gr + 15

gr ⇒ h = 2710

r

R – promień kulki

TSTracie statyczne nigdy nie wykonuje pracy!

mgSiła konserwatywna

N

Siła zawsze prostopadła do przesunięcia – nie wykonuje pracy!