PODSTAWY FIZYKI

Rafał Demkowicz-Dobrzański

Materiały dodatkowe

str. 1

O książce

Nowoczesny podręcznik fizyki napisany na podstawie legendarnej książki Resnicka i Hallidaya. Prezentowany materiał jest bogato ilustrowany kolorowymi, sugestywnymi zdjęciami i rysunkami oraz poparty wieloma przykładami.

Na końcu każdego rozdziału znajduje się podsumowanie omówionego materiału, któremu towarzyszą pytania i zadania sprawdzające jego zrozumienie.

Poza tradycyjnymi zagadnieniami mechaniki, termodynamiki, elektrodynamiki i optyki podręcznik zawiera również elementy fizyki współczesnej – elementy teorii względności, mechaniki kwantowej, podstawy fizyki ciała stałego, fizyki jądrowej i cząstek elementarnych. Przedstawia aktualny stan wiedzy - zarówno w rozdziałach związanych z fizyką współczesną, jak i dotyczących fizyki klasycznej.

Przedstawiono wiele ciekawych i zaskakujących zjawisk z życia codziennego, które można wyjaśnić za pomocą praw fizyki.

Aparat matematyczny ograniczony został do niezbędnego minimum, niemniej pełne zrozumienie materiału przedstawionego w książce wymaga znajomości rachunku różniczkowego i całkowego.

Polskie wydanie podręcznika D. Halliday, R. Resnick, J.Walker Podstawy fizyki stanowi tłumaczenie szóstego wydania oryginału z 2001 roku, któremu towarzyszy obszerny zestaw starannie przygotowanych materiałów uzupełniających, mających za zadanie ułatwić wykładowcom i studentom korzystanie z książki.

Strona internetowa http://www.wiley.com/college/hrw, której adres pojawia się w przedmowie do polskiego tłumaczenia podręcznika, jest aktualna, mimo iż ukazało się już siódme wydanie amerykańskie tej publikacji. Czytelnik znajdzie tam na podstronie dotyczącej Fundamentals of Physics, 6th Edition z 2001 r. oryginalne materiały dodatkowe odpowiadające polskiej edycji podręcznika.

Książka przeznaczona dla studentów nauk przyrodniczych na uniwersytetach, studentów fizyki studiów licencjackich, nauczycieli fizyki oraz uczniów klas matematyczno-fizycznych liceów.

str. 2

Spis treści O książce .................................................................................................................................................. 1

O autorze aneksu ..................................................................................................................................... 3

Układy nieinercjalne. Wyprowadzenie wzorów na siły pozorne w układach obracających się (siła

odśrodkowa, Coriolisa) (non-inertial frames of reference. derivation of formulas for fictitious forces in

rotating frames (centrifugal and Coriolis forces) .................................................................................... 4

Twierdzenia dotyczące przyciągania grawitacyjnego ze strony jednorodnej powłoki sferycznej

(theorems concerning gravitational attraction by a uniform spherical shell) ....................................... 11

Wyprowadzenie praw Keplera (derivation of Kepler's laws) ................................................................. 16

Wyprowadzenie transformacji Lorentza (derivation of the Lorentz transformation) ........................... 25

,,Wyprowadzenie'' równania Schrödingera (''derivation of'' the Schrödinger equation) ..................... 32

Szczególna teoria względności i wyprowadzenie siły Lorentza (special theory of relativity and

derivation of the Lorentz force) ............................................................................................................. 36

Czy światło można traktować jak gaz? Wyprowadzenie równania stanu gazu fotonowego (can light

be treated as gas? derivation of the equation of state for photon gas) ............................................... 42

str. 3

O autorze aneksu

Rafał Demkowicz-Dobrzański jest asystentem w Centrum Fizyki Teoretycznej PAN, gdzie zajmuje się zagadnieniami związanymi z kwantową teorią informacji i chaosem kwantowym. W roku 2003 ukończył studia fizyki teoretycznej na Uniwersytecie Warszawskim. Pracę magisterską pt. ,,Klonowanie stanów kwantowych'' pisał w Zakładzie Fizyki Atomowej i Optyki Kwantowej. Poza działalnością naukową prowadzi również działalność dydaktyczną: jest członkiem Komitetu Głównego Olimpiady Fizycznej, bierze udział w organizacji Festiwalu Nauki w Warszawie, publikuje artykuły w miesięczniku Delta oraz prowadzi zajęcia ze studentami Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego.

str. 4

Układy nieinercjalne. Wyprowadzenie wzorów na siły

pozorne w układach obracających się (siła odśrodkowa,

Coriolisa) (non-inertial frames of reference. derivation of

formulas for fictitious forces in rotating frames (centrifugal

and Coriolis forces)

Układy nieinercjalne (non-inertial frames of reference)

Czasem istnieje potrzeba rozważania problemu z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego. Na przykład, gdy chcemy opisać zachowanie spadającej walizki z punktu widzenia kogoś siedzącego wewnątrz przyspieszającego pociągu. Z uwagi na przyspieszony ruch pociągu taki obserwator nie jest jednak inercjalny, więc do badania zachowania walizki nie możemy użyć zasad dynamiki Newtona. Można jednak zmodyfikować równania Newtona, tak by dawały poprawne wyniki również z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego.

