1

Przykład 1.1 Kratownica płaska I.

W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyćprzemieszczenie pionowe v węzła C i przemieszczenie poziome u węzła D. Przyjęto stałąsztywność prętów EA.

Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy

Przemieszczenia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru

∑∑∫==

==15

1

115

1 0

1 1i

iiii

l

ii

iii lNNEAAE

dsNNwi

(1)

gdzie: w - szukane przemieszczenie, iN - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego, 1

iN - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od siły jednostkowej przyłożonej w węźle, której kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego przemiesz- czenia, il - długość i-tego pręta kratownicy.

I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.

1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.

Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór

PRlRlPM BBA 8304

230 =→=⋅+⋅−→=∑

PVPRVP ABAiy 8500 =→=−+→=∑

00 =→=∑ Aix HP

Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagizapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił iN w kratownicy od obciążeniazewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 3).

2

2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od pionowej siły 1=P , przyłożonej w węźle C.

Rys. 2. Schemat statyczny

Wyznaczamy reakcje podpór

2104210 111 =→=⋅+⋅−→=∑ BBA RlRlM

21010 1111 =→=−+→=∑ ABAiy VRVP

00 11 =→=∑ Aix HP

Wyznaczone wartości sił 1iN w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w

tablicy 1 (kolumna 4).

Tabela 1. Zestawienie wartości sił iN oraz 1iN i wyrażeń iii lNN 1 oraz ich sumy.

(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)

Pręt li [m] Ni [N] 1iN iii lNN 1 [Nm]

1 l P165

41 Pl

645

2 l P1615

43 Pl

6445

3 l P169

43 Pl

6427

4 l P163

41 Pl

643

5l

25 - P5

165

-45 Pl

128525

6l

25 P5

165

45

APl

128525

7l

25 - P5

165

-45 Pl

128525

3

8l

25 - P5

163

45 - Pl

128515

9l

25 P5

163

45 Pl

128515

10l

25 - P5

163

-45 Pl

128515

11l

25 P5

163

45 Pl

128515

12l

25 - P5

163

-45 Pl

128515

13 l- P

85 -

21 Pl

165

14 l- P

43 -1 Pl

43

15 l- P

83 -

21 pl

163

=∑=

ii

ii lNN15

1

1 Pl16

51540 +

3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v węzła C.

Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy

v = ∑=

15

1

11i

iii lNNEA

=EAPl

EAPl 60,4

1651540

≅⋅+

Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jestzgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 2).

II. Wyznaczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.

1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od poziomej siły 1=P , przyłożonej w węźle D.

Rys. 3. Schemat statyczny

4

Wyznaczamy reakcje podpór

410410 111 =→=⋅+⋅−→=∑ BBA RlRlM

4100 1111 =→=+−→=∑ ABAiy VRVP

1010 111 =→=+−→=∑ AAix HHP

Wyznaczone wartości sił 1iN w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w

tablicy 2 (kolumna 4). Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego są takie same jak w tablicy1 (kolumna 3)

Tabela 2. Zestawienie wartości sił iN oraz 1iN i wyrażeń iii lNN 1 oraz ich sumy.

(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)

Pręt li [m] Ni [N] 1iN iii lNN 1 [Nm]

1 l P165

87 Pl

12835

2 l P1615

85 Pl

12875

3 l P169

83 Pl

12827

4 l P163

81 Pl

1283

5l

25 - P5

165

85 - Pl

256525

6l

25 P5

165

-85 - Pl

256525

7l

25 - P5

165

85 - Pl

256525

8l

25 - P5

163

-85 Pl

256515

9l

25 P5

163

85 Pl

256515

10l

25 - P5

163

-85 Pl

256515

11l

25 P5

163

85 Pl

256515

12l

25 - P5

163

-85 Pl

256515

13 l - P85

41 - Pl

325

5

14 l- P

43

21 - Pl

83

15 l- P

83

43 - Pl

329

=∑=

ii

ii lNN15

1

1 Pl329

2. Obliczenie przemieszczenia poziomego u węzła D.

Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy

u = ∑=

15

1

11i

iii lNNEA

=EAPl

EAPl 28,0

329

≅⋅

Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jestzgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 3).