Wykład “Algebra z Geometrią ”, I rok IN i EChJ,egzamin ustny

w sem. zim. r. ak 2014/2015.

Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jednopraktyczne.

pytania teoretyczne:

1. Pojęcie grupy, pierścienia i ciała. Przykłady.

2. Liczby zespolone: definicja i podstawowe działania.

3. Liczby zespolone: postać trygonometryczna, wzór de Moivre’a.

4. Liczby zespolone: pierwiastki l. zespolonej, tw. Gaussa o pierwiastkach wielomianu z dziedzi-nie zespolonej.

5. Permutacje n-elementowe: definicja, składanie permutacji, znak permutacji.

6. Permutacja jako złożenie transpozycji.

7. Macierze i operacje nad nimi.

8. Wyznacznik: definicja i sposoby obliczania.

9. Własności i zastosowanie wyznaczników.

10. Odwracalność macierzy. Macierz odwrotna.

11. Układy równań liniowych. Eliminacja Gaussa - Jordana.

12. Układy równań liniowych jednorodnych. Rozwiązania fundamentalne.

1

13. Warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązań układów równań liniowych.

14. Wzory Cramera.

15. Rząd macierzy. Związek z minorami.

16. Podać definicję przestrzeni wektorowej, przykład.

17. Wektory na płaszczyźnie i w przestrzeni - podstawowe cechy i działania na wektorach.

18. Iloczyn wektorowy: definicja i interpretacja geometryczna.

19. Liniowa niezależność wektorów w dowolnej przestrzeni wektorowej.

20. Układy wektorów liniowo niezależnych. Podać warunek liniowej niezależności wektorów ~v1,~v2i ~v3 w R3.

21. Warunek liniowej niezależności wektorów w Rn.

22. Co to jest baza i wymiar przestrzeni wektorowej? Podać przykład.

23. Co to jest przestrzeń unitarna, norma wektora, iloczyn skalarny. Podać nierówność Schwarza.

24. Iloczyn skalarny: definicja, własności i interpretacja geometryczna.

25. Baza ortonormalna. Istnienie bazy ortonormalnej w dowolnej przestrzeni liniowej.

26. Ortogonalizacja Grama-Schmidta.

27. Odwzorowanie liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych i jego macierz.

28. Zmiana bazy w odwzorowaniu liniowym. Transformacja podobieństwa.

2

29. Unitarne odwzorowania liniowe i ich macierze.

30. Macierze hermitowskie, unitarne i normalne.

31. Wartości i wektory własne - definicja i sposób wyznaczania.

32. Diagonalizacja macierzy - przypadek macierzy symetrycznych (hermitowskich).

33. Diagonalizacja macierzy - przypadek macierzy normalnych.

34. Funkcje od macierzy.

35. Formy kwadratowe - sprowadzanie do postaci kanonicznej.

3

pytania praktyczne:

1. Obliczyć |(1 + 2i)6/(2− i)3|.

2. Przedstawić w postaci x+ iy liczby

a) 12+i , b) (3+4i)2

1−i ,

3. Wyznaczyć moduł i argument liczb:a) 1

(1+i)2 , b) 11+i√3,

4. Wyznaczyć i naszkicować na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb spełniających warunek:

|z − 1| = |z + 1|,

5. Wyznaczyć i naszkicować na płaszczyźnie Gaussa zbiór liczb spełniających warunek:

z + z̄ = |z|2,

6. Znaleźć pierwiastki równania x2 + 4x+ 13 = 0.

7. Znaleźć pierwiastki równania 4x2 − 2x+ 1 = 0.

8. Znaleźć 3√

1 + i.

9. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę z = − 3√

3− i i zaznaczyć na płaszczyźnie ze-spolonej.