Niech przyspieszenie pociągu wynosi , a przyspieszenie walizki widziane przez obserwatora siedzącego w pociągu (nieinercjalnego) . Masę walizki oznaczmy jako . Obserwator inercjalny - stojący na peronie - widzi, że walizka ma przyspieszenie:

Obserwator inercjalny może użyć drugiej zasady dynamiki Newtona i napisać:

Korzystając z powyższych równań dostajemy:

co daje równanie:

Z punktu widzenia obserwatora nieinercjalnego zachowanie walizki wygląda tak,

jakby poza rzeczywistymi siłami działającymi na nią siłą wypadkową działała

jeszcze pewna dodatkowa siła równa . Tę dodatkową siłę nazywamy siłą

pozorną. Podsumowując, obserwator nieinercjalny poruszający się z

przyspieszeniem może używać zasad dynamiki Newtona pod warunkiem, że

poza siłami rzeczywistymi działającymi na ciało o masie doda jeszcze siłę pozorną

równą:

str. 5

Siła pozorna nie pochodzi od działania jakiegokolwiek innego ciała na rozważane

ciało, lecz wynika jedynie z tego, że ruch ciała opisujemy w układzie nieinercjalnym.

Siły pozorne w układach obracającym się (fictitious forces in rotating frames)

W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątową występuje

siła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa,

które wyrażają się wzorami:

(@1)

(@2)

gdzie jest prędkością ciała w układzie nieinercjalnym.

Dowód:

Rozważmy dwa układy odniesienia obracające się względem siebie. Niech układ

nieprimowany będzie układem inercjalnym, natomiast układ primowany

będzie układem nieinercjalnym, obracającym się względem układu z prędkością

kątową . Niech , będą wersorami związanymi z układem nieprimowanym,

natomiast , będą wersorami związanymi z układem primowanym.

Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie nieprimowanym mają postać

str. 6

(@3)

Wektory położenia, prędkości i przyspieszenia ciała w układzie primowanym mają z

kolei postać

(@4)

Z uwagi na fakt, że początki układów współrzędnych pokrywają się, wektory położenia ciała i są sobie równe

(@5)

lub zapisując inaczej

(@6)

W celu znalezienia postaci sił pozornych w układzie nieinercjalnym musimy znaleźć

związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym przez obserwatora w

układzie nieinercjalnym i przyspieszeniem obserwowanym przez obserwatora w

układzie inercjalnym .

Jeśli założymy, że w chwili wersory obu układów pokrywały się, to wersory primowane możemy wyrazić przez wersory nieprimowane wzorami

str. 7

(@7)

Różniczkując powyższe równania po czasie, otrzymujemy

(@8)

co można zapisać w bardziej eleganckiej formie

(@9)

gdzie jest wektorem prędkości kątowej, który w rozważanej sytuacji jest

skierowany w kierunku osi . Różniczkując po czasie równanie (@6), otrzymujemy

(@10)

Podstawiając do powyższego wyrażenia wzory (@9) dostajemy

(@11)

str. 8

co prowadzi do związku między prędkością ciała obserwowaną w układzie

nieinercjalnym i prędkością ciała obserwowaną w układzie inercjalnym

(@12)

Różniczkując po czasie równanie (@10), otrzymujemy:

(@13)

Korzystając z równania (@9), możemy obliczyć drugie pochodne wersorów po czasie

(@14)

Wstawiając powyższe wyrażenia do równania (@13) i korzystając z wzorów (@9),

otrzymujemy

(@15)

co daje ostatecznie związek pomiędzy przyspieszeniem ciała obserwowanym w

układzie nieinercjalnym i przyspieszeniem w układzie inercjalnym :

(@16)

Jeśli na ciało działa wypadkowa siła , to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

Newtonamożemy napisać

str. 9

(@17)

gdzie jest przyspieszeniem w układzie inercjalnym. Podstawiając to równanie do

równania (@16), otrzymujemy

(@18)

Zamieniając kolejność w iloczynie wektorowym, możemy napisać

(@19)

Dla obserwatora w układzie nieinercjalnym zachowanie ciała wygląda więc tak, jakby

poza działającymi na ciało rzeczywistymi siłami działały jeszcze dwie siły

pozorne: siła Coriolisa i siła odśrodkowa. Istnienie sił pozornych wynika wyłącznie z

faktu, że obserwujemy ciało w układzie nieinercjalnym. Siła odśrodkowa jest

skierowana radialnie na zewnątrz od osi obrotu i jest tym większa, im dalej od osi

obrotu znajduje się ciało

(@20)

Siła Coriolisa objawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkość w układzie nieinercjalnym. Siła Coriolisa jest prostopadła do prędkości ciała (obserwowanej w układzie nieinercjalnym) i wynosi

(@21)

str. 10

Powyższe równania obowiązuje również w przypadku trójwymiarowym, gdy

wektory i nie leżą w płaszczyźnie prostopadłej do .

W przypadku dwuwymiarowym, gdy wektory i leżą w płaszczyźnie prostopadłej do , równanie (@19) można zapisać w prostszej postaci

(@22)

str. 11

Twierdzenia dotyczące przyciągania grawitacyjnego ze strony

jednorodnej powłoki sferycznej (theorems concerning

gravitational attraction by a uniform spherical shell)

Twierdzenie 1:

Ciało w kształcie jednorodnej powłoki sferycznej przyciąga cząstkę znajdującą

się na zewnątrz niej siłą taką, jakby cała masa powłoki skupiona była w jej

środku.

Dowód:

Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej

powłoki materii

Rozważmy cząstkę o masie znajdującą się na zewnątrz cienkiej powłoki

sferycznej o promieniu , w odległości od jej środka.

Powłoka ma całkowitą masę równą równomiernie rozłożoną na całej jej

powierzchni, a jej grubość wynosi i jest mała w porównaniu z promieniem. Gęstość

masy w powłoce oznaczmy przez . Podzielmy powłokę sferyczną na cienkie paski

składające się z punktów równoodległych od masy . Położenie paska możemy

scharakteryzować, podając kąt , jaki tworzy promień poprowadzony ze środka sfery

do punktu paska i prosta łącząca środek sfery z masą . Szerokość paska

wynosi . Objętość paska, którego położenie jest scharakteryzowane przez kąt ,

wynosi w takim razie

(@1)

Masa zawarta w tym pasku wynosi

str. 12

(@2)

Elementy paska mające tę samą masę, ale leżące po przeciwnych jego stronach (np. w punktach i na rysunku), będą działały na masę siłami równymi co do wartości, których poziome składowe dodadzą się, natomiast składowe pionowe się zniosą. Wszystkie elementy paska znajdują się w tej samej odległości od ciała , równej

(@3)

W związku z tym pozioma siła działająca na ciało, pochodząca od paska o masie

wynosi zgodnie z prawem powszechnego ciążenia

(@4)

gdzie czynnik wynika z tego, że bierzemy tylko poziome składowe sił

działających na ciało o masie . Zwróćmy uwagę, że zachodzi następujący związek

między kątami i

(@5)

Podstawiając powyższe równanie oraz równanie na (@3) do wyrażenia na siłę

(@4), otrzymujemy

(@6)

Aby obliczyć całkowitą siłę działającą na masę ze strony powłoki, należy

scałkować powyższe wyrażenie po kącie w zakresie od 0 do :

str. 13

(@7)

Dokonując zamiany zmiennych:

(@8)

otrzymujemy:

(@9)

Całkując i pamiętając, że z uwagi na fakt, że , możemy

napisać: , otrzymujemy

(@10)

Siła przyciągania masy przez powłokę wynosi

(@11)

str. 14

Masa powłoki równa się , w związku z czym

(@12)

czyli sferyczna powłoka przyciąga ciała znajdujące się na zewnątrz niej tak, jakby

cała masa powłoki umieszczona była w jej środku.

Twierdzenie 2:

Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej działa wypadkową siłą równą

zero na cząstkę znajdującą się wewnątrz powłoki.

Dowód:

Przyciąganie grawitacyjne punktu materialnego o masie m przez wycinek dS kulistej

powłoki materii. Punkt materialny znajduje się tutaj wewnątrz powłoki

W sytuacji, gdy masa znajduje się wewnątrz powłoki sferycznej, siła przyciągania

wyraża się tym samym wzorem, co w sytuacji, gdy masa znajdowała się na zewnątrz

(patrz powyżej):

str. 15

(@13)

Jedyna różnica polega na tym, że w tej sytuacji , a w związku z

tym , co powoduje, że całkowanie daje

(@14)

co prowadzi do rezultatu

(@15)

Gdy ciało jest umieszczone wewnątrz jednorodnej powłoki sferycznej, siły

grawitacyjne pochodzące od powłoki znoszą się i wypadkowa siła wynosi zero.

W przypadku, gdy chcemy obliczyć siłę przyciągania masy pochodzącą nie od sfery, lecz od kuli o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy, możemy również skorzystać z powyższych wyników. Kulę można podzielić na wiele cienkich powłok sferycznych. Powłoki, na zewnątrz których znajduje się masa , będą ją przyciągać tak, jak masy punktowe umieszczone w ich środkach. Powłoki, wewnątrz których znajduje się masa , nie dadzą wkładu do siły. Jeśli masa znajduje się na zewnątrz kuli, to jest przyciągana przez kulę taką siłą, jakby cała masa kuli była umieszczona w jej środku. Jeśli natomiast ciało znajduje się wewnątrz kuli, to do obliczenia siły należy uwzględnić tylko masę powłok wewnętrznych w stosunku do położenia ciała.

str. 16

Wyprowadzenie praw Keplera (derivation of Kepler's laws)

Trzy prawa Keplera dotyczą ruchów planet wokół Słońca i mają postać:

Pierwsze prawo Keplera.

Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której jednym

z ognisk znajduje się Słońce.

Drugie prawo Keplera.

Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu

jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity. Oznacza to, że

wielkość jest stała, przy czym oznacza pole powierzchni zakreślone

przez tę linię.

Trzecie prawo Keplera

Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest

proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej orbity.

Dowód:

W celu udowodnienia praw Keplera rozważmy planetę o masie krążącą wokół gwiazdy o masie . Zakładamy, że masa gwiazdy jest znacznie większa od masy

planety . Dzięki temu założeniu możemy przyjąć, że wpływ planety na ruch gwiazdy jest znikomy i gwiazda spoczywa. Położenie planety scharakteryzowane jest przez wektor . Na planetę działa tylko jedna siła - siła grawitacji pochodząca od gwiazdy, równa

(@1)

gdzie jest jednostkowym wektorem skierowanym od gwiazdy do planety, a znak

minus oznacza, że siła jest przyciągająca. Druga zasada dynamiki Newtona ma w

tym przypadku postać

str. 17

(@2)

W problemie ruchu planety wokół gwiazdy zamiast używać współrzędnych

kartezjańskich , wygodniej jest wprowadzić współrzędne biegunowe ,

charakteryzujące położenie ciała. Współrzędna oznacza odległość planety od

gwiazdy, natomiast oznacza kąt, jaki tworzy wektor z osią . Związek

współrzędnych kartezjańskich i biegunowych ma postać:

(@3)

Wprowadzamy również wersory , związane ze współrzędnymi i . Wersor

związany ze współrzędną jest wektorem jednostkowym skierowanym wzdłuż

wektora . Wersor związany ze współrzędną jest wektorem jednostkowym

prostopadłym do wersora i skierowanym w stronę większych kątów .