10. Podać złożenie permutacji σ1 · σ2 oraz σ2 · σ1 gdzie

σ1 =

(1 2 3 44 1 2 3

)σ1 =

(1 2 3 43 2 4 1

)11. Podać znak permutacji σ1, σ2 oraz σ1 · σ2 jeśli:

σ1 =

(1 2 3 4 52 4 5 1 3

)σ1 =

(1 2 3 4 55 3 4 1 2

)

4

12. Obliczyć iloczyn macierzy:

−1 02 34 11 1

[ −2 5 13 0 −1

]

13. Obliczyć iloczyn macierzy:

−1 02 34 1

[ −2 5 1 03 0 −1 1

]

14. Podać rząd macierzy[−2 5 1 03 0 −1 1

]

15. Obliczyć wyznacznik

−2 5 13 0 −11 1 0

16. Obliczyć wyznacznik macierzy

−2 5 13 0 −11 1 0

0 1 01 0 00 0 1

17. Znaleźć macierz odwrotną do

−2 5 13 0 22 −5 0

18. Sprawdzić liniową niezależność wektorów:

(1, 3, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 3), (7, 2,−1)

19. Sprawdzić liniową niezależność wektorów:

(2,−1, 4), (3, 6, 2), (2, 10,−4)

20. Sprawdzić liniową niezależność wektorów:

(6, 0,−1), (1, 1, 4), (2, 3, 5)

21. Sprawdzić czy podane wektory stanowią bazę w R3 i przedstawić wektor x w tej bazie.

e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3) oraz x = (6, 9, 14).

22. Sprawdzić czy podane wektory stanowią bazę w R3 i przedstawić wektor x w tej bazie.

e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1) oraz x = (7, 14,−1).

5

23. Znaleźć wektor prostopadły do (2,−3, 1) i (1,−2, 3).

24. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać układ równań:

2x− y + z = 03x− 2y − z = 5x+ y + z = 6

25. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 1 1 01 0 00 0 1

26. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 1 0 00 1 10 1 1

27. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 1 1 01 1 00 0 0

28. Czy istnieje baza w R3, w której macierz odwzorowania T : R3 → R3 danego przez: y1 = −x1 − x2 + 2x3y2 = −x1 + x3y3 = 2x1 + x2 − x3

jest diagonalna? Jeśli tak, to podać taką bazę.

29. Podać ortogonalną/unitarną macierz transformacji P taką, że macierz P−1AP jest diagonalnadla:

A =

3 2 02 4 00 0 5

30. Podać ortogonalną/unitarną macierz transformacji P taką, że macierz P−1AP jest diagonalnadla:

A =

3 0 00 4 −20 −2 5

6

31. Metodą Lagrange’a znaleźć transformację współrzędnych sprowadzającą do postaci kanonicz-nej formę kwadratową:

f(x̄) = x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3,

Sprawdzić, czy jest dodatnio określona.

32. Metodą Lagrange’a znaleźć transformację współrzędnych sprowadzającą do postaci kanonicz-nej formę kwadratową:

f(x̄) = x1x2 + x1x3 + x2x3

Sprawdzić, czy jest dodatnio określona.

33. Sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową:

f(x̄) = −12x21 − 3x22 − 12x23 + 12x1x2 − 24x1x3 + 8x2x3

34. Za pomocą ortogonalnej transformacji współrzędnych sprowadzić do postaci kanonicznej formękwadratową:

f(x̄) = 5x21 + 8x1x2 + 5x22,

Sprawdzić, czy jest ona dodatnio określona.

35. Za pomocą ortogonalnej transformacji współrzędnych sprowadzić do postaci kanonicznej formękwadratową:

f(x̄) = x21 − 2x2 − 2x3 + 4x1x3.

Sprawdzić, czy jest ona dodatnio określona.

36. Pokazać, że jeśli {~i,~j,~k} - baza ortonormalna i ~a = 2~i−~j + 4~k, ~b = 5~i+ 2~j − 2~k, to wektory ~ai ~b są wektorami ortogonalnymi. Czy są one ortonormalne?

37. Wektor ~r = (5, 20, 15) wyrazić przez wektory ~a1 = (2, 1, 2), ~a2 = (1, 1, 1) i ~a3 = (0, 0, 2). Sko-rzystać z macierzy odwrotnej.

38. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im unormowane wektory własne macierzy A, oraztaką macierz S, że S−1AS jest macierzą diagonalną.

A =

(1 22 4

)

7

39. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im unormowane wektory własne macierzy A, oraztaką macierz S, że S−1AS jest macierzą diagonalną.

A =

(2 33 2

)

8