Kierunki wersorów , zmieniają się od punktu do punktu. Można je wyrazić przez

wersory kartezjańskie i wzorami

(@4)

Gdy cząstka się porusza, wersory i się zmieniają. Pierwsze pochodne tych

wersorów po czasie wynoszą

str. 18

(@5)

gdzie jest prędkością kątową ciała. Różniczkując po czasie powyższe

równania, dostajemy wyrażenia na drugie pochodne wersorów po czasie:

(@6)

Używając współrzędnych biegunowych, możemy zapisać, że położenie ciała wynosi

(@7)

Różniczkując to równanie po czasie i korzystając z wzorów na pochodną

wersora po czasie, dostajemy, że prędkość we współrzędnych biegunowych

wyraża się wzorem

(@8)

Różniczkując jeszcze raz i korzystając ze wzorów (@5,@6), otrzymujemy

przyspieszenie wyrażone we współrzędnych biegunowych

(@9)

str. 19

co daje ostatecznie

(@10)

Pierwszy człon nosi nazwę przyspieszenia radialnego (jest to przyspieszenie w

kierunku ), drugi człon nosi nazwę przyspieszenie transwersalnego (jest to

przyspieszenie w kierunku ).

Podstawiając przyspieszenie zapisane we współrzędnych biegunowych do równania na dynamikę ruchu planety wokół gwiazdy (równanie @2), otrzymujemy

(@11)

Powyższe równanie można zapisać jako dwa równania dla składowych:

(@12)

Drugie z tych równań można zapisać w formie:

(@13)

Oznacza to że wyrażenie, które jest różniczkowane, nie zmienia się w czasie:

(@14)

str. 20

Wyrażenie powyższe jest równe momentowi pędu ciała

(@15)

Moment pędu ciała jest więc stały. Stałość momentu pędu wynika wyłącznie z faktu,

że siła grawitacji jest siłą centralną. Moment siły działający na planetę jest równy

zeru, a co za tym idzie moment pędu ciała nie może ulec zmianie.

Pole, jakie zakreśla planeta w małym czasie , wynosi .

a) W przedziale czasu t linia łącząca planetę ze Słońcem o masie M (mająca w

danej chwili długość r) zatacza kąt , zakreślając przy tym obszar (zacieniowany) o

polu powierzchni S

Szybkość zmian pola wynosi więc

(@16)

co oznacza, że prędkość polowa związana jest z momentem pędu wzorem

(@17)

Ponieważ moment pędu jest stały, prędkość polowa jest również stała

str. 21

(@18)

co tym samym dowodzi drugiego prawa Keplera.

Prędkość kątową ciała możemy wyrazić przez jego moment pędu

(@19)

Podstawiając tę postać do pierwszego z równań (@12) otrzymujemy

(@20)

Chcemy udowodnić, że tor planety jest elipsą. W tym celu zastąpimy pochodną po

czasie pochodną po

(@21)

Różniczkując powyższe równanie po czasie, otrzymujemy

(@22)

co można zapisać jako

(@23)

str. 22

Podstawiając to do równania (@20), otrzymujemy

(@24)

Po uproszczeniu powyższe równanie przyjmuje postać

(@25)

Jest to liniowe niejednorodne równanie różniczkowe na funkcję . Szczególne

rozwiązanie równania niejednorodnego ma postać

(@26)

Ogólne rozwiązanie równania bez niejednorodności ma postać

(@27)

gdzie i są pewnymi stałymi. Ogólne rozwiązanie równanie z niejednorodnością

ma w takim razie postać

(@28)

Wynika stąd, że tor planety opisany jest we współrzędnych biegunowych wzorem

(@29)

str. 23

gdzie

(@30)

Dla powyższe równanie toru odpowiada hiperboli, dla paraboli, a

dla elipsie. Stałą można wyrazić przez całkowitą energię układu (energię

kinetyczną planety i energię potencjalną układu planeta-gwiazda) wzorem

(@31)

W związku z tym parametry i wyrażają się przez moment pędu planety i energię

układu wzorami:

(@32)

W zależności od energii układu, tor planety może być hiperbolą, parabolą lub elipsą.

Jeśli

, to , co oznacza, że tor jest hiperbolą, , to , co oznacza, że tor jest parabolą,

, to , co oznacza, że tor jest elipsą.

Jedyną możliwością odpowiadającą ograniczonemu ruchowi planety wokół gwiazdy

jest elipsa, co tym samym dowodzi pierwszego prawa Keplera. Pozostałe możliwości

(hiperbola, parabola) odpowiadają torom ciał, które mają wystarczająco dużą

energię, aby uciec od gwiazdy do nieskończoności.

W przypadku, gdy tor jest elipsą, półosie elipsy (półoś wielka) i (półoś mała) można

wyrazić przez parametry , wzorami

str. 24

(@33)

Pole elipsy o półosiach i wynosi

(@34)

Ponieważ prędkość polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała i równa

(@35)

okres obiegu planety można obliczyć ze wzoru

(@36)

Podstawiając do powyższego wzoru wyrażenie na , po paru przekształceniach

otrzymujemy, że okres obiegu planety wokół gwiazdy wynosi

(@37)

Zapisując to inaczej, mamy

(@38)

co tym samym dowodzi trzeciego prawa Keplera.

str. 25

Wyprowadzenie transformacji Lorentza (derivation of the

Lorentz transformation)

Załóżmy, że obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością

wzdłuż w kierunku .

Dwa inercjalne układy odniesienia: układ S' porusza się z prędkością względem

układu S

Jeśli obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie , , oraz czas , to

obserwator przypisze temu zdarzeniu współrzędne:

(@1)

gdzie . Transformacja powyższa jest zapisana przy założeniu, że w

chwili, gdy początki obu układów współrzędnych pokrywają się, zachodzi

równość .

Dowód:

Postulaty szczególnej teorii względności mają postać:

Postulat względności: Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.

Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesienia światło rozchodzi się w próżni z tą samą prędkością c.

str. 26

Załóżmy, że obserwator przypisuje pewnemu zdarzeniu położenie , , oraz

czas , natomiast obserwator przypisuje temu zdarzeniu współrzędne , , oraz czas . Udowodnimy najpierw, że z uwagi na fakt, że ruch względny obserwatorów odbywa się tylko w kierunku , a w chwili początki układów współrzędnych

pokrywały się, współrzędne zdarzenia i muszą być równe odpowiednim

współrzędnym i . Załóżmy, że dwaj obserwatorzy, przelatując obok siebie, wyciągają do siebie ręce (prostopadle do kierunku ruchu) każdy na tej samej wysokości, mierzonej we własnym układzie odniesienia. Jeśli transformacja Lorentza

byłaby taka, że , to obserwatorzy stwierdziliby, że ręka któregoś z nich podczas mijania się była niżej niż ręka drugiego. Oznaczałoby to, że jeden z obserwatorów dochodzi do wniosku, że poruszające się obiekty ulegają skróceniu w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu, podczas gdy drugi z obserwatorów doszedłby do przeciwnego wniosku - mianowicie, że poruszające się obiekty ulegają wydłużeniu w kierunku prostopadłym do kierunku ich ruchu. Taka sytuacja byłaby sprzeczna z zasadą względności mówiącą, że prawa fizyki we wszystkich układach inercjalnych są takie same i żaden układ nie jest wyróżniony. W związku z tym

(@2)

Załóżmy teraz, że obserwator (Agata) mierzy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami. Zdarzenie pierwsze jest to wysłanie przez obserwatora światła do góry w kierunku

osi .

str. 27

a) W pociągu Agata za pomocą jednego zegara Z mierzy odstęp czasu t0 dzielący zdarzenia 1 i 2, które nastąpiły w pociągu. Zegar narysowany jest dwukrotnie: pierwszy raz przedstawia odczyt dla zdarzenia 1 i drugi ? odczyt dla zdarzenia 2 Następnie światło odbija się od zwierciadła oddalonego o i wraca do obserwatora . Zdarzenie drugie jest to zdarzenie powrotu światła do obserwatora . Czas

pomiędzy tymi zdarzeniami mierzony przez obserwatora wynosi

(@3)

gdzie jest prędkością światła. Z punktu widzenia obserwatora (Jacek) światło

musiało przebyć większą drogę .

str. 28

b) Jacek, stojąc na peronie, obserwuje zdarzenia zachodzące w pociągu. Aby

zmierzyć odstęp czasu między zdarzeniami 1 i 2, musi mieć dwa zsynchronizowane

zegary: Z1 w miejscu zdarzenia 1 i Z2 w miejscu zdarzenia 2. Zmierzony przez niego

odstęp czasu ma wartość t

Ponieważ prędkość światła jest taka sama dla każdego z obserwatorów, odstęp

czasu pomiędzy zdarzeniami wynosi

(@4)

przy czym zachodzi związek

(@5)

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że rozmiary w kierunku prostopadłym do ruchu nie

ulegają zmianie. Podstawiając to wyrażenie do równania (@4), otrzymujemy związek

pomiędzy i

str. 29

(@6)

Oznacza to, że według obserwatora upłynęło więcej czasu pomiędzy wysłaniem i

powrotem światła niż zmierzył to obserwator . Zjawisko to nosi nazwę dylatacji

czasu. Występujący w powyższym wzorze współczynnik

(@7)

nosi nazwę współczynnika Lorentza. Będziemy poszukiwać teraz liniowej

transformacji współrzędnych , zgodnej z postulatami szczególnej teorii

względności. Najogólniejsza transformacja liniowa współrzędnych i ma postać

(@8)

gdzie są współczynnikami transformacji i mogą zależeć od prędkości

obserwatorów względem siebie. Rozważmy zegar znajdujący się w początku układu

nieprimowanego ( ). Jeśli odstęp pomiędzy tyknięciami zegara mierzony przez

obserwatora nieprimowanego wynosi , to ze względu na zjawisko dylatacji czasu

odstęp czasu między tyknięciami zegara mierzony przez obserwatora primowanego

wynosi . Podstawiając ten związek do drugiego z równań (@8), otrzymujemy

(@9)

a w związku z tym

(@10)

Obserwator primowany widzi, że zegar umieszczony w początku układu

nieprimowanego porusza się w lewo. W chwili obserwator primowany przypisze

str. 30

mu położenie . Korzystając z tego związku i pamiętając, że ,

otrzymujemy

(@11)

co prowadzi do równości

(@12)

Jeśli umieścimy teraz zegar w początku układu primowanego ( ), to obserwator

nieprimowany w chwili przypisze zegarowi współrzędną . Podstawiając tę

równość do pierwszego z równań (@8), dostajemy

(@13)

czyli

(@14)

Na koniec skorzystamy jeszcze raz z faktu stałości prędkości światła dla obu

obserwatorów. Obserwując poruszające się światło obaj obserwatorzy przypisują mu

tę samą prędkość . Oznacza to, że jednocześnie muszą zachodzić dwie równości:

(@15)

Podstawiając te równości do równań (@8), otrzymujemy:

(@16)

str. 31

Dzieląc te równania stronami i podstawiając do otrzymanego związku wyrażenia

na , i dostajemy:

(@17)

Stąd możemy już wyznaczyć :

(@18)

Ostatecznie transformacja Lorentza ma więc postać:

(@19)

str. 32

,,Wyprowadzenie'' równania Schrödingera (''derivation of''

the Schrödinger equation)

Równanie Schrödingera na funkcję falową cząstki o masie poruszającej

się w jednym wymiarze, w potencjale zadanym funkcją ma postać:

(@1)

gdzie ( jest stałą Plancka), a jest jednostką urojoną.

,,Wyprowadzenie''

Poniższe rozumowanie nie jest w żadnym razie ścisłym wyprowadzeniem równania

Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem pewnych intuicji prowadzących do

niego.

Obserwacje światła prowadzą do wniosku, że jego natura jest nie tylko falowa, ale i cząstkowa (sugerują to obserwacje zjawiska fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczną o długości fali i częstości związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami

(@2)

gdzie jest liczbą falową, a . Inne cząstki (elektrony, neutrony...)

również wykazują cechy zarówno cząstkowe, jak i falowe. Powyższy związek pędu i

energii z długością i częstością związanej z daną cząstką fali obowiązuje dla

wszystkich cząstek, nie tylko dla fotonów.

Powyższe związki prowadzą do wniosku, że cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadająca jej fala jest falą płaską - ma określoną częstość i długość fali. Oznacza to, że fala związana z cząstką o określonej energii i pędzie jest proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus

(@3)

str. 33

Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby

współczynniki w powyższej kombinacji były liczbami zespolonymi, to biorąc

, dostajemy

(@4)

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera . Funkcję falową o takiej

postaci przyjmiemy jako funkcję falową opisującą cząstkę o określonej energii i

pędzie. Powyższa funkcja falowa jest dość wyjątkową kombinacją funkcji sinus i

cosinus, gdyż z uwagi na fakt, że , ma ona tę własność, że jej

moduł jest stały - nie zależy od i . Moduł funkcji falowej będzie z kolei

służył do wyznaczania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie.

Cząstka o funkcji falowej danej powyższym wzorem będzie mogła być znaleziona z

równym prawdopodobieństwem w całej przestrzeni - żaden punkt nie będzie

wyróżniony.

Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie . Zakładamy, że cząstka jest cząstką nierelatywistyczną (tzn. porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówiąc inaczej, jej energia kinetyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej ). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, będzie służyć tylko do opisu takich cząstek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów.

Klasyczny, nierelatywistyczny związek energii i pędu cząstki ma postać

(@5)

gdzie jest energią potencjalną cząstki, gdy znajduje się ona w punkcie .

Naszym celem jest sformułowanie dynamiki cząstki za pomocą pewnego równania

na funkcję falową związaną z cząstką, takiego aby zachować powyższy związek

między energią i pędem.

Zauważmy, że używając funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym pędzie i położeniu (równanie @4), możemy napisać

(@6)

str. 34

gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze związków (@2). Oznacza to, że

działanie na funkcję falową operacją powoduje pomnożenie funkcji falowej przez

energię cząstki. Podobnie możemy napisać

(@7)

Operacja w działaniu na funkcję falową powoduje więc pomnożenie jej przez

pęd cząstki. Możemy zatem dokonać następującego utożsamienia energii i pędu z

odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja

różniczkowania po czasie pomnożona przez , natomiast pędowi będzie

odpowiadać operacja różniczkowania po pomnożona przez

(@8)

Pędowi w kwadracie będzie odpowiadać dwukrotne działanie operacją na

funkcję falową

(@9)

Jeśli zatem związek energii i pędu (@5) pomnożymy przez funkcję falową

(@10)

a następnie za energię i pęd wstawimy utożsamione z nimi operacje, to otrzymamy

równanie

str. 35

(@11)

które jest właśnie równaniem Schrödingera.

str. 36

Szczególna teoria względności i wyprowadzenie siły Lorentza

(special theory of relativity and derivation of the Lorentz

force)

W nauczaniu fizyki istnienie pola magnetycznego wprowadza się zazwyczaj jako fakt

doświadczalny. Przywołuje się obserwacje, że w obecności magnesów lub

przewodników z prądem na poruszający się ładunek działa siła prostopadła do

kierunku prędkości ładunku, proporcjonalna do wartości ładunku i proporcjonalna do

wartości jego prędkości. Silę tę nazywa się siłą Lorentza, a pole powodujące

powstanie tej siły nazywa się polem magnetycznym. Siła Lorentza wyraża się

wzorem

i wzór ten jest również wzorem, definiującym wektor indukcji magnetycznej .

Jest rzeczą zaskakującą i niezwykle piękną, że nie odwołując się do obserwacji doświadczalnych, lecz korzystając jedynie z prawa Coulomba i szczególnej teorii względności, można wyprowadzić zarówno ,,istnienie'' pola magnetycznego, jak i postać siły Lorentza.

Rozważmy przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu . Przyjmiemy, że przewodnik jest nienaładowany, czyli koncentracja ładunku ujemnego w przewodniku (gęstość elektronów) równa jest koncentracji ładunku dodatniego (gęstość dodatnich jonów). Za przepływ prądu w przewodniku odpowiedzialne są elektrony, które

poruszają się średnio z pewną prędkością unoszenia .

Umieśćmy teraz pewien nieruchomy dodatni ładunek próbny w odległości od przewodnika.

Ponieważ gęstość ładunku dodatniego w przewodniku równa jest gęstości ładunku

ujemnego, siła Coulomba działająca na ładunek próbny wynosi zero (dla

przejrzystości rysunku elektrony narysowano bliżej ładunku próbnego, a jony

dodatnie dalej, ale w rzeczywistości zarówno elektrony, jak i jony znajdują się w całej

objętości przewodnika).

Co się stanie, gdy ładunek próbny zacznie poruszać się z prędkością wzdłuż przewodnika, zgodnie z kierunkiem przepływu prądu? Zgodnie z tradycyjnym rozumowaniem powiedzielibyśmy, że skoro przez przewodnik płynie prąd o

str. 37

natężeniu , to zgodnie z prawem Ampère'a, w odległości od przewodnika pole magnetyczne wynosi

(@1)

Na ładunek próbny działa w takim razie siła Lorentza równa co do wartości

(@2)

i skierowana w stronę przewodnika.

Chcemy teraz wyprowadzić ten wynik, korzystając jedynie z prawa Coulomba i

szczególnej teorii względności.

Przejdźmy w takim razie do układu odniesienia związanego z poruszającym się ładunkiem próbnym (nazwijmy ten układ układem primowanym). W tym układzie ładunek próbny spoczywa, jony dodatnie poruszają się w lewo z prędkością , natomiast elektrony poruszają się w lewo z pewną prędkością .

Korzystając z relatywistycznego prawa składania prędkości możemy obliczyć

prędkość elektronów:

str. 38

(@3)

W układzie odniesienia, w którym przewodnik z prądem spoczywa (układzie

nieprimowanym), wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku wynosi zero.

Oznaczmy przez i odpowiednio liniową gęstość ładunku ujemnego i

dodatniego w przewodniku. Zachodzi związek

(@4)

W układzie primowanym, związanym z poruszającym się ładunkiem próbnym, gęstości liniowe ładunków dodatnich i ujemnych zmienią się. Ze względu na zjawisko skrócenia Lorentza zarówno elektrony, jak i jony dodatnie będą znajdować się bliżej siebie, a w związku z tym gęstość liniowa zarówno ładunku dodatniego, jak i ujemnego wzrośnie. Nie wzrośnie jednak w taki sam sposób, jak przekonamy się poniżej. W związku z tym pojawi się pewien niezerowy wypadkowy ładunek przewodnika, który będzie odpowiedzialny za przyciąganie ładunku próbnego.

Jony dodatnie w układzie nieprimowanym spoczywały. Skoro w układzie primowanym poruszają się z prędkością , to ze względu na skrócenie Lorentza odległości między

nimi zmniejszą się o czynnik . Liniowa gęstość ładunku dodatniego w układzie primowanym wynosi więc

(@5)

Elektrony w układzie nieprimowanym poruszają się z prędkością . Jeśli przez oznaczymy gęstość liniową ładunku ujemnego związanego z elektronami w układzie odniesienia, w którym elektrony spoczywają, to możemy zapisać związek

pomiędzy , a w postaci

(@6)

str. 39

W układzie primowanym elektrony poruszają się z kolei z prędkością , w związku z

czym związek i ma postać

(@7)

Możemy w takim razie zapisać związek między gęstością ładunku ujemnego w

układzie primowanym i gęstością ładunku ujemnego w układzie nieprimowanym

(@8)

Po podstawieniu do powyższego równania wyrażenia na (@3) i kilku

przekształceniach otrzymujemy

(@9)

Gęstość liniowa ładunku ujemnego będzie więc większa niż gęstość liniowa ładunku

dodatniego. Oznacza to, że siła działająca na ładunek próbny będzie przyciągająca.

Wypadkowa gęstość ładunku w przewodniku w układzie primowanym wynosi

(@10)

Korzystając z faktu, że , otrzymujemy

(@11)

Przewodnik będzie przyciągał ładunek próbny pewną siłą Coulomba. Korzystając z prawa Coulomba lub równoważnego mu prawa Gaussa, można pokazać, że siła

str. 40

działająca na ładunek punktowy znajdujący się w odległości od nici o gęstości liniowej ładunku wynosi

(@12)

Podstawiając do tego wzoru uzyskane wyrażenie na (@11), otrzymujemy, że w

układzie primowanym siła Coulomba działająca na ładunek próbny wynosi:

(@13)

Zwróćmy uwagę, że wyrażenie jest równe natężeniu prądu płynącego przez

przewodnik obserwowanemu w układzie nieprimowanym:

(@14)

Wprowadzając oznaczenie , równanie na siłę w układzie primowanym

otrzymujemy w postaci

(@15)

Wzór na siłę jest więc bardzo podobny do wzoru na siłę Lorentza wyznaczonego w

tradycyjny sposób (@2). Jedyną różnicą jest czynnik . Różnica bierze

się stąd, że w szczególnej teorii względności, gdy przechodzimy z jednego

inercjalnego układu odniesienia do drugiego, siła podobnie jak inne wielkości również

podlega transformacji. W rozważanej sytuacji transformacja siły między układem

primowanym i nieprimowanym ma postać

(@16)

str. 41

W związku z tym z powyższego rozumowania otrzymujemy, że w układzie

nieprimowanym siła działająca na ładunek wynosi

(@17)

I tym sposobem za pomocą rozważań relatywistycznych i prawa Coulomba

wyprowadziliśmy wzór na siłę Lorentza działającą na ładunek poruszający się wzdłuż

przewodnika przez który płynie prąd o natężeniu .

Istnienie siły Lorentza i w związku z tym konieczność wprowadzenia pojęcia pola magnetycznego wynika więc z praw szczególnej teorii względności. Jest rzeczą niesłychanie istotną, że w powyższych rozważaniach efekty relatywistyczne (skrócenie

Lorentza) są istotne nawet wtedy, gdy ładunek próbny porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła. Siła Lorentza znacząco wpływa również na ruch ładunków poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła. Można powiedzieć, że siła Lorentza jest efektem relatywistycznym, który objawia się nawet dla cząstek poruszających się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła!

str. 42

Czy światło można traktować jak gaz? Wyprowadzenie

równania stanu gazu fotonowego (can light be treated as

gas? derivation of the equation of state for photon gas)

Rozważmy metalową wnękę, wewnątrz której znajduje się światło (lub inne

promieniowanie elektromagnetyczne).

Gaz fotonowy (photon gas)

Będziemy myśleć o promieniowaniu zawartym we wnęce w obrazie korpuskularnym,

czyli traktując je jako gaz fotonów. Fotony niosą ze sobą pewną energię i pęd.

Podczas odbijania się od ścianek wnęki przekazują im pewną porcję pędu. W

związku z tym gaz fotonowy wywiera na ścianki naczynia ciśnienie, podobnie jak

zwykły gaz złożony z cząsteczek. Będziemy poszukiwać równania stanu dla gazu

fotonowego analogicznego do równania stanu gazu doskonałego.

Foton nie ma masy i porusza się z prędkością światła . Zgodnie ze szczególną teorią względności relatywistyczny związek energii i pędu ma postać:

(@1)

Dla fotonu ( ) związek ten przyjmuje postać:

(@2)

Rozważmy foton, który porusza się poziomo we wnęce, i dla uproszczenia

przyjmijmy, że wnęka jest sześcianem o krawędzi .

str. 43

Niech foton ma pęd i energię . Przy każdym odbiciu od prawej ściany wnęki foton przekazuje ścianie pęd równy

(@3)

Czas, jaki potrzebuje foton na przebycie wnęki w tam i z powrotem, wynosi

(@4)

W związku z tym średnia siła, jaką wywiera ten foton na prawą ścianę wnęki, wynosi

(@5)

Taką samą średnią siłą działa ten foton na lewą ścianę wnęki. Niech będzie

energią wszystkich fotonów zawartych we wnęce. Ponieważ fotony poruszają się w

przypadkowych kierunkach ( , , ), całkowitej energii przypada na ruch w

kierunku , na ruch w kierunku i na ruch w kierunku . Siła wywierana

przez fotony na każdą ze ścianek wynosi zatem

(@6)

Ciśnienie gazu fotonowego równe jest:

str. 44

(@7)

Wyrażenie jest równe objętości wnęki. W związku z tym równanie stanu gazu

fotonowego ma postać:

(@8)

Dla porównania, dla jednoatomowego gazu doskonałego obowiązują równania:

(@9)

czyli związek , i ma postać:

(@10)

Do pełnego opisu gazu fotonowego potrzeba jeszcze znaleźć zależność energii gazu od temperatury . Ważną różnicą między gazem fotonowym a gazem cząsteczkowym jest fakt, że liczba fotonów w zamkniętej wnęce nie jest stała. Ścianki wnęki nieustannie absorbują i emitują fotony, w związku z czym liczba fotonów się zmienia. We wzorach nie będzie więc występować liczba fotonów we wnęce.

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać jako

(@11)

gdzie jest gęstością energii we wnęce. Chcemy znaleźć zależność gęstości

energii we wnęce od temperatury, .

str. 45

Cykl Carnota dla gazu fotonowego (Carnot cycle for photon gas)

Rozważmy w tym celu silnik Carnota, w którym ciałem roboczym jest gaz fotonowy, a

temperatura grzejnika i chłodnicy wynoszą odpowiednio i .

Na rysunku czerwone linie oznaczają przemiany izotermiczne, natomiast niebieskie

przemiany adiabatyczne. Izotermy są poziome, gdyż zależy tylko od , a z kolei

zależy tylko od temperatury. Sprawność silnika jest stosunkiem pracy wykonanej

przez silnik w jednym cyklu do dostarczonej w tym cyklu energii w postaci ciepła:

(@12)

Praca wykonana równa jest polu powierzchni obejmowanemu przez figurę

reprezentującą cykl na rysunku. Ponieważ różnica temperatur jest nieskończenie

mała, możemy obliczyć to pole jako pole prostokąta:

(@13)

Silnik pobiera energię w postaci ciepła w przemianie izotermicznej w temperaturze

. Pobrane ciepło zużywane jest na wykonanie pracy i zwiększenie energii

wewnętrznej gazu:

(@14)

Podstawiając związek ciśnienia i energii wewnętrznej (@11) otrzymujemy

str. 46

(@15)

Sprawność silnika wynosi więc

(@16)

Z drugiej strony, korzystając ze wzoru na sprawność silnika Carnota (który jest

poprawny niezależnie od substancji roboczej), mamy, że

(@17)

Porównując powyższe wyrażenia, otrzymujemy

(@18)

Całkując stronami, otrzymujemy, że

(@19)

gdzie jest pewną stałą, której wyznaczenie wymaga bardziej złożonych rozważań.

Wzór powyższy oznacza, że gęstość energii gazu fotonowego jest proporcjonalna do

czwartej potęgi temperatury. Stała wyraża się przez stałą Stefana-Boltzmanna

(patrz niżej) wzorem:

(@20)

str. 47

Równanie stanu gazu fotonowego można zapisać więc w postaci:

(@21)

Prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna (Stefan-Boltzmann law of radiation)

Gdy w ściance wnęki z gazem fotonowym zrobimy mały otwór, część promieniowania

będzie z wnęki uciekać. Moc promieniowania emitowanego przez otwór o

jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do gęstości energii

promieniowania zawartej we wnęce razy prędkość światła:

(@22)

Moc promieniowania jest więc proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Wzór

powyższy jest poprawny nie tylko dla przypadku promieniowania wychodzącego z

małego otworu we wnęce, ale jest on poprawny dla każdego ciała, które można

uważać za ciało doskonale czarne. Moc promieniowania każdego ciała doskonale

czarnego wyraża się wzorem

(@23)

Powyższe prawo nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna. Stała nosi nazwę stałej

Stefana-Boltzmanna i może być wyznaczona z rozważań kwantowych

(@24)

gdzie jest stałą Boltzmanna, a stałą Plancka.